Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Transkript

1 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne i dette projekt indgår or en stor del i grundbogen til A-niveau. Det giver deror muliged or, at man på et old til A-niveau kan aslutte gennemgangen a dierentialregningen i.g. Omvendt unktion er supplerende sto på både B og A.. De elementære unktioner - og alle de andre De elementære unktioner som de lineære unktioner, de trigonometriske unktioner sin( ) og cos( ), den naturlige eksponentialunktion e og den naturlige logaritmeunktion ln( ), samt potensunktionerne er en slags byggestene vora ovedparten a andre unktioner bygges op ved jælp a de ire traditionelle regningsarter,,,, :, samt de to særlige operationer der indes i unktionernes verden: Sammensat unktion, og omvendt unktion. Det betyder, at vis vi både ar styr på, vordan vi dierentierer de elementære unktioner, og ar styr på alle regneregler or dierentiation, så kan vi populært sagt dierentiere vad som elst, der er dierentiabel. Eksempel. Vi kan klare os med ærre byggestene I virkeligeden er det endnu mere simpelt: e og ln( ) er inandens omvendte unktioner, så ar vi styr på, vordan vi dierentierer den ene og kan vi regnereglen med at dierentiere omvendt unktion, ar vi også styr på den anden. Det ser vi på i sidste asnit. sin og cos er orbundet med ormlen cos( v) sin9 v π, når det skrives med grader, eller cos( ) sin, når det skrives med radianer. Har vi styr på vordan vi dierentierer sinus, og kan vi regnereglen or sammensat unktion, kan vi også dierentiere cosinus. Da e og ln( ) er inandens omvendte unktioner gælder der, at e ln( ) ln( ) a a a ln( ). Deror er e e. Har vi styr på, vordan vi dierentierer e, og kan vi regnereglen or sammensat dierentiation, så kan vi også dierentiere Dvs byggestenene kan reduceres til: de lineære unktioner, sinus og en a de to e eller ln( ). I A-bogen vil vi gå dybere ind i dette og vise, vordan vi ved jælp a integralregning kan give elt præcise deinitioner a logaritmeunktioner, eksponentialunktioner og trigonometriske unktioner. a a. Sammensat unktion Vi kalder unktioner med regneorskriter a typen: 7 ( ) 5, 5 ( ) 3, 3 ( ) 3,, π 4 ( ) 5 sin( ) 3,3 5 ( ) e or sammensatte unktioner. Funktionerne er alle karakteriseret ved, at der vor vi normalt inder den uaængige variabel, er der skrevet en regneorskrit. Denne kan vi opatte som regneorskrit or en unktion, som vi kalder or den indre unktion. og Sådanne mere komplekse unktionsudtryk optræder ote, når vi arbejder med matematisk modellering a orskellige ænomener. Funktionen 4 er således en armonisk svingning, som kan være en model or

2 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion udbredelse a lyd. Funktionen 5 indgår i unktionsudtrykket or en normalordeling, der kan være en statistisk model or øjderne a alle børn i en bestemt skoleårgang. Dierentialregning er et stærkt værktøj til at undersøge graiske orløb. Men i stedet or at undersøge sådanne unktioner orra ver gang, så ar vi en ælles metode, en særlig regneregel til at åndtere disse sammensatte unktioner. For at kunne anvende denne - og bevise regnereglen - skal vi ørst lære at analysere sådanne unktioner og opdele dem i de bestanddele, de er bygget op a, som vi betegner: Indre unktion og ydre unktion Eksempel. Indre unktion og ydre unktion Metoden er ølgende: Den regneorskrit, der er skrevet, vor der normalt indgår den uaængige variabel, kaldes or den indre unktion. I er dette unktionen g ( ) 5 Hvis vi i stedet or 5 skriver y, ar vi den ydre unktion. I er dette unktionen Med disse betegnelser kan vi opskrive ølgende udtryk or : ( ) ( g( )) Man kan eterprøve, at dette er korrekt ved at udregne øjre side. Funktionen opløter i syvende, så: ( g( )) ( g( )) Indsætter vi nu udtrykket or g år vi det oprindelige: ( g( )) ( g( )) ( 5) som var udtrykket or. () y y 7 Prais: Symbol or sammensat unktion Når vi ar opdelt regneorskriten or en unktion ( ) i en ydre unktion yog () en indre unktion g ( ), så vi kan skrive ( ) ( g( )) kalder vi or en sammensat unktion og vi skriver: g Dvs. ( ) g ( ) ( g( )) I praksis opskriver vi ote den ydre unktion som ( ) i stedet or y. () Men det er vigtigt at uske, at den indre unktion erstatter den uaængige variabel i, når vi sammensætter dem, uanset om vi kalder denne or eller y. Eksempel 3. Opdeling a en sammensat unktion I de indledende eksempler år vi ølgende opdeling i ydre og indre unktioner ( ) ( g( )) ( ) (ydre) g ( ) (indre) 5 5 ( ) ( ) 3 g ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) g 3 ( ) 3 π 4 ( ) 5sin( ) 3 4 ( ) 5sin( ) 3 π g ( ), 4,3 5 ( ) e 5 ( ) e, g5( ),3 Selv om vi skriver den ydre ørst så er det otest lettest ørst at å øje på den indre og skille den ud. 4

3 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Gennemør selv samme analyse og opdeling a nedenstående unktioner i en ydre og en indre. ( ) ( g( )) ( ) (ydre) g ( ) (indre) ( ) 3 ( ) (5 4) 3 ( ) ( 4 ) 3 3 ( ) e 4 4 ( ) ( ) 3 5 ( ) 3 6 ( ) ( ) 4 7 ( ) ln( 4) ( ) ( 3 ) 6 9 ( ) e 78 ( ) ln( 9) 9 4 ( ) 3. Dierentiation a sammensat unktion. Det lineære tilælde. Vi bemærker, at or rækken a ydre unktioner i eksemplet ovenor - og tilsvarende i øvelsen - ar vi ver gang en sætning, der giver os dierentialkvotienten. Se i B-bogens oversigt over unktioner, man skal kunne dierentiere på B, og ind dierentialkvotienterne or ver a dem. For unktioner som og 3 i a eksemplet kan det være en ordel ørst at omskrive til en potensunktion på ormen. Vi bemærker endvidere, at i rækken a indre unktioner er de leste aktisk lineære unktioner. Kun g 5 er en ikke-lineær unktion. I øvelsen er der yderligere nogle ikke-lineære. Når vi skal vise en regneregel or, vorledes vi dierentierer sammensatte, vil vi ørst gennemgå tilældet, vor den indre unktion er lineær. Det skyldes, at vi kan gennemøre dette bevis ved jælp a tretrinsreglen. Beviset or det det generelle tilælde anvender en lidt mere avanceret teknik. Sætning. Dierentiation a den sammensatte unktion ( ) ( a b) Antag unktionen er dierentiabel i, med dierentialkvotient ( ). Funktionen ( ) ( a b) er da også dierentiabel i, med dierentialkvotienten: ( ) ( a b) a Hvis er overalt dierentiabel er også overalt dierentiabel, og der gælder: ( ) ( a b) a Bevis. Forudsætningerne i beviset, nemlig at er dierentiabel i, med dierentialkvotient, kan opskrives således: ( ) ( ) ( ) når (*) Vi anvender tretrinsreglens anden version.. Opskriv sekantældningen: 3

4 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b. Omskriv sekantældningen: ( a b) ( a b) ( a a b) ( a b) gang a ind i parentesen ( a b a) ( a b) roker rundt ( y a) ( y) Kald a b or y ( y a) ( y) a Forlæng med a a Vi kan se, dette ligner udtrykket, vi skrev op i begyndelsen a beviset. Forskellen er ørst og remmest, at tilvæksten er edder a. Hvis vi kalder a or k og sætter dette ind år vi: ( yk) ( y) a (**) k 3. Lad og se, vad der sker. Når vil også k a I ølge orudsætningen (*) ar vi: ( k) ( ) ( ) når k k Men dette vil så også ske, når. Deror vil der gælde om det omskrevne udtryk or sekantældningen (**), at: ( ) ( ) ( y k) ( y) a ( y) a når k Indsætter vi nu y a b år vi konklusion: er dierentiabel i med dierentialkvotient ( ) ( a b) a Eksempel 5. Sådan dientieres en sammensat unktion Betragt unktionen 7 ( ) 5 Vi så ovenor, at ( ) ( g( )), vor () y y, og g ( ) 5. Iølge sætningen skal vi gøre ølgende: Dierentier den ydre, og lad den indre stå (gange) dierentialkvotienten a den indre. 6 ( ) 7 (-5) Konklusion: 6 Dierentier, 3 og 4 ( ) 4 (-5) 7 Dierentier unktionerne -7 i øvelse

5 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion 8. Dierentiation a e k a) Hvad er den ydre og den indre unktion or ( ) e k b) Anvend sætningen til at opskrive dierentialkvotienten or e k a 9. Dierentiation a a) Omskriv a til et udtryk på ormen e k b) Anvend sætningen til at opskrive dierentialkvotienten or a. I det generelle tilælde gælder ølgende sætning: Sætning. Dierentiation a den sammensatte unktion ( ) ( g( )) Antag unktionen er dierentiabel i y g( ), med dierentialkvotient ( y) ( g( )), samt at unktionen unktionen g er dierentiabel i med dierentialkvotienten g ( ). Funktionen ( ) ( g( )) er da dierentiabel i, med dierentialkvotienten: ( ) ( g( )) g( ) Hvis og g er overalt dierentiable i deres deinitionsmængder, så er også overalt dierentiabel, og der gælder: ( ) ( g( )) g( ) Beviset or sætningen gives i asnit 5. Eksempel. Sådan dientieres en sammensat unktion,,3 Betragt unktionen 5 ( ) e Vi så i øvelse 3, at 5( ) 5( g5( )), vor 5 ( ) ey. y, og, g ( ). 5,3 Iølge sætningen skal vi gøre ølgende: Dierentier den ydre, og lad den indre stå (gange) dierentialkvotienten a den indre.,,3, 5 ( ) e,3,3, Konklusion:,,3 ( ) e 5.,3 I en model or produktionen a palmeolie i Malaysia kan sammenængen mellem alderen a palmerne og udbyttet a palmeolien pr. ektar beskrives ved,499,64 ( ) 35,9,493e, 5, vor er palmernes alder målt i år, og ( ) er udbyttet pr. ektar målt i ton. a) Tegn en gra or, og bestem udbyttet ra en ektar, vor palmerne er år gamle. b) Bestem vækstastigeden i udbyttet ra en ektar, vor palmerne er 5 år gamle. Kilde Nonlinear Growt Models or Modeling Oil Palm Yield Growt a Kamis et al, Journal o Matematics and Statistics (3):5-33,5. (st A eksamen maj med) Dierentier unktionerne 8- i øvelse 4. 5

6 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion 4. Dierentiation a sammensat unktion. Det generelle tilælde. Den mest nærliggende ide til et bevis i det generelle tilælde, ville være at generalisere beviset ra det lineære tilælde. Det kunne orløbe således med brug a tretrinsreglens. version:. Opskriv sekantældningen: ( ) ( ) ( g( )) ( g( )). Omskriv sekantældningen: ( g( )) ( g( )) g( ) g( ) g( ) g( ) ( g( )) ( g( )) g( ) g( ) g( ) g( ) ( y) ( y) g( ) g( ) y y Forlæng med g( ) g( ) Roker rundt Kald g ( ) or y og g ( ) or y 3. Lad og se, vad der sker. Vi ser på de to brøker en a gangen. Først den sidste brøk: g ( ) er dierentiabel i så deror ar vi: g( ) g( Når, vil ) g( ) Så den ørste brøk: g ( ) er dierentiabel i så deror er g ( ) også kontinuert i. Men det betyder: Når, vil g( ) g( ), dvs. y y er dierentiabel i y g( ), så deror ar vi: ( y) ( y Når y y, vil ) ( y) y y Samlet år vi nu: ( y) ( y Når, vil ) g( ) g( ) ( y) g( ) y y Indsættes y g( ) år vi konklusionen: er dierentiabel med dierentialkvotienten ( ) ( y ) g( ) ( g( )) g( ) Dette bevis er korrekt i langt de leste tilælde. Men ikke generelt. Problemet indes i den omskrivning, vor vi orlænger, dvs. ganger og dividerer med udtrykket g( ) g( ). Hvorra ved vi nemlig, at dette udtryk er orskellig ra, og er det i ele grænseovergangen, vor? Det ved vi aktisk ikke. Udtrykket g( ) g( ) er jo en unktion a, og de unktioner vi møder, vil normalt ave et endeligt antal nulpunkter. Hvis vi antager det, så er der et a de eventuelle nulpunkter, der ligger tættest ved, og vi kan deror lægge et lille interval endnu tættere omkring, vori udtrykket g( ) g( ) aldrig bliver (bortset ra i selve, men i grænseovergangene indsætter vi jo aldrig det tal vi nærmer os uendelig tæt). Fastlægger vi nu ra starten, at vi kun regner indenor dette lille interval, så older beviset. Der indes imidlertid situationer, der ikke er dækket a dette bevis. I næset asnit giver vi et generelt bevis, der older i alle tilælde. Beviset er især interessant, ordi det illustrerer vorledes vi kan indøre en 6

7 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion deinition på dierentiabilitet, der kan generaliseres til unktioner a lere variable. Det er således et eksempel på vordan emnet beandles i videregående matematik. 5. Deinition a dierentiabilitet uden anvendelse a brøker For at gennemøre beviset i det generelle tilælde skal vi ørst ave omormuleret selve deinitionen på at være dierentiabel, så vi undgår brøker. I B-bogen kapitel 4 asnit giver vi ølgende deinition på at være dierentiabel: Deinition: Dierentiabilitet, dierentialkvotient og aledet unktion Hvis graen or en unktion er lokalt lineær i punktet, ( ), så siger vi, at er dierentiabel i. Hvis tangenten i punktet, ( ) ar en ældningskoeicient a, så kaldes dette tal or dierentialkvotienten or i. Tallet betegnes a ( ) og læses mærke a. Forud or det ar vi deineret begrebet lokalt lineær: Deinition: Lokalt lineær og tangent til en kurve En kurve kaldes lokalt lineær i et punkt P, vis kurven kan tilnærmes vilkårligt tæt med en ret linje gennem punktet P, blot vi zoomer tilstrækkelig tæt ind på punktet. Den rette linje kaldes i så ald or tangenten til kurven i punktet P. Vi ar også kommenteret vad der menes med vilkårlig tæt : Vi trækker linjer ra P til alle mulige punkter på graen, og ser på ældningskoeicienterne or disse linjer. Kurven er lokalt lineær i P, vis disse ældningskoeicienter nærmer sig ældningen or en bestemt linje, når vi zoomer ind mod P. Denne bestemte linje er så tangenten i P. Denne sproglige repræsentationsorm or dierentialkvotient oversættes til en symbolsk orm, som vi kan regne på: ( ) ( Funktionen er dierentiabel i, vis ældningskoeicienterne ) nærmer sig ét bestemt tal a, når nærmer sig Dette tal a er så ældningskoeicient or tangenten, og det angiver dierentialkvotienten or i. Dette kan også udtrykkes således: ( ) ( ) a når Sætter vi kan dette udtrykkes således: ( ) ( ) a når Venstre side er en unktion a. Vi kalder denne or E: () ( ) ( ) a E() (*) ( ) ( ) a E( ) Gang igennem med (så vi slipper or brøken) ( ) ( ) ae( ) Flyt over. (**) Læg mærke til, at de ørste to led på øjre side repræsenterer tangenten og dennes ligning: y ( ) a ( ) a( ) Det sidste led E() er således et udtryk or, vor meget graen or unktion aviger ra tangenten. 7

8 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Eer () iølge (*) umiddelbart ikke deineret i. Men når er, er vi i punktet, ( ) på graen. Dette punkt er det ælles røringspunkt or graen og tangenten. Det er deror naturligt at vi udvider deinitionen a E, () så denne sættes til at være når er. Deinition: Epsilonunktioner En unktion Ekaldes () en epsilonunktion, vis den er deineret i et interval omkring, og vis den opylder ølgende to krav; ) E() ) E( ), når Funktionen E() er et eksempel på en epsilonunktion. Angiv selv to andre. Vi kan nu ved jælp a epsilonunktioner give en deinition på at være dierentiabel, der er en symbolsk oversættelse a den sproglige ormulering lokalt lineær, og som kan generaliseres til øjere dimensioner: Deinition: Dierentiabilitet i et punkt En unktion siges at være dierentiabel i, vis der indes et tal a og en epsilonunktion, E () således at der i et interval omkring gælder ølgende: ( ) ( ) ae( ) Tallet a kaldes i så ald or dierentialkvotienten or i tallet og betegnes ( ). Opskriv ligningen i vert a tilældene a) ( ) 3 v) ( ) ( ) og g( ) 3 : Vi ar ovenor set og argumenteret or, at vis er dierentiabel iølge den traditionelle deinition, så er også dierentiabel eter den nye deinition. Argumentér nu or, at vis er dierentiabel iølge den nye deinition, så er den også dierentiabel eter den traditionelle. (Hjælp: Opskriv den nye deinition og regn baglæns, så vi på venstre side år udtrykket or sekantældningerne. Lad og udnyt epsilonunktionens egenskaber.) De to deinitioner er således elt ækvivalente. Bevis or sætning om dierentiation a sammensat unktion Vi vender nu tilbage til sætning, og opskriver orudsætningerne ved jælp a den nye deinition: g er dierentiabel i med dierentialkvotienten g ( ), så i et interval omkring kan vi skrive: g( ) g( ) g( ) E ( ) (*) g er dierentiabel i y g( ), med dierentialkvotient ( y) ( g( )), så i et interval omkring y kan vi skrive: ( y k) ( y ) ( y ) k E ( k) k ( g( ) k) ( g( )) ( g( )) k E ( k) k Indsæt y g( ) (**) Vi betragter nu unktionen g og skal inde et udtryk or ( ) : 8

9 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion ( ) ( g( )) Anvend deinitionen på g( ) g( ) E ( ) Indsæt (*) g g( ) k Kald g( ) Eg( ) or k ( g( )) ( g( )) k E ( k) k Anvend (**) ( ) ( g( )) k E ( k) k Indsæt ( ) ( g( )) Indsæt nu udtrykket or k i dette: ( ) ( g( )) g( ) E ( ) E ( k) g( ) E ( ) g g Vi ganger ud og samler de tre a leddene i en parentes: ( ) ( g( )) g( ) ( g( )) E ( ) E ( k) g( ) E ( k) E ( ) g g Vi sætter udenor parentes og kalder parentesen or E() : ( ) ( g( )) g( ) ( g( )) E ( ) E ( k) g( ) E ( k) E ( ) g g ( ) ( g( )) g( ) E ( ) Vi mangler nu kun at vise, at unktionen E() er en epsilonunktion: E ( ) ( g( )) E ( ) E ( k) g( ) E ( k) E ( ) g g Vi bemærker ørst, at det midterste led stadig indeolder k. Men udtrykket or k : k g( ) E ( ) g viser, at når er også k, og når vil også k. Deror ser vi, at alle tre led i E() opylder kravene til en epsilonunktion, og dermed er det samlede udtryk or E() også en epsilonunktion. Men dermed ar vi ået skrevet den sammensatte unktion på ormen: ( ) ( ) ( g( )) g( ) E( ) Dvs er dierentiabel og dierentialkvotienten er som angivet i sætningen. I den såkaldte Gompertz model or en bestemt population a kyllinger kan sammenængen mellem en kyllings vægt M (målt i kg) og kyllingens alder t (målt i døgn eter udklækning) beskrives ved,43 t ln( M),654 4,6 e a) Benyt modellen til at bestemme vægten a en kylling, der er 3 døgn gammel b) Bestem M som unktion a t c) Tegn graen or M, og bestem vækstastigeden når kyllingen er 3 døgn. 6. Omvendt unktion og dierentiation a omvendt unktion (supplerende sto) Vi ar i B-bogens kapitel 4 asnit 6 ormuleret sætningen om dierentiation a ln( ), og dér givet et geometrisk bevis or ormlen. I det ølgende gennemgås dette mere generelt. I en række tilælde, vor en unktion indgår i en ligning, ar vi brug or at kunne jerne unktionen. F: ) sin( ).8 ) e π 36 3) 5cos( t ) 4,3 4) ln(.3 3,7) 4,7 I tilælde som disse kan vi jerne unktionen ved at anvende den omvendte unktion: 3 Eksponentialunktionen e jernes ved at anvende den naturlige logaritmeunktion, ln. ln er således den omvendte unktion til e. 9

10 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Den naturlige logaritme, ln jernes ved at anvende den naturlige eksponentialunktion e. e er således den omvendte unktion til ln. sin og cos jernes ved anvende enoldsvis sin og cos. Disse unktioner kaldes også or Arcusunktioner, og man skriver a og til Arcsin i stedet or sin og Arccos i stedet or cos. Arcusunktionerne er således de omvendte til de trigonometriske unktioner. I eksemplerne ovenor ar vi således: Eksempel. sin( ).8 sin sin( ) sin.8 sin.8 Eksempel. e 36 ln(e ) ln(36) ln(36) Løs selv ligningerne i eksempel 3 og 4. Deinition Hvis der om en unktion, der er deineret på et bestemt interval I gælder, at or enver y-værdi vi vælger i værdimængden indes præcis én -værdi i deinitionsmængden, således at: y (), så kalder vi den unktion, der knytter til y or den omvendte unktion til, og vi betegner unktionen er således deineret ved, at () y, når y () (*) Graisk bestemmes den -værdi, der er knyttet til en given y-værdi ved at vi går vandret ud ra punktet y på. aksen til vi rammer graen or, og vor vi rammer, går vi lodret ned (eller op) til. aksen, vor vi alæser -værdien. Bemærkning. Da vi ar byttet om på. og. aksen i den graiske bestemmelse a unktionsværdierne () y, så kan ele graen or remkomme ved at vi spejler graen or i linjen med ligning y. Denne spejling bytter jo netop om på de to akser. Bemærkning. Hvis vi kombinerer de to ligninger i (*) år vi: ( ( )) og y ( ( )) Dette er den generelle orm, som vi så illustreret med de to eksempler ovenor. De omvendte unktioner er ote interessante i sig selv og i undersøgelsen a disse unktioner og a deres graiske orløb ar vi brug or kendskab til deres aledede unktioner. Vi tillader os at tale om den aledede unktion a den omvendte ordi deinitionen på at være dierentiabel, nemlig at være lokalt lineær, naturligvis arves a den gra der remkommer ved at spejle i linjen y. Vi demonstrerer nu vorledes vi bestemmer de aledede til omvendte unktioner i de to specialtilælde med ln og sin, og ormulerer dereter den generelle sætning. Sætning. Dierentiation a ln( ) ln( ) er dierentiabel or alle med dierentialkvotienten: ln ( ).

11 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Bevis. Ud ra deinitionen a ln( ) som den omvendte til e ar vi ølgende: ln( ) e e ln( ) Dierentier på begge sider Udnyt reglen or sammensat dierentiation, samt ln( ) e ln( ) ln( ) Udnyt, at e og ln( ) opæver inanden ln( ) vilket var det ønskede resultat. Isoler ln( ) Sætning. Dierentiation a sin ( ) sin ( ) er dierentiabel i sin deinitionsmængde med dierentialkvotienten: sin ( ) Bevis. I omskrivningerne i dette tilælde år vi brug or Pytagoras sætning or sin og cos: sin ( ) cos ( ) Hvis du ar glemt denne sætning, så slå op i C-bogens kapitel 8. Formlen kan omskrives til: cos( ) sin ( ) (*) Ud ra deinitionen a sin ( ) sin sin ( ) sin sin ( ) som den omvendte til sin( ) ar vi ølgende: Dierentier på begge sider Udnyt reglen or sammensat dierentiation, samt sin sin ( ) sin ( ) cos sin ( ) sin ( ) Udnyt, at sin ( y) cos( y) sin (sin ( )) sin ( ) Udnyt (*) sin ( ) Udnyt a sin og sin ( ) vilket var det ønskede resultat. Isoler sin sin opæver inanden Sætning. Dierentiation a den omvendte unktion Antag unktionen er dierentiabel i og at ar en omvendt unktion i den deinitionsmængde vi arbejder inden or. Antag endvidere, at ( ). Så er dierentiabel i y ( ) med dierentialkvotient:

12 ISBN Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion ( y), eller: ( y ) ( ) ( ( y ) Bevis. Vi ølger gangen i specialtilældene: ( ( y)) y Udnyt deinitionen på omvendt unktion ( ( y )) y Vi dierentierer med ensyn til y Udnyt reglen or sammensat dierentiation, samt ( y) ( y) y ( y) Udnyt, at og ( y) Indsæt y opæver inanden y og Isoler ( y) Indsæt y ( ) ( ) ( y) Udnyt, at ( y) ( ( y )) vilket var det ønskede resultat. ( y )