Økonometri 1. Hvorfor simulationseksperimenter? Monte Carlo eksperimenter: Ideen. Inferens i den lineære regressionsmodel 28.

Transkript

1 Oversgt: de næste forelæsnnger Økonometr Inferens den lneære regressonsmodel 8. september 4 Statstsk nferens: hvorledes man med udgangspunkt en statstsk model kan drage konklusoner på grundlag af data, [ ] blandt andet punktestmaton og ntervalestmaton af parametre samt metoder tl afprøvnng af statstske hpoteser. (TSØ p. 38) Smulatonsekspermenter (Note på hemmesden) Ideen med at lave smulatonsekspermenter Opbgnng af en smulatonsalgortme Eksempel: Den forventede startløn for en økonom Eksempel (ugeseddel 3): Alternatv mddelret estmator β Resultater om OLS med endelgt antal observatoner (kap. 4): Normaltetsantagelse (MLR.6). Test af en enkelt lneær restrkton på koeffcenter lneær regressonsmodel. Asmptotske resultater for OLS: n (kap. 5). Test af flere lneære restrktoner (kap. 4.5 og 5.). regressonsmodel regressonsmodel Hvorfor smulatonsekspermenter? Monte Carlo ekspermenter: Ideen Ideen med at ntroducere smulatonsekspermenter Økonometr er at kunne llustrere vgtge statstske begreber Smulatonsekspermenter er kke dækket af Wooldrdge, så derfor benttes en note (se hemmesden) Konkret kan v vse at OLS estmatoren har en fordelng Smulatonsekspermenter vl også optræde tl øvelserne regressonsmodel 3 Smulatoner af datasæt fra en fuldt specfceret model: Datagenererende proces (DGP) Eksempel: = µ + σε, ε dn... (,) V kender de "sande parametre" µ og σ. Genererer et sæt af fx n= observatoner fra modellen:,,..., n Glemmer at v kender µ og σ : Anvend estmator ( regneregel ) tl at skønne over fx µ ud fra et konkret (men kunstgt) sæt af observatoner: Fx gennemsnttet: = n n = regressonsmodel 4

2 Monte Carlo ekspermenter: Ideen (fortsat) Monte Carlo ekspermenter: Ideen (fortsat) Kan v på en nem måde vurdere, om er en rmelg estmator for µ? Lav n uafhængg træknng af datasæt genereret af den samme DGP. Beregn værden af estmatoren for hvert datasæt: Lav mange uafhængge træknnger ( replkatoner ). Se på fordelngen af estmaterne over replkatonerne: Beregn fx fordelngens gennemsnt og varans. Parallel tl tankeekspermentet : Vores konkrete faktske datasæt er blot ét blandt mange potentelle udfald. Formål med Monte Carlo ekspermenter: Efterprøve analtske resultater: Fx at OLS er mddelret under MLR.-4. Sammenlgne forskellge estmatorer eller test, hvor det er besværlgt/umulgt analtsk. Vurdere hvor mange observatoner der skal tl for at man kan bruge asmptotske resultater prakss (kap. 5). regressonsmodel 5 regressonsmodel 6 Monte Carlo ekspermenter: Eksempel DJØFs hemmesde Veledende startløn for en prvatansat, nuddannet økonom pr.. anuar 3 er kr. 8.5 om måneden. Antag: Startlønnnger er uafhængge og normalfordelte. Sand mddelværd lønfordelngen er kr Sand lønfordelng har standardafvgelse på kr..5. Hermed er lønfordelngen fuldt specfceret. Smulere en stuaton, hvor der ndhentes en tlfældg stkprøve af n= startlønnnger. Monte Carlo ekspermenter: I prakss Trn : Konstruer et kunstgt datasæt: Opstl en model for den datagenererende proces: = µ + σε, ε N(,), µ =8,5, σ =,5. Generer et antal, fx n =, observatoner af ε fra en tlfældghedsgenerator og beregn fra modellen. Proc IML; antalobs = ; mu = (antalobs,,8.5); seedvct = (antalobs,,) ; seedvct = 7*seedvct ; e = normal(seedvct) ; = mu +.5 * e ; qut; regressonsmodel 7 regressonsmodel 8

3 Monte Carlo ekspermenter: I prakss (fortsat) Trn : Ex. sammenlgne to estmatorer: Beregn estmaterne: Fnd gennemsnt af alle observatoner: m = = Fnd gennemsnt af mndste og største observaton: m = (mn =,..., + max =,..., ) m[,]=sum()/antalobs; * estmatet m (gennemsnttet); m[,]=/*(mn()+max()); * estmatet m (gns. mn og max); Monte Carlo ekspermenter: I prakss (fortsat) Trn 3: Gentag trn og : M=. replkatoner: antalrep = ; * antal replkatoner smulatonen; m = (antalrep,,.); * vektorer tl at gemme estmaterne ; m = (antalrep,,.); do = to antalrep; * løkke over smulatoner;. <her beregnes estmater for hvert datasæt>. end; Trn 4: Analsér fordelngerne af de to sæt estmater: Hstogram Gennemsnt, varans, høere momenter regressonsmodel 9 regressonsmodel Monte Carlo ekspermenter: Eksempel Monte Carlo ekspermenter: Eksempel (fortsat) Brug algortmen tl at analsere m og m som estmatorer for mddelværden fordelngen af startlønnnger. Smulere telefonntervews med tlfældgt udvalgte, nuddannede økonomer, som oplser (?) deres startløn. SAS-programmet MC.sas udfører M=. replkatoner. Se på n=, n=5 og n=. Lnk tl SAS Mddelværd og varans af de to estmatorer baseret på M=. smulatoner m har lavest varans Varans aftager med n n= Mddelværd Varans n=5 Mddelværd Varans n= Mddelværd Varans 8,499,3 8,499,443 8,498,9 m m 8,5,89 8,499,445 8,489,46 regressonsmodel regressonsmodel 3

4 Monte Carlo ekspermenter: Eksempel: En alternatv mddelret estmator Model: = β + β + u, opflder MLR.-4 Alternatv estmator: β = x x Gennemsnt for de observatoner, der svarer tl de n /mndste og n / største værder af x Ugeseddel 3: Vs at β er mddelret. Ugeseddel 5: Sammenlgn V ( β med et ) V ( ˆ β) smulatonseksperment Monte Carlo ekspermenter: Afrundng Husk: Resultater og konklusoner fra Monte Carlo ekspermenter afhænger potentelt af de valgte parametre og fordelnger. I praktske anvendelser må man hvert enkelt tlfælde godtgøre, at den valgte model har relevans for den problemstllng, man ønsker at belse. regressonsmodel 3 regressonsmodel 4 Hpotesetest den lneære regressonsmodel: Endelge stkprøver (kap. 4) For hpotesetest behøver v fordelngen af ˆβ. Introducere derlgere antagelse: Normaltet. MLR.6: u er uafhængg af x, x,..., xk og normalfordelt med mddelværd nul og varans σ. Defnerer den klassske lneære model (CLM). Restrktv antagelse: Argument for: u opsamler alle de mange effekter der er udeladt af modellen: Central grænseværdsætnng køres stllng. Argumenter mod konkrete problemstllnger: Begrænsede varabler (postve!), andre tper af fordelnger (log-normal, dskrete). Fordelng af OLS estmatoren: Endelg stkprøve Lneartet af ˆβ u og CLM gver følgende resultat: Theorem 4.: Under CLM antagelserne og betnget på x, x,..., xk gælder at ˆ β ˆ N( β,var( β )) hvor ˆ σ Var( β ) = SST ( R ) Heraf følger: ( ˆ β β ) / standardafv.( ˆ β ) (,) N regressonsmodel 5 regressonsmodel 6 4

5 Fordelng af OLS estmatoren: Endelg stkprøve (fortsat) Theorem 4. ndeholder den ukendte parameter σ, derfor kke umddelbart operatonel. Erstattes σ af σˆ kan man vse at der gælder følgende resultat: Theorem 4.: Under CLM antagelserne og betnget på x, x,..., xk gælder at ( ˆ β ˆ β ) / standardfel( β ) tn k hvor k+ er antal regressorer modellen nkl. konstantled. t-fordelngen går mod N(,) når antallet af frhedsgrader vokser. Fn approxmaton hvs større end. regressonsmodel 7 Hpotesetest: Restrkton på en enkelt koeffcent Betragt en nulhpotese om en regressonskoeffcent: H : β = a, hvor a er en konstant. Under nulhpotesen påstår v altså en bestemt værd af en parameter den sande model. Analogt tl at specfcere en parameter DGP en for et Monte Carlo eksperment. Tænk på nulhpotesen som DGP en for et tankeeksperment: Gvet denne værd af β kender v fordelngen af ˆ β. Bruge afvgelsen mellem estmatet, βˆ og den postulerede værd, a, tl at vurdere gldgheden af nulhpotesen. regressonsmodel 8 Hpotesetest: Restrkton på en enkelt koeffcent Hpotesetest: Restrkton på en enkelt koeffcent t-testet for H : β = a er gvet ved ( ˆ β a) / standardfel( ˆ β ) og er fordelt som under nulhpotesen. Alternatvhpotesen: Ensdede alternatver: H: β > a eller H: β < a Tosdet alternatv: H: β a Ex. Afkast af uddannelse: Hpotese om β tn k Nulhpotese: β = Relevant alternatv: β? β >? Klasssk teststrateg: Vælg sgnfkansnveau: Sandsnlghed for at afvse nulhpotesen, gvet at den er sand. Tpsk vælges 5 %. Vælg alternatvhpotese: Bestemmer den krtske regon, gvet sgnfkansnveauet. Beregn teststatstk. Afvs nulhpotesen hvs testet er den krtske regon. Afvs ellers kke. Alternatv: Beregn p-værd: Margnale sgnfkansnveau som vlle betde at nulhpotesen netop vlle blve afvst. regressonsmodel 9 regressonsmodel 5

6 Hpotesetest: Restrkton på en enkelt koeffcent Hpotesetest: Eksempel: Lønrelatonen Tpske eksempler: a=: Standard sgnfkanstest. a= eller a=-: Test af homogentet eller proportonaltet. Konfdensnterval: Gvet sgnfkansnveau, α, fx 5 %. Så er - α % konfdensntervallet gvet ved: [ ˆ β ˆ ˆ ˆ tn k ( α / )standardfel( β ), β + tn k ( α / )standardfel( β )] Konstrueres ntervallet således vl det - α % af udfaldene rumme den sande værd. Nulhpoteser om værder udenfor vl således blve afvst. Sktsér på tavlen. Afhængg varabel: log(tmeløn) Regressor uddaar erfarng konstant Antal observatoner R Model (),45 (,35) _ 4,35 (,4) 46,4 Model (),485 (,3),39 (,) 4,5 (,44) 46,75 Klde: Output fra SAS-programmet lon_udd.sas regressonsmodel regressonsmodel Generel lneær restrkton Generel lneær restrkton (fortsat) Nulhpotese på lnearkombnaton af koeffcenter: H :β = β H : β+ β = 4 H: β+ β= β3 Involverer flere koeffcenter, men stadg kun en restrkton (et lghedstegn). Ex. Produktonsfunkton af Cobb-Douglas tpen med arbedskraft (L), kaptal (K) og uobserverbare faktorer (U): α β Y = AL K U I log-transformerede størrelser: = a+ αl + βk + u Test antagelse om konstant skalaafkast: H : α + β = Hpotesen er af formen: Lnearkombnaton af koeffcenterne er lg med konstant. Estmere ˆ α + ˆ β, men hvad med std.fel( ˆ α + ˆ β)? Omparametersere modellen: = a+ αl + βk + u = a+ ( α + β) l + β( k l) + u OLS af på en konstant, l og log af kaptal-arbedskraftsforholdet, k l I reparameterserng er hpotesen drekte en restrkton på koeffcenten tl l : Kald den fx λ = α + β Test restrktonen vha. t-stat. på ˆ λ Hvs CLM opfldt så eksakt t-fordelt. regressonsmodel 3 regressonsmodel 4 6