Lineær regressionsanalyse8
|
|
- Sebastian Nygaard
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lneær regressonsanalyse8
2 Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret lne dsse punkter lgger. Dette gennemgk v under overskrften Lneær regresson, sde 66, og v bestemte denne lneære funkton ved hjælp af bl.a. CAS-værktøj. Lneær regresson er altså en måde, hvorpå man tl et gvet antal punkter koordnatsystemet kan bestemme den lneære funkton, hvs graf passer bedst på dsse punkter. Den tlpassede lnje (eller estmerede) skrver v som ŷ= ax+ b. Symbolet over ŷ læses som y hat. ŷ = ax + b ŷ = f(x ) = ax + b ê = y ŷ = y (ax + b) = y ax b y x Fgur V kan på punkterne fgur se, at de er fordelt omkrng den ndtegnede rette lne. Derfor vl det være naturlgt at vælge regressonsfunktonen som den tlpassede lnje, dvs. ŷ= ax+ b. Bemærk, at v altså forlanger, at v, nden regressonsanalysen foretages, ved, hvlken type funkton der er tale om. Dette kan f.eks. som ovenstående tlfælde kontrolleres grafsk. På fguren er der ndtegnet en ret lne, der på øjemål ser ud
3 8. Lneær regressonsanalyse 337 tl at være den bedste. Men hvad vl det sge at fnde den bedste lne, og hvorfor er det den bedste? I det følgende skal v ud fra nogle gvne krterer forsøge at fnde den lne, der repræsenterer alle punkterne bedst, dvs. v skal bestemme a og b denne lnes lgnng: ŷ= ax+ b. Det er ofte sådan, at ngen af de afsatte punkter lgger på grafen for den fundne rette lne. Et krterum for at bestemme den bedste rette lne kan være, at den lodrette afstand, der måles fra punktet og op/ned tl lnen, samlet set skal være så llle som mulgt. Dvs. v kan måle afstanden fra punktet tl lnen for hvert eneste målepunkt og derefter summere alle dsse afstande. Hvs lnen er den bedste, vl den samlede summerede afstand være så llle som overhovedet mulgt. Forestller v os, at der på fgur er afsat n punkter ( x, y),( x, y ),...,( xn, yn) vl et vlkårlgt punkt kunne betegnes ( x, y ), hvor =,..., n. Denne betegnelse vl v benytte fremover. I hvert eneste punkt er y-værden y, og funktonsværden for den rette lne er yˆ = f( x) = ax + b. Derved kan v nu beregne den lodrette afstand ê (se fgur ) mellem punkt og lne. Denne forskel kalder v for den estmerede models resdualer og betegnes med ê. V har derfor at eˆ = y yˆ = y ( ax + b) = y ax b se fgur
4 Lneær regressonsanalyse Lad os se på et eksempel. Eksempel Sammenhængen mellem X og Y fremgår af tabel. X Y 50,4 60,48 65,6 75 3, , , ,48 0 4,43 5 4,60 0 4,76 Tabel Lad os prøve at bestemme resdualerne. Ved hjælp af CASværktøj bestemmer v først den bedste lnje tl yˆ 0, 039x 3, 685. = Se fgur : 4,8 4,4 4,0 3,6 3,,8,4, Fgur
5 8. Lneær regressonsanalyse 339 Resdsualerne, som er afrundet tl hele tal, fremgår af tabel : Bedste lnje Resdual Obs. nr. X Y yˆ 0, 039 x 3, 685. eˆ = y yˆ = 50,4,65 0,075 60,48,555-0, ,6,750-0, ,03 3,40-0, ,35 3,335 0, ,44 3,530-0, ,48 4,5 0, ,43 4,505-0, ,6 4,700-0, ,76 4,895-0,35 Tabel Summen af resdualerne får v tl: e = 0, 39. Symbolet 0 = betegner summen af de 0 resdualer, dvs. summen: e = e +e +e 3 + +e 0. Dette vender v tlbage tl afsnttet om test af forudsætnnger, dvs. modelkontrol. 0 Da afstanden e kan antage postve såvel som negatve værder, kan man opnå, at summen = 0, selvom alle n punkter e = lgger langt fra lnen, derfor bruges kvadratet på afstanden, e. V vl derfor undersøge den kvadrerede afstand: e = ( y yˆ ) Ved at regne med kvadratet på afstanden, er de enkelte bdrag n e 0, så den samlede sum e 0. Lghedstegnet gælder = kun, hvs alle punkter lgger på den rette lne. har opløftet anden, dvs. kvadreret Summen af de kvadrerede afstande fra alle punkter tl lnen blver nu:
6 Lneær regressonsanalyse e + e e = e = ( y y ˆ ) n n n = = = ( y ax b) + ( y ax b) ( y ax b) n n Denne størrelse udtrykker altså, hvor stor den samlede (kvadrerede) afstand er fra punkterne tl regressonslnen, og formålet må være, at gøre denne sum så llle som mulgt. har lagt alle afstandene sammen har ndsat e = y ˆ y hvor ˆ y = ax + b Menngen er nu, at v skal bestemme a og b, således at denne sum blver mnmeret. a og b er altså varable og kke konstanter, som de plejer at være. Den metode v skal anvende tl at bestemme a og b kaldes Mndste Kvadraters Metode (MKM), da a og b jo netop bestemmes således, at blver så llle som n mulgt. e = Eksempel Lad der være gvet punkterne ( 3, ), (,) og ( 58 ; ). Ved ndtegnng fås følgende y (5,8) (,) (-3,) x Fgur 3
7 8. Lneær regressonsanalyse 34 V ønsker ved hjælp af MKM at bestemme den rette n lne, der passer bedst tl punkterne, forstået sådan, at e blver så llle som = mulgt: e + e + e 3 = ( y ax b) + ( y ax b) + ( y ax b) 3 3 har skrevet de tre kvadrerede afstande op (da der er tre punkter) har ndsat e = y ax b = ( a ( 3) b) + ( a b) + ( 8 a 5 b) har ndsat koordnaterne = ( + 3a b) + ( a b) + ( 8 5a b) har reduceret Ideen er nu, at v skal bestemme a og b således, at udtrykket ( + 3a b) + ( a b) + ( 8 5a b ) mnmeres, dvs. blver så llle som mulgt. V ved fra kaptel 3 B-bogen, at en måde at mnmere en funkton på, er ved at dfferentere og sætte lg med 0. Så når v skal bestemme værden af kke én men to varable størrelser (nemlg a og b), vl v opfatte ( + 3a b) + ( a b) + ( 8 5a b ) først som en funkton, hvor a er den varable størrelse, og derefter som en funkton, hvor b er den varable størrelse. At dfferentere sådan en funkton af to varable kaldes at dfferentere partelt (partel = delvs). ) a er varabel: ha ( ) = ( + 3a b) + ( a b) + ( 8 5a b) h'( a) = ( + 3a b) 3+ ( a b) ( ) + ( 8 5 a b) 5 ( ) h'( a) = 6+ 8a 6b 4+ a+ b a+ 0b h'( a) = 70a+ 6b 78 har ndført funktonen h har dfferenteret, bl.a. ved hjælp af reglen om dfferentaton af sammensatte funktoner, se sætnng 4 kaptel B- bogen. Bemærk, at a er varabel og b er konstant. har ganget nd parenteserne har reduceret
8 34 8. Lneær regressonsanalyse ) b er varabel: kb ( ) = ( + 3a b) + ( a b) + ( 8 5a b) har ndført funktonen k k'( b) = ( + 3a b) ( ) + ( a b) ( ) + ( 8 5a b) ( ) har dfferenteret, bl.a. ved hjælp af reglen om dfferentaton af sammensatte funktoner, se kaptel B-bogen. Bemærk, at b er varabel og a er konstant. k'( b) = 6a+ b 4+ a+ b 6 + 0a+ b k'( b) = 6a+ 6b har ganget nd parenteserne har reduceret V ved også, at hvs begge funktoner skal mnmeres, skal der gælde: h'( a) = 0 og k'( b) = 0 70a+ 6b 78= 0 og 6a+ 6b = 0 følge sætnng kaptel 3 B-bogen har ndsat h'( a) og k'( b) Dette er to lgnnger med to ubekendte, som v kender fra MAT C, og hvs v løser dem med de metoder, der blev gennemgået MAT C, kaptel 3, fås: a = 0, 875 og b =, 79 og derved blver regressonsfunktonen, den bedste rette lne, yˆ = 0, 875x+, 79. Anvender v et CAS-værktøj får v følgende output: RegEqn m*x+b m b r² r Og v ser, at a = 0, 875 og b =, 79. Samme resultat som v fk ved brug af den ovenfor gennemgåede metode, MKM. Se fgur 4.
9 8. Lneær regressonsanalyse 343 y (5,8) 7 5 y = 0,875 x (,) (-3,) x Fgur 4 Øvelse Sktsér samme koordnatsystem såvel punkter som regressonslne fra eksempel. At v vrkelg har fundet et mnmum eksempel, kan v se af udtrykket, der skulle mnmeres: ( + 3a b) + ( a b) + ( 8 5a b) Hvs man forestllede sg, at v orkede at udregne dette udtryk, vlle man se, at der samlet set vl komme tl at stå 35a som et af leddene, og 3b som et andet af leddene. Begge dsse led har postve tal foran varablene a og b (nemlg 35 og 3), og så ved v fra MAT C om andengradsfunktoner, at det er parabler, der vender grenene opad. Så ved at sætte de afledede lg med 0, må det være parablernes toppunkter, dette tlfælde altså deres mnmumspunkter, v fnder. V kan let overbevse os selv om, at den gennemgåede metode eksempel 6 er tdkrævende med flere punkter end de tre koordnatsystemet. Så v konkluderer følgende uden bevs:
10 Lneær regressonsanalyse Sætnng Lad ( x, y ),( x, y ),...,( x, y ) n n være en række punkter et koordnatsystem. Den rette n n lne f( x)= ax + b mnmerer e = ( y ax b), hvs: = = a = n = ( x x) ( y y) n = ( x x) og b = y ax x og y står for gennemsnttene for x- og y-koordnaterne, og det vser sg, at regressonslnen går gennem punktet ( xy, ). Lad os se, hvordan dsse formler fungerer prakss: Eksempel 3 V vender tlbage tl eksempel med punkterne (-3,), (,) og ( 58, ). V udregner: x = = 3 og y = = 3, Herefter fås ved brug af sætnng : a = n = ( x x) ( y y) n = ( x x) a = ( 3 ) ( 3, 667 ) + ( ) ( 3, 667 ) + ( 5 ) ( 8 3, 667) ( 3 ) + ( ) + ( 5 ) har udregnet de to gennemsnt følge sætnng har ndsat koordnaterne a = 0, 875 har udregnet b= y ax følge sætnng b = 3, 667 0, 875 b =, 79 har ndsat de kendte størrelser har udregnet Dermed er værderne for a og b de samme som eksempel.
11 8. Lneær regressonsanalyse 345 Af CAS-udskrften ovenfor fremgår tllge at r = 0, 94 og r = 0, 855. Tallet r kaldes korrelatonskoeffcenten, og det angver hvor god overensstemmelse, der er mellem den beregnede funkton og de punkter, der er opgvet. Hvs der er fuldstændg overensstemmelse, er r = r =, og hvs der slet kke er nogen overensstemmelse, er r = 0. Hvs lnen er aftagende er r negatv. Værderne af r vl lgge ntervallet: r. Tallet r kaldes determnatonskoeffcenten, og den angver tlpasnngsgraden af en estmeret regressonslne. Hvs der er fuldstændg tlpasnng, er r =, og hvs der slet kke er nogen tlpasnng, er r = 0. Værderne af r vl lgge ntervallet: 0 r, hvlket betyder, at r kan opfattes som en procentdel, og det er meget almndelgt at konklusonen for r = 0, 855 er, at 85,5 % af varatonen den afhængge varabel (y) kan forklares af varatonen den uafhængge varabel (x). V kan gennemføre regressonsanalyser som er baseret på andre end lneære sammenhænge. V bestemmer altså på forhånd hvlken type regresson v vl gennemføre. Nedenfor fremgår resultatet af en eksponentel regressonsanalyse med de samme punkter som ovenfor. Som det ses, har både r og r bedre værder, hvorfor den eksponentelle funkton f( x) =, 943, 97 er bedre overensstemmelse med de x gvne data. V skal kke gå nærmere nd de forskellge regressonstyper, men alene se på lneære regressoner. Resultat af eksponentel regressonsanalyse: RegEqn a*b^x a b r² r
12 Lneær regressonsanalyse Eksempel 4 Sammenhængen mellem X og Y fra eksempel er: X Y 50,4 60,48 65,6 75 3, , , ,48 0 4,43 5 4,60 0 4,76 Tabel 3 V ønsker at bestemme korrelatons- og determnatonskoeffcenten. Ved hjælp af CAS-værktøj får v følgende resultat: r² r Som det ses, er der en høj grad af lneær overensstemmelse samt tlpasnngsgrad mellem X og Y. Anvender v fortolknngen af r som v så ovenfor, betyder det dette eksempel, at 97,4 % af varatonen (udsvng) den afhængge varabel (Y) kan forklares af varatonen (udsvng) den uafhængge varabel (X). Øvelse Sammenhængen mellem dsponbel ndkomst efter fradrag af faste udgfter og daglgvareforbrug pr. husholdnng, fremgår af tabel 4.
13 8. Lneær regressonsanalyse 347 Indkomst Forbrug Tabel 4 Bestem den bedste rette lne samt r og r regresson. vha. lneær Øvelse 3 Sammenhængen mellem ugentlg salg tusnde kr. og testscores for en stkprøve bestående af 8 salgskonsulenter fremgår af tabel 5: Ugentlg salg Test scores Tabel 5 Bestem den bedste rette lne samt r og r vha. lneær regresson.
14 Lneær regressonsanalyse Øvelse 4 Prsen på DVD-afspllere sættes forskellgt 8 forskellge regoner af landet, se nedenfor. Prsen er opgvet hundrede dollar, se tabel 6: Antal solgt Prs 5,5 6,0 6,5 6,0 5,0 6,5 4,5 5,0 Tabel 6 Bestem den bedste rette lne samt r og r regresson. vha. lneær Test lneære regressoner Spørgsmålet er, om det v har gennemgået ovenfor, er tlstrækkelg tl at anvende resultatet fra en lneær regresson tl prognoser? Når vores resultater baseres på populatonsdata, vl resultatet af undersøgelsen være sand. Men, som v har set kaptlet om test MAT B-bogen, vl v prakss sjældent undersøge et spørgsmål ved at bruge data fra hele populatonen, men ved at udtage en stkprøve fra populatonen. Det betyder, at resultatet af sådan en stkprøve er behæftet med uskkerhed, det en anden stkprøve fra samme populaton jo kunne gve et andet resultat. V må derfor supplere ovenstående med gennemførelse af test lneære regressoner. I denne sammenhæng vl v koncentrere os to test:. Test af forudsætnnger.. Test af om stgnngstallet β antager vsse værder, herunder konfdensnterval for lnjens stgnngstal. β er det teoretske stgnngstal den lneære regressonsmodel: y= a+β x. β er det græske bogstav, der svarer tl b Læg mærke tl at forhold tl den måde v normalt skrver lnens lgnng y= ax+ b på, er det almndelgt statstkbøger at skrve det som y= a+β x.
15 8. Lneær regressonsanalyse 349 Styrken ved lneær regresson lgger endvdere det faktum, at modellen, som nævnt, kan anvendes tl forudsgelser (prognoser), hvorfor det er særdeles vgtgt, at v kan stole på modellens resultater. Når v gennem lneær regresson fastlægger den bedste lne, er det udtryk for et estmat, som v resten af kaptlet skrver således: ŷ= a+ bx. Læg mærke tl, at modellen har en hat over y et, hvlket betyder, som v så ovenfor, at der er tale om et bedste bud (= estmat) for den lneære sammenhæng. b angver stgnngstallet og a skærng med y-aksen. V gennemfører altså kke en test af modellens hældnngskoeffcenten b, men af den teoretske hældnngskoeffcent β. Test af forudsætnnger, modelkontrol Som v har set ovenfor defnerede v resdualerne som forskellen mellem de observerede og de tlpassede y-værder, dvs.: eˆ y yˆ =. Den vgtgste forudsætnng, som skal være opfyldt, for gennemførelse af smpel lneær regressonsanalyse er, at: E( e ) = 0, dvs. at mddelværden af resdualerne skal være 0, eller tæt på 0. Hvs der kke ekssterer en lneær sammenhæng mellem de to varable, vl den bedste lnje kke gve de rgtge værder for de fleste x-værder, og mddelværden af resdualerne vl være forskellg fra 0. Normalt vl man, udover at teste om E( e ) = 0, skulle undersøge om yderlgere fre forudsætnnger er opfyldt. V nøjes denne sammenhæng med at nævne to af dsse forudsætnnger:. e erne er normalfordelte. σ σ ( e ) =, dvs. samme sprednng for alle resdualerne Eksempel 5 Lad os se på de data v har fra eksempel, og undersøge om forudsætnngen E e ( ) = 0 er opfyldt. Ved hjælp af CAS-værktøj får v tegnet en tendenslnje, se fgur og fgur 5 øverst.
16 Lneær regressonsanalyse 0 Som v kan se af fgur 5 er punkterne pænt og jævnt fordelt omkrng regressonslnen, hvorfor forudsætnngen ser 0 ud tl at være opfyldt. V så endvdere, at e = 0, 39, hvlket betyder, at E( e )= 0, 039, e = 0, 39, hvlket betyder, at E( e )= 0, 039, som ermeget tæt på0. = V kan endvdere tegne et såkaldt resdualplot over resdualerne, jfr. tabel. Resdualplottet ses nedenfor fgur 5 sammen med tendenslnjen: = y 4,8 4,4 4,0 3,6 3,,8 y = 0, x ,4, x 0,30 0,5 0,00-0,5 Fgur 5 Nedenfor fgur 6 har v medtaget et plot og en tendenslne hvor forudsætnngen kke er opfyldt, da punkterne kke lgger pænt og jævnt fordelt omkrng regressonslnen, men lgger klumper på hver sde af regressonslnen.
17 8. Lneær regressonsanalyse 35 y 6 4 y = 0, x + 8, Fgur x Øvelse 5 Anvend data fra henholdsvs øvelse, 3 og 4 og undersøg ved hjælp af tendenslnen om forudsætnngen E( e ) = 0 ser ud tl at være opfyldt. Beregn eventuelt E( e ). Suppler eventuelt med et resdualplot. β -test I en β -test tester man følgende hypoteser: H 0 : β = 0 ; ngen lneær sammenhæng mellem Xog Y H : β 0 ; lneær sammenhæng mellem Xog Y Man undersøger om der er en lneær sammenhæng mellem den afhængge varabel (Y) og den uafhængge varabet (X). Af H 0 ses det, at hvs β = 0 vl alle X-værder blve ganget med 0, og X-værderne vl dermed kke påvrke Y-værderne. Kun hvs H 0 afvses, dvs. at β 0, tyder det på, at der fndes en lneær sammenhæng. Når v gennemfører en β -test undersøger v altså om β antager vsse værder.
18 35 8. Lneær regressonsanalyse Følgende defnton er vgtg: Defnton Den lneære regressonsmodel y = a+βx er sgnfkant, hvs β 0 Det skal fastslås at en model, som er sgnfkant betyder, at alle p-værderne, med hensyn tl hældnngskoeffcenten β, er mndre end sgnfkansnveauet α. Se kaptel 7 B-bogen. Lad os se på et eksempel, hvor der er udtaget en stkprøve og hvor v ønsker at gennemføre en β -test. Eksempel 6 For at få undersøgt årsagerne tl udsvngene salget af cykelhjelme, har man sammenlgnet salget med en række andre varable. De enkelte data er ndsamlet for 4 tlfældgt udvalgte måneder og gengves nedenstående tabel. I undersøgelsen ndgk der 3 forskellge varable, salg af cykler, reklamendex og prsndex, der havde ndflydelse på salget af cykelhjelme. V vl koncentrere os salg af cykler, dvs. én varabel (= smpel lneær regresson), det v kke skal komme nærmere nd på det, der betegnes som multpel lneær regressonsanalyse.
19 8. Lneær regressonsanalyse 353 Sammenhængen mellem salg af cykler og salget af cykelhjelme. Salg af cykler x Salg af cykelhjelme y Tabel 7 Anvender v et CAS værktøj får v følgende resultat: RegEqn m*x+b m b r² r
20 Lneær regressonsanalyse y y = 0, x 46, Fgur 7 Som det ses af plottet og CAS-udskrften kan den estmerede model fastlægges således: yˆ = 46, , 0637 x. Af værderne r og r kan v endvdere se, at der er en god overensstemmelse og forklarngsgrad mellem salget af cykler og salget af cykelhjelme. x For at gennemføre en β -test, opstller v, jfr. ovenfor, følgende hypoteser: H H 0 : β = 0 : β 0 Som det ses af H 0 har salget af cykler ngen ndflydelse på salget af cykelhjelme. På samme måde ses det af H at salget af cykler vl have ndflydelse på salget af cykelhjelme. V skal kke gå detaljer med selve teoren bag denne test, men koncentrere os om testresultatet, hvor v vl fokusere på p-værden.
21 8. Lneær regressonsanalyse 355 Beslutnngsregel Ved fastlæggelse af et sgnfkansnveau på α = 005, vl v afvse nulhypotesen hvs p < α. Eksempel 7 Anvender v data fra eksempel 6 og bruger et CAS-værktøj får v følgende resultat: Alternatv Hyp β 0 RegEqn a+b*x PVal E-7 df. V skal fokusere på tallet PVal = p-værd. Ved p-værden forstås sandsynlgheden for at observere noget, der er mndst lge så ekstremt som det forelggende, på betngelse af at nul-hypotesen er korrekt. Sagt på en anden måde: Sgnfkanssandsynlghed kan fortolkes som sandsynlgheden for at forskellen mellem det forventede (hypotetske) og det observerede (= observerede salg af cykelhjelme på bass af solgte cykler) er tlfældg. Er sandsynlgheden tlstrækkelgt llle, dvs. p < α, antages forskellen (afvgelsen) kke tlfældg og så forkastes påstanden dvs. nulhypotesen (H o ). Tallet er skrevet på såkaldt eksponentel form, hvlket betyder, at tallet 6,7733 skal ganges med0 =, eller mere populært sagt, så skal du flytte kommaet 7 pladser tl venstre, hvlket gver os en p-værd = 0, Ifølge beslutnngsreglen kan v afvse nulhypotesen (v sger at parameteren salg af cykler er sgnfkant, da p-værden er stort set 0), hvlket betyder, at det med 95 % sandsynlghed må antages, at der fndes en lneær sammenhæng mellem salget af cykler og salget af cykelhjelme.
22 Lneær regressonsanalyse Som tdlgere nævnt lgger styrken den lneære regresson, at man kan anvende modellen tl prognoser eller forudsgelser. I vores eksempel vl det være nteressant at kunne forudsge salget af cykelhjelme på bass af et antal solgte cykler, hvor de anvendte data kke har været en del af stkprøven. Det skal dog bemærkes, at man skal være meget forsgtg med at lave forudsgelser, når man anvender x-værder (dvs. salg af cykler) udenfor det observerede nterval, da v jo kke kan have skkerhed for, at udvklngen salg af cykelhjelme fortsætter lneært. Den estmerede model er, jævnfør eksempel 6: yˆ = 46, , 0637 x, for 4987 < x < 744. Ønsker v at forudsge antallet af solgte cykelhjelme ved et salg på cykler, som lgger ndenfor ntervallet, se tabel 7, så kan v bestemme dette vha. følgende: yˆ = aˆ+ bx ˆ. V ndsætter modellen: y ˆ = 46, , = 67, Det må altså forudsges, at ved et salg på cykler, vl det kunne forventes at der sælges 67 cykelhjelme. Problemet med denne forudsgelse er, at der kke tages højde for den uskkerhed der er knyttet hertl. V vl derfor stedet bestemme det såkaldte 95 % forudsgelsesnterval. Igen skal v kke komme nærmere nd på formlerne bag bestemmelsen af dette nterval, men anvende et CAS-værktøj tl at beregne det. V får v følgende: Antal solgte cykelhjelme vl med 95% sandsynlghed lgge mellem 6 og 309, når der sælges 6500 cykler. Øvelse 6 I denne øvelse skal du arbejde vdere med eksemplet ovenfor, det salget af cykelhjelme nu søges forklaret vha. reklamendex. Reklamendex er et ndex for det anvendte beløb tl reklame. Tallene fremgår af tabel 8.
23 8. Lneær regressonsanalyse 357 Reklame-ndex x Salg af cykelhjelme y Tabel 8 a) Bestem den bedste lneære model, der forklarer salget af cykelhjelme på bass af reklamendex. b) Vurder modellens holdbarhed vha. r og r. c) Gennemfør en β -test. d) Bestem et 95 % forudsgelsesnterval på salget af cykelhjelme, hvs reklamendex er 80. Øvelse 7 I denne øvelse skal du gen arbejde vdere med eksemplet ovenfor, det salget af cykelhjelme nu søges forklaret vha. prsndexet. Prsndexet er udtryk for det generelle prsnveau samfundet de valgte måneder. Tallene fremgår af tabel 9. Sammenhængen mellem prsndex og salget af cykelhjelme.
24 Lneær regressonsanalyse Prsndex x Salg af cykelhjelme y Tabel 9 a) Bestem den bedste lneære model, der forklarer salget af cykelhjelme på bass af prsndex. b) Vurder modellens holdbarhed vha. r og r. c) Test forudsætnngen om at E( e ) = 0. Suppler eventuelt med et resdualplot. d) Gennemfør en β - test. e) Bestem et 95 % forudsgelsesnterval på salget af cykelhjelme, hvs prsndex er henholdsvs og 6. Tl sdst vl v se på fastlæggelse af konfdensnterval for lnens hældnngskoeffcent. Et konfdensnterval er, som v så kaptel 7 MAT B-bogen, et nterval hvor v med en vs stor sandsynlghed har tlld tl, at den sande værd for lnens hældnngskoeffcent lgger. Uden at v kommer yderlgere nd på det, bestemmes et konfdensnterval for lnens hældnngskoeffcent ved hjælp af CAS-værktøj.
25 8. Lneær regressonsanalyse 359 Eksempel 8 Lad os gen tage udgangspunkt de data v har fra eksempel. Ved hjælp af CAS-værktøj får v følgende 95 % -konfdensnterval for hældnngskoeffcenten b: 0, 0337 < b < 0, Det betyder, at b med 95 % skkerhed lgger mellem 0,0337 og 0,0439. Eksempel 9 Lad os nu tage udgangspunkt eksempel 6, hvor v så på sammenhængen mellem salg af cykler og salg af cykelhjelme. Ved hjælp af CAS-værktøj får v følgende 95 % -konfdensnterval for hældnngskoeffcenten b: 0, 0490 < b < 0, Af dette kan v tolke, at b med 95 % skkerhed lgger mellem 0,0490 og 0,0785. V er altså 95 % skre på, at antallet af solgte cykelhjelme stger med et antal mellem 0,0490 og 0,0785, når salget af cykler stger med. Øvelse 8 Anvend data fra øvelse, 3 og 4 tl bestemmelse af et 95 % -konfdensnterval for hældnngskoeffcenten b.
26 Lneær regressonsanalyse Opgaver Opgave Marketngafdelngen en større vrksomhed har samarbejde med deres brancheorgansaton besluttet at nvestere salgsfremmende foranstaltnnger. Salget af vare A påvrkes selvfølgelg af prsen. For at vurdere denne faktor har de første omgang bedt statstkafdelngen om at udarbejde en regressonsanalyse, som beslutnngsgrundlag. Resultatet fremgår af tabel 0. Prsndeks for vare A Antal solgte vare A Tabel 0 a) Bestem den bedste lneære model, der forklarer salget af vare A på bass af prsndex. b) Vurder modellens holdbarhed vha. r og r. c) Test forudsætnngen om at E( e ) = 0. Suppler eventuelt med et resdualplot. d) Gennemfør en β -test. e) Bestem et 95 % forudsgelsesnterval på salget af vare A, hvs prsndex er 05.
27 8. Lneær regressonsanalyse 36 Opgave Vrksomheden IT Onlne, som kke øjeblkket har harddsk-optagere st sortment, ønsker på grund af den store efterspørgsel at udvde st sortment tl også at omfatte harddsk-optagere. For at få en fornem melse af hvlke harddsk-optagere der sælger bedst, har vrksomheden ndhentet salgsoplysnnger på 5 tlfældg forskellge harddskoptagere for aprl 0. I første omgang har man koncentreret sg om sammenlgnng af prs og afsætnng. Resultatet ses tabel. Afsætnng Prs kr Tabel a) Bestem den bedste lneære model, der forklarer salget af harddsk-optagere på bass af prsen. b) Vurder modellens holdbarhed vha. r og r. c) Test forudsætnngen om at E( e ) = 0. Suppler eventuelt med et resdualplot. d) Gennemfør en β -test. e) Bestem et 95 % forudsgelsesnterval på salget af harddsk-optagere, hvs prsen er 80 kr.
28 36 8. Lneær regressonsanalyse Opgave 3 En vrksomhed sælger hængelåse og marketngafdelngen har undersøgt sammenhængen mellem antal solgte hængelåse og prsen på hængelåsene, udtrykt ved henholdsvs prsndekset samt den korte rente. Sammenhængen fremgår af tabel. Tabel Antal solgte hængelåse Den korte rente Prsndeks for hængelåse 700 3,00 0 7, , , 398 3, , , , , , ,0 0 Gennemfør en lneær regressonsanalyse samt β -test forklaret ved henholdsvs den korte rente og prsndeks. Vurder hvlken model, der bedst gver en forklarng på antal solgte hængelåse. Du kan også gennemføre forudsgelser.
29 8. Lneær regressonsanalyse 363 Opgave 4 Udvklngen prsndeks for ejendomssalg fordelt på enfamlehuse peroden Sammenhængen fremgår af tabel 3. Prsndeks for ejendomssalg (006=00) efter td og ejendomskategor Enfamlehuse , 008 0, , , , , ,4 00 6, , , , , , , , , ,0 99 3, Tabel 3 Klde: Statstkbanken, Danmarks Statstk. a) Gennemfør en lneær regressonsanalyse samt β -test. b) Test forudsætnngen om at E( e ) = 0. Suppler eventuelt med et resdualplot. c) Bestem et 95 % -konfdensnterval for hældnngskoeffcenten b. Du kan eventuelt overveje hvad der er årsagerne tl, at prsndekset er faldet fra 006 tl 009.
30 Lneær regressonsanalyse Opgave 5 Fra sundhedsmyndghedernes sde er man nteresseret at undersøge hvad der er bestemmende for sprtusforbruget. Man har udtaget en stkprøve på 4 personer og sammenlgnet sprtusforbruget med deres alder og uddannelsestd. Resultatet fremgår af tabel 4. Sprtusforbrug Antal genstande pr. uge alder Uddannelsestd Antal år alt Tabel 4
31 8. Lneær regressonsanalyse 365 a) Gennemfør to lneære regressonsanalyser, hvor den forklarende varabel er henholdsvs alder og uddannelsestd. b) Undersøg gennem en β -test af de to regressoner hvlken af de to varable (alder eller uddannelsestd), der gver den bedste forklarng på det ugentlge sprtusforbrug. Opgave 6 Brug Danmarks Statstks Databank tl at gennemføre lneære regressonsanalyser samt β -test.
32 Lneær regressonsanalyse Sammenfatnng I lneær regressonsanalyse bestemmes den bedste lneære sammenhæng mellem måleresultater af to varable x og y. Resdualerne bestemmes som: eˆ = y yˆ. Test forudsætnngen om at E( e ) = 0. Metoden tl bestemmelse af den bedste lne kaldes Mndste Kvadraters Metode (MKM). β-test ( β = det græske bogstav beta): Den lneære regressonsmodel ŷ= a+β x er sgnfkant, hvs β 0. For at gennemføre en β -test opstller v følgende hypoteser: H H 0 : β = 0 : β 0 Beslutnngsregel vedr. β -test: V fastsætter sgnfkansnveauet tl α = 005, og vl afvse nulhypotesen hvs p < α. Konfdensnterval for lnens hældnngskoeffcent bestemmes ved hjælp af CAS-værktøj. 95 % forudsgelsesnterval: Angver med 95 % sandsynlghed hvlket nterval det må antages at det afhængge varabel vlle lgge.
Statistik Lektion 15 Mere Lineær Regression. Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineære Regression
Statstk Lekton 15 Mere Lneær Regresson Modelkontrol Prædkton Multpel Lneære Regresson Smpel Lneær Regresson - repetton Spørgsmål: Afhænger y lneært af x?. Model: y = β + β x + ε ε d N(0, σ 0 1 2 ) Systematsk
Læs mereStatistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel
Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k
Læs merePrøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse
Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne
Læs mereBilag 6: Økonometriske
Marts 2015 Blag 6: Økonometrske analyser af energselskabernes omkostnnger tl energsparendsatsen Energstyrelsen Indholdsfortegnelse 1. Paneldataanalyse 3 Specfkaton af anvendte panel regressonsmodeller
Læs mereRegressionsanalyse. Epidemiologi og Biostatistik. 1.Simpel lineær regression (Kapitel 11) systolisk blodtryk og alder
Regressonsanalyse Epdemolog og Bostatstk Mogens Erlandsen, Insttut for Bostatstk Uge, torsdag (forelæsnng) 1.Smpel lneær regresson (Kaptel 11) systolsk blodtryk og alder. Multpel lneær regresson (Kaptel
Læs mereBinomialfordelingen. Erik Vestergaard
Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk
Læs mereEKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 27. JANUAR 2006, KL 9-13
EKSAMEN I MATEMATIK-STATISTIK, 7. JANUAR 006, KL 9-13 [HER STARTER STATISTIKDELEN] Opgave 3 (5%): Bologsk baggrundsnformaton tl forståelse af opgaven: Dr producerer kke altd lge meget afkom af hvert køn.
Læs mereLandbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen
Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødnng Angelo Andersen.. Problemformulerng I forbndelse med ønsket om at reducere kvælstof udlednngen fra landbruget kan det være nyttgt at undersøge hvordan landbruget
Læs mereStatikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller
Statkstk II 3. Lekton Multpel Logstsk regresson Generelle Lneære Modeller Defntoner: Repetton Sandsynlghed for at Ja tl at være en god læser gvet at man er en dreng skrves: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlghed
Læs mereØkonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1
Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen
Læs mereUdvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol
Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING
Læs mereSandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen
Sandsynlghedsregnng og statstk med bnomalfordelngen Katja Kofod Svan og Olav Lyndrup Januar 09 Indhold Stokastske varable... 3 Mddelværd og sprednng... 6 Bnomalfordelngen... Andre sandsynlghedsfordelnger...
Læs mereOpsamling. Simpel/Multipel Lineær Regression Logistisk Regression Ikke-parametriske Metoder Chi-i-anden Test
Opsamlng Smpel/Multpel Lneær Regresson Logstsk Regresson Ikke-parametrske Metoder Ch--anden Test Opbygnng af statstsk model Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelsøgning Modelkontrol
Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelsøgnng Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E[ y] = α...
Læs mereKvantitative metoder 2
Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen
Læs mereStatistik II Lektion 4 Generelle Lineære Modeller. Simpel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Flersidet Variansanalyse (ANOVA)
Statstk II Lekton 4 Generelle Lneære Modeller Smpel Lneær Regresson Multpel Lneær Regresson Flersdet Varansanalyse (ANOVA) Logstsk regresson Y afhængg bnær varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller
Læs mereMorten Frydenberg Biostatistik version dato:
Morten Frydenberg Bostatstk verson dato: -4- Bostatstk uge mandag Morten Frydenberg, Afdelng for Bostatstk Resume: Hvad har v været gennem ndtl nu Lneær (normal) regresson en kontnuert forklarende varabel
Læs mereØkonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)?
Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 004 Hovedemnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (kap. 8.-8.3) Lneære sandsynlghedsmodel (kap 7.5) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan
Læs mereBinomialfordelingen: april 09 GJ
Bnomalfordelngen: aprl 09 GJ Spm A 14: Sandsynlghedsregnng og statstk. Efter en kort ntrodukton af grundlæggende begreber sandsynlghedsregnng og statstk skal du skal ntroducere bnomalfordelngsmodellen
Læs mereIndtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder
Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Oblgatorsk opgave 2 Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Opgavens prmære formål er at lgne formen på tag-hjem delen af eksamensopgaven. Der
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 10. Regression med både kvantitative og kvalitative forklarende variable Modelkontrol
Anvendt Statstk Lekton 0 Regresson med både kvanttatve og kvaltatve forklarende varable Modelkontrol Opsummerng I forbndelse med multpel lneær regresson så v på modeller på formen E y] = α... [ 3 3 4 4
Læs mereStatikstik II 4. Lektion. Generelle Lineære Modeller
Statkstk II 4. Lekton Generelle Lneære Modeller Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel X 1,,X k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet X + k = E( Y X ) = α + β x + + β
Læs mere6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag
Afdelng for Epdemolog Afdelng for Bostatstk 6. SEESTER Epdemolog og Bostatstk Opgaver tl 3. uge, fredag Data tl denne opgave stammer fra. Bland: An Introducton to edcal Statstcs (Exercse 11E ). V har hentet
Læs mereØkonometri 1. Test for heteroskedasticitet. Test for heteroskedasticitet. Dagens program. Heteroskedasticitet 26. oktober 2005
Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 005 Emnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-8.4) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan fnder man en effcent estmator?
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne
Læs mereØkonometri lektion 7 Multipel Lineær Regression. Testbaseret Modelkontrol
Økonometr lekton 7 Multpel Lneær Regresson Testbaseret Modelkontrol MLR Model på Matrxform Den multple lneære regressons model kan skrves som X y = Xβ + Hvor og Mndste kvadraters metode gver følgende estmat
Læs mereTabsberegninger i Elsam-sagen
Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot
Læs mereKvantitative metoder 2
Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.4) Kvanttatve metoder Heteroskedastctet 6. aprl 007 Sdste gang: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Whte s korrekton af OLS varansen Test for heteroskedastctet
Læs mereBeregning af strukturel arbejdsstyrke
VERION: d. 2.1.215 ofe Andersen og Jesper Lnaa Beregnng af strukturel arbedsstyrke Der er betydelg forskel Fnansmnsterets (FM) og Det Økonomske Råds (DØR) vurderng af det aktuelle output gap. Den væsentlgste
Læs mereInertimoment for arealer
13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme
Læs mereØkonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9
Økonometr 1 Efterår 006 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Opsamlng på Ugeseddel 8 Gruppearbejde SAS øvelser Ugeseddel 9 består at undersøge, om der er heteroskedastctet vores model for væksten og så fald,
Læs mereStatistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel
Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Opbygnng af statstsk model Eksploratv data-analyse Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen
Læs mereNote til Generel Ligevægt
Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den
Læs mereUgeseddel 8. Gruppearbejde:
Ugeseddel 8 Gruppearbejde: 1. Ved at nkludere en dummyvarabel for et bestemt landeområde, svarer tl at konstatere, at dsse lande har nogle unkke karakterstka, som har betydnng for væksten, som kke gør
Læs mereFagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00
Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt
Læs mereDLU med CES-nytte. Resumé:
Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbejdspapr* Grane Høegh 17. august 2006 DLU med CES-nytte Resumé: Her papret undersøges det om en generalserng af den bagvedlggende nyttefunkton DLU fra Cobb-Douglas med
Læs mereLuftfartens vilkår i Skandinavien
Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng for valg af transportform Af Mette Bøgelund og Mkkel Egede Brkeland, COWI Trafkdage på Aalborg Unverstet 2000 1 Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng
Læs mereFTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte
FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:
Læs mereReal valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved
Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den
Læs mereχ 2 -fordelte variable
χ -fordelte varable Defnton af χ -fordelngen Kvadratsummen V n af n uafhængge standardserede normalfordelte stokastske varable sges at være χ -fordelt med n frhedsgrader. V n fremkommer altså som V n =
Læs mereNOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014
Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvanttatve metoder 2 Instrumentvarabel estmaton 14. maj 2007 KM2: F25 1 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen F25: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler
Læs mereKvantitative metoder 2
y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen Kvanttatve metoder Instrumentvarabel estmaton 4. maj 007 F5: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler En regressor,
Læs mereHusholdningsbudgetberegner
Chrstophe Kolodzejczyk & Ncola Krstensen Husholdnngsbudgetberegner En model for husholdnngers daglgvareforbrug udarbejdet for Penge- og Pensonspanelet Publkatonen Husholdnngsbudgetberegner En model for
Læs mereHVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij
HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.
Læs mereNOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013
Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august
Læs mereForberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave
MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.
Læs mereKvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9
Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Introdukton af problemstllng og datasæt Gruppearbejde SAS øvelser Paneldata for tlbagetræknngsalder Ugesedlen analyserer et datasæt med
Læs mereRettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2007I, Økonometri 1
Rettevejlednng tl Økonomsk Kanddateksamen 2007I, Økonometr Vurderngsgrundlaget er selve opgavebesvarelsen og blaget. Programmer og data, som er afleveret elektronsk, bedømmes som sådan kke, men er anvendt
Læs mereBrugen af R^2 i gymnasiet
Downloaded from orbt.dtu.dk on: Dec 0, 017 Brugen af R^ gymnaset Brockhoff, Per B.; Hansen, Ernst; Ekstrøm, Claus Thorn Publshed n: LMFK-Bladet Publcaton date: 017 Document Verson Publsher's PDF, also
Læs mereFRIE ABELSKE GRUPPER. Hvis X er delmængde af en abelsk gruppe, har vi idet vi som sædvanligt i en abelsk gruppe bruger additiv notation at:
FRIE ABELSKE GRUPPER. IAN KIMING Hvs X er delmængde af en abelsk gruppe, har v det v som sædvanlgt en abelsk gruppe bruger addtv notaton at: X = {k 1 x 1 +... + k t x t k Z, x X} (jfr. tdlgere sætnng angående
Læs mereNotat om porteføljemodeller
Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng
Læs mereBrugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn
Brugerhåndbog Del IX Formodel tl beregnng af udlandsskøn September 1999 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 3 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 1. Indlednng FUSK er en Formodel tl beregnng af UdlandsSKøn.
Læs mereAnalytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter
Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen kak@dtu.dk, psjq@dtu.dk DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej 399 4000, Rosklde, Danmark 17.
Læs mere2. Sandsynlighedsregning
2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har
Læs mereKreditrisiko efter IRBmetoden
Kredtrsko efter IRBmetoden Vacceks formel Arbejdspapr, oktober 2013 1 KRAKAfnans - Fnanskrsekommssonens sekretarat Teknsk arbejdspapr udkast 15. oktober 2013 Indlednng Det absolutte mndstekrav tl et kredtnsttut
Læs merePRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC
PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC MEDDELELSE NR. 1075 Vrknngsgraden (gennemslaget) tl en produktonsbesætnng for avlsværdtallet for hanlg fertltet Duroc blev fundet tl 1,50, hvlket
Læs mereKvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10
Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 0 Program for øvelserne: Gennemgang af teoropgave fra Ugesedel 9 Gruppearbejde og plenumdskusson SAS øvelser, spørgsmål -4. Sdste øvelsesgang (uge 2): SAS øvelser,
Læs mereNøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat.
Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Kaptel 14 IVERS MODELLERIG Torben Obel Sonnenborg Geologsk Insttut, Københavns Unverstet Anker Laer Høberg Hydrologsk Afdelng, GEUS øglebegreber:
Læs mereFra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde
Fra små sjove opgaver tl åbne opgaver med stor dybde Vladmr Georgev 1 Introdukton Den største overraskelse for gruppen af opgavestllere ved "Galle" holdkonkurrenen 009 var en problemstllng, der tl at begynde
Læs mereØkonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13
Økonometr 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Prram for øvelserne: Gruppearbejde plenumdskusson SAS øvelser Øvelsesopgave: Vækstregressoner (fortsat) Ugeseddel 13 fortsætter den emprske analyse af vækstregressonen
Læs mereØkonometri 1. Interne evalueringer. Interne evalueringer. Dagens program. Heteroskedaticitet (Specifikation og dataproblemer) 2.
Dagens program Øonometr 1 Heterosedatctet (Specfaton og dataproblemer). november 005 dataproblemer 1 Interne evaluernger Emner for denne forelæsnng: Heterosedastctet (ap 8.4-8.5) Egensaber ved FGLS Esempel
Læs mereFastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke
d. 23.5.2013 Fastlæggelse af strukturel arbedsstyrke Dokumentatonsnotat tl Dansk Økonom, Forår 2013 For at kunne vurdere økonomens langsgtede vækstpotentale og underlggende saldoudvklng og for at kunne
Læs mereSandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlghedsregnng. forelæsnng Bo Frs Nelsen Matematk og Computer Scence Danmarks Teknske Unverstet 800 Kgs. Lyngby Danmark Emal: bfn@mm.dtu.dk Dagens nye emner afsnt 6.5 Den bvarate normalfordelng Y
Læs mereLøsninger til kapitel 12
Løsnnger tl kaptel 1 Opgave 1.1 HypoStat gver umddelbart: ft = 7 En P Teststørrelse H 0 : Alle P passer mandag 80 0,14857 48,8571 3,89737 H 1 : Ikke alle P passer trsdag 30 0,14857 48,8571 1,48899 onsdag
Læs mereØkonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder I 24.november F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1
Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder I 24.november 2006 F18: Avancerede Paneldata Metoder I 1 Paneldatametoder Sdste gang: Paneldata begreber og to-perode tlfældet (kap 13.3-4) Uobserveret effekt modellen:
Læs mereScorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?
Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer
Læs mereØkonometri 1. Avancerede Paneldata Metoder II Introduktion til Instrumentvariabler 27. november 2006
Økonometr 1 Avancerede Paneldata Metoder II Introdukton tl Instrumentvarabler 27. november 2006 Paneldata metoder Sdste gang: Paneldata med to eller flere peroder og fxed effects estmaton. Første-dfferens
Læs mere10. Usikkerhed og fejlsøgning
93 10. Uskkerhed og fejlsøgnng Forbrugerprsndekset er baseret på en stkprøve af varer og tjenester og derfor behæftet med uskkerhed. Kaptlet ndledes derfor med en gennemgang af de væsentlgste klder tl
Læs mereVægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen
Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge
Læs mereStøbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005
Støbnng af plade Køreplan 01005 Matematk 1 - FORÅR 2005 1 Ldt hstorsk baggrund Det første menneske beboede Jorden for over 100.000 år sden. Arkæologske studer vser, at det allerede havde opdaget fænomenet
Læs merewww.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din skridt-for-skridt guide til den nye Online Rapport (OLR) Online Rapport
Onlne Rapport Introdukton Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn skrdt-for-skrdt gude tl den nye Onlne Rapport (OLR) Vgtg nformaton tl alle krker og organsatoner Ikke flere paprlster Sangrapporten går nu onlne
Læs mereAntag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.
Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles
Læs mereEstimation af CES - forbrugssystemet med og uden dynamik: -fcf/fcfv sammenhold med fcv/fcfv -fct/fcts sammenhold med fcs/fcts
Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbejdspapr [udkast] Andreas Østergaard Iversen 140609 Estmaton af CES - forbrugssystemet med og uden dynamk: -fcf/fcfv sammenhold med fcv/fcfv -fct/fcts sammenhold med fcs/fcts
Læs mereSERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013
SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.
Læs mereSamarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet
BEU - 14.9.2009 - Dagsordenspunkt: 3 09-0855 - JEFR - Blag: 3 Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser nden for FTFområdet Det ndstlles: At BEU tlslutter sg, at KL/FTF-aftalen søges poltsk forankret gennem
Læs mereDANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74
DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 211 74 Johan Gustav Kaas Jacobsen Danmarks Natonalbank Søren Truels Nelsen Danmarks Natonalbank Betalngsvaner Danmark September 211 The Workng Papers of Danmarks Natonalbank
Læs mereUndersøgelse af pris- og indkomstelasticiteter i forbrugssystemet - estimeret med AIDS
Danmarks Statstk MODELGRUPPEN Arbedspapr* Mads Svendsen-Tune 13. marts 2008 Undersøgelse af prs- og ndkomstelastcteter forbrugssystemet - estmeret med AIDS Resumé: For at efterse nestnngsstrukturen forbrugssystemet
Læs merefaktaark om nybygningens og 5. sporets kapacitet
Trafkudvalget 2008-09 TRU alm. del Blag 602 Offentlgt greve kommune holbæk kommune høje-taastrup kommune shøj kommune kalundborg kommune lejre kommune odsherred kommune rosklde kommune solrød kommune vallensbæk
Læs mereStatistisk mekanik 13 Side 1 af 9 Faseomdannelse. Faseligevægt
Statsts mean 3 Sde af 9 Faselgevægt Hvs hver fase et PVT-system behandles særslt, vl hver fase alene raft af mulgheden for faseomdannelser udgøre et åbent system. Ved generalserng af udtry (3.48) fås dermed
Læs mereTEORETISKE MÅL FOR EMNET:
TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber
Læs mereUdviklingen i de kommunale udligningsordninger
Udvklngen de kommunale udlgnngsordnnger af Svend Lundtorp AKF Forlaget Jun 2004 Forord Dette Memo er skrevet de sdste måneder af 2003, altså før strukturkommssonens betænknng og før Indenrgsmnsterets
Læs mereVi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser
Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ
Læs mereStadig ligeløn blandt dimittender
Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2013. Og den gennemsntlge startløn er nu på den pæne sde af 32.000 kr.
Læs mereBLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet.
BLÅ MEMOSERIE Memo nr. 208 - Marts 2003 Optmal adgangsregulerng tl de vderegående uddannelser og elevers valg af fag gymnaset Karsten Albæk Økonomsk Insttut Købenavns Unverstet Studestræde 6, 1455 Købenavn
Læs mereEuropaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt
Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Blag 365 Offentlgt Notat Kemkaler J.nr. MST-652-00099 Ref. Doble/lkjo Den 5. maj 2010 GRUNDNOTAT TIL FOLKETINGETS EUROPAUDVALG Kommssonens forslag om tlpasnng tl den
Læs mereFOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN!
FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! Bornholms Regonskommune står for Folkemødets praktske rammer. Men det poltske ndhold selve festvalens substans blver leveret af parter, organsatoner, forennger, vrksomheder og
Læs mereStatistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation
Statstk Lekto 4 Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures ( ad Sales ( Et scatterplot vser par (, af observatoer.
Læs mereKulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan.
Vdenscenter for Transkulturel Psykatr har ekssteret sden 2002 og skal fremme psykatrsk udrednng, dagnostk, behandlng, pleje og opfølgnng af patenter, der har en anden etnsk baggrund end dansk. Kulturel
Læs mereKunsten at leve livet
Kunsten at leve lvet UNGE - ADFÆRD - RUSMIDLER 3. maj 2011 Hvad er msbrug? Alment om den emotonelle udvklng Hvem blver msbruger? Om dagnoser Om personlghedsforstyrrelser Mljøterap, herunder: - baggrund
Læs mereVariansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger
Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en
Læs mereNoter til fysik 3: Statistisk fysik
Noter tl fysk 3: Statstsk fysk Martn Sparre www.logx.dk August 27 Bemærk, at log x denne note er den naturlge logartme. Denne verson er fra d. 16 November, hvor flere trykfejl er blevet rettet. 1 Entrop
Læs mereFysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori
Fysk 3 Indhold Termodynamk John Nclasen 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler 1.2 Boolsk Algebra 1.3 Betngede Udsagn 1.4 Regneregler 1.5 Bayes' formel 2. Fordelnger 2.1 Symboler 2.2 Bnomal Fordelngen 2.3 ultnomal
Læs mereHandleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri)
for Myndghed (Handcap og Socalpsykatr) Baggrund Økonomudvalget besluttede den 17. maj 2010, at der bl.a. på Myndghedsområdet for Handcap og Socalpsykatr skal udarbejdes en handleplan som følge den konstaterede
Læs mereMen tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.
χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge
Læs merePrøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse
Økonometr Forår 00 Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer
Læs mere1. Beskrivelse af opgaver inden for øvrig folkeskolevirksomhed
Bevllngsområde 30.32 Øvrg folkeskolevrksomhed Udvalg Børne- og Skoleudvalget 1. Beskrvelse opgaver nden for øvrg folkeskolevrksomhed Området omfatter aktvteter tlknytnng tl den almndelge folkeskoledrft
Læs mereeconstor zbw www.econstor.eu
econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publkatonsserver der ZBW Lebnz-Informatonszentrum Wrtschaft The Open Access Publcaton Server of the ZBW Lebnz Informaton Centre for Economcs Jacobsen, Johan Gustav
Læs mereMorten Frydenberg Biostatistik version dato:
Morten Frydenberg Bostatstk verson dato: -03-0 Effektmodfkaton Hvad er det - Kvantfcerng - Test Bostatstk uge 7 mandag Morten Frydenberg, Afdelng for Bostatstk Vægtede gennemsnt - Formler for standard
Læs mereGeometriske afskrivningsrater i NR
Danmarks Sask MODLGRUPP Arbejdspapr* Grane H. Høegh. jul 22 Geomerske afskrvnngsraer R Resumé: Man vl gerne naonalregnskabsrevsonen 24 gå over l geomerske afskrvnnger. Dee papr beskrver konsekvensen for
Læs mere