Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel (Wooldridge 8.5). Dagens program: Heteroskedasticitet 30. oktober 2006

Transkript

1 Dagens program: Øonometr 1 Heterosedastctet 30. otober 006 Effcent estmaton under heterosedastctet (Wooldrdge 8.4): Sdste gang: Kendte vægte - Weghted Least Squares (WLS) Generalzed Least Squares (GLS) Uendt form for heterosedastctet: Feasble Generalzed Least Squares (FGLS) Lneær sandsynlghedsmodel (Wooldrdge 8.5). Øonometr 1: F13 1 Øonometr 1: F13 1

2 Hvordan fnder man en mere effcent estmator end OLS? Hvs man nu onstruerer et nyt fejlled som u h vl den betngede varans vl være onstant: 1 1 1,, = ( 1,, ) = σ = σ ( ) h h h u V x x x V u x x x h Forudsætter at h-funtonen er endt! Uendt form af heterosedastctet (som sal estmeres) I mange tlfælde er den esate form for heteros. uendt (dvs. h er uendt) men h an modelleres og efterfølgende estmeres Ved at benytte hˆ stedet for h an man gen transformere den oprndelge model. I den transformerede model benyttes så OLS. Denne procedure aldes Feasble ( ladsggørlg ) GLS (FGLS) Øonometr 1: F13 3 Øonometr 1: F13 4

3 Uendt form af heterosedastctet (som sal estmeres) Der fndes mange måder at modellere heterosedastctet. Her er gennemgået en verson. Antag at varansen er gvet ved Vu ( x) = σ exp( δ0 + δ1x1+ + δx) (*) Bemær: Varansen er altd postv Varansen er proportonal med exp( δ0 + δ1x δx) For at unne orrgere er det nødvendgt at ende værden af parametrene. δ Uendt form af heterosedastctet (som sal estmeres) Hvs varansen er gvet ved (*) gælder der følgende: u = σ exp( δ0 + δ1x1+ δx + δx) v Ev ( x) = 1 Gvet uafhængghed mellem x og v an parametrene estmeres ved OLS følgende regressonsmodel: log( ) α0 δ1 1 δ δ u = + x + x + x + e hvor modellen opfylder MLR.1 MLR.4, så OLS vl gve mddelrette estmatorer. Men: Fejlleddet observeres e. Øonometr 1: F13 5 Øonometr 1: F13 6 3

4 Uendt form af heterosedastctet (som sal estmeres) Når parametrene sal estmeres erstattes fejlledene med OLS resdualerne hjælpelgnngen uˆ = α + δ x + δ x + δ x + e log( ) (**) Ud fra parameterestmaterne udregnes h hˆ = exp( gˆ ) = exp( ˆ α + ˆ δ x + ˆ δ x + ˆ δ x ) WLS an så udføres med hˆ stedet for h Alternatvt an hjælperegressonen (**) erstattes med log( uˆ ) = α + δ yˆ + δ yˆ + fejl 0 1 Hypotesetest med FGLS estmater FGLS er onsstent og asymptots mere effcent end OLS F- og t-test er asymptots hhv. F- og t-fordelte. Når man laver F-test med WLS er det vgtgt at den restrterede og den urestrterede model er estmeret med de samme vægte Proceduren for F-test med FGLS Estmer den urestrterede model med OLS Udregn vægtene Estmer den urestrterede model med dsse vægte: WLS Estmer den restrterede model med samme vægte Udfør F-testet Øonometr 1: F13 7 Øonometr 1: F13 8 4

5 FGLS WLS (FGLS) og OLS Procedure for FGLS 1. Estmer den oprndelge model med OLS: y = β + β x + + β x + u. Udregn OLS resdualerne og onstruer log( ) 3. Estmer hjælperegressonen: log( )= uˆ uˆ α δ x + + δ x + e 4. Udregn de predterede værder gˆ fra regressonen 3 5. Udregn derefter hˆ: hˆ= exp( gˆ ) 6. Estmer modellen y = β + β x + + β x + u med WLS hvor vægten er 1/ hˆ Sammenlgnng af WLS og OLS OLS og WLS estmater an være (meget) forsellge Hvs OLS og WLS er statsts sgnfant forsellge, bør man være varsom med at fortole resultaterne. Dette an være tegn på msspecfaton (specelt at antagelse MLR.4 e er opfyldt). Øonometr 1: F13 9 Øonometr 1: F

6 Lneær sandsynlghedsmodel NB er I den lneære sandsynlghedsmodel er der heterosedastctet: V ( y x) = p( x)*(1 p( x)) p( x) = β0 + β1x1+ + βx Det følger så hvordan h sal onstrueres nemlg som h ˆ ˆ = y(1 y) Problem: Det an foreomme at Ad hoc orreton: yˆ yˆ Eller brug OLS og heteros. robuste standardfejl. yˆ = 0.99 hvs yˆ > 1 = 0.01 hvs yˆ < 0 > 1 eller yˆ < 0 En effcent estmator tllægger hver observaton/resdual en vægt, der er omvendt proportonal med varansen på fejlleddet. Parametrene er de samme som den oprndelge model og sal fortoles ud fra den. Øonometr 1: F13 11 Øonometr 1: F13 1 6

7 Næste gang: Mandag den 6. november Specfaton og dataproblemer: Kaptel Funtonel form msspecfaton Proxyvarabler Øonometr 1: F