Sandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen

Transkript

1 Sandsynlghedsregnng og statstk med bnomalfordelngen Katja Kofod Svan og Olav Lyndrup Januar 09

2 Indhold Stokastske varable... 3 Mddelværd og sprednng... 6 Bnomalfordelngen... Andre sandsynlghedsfordelnger... 9 Normalfordelngen... 9 Bnomaltest... Konfdensntervaller... 9 Appendx Hypergeometrsk fordelng Bevs for mddelværd om bnomalfordelng... 37

3 Stokastske varable Ekspermenter, der kke kan forudsges, kaldes stokastske ekspermenter. De varable man arbejder med stokastske ekspermenter kaldes stokastske varable. Stokastske varable optræder blandt andet beskrvelse af en række splstuatoner, som ternngkast, lottospl, kortspl mm., men også flere andre stuatoner som for eksempel ved beregnng af sandsynlgheden for at få fem børn af samme køn. Tl et stokastsk eksperment hører et udfaldsrum U { u u u } =,,..., n, som består af mængden af de mulge udfald. For eksempel vl udfaldsrummet ved kast med én ternng, hvor man tæller øjne, være U =,,3, 4,5,6. { } Tradtonelt benyttes stort U tl at betegne udfaldsrummet, mens llle u benyttes tl at betegne et enkelt udfald udfaldsrummet. De enkelte udfald nummereres ved hjælp af et ndex, som kan antage værderne fra tl n, når der er n udfald udfaldsrummet. Tl hvert af udfaldene u udfaldsrummet U knyttes en sandsynlghed p, som er et tal mellem 0 og. I eksemplet med ternngen er sandsynlgheden for et bestemt antal øjne, dvs. et af de seks udfald u, u,..., u 6, den samme, nemlg. Bogstavet p kommer fra engelsk probablty. 6 Bemærk, at der benyttes samme ndex på sandsynlghederne p som på udfaldene u, dvs. tl udfaldet u hører sandsynlgheden p. Sammenhængen mellem udfald og sandsynlghed opskrver v ofte en sandsynlghedstabel: Udfald u u u u n Sandsynlghed p p p p n Summen af alle sandsynlghederne vl altd være. Hvs v for eksempel kun er nteresserede nogle af udfaldene udfaldsrummet, så samler v dem en delmængde af U og kalder denne delmængde for en hændelse, som v betegner H. V sammenfatter ovenstående en defnton: Defnton Sandsynlghedsfelt Et endelgt udfaldsrum U med tlhørende sandsynlghedstabel kaldes for et endelgt sandsynlghedsfelt. De enkelte sandsynlgheder lgger mellem 0 og : 0 p, =... n. Summen af sandsynlghederne gver : p + p p n =. En delmængde H af udfaldsrummet kaldes en hændelse. Sandsynlgheden for hændelsen H er summen af de sandsynlgheder, der hører tl de enkelte udfald hændelsen. Hvs alle udfald U har samme sandsynlghed, så kaldes sandsynlghedsfeltet for et symmetrsk sandsynlghedsfelt. 3

4 Eksempel Kast med en ternng Hvs v kaster en ternng og lader den stokastske varabel X tælle antallet af øjne på ternngen, så har v et symmetrsk sandsynlghedsfelt med følgende sandsynlghedstabel: Stokastsk varabel X = x Sandsynlghed P( X = x ) Af denne tabel kan man for eksempel aflæse, at der er 6 hvlket også kan skrves som PX= ( ) =. 6 sandsynlghed for at få en er, At slå en er eller en 5 er et kast med en ternng er et eksempel på en hændelse, H = {,5}. V sger, at ere eller 5 ere er gunstge udfald for undersøgelse af hændelsen H, ford det netop er dsse de udfald, der ndgår hændelsen. I hændelsen H ser v altså bort fra de andre udfald, 3, 4 og 6. Eksempel Det tyske Lotto I det tyske Lotto er der 49 kugler en beholder, og kuglerne er nummereret med tallene,, ¼, 49. Fra beholderen trækkes én kugle ad gangen, og der trækkes seks kugler alt som tlsammen udgør et udfald. Når v trækker et udfald bestående af 6 kugler, kan man fx tænke på stuatonen, som en tabel med 6 celler, der Grafk: skal udfyldes med de tal, v trækker. Første gang v trækker en kugle, er der altså 49 kugler, dvs. tal, at vælge mellem. Anden gang er der så 48 mulgheder osv Et eksempel på et udfald kunne være de 6 tal: {,3,8,9,,35}. Den rækkefølge, tallene udtrækkes, er lgegyldg, så {,3,8,9,,35} er det samme udfald som {,8,35,,9,3}. Når v skal have netop dette udfald, har v altså 6 mulgheder, når v trækker den første kugle, ford v kan kun bruge et af tallene,, 3, 8, 9, og 35. Derefter har v kun 5 mulgheder tlbage, ford v allerede har placeret et af de 6 tal celle nummer : Sandsynlgheden for netop dette udfald er således: antal gunstge udfald = = 7,5 0 antal mulge udfald Opgave I et andet Lotto er der 56 kugler en beholder, og kuglerne er nummereret med tallene,, ¼, 56. Fra beholderen trækkes én kugle ad gangen, og der trækkes alt syv kugler. a) Bestem antallet af mulge udfald dette Lotto. b) Opskrv et selvvalgt mulgt udfald, og bestem sandsynlgheden for dette udfald. 4

5 V ndfører nu en stokastsk varabel tl at beskrve de forskellge udfald udfaldsrummet med tal. Populært sagt sætter v den stokastske varabel tl at tælle de ens udfald. Hvs v fx kaster to ens ternnger og ser på, at summen af øjentallene gver 7, så er de mulge udfald: {,6}, {,5} og {3,4}. Da summen af øjentallene skal være 7, så skrver v X = 7. V vl senere se, at sandsynlgheden for, at X = 7 er 6 =. V skrver PX= ( 7) = Defnton Stokastsk varabel I et endelgt sandsynlghedsfelt er en stokastsk varabel X en funkton, der tl hvert udfald U knytter et reelt tal. Sandsynlgheden for, at X antager værden x, skrves som PX ( = x ), og det beregnes som summen af sandsynlghederne for de udfald, der knyttes tl x. Tl en stokastsk varabel X knytter v en sandsynlghedstabel, hvor sandsynlghederne for, at den stokastske varabel antager værden x, betegnes p : Stokastsk varabel X = x x x x n Sandsynlghed P X x ) ( = p p p n Bemærk, at betegnelsen p er en generel betegnelse for en sandsynlghed, som v bruger om både et udfalds sandsynlghed og en sandsynlghed for, at en stokastsk varabel antager en bestemt værd. V kan forstå X som en varabel, der kan være lg med n forskellge værder x. Hvs n er 0, så kan den stokastske varabel X antage 0 forskellge værder. Hvert af tallene x optræder med en sandsynlghed p. Hvs v gen ser på kast med to ternnger, hvor X tæller summen af øjentallene, så kan X antage forskellge værder:,3,...,. V vl senere beregne sandsynlgheden knyttet tl hver x-værd. De enkelte sandsynlgheder p er tal, der alle lgger ntervallet [ 0; ], og summen af alle sandsynlghederne p er. Udtrykket PX= ( ) = 0,3 skal læses sådan, at den stokastske varabel X kan antage værden, dvs. X =, og sandsynlgheden for dette, dvs. PX= ( ), er lg med 0,3. Opgave Kast med to mønter V kaster nu med to ens mønter og hvert kast tæller v antallet af mønter, der vser krone. Her bestemmes eksempelvs sandsynlgheden for at få 0 krone, dvs. PX= ( 0), ved at tælle de gunstge udfald for dette eksperment. Da v kan få 0 krone på én måde, så er antal gunstge udfald lg med. a) Forklar, at X kan være lg med tallene 0, og. b) Opskrv de mulge udfald, med betegnelserne p = plat og k = krone, dvs. hvs begge mønter vser plat, så betegnes udfaldet pp. c) Tæl op, og angv antallet af gunstge udfald for hver af: X = 0, X = og X =. 5

6 d) Udfyld sandsynlghedstabellen nedenfor, det du hvert tlfælde udregner antal gunstge udfald antal mulge udfald : Stokastsk varabel X = x 0 Sandsynlghed P( X = x ) Mddelværd og sprednng I det følgende ser v på mddelværd, varans og sprednng for en stokastsk varabel. Det er tre tal, som sger noget om den stokastske varabels sandsynlghedsfordelng. De tre størrelser mddelværd, varans og sprednng kender v allerede fra emnet deskrptv statstk, og v kender formler for udregnng af de tre størrelser den sammenhæng. Hvs v tænker på sandsynlghederne som frekvenser, så svarer mddelværden tl et vægtet gennemsnt af de tal, som den stokastske varabel X kan antage. Vægtet betyder, at man beregnngen tager hensyn tl, hvlken sandsynlghed tallene optræder med. Varans og sprednng er to værder, der fortæller noget om, hvor langt de talværder, som den stokastske varabel X antager, lgger fra mddelværden. Defnton 3 Mddelværd af en stokastsk varabel Mddelværden af en stokastsk varabel X betegnes m, og udregnes som det vægtede gennemsnt: m = p x + p x pn xn. Man anvender også betegnelsen E( X ) for mddelværden af en stokastsk varabel X. Betegnelsen E stammer fra det engelske ord Expected value, som betyder forventet værd. Store tals lov sger, at gennemsnttet af rgtg mange udfald af en stokastsk varabel X vl nærme sg mddelværden m, deraf betegnelsen den forventede værd. Eksempel 3 Kast med en ternng fortsat Sandsynlghedstabellen for kast med en ternng, hvor den stokastske varabel X tæller antallet af øjne på ternngen, er vst herunder. Stokastsk varabel X = x Sandsynlghed P( X = x ) Mddelværden af X blver følge defntonen: m = = 3, Hvs v tegner et søjledagram for X sammen med mddelværden, så får v: 6

7 Eksemplet vser, at m = 3,5 kke er blandt x erne. Mddelværden kan altså godt antage en værd, der kke optræder blandt de mulge værder for den stokastske varabel. Eksempel 4 Kast med to ternnger V kaster med to ternnger og tæller summen af de to ternngers øjne. V kan llustrere udfaldene følgende tabel: Ternng Ternng {, } {,} Her bestemmes eksempelvs PX= ( 3) ved først at tælle antal gunstge udfald for summen 3. V tæller her to, da v kan få 3 øjne på to måder {, } og {,}. V tæller herefter antal mulge udfald, som her er 66 = 6= 36, da der er seks mulgheder for hver ternng. Hermed bestemmes sandsynlgheden for at få summen 3 ved et kast med to ternnger: antal gunstge udfald PX= ( 3) = =. antal mulge udfald 36 Sandsynlghedsfordelngen for den stokastske varabel X blver dermed: 7

8 Stokastsk varabel X = x Sandsynlghed P( X = x ) Tegnes et søjledagram for X får v. Opgave 3 Benyt defnton 3 tl at bestemme mddelværden for denne stokastske varabel X. Du skal få m = 7. De fleste værktøjsprogrammer har ndbyggede kommandoer tl at tegne søjledagram og bestemme mddelværd. Opgave 4 En stokastsk varabel X, der tæller antallet af krone ved kast med 3 mønter, har følgende sandsynlghedsfordelng. Stokastsk varabel X = x 0 3 Sandsynlghed P( X = x ) a) Indtast sandsynlghedsfordelngstabellen dt værktøjsprogram. b) Undersøg, hvordan man kan tegne søjledagrammer dt værktøjsprogram, og tegn et søjledagram for sandsynlghedsfordelngen dt værktøjsprogram. c) Bestem mddelværden for X dt værktøjsprogram. Du skal få m =,5. 8

9 Defnton 4 Varans og sprednng af en stokastsk varabel Varansen, Var( X ), af en stokastsk varabel X med mddelværden m repræsenterer det gennemsntlge afstandskvadrat tl mddelværden m. Det udregnes som: Var( X) = p ( x - m) p ( x - m). n n Sprednngen, s, udregnes som kvadratroden af varansen: s = Var( X ). Det gennemsntlge afstandskvadrat tl mddelværden er et mål for, hvor langt den stokastske varabels talværder gennemsntlgt lgger fra mddelværden. Værden x - m betegner afstanden fra x tl m (regnet med fortegn). V ønsker kke negatve afstande, så derfor ser v på afstandskvadratet, dvs. v kvadrerer afstanden, så v får ( x - m). Derefter udregner v det vægtede gennemsnt af dsse ved at gange med sandsynlghederne. Når de stokastske varables talværder lgger langt fra mddelværden får v en høj varans, og omvendt får v en llle varans, hvs de lgger tæt på. De kvadrerede afstande vægtes med de tlhørende sandsynlgheder, hvorved de udfald, der kun optræder med llle sandsynlghed, bdrager mndre tl varansen, end de udfald, der optræder med større sandsynlghed. Fguren nedenfor vser to søjledagrammer for to stokastske varable med samme mddelværd, men med forskellg varans og dermed forskellg sprednng. Når v udfører et stokastsk eksperment, så repræsenterer sprednngen en vs forstand den forventede afstand, et udfald vl have tl mddelværden. Dette gælder, ford v tager kvadratroden af varansen, når v skal beregne sprednngen. Sprednngen er specelt brugbar, når man har to sammenlgnelge ekspermenter. 9

10 Eksempel 5 Kast med en ternng V benytter defntonen tl at bestemme varans og sprednng for den stokastske varabel X, der tæller antallet af øjne ved kast med én ternng. V har tdlgere udregnet m = 3,5. V udregner varansen for X: Var( X ) = (- 3,5) + (- 3,5) + (3-3,5) + (4-3,5) + (5-3,5) + (6-3,5) =,9 Og herudfra sprednngen for X: s = Var( X ) =,9 =,7. Opgave 5 Benyt defnton 4 tl at bestemme varans og sprednng for den stokastske varabel, der tæller summen af øjnene ved kast med to ternnger. De fleste værktøjsprogrammer har ndbyggede kommandoer tl at bestemme varans og sprednng. Opgave 6 a) Undersøg, hvlke kommandoer dt værktøjsprogram anvender tl bestemmelse af varans og sprednng for en stokastsk varabel X. b) Benyt programmet tl at beregne mddelværd, varans og sprednng for en stokastsk varabel X, der angver summen af øjne ved kast med to ternnger. c) Opstl et regneark dt værktøjsprogram, der vser sandsynlghedsfordelngen. d) Benyt programmet tl at tegne et søjledagram for sandsynlghedsfordelngen. Når v udfører et stokastsk eksperment, så forventer v, at værderne for den stokastske varabel lgger nden for en rmelg afstand fra mddelværden. Sprednngen angver, hvor stor denne afstand kan være. Det kan dog ske, at v får værder, der lgger langt fra mddelværden, men selvfølgelg ganske sjældent. V defnerer herunder, hvlke værder for den stokastske varabel v vl anse for normale, og hvlke v vl anse for exceptonelle. Defnton 5 Normale og exceptonelle værder 3 3 En værd x for en stokastsk varabel X kaldes normal, hvs den lgger nden for to sprednnger fra mddelværden m, dvs. m- s x m+ s. En værd x for en stokastsk varabel X kaldes exceptonel, hvs den lgger længere væk end tre sprednnger fra mddelværden m, dvs. x < m- 3s eller x > m+ 3s. exceptonelle udfald normale udfald exceptonelle udfald 4 0

11 Opgave 7 Kast med to ternnger V kaster med to ternnger, og den stokastske varabel X betegner summen af øjnene. a) Bestem de værder for X, der er normale. b) Bestem de værder for X, der er exceptonelle. Bnomalfordelngen I mange praktske stuatoner har v kun to udfald. Dsse stuatoner kan typsk modelleres med bnomalfordelngen. V vl det følgende se nærmere på bnomalfordelngen, samt anvendelser heraf. Eksempler på bnomalmodeller kan være et vst antal kast med en ærlg mønt, hvor v har to udfald; plat og krone. Sandsynlgheden for at få plat er, hver gang v kaster mønten. Et andet eksempel er kast med en ternng, hvor sandsynlgheden for at få en sekser er 6, hver gang v kaster ternngen. Bnomalmodeller er kendetegnet ved, at det samme eksperment gentages en række gange. Dette eksperment kaldes for bassekspermentet, og de enkelte bassekspermenter modellen antages kke at påvrke hnanden, v sger de er uafhængge. Et basseksperment har netop to mulge udfald, som v kalder henholdsvs succes og fasko. Sandsynlgheden for at få succes et basseksperment kaldes basssandsynlgheden. Basssandsynlgheden er således den samme hvert basseksperment. V betragter nu en generel stuaton, hvor v laver n uafhængge gentagelser af et basseksperment. I hvert forsøg er der to mulge udfald; succes og fasko. Sandsynlgheden for succes, dvs. basssandsynlgheden, som jo er den samme alle n bassekspermenter, benævnes p, hvor 0 < p <. Sandsynlgheden for fasko blver dermed - p, ford summen af de to sandsynlgheder jo skal være. V ndfører en stokastske varabel X, der tæller antallet af succeser. Så er X bnomalfordelt, og v skrver X ~ bnp (, ), hvor n kaldes antalsparameteren, og p kaldes sandsynlghedsparameteren. V repeterer herunder begreberne fakultet og kombnatoner, som er vgtge elementer bnomalfordelngens sandsynlghedsfunkton. Defnton 6 Fakultetstallene For et naturlgt tal n forstås det n te fakultetstal n! som produktet af de n første hele tal, dvs. Desuden gælder, at 0! =. n! = n (n ) (n ) Kombnatoner og bnomalkoeffcenter For hele tal n og r, hvor 0 r n, defneres bnomalkoeffcenten K( n, r ) ved n! Knr (, ) =. r!( n - r)! Eksempel 6 V har et sæt med 5 almndelge spllekort. Hvs v udtager 3 spllekort blandt de 5 spllekort, så kan v udregne antallet af forskellge måder, som v kan få de 3 spllekort på, ved 5! 5! K (5,3) = = = ! (5-3)! 3! (39)!

12 En af dsse mange delmængder kan være delmængden med dsse 3 spllekort, som v har taget blandt alle 5 spllekort: Sætnng K( n, r ) angver hvor mange delmængder med r elementer, der kan udtages af en mængde med n elementer. Bevs V bevser dette ved at sætte r elementer fra en mængde på n elementer rækkefølge på to forskellge måder. Metode : V antager først, at v skal vælge blandt n elementer og sætte dsse rækkefølge på r pladser. På første plads kan man vælge mellem alle n elementer, på anden plads mellem n- elementer, på tredje plads mellem n - elementer, osv. Efter den næstsdste plads har v brugt r - elementer, og der er derfor n-( r- ) elementer at vælge mellem tl den sdste plads. Plads 3 r Antal elementer n n- n - n-( r- ) Der er altså alt n ( n-) ( n-)... ( n-( r- )) forskellge måder at sætte r elementer fra en mængde på n elementer rækkefølge på. V kan omskrve dette udtryk tl: n ( n-) ( n-)... ( n-( r- )) = ( n- r)! n ( n-) ( n-)... ( n-( r-)) = ( n- r)! n ( n-) ( n-)... ( n-( r-)) ( n-r)! = ( n- r)! n ( n-) ( n-)... ( n-( r -)) ( n-r) ( n- ( r + ))... 3! = ( n- r)! n! ( n- r)! Ganger udtrykket ( n- r )!, som jo er, på ( n- r)! Ganger op tælleren Skrver ( n- r)! ud Udnytter at n! = n ( n-)... ( n-( r -)) ( n-r) ( n-r -)... Antallet af forskellge måder v kan sætte r elementer fra en mængde på n elementer rækkefølge på kan n! altså beregnes ved. ( n- r)!

13 Metode : V antager, at v først vælger r elementer blandt de n elementer, og herefter sætter dem rækkefølge på de r pladser. Når de r elementer, v har valgt, skal sættes rækkefølge, kan man på den første plads vælge mellem alle de r elementer, på anden plads mellem r - osv. På den sdste plads er der kun element tlbage at vælge mellem. Der er altså alt r ( r-)... = r! måder at sætte de r elementer rækkefølge på. Men de r elementer kan jo vælges på flere måder, og v vl antage, at r elementer kan udvælges blandt n elementer på x måder. Det betyder så, at der vl være alt x r! måder at sætte r elementer fra en mængde på n elementer rækkefølge på. Sammenlgnng af metode og : I hver af de to metoder har v opskrevet to udtryk for det samme. Dsse må derfor gve samme resultat, og v får derfor, at: n! x r! = ( n - r)! n! x = r!( n - r)! x= K( n, r) Sætter de to udtryk lg med hnanden Dvderer med r! på begge sder Udnytter defnton 6 Da x er antallet af måder, hvorpå man kan udvælge r elementer blandt n elementer, er det ønskede bevst, dvs. at man med bnomalkoeffcenten K( n, r ) kan beregne antallet af måder hvorpå, v kan udvælge en delmængde med r elementer fra en mængde med n elementer. Opgave 8 Bnomalkoeffcenter kan nemt beregnes med de fleste værktøjsprogrammer. a) Undersøg, hvordan dt værktøjsprogram beregner bnomalkoeffcenter, og beregn K (0,5), K (0,0) og K (0,9). I en bnomalmodel kan sandsynlgheden for, at der optræder r succeser ud af alt n mulge, beregnes ved hjælp af bnomalkoeffcenter: Sætnng Hvs X ~ bnp (, ), så beregnes bnomalsandsynlgheder således: r n r P( X = r) = K( n, r) p ( - p) -, hvor n er antalsparameteren, og p er sandsynlghedsparameteren. Bevs PX ( = r) angver sandsynlgheden for, at der optræder r succeser ud af de n mulge n bassekspermenter. De bassekspermenter, der kke resultater succes, resulterer jo fasko, så derfor må der optræde n- r faskoer. Sandsynlgheden for succes bassekspermentet er p, og sandsynlgheden for fasko er så - p. En måde, hvorpå v kan få netop r succes er og dermed netop n- r fasko er, er ved at v får succes de første r gange og fasko de sdste n- r gange de n bassekspermenter. Ser v på netop den stuaton, så, så kan v udregne sandsynlghederne således: Sandsynlgheden for succes de første r gange er: p p... p= p r gange r Sandsynlgheden for fasko de næste n- r gange er: ( -p) ( -p)... ( - p) = ( -p) n-r n-rgange r n r Derfor er sandsynlgheden for udfaldet: r succes er og n- r fasko er samlet set p ( - p) -. 3

14 Uanset, på hvlken måde v trækker de r elementer, så er sandsynlgheden gvet ved det samme udtryk: r n r p ( - p) - (overvej!). V vl derfor kunne bestemme den samlede sandsynlghed for at opnå netop r succes er ved at lægge sandsynlghederne for hver af måderne sammen. Men v ved fra sætnng, at antallet af forskellge måder, hvorpå man kan trække r elementer ud af en mængde med n elementer, kan beregnes med K( n, r ). Dvs. når v tager hensyn tl antallet af måder, hvorpå v kan trække de r elementer, så blver den samlede sandsynlghed for at opnå r succeser: r n r P( X = r) = K( n, r) p ( - p) -. Hermed er det ønskede bevst. Eksempel 7 Der trækkes et kort blandt 5 almndelge spllekort. Det noteres, om kortet er et blledkort, hvorefter kortet lægges tlbage bunken. Dette kan betragtes som 3 bassekspermentet en bnomalfordelng, hvor basssandsynlgheden er p = = 5 3. Bassekspermentet gentages 6 gange, og v ndfører den stokastske varabel X, der tæller antallet af blledkort. Sandsynlghedsfunktonen for bnomalmodellen blver derfor: æ 3ö æ 3ö PX ( = r) = K(6, r) - ç è3 ø çè 3 ø r 6-r. Opgave 9 Udfyld sandsynlghedstabellen for den stokastske varabel X, der tæller antallet af 3 blledkort bnomalmodellen b (6, ) fra ovenstående eksempel. 3 X = r PX ( = r) Eksempel 8 Kast med en mønt 0 gange Hvs v kaster en ærlg mønt 0 gange, og lader den stokastske varabel X tælle antallet af krone, så er X bnomalfordelt med antalsparameter n = 0 og sandsynlghedsparameter p = 0,5. V kan nu bestemme sandsynlgheder for forskellge udfald ved hjælp af bnomalfordelngens sandsynlghedsfunkton. Sandsynlgheden for, at ngen kast gver krone : 0! PX= = = = = 0!0! ( 0) K(0,0) 0,5 0,5 0,5 0,5 9,

15 Dvs. sandsynlgheden for, at ngen af de 0 kast gver krone eller med andre ord, sandsynlgheden for, at alle de 0 kast gver plat, er 0, %. Sandsynlgheden for, at ét kast gver krone : 0! PX= = = = =!9! ( ) K(0,) 0,5 0,5 0,5 0,5 0 0,5, Dvs. sandsynlgheden for, at ét kast gver krone eller med andre ord, sandsynlgheden for, at 9 kast gver plat er 0,00907%. I de matematske værktøjsprogrammer er bnomalsandsynlgheder lagt nd som en kommando. Typsk betegnes kommandoen BnomPdf eller bnpdf. Opgave 0 a) Benyt dt værktøjsprogram tl at beregne følgende sandsynlgheder, når X er bnomalfordelt med n = 0 og p = 0,5: PX= ( ), PX= ( 0) og PX= ( ). Eksempel 9 Kast med en mønt 0 gange (fortsat) Sandsynlgheden for at få højst 3 krone kan naturlgvs beregnes som summen af sandsynlghederne for at få hhv. 0,, og 3 krone : PX ( 3) = PX ( = 0) + PX ( = ) + PX ( = ) + PX ( = 3). Tlsvarende kan man beregne sandsynlgheden for at få flere end 5 krone ved at summere sandsynlghederne for at få hhv. 6, 7, 8, 9 og 0 krone : PX ( > 5) = PX ( = 6) + PX ( = 7) + PX ( = 8) + PX ( = 9) + PX ( = 0). Eller alternatvt som mnus sandsynlgheden for at få højst 5 krone : PX ( > 5) = - PX ( 5). Opgave Udregn sandsynlghederne ovenstående eksempel dt matematske værktøjsprogram. Opgave En stokastsk varabel X er bnomalfordelt med antalsparameter n = 45 og sandsynlghedsparameter p = 0,3. a) Bestem PX= ( 0). b) Bestem PX< ( 5). c) Bestem sandsynlgheden for at få færre end 0 succeser. d) Bestem sandsynlgheden for at få flere end 5 succeser. 5

16 Opgave 3 V kaster en ærlg ternng 60 gange, og lader den stokastske varabel X tælle det antal gange, hvor v får en sekser. a) Hvorfor kan dette eksperment beskrves ved en bnomalmodel? b) Hvad er antalsparameteren og sandsynlghedsparameteren her? c) Bestem sandsynlgheden for at få flere end 0 seksere. d) Opstl en sandsynlghedsfordelngstabel for X et regneark. e) Tegn et søjledagram for sandsynlghedsfunktonen. f) Hvlken af søjlerne er højest? Opgave 4 En undersøgelse vser, at 4% af alle danskere er vegetarer. Blandt danskere udtages en stkprøve på 035 personer. Da stkprøven er meget llle forhold tl populatonen, kan dette behandles ved hjælp af en bnomalmodel (overvej dette!). a) Indfør en passende stokastsk varabel X, og opstl en bnomalmodel for antallet af vegetarer stkprøven. b) Bestem sandsynlgheden for, at der højst er 5 vegetarer stkprøven. Opgave 5 X er en bnomalfordelt stokastsk varabel. Udfyld et regneark et matematsk værktøjsprogram en sandsynlghedsfordelngstabel for X, når p = 0, og n = 00. a) Bestem ved hjælp af værktøjsprogrammet mddelværden for X ud fra sandsynlghedstabellen. Andre bnomalfordelte stokastske varable X har sandsynlghedsparameter p = 0, og antalsparameter som vst nedenstående tabel. n p 0, 0, 0, 0, 0, Mddelværd b) Bestem mddelværden på samme som før, og udfyld en tabel som ovenfor. c) Formulér en formodnng om bestemmelse af mddelværden for en bnomalfordelt stokastsk varabel X ud fra mønsteret dn tabel. d) Andre bnomalfordelte stokastske varable X har antalsparameter n = 0 og sandsynlghedsparameter som vst nedenstående tabel. n p 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 Mddelværd e) Bestem på samme måde som b) mddelværden og udfyld en ny tabel som ovenfor. f) Gælder formodnngen om bestemmelse af mddelværden for en bnomalfordelt stokastsk varabel X ud fra tlfældene dn nye tabel fra d)? 6

17 For bnomalfordelnger gælder følgende sætnng om mddelværd. Sætnng 3 Mddelværd om bnomalfordelngen m = p n, hvor n er antalsparameteren, og p er sandsynlghedsparameteren. Bevset for sætnngen er mest for A-nveau og kan fndes appendx. Eksempel 0 Stkprøve mobltelefonprodukton Erfarngen har vst, at 3% af mobltelefonerne en produkton er defekte. I det følgende antages det, at sandsynlgheden for, at en tlfældg mobltelefon er defekt, er 0,03. Der udtages en stkprøve på 950 mobltelefoner fra produktonen. V lader X tælle antallet af mobltelefoner stkprøven, der er defekte. Det gennemsntlge antal defekte mobltelefoner stkprøver af denne størrelse kan v udregne ved m = 950 0,03 = 8,5. V vl derfor forvente, at der er omkrng 8 eller 9 mobltelefoner, der er defekte. Sætnng 4 Varans og sprednng for bnomalfordelngen Hvs X er bnomalfordelt med antalsparameter n og sandsynlghedsparameter p, så er varans og sprednng for X gvet ved: V( X) = n p ( - p) s ( X) = V( X) = n p ( - p). Bevset for sætnngen om varansen og sprednngen for en bnomalfordelng oversprnges her. Opgave 6 En ærlg mønt kastes 3 gange. Den stokastske varabel X tæller antallet af krone. a) Gør rede for, at sandsynlghedstabellen ser ud som vst tabellen: Antal krone X = x 0 3 Sandsynlghed P( X = x ) b) Bestem mddelværd og sprednng for antal krone. c) Hvlke antal krone er normale udfald? d) Gør rede for, at der kke fndes exceptonelle udfald dette eksperment. 7

18 Eksempel Typer af søjledagrammer for bnomalfordelnger På fguren herunder ses søjledagrammer for bnomalfordelngens sandsynlghedsfunkton for henholdsvs b (0, ), b (0, ) og b (0, ). Søjledagrammerne er tegnet på baggrund af regneark med sandsynlgheder for de enkelte udfald som opgave 3. b (0, ) b (0, ) b (0, ) V ser, at de grafske blleder er ret forskellge. Hvs p er llle, får søjledagrammet en hale tl højre, og fordelngen kaldes højreskæv. Omvendt, hvs p er stor, får v en hale tl venstre, og fordelngen kaldes venstreskæv. I alle andre tlfælde har v en type som den venstre llustraton. Dsse typer kaldes for centrale fordelnger. V så ovenfor hvordan henholdsvs centrale og skæve fordelnger kunne dentfceres ud fra søjledagram for deres sandsynlghedsfunktoner. V kan også defnere skævhed med udgangspunkt sandsynlghedsfordelngens mddelværd. Bemærk, at skævhed kun er nteressant for store værder af n. Defnton 7 Højreskæv og venstreskæv fordelng En bnomalfordelng kaldes højreskæv, hvs mddelværden m er mndre end 5. En bnomalfordelng kaldes venstreskæv, hvs mddelværden m er større end n - 5. Øvrge bnomalfordelnger kaldes centrale. Opgave 7 a) Opstl et regneark dt matematske værktøjsprogram for en bnomalfordelt stokastsk varabel X, hvor antalsparameteren n = 0 og sandsynlghedsparameteren p bestemmes med en skyder. b) Tegn et søjledagram for sandsynlghedsfunktonen. c) Varerer p. For hvlke p er fordelngen venstreskæv? d) Varerer p. For hvlke p er fordelngen højreskæv? e) Varerer p. For hvlke p er fordelngen central? f) Er der overensstemmelse mellem defnton 7 og eksempel 6? Som v tydelgt så ovenfor, så ser søjledagrammerne for bnomalfordelngens sandsynlghedsfunkton meget forskellge ud for forskellge værder af p. Nogle er symmetrske omkrng mddelværden, mens andre er skæve. Uanset om bnomalfordelngen er symmetrsk eller skæv, gælder der altd, at sandsynlgheden topper lge omkrng mddelværden. 8

19 Sætnng 5 Mest sandsynlge udfald for en bnomalfordelt stokastsk varabel Hvs mddelværden er et helt tal, er mddelværden det mest sandsynlge udfald. Hvs mddelværden kke er et helt tal, er det mest sandsynlge udfald én af de to heltalsnaboer tl mddelværden. Denne sætnng bevses kke her. Eksempel Stkprøve af mobltelefoner (fortsat) V lader X være antallet af mobltelefoner stkprøven, der er defekte. Antalsparameteren er n = 950 og sandsynlghedsparameteren er p = 0,03. Ovenfor fandt v mddelværden m = 8,5 som kke er et helt tal. V udregner sandsynlghederne PX ( = 8) = K(950,8) 0,03 (- 0,03) = 0, PX ( = 9) = K(950, 9) 0,03 (- 0,03) = 0, 075. Det mest sandsynlge udfald er dermed 8 defekte mobltelefoner. Opgave 8 Et gartner oplyser, at for en bestemt slags forårsløg vl 9 ud af 0 løg spre. En husejer køber 45 af de pågældende forårsløg. a) Bestem mddelværd og sprednng for antallet af sprende forårsløg. b) Bestem det mest sandsynlge antal sprende forårsløg. c) Bestem sandsynlgheden for, at mndst 40 af forårsløgene vl spre. Opgave 9 Sandsynlgheden for, at en LED pære brænder mere end 5000 tmer, er 87%. En husejer skfter 40 lampepærer tl LED pærer. a) Indfør en bnomalfordelt stokastsk varabel X, der betegner antallet af LED pærer, der brænder mere 5000 tmer. b) Bestem mddelværd for antallet af LED pærer, der brænder mere end 5000 tmer. c) Bestem det mest sandsynlge antal LED pærer, der brænder mere end 5000 tmer. Andre sandsynlghedsfordelnger Normalfordelngen Normalfordelngen er den mest udbredte statstske fordelng, blandt andet ford den repræsenterer en god tlnærmelse tl mere komplcerede fordelnger som fx bnomalfordelngen. Normalfordelngen er kontnuert modsætnng tl bnomalfordelngen som er dskret. Den røde graf herunder vser normalfordelngens karakterstske klokkeform. V vl senere få brug for at vde, at normalfordelte stokastske varable er fordelt som vst nedenfor. 9

20 Som vst på fguren fordeler observatoner knyttet tl normalfordelte stokastske varable sg sådan, at: ca. 68% af observatonerne forventes at lgge nden for én sprednng fra mddelværden. ca. 95% af observatonerne forventes at lgge nden for to sprednnger fra mddelværden (dvs. de er normale). ca. 0,5% af observatonerne forventes at lgge uden for tre sprednnger fra mddelværden (dvs. de er exceptonelle). Når en stokastsk varabel Z er normalfordelt med mddelværd m og sprednng s skrver v: Z N( ms, ). Den mest smple af alle normalfordelnger kaldes standardnormalfordelngen, og er defneret ved at have mddelværd m = 0 og sprednng s =, dvs. Z N(0,). Standardnormalfordelngen har en sandsynlghedsfunkton med den ret komplcerede forskrft - x j( x) = e. p Grafen for standardnormalfordelngens sandsynlghedsfunkton har tlsvarende den karakterstske klokkeform: Værktøjsprogrammerne har ndbyggede kommandoer for sandsynlghedsfunktonen, typsk betegnes dsse NormPdf. V kan benytte normalfordelngen som tlnærmelse tl bnomalfordelngen med samme mddelværd og sprednng, hvs v har en central bnomalfordelng, dvs. hvs 5< m < n- 5. 0

21 Sandsynlghedsfunktonen for den normalfordelte stokastske varabel Z, der dsse tlfælde tlnærmer den tlsvarende bnomalfordelte stokastske varabel X, med mddelværd m og sprednng s har forskrften æz- mö - ç çè s ø j( z) = e. p s Eksempel 3 En bnomalfordelt stokastske varabel X har sandsynlghedsparameteren p = 0,4 og antalsparameteren n = 0, og dermed mddelværd: og sprednng m = 0,4 0 = 8 s = 0 0,4 (- 0,4) =,909. Sandsynlghedsfunktonen for den normalfordelte stokastske varabel Z, der tlnærmer den bnomalfordelte stokastske varabel X har dermed forskrften j() z = e p,909 æ z- 8 ö - ç ç çè,909 ø Tlnærmelsen kan benyttes, da mddelværden = 8 lgger mellem 5 og 0-5 = 5. Graferne for de to sandsynlghedsfunktoner er her tegnet samme koordnatsystem:. Opgave 0 a) Tegn et søjledagram for sandsynlghedsfunktonen for en bnomalfordelt stokastsk varabel X dt matematske værktøjsprogram for tre forskellge selvvalgte bnomalfordelnger bnp (, ), det du først opstlle tabeller for dsse. b) Tegn et søjledagram for sandsynlghedsfunktonen for en normalfordelt stokastsk varabel Z samme koordnatsystem, hvor mddelværden er m = n p og sprednngen er s = n p ( - p), dvs. mddelværden og sprednngen for Z bestemmes ud fra de samme værder for n og p som ovenfor. c) Undersøg, ved at vælge mddelværder under 5 og større end n - 5 kræves, at mddelværden skal lgge mellem 5 og n - 5., hvorfor det

22 Opgave a) Vælg en værd for n og p, så mddelværden m lgger mellem 5 og n - 5. b) Tegn dt matematske værktøjsprogram en lodret lnje l med lgnngen x = n p-, 96 n p ( - p). c) Tegn dt matematske værktøjsprogram en lodret lnje m med lgnngen x = n p+, 96 n p ( - p). Grafen for j afgrænser sammen med lnjerne l, m og førsteaksen en punktmængde M. d) Benyt dt matematske værktøjsprograms ndbyggede grafske kommando tl at bestemme arealet af M. e) Hvlken værd har arealet af M? f) Sammenlgn dn fgur og værd af arealet med fguren fra tdlgere, hvor du fokuserer m+ s og m- s. Normalfordelngen vl kke blve selvstændgt behandlet yderlgere dette materale. Bnomaltest Bnomalfordelnger anvendes tl at udtage stkprøver med tlbagelægnng eller stkprøver, der udtages af meget store populatoner, hvor det spller en ubetydelg llle rolle, om der tlbagelægges eller ej. Skal der dermod udtages en stkprøve uden tlbagelægnng, så skal v have fat på en anden sandsynlghedsfordelng. Denne kaldes den hypergeometrske fordelng. V vl kke gå dybere nd ekspermenter med og uden tlbagelægnng, men for nteresserede behandles den hypergeometrske fordelng appendx sdst dette materale. Indtl nu har v udtaget stkprøver fra en kendt mængde, og v har ud fra forskellge sandsynlghedsmodeller udtalt os om sammensætnngen af stkprøven. I dette afsnt vl v på baggrund af konkrete stkprøver stedet for udtale os om den mængde, en konkret stkprøve er udtaget fra. Når v gør dette, så formulerer v på forhånd en formodnng, som v vl undersøge. En sådan formodnng kaldes en nulhypotese, og den formuleres som oftest som et udsagn om, at den varaton, v observerer, er udtryk for tlfældg varaton den gvne stuaton. Det modsatte udsagn tl en nulhypotese kaldes den alternatve hypotese. Den alternatve hypotese udtrykker således, at den observerede varaton er udtryk for systematske afvgelser fra det, man normalt vlle observere den gvne stuaton. Når v udfører et hypotesetest, antager v, at nulhypotesen er sand, og v udfører hypotesetestet med udgangspunkt denne antagelse. Hvs man hypotesetestet når frem tl noget meget usandsynlgt, dvs. hvs v får en meget llle sandsynlghed for, at det v undersøger ndtræffer, så konkluderer v, at nulhypotesen må forkastes. V fastsætter selv grænsen for, hvor llle en sandsynlghed v vl acceptere, før v sger, at resultatet er så usædvanlgt, at vores nulhypotese kke længere er troværdg. Når v forkaster en nulhypotese, så svarer

23 det tl, at v stedet for at tro på nulhypotesen foretrækker at tro på den alternatve hypotese om systematsk varaton. En konkluson på et statstsk hypotesetest rummer således altd et subjektvt element. Det nveau, v fastsætter som grænsen mellem de resultater, v accepterer under antagelse af, at nulhypotesen er sand, og de resultater, v fnder så usædvanlge, at nulhypotesen kke længere kan opretholdes, kaldes for sgnfkansnveauet. Sgnfkansnveauet kan kke begrundes matematsk. I prakss bruges ofte 5% som sgnfkansnveau, men man kan møde problemer, fx medcnske forsøg eller erhvervskontrakter, hvor dette fastsættes tl % eller 0%. Hvs v fastsætter et højt sgnfkansnveau, fx på 0%, så blver det lettere at forkaste nulhypotesen, og hvs v omvendt fastsætter et lavt sgnfkansnveau, betyder det, at v accepterer ldt flere usædvanlge hændelser, før v forkaster nulhypotesen. Jo mndre sgnfkansnveauet er, jo sværere er det altså at forkaste nulhypotesen om, at de observerede afvgelser alene beror på uundgåelge tlfældge varatoner. Eksempel 4 Møntkast Jesper vl undersøge en mønt, der skal bruges tl lodtræknng. Han kaster derfor mønten fem gange og opdager, at den lander på krone alle fem gange. Dette vrker mstænksomt, men kan han nu slutte, at mønten er uærlg? For en ærlg mønt vl v forvente gennemsntlg lge mange krone og plat, dvs. sandsynlgheden for at få krone er. Jesper antager, at de 5 kast med mønten kan modelleres med en bnomalfordelt stokastsk varabel X, som tæller antallet af krone. Antalsparameteren n er så 5.V bemærker, at den observerede værd af X her også er 5. Den observerede værd et hypotesetest kaldes også teststørrelsen. Han opstller nulhypotesen H 0 og den alternatve hypotese H, det sandsynlgheden for succes, dvs. sandsynlgheden for at få krone, betegnes p: H 0 : Mønten er ærlg, dvs. H : Mønten er uærlg, dvs. p =. Sgnfkansnveauet fastsætter v tl 5%. p ¹. I dette hypotesetest forkastes nulhypotesen både, hvs der kastes for mange og for få krone. Denne type hypotesetest kaldes to-sdet, ford v smder væk fra begge sder dagrammet begge haler. De 5% skal derfor fordeles med,5% hver sde af fordelngen. De 95% mdterste af udfaldene kaldes acceptområdet, mens de to haler, som udgør sdste 5% af udfaldene kaldes det krtske område. Bnomalmodellen b (5, ) gver os følgende sandsynlghedsfordelng repræsenteret ved et søjledagram: Af søjledagrammet fremgår det, at sandsynlgheden for at få 5 krone 5 kast er større end,5%, og nulhypotesen kan derfor kke forkastes dette tlfælde. 3

24 Sandsynlgheden for at få 5 krone 5 kast kan også beregnes som: æö 5 5! PX = = = = = ç çè5 ø 5!0! ( 5) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,035 Det betyder, at samtlge udfald ekspermentet lgger nden for acceptområdet. V kan 0,,,3,4,5. Dvs. uanset, skrve acceptområdet som mængden, der ndeholder tallene { } hvlket udfald v får af de 5 kast, så vl det kke være usædvanlgt.. Defnton 8 Tosdet bnomaltest En bnomalfordelt stokastsk varabel X har antalsparameteren n. Der er formuleret en nulhypotese, som udtrykker en formodnng om, at sandsynlghedsparameteren p netop har en bestemt værd: H 0 : p= p 0 Acceptområdet betegnes {,..., } kv k h, hvor k v betegner det mndste acceptable udfald (dvs. det første acceptable udfald set fra venstre) og k h betegner det største acceptable udfald (dvs. det første acceptable udfald set fra højre). Værderne k v og k h beregnes ud fra et sgnfkansnveau på 5%, så der er,5% hver sde: Værden k v bestemmes som den mndste værd af X, så P( X k v ) > 0,05. Værden k h bestemmes som den største værd af X, så P( X ³ k h ) > 0,05. Det undersøges om den observerede værd af X, også kaldet teststørrelsen, lgger acceptområdet eller ej. H 0 accepteres, hvs teststørrelsen lgger acceptområdet. H 0 forkastes, hvs teststørrelsen lgger udenfor acceptområdet. Eksempel 5 Møntkast (fortsat) Hvs v eksemplet med møntkast stedet vl undersøge, om der de 5 kast kommer for mange af den ene slags udfald, så formuleres nulhypotesen ldt anderledes, og konklusonen kan blve en anden. Lad os antage, at v har en mstanke om, at mønten gver for mange krone. Hertl opstller v nulhypotesen og den alternatve hypotese som følger: H 0 : Mønten gver krone højst halvdelen af tlfældene, dvs. H : Mønten gver krone flere end halvdelen af tlfældene, dvs. p. p >. Sgnfkansnveauet er stadg 5% og sandsynlghedsfordelngen er den samme som ovenfor, dvs. bnp (, ) = b(5, ). I dette tlfælde er testet dog ensdet, da v kke forkaster H 0, hvs der er for få krone, dvs. for mange plat. Det krtske område lgger derfor samlet højre sde af fordelngen. V har stadg, at ( 5) 0,035 PX= =, og da en udvdelse med 4 krone gver en sandsynlghed langt over sgnfkansnveauet: 4

25 PX ( ³ 4) = PX ( = 4) + PX ( = 5) = 0,563+ 0,035 = 0,875> 5%, kan v konkludere, at acceptområdet består af udfaldene 0,,, 3 og 4 krone 5 kast. Det krtske område består således kun af det udfald, der gver 5 krone 5 kast. I undersøgelsen landede mønten, som blev kastet fem gange, hver gang på krone. Den observerede værd lgger altså kke acceptområdet, og nulhypotesen forkastes derfor. Konklusonen er, at v foretrækker den alternatve hypotese, nemlg at mønten gver krone flere end halvdelen af tlfældene. Da det krtske område lgger tl højre, når de mulge udfald for X opskrves { 0,,,3,4,5 }, så kaldes bnomaltestet for højresdet. Defnton 9 Højresdet bnomaltest En bnomalfordelt stokastsk varabel X er gvet med antalsparameteren n. Der er formuleret en nulhypotese, som udtrykker en formodnng om, at sandsynlghedsparameteren p er mndre end en bestemt værd: H 0 : p p. 0 Acceptområdet betegnes { 0,..., k h }, hvor k h betegner det største acceptable udfald (dvs. det første acceptable udfald set fra højre). Værden k h beregnes ud fra et sgnfkansnveau på 5% med de 5% lggende tl højre fordelngen: Værden k h bestemmes som den største værd af X, så P( X ³ k h ) > 0,05. Det afgøres om den observerede værd af X, dvs. teststørrelsen, lgger acceptområdet eller ej. H 0 accepteres, hvs teststørrelsen lgger acceptområdet. H 0 forkastes, hvs teststørrelsen lgger udenfor acceptområdet. Opgave Formuler en defnton for et venstresdet hypotesetest bnomalfordelngen. Opgave 3 Søren vl undersøge en mønt, der skal bruges tl lodtræknng. Han kaster mønten et antal gange og får mstanke om, at den lander på krone for sjældent. a) Opstl en nulhypotese for et venstresdet bnomaltest. Han kaster nu mønten otte gange og observerer, at den lander på krone to gange. b) Afgør med et 5% sgnfkansnveau, om nulhypotesen kan forkastes eller ej. Opgave 4 I et casno splles der med en otte-sdet ternng med et af tallene tl 8 på hver af sderne. Dvs. der 8 forskellge udfald ved et kast med denne ternng, og hvert udfald ndtræffer med sandsynlgheden 8. En gæst kaster ternngen 0 gange og observerer, at der kke blev slået en eneste otter. a) Opstl en nulhypotese, og benyt et tosdet bnomaltest med et 5% sgnfkansnveau tl undersøge, om ternngen er ærlg. 5

26 b) Opstl en nulhypotese, og benyt et ensdet bnomaltest med et 5% sgnfkansnveau tl undersøge, om sandsynlghedsparameteren er større end. 8 Opgave 5 Undersøg, hvordan dt værktøjsprogram udfører bnomaltest I defnton 8 og 9 er nulhypotesen accepteret eller forkastet ved først at bestemme acceptmængden og dermed krtsk mængde, og derefter en afgøre om teststørrelsen, dvs. den observerede værd, lgger acceptmængden eller ej. I stedet for at se på teststørrelsens værd, kan v afgøre hypotesetest ud fra en p-værd. Bemærk, at p-værden kke må forveksles med basssandsynlgheden p. I et bnomaltest angver p-værden sandsynlgheden for at få et udfald, der er mndst lge så skævt som det aktuelle, når det antages, at nulhypotesen er sand. I eksemplet ovenfor med det to-sdede test med mønten fk v en p-værd på 0,035 = 6,5%. p-værden beregnes således ud fra teststørrelsen, som en kumuleret sandsynlghed, hvor v udnytter vores vden om, hvorvdt testet er en- eller tosdet. For at afgøre om nulhypotesen skal forkastes eller ej sammenholdes p-værden med sgnfkansnveauet. Følgende eksempel vser, hvor man afgør et hypotesetest ud fra p-værden. Eksempel 6 Ternngekast En fresdet ternng med et af tallene fra tl 4 på hver sde kastes 0 gange, og det observeres, at antallet af toere er 3. Dvs. der er 4 forskellge udfald ved et kast med denne ternng, og hvert udfald ndtræffer med sandsynlgheden 4. V vl undersøge nulhypotesen, herunder den alternatve hypotese: H 0 : Ternngen gver toere en fjerdedel af gangene, dvs. H : Ternngen gver kke toere en fjerdedel af gangene, dvs. p =. 4 p ¹. 4 Det antages, at antallet af toere kan modelleres med en bnomalfordelt stokastsk varabel X, der tæller antallet af toere. Antalsparameteren n er 0. V vl undersøge nulhypotesen med et to-sdet hypotesetest, hvor v fastsætter sgnfkansnveauet tl 5%, dvs.,5% hver sde. Den observerede værd af X, dvs. teststørrelsen, er 3. Ud fra teststørrelsen beregner v p- værden (sandsynlgheden for at få noget, der er mndst lge så skævt som det observerede) ved først at bestemme den kumulerede sandsynlghed: PX ( 3) = 0,5. Da testet er to-sdet bestemmes p-værden som: 0,5 = 45%. Da p-værden er (meget) større end sgnfkansnveauet på 5% kan v kke forkaste vores nulhypotese, dvs. det tyder på, at den fresdede ternng gver toere en fjerdedel af gangene. I stedet for at benytte værktøjsprogrammernes ndbyggede sandsynlghedsfordelnger, kan man også benytte værktøjsprogrammerne tl at smulere nulhypoteserne. 6

27 Eksempel 7 Blndsmagnng Et slkfrma ønsker at undersøge, om der er forskel på smagen af gule og røde vngummer. De foretager derfor en såkaldt trangeltest, hvor en række forsøgspersoner får forelagt tre vngummer, hvoraf to af dem er gule og den sdste er rød, eller omvendt. I en smagnng smager forsøgspersonerne de tre vngummer uden at se farven på dem og vælger tl sdst, hvlken af de tre der er forskellg fra de andre. V lader den stokastske varabel X tælle antallet af forsøgspersoner, der vælger den rgtge. V har på forhånd en forventnng om, at man kke kan smage forskel, dvs. en tlfældg tredjedel af forsøgspersonerne vl vælge den rgtge eller en af de to forkerte. V lader derfor hypotesetestet være ensdet, nemlg højresdet, svarende tl, at højst en tredjedel af forsøgspersonerne vl vælge den rgtge. Nulhypotesen er derfor, at højst en tredjedel af forsøgspersonerne kan smage forskel hver af smagnngerne, og den alternatve hypotese er dermed, at mere end en tredjedel af forsøgsperosnerne kan smage forskel hver af smagnngerne. Lader v p betegne sandsynlgheden for, at en forsøgsperson kan smage forskel, er vores nulhypotese og alternatve hypotese: H 0 : p. H : 3 p >. 3 Hvs v lader 5 forsøgspersoner foretage blndsmagnngen, som beskrevet, så vl v forvente, at højst 5 af dem kan smage forskel på vngummerne. I en konkret undersøgelse vælger 8 af forsøgspersonerne den rgtge vngumm blndsmagnngen, mens 7 kke kan. Teststørrelsen, dvs. vores observerede værd, er altså 8. For at undersøge, om det er et udtryk for tlfældg varaton, smulerer v nu stuatonen stedet for at foretage teoretske beregnnger bnomalfordelngen. V lader værktøjsprogrammet vælge en af de tre vngummer på tlfældg måde 5 gange svarende tl de 5 forsøgspersoners valg en blndsmagnng. V får så fx en stkprøve, hvor 9 testpersoner valgte en af de to forkerte, og 6 valgte den rgtge, som vst søjledagrammet herunder. V lader nu værktøjsprogrammet udtage en sådan stkprøve med 5 forsøgspersoner rgtg mange gange, og v noterer hver gang, hvor mange af forsøgspersonerne, der vælger den rgtge vngumm. Efter smulerng af 00 stkprøver kunne fordelngen af det antal forsøgspersoner, der valgte den rgtge vngumm, se sådan ud: 7

28 Efter smulerng af 000 stkprøver kunne fordelngen se sådan ud: Det bemærkes, at fordelngen som forventet efterhånden kommer tl at lgne bnomalfordelngen b (5, ) svarende tl sandsynlghedsfordelngen for en stokastske 3 varabel X med antalsparameter n = 5 og sandsynlghedsparameter p =. 3 I 90 ud af 000 smulerede stkprøver fandt v, at 8 eller flere af testpersonerne valgte den rgtge vngumm. Det gver derfor en sandsynlghed på 9% for at få en stkprøve, der er mndst lge så skæv som den observerede, når det forudsættes, at nulhypotesen er sand. De 9% kaldes også for den ekspermentelle p-værd. Med et sgnfkansnveau på 5% kan v derfor kke forkaste nulhypotesen om, at man højst kan smage forskel en tredjedel af smagnngerne. Eller sagt på en anden måde: Der er kke belæg for at påstå, at man kan smage forskel på en gul og en rød vngumm. Opgave 6 V ser nu på eksemplet ovenfor om blndsmagnng af vngumm med en teoretsk fremfor en ekspermentel vnkel, dvs. v ser på samme nulhypotese og bnomalfordelngen b (5, ) med en teststørrelse på X = 8. 3 a) Opstl en tabel over sandsynlghederne. b) Tegn et søjledagram for sandsynlghedsfunktonen. c) Beregn PX= ( 8). d) Beregn p-værden. e) Bestem den krtske mængde. f) Bestem det mndste antal af forsøgspersoner stkprøven, der skal kunne smage forskel, for at man kan forkaste nulhypotesen. 8

29 Opgave 7 Ved et valg fk et bestemt part 30% af stemmerne. Nogen td efter foretages en menngsmålng for at undersøge, om tlslutnngen tl partet har ændret sg. V er altså nteresserede at fnde ud af, om partet er gået frem eller tlbage. I en stkprøve på 00 personer, der er repræsentatvt udvalgt, skal de udvalgte svare på, om de vlle stemme på partet, hvs der var valg dag. V lader den stokastske varabel X tælle antallet af de adspurgte, der vl stemme på partet dag. Bemærk, at stkprøven prakss udtages uden tlbagelægnng, da man en menngsmålng kke vl bede den samme person svare flere gange, og populatonen er denne sammenhæng øvrgt også meget stor forhold tl stkprøven, så der er prakss ngen forskel på, om stkprøven foretages med eller uden tlbagelægnng. I stkprøven var der 75 personer, der vlle stemme på partet, hvs der var valg dag. a) Opstl en nulhypotese, når det antages at testet er dobbeltsdet. b) Undersøg, om man kan forkaste nulhypotesen med et 5% sgnfkansnveau. Opgave 8 Et part fk ved et valg en vælgertlslutnng på %. En efterfølgende Gallupundersøgelse baseret på 008 personer vste, at partet havde en vælgertlslutnng på 8%. V lader den stokastske varabel X tælle antallet af de adspurgte, der stemmer på partet. a) Formuler en nulhypotese, hvor udgangspunktet er, at partets vælgertlslutnng er uændret. b) Afgør om testet af nulhypotesen skal være tosdet eller ensdet. c) Opbyg en smulerng af nulhypotesen et matematsk værktøjsprogram. d) Bestem teststørrrelsen, dvs. den observerede værd. e) Vser smulerngen den samme vælgertlslutnng, som Gallups undersøgelse vst? Eller er den større? f) Udfør nu 000 smulernger af nulhypotesen. g) Bestem antallet af smulernger, der vser den samme eller en større værd for vælgertlslutnngen. h) Bestem den ekspermentelle p-værd, og sammenlgn med sgnfkansnveauet. Konfdensntervaller Der offentlggøres jævnlgt analyser, der vser, hvlke poltske parter der går frem eller tlbage. 9

30 Dsse analyser laves oftest på baggrund af telefonntervews blandt et repræsentatvt udsnt af den samlede vælgergruppe. Hvs denne repræsentatve stkprøve blot er på omkrng 000 vælgere, så kan man faktsk komme ret tæt på en præcs forudsgelse, selvom der er over 4 mo. vælgere. Det er dog klart, at der er en vs uskkerhed, når man ved at spørge så få vl forudsge, hvordan resten af blledet ser ud. V skal dette afsnt se nærmere på, hvordan dsse statstske uskkerheder skal forstås, og hvordan man beregner dem. Eksempel 8 Menngsmålnger På fguren nedenfor ses tallene fra en menngsmålng foretaget af Epnon d (venstre kolonne). Lgeledes ses tallene fra folketngsvalget 05 (højre kolonne). For eksempel kan v se, at Venstre fk 9,5% ved valget, og at der stkprøven kun er 7,3%, der vl stemme på dem. Er det nu et udtryk for, at Venstre er gået tlbage, eller kan den tlsyneladende nedgang forklares med den uskkerhed, der altd vl lgge, at det ene tal stammer fra et valg, hvor "alle" deltager, mens det andet stammer fra en stkprøve, der kan have en over- eller underrepræsentaton af de forskellge vælgergrupper. Klde: Mange analysensttutter noterer denne uskkerhed, når resultaterne offentlggøres. I undersøgelsen ovenfor er uskkerheden,5 procentpont og med dette som udgangspunkt, kan man en vs forstand konkludere, at Venstre faktsk kke er gået tlbage sden valget, ford 7,3 +,5 = 9,8 > 9,5. Ser v på Alternatvet, så står de tl en fremgang på procentpont hvad kan v konkludere her? Og er uskkerheden den samme, uanset om v taler om store eller små parter? Ved valget spurgte man jo samtlge vælgere, så de procentandele, der står søjlerne tl højre, er selvfølgelg de faktske tal. V ved altså, at der med skkerhed var 9,5%, der stemte på Venstre ved folketngsvalget. Når der nu udspørges 578 vælgere, er det kke rmelgt at påstå, at der er præcs 7,3%, der nu stemmer på Venstre. Og v kan derfor heller kke konkludere, at Venstre er gået tlbage med, procentpont sden folketngsvalget. Var der valg på det tdspunkt, hvor stkprøven blev ndsamlet, vlle dette have resulteret en bestemt vælgertlslutnng, som v kalder den sande værd. V kender således kke den sande værd, men v ønsker at kunne udtale os om denne med en vs skkerhed. Forestller v os, at der var ndsamlet tusndvs af stkprøver samme uge, så vlle det resultere tusndvs af forskellge værder (her procenttal), der vlle lgge normalfordelt omkrng den sande værd. 95% af dsse vlle lgge nden for normalområdet, jævnfør afsnttet om normalfordelngen (sde 3). Omkrng hvert eneste af dsse stkprøve-værder kunne v lægge et tlsvarende nterval, og for 95% af dsse stkprøver vlle det tlsvarende normalområde ndeholde den sande værd. Et sådant nterval omkrng en stkprøveværd kaldes et konfdensnterval. 30