2. Sandsynlighedsregning

Transkript

1 2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har tl fælles, dvs. hvs A B Ø. Andersen m.fl. s. 57, Overø m.fl. s. 13, Newbold s. 96, Lønborg s Addtonssætnngerne For to hændelser, A og B, er ( A B) ( A) + ( B) ( A B) ( A B) ( A) ( B) +, når A og B udelukker hnanden. Andersen m.fl. s. 59, Overø m.fl. s. 15, Newbold s. 97 Hr. Larsen tpper hver uge en række med tretten kampe med skftende succes. Lad X betegne antallet rgtge tppede kampe på en gven uge. Hr. Larsens erfarnger gør, at han ved, at hændelserne A{5, 6, 7, 8, 9, 10} og B{8,.., 11, 12} har følgende sandsynlgheder: (A) 0,80 (B) 0,40 (A B) 0,30 Udregn for dsse hændelser (A B). COMLET A/S - Sde 16 - KOMENDIUM I STATISTIK

2 Forenngsmængden A B er defneret som alle udfald, der fndes enten A eller B eller begge mængder. Sandsynlgheden kan fndes vha. følgende generelle formel: (A B) (A) + (B) (A B) 0,80 + 0,40 0,30 0, Den komplementære sandsynlghed c ( ) ( A ) 1 ( A) A Andersen m.fl. s. 57, Overø m.fl. s. 16, Newbold s. 96 Med udgangspunkt foregående eksempel Hr. Larsens tpnng skal (A c ) og (B c ) udregnes. Komplementærmængden tl A defneres som de udfald, der kke fndes A. Komplementærmængden angves også som A. Sandsynlgheden kan fndes ved følgende generelle formel: (A c ) 1 (A) 1 0,80 0,20 å samme måde fndes: (B c ) 1 (B) 1 0,40 0,60 Regnereglen for komplementærmængden benyttes ofte sandsynlghedsregnng tl at fnde f.eks. (X > x) 1 (X x) 2.4. Laplace's lov M N Antal mærkede enheder Antal enheder Andersen m.fl. s. 60, Overø m.f. s. 17, Newbold s. 87, Lønborg s. 19 COMLET A/S - Sde 17 - KOMENDIUM I STATISTIK

3 2.5. Betnget sandsynlghed ( ) ( A B) A B ( ) ( ) 0, B > B ( A) ( A B) ( A B) ved stokastsk uafhængghed Andersen m. fl. s. 72, Overø m.fl. s. 15, Newbold s. 98 Med udgangspunkt foregående eksempel med Hr. Larsens tpnng skal (A B) og (B A) udregnes. Den betngede sandsynlghed (A B) defneres som sandsynlgheden for at få A, når v ved, at B er ndtruffet. Sandsynlgheden kan fndes vha. følgende generelle formel: (A B) 0,30 (A B) 0,75 (B) 0,40 å samme måde fndes: (A B) 0,30 (B A) 0,375 (A) 0, Multplkatonssætnngerne ( A B) ( A) ( B A) ( A B) ( A) ( B), for uafhængge hændelser. Andersen m.fl. s , Overø m.fl. s. 15, Newbold s COMLET A/S - Sde 18 - KOMENDIUM I STATISTIK

4 Vrksomheden Skum & Vask A/S har gvet to tlbud tl hhv. Hansen og etersen. Sandsynlgheden for at Hansen vl acceptere tlbudet vurderes tl 0,4 ((A)0,4) og den tlsvarende for etersen tl 0,5 ((B)0,5). Da etersen er ldt af en medløber, vl sandsynlgheden for at han accepterer være 0,8 ((BIA) 0,8), hvs det vdes at Hansen accepterer. Hvad er sandsynlgheden for at begge tlbud blver accepteret? A B A B A 0,4 0,8 0, ( ) ( ) ( ) Loven om den totale sandsynlghed ( B) (B A ) (A ) (B A ) (A ) når mængderne A 1 tl A m udgør en klassedelng 1 1 m Andersen m. fl. s. 73, Overø m.fl. s. 22, Newbold s. 116 m En årgang landbrugselever deles op grupper, alt efter om deres adgangsgvende eksamen er studentereksamen, Efg-eksamen, HF eller anden. Forholdet mellem grupperne er som 8:5:3:2. Erfarngen fra andre årgange vser, at beståelsesprocenterne for de enkelte grupper er hhv. 70%, 50%, 40% og 30%. Fnd sandsynlgheden for at en tlfældgt udvalgt elev består. Da en studerende kun har én adgangsgvende eksamen, og da alle studerende har en adgangsgvende eksamen, er der her tale om en klassedelng. Betragt hændelserne: S: en studerende har en studentereksamen, E: en studerende har en Efg-eksamen, H: en studerende har en HF-eksamen, A: en studerende har en anden adgangsgvende eksamen og B: en studerende består eksamen. COMLET A/S - Sde 19 - KOMENDIUM I STATISTIK

5 S E H A B Vha. forholdstallene kan man udregne sandsynlghederne for, at en tlfældg studerende har den respektve eksamen. 8 (S) 0,40 5 (E) 0,25 3 (H) 0,15 2 (A) 0,10 De angvne beståelsesprocenter er de betngede sandsynlgheder: (B S) 0,70, (B E) 0,50, (B H) 0,40 og (B A) 0,30 Vha. loven om den totale sandsynlghed (Andersen m.fl. s. 73, Overø m.fl. s. 22, Newbold s. 116) fnder man: (B) (B S) + (B E) + (B H) + (B A) (B S) (S) + (B E) (E) + (B H) (H) + (B A) (A) 0,70 0,40 + 0,50 0,25 + 0,40 0,15 + 0,30 0,10 0,495 COMLET A/S - Sde 20 - KOMENDIUM I STATISTIK

6 2.8. Bayes formel ( B) A ( B) A ( A ) ( A ) B m 1 ( ) B ( A ) ( A ) B ( A ) ( A ) B Andersen m. fl. s. 73, Overø m.fl. s. 23, Newbold s. 114 Tag udgangspunkt det foregående eksempel med landsbrugseleverne. Fnd sandsynlgheden for at en bestået elev havde hhv. en studenter-, Efg-, HFeller anden eksamen. Vha. Bayes sætnng eller defntonen på betnget sandsynlghed fnder man: (S (E (H (A (S B) (B S) (S) 0,70 0,40 B) 0,5657 (B) (B) 0,495 (E B) (B E) (E) 0,50 0,25 B) 0,2525 (B) (B) 0,495 (H B) (B H) (H) 0,40 0,15 B) 0,1212 (B) (B) 0,495 (A B) (B A) (A) 0,30 0,10 B) 0,0606 (B) (B) 0,495 Som en kontrol kan man bemærke, at summen af dsse sandsynlgheder gver 1. COMLET A/S - Sde 21 - KOMENDIUM I STATISTIK

7 2.9. ermutaton n! n ( x) (n x)! Overø m.fl. s. 21, Newbold s Kombnaton n x n! x! (n x)! Overø m.fl. s , Newbold s. 95, Lønborg s. 30 COMLET A/S - Sde 22 - KOMENDIUM I STATISTIK