Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo
|
|
- Marianne Nissen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 C A R S T E N C R A M O N PASCALS TREKANT G Y L D E N D A L
2 Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge mellem variable og kunne diskutere rækkevidde af sådanne modeller. Forudsatte begreber: Potens, koefficienter, indekseret variabel, primtal, divisorer, kunne kopiere formler i et regneark. Materialer: saks, lim/limstift og farveblyanter. To verdener, PT1 og PT0 Forestil dig, at du er landet på en helt flad og dermed todimensional verden, som er fliselagt med ens fliser. Fliserne ligger på række, og rækkerne er forskudt en halv flise i forhold til hinanden. Der er uendeligt mange rækker og rækkerne strækker sig uendeligt i begge retninger. På fig.1 ser I personen stå på den blå landingsflise med næsen pegende fremad. Denne verden, vil vi kalde PT1. Den er styret af en eneste speciel fysisk lov: Fra en given flise kan man kun bevæge sig til to af de seks røde nabofliser, nemlig til de to fliser, man finder lige foran, den ene skråt til venstre og den anden skråt til højre(se fig. 1). I skal nu på matematisk vis udforske PT1. Fig.1 Hent en kopi af fig.1 her: bilag1.pdf. På den skal I på hver flise skrive antallet af veje, der fører fra landingsflisen til den pågældende flise, når I overholder den fysiske lov. Start med at markere nogle af de fliser man ikke kan nå fra landingsflisen. Udfyld derefter mange af de fliser man kan nå fra landingsflisen med antallet af veje der fører fra landingsflisen til den pågældende flise. Pascals Trekant 2 Øvelse 1
3 For enkelte udvalgte fliser skal I markere de veje, der fører fra landingsflisen til den pågældende flise. (hen evt. flere kopier af bilag 1) Når I er færdige, ser I et trekantet talmønster foran jer. Nu betragter vi en anden verden, PT0, som minder om PT1. PT0 er en slags cellekoloni, hvor fliserne er erstattet med celler, som kan indeholde tal. Alle cellerne indeholder i dette øjeblik tallet 0. PT0 er imidlertid også styret af en fysisk lov, idet cellerne påvirker hinanden. Loven siger, at en given celle kun er påvirket af de to celler, som står lige ovenover den. Indholdet i cellen vil nemlig altid være summen af celleindholdet i disse to celler (Se fig.2). Fig.2 Noget uventet sker. I et splitsekund har en af cellerne muteret til at have celleindholdet 1 (Se fig.3). Fig.3 Hvilken indflydelse får denne mutation på celleindholdet i alle de andre celler? Brug bilaget fra øvelse 1 til jeres undersøgelser, eller hent det her: bilag1.pdf. Hvilken geometrisk struktur danner cellerne med celleindhold forskellig fra nul? På fig.4 er kun vist celler med celleindhold forskellig fra nul. Udfyld cellerne med de nye tal (bilag2.pdf). Hvis I har udfyldt korrekt, så vil I i sidste række få tallene: Pascals Trekant 3 Øvelse 2
4 Sammenlign de to verdener PT1 og PT0. Fig.4 Som vi så i øvelse 2, danner cellerne med celleindhold forskellig fra nul en trekantet struktur. Denne uendelige trekant af tal kaldes Pascals Trekant efter den store franske filosof og matematiker Blaise Pascal ( ). At trekanten er opkaldt efter Pascal, skyldes ikke, at han var den første, der opdagede den, men Pascal var den første, som systematisk undersøgte dens egenskaber. I 1654 skrev han en artikel på 36 sider om den, Traité du triangle arithmétique (Afhandling om den aritmetiske trekant), Fig.5 Pascals Trekant 4 Øvelse 3
5 På fig.5 ses bogens side 4. Her genkender vi taltrekanten, blot er de skrå trekantsider her vandrette og lodrette. I artiklen beskriver Pascal velkendte anvendelser af taltrekanten. Disse anvendelser kan spores helt tilbage til 00-tallet i ikke-europæiske kulturer (arabiske, jødiske, kinesiske og indiske). I Europa kendte nogle få disse anvendelser omkring år 1500, i den italienske renæssance. Det virkeligt nye og epokegørende i Pascals artikel var, at han viste, at tallene i trekanten også kan benyttes til at løse problemstillinger, hvori der indgår tilfældighed altså til beregning af det, vi i dag kalder sandsynligheder. På Pascals tid var der ikke noget, der hed sandsynlighedsregning. Men i løbet af ca. tre måneder i eftersommeren 1654 grundlagde Pascal sammen med landsmanden Pierre de Fermat ( ) det, vi i dag kalder sandsynlighedsregningen. I dette kreative og nyskabende samarbejde indgik Pascals trekant som et vigtigt element. Hvis man i projektet Kugle-simulationer ønskede at bestemme sandsynlighederne ved beregning i stedet for ved simulering, ville indsigt i Pascals trekant være til stor hjælp. OPGAVER I skal her lære en navngivning af tallene i Pascals Trekant. (Se fig. 6) Fig. 6 Vi vedtager nu, at det øverste 1 tal står i række nr.0 og er tal nr.0 i rækken (vi starter altså nummereringen med 0 i stedet for med 1). Næste række (rækken med de to 1 taller) er derfor række nr.1, og de to 1 taller står på plads nr.0 og plads nr.1. Find det første 6-tal i trekanten. Kontroller, at det står i 4. række og er tal nr.2 i rækken. Der er tradition for at kalde dette tal for K(4,2). Altså har vi, at K(4,2) = 6. Pascals Trekant 5 Opgave 1
6 Generelt er K(n,r) navnet på tal nr. r i række nr. n. Find: K(6,4), K(,) og K(9,1). Angiv et navn for tallet 70. Angiv flere navne for tallet 126. Vi ved, at trekantens sider er afgrænset af 1 taller, og at alle indre tal fremkommer som summen af de to tal lige ovenover. Dvs., at K(n,0) = K(n,n) = 1 og at K(n,r) = K(n-1,r-1) + K(n-1,r). Prøv at sikre jer, inden I går videre, at I forstår linjen her over. Prøv evt. at indsætte tal i stedet for de variable n og r, og kik derpå i trekanten. Fra PT1 ved vi, at der er 15 forskellige veje fra felt (0,0) til felt (6,2), når man kun kan bevæge sig skråt nedad til højre og venstre i trekanten, idet K(6,2) = 15. På fig.7 er vist forskellige udsnit at Pascals trekant. Udfyld de tomme felter ved beregning. Den sidste skal I først løse efter opgave 3. Fig.7 Pascals trekant ser ud til at være spejlingssymmetrisk omkring midterlinien. F.eks. er K(6,2) = K(6,4) = 15 og K(,3) = K(,5) = 56. Pascals Trekant 6 Opgave 2 Opgave 3
7 Giv flere eksempler på at det er rigtigt. Giv en forklaring på symmetrien. I skal altså forklare, at to talfelter i samme række, der ligger lige langt fra midterlinien, har samme talindhold. (Det kan være en hjælp at argumentere ud fra PT1). En anden tolkning af Pascals Trekant benyttes i sandsynlighedsregning. Vi bruger K(6,2) som eksempel. K(6,2) = 15 er antallet af måder, man blandt 6 kan udtage 2. Hvis man fx har 6 par sokker og skal have to par med i tasken, så kan de to par udvælges på 15 forskellige måder. Nedskriv på samme måde alle 15 forskellige udvalg af to par sokker blandt 6 par. Benyt en passende navngivning af sokkerne. Fire personer skal køre i karrusel i Tivoli. Der er kun én ledig vogn med plads til to personer. På hvor mange måder kan disse to personer udvælges blandt de fire? Vis samtlige måder ved at skrive dem ned. I skal i denne opgave undersøge summen af tallene i de forskellige vandrette rækker i Pascals trekant. Summen i række nr. n betegnes S n. Dvs. S 0 = 1 og S 1 = 2. Fig. n S n 1 2 Udfyld de tomme felter i fig... Kan I se systemet i tallene S 0, S 1, S 2, S n,? Opstil en formel hvor S n bliver udtrykt ved S n 1. Kan I opstille en formel, hvor S n bliver udtrykt ved n? Bestem S 20, S 50, S 100 og S 300 ud fra denne formel. Pascals Trekant 7 Opgave 4 Opgave 5
8 På fig.9 er der tegnet nogle skrå, parallelle diagonaler Rækkenummer Bestem summen af tallene i hver diagonal. Opskriv resultaterne i skemaet i fig Fig. 9 Diagonal nr Fig.10 Sum: Beskriv, hvorledes et nyt tal i følgen fremkommer af de foregående tal og udfyld hele skemaet. Hvis den n te sum betegnes f n skal I prøve at udtrykke f n ved f n 1 og f n 2. Har I set disse tal før? (ellers kik evt. i projektet Det gyldne snit, opgave 5). Pascals Trekant Opgave 6
9 Vi ønsker at udregne (a + b) 10, som betyder (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b), i alt 10 faktorer. Skulle vi gøre det i hånden, ville risikoen for at lave fejl eller løbe træt i det være meget stor. Lad os derfor se lidt systematisk på det: (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b = 1 a + 1 b (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = 1 a ab + 1 b 2 (a + b) 3 = (a + b) (a + b) 2 = (a + b) (a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = 1 a a 2 b + 3 a b b 3 Hvad er summen af eksponenterne i de enkelte led (Husk at a = a 1 )? Bemærk de røde koefficienter. Find en sammenhæng mellem eksponenterne og koefficienterne i relation til pascals trekant. (Husk at 1 = a 0 = b 0, så a 3 = a 3 1 = a 3 b 0 og b 3 = 1 b 3 = a 0 b 3 ) Opskriv (a + b) 4, (a + b) 5 og (a + b) 10 ved hjælp af Pascals trekant. Vores systematiske arbejde ovenfor hjalp os til at indse, at Pascals trekant giver os koefficienterne til ledene i udregningen af (a + b) n. Man kan også bevise, at det er korrekt, men her nøjedes vi med at indse det induktivt (se mere om beviser og induktive slutninger i projektet Ræsonnement og Bevis). Pascals Trekant 9 Opgave 7
10 Projekter LIGE/ULIGE I dette projekt skal I arbejde med fordelingen af lige og ulige tal i Pascals Trekant. Lad os først se på, hvad der sker, når man adderer lige og ulige tal. Når man adderer to lige tal, så får man et lige tal. To ulige tal giver også et lige tal, mens et lige og et ulige tal giver et ulige tal. Her er nogle eksempler: =, = 5, = 7 og =. Dette bliver generaliseret i fig. 11. Fig.11 + LIGE ULIGE LIGE LIGE ULIGE ULIGE ULIGE LIGE Prøv at sikre jer, at I forstår fig.11, før I går videre. Vi kan udnytte dette til at lave en farvelægning af Pascals trekant med to farver. Vi laver fig.11 om til fig.12 ved at lade lige tal svare til farve1 og ulige tal svare til farve 2. Vælg selv to farver og udfyld fig.12. Hent Bilag 3, som viser felterne i de første 51 rækker i Pascals trekant. Print det ud. Farvelæg det, idet I starter fra spidsen af trekanten og benytter skemaet i fig.12. Efter farvelægningen: Blev I overrasket over resultatet? Prøv at beskrive, hvad I ser i denne farvelægning. Ved at benytte bilag 3 kan I lave meget store Pascal trekanter. Klip passende i bilagene og lim dem sammen. Benyt lige så mange, I ønsker. Farvelæg igen felterne med to farver, som før. Alle lige tal får én farve, alle ulige tal en anden. Fig.12 + Farve 1 Farve 2 Farve 1 Farve 2 Pascals Trekant 10 Projekt J
11 Hvis I hænger den store farvelagte trekant op på skolen, vil andre elever kunne opleve en lille snert af tallenes forunderlige verden. Hent EXCEL-filen: PTmod2.xls, som viser kant-ettallerne i Pascals trekant. 1 1 A B C D E F G H I J K L M N Fig. 13 Udsnit af PTmod2.xls På grund af regnearkets faste celleopbygning er trekantens venstre side lodret, mens den anden side er skrå. Det bevirker, at indholdet i en celle er bestemt af cellen lige ovenover og cellen lige ovenover til venstre. I kan se, at alle kant-1 taller er placeret i de første 256 rækker. Desuden er der i celle B3 placeret en formel, der giver et 1 tal, hvis Pascal-tallet er ulige og et nul, hvis Pascal-tallet er lige. Kopier denne formel og sæt den ind i alle de indre tomme celler i Pascals trekant. Vort velkendte mønster vil træde tydeligt frem, hvis I formindsker regnearket passende. Prøv det. Pascals Trekant 11
12 I kan også farvelægge Pascals trekant inde i Excel. Marker trekanten Vælg Formater Vælg Betinget formatering Vælg celleindhold lig med 0 og vælg en farve til cellen. Print trekanten ud. Klip og klister til I har samlet alle printarkene til en 256 liniers Pascal trekant. Studér både den farvelagte og den udprintede Excel-trekant. Hvad ser I? Hvordan ser de ud? Hvilke egenskaber har de? Er de smukke eller ligegyldige? Giv en skriftlig beskrivelse. De centrale trekanter med 0 ere omkring den lodrette midterlinje i Pascals trekant adskilles alle af rækker udelukkende med ettaller. Er der et system i numrene på disse rækker? (Denne gang kalder vi rækken med det øverste 1 tal for række nr.1!) Hvilke kantlængder har trekanterne udelukkende med 0 ere, og hvor mange 0 ere er der i dem? Sæt resultaterne op i en tabel, så man kan se sammenhængen. (Kantlængden af siderne i disse trekanter er lig med antallet af 0 er langs siderne). Der er en interessant sammenhæng mellem disse kantlængder og antallet af lige tal(0 ere) i de tilhørende trekanter. Med T p betegner vi antallet af lige tal(0 ere) i trekanten med kantlængde p. Nogle af trekanternes kantlængder er primtal. For disse primtal skal I bestemme divisorerne i T p, dog ikke T p selv. Læg divisorerne i T p forskellig fra T p sammen. Hvad ser I? Gælder dette også, hvis p ikke er et primtal? Undersøg f.eks. T 15. (Eksempel: 24 har divisorerne 1, 2, 3, 4, 6, og 12, når vi ikke medregner 24 selv. Summen af disse divisorer er = 36.) I kan også undersøge, hvordan den relative fordeling af lige og ulige tal ændrer sig, efterhånden som Pascals trekant bliver større og større. Pascals Trekant 12
13 Udfyld skemaet i fig.14 Antal rækker fra toppen Antal ulige tal fra toppen Antallet af tal fra toppen Frekvensen af ulige Fig.14 tal Hvad ser I? ,000 1,000 0,33 Hvor vil tallene i sidste række ende, når trekanten er blevet uendelig stor? Man kan få en ide om fordelingen af lige og ulige tal, når Pascals trekant er uendelig stor, ved at se på følgende proces i en ligesidet trekant: Fig. 15 I denne proces bliver den midterste trekant hele tiden fjernet fra de ligesidede sorte trekanter. Dette kan fortsættes i det uendelige. Hvis den første trekant har arealet 1, så har den næste arealet 3/4. Der er altså forsvundet 25%. Dette vil ske, hver gang vi går til en ny trekant i pilens retning i figur 15. Hvis man hele tiden fjerner 25 % af det tilbageværende areal, vil man til sidst ende med noget, der ingen areal har, og så er trekanten blevet til en kurve, en såkaldt fraktal kurve kaldet Sierpinskis trekant. Da strukturen af denne trekant minder meget om Pascals trekant, når man har farvet de ulige tal sorte og de lige tal hvide, kan vi overføre vores arealbetragtninger til fordelingen Pascals Trekant 13
14 af lige og ulige tal i Pascals trekant. Det betyder, at når Pascals trekant er blevet uendelig stor, så fylder de ulige tal intet i forhold til de lige. Så er vi vist også ved grænsen af det, der giver mening for os! Naturlig udvidelse af projektet: Det, I har gjort i det foregående, svarer til at se på, om Pascal-tallene er delelige med to (lige tal) eller ikke delelige med to (ulige tal). Når et helt tal deles med tre, kan man få resterne 0 (tallet er deleligt med tre), 1 eller 2. Fig.16 Benyt samme ide som før og udfyld additionstabellen i fig Rest ved division med Rest ved division med Farvelæg Pascals trekant med tre farver, en for hver af resterne. Farvelæg med to farver. En farve til tal, der er delelige med 3, og en farve til de andre tal. I kan evt. opbygge en stor trekant ved at benytte bilag 3. Hvordan går det med frekvenserne af de tal, der er delelige med 3, efterhånden som Pascals trekant vokser? Lav tilsvarende for andre divisorer, f. eks. 5, 7,, 11 og 24. Kan man se forskel på mønstrene, om man bestemmer resterne mht. et primtal eller et sammensat tal? Pascals Trekant 14
Projekt Pascals trekant
ISBN 988089 Projekter: Kapitel 9 Projekt 9 Pascals trekant Projekt 9 Pascals trekant Et af målene i dette afsnit er at generalisere kvadratsætningerne, så vi fx umiddelbart og uden nødvendigvis at bruge
Læs mereIntroduktion til EXCEL med øvelser
Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereIntroduktion til Calc Open Office med øvelser
Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Dette undervisningsforløb har jeg lavet til et forløb på UCC Nordsjælland for særligt interesserede elever i 8. klasse. Alt, der står med rødt, er henvendt
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereF I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING
F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereMatematik og samfundsfag Gini-koefficienten
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs merematematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk
matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale
Læs mereAnalyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi
Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet
Læs mereProjekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg
Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,
Læs merematematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk
matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereExcel - begynderkursus
Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mere4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter
Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi
Læs mereKombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen
1 Statistik og sandsynlighedsregning er et relativt nyt emne i folkeskolens matematikundervisning. Ja, det er for den sags skyld et relativt nyt emne også i fagmatematikken og i anvendelser af matematik.
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereMini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING
MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter
Læs mereDu skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).
Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på
Læs mere3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden
Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereEvaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereHow to do in rows and columns 8
INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version
Læs merePascals trekant. Hvad er matematik? B, i-bog ISBN: 978 87 7066 494 3
Pascals trekant Det mest bemærkelsesværdige ved Pascals trekant er formentlig, at den for en gangs skyld ikke går tilbage til grækerne. I stedet har den gamle indiske, muslimske og kinesiske rødder, der
Læs mereÅrsplan for matematik 2012-13
Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereUafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
Læs mereALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER
ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers
Læs mereÅrsplan for matematik i 4. klasse 2014-15
Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at
Læs mereWord-5: Tabeller og hængende indrykning
Word-5: Tabeller og hængende indrykning Tabel-funktionen i Word laver en slags skemaer. Word er jo et amerikansk program og på deres sprog hedder skema: table. Det er nok sådan udtrykket er opstået, da
Læs mereI Excel kan du hurtigt lave din egen gangetabel eller tælletavle til at printe ud, hvis du laver den rigtige opsætning.
Mattip om Regneark 1 (Multiplikation) Du skal lære om: Tabeller i Excel Kan ikke Kan næsten Kan Hvordan et kasseapparat laves Hvordan en funktion laves Forskellige genveje Målsøgning til at finde et resultat
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereUsædvanlige opgaver Lærervejledning
Mette Hjelmborg Usædvanlige opgaver Lærervejledning Gyldendal Usædvanlige opgaver, lærervejledning af Mette Hjelmborg 008 Gyldendalske boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Forlagsredaktion: Stine Kock,
Læs mereEleverne skal lære at:
PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge
Læs mere1. Opbygning af et regneark
1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereSelam Friskole Fagplan for Matematik
Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereFormler & algebra - Fase 2 Omskriv & beregn med variable
Navn: Klasse: Formler algebra - Fase Omskriv beregn med variable Vurdering fra til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring. Jeg kan opstille en linjes ligning, når jeg
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereMatematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.
Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereDet gyldne snit, forløb i 1. g
Det gyldne snit, forløb i 1. g Mål - Træne at skrive elementære matematiske tekster på computer inkl. billeder, formler og tabeller - Bruge geometriprogram - Læse en elementær tekst selv om et fagligt
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereFå flot tekst i din slægtsbog med få klik (Af Henning Karlby)
Få flot tekst i din slægtsbog med få klik (Af Henning Karlby) Når man vil til at skrive sin slægtshistorie ind i et tekstbehandlingsprogram, vil man gerne give sin tekst sit eget udseende. Med det mener
Læs mereSeriediagrammer - Guide til konstruktion i LibreOffice Calc
Seriediagrammer - Guide til konstruktion i LibreOffice Calc På forbedringsvejlederuddannelsen anvender vi seriediagrammer til at skelne mellem tilfældig og ikketilfældig variation. Med et seriediagram
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereFaglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereFortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P
Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af
Læs mereUndervisningsplan for matematik
Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereÅrsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik
Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå
Læs mereTema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereÅrsplan for 1.klasse 2018/19 Matematik
Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereLÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15
LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin
Læs mereHop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.
Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mere1gma_tændstikopgave.docx
ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når
Læs mereÅrsplan for matematik
Årsplan for matematik 2016-17 Uge Tema/emne Metode/mål 33 Brøker + talforståelse Matematiske arbejdsmåder(metode) 34 Brøker + procent 35 Excel 35 GeoGebra/Geometri 36 Geometri 37 Emneuge 38 Geometri 39
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs merei tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale
Læs mereWord-5: Tabeller og hængende indrykning
Word-5: Tabeller og hængende indrykning Tabel-funktionen i Word laver en slags skemaer. Word er jo et amerikansk program og på deres sprog hedder skema: table. Det er nok sådan udtrykket er opstået, da
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereMatematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Læs mereF I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING
F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereRettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version
Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereÅrsplan for 7. klasse, matematik
Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereProjekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Læs mereUge Emne Formål Faglige mål Evaluering
Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig
Læs mereIterativ beregning af Rodapproximationer.
Iterativ beregning af Rodapproximationer. Jacob Nielsen I det følgende forklares med udgangspunkt i binomialformlen algoritmer til beregning af approxomationer til kvadratrødder og kubikrødder. Grund ideen
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mere