4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter
|
|
- David Astrup
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi vender nu tilbage til tabellen på SKALAGENERATOREN s Skærm B, for at se nærmere på de fire sidste kolonner. Som eksempel vil vi vælge snittet 31/53 = 0, (dette snit spille en vis rolle i den musikalske fortolking, og valget er således ikke tilfældigt). Figur 4.1 Fra gennemgangen af den algoritme til beregning af delingssekvensen, som er beskrevet i kap.2, husker vi, at der på visse steder af forløbet sker en ombytning af det store og den lille interval. Denne ombytning kan vi i ovenstående eksempel følge i de to første kolonner, men den er også markeret med et kryds i den kolonne, hvor der som overskrift står ombyt. Det viser sig nu, at ombytningen er nært forbundet med snittets kædebrøksfremstilling. Her tør jeg ikke forudsætte, at alle ved hvad en kædebrøk er, så derfor først en kort forklaring: En kædebrøk kan populært beskrives som en brøk, hvis nævner selv indeholder en brøk, hvis nævner igen indeholder en brøk... og så fremdeles. Enhver almindelig brøk og enhver decimalbrøk kan skrives som en kædebrøk, og omvendt kan enhver kædebrøk reduceres til en almindelig brøk eller en decimalbrøk. Hvis det oprindelige udtryk er rationelt, vil kædebrøken være endelig, er det irrationelt, vil kædebrøken være uendelig. I opstillingen herunder ses til venstre kædebrøken for 31/53 (det snit der er valgt i eksemplet fig.4.1), og i de efterfølgende opstillinger ser vi, hvordan kædebrøken nedefra reduceres, så den ender med at blive 31/53: = = = = En mere pladsbesparende måde at skrive ovennævnte kædebrøk på er følgende opsætning, hvor man kun anfører første led i hver linje (andet led, der fungerer som tæller i næste brøk i kæden, er overalt 1); denne opsætning kaldes også brøkens spektrum. Det første tal, efterfulgt af et semikolon, angiver brøkens eventuelt heltallige del; i dette tilfælde er det 0: 31 / 53 = [0; 1, 1, 2, 2, 4]
2 2 Det vi nu skal lægge mærke til er, at nævnerne i kædebrøksfremstillingen subs. elementerne i spektret trin for trin svarer til afstanden mellem afmærkningerne i tabellens ombyt -kolonne. Med andre ord afspejler kædebrøken eller spektret, hvor det store og det lille interval bytter plads. Denne afstand udregner programmet løbende og noterer den i næste kolonne som altså dermed bliver en fremstilling af snittets kædebrøk eller spektrum. Samtidig udregnes konvergenten, altså den tilnærmede værdi til snittet på det pågældende trin af forløbet (konvergenterne og deres beregning er omtalt i kap.1 og 2). Her benyttes den metode med heltaltsdivision, der er omtalt i kap.2 1 : tæller = snit nævner \ 1 Konvergenterne finder vi i næstsidste kolonne. I første omgang udregnes kun konvergenterne på de pladser, der svarer til kædebrøkens ellers spektrets elementer. Dermed får vi nemlig en række oscillerende konvergenter, såedes som vi så det i fig.1.3, hvor det handlede om det gyldne snit og Fibonacci-rækken. At konvergenterne er oscillerende, altså skiftevis større og mindre end snittet, er symboliseret ved de skiftevis opad- og nedadpegende pile i sidste kolonne. Som det fremgår af fig. 4.1, kan man også vælge at få udregnet konvergenterne på hvert trin i tabellen (man skal så sætte et flueben i checkboksen alle ). * * * Vi har nu set flere eksempler på, at SKALAGENERATOREN kan bruges til meget andet end til at generere skalaer med. Ved hjælp af programmet kan vi anskueliggøre sammenhænge fra vidt forskellige grene af matematikken, og mens vi er ved emnet kædebrøker, vil vi nu nærmere undersøge en speciel type af disse, nemlig de periodiske kædebrøker. Derved forstås kædebrøker, hvor det samme tal gentages uforandret. Et særligt kendt eksempel er igen det gyldne snit (0,618034), hvis kædebrøksfremstilling består af lutter 1-taller: 1 eller skrevet som spektrum: [0; 1, 1, 1, 1, 1 ] Nu kunne det være interessant at finde de tal, hvis spektrum består af lutter 2-taller, 3-tallet, 4-taller, for ikke at tale om sammensatte periodiske spektre som eksempelvis [0; 1, 2, 1, 2, 1, 2 ] [0; 2, 3, 2, 3, 2, 3 ] [0; 1, 1, 2, 1, 1, 2 ] [0; 1, 1, 3, 1, 1, 3 ] Dertil kan SKALAGENERATOREN også bruges. Fælles for alle periodiske spektre er nemlig, at tallet er kvadratisk, dvs. kan skrives som ( a b) / c. Et sådan tal er netop det gyldne snit, der som vi så i 1. kap. er løsningen på ligningen x = ( 5-1) / 2. For at undersøge de periodiske spektre mere systematisk har jeg tilføjet en funktion til SKALAGENERATOREN, hvor formlen kan udregnes for enhver værdi af a, b og c, og hvor resultatet derefter kan indsættes som snit. Når man på SKALAGENERATOREN s Skærm B klikker på knappen Åben kvadratiske snit kommer denne lille 1 Eksemplet kunne forlede til den opfattelse, at konvergenten kan findes som forholdet mellem antallet af små intervaller (tælleren) og summen af store og små intervaller (nævneren), for det passer her med de fire første konvergenter. Men det er blot et tilfælde.
3 3 REN s Skærm B klikker på knappen Åben kvadratiske snit kommer denne lille regnemaskine til syne: Figur 4.2 Bruger vi de tre værdier, som er valgt i fig.4.2, og åbner vi dernæst tabellen, vil vi opdage, at vi har fundet det tal, der har det periodiske spektrum [0; 2, 1, 2, 1, 2, 1 ] Figur 4.3 Læg mærke til, at der i dette tilfælde består en simpel forbindelse konvergenterne. Betegner vi to efter hinanden følgende brøker som henholdsvis n 1 / d 1 og n 2 / d 2, gælder det nemlig at n 1 d 2 = n 2 d 1 +1
4 4 For at se, om det er muligt at få øje på et mønster i forholdet mellem formlen og spektret, har jeg bl.a. systematisk gennemregnet denne version af formlen: ( a +1) / 2 for samtlige værdier af a mellem 1 og 50, og resultatet har jeg opstillet i den tabel, som følger her. Den heltallige del af spektret er udeladt, og på de steder, hvor talværdien bliver rationel, er rubrikken med spektret tom, da et sådant tal jo ifølge sagens natur ikke har et periodisk spektrum: formel talværdi spektrum formel talværdi spektrum ( 1 +1)/2 1 ( 26 +1)/ , 5 ( 2 +1)/ , 1 ( 27 +1)/ , 5 ( 3 +1)/ , 1 ( 28 +1)/ , 1, 6, 5 ( 4 +1)/2 1.5 ( 29 +1)/ ( 5 +1)/ ( 30 +1)/ , 5 ( 6 +1)/ , 2, 1, 1 ( 31 +1)/ , 1, 1, 10, 1, 1, 3, 5 ( 7 +1)/ , 4, 1, 1 ( 32 +1)/ , 22, 3, 5 ( 8 +1)/ , 10, 1, 1 ( 33 +1)/ , 1, 2, 5 ( 9 +1)/2 2 ( 34 +1)/ , 2, 2, 5 ( 10 +1)/ , 3 ( 35 +1)/ , 5 ( 11 +1)/ , 3 ( 36 +1)/2 3.5 ( 12 +1)/ , 3 ( 37 +1)/ , 1, 5 ( 13 +1)/ ( 38 +1)/ , 1, 2, 1, 1, 5 ( 14 +1)/ , 1, 2, 3 ( 39 +1)/ , 1, 1, 1, 1, 5 ( 15 +1)/ , 3 ( 40 +1)/ , 1, 1, 24, 1, 1, 1, 5 ( 16 +1)/2 2.5 ( 41 +1)/ , 2, 2, 1, 5 ( 17 +1)/ , 1, 3 ( 42 +1)/ , 2, 1, 5 ( 18 +1)/ , 1, 1, 1, 1, 3 ( 43 +1)/ , 3, 1, 1, 12, 1, 1, 3, 1, 5 ( 19 +1)/ , 2, 8, 2, 1, 3 ( 44 +1)/ , 4, 2, 4, 1, 5 ( 20 +1)/ , 2, 1, 3 ( 45 +1)/ , 5 ( 21 +1)/ , 3 ( 46 +1)/ , 8, 5, 3, 5, 8, 1, 5 ( 22 +1)/ , 5, 2, 5, 1, 3 ( 47 +1)/ , 12, 1, 5 ( 23 +1)/ , 8, 1, 3 ( 48 +1)/ , 26, 1, 5 ( 24 +1)/ , 18, 1, 3 ( 49 +1)/2 4 ( 25 +1)/2 3 ( 50 +1)/ , 7 Her fornemmer vi nok en vis form for mønster, men det er langt fra tilstrækkeligt til, at vi uden videre kan slutte os til, hvordan en bestemt periode fremkommer. Denne version af formlen dækker naturligvis også kun en bestemt delmængde af de periodiske spektre. Den omfatter f.eks. de ulige monotone spektre (altså de spektre der består af lutter 1-taller, 3-taller, 5-taller osv.), hvorimod vi leder forgæves efter de lige monotone spektre. Imidlertid har vi allerede i kap.2 set, at spektret bestående af lutter 2-taller fremkommer, når snittet er 2 1. Dog kunne vi lige så godt bare have skrevet 2 (eller mere generelt 2 ± n), for decimaldelen vil under alle omstændigheder være den samme. En nærmere undersøgelse vil afsløre, at de lige monotone spektre fremkommer, når ovennævnte formel reduceres, så den alene består af en bestemt serie af kvadratrødder. I den næste tabel viser jeg de 6 første led i denne serie. Det er ikke svært at gennemskue, hvad det næste led i rækken er, og dermed er det også muligt at udtrykke princippet i en formel men en formel der altså kun kan bruges på denne specielle serie). Prøv selv!.
5 5 kvadratisk form talværdi spektrum 2 0, , , , , , Skulle man få lyst til at tage udfordringen op, er det også muligt at finde en fælles formel for de lige og de ulige monotone spektre. I det hele taget er dette et spændende område for matematiske skattejægere. SKALAGENERATOREN tilbyder i denne forbindelse et godt værktøj. Men her må vi igen huske, at irrationelle tal kun kan beregnes og indsættes som tilnærmede værdier. På et eller andet tidspunkt af forløbet vil elementerne i kædebrøken eller spektret, ikke længere være korrekte. Man bør derfor ikke drage konklusioner om perioden, med mindre den i tabellen optræder mindst to gange. Der findes imidlertid også en anden metode, hvormed man systematisk og mere effektivt kan eftersøge tal med periodiske spektre. Jeg vil ikke komme ind på denne metode her, men vil henvise til min artikel Periodiske kædebrøker og til programmet af samme navn. En enkelt funktion fra dette program har jeg dog medtaget i SKALAGENERATOREN. Som man kan se i fig.4.2 kan man søge efter det snit, hvis kædebrøksfremstilling udelukkende består af et givet tal (altså er monoton). Dette tal indtaster man, hvorefter programmet sørger for resten. * * * Når kædebrøkesudviklingen er monoton periodisk, er der en klar forbindelse mellen konvergenterne. Betragt engang dette eksempel, hvor snittet er her 0, og perioden er 4: Figur 4.4 Her bemærker vi for det første, at tælleren for en given konvergent er lig med den foregående konvergents nævner (altså ganske som det er tilfældet med det gyldne snits konvergenter), og videre bemærker vi, at den før nævnte sammenhæng mellem konvergenterne: n 1 d 2 = n 2 d 1 +1, også gælder her. Nævneren er per definition lig med antallet af intervaller i den pågældende skala, og spørgsmålet er nu, om vi kan se et mønster i den måde, denne række udvikler sig på. Betragt den følgende opstil-
6 6 ling, hvor jeg har opløst hver af rækkens tal i to led, der begge selv, som række betragtet, er sammensat af rækkens tal (de to sidste led er ikke medtaget i fig.4.4): = = = = = = 5473 Når perioden er defineret (i dette tilfælde som 4), og vi kender et led i rækken, finder vi det næste led ved at gange perioden med det aktuelle led og addere det foregående led. Det kan vi udtrykke i denne formel, hvor s n står for det søgte led, s n -1 står for det aktuelle led, og s n -2 står for det foregående led: s n = s n s n -2 Det viser sig imidlertid, at formlen gælder for alle delingsforløb, hvortil der svarer en monoton periodisk kædebrøk. Kalder vi perioden p, kan formlen altså skrives som: s n = s n -1 p + s n -2 I det tilfælde, hvor p = 1, er det slet og ret den klassiske definition på Fibonacci-rækken. Vi har med andre ord igen fundet en formel, der også gælder for Fibonacci-rækkens søskende, og den nye formel er tilmed mere anvendelig, end den vi fandt i kap.1, fordi vi undgår at skulle inddrage størrelsen antallet af større intervaller. Uden støtte i SKALAGENERATOREN kan vi altså nu som endnu et eksempel finde konvergenterne, når perioden er 7: beregning af nævneren konvergenterne = 7 1 / = 50 7 / = / = / = / = / Efterfølgende kan vi så ved hjælp af SKALAGENERATOREN få bekræftet, at det er korrekt. Vi vil da også få at se, hvordan det periodiske forløb afspejler sig i den grafiske fremstilling af skalaerne: Figur 4.5 Det er de trappeformede forløb, vi skal lægge mærke til. Hver af disse forløb består af 7 trin (svarende til perioden), og de bevæger sig skiftevis mod højre og mod venstre (svarende til den ombytning, der i tabellen også er markeret med pile). Hvert nyt forløb gentager sig inden for hvert enkelt
7 7 trappetrin i det foregående forløb. På figuren kan vi kun følge de første tre forløb, men hvis vi kunne zoome ind på detaljerne, ville vi se, at de fortsætter i det uendelige. * * * Helt så nemt går det ikke, når perioden ikke er monoton for ikke at tale om de tilfælde hvor kædebrøksudviklingen slet ikke er periodisk. Ganske vist kan vi i begge disse tilfælde stadig bruge den sidste formel, men vi må nu erstatte p (perioden) med det til enhver tid aktuelle tal i kædebrøken, og desuden skal formlen nu anvendes på tæller og nævner hver for sig. I denne udformning er metoden kendt som Wallis algoritme 2. Den formuleres sædvanligvis sådan: Lad N k-2, N k-1 og samt D k-2, D k-1 og D k være hhv. tællerne (latin: Nominator) og nævnerne (latin: Denominator) i tre på hinanden følgende konvergenter. Lad endvidere g k være det led i kædebrøken, der svarer til den k te konvergent. Der gælder da følgende sammenhæng: N k = g k N k-1 + N k-2 og D k = g k D k-1 + D k-2 Som eksempel vil vi afprøve Wallis algoritme på det snit, vi senere skal lære at kende som musikkens gyldne snit: log 2 (3/2) = 0, Spektret eller kædebrøken er i dette tilfælde aperiodisk. Begyndelsen af forløbet fremstilles i SKALAGENERATOREN således: Figur 4.6 Vi vil beregne konvergenten til 7. led (hvor der i spektret står 5). Ombytter vi nu diverse indices med tal, ser de to formler således ud: N 7 = g 7 N 6 + N 5 og D 7 = g 7 D 6 + D 5 Vi opsøger nu de respektive tal i tabellen og indsætter dem i formlen: N 7 = = 179 og D 7 = = 306 Som vi ser, stemmer resultatet overens med SKALAGENERATOREN s udregning: konvergenten er på dette trin 179 / Opkaldt efter John Wallis ( ), professor i matematik ved universitetet i Oxford; var bl.a. Newtons lærer.
8 Når vi tolker forløbet som som en delingssekvens, kan vi imidlertid aflede tælleren direkte af nævneren, således som vi tidligere har set eksempler på, nemlig ved at at gange nævneren med snittet og bortkaste den heltallige det (dvs. udføre en heltalsdivision med 1). I eksemplet finder vi da tælleren sådan: (306 0, ) \ 1 = 179 8
Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum
Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet
Læs mere2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit
Dette er den anden af fem artikler under den fælles overskrift Matematiske Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse
Læs mere3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden
Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde
Læs mere5. Betingelsen for at to skalaer har samme indfoldede orden et spørgsmål om Farey-brøker
Dette er den sidste af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 5. Betingelsen for at to skalaer har samme indfoldede orden
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs mereFlexMatematik B. Introduktion
Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen
Læs merePå opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot
Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereHow to do in rows and columns 8
INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version
Læs mereALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER
ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereAnalyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi
Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet
Læs merematematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk
matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereMini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING
MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter
Læs mereIntroduktion til Calc Open Office med øvelser
Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereAffine - et krypteringssystem
Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereKvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter
Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende
Læs mereSammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel)
Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel) Indhold Introduktion...1 Eksport og tilpasning af tabeldata MUD...1 Direkte til Excel...1 Via Rapport i Word-format til Excel...1
Læs mereMatematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik
Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi
Læs mereHeldigvis har systemet indbygget en hjælp, som man kan benytte, hvis denne vejledning ikke berører det opståede problem.
Indhold Introduktion...2 Hjælp...2 Office knappen...2 Menulinjen...3 Fast værktøjslinje Hurtig adgang...3 Menupunkter...4 Startside...4 Indsæt...5 Sidelayout...5 Referencer...6 Forsendelser...6 Gennemse...6
Læs mereMatematik og samfundsfag Gini-koefficienten
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado
Læs mereMathcad Survival Guide
Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og
Læs mereHjemmesiden er opdelt i et sidehoved, en sidefod og mellem disse 3 kolonner: venstre, midterste og højre. Højre kolonne vises dog kun på forsiden.
Hjemmesiden er opdelt i et sidehoved, en sidefod og mellem disse 3 kolonner: venstre, midterste og højre. Højre kolonne vises dog kun på forsiden. VENSTRE kolonne indeholder flere elementer (se illustration
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereIntroduktion til EXCEL med øvelser
Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,
Læs mereVejledning til opdatering på hjemmesiden www.ifskjoldsaeby.dk
Vejledning til opdatering på hjemmesiden www.ifskjoldsaeby.dk Du logger på fra forsiden. Når du har indtastet brugernavn og password, vil der i højre side fremkomme en menu med punkterne: Redigér denne
Læs mereExcel tutorial om lineær regression
Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.
Læs mereTema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereREDIGERING AF REGNEARK
REDIGERING AF REGNEARK De to første artikler af dette lille "grundkursus" i Excel, nemlig "How to do it" 8 og 9 har været forholdsvis versionsuafhængige, idet de har handlet om ting, som er helt ens i
Læs mereFormler & algebra - Fase 2 Omskriv & beregn med variable
Navn: Klasse: Formler algebra - Fase Omskriv beregn med variable Vurdering fra til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring. Jeg kan opstille en linjes ligning, når jeg
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereEn lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)
Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...
Læs mereBrugermanual til MOBI:DO Make på Internettet
Brugermanual til MOBI:DO Make på Internettet Introduktion Med MOBI:DO Make kan du oprette guides, som kan ses i MOBI:DO. En guide virker som en checkliste, der fører brugeren hele vejen igennem en arbejdsopgave.
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereχ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium
χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version
Læs mereBilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen
Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs meretal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne
Læs mereKædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.
Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3
Læs mereTalregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3
VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereIndhold. Nyheder og vejledninger. 2. maj 2016 Manuel tilpasning af investeringsbevisnote
2. maj 2016 Manuel tilpasning af investeringsbevisnote Indhold Manuel tilpasning af investeringsbevisnote... 2 Rettelse af summer fælles... 2 Rettelse af summer person 1... 5 Rettelser af summer person
Læs mereKL S EFFEKTMÅLINGS- REDSKAB TIL KONTROLOMRÅDET
KL JANUAR 2017 TEKNISK VEJLEDNING KL S EFFEKTMÅLINGS- REDSKAB TIL KONTROLOMRÅDET OFFICE VERSION 2010 OG 2013 2 VEJLEDNING I ANVENDELSE AF VÆRKTØJ TIL EFFEKTMÅLING INDHOLD INDHOLD INDLEDNING A. TEKNISKE
Læs mereOm at finde bedste rette linie med Excel
Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det
Læs mereRegneark for begyndere
Regneark for begyndere Regneark i Open- og LibreOffice Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er et regneark?...4 Grundlæggende opbygning...4 Kast dig ud i det!...5 Du arbejder med: Din første
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereBrug af Word til matematik
Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereVisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra
Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens
Læs mereRationel VinduesDesigner TM Brugervejledning
Rationel VinduesDesigner TM Brugervejledning indhold: introduktion Side 2 Funktionsliste Side 3 Få adgang til systemet Side 4 opload dine billeder Side 5 Sådan bruges systemet Side 6 Gem dine eksempler
Læs mereEnkelt og dobbeltspalte
Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde
Læs mereOpsætning af rapporter
Opsætning af rapporter Rev. 09-03-2016 Rapporter findes under Kampagnestyring > Rapporter og diagrammer. Klik på Tilføj rapport for at oprette en ny rapport. Det er muligt at trække rapporter på mange
Læs mereLektion 3 Sammensætning af regnearterne
Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,
Læs merematematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk
matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereGennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()
Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereMatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet
MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet Tænk, hvis alle elever kunne arbejde med procesorienteret matematik. En arbejdsform, hvor du forsøger at arbejde med matematiske problemstillinger
Læs mereBRUGERVEJLEDNING TIL BRUG AF MC IKAST HJEMMESIDE.
BRUGERVEJLEDNING TIL BRUG AF MC IKAST HJEMMESIDE. www.mcikast.dk På hjemmesiden kan du se alle de kommende ture både i indland og udland. Du kan også se de ture, som er kørt. Alle turene er placeret i
Læs mereTaldata 1. Chancer gennem eksperimenter
Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.
Læs mereAPPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer
Læs merePensioneringsprocessen/Statens Administration
PENSAB Pensioneringsprocessen/Statens Administration Indhold 1. Overblik over den samlede proces... 2 2. Tildel pensionssag... 3 2.1 Søg i listen [Pensionssager]... 5 2.2 Tildel sag... 5 2.3 Afgiv sag...
Læs mereKapitel 5 Renter og potenser
Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95
Læs mere1. Opbygning af et regneark
1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes
Læs mereImport-vejledning. Fra NP Privatskole til UNI Login. - For UNI Login brugeradministratorer. 1. udgave, januar 2009
Import-vejledning Fra NP Privatskole til UNI Login - For UNI Login brugeradministratorer 1. udgave, januar 2009 UNI C 2009 Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf: 35 87 88 89 1 Eksporter fra NP Privatskole...
Læs mereF I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING
F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereDemo-udgave (kapitel 1 og 2) Udleveret frit på www.praktisk-it.dk
Demo-udgave (kapitel 1 og 2) Udleveret frit på www.praktisk-it.dk Vælg fanen Indsæt --> knappen Tabel Hvis du ikke kan se tabellen så vælg Fanen Layout --> knappen Vis Gitterlinje Brug musen til at trække
Læs mereAndreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX
IT -Eksamen Andreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX [Vælg en dato] Indhold Indledning... 2 Teori... 3 Hvorfor dette design... 4 Produktet... 4 Test og afprøvning... 9 Konklusion... 10 Indledning
Læs mereIndlæsning og anvendelse af kontoskema Res_14 til resultatopgørelse 2014. Vejledning
Indlæsning og anvendelse af kontoskema Res_14 til resultatopgørelse 2014 Vejledning December 2014 1 Indholdsfortegnelse 1 Formål med denne vejledning... 3 2 Hent filer med kontoskema og kolonneformat...
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereSøgning på patienter med kræft
Søgning på patienter med kræft Herunder finder du en vejledning til, hvordan du via dit elektroniske journalsystem (Novax) laver et udtræk over patienter fra din praksis, som i de seneste 3 år har haft
Læs mereKlasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010
HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereMini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted
Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under
Læs merewww.kjellerupskole.dk
ForældreIntra er et lukket univers, hvor forældre skal angive brugernavn og adgangskode for at blive lukket ind. I denne lille folder beskrives nogle af de vigtigste funktioner i ForældreIntra. Man finder
Læs mereBrugervejledning til. Vejleder
Brugervejledning til Vejleder UDARBEJDET AF DINO BABIC 12. AUGUST 2016 ADGANG TIL LOGBOGEN... 2 MIN PROFIL... 6 ÆNDRING AF KODEORD... 7 KALENDER... 8 KOMPETENCEOVERSIGT... 9 UDDANNELSESLÆGER... 10 KOMPETENCER
Læs mereIndledning. MIO er optimeret til Internet Explorer. Læs endvidere under Ofte stillede spørgsmål.
Indhold Indledning... 3 Søgefunktioner... 4 Søgning fra forsiden... 5 Søgning under menupunktet Instrument... 6 Sådan får man vist instrumenterne i en bestemt afdeling... 7 Sådan ændrer man status på et
Læs merePhoto Story 3. Photo Story 3
Side 1 af 8 Photo Story 3 Introduktion Når jeg tager på ferie, tager jeg altid en masse videoer og billeder, som jeg så efter hjemkomsten redigerer, så jeg selv og andre kan have glæde af at se indtryk
Læs mereOktober Dokumentpakker
Oktober 2017 Dokumentpakker Dokumentpakkerne er et værktøj til at udskrive dynamiske breve, som har en standardtekst i brevet, og hvor der automatisk sættes blandt andet patientens navn, adresse og aftaletid
Læs mere