F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

Transkript

1 F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER

2 Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Forudsatte begreber: Elementær geometri, talmængderne N, Z, Q og R, primtal. Inddragelse af supplerende stof: Ræsonnement og bevisførelse inden for udvalgte emner. BEVISER OG INDUKTIVE SLUTNINGER Overalt hvor man bruger matematik, har man brug for at ræsonnere, dvs. begrunde og forklare. Når vi for eksempel i en trekant kender to af vinklerne lad os sige at de er 60 grader og 45 grader, så kan vi finde den tredje vinkel ved at sige: 180 ( ) = 75. Det er et eksempel på et lille ræsonnement, hvor vi har benyttet os af, at vinkelsummen i en trekant er 180 grader. Ofte har ræsonnementer karakter af logiske slutninger af typen: Hvis så. Ovenfor: Hvis de to vinkler er 60 og 45 (og da vi ved vinkelsummen er 180 ) så er den sidste vinkel 75. Læg mærke til, at vi her benyttede os af følgende: En logisk slutning (nemlig Hvis Så) En viden vi havde på forhånd (vinkelsummen i en trekant er 180 grader) Almindeligt hverdagssprog En lille udregning Disse fire ingredienser vil I kunne finde mange gange i det følgende, hvor vi skal arbejde med ræsonnementer af forskellige typer. Den viden vi har i forvejen vil ofte være i form af andre sætninger, som allerede er bevist, og som vi derfor ved har gyldighed. Her var det, at vinkelsummen er 180 grader. (Måske har du på et eller andet tidspunkt set et bevis herfor - det er ikke svært). Når nye sætninger bevises ved at kombinere gamle sætninger gennem ræsonnementer, siger det sig selv, at man er nødt til at starte et sted. Man er nødt til at have nogle sætninger at gå ud fra, som virker umiddelbart troværdige. Sådanne sætninger kaldes axiomer. I geometrien har man sådanne axiomer, som stammer helt tilbage fra det gamle Grækenland. Et af dem formulerer vi i dag sådan: Tag en ret linje i planen og et punkt udenfor linjen, så kan man igennem dette punkt tegne én og kun én linje, som er parallel med den givne. Klart, ikke? Men det kan ikke bevises. Det er et eksempel på et axiom. Ræsonnement og bevis 2

3 Man kunne sige, at vi ovenfor har lavet et bevis for, at den sidste vinkel i trekanten er 75 grader. Men normalt reserverer man ordet bevis til det at begrunde forhold, som gælder i almindelighed, fx bevise en formel. Vi benytter os til hverdag af masser af sådanne formler og regler, hvis gyldighed vi ikke tænker dybere over. Som eksempel kunne vi se nøjere på reglen faktorernes orden er ligegyldig. Den benytter vi, når vi skal gange fx 171 med 14 og ikke tager det så nøje, om vi på lommeregneren indtaster 171 eller 14 først. Men reglen kræver egentlig en begrundelse. Lad os derfor se på det simplere tilfælde: 3 4 = 4 3. Du har for længst lært, at 3 4 betyder 4 tre gange, altså Tilsvarende er 4 3 det samme som Men er det nu så klart, at de to additionsstykker giver samme resultat? For at illustrere de to små additionsstykker, laver vi en figur med 3 rækker med 4 felter i hver og lader den betyde 3 4: Fig. 1 Hvis vi nu drejer figuren 90 grader, så får vi 4 rækker med 3 i hver, som jo illustrerer 4 3: Fig. 2 Da det er samme figur som før, er antallet af felter uændret, altså er 3 4 = 4 3. Samme type ræsonnement kunne vi lave som illustration til = , eller at n m = m n, uanset hvilke naturlige tal vi vælger for n og m. Det er hermed bevist, at reglen gælder for alle naturlige tal. Måske er det første gang, du ser en begrundelse/bevis for reglen, men det har sikkert ikke generet dig! Vi er nemlig vant til at lade os overbevise om regler, bare vi ser tilstrækkeligt mange eksempler på, at de virker. At vinkelsummen i en trekant er 180 grader, har din matematiklærer i folkeskolen måske overbevist dig om ved at lade dig tegne flere forskellige trekanter, måle vinklerne med en vinkelmåler, lægge tallene sammen og til slut konstatere at summen hver gang gav (cirka) 180 grader. Det kalder man en induktiv slutning. Man slutter (dvs. begrunder) fra flere eksempler (flere forskellige trekanter) til en almen regel, altså en regel som altid gælder. For de fleste mennesker er det tilstrækkeligt at være overbevist om, at en formel eller en regel er rigtig; Ræsonnement og bevis 3

4 og her er sådanne induktive slutninger oftest nok. Fagmatematikere er dog ikke tilfredse med det. Måske kan man nemlig tegne en trekant, som er så speciel, at vinkelsummen er noget helt andet end 180 grader! Matematikere ønsker at finde begrundelser, som dækker alle tænkelige tilfælde. Det kalder man et bevis. Et bevis er altså en almen begrundelse, som er udtømmende, og som altså ikke efterlader nogen løse ender. Der er dog mange eksempler på, at man har stået med matematiske regler, som man var overbevist om var sande, men som ingen kunne finde noget bevis for. Det har dog ikke afholdt mennesker fra at benytte dem. De induktive slutninger benyttes hele tiden i fx fysikken. De formler, man benytter her, kan nemlig ikke bevises i matematisk forstand. Men så længe de giver resultater, som stemmer overens med erfaringen, så benytter man dem. Lad os se på et eksempel, en sætning, som vi først begrunder induktivt og bagefter beviser. Summen af tre på hinanden følgende lige tal er delelig med 6 Sætningen siger altså, at når vi tager tre lige tal efter hinanden og lægger dem sammen, så kan resultatet deles med 6. Vi prøver med 4, 6 og 8: = 18, som kan deles med 6 På samme måde prøver vi: = 66 = 6 11, altså delelig med = 306 = 6 51, altså delelig med 6 Der skal sikkert ikke ret mange flere eksempler til, før du er overbevist. (Prøv selv med tre negative tal). Det var den induktive slutning. Men hvis man var rigtig kritisk, så kunne man sige, at der jo ikke er nogen garanti imod en dag at stå med tre sådanne tal, hvis sum ikke er delelig med 6. Så her kommer et bevis: Først minder vi om, at et lige tal altid kan skrives som 2 gange et andet helt tal, fx kan 18 skrives som 2 9, 56 som 2 28, osv. Vi tager nu et vilkårligt (tilfældigt) lige tal, som vi skriver som 2 n, hvor n er et helt tal. De følgende to lige tal hedder så 2 n + 2 og 2 n + 4. Vi lægger de tre tal sammen: 2 n + (2 n + 2) + (2 n + 4) = 6 n + 6 = 6 (n+1) Da summen er 6 gange (n+1), så kan summen deles med 6, hvilket vi skulle bevise. Ræsonnement og bevis 4

5 Beviset adskiller sig fra den induktive slutning på ét afgørende punkt: vi har ikke lagt os fast på hvilke tre tal, der benyttes. Det afhænger nemlig af, hvilket tal man sætter ind på n s plads. n er det, man kalder en variabel. Hvis n er 9, så får vi eksemplet fra før: 2 9 = 18, og ved at lade værdien af n variere kan vi få 2 n til at blive et hvilket som helst lige tal. Vores bevis er derfor generelt (alment), det dækker alle tænkelige situationer. Er du så overbevist gennem ovenstående bevis? Ja, det afhænger sikkert af, om du forstår det. Hvis du fx ikke kan følge den sidste omskrivning: 6 n + 6 = 6 (n+1), så er her en løs ende for dig, og så er du sandsynligvis mere overbevist af de tre tal-eksempler! Opgaver Bevis, at summen af tre på hinanden følgende lige tal er delelig med 3. (Vink: brug beviset for, at summen er delelig med 6, blot med en lille ændring). Opgave 1 Du kender formlerne for omkredsen og for arealet af en cirkel: O = 2πr og A = πr 2, hvor r er radius. Vi tager udgangspunkt i, at formlen for omkredsen allerede kendes, og vi vil bevise formlen for arealet. Det kan gøres ved hjælp af figurbetragtninger. Først skæres cirklen op i et antal lige store lagkagestykker : Opgave 2 Fig. 3 Dernæst lægges lagkagestykkerne op som vist herunder: Fig. 4 Ræsonnement og bevis 5

6 Forestil dig nu, at lagestykkerne er meget smalle, og at du allerede ved, at omkredsen er 2πr. Argumentér ud fra den sidste figur for, at arealet af cirklen er πr 2 Allerede i den græske oldtid kendte man følgende sætning: Opgave 3 Ethvert primtal større end 3 er nabo til et tal i 6-tabellen For at bevise sætningen er det nødvendigt at huske, at hvis et tal kan deles med 2 og med 3, så kan det også deles med 6. (Prøv selv med et par eksempler, hvis du er i tvivl). Og omvendt: hvis et tal kan deles med 6 (altså er med i 6-tabellen), så er det deleligt med både 2 og 3. Nu vælger vi et vilkårligt primtal, som vi kalder p. På figuren herunder er vist både p, p-1 og p +1, altså også p s nabotal: p -1 p p +1 Fig. 5 Prøv at argumentere for, at enten kan p -1 eller også kan p +1 deles med både 2 og med 3 (husk at hvert andet tal er med i 2-tabellen, og hvert tredje tal er med i 3-tabellen). Konkluder til slut, at sætningen gælder. Den engelske matematiker John Conway har udtænkt et lille spil, han kalder Into the Desert. Det minder lidt om spillet Dam. Idéen er, at man har et skakbræt, som må være så stort, man ønsker det, blot ikke uendelig stort. Igennem brættet går en linje, som adskiller ørkenen fra den beboede verden. Fra start må man kun anbringe dam-brikkerne i den beboede verden. Man må til gengæld anbringe så mange man har lyst til, og man må anbringe dem frit i den beboede verden. Brikkerne flytter som i dam ved at springe over en anden brik, som står umiddelbart foran. Pladsen efter brikken skal være tom. Her lander den springende brik, og den man sprang over fjernes: Opgave 4 Før: X X Efter: X Fig. 6 Man må springe lodret og vandret, men ikke skråt. Ræsonnement og bevis 6

7 Opgaven er nu at finde det færreste antal brikker (der placeres uden for ørkenen) for at komme ét skridt (og bagefter to, tre, skridt) ind i ørkenen. Ved at opstille to brikker som herunder, kan man komme ét skridt ind i ørkenen. Det er let at se (brikken til venstre springer blot over den anden): ØRKEN X X Fig. 7 At komme ét skridt ind i ørkenen krævede altså to brikker, da én brik ikke kan hoppe alene. Man kan sige, at vi hermed har bevist, at det kan lade sig gøre med to brikker. At bevise er i denne situation blot at demonstrere, at det kan lade sig gøre, altså at vise hvordan. Prøv selv at bevise, at man kan komme to skridt ind med fire brikker (det er ret let), og at man kan komme tre skridt ind med 8 brikker (det tager lidt længere tid). Nu skulle man tro, at det igen krævede det dobbelte antal brikker at komme fire skridt ind, altså 16 brikker, men sådan forholder det sig overraskende ikke! Her er altså et eksempel på, at en induktiv slutning ikke fungerer. Man kan bevise, at selv med 18 brikker kan man ikke komme fire skridt ind i ørkenen. Prøv at tænke lidt over, at når man skal bevise, at noget ikke kan lade sig gøre, så er det selvfølgelig ikke nok blot at prøve igen og igen med 18 brikker uden held. For måske findes der en opstilling med 18 brikker, vi bare ikke har forsøgt. (Men at forstå Conway s bevis herfor rækker desværre langt ud over, hvad vi kan her). Med tålmodighed kan man finde en løsning med 20 brikker. Prøv selv. Ingen ved, om det kan lade sig gøre med 19 brikker, så hvis du kan finde en sådan løsning, så har du som den første i verden bevist, at det kan lade sig gøre at komme fire skridt ind med 19 brikker! Conway har også bevist, at det ikke kan lade sig gøre at komme fem skridt ind i ørkenen, uanset hvordan Ræsonnement og bevis 7

8 og hvor mange brikker man stiller op (bare ikke uendelig mange)! Beviset bygger på Det gyldne Snit, som du kan finde noget om i et andet projektoplæg. Snydebeviser findes der mange af. Her kommer et bevis for, at en myg vejer det samme som en elefant. I sådanne beviser begår man undervejs en fejl, som er at benytte sig af en ulovlig omformning af en ligning. Opgave 5 Find fejlen. Lad a være elefantens vægt og b myggens. Forskellen imellem deres vægt kalder vi c: a b = c ( a b)( a b) = c( a b) 2 2 a ab ab + b = ac bc a 2 ab ac = ab b bc a( a b c) = b( a b c) a = b 2 og omform nu videre: (gang med (a b) på begge sider) (gang parenteser sammen) (tre led skifter side) (sæt a og b uden for hver sin parentes) (divider med (a b c) på begge sider) Da altså a = b, vejer en elefant det samme som en myg. Regulære polygoner er polygoner, hvor alle sider og alle vinkler er lige store. Den ligesidede trekant er en regulær polygon, som har tre lige lange sider, og tre vinkler på hver 60 grader. Tilsvarende er kvadratet en regulær polygon. Husk, at vinkelsummen i en n-kant er (n 2) 180, hvor n er antallet af sider. (Kontroller reglen med n = 3 (trekant) og med n = 4 (firkant)). Opgave 6 Fig. 8 Du skal nu lægge ens fliser, der har form som regulære polygoner, og undersøge om de kan dække hele planen, dvs. om de kan lægges uden mellemrum, og om man kan fortsætte uendeligt i alle retninger. Du ved allerede, at det kan lade sig gøre med kvadratet på denne enkle måde: Fig. 9 Ræsonnement og bevis 8

9 Undersøg, om man kan dække hele planen med regulære polygoner, hvis sidetal er 3, 4, 5, 6, 7 og 8. (Det er en god idé at benytte sig af små fliser i pap eller plastic til at eksperimentere med). Prøv at argumentere for, at det ikke er muligt at løse opgaven for visse af tallene fra 3 til 8. Kan du finde en regel, som gør det let at afgøre, om opgaven kan løses, blot du kender sidetallet? Er der nogle af tallene fra 3 til 8, hvor opgaven kan løses på flere forskellige måder? Og hvad vil det i øvrigt sige, at måderne er forskellige? Hvor mange forskellige farver kan man klare sig med, når et landkort skal farvelægges, uanset hvor kompliceret kortet er? Dette spørgsmål har optaget matematikere i mere end 100 år. Og faktisk har man været overbevist om det rigtige antal helt fra starten. Men først i 1976 lykkedes det for to matematikere (W. Haken og K. Appel) at bevise, at det forholdt sig, som man i mange år troede. Vi kalder her dette tal for F. Reglerne for farvelægningen er selvfølgelig, at nabolande ikke må få samme farve. Hvis to lande mødes i et enkelt punkt, så må disse to lande godt have samme farve. På kortet herunder er vist USA s stater. Arizona, New Mexico, Colorado og Utah mødes i samme punkt. Her må man fx godt give Colorado og Arizona samme farve. Opgave 7 Fig. 10 Prøv ved at eksperimentere at nå frem til en induktiv begrundelse for værdien af F. Start med USA-kortet, og lav derpå selv forskellige landkort i et tegneprogram, hvor det jo er let af fylde farver i de lukkede områder (Paint kan fint bruges). Klik for at hente USA-kortet ind i Paint: usa-kort.bmp Prøv derpå at lave et simpelt landkort med færrest muligt antal lande, men hvor det er nødvendigt med F farver. Når du har løst opgaven, så klik her for at hente et svært landkort : svær.bmp Ræsonnement og bevis 9

10 Projekter DE 6 MØNTER I det følgende skal du udforske en lille verden, der består af stabler af danske mønter og nogle opgaver, der knytter sig til at lægge forskellige beløb på bordet ved hjælp af præcis 6 mønter. At udforske betyder her at opstille og bevise forskellige sætninger, der gælder, når du lægger disse beløb op. Du har foran dig en stabel af hver af følgende mønter: Projekt A 25-øre, 1-kr., 2-kr., 5-kr., 10-kr. og 20-kr. NB: I første omgang udelader vi 50-øre! Hvis du skal lægge 6,75 på bordet med præcis 6 mønter, så kan du kun gøre det ved at lægge tre 2-kroner og tre 25-ører. Det kan du sikkert let overbevise dig selv om ved at tænke lidt over det. Prøv nu at bevise, at det kun kan gøres på denne ene måde. Husk, at et bevis ikke behøver være noget med variable a, b, x eller y (det fører heller ikke til noget her). Et bevis er blot en udtømmende begrundelse, altså en begrundelse uden løse ender. Det kan gøres ved at gå systematisk frem ved anvendelse af almindeligt hverdagssprog. Tegninger og figurer fremmer også forståelsen. Den sætning, du skal bevise, er altså Kr. 6,75 kan lægges på netop én måde med 6 mønter Ræsonnement og bevis 10

11 Prøv herefter, om I enten kan bevise eller modbevise sætningen: Kr. 18,25 kan lægges på netop to måder med 6 mønter Fortsæt nu på egen hånd med at udforske denne 6-mønt verden. Du kunne overveje og begrunde mange forskellige forhold, fx: Størstebeløb, mindstebeløb, beløb som ikke kan lægges, og hvad der karakteriserer dem. Hvad er det højeste antal måder, noget beløb kan lægges på? Nogle af forholdene kan du formulere som sætninger og bevise dem, andre er du måske nødt til at begrunde induktivt (gennem eksempler) og derfor lade stå tilbage som hypoteser. I kan afprøve jeres beviser ved at bytte med andre gruppers beviser. Kan I få de andre til at forstå og acceptere, at beviserne er uden løse ender, eller er der indvendinger? Prøv også at overveje, hvad det betyder at tage muligheden for 50-ører med? Lav en rapport over jeres arbejde. QUIZ MED 3 DØRE Projekt B Måske husker du dengang, TV2 brugte de såkaldte Hugo-spil i underholdningsudsendelser: En seer ringede ind og skulle styre trolden Hugo igennem forskellige typer af forhindringer i et computerspil. Hvis det lykkedes at komme helt hjem, så fik man til slut muligheden for at lade Hugo åbne én ud af tre døre. Bag én af dem var den store gevinst, bag de to var der ingenting, men man blev ekspederet ud med et spark bagi. Ræsonnement og bevis 11

12 Hugo-spillet var inspireret af en amerikansk quiz-udsendelse, som var mere ondskabsfuld. Her var quiz-deltageren tilstede i studiet og skulle løse nogle opgaver eller besvare spørgsmål. Hvis hun kom igennem, blev hun i studiet stillet over for tre døre. Bag dem alle tre var et transportmiddel. Bag én af dem var en splinterny bil, mens der bag de to andre stod en gedebuk! I en sådan udsendelse skulle en deltager vælge én af de tre døre. I det øjeblik hun trådte hen til den valgte dør og lagde hånden på dørhåndtaget, sagde studieværten: Vent lige lidt! Han gik nu hen til én af de to andre døre og åbnede den. Bag den stod en gedebuk (han vidste nemlig, hvor der var gedebukke, og hvor der var en bil). Det var ment som en hjælp til quizdeltageren, som endnu ikke havde åbnet sin dør. Spørgsmålet var nu, om det kunne betale sig for deltageren at vælge om og derfor åbne den tredje dør, eller om hun lige så godt kunne holde fast ved sit første valg? Prøv først at diskutere, hvad I umiddelbart tror ville være den bedste strategi: vælge om eller holde fast. Prøv derpå at simulere situationen. Tag fx tre krus og et stykke viskelæder. En i gruppen spiller deltager i quiz en og vender sig om, mens en anden putter viskelæderet under ét af krusene. (Viskelæderet er selvfølgelig bilen). I kan sikkert let udtænke resten af forløbet. Lav en serie eksperimenter, hvor quiz-deltageren hele tiden holder fast ved sit første valg. Lav derpå en serie, hvor vedkommende hele tiden vælger om. Hvad siger resultaterne? Når I nu kender løsningen på problemstillingen, som jo fører til en induktiv begrundelse, så prøv om I kan finde en almen begrundelse for, at det forholder sig som det gør, altså et bevis. Lav en rapport, hvor I både fortæller om jeres indledende overvejelser, beskriver forsøget, konkluderer på resultaterne og forsøger at lave et bevis. Ræsonnement og bevis 12