De forunderlige hvirvler

Transkript

1 17 De forunderlige hvirvler Vi kender alle hvirvler fra hverdagen f.eks. når vi hælder fløde i kaffen. En dyb forståelse af hvirvler og turbulens vil få stor praktisk betydning i mange sammenhænge. Men det er en stor matematisk udfordring. Af Jens Juul Rasmussen n Hvirvler er et fascinerende fænomen, som optræder i en lang række fysiske systemer på alle skalaer fra astronomiske dimensioner i galakser over planetare dimensioner, for hvirvler i planeternes atmosfærer og oceaner, og helt ned til atomare dimensioner, for hvirvler i superflydende væsker eller magnetiske fluxlinier i superledere. På trods af det store størrelsesspænd og stor forskellighed i fysiske medier, hvori de optræder, har hvirvlerne en række fælles karakteristika, og i alle tilfælde er de relaterede til en roterende bevægelse. I denne artikel vil vi begrænse os til de mere traditionelle former for hvirvelstrukturer, der optræder i væsker og gasser, som vi under ét betegner fluider. Hvirvler i dagligdagen De fleste af os har en umiddelbar fornemmelse af hvad en hvirvel er, for i dagligdagen møder man mange velkendte eksempler. Man kan blot iagttage hvirvlerne, der dannes, når man hælder fløde i kaffen og rører rundt, eller når man lukker vandet ud af badekarret. Hvirvler forekommer også mange steder i naturen, f.eks. ser vi i vejrudsigten hver dag på satellitbillederne, hvordan skyformationerne hvirvler rundt om et høj- eller et lavtryk. Naturen byder også undertiden på meget kraftige og ødelæggende hvirvler, som tornadoer eller de mindre voldsomme skypumper. Studiet af hvirvler og deres dynamik er af stor interesse for mange praktiske formål. Industrielle strømninger i pumper og turbiner er oftest domineret af kraftig rotation. I aerodynamiske strømninger omkring faste legemer er studiet af hvirveldannelse og dynamik af afgørende betydning for vindbelastningen på bygninger, broer, vindmøller og for udviklingen af flyvemaskiner. Hvirvler og turbulens Det er vanskeligt at give en præcis definition af en hvirvel. Som nævnt er et karakteristisk træk, at hvirvler optræder som en fluidmængde, der roterer rundt om et fælles centrum eller en fælles akse. Som regel er den hvirvlende bevægelse kraftigst i et begrænset område, og væskens rotationshastighed falder hurtigt med afstanden fra dette område. Turbulente strømninger er også domineret af hvirvelstrukturer, der danner et uhyre kompliceret mønster af store og små hvirvler, som tumler rundt mellem hinanden på tilsyneladende helt tilfældig vis. Man kan blot iagttage røgen, som kommer op af en skorsten eller i mindre målestok røgen, der stiger op fra en cigaret. En dybere forståelse af hvirvlers dynamik og vekselvirkning vil derfor have stor betydning for vores forståelse af udviklingen af turbulens, som er et af de klassiske problemer i fysik, der endnu ikke er løst. Det til trods for, at den matematiske model for strømninger i væsker og gasser de såkaldte Navier-Stokes lig- Foto: NASA Jupiters store røde plet, den rødlige struktur øverst i billedet, er et eksempel på en meget langlivet hvirvelstruktur. Den blev observeret allerede i begyndelsen af det 17. århundrede, efter at man havde opfundet teleskopet, og er stadig tilstede her næsten 400 år senere. Strukturen er en kraftig storm i Jupiters atmosfære på den sydlige halvkugle med vindhastigheder op til 400 km/time. Den røde plet har en udstrækning på ca km i nord-syd retningen og km i øst-vest retningen. Jupiters diameter er ca km. Den røde plet er ikke fuldstændig statisk, den undergår stadig en dynamisk udvikling og vekselvirker med den omgivende turbulente strømning. Billedet her blev taget med NASA's Voyager 1 satellit i februar 1979.

2 18 A k t u e l N a t u r v i d e n s k a b ninger, som beskriver impulsbevarelsen ved hjælp af Newtons lov anvendt på et fluidelement har været kendt i mere end 175 år. En tilbundsgående forståelse af turbulens vil bl.a. bidrage til at forbedre vejrudsigterne og forudsigelserne af spredning af forurening. For to-dimensionale strømninger er situationen delvist afklaret. Det er her vist, at løsningerne til Navier-Stokes ligningerne altid er regulære dvs. at løsningerne forbliver glatte, og der udvikles ikke singulariteter i strømningsfeltet. Dette matematisk vigtige resultat er derimod ikke vist for generelle tre-dimensionale strømninger. I to-dimensionale strømninger finder man således, at hvirvelstrukturer er specielt robuste og meget langlivede. Hermed menes, at de kan eksistere i tidsrum, som er mange gange deres interne rotationstid. Det er således klart, at disse strukturer vil have afgørende indflydelse på strømningens udvikling. Hvirvler i to-dimensionale strømninger I systemer, hvori strømningerne med god tilnærmelse er todimensionale, foregår bevægelserne i et plan, f.eks. (x,y)-planet og bevægelsen (dvs. hastighedsfeltet) er uafhængig af z- koordinaten vinkelret på dette plan. En hvirvel i to-dimensionale systemer er relativt nem at visualisere, man skal blot iagttage strømningens hastighedsvektor i planet, og hvirvlen vil i den simpleste form tage sig ud som en væskemængde, der roterer omkring et fælles centrum. Normalt vil den roterende del af væsken være lokaliseret til et endeligt område. Man taler her om en hvivelstyrke, som et udtryk for, hvor kraftigt væsken hvirvler rundt inden for hvirvlen. Matematisk er hvirvelstyrken udtrykt som rotationen af hastighedsfeltet. I to-dimensionale strømninger er hvirvelstyrken på et væskeelement bevaret, hvis der ikke er viskositet til stede. Viskositeten opstår som følge af gnidningskræfterne, der tager energi Hvirvelsystemer Forskellige hvirvelsystemer i todimensionale strømninger. Tynde pile angiver den hvirvlende bevægelse inde i hvirvlerne. Tykke pile angiver bevægelsen af hele strukturen. ud af strømningen, og en endelig viskositet bevirker således, at alle forstyrrelser af systemet vil dø ud på langt sigt. Viskositeten virker dog hovedsageligt på småskala-størrelser. Derfor kan storskala-hvirvler være langlivede. Endvidere vil de være robuste over for forskellige forstyrrelser, og der foregår ikke nogen væsentlig radiær opblanding i en hvirvel. Placerer man f.eks. passive partikler inden i en hvirvel, vil disse rotere rundt om hvirvlens centrum med en fast radius. Hvirvlens rand optræder således som en effektiv transportbarriere, som fluidelementer såvel som passive partikler ikke vil krydse. Tilstedeværelsen af hvirvler i en strømning vil derfor have afgørende indflydelse på spredningen og opblandingen af tilsatte stoffer, der er tilsat strømningen. I tre-dimensionale strømninger vil forholdene være væsentligt anderledes: man har her en ekstra frihedsgrad, idet en hvirvel kan blive strakt eller trykket sammen i længderetningen, hvorved hvirvelstyrken inde i hvirvlen vil ændre sig. Imidlertid er volumenet af et sådant hvirvelrør bevaret, altså må et hvirvelrør, der strækkes ud blive tyndere og tyndere, mens hvirvelstyrken vokser. 2D i en 3D-verden Man kan spørge, om det overhovedet er rimeligt at tale om to-dimensionale strømninger i en generelt tre-dimensional verden. Der findes imidlertid en lang række systemer, som har en høj grad af anisotropi, hvilket betyder, at udviklingen i én retning er væsentlig forskellig fra udviklingen i de to andre retninger. Det er disse systemer, vi betragter her. De vigtigste eksempler på årsagerne til en sådan anisotropi er: 1)Systemets geometri: Den rumlige udstrækning af systemet er meget større i et plan end vinkelret på dette. Eksempler: Galakser, jordens atmosfære og oceaner. 2)Stratificering (lagdeling): Systemet har en varierende massefylde i den vertikale retning i et tyngdefelt således, at den vertikale bevægelse er undertrykt. Eksempel: Jordens oceaner. 3)Rotation: Systemet roterer som et stift legeme med konstant omdrejningsfrekvens. Når væskebevægelserne i det roterende system er så langsomme, at Coriolis-kraften er den dominerende kraft, vil bevægelsen hovedsageligt foregå i planet vinkelret på omdrejningsaksen. Eksempel: Atmosfæren og oceanerne på roterende planeter. Det er således karakteristisk, at storskala geofysiske strømninger med god tilnærmelse kan betragtes som to-dimensionale. 4)Magnetfelt: Lavfrekvente fluktuationer i et magnetiseret plasma opfører sig også to-dimensionalt i planet vinkelret på magnetfeltet. Lorentz-kraften i dette system spiller en rolle analogt med Coriolis-kraften i det roterende system. Hvirvel-eksperimenter Der er i de senere år foretaget mange eksperimentelle undersøgelser af hvirveldynamik i todimensionale strømninger i laboratorieopstillinger, og man har nu opnået et detaljeret billede af hvirvlernes dynamik. Man har f.eks. undersøgt: strømninger i sæbefilm, hvor geometrien sikrer den to-dimensionale opførsel, man har lavet eksperimenter i stratificerede væsker, bl.a. i saltvand med en saltkoncentration, der vokser med dybden, og man har udført eksperimenter i roterende væsker, hvor man roterer et kar med vand med en konstant rotationsfrekvens og foretager målingerne i det roterende system. I disse eksperimenter har man benyttet sig af en avanceret diagnostik, der kan måle tidsudviklingen af hastighedsfeltet i planet ved at følge små partikler, som passivt følger med strømningen. Man har også studeret hvirveldynamik i magnetiserede plasmaer, især i elektronplasmaer, som modellerer en næsten viskositetsfri to-dimensional strømning. De eksperimentelle resultater er støttet af direkte numeriske løsninger af Navier- Stokes ligningerne for to-dimensionale systemer. De numeriske løsninger giver adgang til alle detaljer af strømningsfeltet, og ved at sammenholde dem med eksperimentelle observationer har man opnået en detaljeret forståelse af strømningsdynamikken.

3 19 Figur 3. Dannelse og udvikling af en dipol-struktur. a) Dipolen dannes ved, at en turbulent vandstråle (tilsat farvestof) sprøjtes ind i en lagdelt væske. Der er 20 sek. mellem de to første billeder og 40 sek. mellem de to sidste. Billederne viser det horisontale plan. I den vertikale retning er bevægelserne stærkt undertrykte på grund af forskellen i massefylde. b) Numerisk løsning af de todimensionale bevægelsesligninger (Navier- Stokes-ligningerne) med en begyndelsesbetingelse, som skal modellere den turbulente stråle, der er skudt ind i væsken. Her er hvirvelstyrken vist. Den røde farve angiver positiv hvirvelstyrke, dvs. væsken roterer mod uret, mens den blå farve angiver negativ hvirvelstyrke, dvs. væsken roterer med uret. Man observerer en udvikling, der stemmer fint overens med de eksperimentelle observationer i a), dvs. en meget klar selvorganisering, som resulterer i dannelsen af en dipol-struktur Forskellige hvirveltyper Den grundlæggende hvirvelstruktur i to-dimensionale strømninger er den såkaldte monopol-hvirvel, som f.eks. Jupiters Store Røde Plet. Den er essentielt karakteriseret ved, at væsken hvirvler omkring et fælles center med én omløbsretning. Hvirvelstyrken kan imidlertid godt have varierende fortegn det vil så typisk være i koncentriske ringe omkring centret. Disse typer af monopoler kan være ustabile, således at hvis de udsættes for en lille forstyrrelse, vil denne forstærkes, hvilket resulterer i, at hvirvelen ændrer struktur. Monopoler kan også have elliptisk form, men disse er ofte ustabile, og vil have en tendens til at blive symmetriske ved at udsende filamenter. Der findes også mere komplicerede hvirvelsystemer, som er bygget op af flere monopoler. De vigtigste af disse strukturer er dipoler og tripoler (se boks). Dipoler består af to monopoler med modsat fortegn af hvirvelstyrken. Denne struktur bevæger sig gennem den omgivende væske, idet strømningsfeltet fra den ene skubber den anden fremad. Hvis de to hvirvler er ens, bortset fra at deres hvirvelstyrke er modsat rettet, vil dipolen bevæge sig på en ret linie. Hvis den ene pol har en større hvirvelstyrke end den anden, vil dipolen bevæge sig på en cirkulær bane med den stærkeste hvirvel nærmest centret. Tripoler består af en central hvirvel med hvirvelstyrke af ét fortegn og to satellitter med modsatrettet hvirvelstyrke placeret symmetrisk omkring centrum af den centrale hvirvel. En balanceret tripol roterer omkring sit eget centrum. Højere ordens multipoler kan også konstrueres som løsning til bevægelsesligningerne; men de vil ofte være vanskelige at observere, da de er meget skrøbelige. Man har dog observeret quatropoler (strukturer der består af én central hvirvel med tre satellitter af modsat hvirvelstyrke) både i numeriske løsninger af ligningerne og i eksperimenter; men de er oftest ustabile, og falder fra hinanden ved den mindste forstyrrelse. Hvordan dannes hvirvler I to-dimensionale strømninger kan hvirvelstrukturer let dannes ved en organiseret ydre påvirkning. Har man f.eks. et rote- rende kar med vand, kan man ved at røre rundt lokalt få dannet en monopol hvirvel, som bliver stående i lang tid og spinder rundt. Hvirvler kan også opstå spontant ved selvorganisering ud fra et tilfældigt strømningsmønster; f.eks. vil man i to-dimensionale turbulente strømninger observere, at større hvirvelstrukturer opstår spontant, og efterhånden dominerer udviklingen. I figur 3 vises et eksempel på dannelsen af en dipolstruktur ud fra selvorganisering af en turbulent vandstråle, som er skudt ind i en lagdelt væske. De eksperimentelle resultater er sammenholdt med resultater fra numeriske løsninger. Man observerer, at dipolstrukturen efter dannelsen bevæger sig med konstant hastighed gennem væsken. Hvirvler i grænselagsstrømninger En væske- (eller luft-) strømning i kontakt med en fast overflade vil give anledning til, at der dannes et grænselag, hvori væskens hastighed vokser fra nul helt inde ved overfladen til den jævne strømningshastighed ude i væsken. I dette grænselag dannes der hvirvelstyrke, og under visse omstændigheder kan der opstå hvirvler, som river sig løs fra grænselaget. En grænselagsstrømning kan også opstå mellem to væskemængder, der har forskellige hastigheder. En sådan situation er ustabil, afhængigt af hastighedsvariationens form, og der vil dannes hvirvelstrukturer på tilsvarende måde som dannelsen af hvirvelstrukturerne i grænselaget ved en fast overflade. Denne situation er ofte forekommende i geofysiske strømninger, og er en af de vigtigste mekanismer til at danne hvirvelstrukturer i disse strømninger. For at undersøge stabiliteten af grænselagsstrømninger og dannelsen af hvirvler har vi på Risø opbygget et eksperiment med et roterende tyndt lag vand i et parabolsk kar, som vist i figur 7. Heri kan vi modellere dynamikken i atmosfæren på roterende planeter. Karrets bund er opdelt i to koncentriske sektioner, således at vi kan rotere den inderste del poldelen separat i forhold til resten af karret. Vi kan hermed skabe en grænselagsstrømning,

4 20 A k t u e l N a t u r v i d e n s k a b Hvirvlers vekselvirkning Når to hvirvelstrukturer kommer tæt på hinanden eller på faste overflader, vil der ske en vekselvirkning. I denne boks er vist nogle eksempler på sådanne vekselvirkningsmønstre på baggrund af undersøgelser foretaget på Risø. I figuren vises ved hjælp af numeriske løsninger af Navier-Stokes ligningerne i to dimensioner, hvad der sker, når hvirvler med hvirvelstyrke af samme fortegn mødes. Til venstre vises udviklingen af hvirvelstyrken (rød angiver positive værdier). Når to hvirvler er langt fra hinanden, vil de ikke vekselvirke særlig kraftigt, de vil blot rotere rundt om hinanden. Når to hvirvler imidlertid er tilstrækkeligt tæt på hinanden, vil de vekselvirke meget kraftigt. Som tiden går, snører de to hvirvler sig mere og mere ind i hinanden i en spiral-form, mens spiral-arme "skydes" ud for at holde det angulare moment bevaret (T=0.30 og 1.20). Figuren illustrerer den karakteristiske egenskab ved to-dimensionale strømninger; nemlig at hvirvelstyrken er bevaret på et væskeelement. De to hvirvler overlapper ikke hinanden; men vikles ind i hinanden, og filamenterne bliver tyndere og tyndere. Dette er illustreret i figuren til højre, som viser udviklingen af partikler, der før "sammensmeltningen" var placeret i hver sin hvirvel. De grønne i den højre hvirvel og de røde i den venstre. Mønstret viser, at der ikke er nogen transport af partikler "radiært" i hvirvelstrukturerne, men at partiklerne holder sig inde i den hvirveldel, hvor de er "født". A De tre figurer her viser, hvad sker der, når to dipoler møder hinanden. Det fremgår, at der er tre grundtyper af vekselvirkninger. Farverne rød og blå angiver hhv. positive og negative værdier af hvirvelstyrken. B C A) Her er de to dipoler identiske og bevæger sig frontalt mod hinanden. De mødes, skifter partner, og går så hver til sit. B) For to forskellige dipoler, hvor den ene består af stærkere hvirvler end den anden, vil der også i første omgang ske et partnerbytte, de to nye par vil så danse en gang rundt om hinanden, hvorefter de mødes igen og bliver forenet med deres oprindelige partnere. C) Hvis kollisionen ikke er direkte frontal kan vi få en udvikling, som ses her: de to negative parter vil "smelte" sammen og forme den centrale hvirvel i en tripol-struktur.

5 21 Om forfatteren Jens Juul Rasmussen Afdelingen for Optik og Fluid Dynamik, OFD-129 Forskningscenter Risø 4000 Roskilde Tlf.: Figur 7. Det parabolske kar. Her undersøges dynamikken af hvirvler i et tyndt lag vand med en hurtig rotationshastighed. Dynamikken i karret er analog til dynamikken i atmosfæren omkring roterende planeter. Karrets bund har en parabolsk form, og ved en bestemt rotationshastighed vil vandlagets tykkelse omtrent være konstant (i et roterende system vil vandoverfladen indstille sig i en parabolsk form). Korioliskraften ændrer sig, når man bevæger sig op langs karrets sider. Kraften er stærkest i centrum, som således svarer til polen på en roterende planet. Figur 8. Dannelse af hvirvelstrukturer i en cirkulær grænselagsstrømning i en roterende væske i det parabolske kar. Grænselagsstrømningen dannes ved, at den inderste del af karrets bund roteres ved en anden hastighed end resten af karret. Hvirvelkæden er visualiseret ved hjælp af farve tilsat vandet. De eksperimentelle observationer er vist øverst, mens resultaterne fra en numerisk løsning af modelligninger ses nederst. De numeriske resultater passer fint med de eksperimentelle: der dannes fem hvirvler (de stærkt røde områder). Antallet af hvirvler afhænger af hastighedsvariationen over grænselaget. Resultaterne præsenteret i denne artikel er blevet til i et samarbejde inden for Plasma og Fluid Dynamik Programmet på Forskningscenter Risø. Anders H. Nielsen har udarbejdet de numeriske figurer, mens Bjarne Stenum står for de eksperimentelle figurer. som kan varieres over et stort parameterområde. Man kan forestille sig den inderste roterende del som en stor drevet hvirvel. Den er en forsimplet model af den såkaldte polhvirvel, der er en udstrakt hvirvel, som opstår over jordens nordpol især i vinterhalvåret (og tilsvarende over sydpolen). Denne polhvirvel har vist sig at være stærkt medvirkende til dannelsen af ozonhullet over polerne. Polhvirvlen virker som en effektiv transportbarriere, således at den ozon, der nedbrydes over polerne i vinterhalvåret, ikke kan blive erstattet af ny ozon, der er dannet på lavere breddegrader, hvor det nødvendige sollys er til stede. I vores opstilling har vi foretaget en detaljeret undersøgelse af hvirvelstrukturerne, der dannes i randen af polhvirvlen (se figur 8). Der er endnu meget, vi ikke forstår! Jeg håber, at jeg har givet læserne et lille indblik i hvirvlernes forunderlige verden. Som det vil fremgå, har man nu en rimelig detaljeret forståelse af dynamikken af hvirvelstrukturer i simple to-dimensionale strømninger, som kan realiseres i laboratorieeksperimenter og studeres ved nøjagtige numeriske løsninger af ligninger. Der mangler dog stadig en del, før vi forstår fuldt udviklede turbulente strømninger, og især hvordan disse strømninger kan transportere og opblande passive såvel som aktive partikler og andre materialer. Resultater fra disse håndterlige systemer kan hjælpe med at forstå dynamikken i mere komplicerede systemer (f.eks. tre-dimensionale strømninger), og specielt kan de lede os til at stille de relevante spørgsmål. Om Jupiters hvirvel: Billeder: photojournal.jpl.nasa.gov En virkelig god generel beskrivelse af hvirveldynamik: index.html