Hedging med obligations-optioner

Transkript

1 HEDGING MED OBLIGATIONS-OPTIONER Claus Madsen version 11. januar Electronic copy available at:

2 Hedging med Obligations-Optioner 1. Indledning I dette arbejdspapir vil jeg foretage en uddybning af de betragtninger omkring optioner, som blev foretaget i arbejdspapiret "Porteføljebetragtninger i en deterministisk verden". Hovedformålet med dette notat er at vise hvorledes obligations-optioners risiko skal opgøres, og herunder gennemgå det interaktive forhold imellem disse risikofaktorer. Den optionsmodel, som analysen vil blive foretaget med udgangspunkt i, er Black 76 modellen, som jeg kort vil gennemgå i afsnit 2. I afsnit 2 vil jeg endvidere gøre rede for put-call pariteten, og kort diskutere alternative optionsmodeller. Derefter vil jeg i afsnit 3 foretage en analyse af obligations-optioners risici, samt deres indbyrdes relation, hvorefter jeg i afsnit 4 vil beskæftige mig med optionsportefølje betragtninger. I afsnit 5 vil jeg gå ind i en nærmere gennemgang og diskussion af volatilitetsestimationsproblematikken. 2. En simpel prismodel for obligationsoptioner 2 Electronic copy available at:

3 I forbindelse med prisfastsættelse af optioner, er der en række parametere, som den valgte model kræver før selve optionsvalueringen kan finde sted. Disse parametere kan princippielt opdeles i to kategorier, nemlig input som er bestemt endogent, og input som skal specificeres eller estimeres. De kendte parametere i en optionsmodel er: 1: optionens løbetid, 2: optionstypen, europæisk/amerikansk og put/call, 3: exercise prisen, 4: den gældende pris på det/de underliggende instrument/er, 5: den gældende risikofri rente 1. De ukendte parametere kan være følgende: 1: prisen på det/de underliggende instrument/er på exercisedatoen. Hvis det er en amerikansk option, er det endvidere nødvendigt, at man kender prisudviklingen for det/de underliggende instrument/er over hele optionens løbetid, 2: den effektive rente på det/de underliggende instrument/er på exercisedatoen, og hvis det er en amerikansk option også på alle de mellemliggende datoer. Her skal lige pointeres, at denne effektive rente vil ligge på forskellige steder på rentekurven for hver dato i takt med, at den/de underliggende instrument/er nærmer sig udløb, 3: den "korte" rente (risikofri-rente) over hele optionens løbetidssprektrum, 4: forecast på pris eller rente volatiliteter. De kendte parametere er fælles for alle optionsmodeller, hvorimod hvad angår de ukendte parametere, er hvilke af dem der skal specificeres, anhængig af den valgte model. Det som skiller de enkelte modeller fra hinanden er princippielt måden hvorpå de behandler/opfanger usikkerheden i de parametere, der kræves som input. De to mest kendte 1 Selvom den risikofri rente princippielt set ligeså godt kan findes ved anvendelse af den estimerede nulkuponrentestrukur som fra pengemarkedet, antages den alligevel at være kendt. Dette da nulkuponrentestrukturen her betragtes som værende givet. 3

4 klasser af modeller, er: 1: simple analytiske modeller, herunder den allestedsværende Black- Scholes model og varianter heraf. Disse modeller har den smukke egenskab, at de alle sammen resulterer i det man kalder for "closed form analytical formulas" 2, 2: lattice baserede modeller, det som i mange tilfælde går under navnet binomialmodeller. Disse modeller resulterer, i modsætning til de ovenfor nævnte modeller, som hovedregel ikke i analytiske udtryk 3. Optionsmodeller i bred forstand har det til fælles, at de indeholder en antagelse om, hvorledes det/de underliggende instrumenter udvikler sig over dens løbetid. Det er mest almindeligt, at der kun antages, at der er en variabel der driver den underliggende stokastiske proces. Eksempelvis givet ved en antaget sandsynlighedsfordeling for denne variabel på exercisedatoen, eller mere generelt defineret som en funktion af tiden. Dette parameter eller denne variabel, som driver den underliggende stokastiske proces, går normalt under navnet en stokastisk variabel eller en tilstandsvariabel. Optionsmodeller, som modellerer den stokastiske proces ved anvendelse af enten prisen på en kuponobligation, eller dens effektive rente, er det man kalder for lokalt arbitrage-frie modeller. Dette da de ikke er arbitrage-fri på tværs af instrumenter, eller sagt på en anden måde, de er ikke valide i en generel rentestruktur betragtning. Modeller, som kan siges at være arbitrage-fri i global forstand, er modeller som modellerer hele dynamikken i rentestrukturen; dette gælder bl.a for lattice modeller, som er defineret i den "korte"/risikofri rente 4. I forbindelse med de betragtninger som er beskrevet ovenfor omkring lokalt arbitrage-fri- og globalt arbitrage-fri modeller, skal her påpeges, at for at dette kan siges at være gældende, er det et krav, at de enkelte modeller tilfredsstiller put-call pariteten. Ellers vil der være risikofri arbitrage muligheder internt i systemet. 2 For en mere teoretisk gennemgang af optionsmodeller af denne type, henvises til "Prisfastsættelse af obligationer i kontinuerlig tid", "Det forward rente justerede risikomål og prisfastsættelse af renteafhængige fordringer", "Prisfastsættelse af optioner på kuponbærende obligationer" og endvidere til afhandlingen "Styring af renterisiko i obligationsporteføljer". Se bl.a. også Chan 1992 og Jamshidian Modeller af denne type er, bl.a hvad angår Cox, Ross og Rubenstein`s models vedkommende, behandlet i afhandlingen "Styring af renterisiko i obligationsporteføljer", hvorimod de rentestrukturbaserede lattice modeller dybdegående er analyseret og gennemgået i arbejdspapiret "Prisfastsættelse af renteafhængige fordringer; en betragtning i diskret tid". 4 En uddybning af denne diskussion og forklaringen herpå kan findes i arbejdspapirerne "Prisfastsættelse af obligationer i kontinuerlig tid" og "Prisfastsættelse af renteafhængige fordringer; en betragtning i diskret tid". 4

5 2a. Put-call pariteten Put-call pariteten er en fundamental betingelse i optionsmodellering, da brud på denne paritet leder til fejlspecificerede modeller, eller sagt på en anden måde - de er ikke arbitrage-fri. Put-call pariteten med udgangspunkt i nulkuponobligationer kan formuleres således: Betragt en portefølje bestående af en lang position i en 3-årig nulkuponobligation, en lang position i en 1-årig put-option med strikekursen E, og en kort position i en 1-årig call-option med strikekurs lig E, hvor begge optionerne er skrevet på den 3-årige nulkuponobligation. Spørgsmålet er nu, hvor meget er denne portefølje værd om 1 år?. Svaret er E. Hvis den er mere værd vil call-investoren udøve sin option om 1 år, dvs modtage den 3-årige nulkuponobligation og betale E, mens en kurs på den 3-årige obligation på under E vil medføre, at put-optionen vil blive udøvet. Dette betyder altså at denne portefølje nøjagtigt duplikerer en 1-årig nulkuponobligation med pålydende E, og skal altså i en arbitragefri verden have den samme pris som en 1-årig nulkuponobligation. Dette betyder altså, at put-call pariteten for obligationer mere generelt kan formuleres til: (1) Hvis det var en global arbitrage-fri optionsmodel, der her blev betragtet ville dette argument skulle udvides lidt. Det ovenfor opstillede argument for nulkuponobligationer kan nemlig selvfølgelig gentages for en vilkårlig udløbsdato for optionerne. Det følger heraf, at en global arbitrage-fri optionsmodel skal kende alle obligationers effektive nulkuponrenter, og den eneste måde dette kan sikres på, er ved at opstille en fælles model til vurdering af renteafhængige fordringer, herunder obligationer, optioner mm. Dette fælles modelgrundlag kan hermed indses at skulle tage sit udgangspunkt i en estimeret nulkuponrenstruktur 5. 2b. En simpel optionsmodel Den model, som jeg har valgt at tage mit udgangspunkt i, er som nævnt tidligere den såkaldte Black 76 model. Black 76 modellen indeholder den implicitte antagelse, at priserne er lognormalt fordelte, hvilket sikrer at priserne ikke kan blive negative. Under antagelsen om, at prisen er log-normalfordelt, beskrives prisdynamikken i denne model ved en ito-proces af Wienertypen og den fundamentale partielle differentialligning findes herefter ved anvendelse af det risikofri arbitrage 5 Se arbejdspapirerne "Prisfastsættelse af obligationer i kontinuerlig tid" og "Prisfastsættelse af renteafhængige fordringer; en betragtning i diskret tid". 5

6 argument 6. Med udgangspunkt i denne endelige partielle differentialligning kan det vises, at prisen på en call-option kan formuleres således 7, (2) hvor r = Nulkuponrenten for perioden lig optionens løbetid. F * = Futures prisen. E = Exercise prisen. σ = Volatiliteten på det underliggende instrument. t = Optionens løbetid. N(.) = Den standardiserede kumulative normal fordeling, dvs: Med kendskab til put-call pariteten, som matematisk kan formuleres således for optioner på futures: (4) og den symmetriske egenskab ved den standardiserede normalfordeling, fås følgende relation for prisen på en put: (5) Der skal dog her fremhæves nogle uheldige egenskaber ved at bruge Black 76 modellen på obligationer, nemlig: eftersom løbetiden er kendt er forudsætningen om en konstant varians klart urimelig, fordi for obligationer med en endelig løbetid vil kursen konvergere mod den påtrykte værdi. Dette vil medføre at variansen vil være afhængig af tiden og kursniveauet. Og 6 Se arbejdspapiret "Estimation af rentestrukturen; en betragtning i kontinuerlig tid", for en udledning af itolemma og en gennemgang af det risikofri arbitrage argument. 7 Se arbejdspapiret "Prisfastsættelse af obligationer i kontinuerlig tid" for en formel udledning af Black 76 modellen. 6

7 fordi kursen ikke er et udtryk for den reelle pris, den reelle pris består nemlig af kursen samt den vedhængende rente. Et andet forhold til forskel for aktier, er at kursen er begrænset til en øvre grænse, da diskonteringsfaktorerne pr definition altid er større end 0, således at prisen maximalt kan blive lig den udiskonterede værdi af de fremtidige betalinger. Yderligere kan nævnes, at antagelsen om en konstant rente over løbetidsspektret klart er inkonsistens med den stokastiske betragtning. Et sidste forhold er tilstedeværelsen af diskontinuerte kuponrenter og udtrækninger, som der netop er set bort fra i Black 76 modellen. Black 76 modellen er altså det som jeg ovenfor kalder for en lokalt arbitrage-fri optionsmodel. På trods af alle de mere eller mindre utilfredsstillende egenskaber ved benyttelse af Black 76 modellen på obligations-optioner, er den meget anvendt, både her i Danmark og i udlandet, dette da modeller af denne type har vist sig at være temmelig præcise sålænge de anvendes på europæiske optioner med en løbetid på ikke over ca. 6-9 måneder. Det vil endvidere teoretetisk set være således, at modellens præcision vil være større des større løbetidsforskel, der er imellem optionen og dens underliggende obligation, dette skal dog ikke forstås som at den pr. definition vil være bedst til prisfastsættelse af europæiske optioner på lange obligationer, men mere forstås som at des mindre løbetidsafhængig volatilitet der kan observeres i den underliggende fordring des bedre. 8. For amerikanske optioner og for længere løbende optioner er den ikke anvendelig, her vil det være en diskret model (ihvertfald hvad angår amerikanske optioner), eksempelvis en lattice/binomial-model i den "korte" rente; dvs en globalt arbitrage-fri model, der vil være at foretrække. Dette vil også gælde i forbindelse med prisfastsættelse af den i de konverterbare obligationer implicitte indeholdte portefølje af fra-solgte amerikanske call-optioner 9. Et alternativ til at modellere prisudviklingen kunne være at modellere dynamikken i den omhandlende obligations effektive rente, hvor det her også ville være naturligt at antage, at den er log-normalfordelt for at undgå muligheden for negative renter. Dette vil, i modsætning til at modellere prisudviklingen, sikre at obligationens kurs vil være lig med indfrielseskursen på udløbsdagen Når jeg her bruger udtrykket obligation, mener jeg pr. definitions sag inkonverterbare obligationer. Dette ikke fordi Black 76 modellen ikke kan vrides til at kunne prisfastsætte optioner på konverterbare obligationer, dette kan gøres ved anvendelse af den såkaldte 105-regel, se afhandlingen "Styring af renterisiko i obligationsporteføljer". 9 Dog kan den anvendes til at konstruere et simpelt mål for værdien af optionsslementet i konverterbare obligationer med rimelig succes, se det interne notat "Et simpelt risikomål for renteafhængige fordringer", fra sommeren For en nærmere behandling af kontinuerlige stokastiske modeller defineret i den effektive rente henvises til arbejdspapiret "APT-modellen og variationer i rentestrukturen". Endvidere kan der henvises til Pan 1986, "Lognormal yields and options pricing". 7

8 Jeg vil dog her antage at obligations-optionsprisen approximativt kan udtrykkes ved Black 76 modellen, defineret i prisen, hvilket trods alt, på trods af alle de teoretiske indvendinger, der er imod den, stadigvæk er utrolig udbredt Risiko på optioner og deres interaktive forhold Ved at have en klar fornemmelse af de forskellige faktorer, der har indflydelse på optionsprisen, vil dette pr. definition samtidig medføre, at de forskellige riskoparametere bliver identificeret. Dette gøres nemmest ved at genkalde den fundamentale partielle differentialligning, der som vist i arbejdspapiret "Prisfastsættelse af obligationer i kontinuerlig tid", har følgende udseende: (6) Her repræsenterer C optionspræmien, og σ spredningen. Da der ingen initial investering er ved indgåelse af en futures-kontrakt 12, altså F * = 0, medfører dette nemlig at leddet rf * δc/δf * falder bort. Det ses tydeligt her, at Black 76 modellen indeholder den førnævnte antagelse, at volatiliteten er konstant over løbetidsspektret, og der altså kun er 2 risikoparametre, nemlig prisen på det underliggende instrument og tiden. Under antagelsen, at volatiliteten er konstant, dvs optionen kun er en funktion af prisen på det underliggende instrument (F * ) og tiden, og med kendskab til de relationer, som blev udledt i arbejdspapiret "Porteføljebetragtninger i en deterministisk verden", kan ændringen i optionens værdi over en kort tidshorisont herefter udtrykkes ved en Taylors ekspansion i F * og t, således: (7) Hvor alle led som ikke er valide i henhold til ito-lemma ikke er medtaget. Nu vides det at volatiliteten ikke er konstant, men faktisk er det parameter i forbindelse med optionsprisfastsættelse, som det giver flest problemer at bestemme. Det ville således være 11 Black 76 modellen er bl.a. fuldt ud integreret i TAPAS. 12 Her er selvfølgelig set bort for marginbetalinger. 8

9 relevant at foretage en Taylors ekspansion omkring F *, t og σ, for at få et mere retmæssigt udtryk for optioners følsomheder 13. (8) Dette betyder, at vi nu har fået udtrykt optionens følsomhed, som en funktion af de fire kendte optionsnøgletal: c (den første afledte af optionspræmien med hensyn til futuresprisen), Γ c (den anden afledte af optionspræmien med hensyn til futuresprisen), Θ c (den første afledte af optionspræmien med hensyn til tiden) og η c (den første afledte af optionspræmien med hensyn til volatiliteten). Disse fire fundamentale nøgletal blev i arbejdspapiret "Porteføljebetragtninger i en deterministisk verden" vist at kunne findes analytisk således for henholdsvis en call og en put. Nøgletallene for en call kan analytisk findes således: Nøgletallene for en put kan analytisk findes således: 13 Dette problem i forbindelse med bestemmelsen af volatiliteten vil blive taget op til nærmere analyse i afsnit 5. 9

10 Relationen fra formel 8 er dog en ikke særlig anvendelig, eller for den sags skyld hensigtsmæssig måde at udtrykke optioners risiko på når det er obligations-optioner der betragtes. For en forklaring herpå er det nødvendigt at få defineret hvorledes risikoen på obligationer opgøres; dette kan som bekendt formuleres således: (17) Det vil sige som en Taylors ekspansion omkring prisen og tiden 14. I et tidligere notat 15 blev det påpeget, at denne relation kunne omskrives, som en funktion af kursrisikoen og curvaturen, nemlig således: (18) Hvor kursrisikoen (dp) er defineret som den første afledede af obligationsprisen med hensyn til renten, og curvaturen (d 2 P) er defineret, som den anden afledede af obligationsprisen med hensyn til renten. 14 Baggrunden for at der intet led er af formen η σ, er fordi obligationer i dette koncept er prisfastsat deterministisk. Dette da optionsmodellen, som her er anvendt er en lokal arbitrage-fri model og ikke en global arbitrage-fri model, som ville have inkorporet hele initial nulkuponrentestrukturen i sig, og derefter have beskrevet dynamikken heri. 15 Se arbejdspapiret "Porteføljebetragtninger i en deterministisk verden", hvor alle de her opstillede relationer er gennemgået/udledt. 10

11 For obligations-futures får formel 18 følgende udseende: (19) hvor F er delta på futureskontrakten og Γ F er futureskontraktens gamma. Som det tydeligt kan indses ved at betragte de to sidste relationer, er det naturligt at udtrykke obligationers/futures risiko som en funktion af renten, eller mere generelt som en funktion af rentestrukturen 16. Dette betyder princippielt at det vil være logisk at udtrykke risikoen på obligations-optioner som en funktion af ikke prisen på det underliggende instrument, tiden og volatiliteten, men derimod renten på det underliggende instrument, tiden og volatiliteten. Dette betyder at formel 8 får følgende udseende: (20) Hvor delta, gamma, theta og eta leddene uden fodtegn, repræsenterer optionsnøgletallene. I forbindelse med dette udtryk, er der noget der taler for, at det ikke er nok med en anden ordens Taylor ekspansion omkring renten, men at en tredie ordens er nødvendig, dette da futures- prisen er konveks i renten og optionsprisen er konveks i futureprisen. Jeg vil dog på nuværende tidspunkt betragte den foretagede anden ordens approximation som værende præcis nok 17. Det skal her påpeges at der i formel 20 er set bort fra optionsprisens følsomhed overfor ændringer i den risikofri rente. Hvis dette inddrages, vil formel 20 kunne formuleres således: (21) Her er P r prisen på den nulkuponobligation der har en løbetid lig optionen, og C F er optionensværdi opgjort på exercisedatoen. 16 I dette notat vil alle de nøgletal, jeg definerer som en funktion af renten være at forstå som additive skift i initial rentestrukturen; endvidere vil det være underforstået at når jeg anvender udtrykket renten, betyder det initial rentestrukturen. For mere nuancerede skift og risikoen på renteafhængige fordringer, henvises bl.a. til arbejdspapiret "APT-modellen og variationer i rentestrukturen". 17 I næste afsnit vil jeg kigge lidt nærmere på dette forhold. 11

12 For nærværende analyse vil jeg dog se bort fra dette og betragte formel 20 som værende tilstrækkelig. For at få en større fornemmelse af hvorledes disse forskellige parametere indvirker på optionsprisen, vil jeg herunder starte med at gennemgå hvorledes nøgletallene delta, gamma, theta og eta udvikler sig som en funktion af futuresprisen F *. 3a. Delta Udfra relationerne i den ovenfor opstillede tabel, kan det udledes at de asymptotiske egenskaber for delta som en funktion af futuresprisen, kan formuleres således: (22) Dette indikerer tydeligt, at delta for en call-option kan bevæge sig imellem 0 og (1+r) -t, og delta for en put-option imellem -(1+r) -t og 0. Dette har den implikation, at det mulige værdiområde for delta bliver mindre i takt med, at optionens løbetid bliver længere. Delta som en funktion af futuresprisen kan grafisk vises således: 12

13 Ved at betragte figuren ses det, at delta er mest konveks for optioner omkring at-the-money, præcis der vor optionens tidsværdi er størst. Udseendet på delta-kurverne må, pr. definition, betyde, at gamma (som netop måler driften i delta) har sin maksimale værdi for optioner omkring at-the-money, som gennemgangen nedenfor også vil vise. 3b. Gamma De symptotiske egenskaber for gamma, som en funktion af futuresprisen, kan også udledes fra tabellen. Her er det dog kun nødvendigt at betragte gamma for enten en call eller en put da de er indentiske. De asymptotiske egenskaber kan hermed indses at kunne udtrykkes således: (23) Det er endvidere pr. definition således, at gamma altid vil være positiv. 13

14 Det kan hermed bekræftes, at gamma har sin maksimale værdi for optioner omkring at-themoney. Faktisk kan det ses, at gamma påtager sin største værdi for call-optioner, lige akkurat out-of-the-money og for put-optioner, lige akkurat in-the-money. Det er endvidere således, at den maksimale værdi for gamma vil ligge tættere og tættere på strikeprisen i takt med at optionens løbetid forkortes. Dette må indikere, at theta (som basalt set er et udtryk for optionens tidsværdi) må påtage sin maksimale værdi for optioner omkring at-the-money. 3c. Theta I arbejdspapiret, som er nævnt i note 15, blev de asymptotisk egenskaber for theta for henholdsvis en call- og en putoption udledt. Jeg vil her for god ordens skyld genkalde disse relationer: (24) 14

15 Grafisk kan theta for henholdsvis en call- og putoption vises således: Dette viser netop, at påstanden ovenfor, vedrørende theta, er valid. Det kan indses at theta har sin maksimale værdi for optioner omkring at-the-money, hvor jeg ved maksimale mener der hvor theta bliver mest negativ. Theta for call- og putoptioner har sin maksimale værdi lige akkurat out-the-money, hvor den maksimale værdi for put-opioner ligger længere væk fra strikeprisen, end den maksimale værdi for calls, som påtager sit maksimum meget tæt på exerciseprisen. Endvidere kan den maksimale værdi for theta på calls påtage sit maximum lige akkurat in-themoney, dette sker nemlig i takt med faldet i optionens løbetid. Hvad angår put-optioner, kommer den maksimale værdi til at ligge tættere og tættere på strikeprisen i takt med, at optionens løbetid falder, men vil altid ligge out-of-the-money. Hovedregelen med theta er, at den er negativ, hvilket også er intuitivt forståeligt, da optionsprisen alt andet lige må falde i takt med, at optionen nærmer sig udløb. Det kan dog ses udfra figuren, at theta også kan være positiv; dette kan dog kun ske i visse specielle og ikke særlig sandsynlige tilfælde - nemlig for optioner, som er deep-in-the-money. 15

16 3d. Eta Eta, som måler optionens prisfølsomhed overfor ændringer i volatiliteten, har følgende asymptotiske egenskaber: (25) Dvs eta har de samme asymptotiske egenskaber som gamma. Igen her, som for gamma, er det kun nødvendigt at betragte eta for enten en call- eller en putoption, da de er identiske. Det skal endvidere nævnes, at eta altid er positiv, hvilket også er logisk, da optionsprisen må stige i takt med stigningen i volatiliteten. Yderligere skal det påpeges, at ved at anvende det i tabellen defineret udtryk for eta, medfører det automatisk en implicit forudsætning om, at prisen på en option med stokastisk volatilitet er equivalent med prisen på en option med deterministisk volatilitet 18. Eta kan grafisk vises således som en funktion af futuresprisen: 18 Se Hull og White

17 Udfra figuren fremgår det, at eta har sin maksimale værdi for call-optioner som lige akkurat er in-of-the-money, og for put-optioner lige akkurat out-of-the-money, hvor den maksimale værdi for eta nærmer sig strikeprisen i takt med at exercisedatoen nærmer sig. Nu da disse fire fundamentale nøgletals følsomhed overfor ændringer i futuresprisen er blevet gennemgået, vil det være relevant at kigge lidt nærmere på de to sidste led i formel 20. Disse led viser optionens prisfølsomhed overfor renten på det underliggende instument defineret som en anden ordens Taylor udvikling omkring initial renten, således: (26) Det første led er det som normalt kaldes for rente-delta, og det andet led kaldes almindeligvis for rente-gamma. Ved at betragte denne relation ses det tydeligt, at kun hvis to temmelig uinteressante betingelser er opfyldt, vil delta/gamma have samme implikationer som ρ/ω 19 hvad angår en optionsrisiko, og derved også i forbindelse med optionshedging - nemlig hvis futurens kursrisiko er 1 og futurens curvature er 0, hvor dette reelt set kun kan være tilfældet, hvis det underliggende instrument ikke er en obligation, men derimod en aktie. Dette må have den implikation, at den generelle påstand som man kan se flere steder i litteraturen, nemlig at det at sætte delta lig 0, (dvs en short hedge) er equivalent med at sætte den modificeret varighed/kursrisikoen lig 0 - ikke er en valid udtalelse, da de 2 forskellige strategier hver især som hovedregel ikke vil resulterer i at den anden går i For at få et indblik i hvorledes prisfølsomheden er for henholdsvis call- og put-optioner, har jeg foretaget følgende beregning: For både call- og put-optioner har jeg beregnet rente-delta (rho ρ), rente-gamma (omega ω) og prisfølsomheden som specificeret i formel 26, hvor beregningerne er foretaget for fire forskellige underliggende instrumenter - nemlig en 2-årig obligation, 5-årig obligation, 10-årig obligation og en 20-årig obligation. Disse obligationer er alle defineret, som 10% stående lån med en enkelt termin om året, hver 1/1. 19 Jeg har her tilladt mig at introducere to nye græske tegn, som udtryk for henholdsvis rente-delta og rente-gamma, nemlig for rente-delta rho (ρ) og for rente-gamma omega (ω). 20 Den hedgestrategi, der medfører at påstanden om at sætte delta lig 0 er equivalent med at sætte kursrisikoen lig 0, er hvis man hedger en call-option med en put-option, eller omvendt, hvor disse 2 fordringer har samme underliggende instrument samme løbetid og samme exercisepris. 17

18 18

19 19

20 20

21 Hvad angår rho for call-optioner, fremgår det tydeligt af figur 5, at for deep-in-the-money optioner er rho givet ved følgende relation: (27) hvilket vil sige lineær i futurens kursrisiko, som betyder den er stigende i absolutte termer i takt med, at "løbetiden" forlænges på det underliggende instrument. Hvorimod at for deep-out-of-the-money call-optioner går rho mod 0. Ved at betragte rho for put-optioner (figur 8), og huskes at for deep-in-the-money putoptioner, vil rho bevæge sig imod: (28) kan det indses at, grunden til at denne relation for put-optioner på lange obligationer kan resultere i den umiddelbare ulogiske implikation, at rho faktisk kan begynde at falde når optionen begynder at bevæge sig deep-in-the-money, er pga. konveksiteten på det underliggende instrument. Det er nemlig således at konveksiteten falder i takt med stigningen i renten, og hvor dette er mest udslagsgivende for lange obligationer. Denne krumning på rho-kurven for put-optioner, må betyde at omega for put-optioner kan gå hen og blive negativ; dette er også indikeret ved omega-kurven i figur 9. Rente-gamma (omega ω) er defineret, som vist i formel 26 som summen af to delelementer, hvor det er disse to leds indbyrdes forhold som beskriver omega. Hvis nu det første led betragtes (Γ(dF * ) 2 ), der som bekendt er identisk for både call- og putoptioner, vil den her fremkomne kurve have en form af samme princippielle form, som kurven for gamma, pånær den er meget bredere, og hvor kurven er mere udfladende des kortere den underliggende obligation er. Dette da korte obligationer er mest prisufølsomme med de deraf afsmittende effekter på både optionens gamma og futurens kursrisiko. Da det sidste led ( d 2 F * ), som i og med at delta ikke er ens for call- og put-optioner, vil være forskellige for call- og put-optioner, vil jeg tage dem en af gangen startende med call-optioner. Leddet vil altid være større end nul, og vil for renten gående mod uendelig bevæge sig mod 0, hvorimod den vil udvise følgende asymptotiske egenskaber for deep-in-the-money calloptioner: (29) Hovedreglen for dette led, hvad angår call-optioner, er at den fremkomne kurve er af approximativt samme form som delta, dog med en kraftigere hældning, og hvor hældningen er 21

22 kraftigere des mere konveks det underliggende instrument er. Dette kan forklares ved følgende: des mere konveks en obligation er des større drift er der i konveksiteten, dvs forskellen mellem konveksiteten ved "lave" renter og ved "større" renter er mest udslagsgivende for lange obligationer, hvor konveksiteten pr. definition falder i takt med stigningen i renten. Dette kan også formuleres således, at des mere konveks en obligation er, (dvs des "længere" den løber), des mere har led af højere orden indflydelse på den reelle pris/rente relation. Denne forøgelse af hældningen bliver yderligere forstærket af den prognosticerede prisændrings indvirkning på options-deltaet. Det overordnede resultat for dette led, hvad angår call-optioner er en faldende lettere krum kurve, som bevæger sig imod 0 for r gående mod uendelig. Denne krumningseffekt er selvfølgelig større des "længere" det underliggende instrument er. Dette kan intuitivt forstås udfra den ovenfor foretaget diskussion omkring konveksitet. For put-optioners vedkommende vil det være således, at leddet vil bevæge sig mod 0 for renten gående mod 0, og for deep-in-the-money put-optioner, vil den udvise følgende asymptotiske egenskaber: (30) Hældingen på delta-funktionen er som bekendt kraftigere des "længere" løbetiden er på det underliggende instrument, dette pga. lange obligationers større prisfølsomhed, og den herved afsmittende effekt på prisprognosticeringen og dennes indvirkning på optionens-delta. Curvaturen på futuren er en lettere krum kurve, hvor krumningen falder i takt med stigningen i renten, og hvor krumningseffekten, som nævnt ovenfor, er størst for lange obligationer. I og med at put-optioners delta er negativ, og curvaturen på futures er positiv, bliver resultat af dette en kurve med sin maksimale værdi i absolutte termer, for put-optioner in-the-money. For optioner out-of-the-money bevæger dette led sig mod 0, hvilket den også gør for put-optioner deep-in-the-money, men dog væsentlig langsommere. Endvidere ligger dette leds maksimum i absolutte termer dybere og dybere in-the-money i takt med, at det underliggende instruments løbetid bliver forkortet. Denne diskussion af de enkelte delelementer i optioners rente-gamma (omega ω), gør os istand til at give følgende forklaring på omega-kurvens udseende for henholdsvis call- og put-optioner. Hvis jeg først tager omega for call-optioner, kan det udfra det ovenstående ses, at omega altid vil være positiv for call-optioner. Indledningsvis kan man sige, at omega for call-optioner på "korte" obligationer stort set er lineær i renteændringer, men i takt med at det underliggende instrument bliver "længere", er hovedtendensen at omega for call-optioner er mindst, når optionen er out-of-the-money og stiger i takt med faldet i renten, hvor denne effekt/stigning er kraftigere des "længere" den underliggende fordring er. Endvidere er omega approximativt lineær for optioner in-the-money, hvor det er således, at når det underliggende instrument bliver "tilstrækkeligt langt" er omega ikke mere lineær i renteændringer for call-optioner in-the- 22

23 money, men stigende/puklet. Denne effekt kan forklares med, at det underliggende instruments konveksitet i takt med at renten falder mere og mere, begynder at dominere over optionens gamma. For put-optioner kan det udledes, at omega for renten gående mod 0, dvs for deep-out-of-themoney optioner bevæger sig mod 0. Endvidere kan det udfra figur 9 ses, at den maksimale værdi for omega er for put-optioner lige akkurat out-of-the-money, og hvor kurven er krummere des "længere" løbetid den underliggende fordring har. For put-optioner in-themoney er omega faldende i takt med stigningen i renten, dvs i takt med at optionen bevæger sig dybere og dybere in-the-money, og hvor faldet i omega er kraftigere des "længere" det underliggende instrument er. Yderligere kan det observeres at omega, for put-optioner på "lange" futures, kan gå hen og blive negativ for deep-in-the-money put-optioner. Grunden hertil er, at selvom både leddet (Γ(dF * ) 2 ) og leddet ( d 2 F * ) går mod nul for renten gående mod uendelig, hvor det første led nærmer sig 0 fra "oven" og det andet led 0 fra "neden, er hastigheden i det første led hurtigere end det andet. Forklaringen på at det første leds hastighed/drift er hurtigere end det andet leds, er pga. konveksiteten på det underliggende instrument, som netop har den implikation at kursrisikoen på det underliggende instrument falde kraftigere i takt med stigningen i renten, des længere den underliggende fordring er. Denne gennemgang håber jeg har givet en fornemmelse af hvorledes disse 2 nye nøgletals (rho og omega) indvirkning for forskellige løbetider på det underliggende instrument, har på prisen på henholdsvis call- og put-optioner. De er komplekse i og med at de er givet som en funktion af det interaktive forhold imellem futuresprisens afhængighed af renteændringer, og de herudfra prognosticerede prisændringers indvirkning på optioners delta og gamma. Men ulejligheden er slet ikke spildt, da disse to nye nøgletal (rho og omega) gør det muligt at analysere/behandle optioner i et generelt og konsistent miljø for renteafhængige fordringer, som obligationers-optioner må betragtes at høre under. Det afgørende element i optionshandel er det trade-off, der er imellem volatilitet og tid, da det som bekendt vil være således at i en deterministisk verden vil optioner ingen værdi have. Før jeg går over i en nærmere analyse af disse 2 nye nøgletals følsomhed over for disse to faktorer, vil jeg lige genkalde de betragtninger, der kan forefindes i en hvilken som helst optionshåndbog omkring de fire fundamentale optionsnøgletal 21, og deres afhængighed af volatiliteten og tiden. 3e. De traditionelle risikobegreber og deres interaktive forhold Des mere prisen på det underliggende instrument ændrer sig, dvs mere volatilitet, des større vil gamma have indflydelse på en delta-hedget position. Dette indikerer, at en optionsinvestor skal være netto-lang i gamma, dvs en positiv gamma, for at kunne tjene på denne stigning i volati- 21 Se bl.a. Wong 1991, Bookstaber 1991 og Hull

24 litet. Yderligere må dette betyde, at volatilitet er mere værd, jo større en optionsgamma er, da et større gamma medfører, at der er større afvigelser imellem optionen og obligationens prisbevægelser. Den udtalelse, at gamma er mere værd når der er mere volatilitet, skal dog ikke misforstås med den fejlagtige udtalelse, at volatilitet gør gamma større, da faktisk præcis det modsatte er tilfældet - nemlig at gamma falder når volatiliteten stiger 22. Endvidere stiger gamma i takt med at optionens løbetid forkortes 23. I forbindelse med ændringer i volatiliten og prisbevægelser i det underliggende instrument, er der selvfølgelig en sammenhæng imellem disse størrelser, som er inituitiv indlysende, men der kan også være en måske ikke helt så indlysende divergens. Denne divergens kan opstå i og med at volatilitet er implicit volatilitet. Man kan nemlig sagtens forestille sig, at aktuelle prisbevægelser ikke straks resulterer i ændringer i den implicitte volatilitet. Endvidere kunne man også forestille sig, at ændringer i den implicitte volatilitet ikke umiddelbart kan forklares ved aktuelle prisbevægelser. Dette betyder altså, at hvis man er netto-lang eta, vil dette kun være en fordel, hvis aktuelle prisbevægelse medfører en stigning i optionens implicitte volatilitet. På den anden side, hvis der sker en stigning i den implicitte volatilitet, som ikke kan forklares ved aktuelle prisbevægelser, vil dette være en fordel for en investor, som er netto-lang eta. Endvidere skal det pointeres, at eta falder i takt med at optionen nærmer sig exercisedatoen. Optioners tidsværdi stiger (numerisk set) ikke overraskende i takt med, at optionens løbetid bliver forkortet. Hvis nu der sker en stigning i den implicitte volatilitet, betyder dette, alt andet lige, at theta bliver større (numerisk set) - altså des større den implicitte volatilitet er, des mere vil optionen falde i værdi i takt med, at den nærmer sig exercisedatoen, hvis alt andet holdes konstant. Disse betragtninger, som her er gjort omkring disse fire fundamentale options nøgletals interaktive forhold, er, for at påvise det nærmere, vist i en række 3-dimensionelle surfacegrafer som kan rekvireres ved henvendelse. Den gennemgang, som jeg her har foretaget, er som bekendt foregået med udgangspunkt i de fire traditionelle nøgletal delta, gamma, eta og theta - men hvad nu med disse 2 nye nøgletal rho og omega, som jeg har argumenteret for er mere konsistente med de generelle betragtninger hvad angår renteafhængige fordringer. Vil de have nogle nye/alternative implikationer for kursrisikoen (rho) og curvaturen`s (omega) relation til trade-off`et imellem volatilitet og tid 24? 22 Dette kan også forstås ved at delta-kurven bliver mere udfladende når volatiliteten er højere. kortere. 23 Dette kan også forstås ved at delta-kurven bliver mere krum omkring at-the-money når optionens løbetid bliver 24 Husk at i traditionel forstand er delta og gamma anvendt som pandanter til varighed og konveksitet. Husk endvidere at der er en entydig sammenhæng imellem varighed/konveksitet og kursrisiko/curvature for en uddybning heraf kan bl.a. henvises til arbejdspapiret "Porteføljebetragtninger i en deterministisk verden". 24

25 3f. Rho og omega, en interaktiv analyse Hvis nu jeg starter min gennemgang med call-optioner, kan følgende siges: Hvad angår rho vil denne være størst (numerisk set) for optioner in-the-money, og vil endvidere være størst (numerisk set) når enten volatiliteten (den implicitte volatilitet) er lav eller optionens løbetid er kort; - den vil bevæge sig asymptotisk mod nutidsværdien af futurens kursrisiko i takt med at renten går mod 0. Det skal hertil påpeges, at i takt med at optionen bevæger sig out-of-themoney, vil rho være størst (numerisk set) des højere volatiliteten er eller des længere optionens løbetid er; - den vil bevæge sig asymptotisk mod nul i takt med at renten går imod +uendelig. Det kan altså udledes at des længere optionen er, og des højere volatiliteten er, des mere kursrisiko-stabil er optionen. Dette er princippielt kun tilfældet når det underliggende instrument er kort, for i takt med at den underliggende obligations løbetid forlænges, vil det være at omgås sandheden lemfældigt at påstå, at des længere optionen er og des højere volatiliteten er, des mere kursrisiko-stabil er optionen. Dette skal nærmere formuleres som: des mindre kursrisiko-ustabil er optionen. Endvidere skal det nævnes at de asymptotiske egenskaber, når renten går mod enten 0 eller +uendelig, nås hurtigere des mere kursrisikoustabil optionen er, og hvor den hastighed, hvormed at rho bevæger sig imod disse asymptoter, stiger i takt med "stigningen i løbetiden" på det underliggende instrument. For put-optioner vil rho være størst des højere renten er (dvs når optionen er mest in-themoney), og des kortere optionen løber og des lavere den implicitte volatilitet er. Dog vil der være en øvre grænse for hvor meget rho kan stige til 25, og hvor denne øvre grænse nås hurtigere, des længere den underliggende obligation løber. Endvidere nås denne øvre grænse selvfølgelig tidligere des kortere optionens løbetid er, og des lavere volatiliteten er. Igen som for rho for call-optioner, vil put-optioner være mindst kursrisiko-ustabile des længere optionen løber og des højere volatiliteten er. Endvidere skal det påpeges, at rho for put-optioner går mod nul for renten gående mod nul, og hvor hastigheden, hvormed rho går mod denne asymptote, er større des kortere løbetiden er på optionen, des lavere volatiliteten og des længere det underliggende instrument er. For call-optioner har omega sit maksimum for optioner in-the-money, og hvor dette maksimum nås senere des lavere volatiliteten er, og des kortere optionen løber. Endvidere når omega sit maksimum tættere og tættere på at-the-money i takt med, at løbetiden på den underliggende obligation stiger, hvor omega er større des længere det underliggende instrument er. Hvis den underliggende fordring er "kort", vil omega maksimalt have en pukkel over renteændringsspektret, og omega vil endvidere være størst for optioner med kort løbetid og lav volatilitet. I takt med at løbetiden på det underliggende instrument forlænges, antager omega sin maksimale værdi for deep-in-the-money og deep-out-of-the-money optioner ved højere og højere volatilitet, eller længere og længere løbetid på optionen. Samtidig med at den maksimale værdi for deep-in-the-money og deep-out-of-the-money optioner flytter sig op af 25 Dette er som nævnt tidligere pga den egenskab at kursrisikoen på obligationer ændrer sig mindre ved en en given rentestigning des højere renterne er. 25

26 volatilitetsspektrer eller options-løbetidspektret des længere løbetiden er på den underliggende obligation, sker det at omega for call-optioner med lav volatilitet falder for optioner in-themoney indtil et vist punkt, hvor den så begynder at stige for derefter at påtage sig sin maksimale værdi tættere og tættere på at-the-money, men altid in-the-money. Denne tendens kan ses ved højere og højere volatiliteter og længere og længere optionsløbetider i takt med stigningen i løbetiden på det underliggende instrument forlænges 26. Endvidere ændrer maksimum for omega sig for at være lige akkurat out-of-the-money til deep-in-the-money optioner i takt med stigningen i enten volatiliteten eller løbetiden på optionen. For put-optioner har omega sit maksimum for optioner out-of-the-money (dvs ved "lave" renter). Hvor dette maksimum nås senere og senere i takt med, at optionens løbetid bliver kortere, volatiliteten bliver lavere eller løbetiden på det underliggende instrument bliver længere. Det værdispektrum, som omega kan bevæge sig over, bliver større des længere løbetiden er på det underliggende instrument. Hvis nu omega for put-optioner på "korte" obligationer betragtes, vil omega her være større des lavere volatilitet og des kortere optionens løbetid er. I takt med, at løbetiden på det underliggende instrument forlænges antager omega sin maksimale værdi for deep-in-the-money og deep-out-of-the-money optioner, des længere løbetiden er på optionen og des højere volatiliteten er. Endvidere, (i takt med stigningen i løbetiden på det underliggende instrument), kan man observere, at for deep-in-the-money put-optioner bliver omega negativ, og vil stige (numerisk set) i takt med at renteniveauet stiger. Denne effekt er endog mest udslagsgivende for optioner med kort løbetid og lav volatilitet 27. Som det fremgår af den ovenfor foretagede gennemgang vedrørende egenskaberne ved nøgletallene rho og omega, er de væsentligt mere komplekse end de 2 traditionelle nøgletal delta og gamma. Dette øger selvfølgelig klart komplexiteten i forbindelse med hedging med obligations-optioner, men giver samtidig et væsentligt mere nuanceret billede af det interaktive forhold imellem optionens løbetid, volatiliteten, renteniveauet og løbetiden på det underliggende instrument, som endog er konsistent med det approach som anvendes for obligationsporteføljer i traditionel forstand. Det, som indtil nu, er blevet gjort, er at få omskrevet risikoen på obligations-optioner, således at de ikke betragtes som en funktion af prisændringer i det underliggende instrument, men derimod som en funktion af ændringer i det generelle renteniveau. Der er dog yderligere et punkt, hvad angår den i formel 20 opskrevet relation, som gør at den kun er valid for obligations-optioner hvis et bestemt forhold er opfyldt. Det der skal være opfyldt for, at relation 22 kan betragtes som værende valid, er at rentestrukturen skal være flad. Et naturligt spørgsmål er selvfølgelig - hvorfor er relationen, givet ved formel 20, kun valid 26 Når jeg her har anvendt vendingen at løbetiden på det underliggende instrument stiger, menes der selvfølgelig længere i risikomæssig forstand. 27 Disse betragtninger som her er blevet foretaget er vist i en række 3-dimensionelle surface-grafer som kan rekvireres ved henvendelse. 26

27 hvis rentestrukturen er flad? Dette er på grund af det forhold, at selv ved et uændret renteniveau, er der en drift i obligationsprisen, i og med at den skal konvergere imod den påtrykte værdi i takt med at den nærmer sig sin udløbsdato. Dette forhold, er det der i almindelig forstand, kaldes for løbetidsforkortelse. Nu er dog ikke selve spotinstrumentet, som indgår i optionsprisfastsættelsen, men derimod en hypotetisk futures på spotinstrumentet med samme terminsdato som optionens exercisedato. Dette betyder, at det ikke er løbetidsforkortelsen for spotinstrumentet, der er det interessante, men derimod løbetidsforkortelsen på den hypotetiske futures. Løbetidsforkortelsen på et spotinstrument er selvfølgelig defineret som ændringen i prisen ved en forkortelse af løbetiden med t ved et uændret renteniveau, eller mere generelt som den første afledede af obligationsprisfunktionen med hensyn til tiden. Derimod er løbetidsforkortelsen på en futures defineret som ændringen i futuresprisen ved en forkortelse af futurens/optionens løbetid med t, som en funktion af dette forholds indvirkning på forwardrentestrukturen givet at spotrentestrukturen holdes konstant 28. Mere generelt betyder dette at formel 20 får følgende udseende: (31) Princippielt kunne summen af de 2 første led (theta leddene) meget fantasifuldt kaldes for et rente-theta (θ), som betyder at formel 31 kan omskrives til: (32) Da alle beregninger/figurer i dette notat er genereret med udgangspunkt i en flad rentestruktur, vil jeg dog se bort fra dette forhold og dermed betragte formel 20 som værende en tilstrækkelig beskrivelse af obligations-optioners risici. 28 For et bevis for at theta på futures instrumenter er nul når rentestrukturen er flad, og hvorledes den findes hvis rentestrukturen ikke er flad henvises til Appendix A. 27

28 4. Optioner og porteføljeskævheder Hedging i generel forstand, er en metode, som ved anvendelse af en eller flere hedgeporteføljer, ændrer den eksisterende risikoeksponering i den aktuelle portefølje til en ny predefineret og ønskværdig risikoeksponering for denne totale kombinerede position. Denne generelle formulering af principperne ved hedging kan formuleres således i matrixnotation: (33) Dvs, at hedgeratioer findes ved at løse et lineært ligningssystem 29. Løsningen til det i formel 33 opstillede ligningssystem kan skrives således: (34) Rækkerne i matricen A repræsenterer forskellen imellem risikoparameterne for den i`te hedgeportefølje, og den ønskede risikoeksponering for den totale kombinerede position og b er en række vektor. Der skal dog lige pointeres et enkelt forhold i forbindelse med vektoren b og det er at den ikke er et udtryk for den ønskede risikoeksponering for hver af risikofaktorerne, men derimod et udtryk for forskellen mellem den ønskede risikoeksponering og den aktuelle risikoeksponering for basisporteføljen 30. Baggrunden for at hedge problematikken kan løses i et lineært ligningssystem er, da r- ho/kursrisiko/delta,omega/curvature/gamma,eta og theta alle er additive i de nominelle positioner. Det man opnår ved at formulere hedge problematikken så generelt som det her er gjort er, at man nu står i en situation, hvor det i et konsistent rentestrukturmiljø er muligt at ændre risikoeksponeringen for en eller flere af risikoparameterne for den eksisterende portefølje, dette ved 29 Denne metode er fundametalt forskellig fra det hedgeprincip jeg gennemgik i arbejdspapiret "Porteføljebetragtninger i en deterministisk verden". Her blev nemlig udledt hvad man kunne kalde for det første et simpelt rho-hedge, og for det andet et rho-hedge betinget af, at omega for den totale portefølje var større end eller lig med nul. For en nærmere uddybning heraf, henvises til ovenfor nævnte notat. 30 Der skal endvidere her pointeres et enkelt forhold i forbindelse med relationen fra formel 34, som gør at den kun er valid hvis et forhold, som er temmelig restriktivt, er opfyldt - og det er at alle elementerne i vektoren x er positive. Grunden til dette er da man lige skal huske på at de her definerede risikoparametere alle er additive i de numeriske positioner. 28

29 anvendelse af en hedge-portefølje for hver risikofaktor der ønskes hedget. I dette framework er det muligt, ved anvendelse af de her definerede relationer, at hedge obligationer, futures og optioner på tværs af hinanden 31. Nu da jeg har fået opstillet et generelt princip for hedging i bred forstand, og har fået reformuleret obligations-optioners risici som værende en funktion af initial rentestrukturen, samt endvidere har introduceret theta for obligationer og futures, er det muligt at opstille porteføljestrategier på tværs af instrumenter, og med samme fundamentale basis - nemlig spotrentestrukturen. For at få en fornemmelse af hvor præcist en hedgestrategi er, er det nødvendigt at have undersøgt den specifikationsfejl, der automatisk begås ved at udelade visse af højere ordens leddene i definitionen af de enkelte fordringers risici. De 3 nøgletal, som i der her opstillet framework er konsistente på tværs af instrument typer er rho (kursrisiko), omega (curvature) og theta, og hvor rho og omega må betragtes som værende de mest interessante nøgletal, jeg vil derfor indskrænke min analyse til disse to nøgletal 32. En anden ordens Taylors ekspansion af prisen, som en funktion af renten for obligationer og futures, er her en tilstrækkelig specifikation af disse fordringers risiko overfor renteændringer 33. Det kan altså indses, at boniteten af en hedge foretaget på tværs af instrument typer, er afhængig af hvor godt rho og omega beskriver den reelle sammenhæng imellem optionsprisen og rentestrukturen. Et sidste forhold skal lige nævnes før jeg begynder på selve analysen, og det er, at det basalt ikke er selve fastlæggelsen/beregningen af hedgen, der går galt, hvis fordringernes risici er fejlspecificeret, men det fremkomne resultat. Dvs den resulterende kombinerede position kan indeholde en risiko som porteføljemanageren ikke var klar over eksisterede, og derfor ikke har taget med ind i sine overvejelser da fastlæggelsen af hegde-porteføljerne og den ønskede risikoeksponering blev fastlagt. 31 Et forhold skal dog være opfyldt før at relationen i formel 34 vil give en løsning på det opstillede problem og det er at matricen A er non-singulær, dvs determinanten er forskellig fra nul, da det ellers ikke vil muligt at invertere matrixproduktet af A transponeret og A. Den betingelse der skal være opfyldt for at A bliver non-singulær er at der er lineær uafhængig imellem de enkelte rækker. I hedge forstand betyder dette at det ikke må være muligt at kunne sammensætte visse af de udvalgte hedge porteføljer således at deres risikoparametre replikerer en af de andre valgte hedgeporteføljer, de enkelte hedgeporteføljer skal altså være unikke i hver sin forstand. 32 En ting skal dog påpeges i forbindelse med theta, og det er at den er temmelig præcis for "korte" perioder og dette uafhængigt af instrument typen. 33 Se bl.a. notatet "Porteføljebetragtninger i en deterministisk verden". 29

30 Når porteføljen "kun" indeholder obligationer og futures, vil dette, som ovenfor nævnt, ikke give problemer, men hvad nu hvis man inddrager optioner i porteføljen, vil den specifikation som er givet ved relationen i formel 26, være en tilstrækkelig beskrivelse af det interaktive forhold imellem optionsprisen og additive skift i rentestrukturen? - Dette forhold vil jeg herunder kigge nærmere på. For at analysere dette forhold har jeg foretaget følgende beregning. Jeg har udregnet forskellen imellem de faktiske optionspriser, dvs dem som ville fremkomme ved en ændring i initial rentestrukturen på 1% point, og de optionspriser, jeg ville forvente ved anvendelse af relationen i formel 26; dvs de prognosticerede optionspriser. Dette er gjort under antagelsen om, at den underliggende obligation var henholdsvis et 2,5,10 og 20-årig 10% stående lån. Beregningerne er foretaget i 3-dimensioner, hvor jeg i det første tilfælde har ladet optionens løbetid variere imellem dage, og i det andet tilfælde ladet volatiliteten bevæge sig imellem 10%-44,5%. Jeg har her valgt at vise resultaterne i det tilfælde at den underliggende fordring er den 20-årige for tilfældet hvor der varieres på volatiliteten. De resterende surfacegrafer kan rekvireres ved henvendelse. 30

31 Det skal pointeres at det ikke overraskende er således at de absolutte prisafvigelser, som forventet, er større des "længere" den underliggende obligation er. Det skal yderligere nævnes at afvigelserne imellem de faktiske optionspriser og de prognosticerede optionspriser er størst des lavere volatiliteten er og des kortere optionens restløbetid er. Endvidere er det i graferne fremkomne mønster stort set identisk i det tilfælde at der ikke er volatiliteten men derimod restløbetiden der justeres på. Når man betragter disse grafer, skal man lige huske på at i udregningen af afvigelserne som en funktion af optionens løbetid og det generelle renteniveau, var volatiliteten sat til 31,6%, og i bestemmelsen af afvigelserne, som en funktion af volatiliteten og renterne, var optionens restløbetid sat lig 180 dage. Dette har den implikation at for optioner med en kort restløbetid og en lav volatilitet vil de observerede prisafvigelser være større end de her fremkomne. For at få et yderligere indblik i disse afvigelser har jeg beregnet de procentuelle afvigelser, dvs afvigelserne sat i forhold til initial optionsprisen. Dette har jeg grafisk valgt kun at vise i de tilfælde hvor options-prisen er større end eller lig med 1, og endvidere har jeg frasorteret de tilfælde hvor optionen er deep-in-the-money. Resultatet er vist i de to nedenstående surfacegrafer. 31

32 32

33 Dette betyder selvfølgelig, at en anden ordens Taylors ekspansion omkring renten, i forbindelse med obligations-optioner, ikke altid vil være en tilstrækkelig specifikation af optioners sande relation til additive skift i initial rentestrukturen 34. Det kunne derfor være naturligt at udvide med et tredie-ordens led. Dette tredie ordens led kan vises at ville blive af følgende form: (35) Jeg har kaldt den tredie afledede af optionsprisen med hensyn til renten for psi og den afledte af gamma med hensyn til prisen på det underliggende instrument for upsilon. For at få undersøgt hvorledes psi indvirker på de oberserverede specifikations afvigelser, har jeg gentaget den ovenfor foretagede beregning med udgangspunkt i en tredie-ordens Taylors ekspansion. Hovedkonklusionen i den forbindelse er at en tredie-ordens ekspansion omkring initial rentestrukturen generelt set forbedrer forklaringsevnen og vil i mange tilfælde være tilstrækkelig til at beskrive den komplekse pris-rente relation på optioner 35. Dog vil en tredieordens ekspansion ikke i alle tilfælde være tilstrækkelig, især omkring at-the-money. Den vil endog i mange eksempler give en dårligere forklaringsevne end her, i og med at specifikationsfejlen stiger med faldet i volatiliteten. Husk nemlig på at her i eksemplet andrager volatiliteten minimum værdien 10%, som i mange praktiske tilfælde må antages at være en forholdsvis høj volatilitet. Nu kunne man selvfølgelig udvide med endnu et led, men inden man får set sig om, ender man nok med at være løbet tør for bogstaver i det græske alfabet. Jeg vil derfor ikke fortsætte yderligere i forsøget på at få et "bedre" mål for optioners pris-rente forhold. Istedet vil jeg, med udgangspunkt i ovennævnte konklusion, slutte, at den i formel 26 opstillet relation udvidet med tredie ordens leddet fra formel 35, i praksis vil være tilstrækkelig. 34 Det skal i den forbindelse nævnes, at den fejl jeg begik ved at se bort fra optionens følsomhed overfor ændringer i den risikofri rente ikke vil kunne løse dette problem, da denne følsomhed er negible for "korte" optioner, og endvidere er fejlen elimineret ved at jeg i alle beregningerne har holdt den risikofri rente konstant.. 35 I forbindelse med denne konklusion, kan en række surface-grafer, som viser under hvilke parameter sammensætninger at en tredie-ordens ekspansion er at foretrække fremfor en anden-ordens ekspansion rekvireres ved henvendelse. Jeg har dog i Appendix C vist størrelsen af "forbedringerne" for både put-og Call-optioner for tilfældet at den underliggende fordring er en 2-og 20-årig obligation. 33

34 En anden måde at løse problemet i forbindelse med obligations-optioner på, kunne være at holde sig til anden ordens specifikationen fra formel 26, med den forklaring at tredie ordens leddene psi og upsilon i praksis nok kan være vanskelige at forholde sig til. Dette forståelses problem kan selvfølgelig løses ved en indgående analyse af disse tredie ordens led, som dog ligger uden for rammerne i dette notat. Løsningen på problemet hvis man vælger at anvende formel 26 som et udtryk for risikoen på obligations optioner, kan siges med et enkelt ord, nemlig simulation. Det jeg mener hermed er, at i alle sammenhænge, hvor der indgår optioner i ens portefølje, hvad enten det er i basisporteføljen eller en eller flere af hedgeporteføljerne, er det nødvendigt at foretage en todelt analyse, af den totale/kombinerede positions pris-rente forhold. Disse to step er følgende: 1: bestem den kombinerede positions pris-rente forhold, ved at foretage en anden-ordens Taylors ekspansion omkring initial rentestrukturen, og 2: foretag en analyse af hvorledes porteføljen udvikler sig ved rentesimulation omkring initial rentestrukturen. Den anden mulighed for at bestemme pris-rente forholdet for porteføljer indeholdende optioner vil være at inddrage dette tredie ordens led (psi), eventuel udvidet med en rentesimulation omkring initial rentestrukturen. Hvor simuleringen omkring rentestrukturen er vigtigere des tættere omkring at-the-money en eller flere af optionerne i porteføljen er. Jeg mener, at denne analyse med al ønskelig tydelighed viser, at obligations-optioners kompleksitet er af en sådan karakter, at traditionelle risikobegreber, som delta og gamma i den forbindelse, om ikke er direkte misvisende så ihvertfald er direkte uinteressante. Det er derimod nødvendigt at relatere obligationers-optioners risiko direkte til usikkerhedskilden - nemlig rentestrukturen, dvs nøgletal, som rho og omega er dem som skal anvendes. Analysen her viser også, at obligations-optioner skal behandles med varsomhed, i og med at deres prisrente forhold er af en sådan komplexitet, at traditionelle risikoopgørelser ikke altid er tilstrækkelige, således at en risikoopgørelse foretaget med udgangspunkt i formel 32, altid skal følges op af en simulation over ændringer i initialrentestrukturen. Herved afdækkes om der i porteføljen skulle optræde uhensigtsmæssige specifikations-afvigelser - eller sagt på en anden måde, risici som ikke blev opfanget af den traditionelle risikoopgørelse. 34

35 5. Estimation af volatiliteten I teorien er det ikke noget problem at finde anvendelige estimationer for volatiliteten, i og med at volatilitets- estimater princippielt set er en reflektion af, hvorledes den pågældende variabel forventes at ville flukturere. Retningen for variablens-bevægelser har nemlig ingen betydning, det der derimod er afgørende er, hvorledes variablen svinger omkring sin middelværdi. I praksis er volatilitetsestimation dog kompliceret af en række forhold. Det formodentlig mest signifikante problem er volatilitetens ustabilitet over korte tidsperioder, dvs korte estimationsperioder. Derimod er der en vis form for stabiletet når længere estimationsperioder betragtes. Dette har selvfølgelig den betydning, at hvis volatiliteten ændrer sig forholdvis meget, er der ingen grund til at tro, at volatilitetsestimationer opnået på basis af tidligere observerede pris-bevægelser, vil reflektere fremtidige aktuelle prisbevægelser. Dette har den implikation, at antagelsen om en konstant volatilitet over løbetidsspektret, klart ikke er konsistent med den observation, at de aktuelle observerede volatiliteter i markedet netop ikke er konstante. For at illustere dette fænomen, er der nedenfor vist udviklingen i volatiliten for 9% stat 2000, over perioden 2/7-90 til 1/10-92, ved anvendelse af henholdsvis en 30, 60 og 90 dages estimationsperiode. 35

36 Til udregning af volatiliteten er anvendt maximum likelihood estimatoren, som kan skrives således: (36) Her er P t = Kursen på tidspunkt t. n = Antal observationer. σ 2 M = Variansen pr. dag. Hvis man ønsker at finde variansen pr. år, ganger man med antal faktiske dage i året, da der ikke er nogen grund til at tro, at den stokastiske process ophører på de dage, hvor børsen ikke er åben. Volatiliteten som bliver fundet ved anvendelse af formel 36, er et udtryk for variationen i det daglige afkast under en logormalfordelingsantagelse. Dette kan indses ved at betragte følgende udtryk: (37) Her er venstresidens priskvotient gjort equivalent med det kontinuerlig udregnet afkast, hvorimod højresiden er udregnet under en normalfordelings antagelse. I og med at P her repræsenterer kursen og ikke prisen er den her udregnet variation i afkastet ikke et reelt mål for volatiliteten i den betragtede fondskodes afkast, da der ikke er taget højde for den vedhængende rentes indflydelse herpå. Et logisk alternativ til dette ville selvfølgelig være at lade P ikke være et udtryk for kursen, men derimod for prisen 36. Med ingen fast konvention i forbindelse med volatilitetsestimationen, kunne man istedet for at bestemme prisvolatiliteten alternativt udregne rentevolatiliteten. Her ville det også være naturligt at betragte differencen i logaritmen på de daglige renter. Det ville måske her være logisk at beregne rentevolatiliteten på basis af den effektive rente, men hvis dette vælges begår man princippielt set den fejl, som blev påpeget i note 36. Den rente man her alternativt kunne vælge vil være den modificeret effektiverente, dvs den 36 Nu er det som bekendt en kurs som repræsenterer strikeprisen, således at det pr. definition er variationen i kursen og ikke prisen der er interessant. 36

37 rente der løser følgende ligningssystem: (38) Her er K kursen, F t er ydelserne på tidspunkt t og r M er den modificeret effektiverente. Som tillæg til de betragtninger der ovenfor er gjort omkring henholdsvis prisvolatilitet og rentevolatilitet, er der i Appendix B angivet hvorledes omregningen foregår fra den ene volatilitets konvention til den anden. Mere generelt kan formel 36 formuleres således: (39) A er en n x m matrice, dvs en med n observationer (rækker) for hver af de m variable (søjler), hvor hver af søjlerne i A er af følgende form ln( i P t+1 / i P t ), for i = 1,2,...,m. Endvidere er A overstreg et udtryk for middelværdien af datamatricen A, D er den empiriske dispersionmatrix, tr er tracen for D og rg(d) er rangen af dispersionsmatricen, dvs dim søj D. Det er altså her antaget, at der er uafhængighed imellem de enkelte stokastiske variable. I praksis viser dette sig dog tit at være tilfældet, men dette problem kan løses ved at foretage en translation af og en drejning (eller spejling) af det oprindelige koordinatsystem. Relationen mellem koordinater for en fast vektor i 2 koordinatsystemer kan skrives således: (40) Her er x de oprindelige koordinater, y er de nye koordinater, P er de ortonomerede egenvektorer for dispersionsmatricen for x og u er middelværdien for x. Dette nye koordinatsystem har sit begyndelsespunkt i middelværdien for x, nemlig u, og har endvidere de ortonomerede egenvektorer som basisvektorer. Det følger herefter, at dispersionsmatricen for de nye koordinater y, er en diagonal-matrice med egenværdierne for x`s dispersionsmatrice i diagonalen, altså der er uafhængighed imellem de enkelte stokastiske variable. Konklusionen hertil er, at uafhængighedsproblematikken kun er et spørgsmål om at vælge et passende koordinatsystem 37. Endvidere vil variansen, fundet ved anvendelse af formel 39 være equivalent med at summere egenværdierne for den her fremkomne dispersionmatrice D og normere med rg(d). 37 Disse overvejelser er skrevet med udgangspunkt i noterne til 1LA på matetisk institut, HSØ. 37

38 Den estimationsmetode, som ovenfor er gennemgået, er det man normalt kalder for close-toclose estimatoren, i og med at det er "slut"-kurserne for hver enkelt dag i estimationsperioden, der er blevet anvendt. Der forefindes dog en række alternative metoder, her kan bl.a. nævnes estimatorer, som ud over lukke-kurserne også inddrager åbnings kurserne. For en yderligere gennemgang af disse principper henvises til Garman og Klass 1980 og Astrup Jensen og Aase Nielsen 88/1. Et andet problem, som kan komplicere volatilitetsestimationen, er hvis der kan observeres en vis form for autokorrelation i volatiliteten 38. Et yderligere step i volatilitetsestimationen ville altså være at kunne inkorporere denne tidsserie egenskab i estimationsprincippet. Metoder, som kan indkorporere dette forhold i estimationen, blev udviklet i starten af 80 erne, nærmere præcist i 1982 af Robert Engle. Disse estimationsmodeller kaldes almindeligvis for ARCH-modeller (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model). En generel ARCH(q)-model kan formuleres således: (41) Dette bygger på følgende: Lad os betragte den lineære ligning af formen: (42) Løsningen til dette ligningssystem findes ved anvendelse af en OLS metode, dvs ved at minimere de kvaderede afvigelser 39. Den generelle antagelse i forbindelse med ovenstående relation er, at E(ε t ) = 0, og V(ε t ) = σ 2 I, dvs ε t - N(0,σ 2 I). Dette er en standard antagelse i en stationær model, dvs en model hvor V(y t ) = V(y t-1 ). Hvis nu denne betragtning ikke er opfyldt, kunne man alternativt forestille sig følgende 38 Dette har på amerikanske data for aktie-optioner vist sig at være tilfældet, se Bookstaber Se et afsnit i arbejdspapiret "Porteføljebetragtninger i en deterministisk verden" for en gennemgang af princippet i en OLS-metode. 38

39 antagelse omkring y t : (43) Her repræsenterer Ψ t-1 det informationssæt, som er tilgængeligt på tidspunkt t. ARCH-regressions modellen kan nu findes ved at antage, at de forventede værdier af y t er givet ved x t β t altså er givet ved en lineær kombination af lagged endogene og eksogene variable, som er indeholdt i informationssættet Ψ t-1, og med en vektor β t af ukendte parametere, således: (44) Alternativt kunne h t skrives således: (45) To forhold skal her fremhæves: (46) Dvs de betingede og ubetingede middelværdier er identiske. Hvad derimod angår den betinget varians og den ubetinget varians, skal her nævnes følgende 40 : (47) Hvis processen, som driver fejlleddet er kovarians stationær, V(ε t ) = V(ε t-1 ), betyder det, at den 40 Her for simplifikationens skyld udtrykt ved en ARCH(1) model. Endvidere skal der her henvises til Engle 1982 theorem 1 og 2, for en formel udledning af betingelserne for at en ARCH-model kan betragtes som værende henholdsvis kovarians dynamisk eller kovarians stationær. Meget kort kan det dog siges, at hvis rødderne i polynomiet givet ved 1-alpha 1 z alpha i z i, ligger uden for enhedscirklen, så er processen stationær. 39

40 ubetinget varians kan skrives som: (48) eller generelt for en ARCH(q) model: (49) Det fremgår altså tydeligt, at den betingede varians ikke er equivalent med den ubetingede varians 41. ARCH(q) modellen, som defineret ved formel 41 og formel 44, kan nu estimeres ved at løse loglikelihood funktionen, som helt generelt kan skrives således: (50) Løsningen til denne funktion med hensyn til den ukendte parameter vektor v = (β,α), kan findes ved anvendelse af scoring-algoritmen og informationsmatricen, hvor "graden" af ARCH-modellen (dvs antal q-led) kan bestemmes under hensyntagen til Akaikes Informations Kriterium. Det er endog også muligt at udvide ARCH modellen således, at tidligere observationer af h også inddrages i bestemmelsen af h t, dette betyder, at h t vil kunne skrives således: (51) Dette er hvad man kalder for en GARCH(p,q) proces (Generalized ARCH). Det fremgår tydeligt heraf, at for p=0 er dette en ARCH(q) model Endvidere ses det at for summen af alpha i = 0, for i = 1,2,...,q, så vil den betingede varians degenerere til at være lig den ubetingede varians. 42 GARCH modeller er bl.a. beskrevet i Bollerslev

41 Slutteligt skal nævnes, at det i praksis ofte har vist sig at være tilstrækkeligt når p,q # 2. Dette afsnit har påpeget visse af de problemer, der er i forbindelse med bestemmelsen af volatiliteten ved anvendelse af historiske data. Den skal ikke betragtes som værende fyldestgørende, men mere som en slags oversigt over en række forskellige metoder, hvor kun en empirisk analyse vil kunne fastslå om de mere komplekse modeller, som ARCH og GARCH, vil være at foretrække fremfor de mere simple, her defineret ved formel

42 6. Konklusion I dette arbejdspapir blev det påvist, at dekomponeringen af det interaktive forhold mellem optionspriser og additive skift i initial rentestrukturen, var af en sådan komplexitet, at en anden ordens Taylors ekspansion omkring initial rentestrukturen, ikke var tilstrækkelig til at beskrive det forhold. I den samme forbindelse blev det konkluderet, at en tredie ordens approximation langt hen af vejen ville være både nødvendig og tilstrækkelig til at beskrive den komplekse pris-rente relation for obligations-optioner. Yderligere blev der argumenteret for at i forbindelse med fastlæggelse af optioners renterisiko, foreslåes en 2-steps analyse, således:: 1: bestem optionens pris-rente forhold, ved at foretage en tredieordens Taylors ekspansion (eventuelt kun en anden ordens ekspansion) omkring initial rentestrukturen, og 2: foretag en analyse af, hvorledes optionspriserne udvikler sig ved rentesimulation omkring initial rentestrukturen. Hvor kravet til denne simulering er at den skulle foretages hvis der "kun" blev anvendt en anden ordens ekspansion, hvorimod at hvis der blev brugt en tredie ordens ekspansion var det ikke altid nødvendigt med en rentesimulering, selvom det i alle tilfælde klart var at anbefale. Denne fremgangsmåde vil jeg også anbefale bliver anvendt, hvis det er en blandet portefølje, der betragtes, såfremt den indeholder optioner. I afsnit 4 blev det vist, at det var muligt at definere hedgeprincippet helt generelt på tværs af instrumenttyper, således at det var muligt at hedge en eller flere af basisporteføljens risikoparametre. For hvert risikoparameter, der ønskes hedges, krævede det at følgende to forhold skulle defineres: 1: fastlæggelse af hedgeporteføljen, og 2: definition af den ønskede risikoeksponering for den kombinerede positions på det specifikke risikoparameter. Sluttelig blev problemerne, ved at anvende historiske data til at bestemme den fremtidige volatilitet, diskuteret. Her blev der anvist en række forskellige metoder, herunder maksimum likelihood estimatoren for slut-kurserne, og endvidere blev tidsseriemodeller, såsom ARCH og GARCH-modeller, kort gennemgået. 42

43 Litteraturliste. 1: Astrup Jensen og Aase Nielsen "Optioner på obligationer, III. Black-Scholes priser for obligationsoptioner", Publikation 88/1, Århus Universitet. 2: Black og Scholes 1973 "The pricing of Options and Corporate Liabilities", Journal of Political Economy, vol 81, side : Black 1976 "The pricing of Commodity Contracts", Journal of Financial Economics 3, nr. 1 og 2, jan/marts, side : Bookstaber 1991 "Option pricing and investment strategies", 3rd edition, McGraw-Hill Book company. 5: Fabozzi 1992 "Handbook of Fixed Income Securities", Homewood. 6: Garman 1992 "Charm School", Risk, vol. 5, no. 7, juli-august 1992, side 53,56. 7: Hull 1989 "Options, Futures, and other derivative securities", Prentice-Hall Internatial. 8: Madsen foråret 1989 "Styring af renterisiko i obligationsporteføljer", Hovedopgave, Handelshøjskolen i København, marts : Madsen foråret 1991 "Porteføljebetragtninger i en deterministisk verden", upubliceret arbejdspapir Realkredit Danmark foråret : Madsen januar/februar 1991 "Et simpelt risikomål for renteafhængige fordringer", upubliceret arbejdspapir Realkredit Danmark januar/februar : Madsen januar 1994 "Prisfastsættelse af obligationer i kontinuerlig tid", arbejdspapir Realkredit Danmark 11. januar

44 12: Madsen november 1994 "ATP-modellen og variationer i rentestrukturen", arbejdspapir Realkredit Danmar 29. november : Madsen oktober 1994 "Prisfastsættelse af optioner på kuponbærende obligationer", arbejdspapir Realkredit Danmark 7. oktober : Maden august 1995 "Konverterbare Obligationer II - Prepayment modellering og prisfastsæt telse", arbejdspapir Realkredit Danmark august : Pan 1986 "Lognormal Yields and Option Pricing", unpublished notes, Research Department, Greenwich Capital Markets Inc., Greenwich, Conn. 16: Wong 1991 "Trading and Investing in Bond Options", John Wiley og Sons. 44

45 Appendix A Prisen på forwardkontrakt er defineret således: (52) Her er F * forwardprisen, r s er spotrentestrukturen og r o er den rente som gælder fra spottidspunktet til forwardkontraktens terminsdato. Princippielt set er r o derfor at betragte som den risikofri rente i Black 76 modellen. Endvidere er t løbetiden fra spottidspunktet ud til de enkelte terminsdatoer, og x er antal dage frem til forwardkontraktens terminsdato. Det skal yderligere påpeges, at relationen imellem (1 + r s ) -t og (1 + r o ) -x er definitionen af forwardrentestrukturen i et deterministisk framework. Slutteligt skal det nævnes, at de betalinger der indgår i F t kun er de betalinger som forfalder givet forwardtidspunktet. Hvis nu r s = r o = r, dvs rentestrukturen er flad, er det indlysende at formel 52 får følgende udseende: (53) Hvor t - x repræsenterer løbetiden fra forwardkontraktens terminsdato ud til de enkelte terminsdatoer. Med udgangspunkt i formel 52 kan det indses, at theta på en forwardkontrakt kan findes således: (54) hvor det nemt kan udledes, at for r s = r o = r, dvs flad rentestruktur, vil leddet i den kantede parantes degenerere til nul. Det kan altså hermed konkluderes, at hvis rentestrukturen er flad er theta på forwardkontrakter lig nul. Hvis derimod r s r o, så findes theta på forwardkontrakter ud fra formel

46 Appendix B Hvis man ønsker at konvertere en effektivrentevolatilitet til en prisvolatilitet eller omvendt, er princippet som følger: Omregningen foregår over den modificeret varighed, således: (55) σ P og σ Y er henholdsvis den årlige procentuelle prisvolatilitet og effektiverentevolatilitet, Y er den effektiverente og D M er obligationens modificeret varighed 43. Hvis det nu alternativt er omregningen imellem en kursvolatilitet og en modificeret effektivrentevolatilitet der betragtes, er princippet således: (56) σ K og σ M Y er henholdsvis den årlige procentuelle kursvolatilitet og modificeret effektivrentevolatilitet, Y M er den modificeret effektiverente, K er kursen og størrelsen D M M kan betragtes som værende et udtryk for den procentuelle kursændring. 43 Tilsvarende omregningsformel er også anvist af Visholm

47 Appendix C 47

48 48