Sidste gang. Afsnit 5.5: (Ækvivalente) martingalmål. Fin1 11/

Transkript

1 Sidste gang Afsnit 5.4: Betingede middelværdier; regneregler, fortolkning og eksempler. Martingaler. Variationer over dette har en betydelig tendens til at dukke op til eksamen. Afsnit 5.2: Finansielle modeller. Priser, dividender, rente. Handelsstrategier, dividende-strømmme, selv-finansiering, arbitrage, replikation, komplethed. Afsnit 5.5: (Ækvivalente) martingalmål. Fin1 11/

2 Denne gang (ca. kronologisk) Afsnit : En model er arbitragefri hvis og kun hvis den er har et martingalmål. Og det kan tjekkes lokalt. Afsnit 6.6: Hvordan man finder replikerende strategier. Prop. 24, ligning (6.5); området omkring Prop. 25 spinger vi over. Afsnit 5.3 og 5.7 overspringes for vi skal ikke bruge dem. Fin1 11/

3 Afsnit 6.1 er hurtigt læst; pay-off-diagrammer, hockey-stave. Afsnit 6.2 med put-call-pariteten (Prop. 21), der i den simpleste version (tid 0, konstant rente) siger K call put = S (1 + r). T Den er vigtig. Afsnit 6.4: Se på standardbinomialmodellen istedet. Afnsit 6.5 og 6.7 siger jeg ikke rigtig noget om. Afsnit overspringes. Fin1 11/

4 Afsnit 6.2: Terminskontrakter; forward-priser. Mandag 16/3. Afsnit 6.8 om såkaldt amerikanske optioner, der kan indfris ( exercises ) førtidigt. Vigtigt og nemmere gjort end sagt. Mandag 16/3. Afsnit 6.3 er korollært og fortæller, at amerikanske call-optioner på aktier uden dividende ikke ikke exercises før tid. Mandag 16/3. Fin1 11/

5 Hovedresutater (Theorem 15; 1st fundamental thm of asset pricing) En finansiel model er arbitragefri hvis og kun den har et (ækvivalent) martingalmål, dvs. der findes et sandsynlighedsmål Q så S i t = E Q t ( S i t+1 + δt+1 i ) 1 + ρ t (altså i, t, ω). Det beviser vi om et øjeblik. Fin1 11/

6 (Afnsit 6.6) En selv-finansierende, replikerende portefølje, φ, for et contingent claim (tænk: option) med pay-off = δ c u findes ved (om muligt) at løse φ 0 u 1(1 + ρ u 1 ) + φ u 1 (S u + δ u ) = δ c u. og rekursivt baglæns for t = u 2, u 3,...,0 φ 0 t(1 + ρ t ) + φ t (S t+1 + δ t+1 ) = φ 0 t+1 + φ t+1 S } {{ t+1. } :=π c (t+1) Fin1 11/

7 Nyttige Korollarer (Corollary 16; 2nd fundamental thm of asset pricing) En arbitragefri model er komplet hvis og kun hvis Q er entydig. (Afsnit 5.6) Det er nok at tjekke alle 1-periode delmodeller. (Corollary 17) I en komplet model har alle nye aktiver en entydig pris, nemlig prisen på den (ikke nødvendigvis entydige) replikerende selvfinansierende handelsstrategi (eller porteføjle). Fin1 11/

8 For et aktiv, der ikke udbetaler dividender mellem t og u har vi (itererede forventninger) ( ) S t = E Q Su t, R t,u 1 eller med andre ord: Diskonterede priser på ikke-dividende-betalende aktiver er Q-martingaler. (Deraf navnet.) Fin1 11/

9 Pointer Vi er veludrustede nu Formel ramme; præcise sætninger; stringente beviser. Standardbinomialmodellen som arbejdshest; hvis vi skal sætte tal på i praksis. Lineær sammenhæng mellem priser og betalinger. Som tidligere. Dividender, stokastisk rente og stiafhængighed: No problem! Nye aktiver prisfastsættes relativt til de gamle, hvis (stokastiske) dynamik, vi tager for givet. Dynamisk justering af porteføjler gør, at meget kan udspændes af få aktiver. Fin1 11/

10 Replikation med modsat fortegn kaldes hedging eller afdækning. (Hedging bruges mere ofte mere bredt når man laver porteføjler, der har en eller anden grad af negativ korrelation med [noget], men måske ikke fuldstændigt modsatte betalinger.) Kaldes ofte risiko-neutral prisfastsættelse. Både godt og skidt. Rimeligt fordi vi kan regne som om investorer/agenter er risikoneutrale. Kan misforstås da vi bestemt ikke antager, at de er det. Kun fravær af arbitrage. Hvis agenter er risikoaverse, så er Q P. Vi kan komme meget langt uden (eksplicitte) referencer til nyttefunktioner. Men konceptet og økonomisk teori generelt er ikke afgået ved døden. I inkomplette modeller, eller hvis dynamisk porteføljejustering ikke er mulig, er de vigtige. Det kan være nyttigt fra tid til anden at genlæse Noternes afsnit 4.3. Fin1 11/

11 Hvis man har komplicerede problemstillinger, kan det være helt rimeligt at antage risikoneutralitet to get the ball rolling. Men forklædt som vi arbejder under Q kan det også risikere at skjule vigtige aspekter. Fin1 11/

12 Put-call-paritetspointer Ser anderledes ud end Prop. 21, hvis der er dividender. Opgave. Holder ikke for amerikanske optioner som vi kommer til om lidt. Er vigtig at huske fordi - den helt banalt fortæller, at hvis vi kan prisfastsætte call-optioner, så kan vi lynhurtigt prisfastsætte put-optioner. (Yndlingsaversion: Implicit volatilitet for put-optioner...) - man for rigtige data kan bruge den til at estimere rente og dividender og til at finde fejl i data. (Regnearkseksempel - var der ikke tid til; arket ligger på hjemmesiden.) Fin1 11/

13 - det teoretisk/teknisk set kan være behageligt at arbejde med put-optioner, hvis pay-off er en begrænset (og kontinuert) funktion af den underliggende. (Eksempelvis kapitel 7.) Fin1 11/