FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal

Transkript

1 FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk

2 Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Fuktioer beskrevet ved mægder... 5 Fuktioer beskrevet ved tabeller... 5 Fuktioer som maskier... 6 Fuktioer agivet som grafer... 6 Dm og Vm... 7 Fuktioer agivet ved forskrifter... 8 Stykkevist defierede fuktioer... Numerisk værdi (absolut værdi):... 5 Fortegsfuktioe:... 5 Fuktioere floor, ceilig (ceil) og iteger (it):... 6 Trappekurver og sumkurver... 7 MONOTONI... 7 SÆRLIGE FUNKTIONSNAVNE... Sammesatte fuktioer... 5 Omvedte fuktioer... 9 Om at bestemme omvedte fuktioer til e give fuktio LINEÆRE FUNKTIONER EKSPONENTIALFUNKTIONER... 4 LOGARITMEFUNKTIONER Logaritmisk skala... 5 Regestokke... 5 Logaritmetabeller Avedelse ide for aturvideskabere Befords lov Logaritmisk spiral RENTESREGNING Kotiuert rete ANNUITETER Auitetslå INDEKSTAL... 7

3 FUNKTIONSBEGREBET Vi har i forbidelse med uedelighedsbegrebet set på ijektioer, surjektioer og bijektioer, der er fuktioer med bestemte egeskaber. Så du keder allerede lidt til fuktioer. Vi skal u gå mere i dybde med, hvad e fuktio er for oget, og få idført ogle stadardfuktiostyper. Efter dette eme følger ifiitesimalregig (differetialregig, itegralregig og differetialligiger), der tager udgagspukt i fuktiosbegrebet. Og vi skal udvide og avede fuktiosbegrebet, år vi behadler vektorfuktioer og statistik. Fuktiosbegrebet står altså meget cetralt i gymasiematematikke, ligesom det gør i de gre af matematikke, der kaldes matematisk aalyse. Vi ser først på e masse begreber i forbidelse med fuktioer. Mægde af ye ord ka måske virke overvældede og give et idtryk af, at fuktiosbegrebet er voldsom svært at arbejde med, og derfor er det vigtigt også at vide, at vi stadig arbejder med fuktioer ved at opskrive e forskrift (f.eks. f 7), hvor vi ka fide fuktiosværdier (f.eks. f og f ) eller tege grafer for fuktioer. Og det er på dee måde, du oftest kommer til at arbejde med fuktioer i opgaver. Me lad os u defiere følgede (bemærk, at der står etydig og ikke eetydig ): Defiitio : E fuktio er e etydig afbildig af elemeter fra e mægde A id i e mægde B, dvs. at der til ethvert elemet i A er kyttet etop ét elemet i B. Mægde A kaldes domæet eller defiitiosmægde. Elemetere i A kaldes argumeter. Mægde B kaldes kodomæet. De elemeter i B, som midst ét elemet fra A er kyttet til, kaldes billeder eller værdier. Mægde af værdier kaldes billedmægde eller værdimægde, og det er e delmægde af B. Hvis fuktioe hedder f, beteges værdimægde med Vm f eller Ma siger, at fuktioe afbilder A id i B. f A. Vi ka med det samme også getage og supplere - defiitioe fra uedelighedsemet: Defiitio : E fuktio, hvor hvert elemet i værdimægde er billedet af etop ét argumet, kaldes e ijektio. E fuktio f, hvor f A B, kaldes e surjektio, og ma siger i så fald, at f afbilder A på B. E fuktio, der både er e ijektio og e surjektio, kaldes e bijektio. Bemærk følgede: f, g, h, F, G, f, g og ligede er avet på vores fuktio. Vi aveder æste altid ét bogstav evt. med et mærke i afledede fuktioer f og g og vi skeler kosekvet mellem store og små bogstaver (stamfuktioer agives typisk som F og G). Vi kue altså f.eks. skrive: Om fuktioe f gælder 3

4 f er fuktiosværdie i. Dvs. det er IKKE fuktioes av, me e fuktiosværdi i værdimægde. f 3 8 er de måde, du altid vil møde fuktiosforskrifter på i opgavetekster. Egetlig er det bare e idetitet: For højreside er et matematisk udtryk, der også agiver fuktiosværdie i (husk, at et matematisk udtryk ka udreges, hvis ma keder værdie af de idgåede størrelser, og ellers ka det måske reduceres). Ma får altså et sadt udsag uaset hvilket argumet, ma aveder i udtrykket. Og det er præcis såda, vi aveder ligige: f 3 8 udtales f af er -, hvormed der mees fuktiosværdie i er -. Egetlig burde e fuktiosforskrift skrives på følgede måde: Fuktiosforskrifte fortæller altså, hvad der skal gøres med argumetet, dvs. hvilket udtryk svarede til e værdi som afbildes over i. I Maple ka ma avede begge otatioer: Skrivemåde avedt for fuktioe g ka du fide uder Epressio. Brug tab -kappe til at bevæge dig frem i skrivemåde. Ligesom vi avedte vores grudmægde i forbidelse med ligiger, fortæller vi med defiitiosmægde og kodomæet, hvilke talmægder vi arbejder med. Vi skriver: f : A B eller i et kokret tilfælde f.eks. f :. Hermed fortæller vi, at fuktioe f ka avedes på alle reelle tal, og at hvert argumet afbildes over i e værdi, der er et reelt tal. Vi skal u se på forskellige måder at illustrere fuktioer. Vi skal se på mægder, tabeller, grafer, maskier og forskrifter. Det er vigtigt at huske på, at vi allerede har defieret, hvad e fuktio er for oget. De forskellige beskrivelser avedes ku for at belyse forskellige poiter ved fuktiosbegrebet. De skal altså hver især ses som e hjælp til at forstå Defiitio, og de supplerer hiade. 4

5 Fuktioer beskrevet ved mægder Vi har allerede beyttet dee beskrivelse uder vores arbejde med uedeligheder. Styrke ved dee beskrivelse er, at de er god til at illustrere, hvad der mees med e afbildig (illustreret med de blå pile), samt at det er fuktioe f, der afbilder fra A til B: Det er desude ok de bedste måde at illustrere forskelle mellem kodomæet B og værdimægde f A eller Vm f. I oveståede tilfælde tilhører tallet 9 kodomæet, me det tilhører ikke værdimægde, da ige af argumetere fra A afbildes over i 9. Vi har desude set, at der skal udgå etop é pil fra hvert elemet i A, hvis det skal være e fuktio. Så hvis der var et elemet, hvorfra der ikke udgik e pil, skulle defiitiosmægde idsævres, så elemetet ikke var med i A. Og hvis der udgik mere ed é pil fra et elemet, ville værdie ikke være etydig (og der ville derfor ikke være tale om e fuktio jf. Defiitio ). Fuktioer beskrevet ved tabeller Vi møder fuktioer på tabelform i alle regressiosopgaver i eksamessættee. Det er desude de form, som vi er hevist til, år vi foretager vores eksperimeter i kemi og fysik (eller ehver ade videskab). Et eksempel: Vores udgagspukt er altså, at vi ku keder et edeligt atal fuktiosværdie. Me poite med tabeller er oftest, at ma atager, at der bag tabelle gemmer sig e sammehæg mellem de to variable, som ma ka beskrive ved e fuktio. Og det er dee fuktio, ma søger. Ma forsøger altså ved hjælp af et edeligt atal måliger at fide e fuktio, der ka avedes på uedelig mage argumeter. E såda fuktiosforskrift kaldes e model eller e formel (alt afhægig af situatioe). 5

6 Fuktioer som maskier Ma illustrerer sommetider e fuktio som e maskie: Idee med dette er at illustrere poite med, at fuktioe virker på vores argumet, hvorefter vi får vores fuktiosværdi f. Dvs. vi smider vores argumeter id i maskie, og de gør et eller adet ved argumetet (beskrevet ved vores fuktiosforskrift), hvorefter de spytter é værdi ud. Vores argumeter kommer fra A, og de værdier, vi får ud, udgør værdimægde. Fuktioer agivet som grafer Grafe for e fuktio mider utrolig meget om grafe for e sammehæg beskrevet ved e f give ligig. For ofte erstatter vi med y og kalder ordiatakse for y-akse. Og det er faktisk her betegelse de afhægige variabel kommer fra. For år vi arbejder med fuktioer, er og y ikke sidestillet, som de er i ligiger. Vi ka frit vælge et argumet fra A, som vi idsætter i fuktioe, og fuktiosværdie afhæger så af dette valg. Når vi arbejder med fuktioer, viser vi med pile, at vores udgagspukt er argumetere på abscisseakse, mes vores billeder ligger på ordiatakse. Fordele ved grafer er det visuelle. Ma ka direkte se fuktioe. E vigtig poite ved fuktioer er, at uaset hvilke lodret lije, du teger i koordiatsystemet, må de ikke skære grafe for e fuktio mere ed é gag. Hvis de gjorde, ville vores etydighed ikke holde. Du ka derfor bl.a. se, at e cirkel ikke er grafe for e fuktio. Ma ka direkte overføre al vores vide om parallelforskydiger og spejliger i aksere fra ligiger. Hvis du erstatter med a og f med f b, forskyder du grafe for f med a i -akses retig og b i y-akses retig. MEN bemærk, at ma ikke umiddelbart ka rotere grafe og stadig være sikker på, at ma ka avede e fuktiosforskrift, for ma ka miste etydighede ved rotatioer (tæk på poite med de lodrette lije ævt ovefor). 6

7 Dm og Vm Vi skal u se lidt mere på defiitios- og værdimægder (jf. Defiitio ). Defiitiosmægde er de mægde, hvorfra ma heter sie argumeter (-værdier). Så grafisk svarer det til de mægde af steder på. akse, hvorfra ma ka tege e lodret lije, der rammer grafe. Værdimægde svarer til billedere af samtlige argumeter, og grafisk aflæses de som de mægde af værdier på. akse, hvorfra ma ka tege e vadret lije, der rammer grafe. Vi husker, at e ikke-udfyldt cirkel agiver, at selve puktet ikke er med, mes de udfyldte cirkel agiver, at puktet er med. Vi ka derfor i dette eksempel aflæse, at Dm f 4,5 og,6 Vm f. Tjek, at du har styr på, hvor tallee i itervallere kommer fra, og hvorda de firkatede pareteser skal vede. I dette eksempel går grafe ed i e dal. Bemærk, hvorda ma aflæser: Dm g 4,5 og 3,5 Vm g. Tjek ige, at du ka se, hvorfor de firkatede pareteser veder, som de gør. Bemærk, at dette er grafe for é fuktio h. Vi aflæser her: Dmh 6,,6 og Vmh 6,3. Disse grafer ka vi ikke bruge til så meget i praksis. De er ku teget for at illustrere defiitiosmægder og værdimægder. Opgavere 600* 7

8 Fuktioer agivet ved forskrifter Det er vigtigere i praksis at kue geemskue defiitiosmægder og værdimægder, år ma ser på fuktiosforskrifter. Ma ka sige, at fuktioer har e aturlig defiitiosmægde, som vi frit ka vælge at begræse, hvis opgave lægger op til det. Når vi keder defiitiosmægde, ka vi bestemme værdimægde som alle de fuktiosværdier, der fremkommer, år vi lader fuktioe virke på alle elemeter i defiitiosmægde. Eksempel : Vi ser på fuktioe f : og øsker at bestemme (de aturlige) defiitiosmægde og de tilhørede værdimægde. Poite, år du skal bestemme defiitiosmægde, er, at du kigger på, hvad der skal gøres med argumetere, år de smides id i fuktioe. I dette tilfælde skal du uddrage kvadratrode. Da ma ikke ka uddrage kvadratrode af egative tal (me godt af 0), får ma: Dm f 0,. For at fide værdimægde skal du u forestille dig, at du lader di fuktio virke på alle værdiere i oveståede iterval. Hvis du f.eks. lader f virke på 0, får du værdie 0. Hvis f virker på 9, får du 3. Hvis f virker på 00, får du 0. Ma ka derfor idse, at ma ka opå samtlige ikke-egative reelle tal, og dermed er: Vm f f 0, 0, Eksempel : Vi ser u på fuktioe g givet ved forskrifte g 5 3. Ige vil vi bestemme Dm og Vm. Udtrykket uder kvadratrode må ikke blive egativt, så vi ka se, at Dm g 5,. Når vi lader g virke på alle elemetere i dette iterval, ka vores kvadratrod give alle ikke-egative reelle tal, og da vi skal lægge 3 til dette, får vi: 3, Vm g Grafere for de to fuktioer fra eksemplere og plottes samme i Maple: 8

9 h 3 7. Eksempel 3: Vi ser på fuktioe h givet ved Vi vil gere bestemme defiitiosmægde og værdimægde. Når ma lader h virke på et argumet, skal dette kvadreres og multipliceres med 3. Dette ka ma gøre med alle tal, og derfor er Dmh. Egetlig ka ma jo også kvadrere komplekse tal, så de komplekse tal kue også have fugeret som defiitiosmægde. Hvis der i de pågældede sammehæg ka opstå tvivl om, hvilke talmægde vi arbejder ide for, ka ma derfor skrive: h : eller h : alt afhægig af, om ma reger med komplekse tal. Me da vi som udgagspukt dvs. med midre adet er ævt arbejder med de reelle tal, vil ma oftest udelade dee skrivemåde. Vores defiitiosmægde og vores kodomæe er altså begge mægde af reelle tal, me hvad med vores værdimægde? Vi gekeder højreside fra vores ligig for e parabel, og vi ser på de positive a- værdi, at greee veder opad. Vi udreger så toppuktets adekoordiat for at fide de edre græse for værdimægde: d b 4ac d a 4 4 Dvs. at vores værdimægde er: Vi ser på grafe: Vm h 37 ; 4 Tjek ige, at du ka få Dm og Vm til at stemme med grafe. 9

10 Eksempel 4: Vi ser på fuktioe g: 3. Vi vil bestemme Dm og Vm. Vores fuktiosudtryk ideholder e brøk, og i e brøk må ævere ikke være 0. Det bliver de, hvis, og derfor må vores defiitiosmægde ikke ideholde tallet. Vi har derfor: Dm g \ Det ka være lidt sværere at geemskue værdimægde. Me hvis ma opdager, at grafe må være e parallelforskydig af hyperble bestemt ved ligige y med i -akses retig og 3 i y-akses retig (da g 3 er e omskrivig af y 3 ), så får ma: Vm g \ 3 Ma ka også idse det ved at opdage, at brøke ka give alle værdier bortset fra 0. Eksempel 5: Vi ser på e situatio, hvor ma ud fra et 50 cm 80 cm stykke pap skal lave e kasse ude låg. Ma klipper kvadrater med sidelægde af i hjørere. Vi reger vores lægder i cm: Vi vil gere udtrykke kasses rumfag V som e fuktio af kvadratets sidelægde. Da rumfaget af e kasse er V l b h, får vi: 3 V Når vi kigger på fuktiosudtrykket for fuktioe V, ka vi se, at vores argumet skal kuberes, kvadreres og multipliceres med Dette ka vi gøre med alle reelle tal. Så fuktioes aturlige defiitiosmægde er alle reelle tal. Me her kommer poite med dette eksempel: Vores forskrift agiver rumfaget som fuktio af e sidelægde. Vi ka ikke klippe et kvadrat med e egativ sidelægde, og sidelægde 0 giver heller ikke meig, hvis vi holder fast i, at vi skal ede med e kasse. Og vores kvadrats sidelægde skal også være uder 5 cm, for ellers får kasse ikke oge bredde, da vi ku har 50 cm at give af. I dee situatio får vi altså: DmV 0,5. Ma agiver dette ved at skrive: 3 V ; 0 5 0

11 Situatioe ka ses på edeståede figur. Til vestre ses fuktioe i et iterval, der er større ed defiitiosmægde. Der er områder med egative rumfag, hvilket ikke giver oge meig. Det er grafe til højre, der er de rigtige i dee situatio. Det er ku området mellem 0 og 5 på -akse, der er relevat. Eksempel 6: Det oplyses, at ved temperature 5 C ka lufttrykket p som fuktio af højde h over jordoverflade beskrives ved fuktioe: 0, e p h hvor h måles i meter, og p måles i bar. h, Fuktiosforskrifte ideholder e potes med positiv rod ( e, ), og vi ved fra vores potesregig, at i såda e potes må ekspoete være alle (reelle) tal. Ellers ka vi se det ved at plotte udtrykket i Maple: Dvs. de aturlige defiitiosmægde er alle reelle tal. Me i dee kokrete situatio vil ma ormalt sætte de edre græse for højde til 0 (selvom der er ekelte steder på ladjorde, der ligger uder havoverflade). Det ka være oget sværere at fastsætte e øvre græse, så der vil ma typisk ikke begræse mægde, me i stedet være opmærksom på, at udtrykket selvfølgelig ikke gælder meget lagt væk fra jorde. Ma vil altså vælge Dm p 0, Opgavere 60*

12 Stykkevist defierede fuktioer I eksemplere -6 kue vi øjes med é forskrift, år vi skulle agive fuktioe, og såda er det oftest. Me ogle gage har ma brug for flere forskrifter til at beskrive é fuktio. Ma kalder i så fald fuktioe for e stykkevist defieret fuktio: Defiitio,5: E stykkevist defieret fuktio er e fuktio, der er agivet ved mere ed ét fuktiosudtryk, hvor hvert fuktiosudtryk gælder i hver si delmægde af defiitiosmægde. Ma agiver stykkevist defierede fuktioer med gaffelforskrifter, der kytter hvert fuktiosudtryk til de del af defiitiosmægde, hvor det er gældede. Bemærk altså, at der er tale om é fuktio, selvom der idgår flere forskellige fuktiosudtryk. E gaffelforskrift ser ud på følgede måde: I Maple fides symbolet for e gaffelforskrift uder Epressio (tilføj det til die favoritter): Hvis ma som i oveståede gaffelforskrift har brug for mere ed to rækker, skal ma gøre følgede: Beyt tabulatorkappe (se edefor) til at bevæge dig frem ide for symbolet. Tabulatorkappes udseede: ( mac) ( pc)

13 Øvelse : Tjek, at du i Maple ka idtaste edeståede gaffelforskrift og plotte grafe. Du skriver de svage ulighedsteg ved først at idtaste det skarpe ulighedsteg og lige derefter et lighedsteg. Med kommadoe discot=true fås de (æste) rigtige graf ude lodrette lijer: Det eeste problem med dee graf er, at Maple aveder e cirkel i stedet for e udfyldt cirkel, år puktet er med (jf. fuktiosforskrifte). Når ma først har fået agivet fuktioe ved e gaffelforskrift i Maple, ka ma arbejde med de på samme måde, som hvis de var agivet med ét fuktiosudtryk: 3

14 Edu et eksempel på e stykkevist defieret fuktio agivet ved e gaffelforskrift er: I edeståede eksempel gælder fuktiosudtrykket 3 ikke i et iterval, me ku ét sted, emlig år. Ma ka også beytte gaffelforskrifter til almidelige fuktioer, hvis defiitiosmægde er begræset. F.eks. kue ma i Eksempel 5 have skrevet: 4

15 Lad os u se på ogle stadardfuktioer, der er stykkevist defierede fuktioer. Numerisk værdi (absolut værdi): :, for 0, for 0 Fortegsfuktioe: Fortegsfuktioe sg (ormal otatio) eller sig (i Maple) giver forteget for et tal agivet ved tallee, 0 og :, for 0 sg : 0, for 0, for 0 Maple aveder e ade defiitio og har sig0 Graf fra Wikipedia Numerisk værdi of fortegsfuktioe ka optræde i samme ligig, for der gælder: sg (tjek, at du ka se, at dette gælder) 5

16 Fuktioere floor, ceilig (ceil) og iteger (it): Fuktioere floor (gulv), ceilig (loft) og iteger (heltal) er beslægtede fuktioer. floor giver det største heltal, der ikke er større ed argumetet. ceilig giver det midste heltal, der ikke er midre ed argumetet. iteger skærer decimalere af et tal. 6

17 Trappekurver og sumkurver Ide for de såkaldte deskriptive statistik møder vi trappekurver og sumkurver, der også er stykkevist defierede fuktioer. Du skal ikke gå op i de kokrete tal på edeståede grafer (de er ude betydig). Opgavere 60* MONOTONI Ordet mootoi er opbygget af moo (e) og toos (toe), og vi bruger det dagligt syoymt med esformigt. Det esformige, år ordet avedes ide for matematik om fuktioer, er, om fuktioes graf bliver ved med at gå opad eller bliver ved med at gå edad, år ma bevæger sig i positiv retig på -akse. Vi defierer emlig: Defiitio 3: E fuktio f kaldes (stregt) voksede i et iterval I Dm f opfyldt:, I : f f, hvis følgede er Hvis fuktioe er stregt voksede i hele si defiitiosmægde, dvs. hvis I ka erstattes af Dm f i oveståede, kaldes fuktioe (stregt) voksede. 7

18 Dvs. at fuktioe er voksede, hvis det er såda, at uaset hvilket sted, du begyder, vil du få e større fuktiosværdi, hvis du vælger et større argumet. Du ka som ævt grafisk se det, som om du bevæger dig op ad bakke, år du bevæger dig mod højre. Dette er godt ok ikke så præcis e beskrivelse som vores defiitio, og ma ka jo møde koordiatsystemer, hvor ma har vedt retige på abscisse- eller ordiatakse, hvorved beskrivelse med op ad bakke ikke ville gælde. Me i praksis vil op ad bakke -billedet være fit. Defiitio 4: E fuktio f kaldes (stregt) aftagede i et iterval I Dm f opfyldt:, I : f f, hvis følgede er Hvis fuktioe er stregt aftagede i hele si defiitiosmægde, kaldes fuktioe (stregt) aftagede. E fuktio er altså aftagede, hvis du uaset udgagspuktet oplever, at di fuktiosværdi bliver midre, år du vælger et større argumet. Grafisk svarer det til, at du bevæger dig ed ad bakke, år du går mod højre. Defiitio 5 (e meget kedelig defiitio): E fuktio f kaldes kostat i et iterval I Dm f hvis følgede er opfyldt:, I : f f Hvis fuktioe er kostat i hele si defiitiosmægde, kaldes fuktioe kostat., Defiitio 6: (Stregt) voksede fuktioer, (stregt) aftagede fuktioer og kostate fuktioer beteges uder ét som (stregt) mootoe fuktioer. Øvelse : Argumetér for, at hvis e fuktio er stregt voksede eller stregt aftagede, er de ijektiv. Fid et eksempel på grafe for e fuktio, der er ijektiv, me hverke voksede eller aftagede. Baseret på opslag på svesk, egelsk, tysk, frask og spask wikipedia lader det til, at ma iteratioalt opdeler fuktioer i stregt voksede og voksede fuktioer (og tilsvarede med begrebet aftagede). Voksede fuktioer opfylder så ku : f f, dvs. der avedes svagt ulighedsteg i stedet for skarpt ulighedsteg. Dette er der ikke traditio for i daske gymasiematematikbøger, hvor der lader til at være eighed om ku at arbejde med de skarpe ulighedsteg og samtidig stryge ordet stregt. Det får ige betydig for os, me hvis du vil være sikker på at udgå misforståelser, ka du avede betegelsere stregt voksede og svagt voksede. Me lad os u fjere fokus fra ordee og se på idholdet af begrebere geem e række eksempler: 8

19 Eksempel 7: Vi ser på fuktioe f givet ved forskrifte Skrivemåde 0 f ; 0. er e hurtigere måde at agive, at \ 0 Dm f. Bemærk, at hele defiitiosmægde ikke er et iterval, da der er et hul i 0. Me de ka deles op i to itervaller, som vi u skal udersøge hver for sig. 0 (dvs. I 0, ): Vi ser u på to elemeter, I, hvorom det gælder, at. Vi foretager u e række omskriviger: [Vi må dividere med på begge sider ude at vede ulighedsteget, da 0] [Vi dividerer med ude at vede ulighedsteget] dvs. f f Vi ser altså, at betigelse fra Defiitio 4 er opfyldt, og f er derfor stregt aftagede i itervallet 0,. 0 (dvs. I,0 ): Vi ser u på to elemeter, I, hvorom det gælder, at. Vi foretager u e række omskriviger: [Vi må dividere med på begge sider, år vi veder ulighedsteget, da 0] [Vi dividerer med og veder ige ulighedsteget, da også 0] dvs. f f Vi ser altså ige, at betigelse fra Defiitio 4 er opfyldt, og f er derfor stregt aftagede i itervallet,0. Vi har u set, at f er stregt aftagede i begge de itervaller, der foreet udgør defiitiosmægde, og det kue måske derfor være fristede at hævde, at f er stregt aftagede. Me det er f IKKE. For prøv at se, hvad der sker, hvis ma tager udgagspukt i et positivt og et egativt tal. 9

20 Bemærk, at ma til at bevise, at e fuktio er voksede eller aftagede i et iterval, altså både ka avede selve defiitioere og e metode med at kigge på tagethældiger. Det er tagethældigsmetode, du eder med altid at skulle bruge (år vi har geemgået differetialregig). Øvelse 3: Vis, at fuktioe g: voksede (dvs. ikke voksede i hele si defiitiosmægde). er voksede i både itervallet 0, og,0, me ikke Eksempel 8: Vi ser på fuktioe f : ; Vi ser på to itervaller hver for sig: Dm f. I 0, : Lad altså, I og. I de øverste ulighed gages på begge sider med det positive tal. I de ederste ulighed gages på begge sider med det positive tal. Vi har hermed fået daet to uligheder, og da faktoreres orde er ligegyldig, er de to gule udtryk es. Dermed ka vi opstille de tre forskellige udtryk i ordet rækkefølge, og vi ser altså, at. Hvis 0, gælder de ederste ulighed ikke, me da stadig. I dette iterval er f altså (stregt) voksede. I,0 : Lad altså, I og. 0 gælder koklusioe Vores ulighedsteg vedes, år vi gager med og, og dermed eder vi med og koklusioe, at f er aftagede i I,0. Dee gag er det, der ka være 0. Overvej, hvorfor de edelige koklusio stadig holder! Vi skriver altså u: f er aftagede i itervallet,0og voksede i itervallet 0,. Bemærk, at det er fuktioe, der er voksede. Det er IKKE grafe (jf. defiitioere). Bemærk også e cetral poite: 0 er med i begge itervaller i Eksempel 8 (både i I og I ). Det følger direkte af vores defiitioer. 0

21 3 Dee gag arbejder vi grafisk ved hjælp af Maple. 3 Eksempel 9: Vi ser på fuktioe f givet ved f 5 ; Dm f Vi tillader os u (hvilket du ikke må gøre, år du har lært differetialregig) at drage e koklusio på baggrud af, hvad vi ka se med vores øje på grafe, emlig at: f er voksede i, 4, aftagede i 4,3 og voksede i 3, Bemærk, at begge tallee -4 og 3 er med i to itervaller. Når ma aveder maimize og miimize, kigger ma på grafe og fider et passede iterval, der skal søges ide for. Itervallet skal altså være så stort, at ma er sikker på, at ma får det søgte pukt med, me det må ikke være for stort. For prøv at overveje (eller afprøve), hvad der var sket, hvis du havde avedt itervallet 8..0ovefor i udtrykket med maimize. Når ma som ovefor agiver de størst mulige itervaller, hvor e fuktio er voksede og aftagede, siger ma, at ma bestemmer e fuktios mootoiforhold. Opgavere 603* Som foreløbig afslutig på behadlige af fuktioers mootoiforhold ses u på de forbidelse mellem tageters hældig og fuktioers mootoiforhold, som du altid skal avede, år du bliver bedt om at bestemme sidstævte. For at forstå følgede sætiger skal du vide, at de afledede fuktio f ' af f er e fuktio, der hvert sted agiver hældige for de taget til grafe for f, der tagerer grafe det pågældede sted. For hvert argumet 0 har ma altså, at f 0 agiver fuktiosværdie, mes ' 0 der rører grafe i puktet, f. f agiver hældige for de taget, 0 0

22 Sætig : Lad f være e fuktio og I et iterval, hvori f er defieret. Der gælder så: f er kostat i I I : f ' 0. Sætig : Lad f være e fuktio og I et iterval, hvori f er defieret. Hvis f ikke er kostat i et eeste deliterval af I, gælder der: f er voksede i I f er aftagede i I I : f ' 0 I : f ' 0 Bemærk de meget vigtige poite i Sætig s ordlyd. Der står deliterval. Dvs. grafe for f må ikke på oget tidspukt være vadret. Me der må gere være e vadret taget i ekelte pukter! For et pukt er ikke et deliterval. De afledede fuktio må altså gere være ul i ekelte pukter. Eksempel 0: SÆRLIGE FUNKTIONSNAVNE Defiitio 7: E lige fuktio er e fuktio f, hvorom det gælder: Dm f : f f. E ulige fuktio er e fuktio f, hvorom det gælder: Dm f : f f. Oveståede er to stadardeksempler på heholdsvis e lige og e ulige fuktio. Det gælder geerelt (det følger af Defiitio 7), at lige fuktioers grafer er symmetriske omkrig y-akse, mes ulige fuktioers grafer er symmetriske omkrig origo. Opgavere 604*

23 Vi skal u se på forskellige måder at dae ye fuktioer ud fra give fuktioer. Det er vigtigt, at du ikke gør defiitioe mere idviklet, ed de er. For de ka godt se meget kompliceret ud med e masse defiitiosmægder. Prøv hele tide at se, hvorfor det giver sig selv med disse mægder. F.eks. idfører vi sumfuktioe f g, der blot er de fuktio, der lægger fuktiosværdiere samme f g f g. Og år sætige så siger, at Dm f g Dm f Dm g, dvs. at sumfuktioes defiitiosmægde er fællesmægde af de to fuktioers defiitiosmægder, så hæger det samme med, at hvis sumfuktioe skal give e værdi, skal der være to værdier at lægge samme, og det er der ku, hvis både f og g er defieret det pågældede sted. Defiitio 4: Lad f og g være fuktioer med defiitiosmægdere Dm f og Dm g. Og lad k være e kostat. Vi ka så idføre følgede fuktioer. Med defiitiosmægde Dm f Dm g: Fuktio multipliceret med kostat k f bestemt ved k f k f Sumfuktioe f g bestemt ved: f g f g. Differesfuktioe f g bestemt ved: f g f g Produktfuktioe f g bestemt ved: f g f g Kvotietfuktioe f g f Dm Dm f Dm g \ g 0 med g f f g g bestemt ved De sammesatte fuktio f g med Dm f g Dm g g Dm f f g f g bestemt ved 3

24 Eksempel : Vi ser på fuktioere f og g givet ved Forskrifte for sumfuktioe f Grafisk får ma: 3. f g 3. f og g g er så Eksempel : Vi ser på fuktioere f og g givet ved f og g 3 4 Så bliver differesfuktioe f Og produktfuktioe f g Grafisk ser det ud på følgede måde:. g givet ved gives ved f g 3 4. f g Maple aveder ige de rigtige otatio. Dvs. du ka defiere to fuktioer og efterfølgede se, at Maple forstår de rigtige opskrivig: Opgavere 605* 4

25 Vi skal bruge oveståede uder differetialregig, da vi skal lære at differetiere alle almidelige fuktioer. Se f.eks. på : 5 7 f eller g : si eller 4 5 h : Det ville være håbløst at skulle lære at differetiere alle sådae fuktioer. I stedet lærer ma at differetiere stadardfuktioer,si, a,..., og samtidig lærer ma regler for, hvorda ma differetierer sumfuktioer, differesfuktioer, produktfuktioer, kvotietfuktioer og sammesatte fuktioer. Sammesatte fuktioer Defiitio 4 æver også sammesatte fuktioer. Vi begyder med et kokret eksempel: Eksempel 3: Vi ser på fuktioere f og g givet ved: ; 0, og g 9; Dm g f Dm f Vi vil gere fide fuktiosudtrykket for de sammesatte fuktio f beytter først defiitioe direkte: g og Vi er altså kommet frem til, at de sammesatte fuktio f g har forskrifte: Dette er som sagt e sammesat fuktio. Me bemærk, at det jo også bare er e helt almidelig fuktio. Du ville æppe have sytes, at der var oget specielt med fuktioe h, hvis du fik h forskrifte 9. Så hvorfor idfører ma overhovedet dette ekstra begreb? Der er to grude til det: De ee er, at vi skal bruge det til sart at idføre det meget vigtige begreb omvedt fuktio. De ade er ige differetialregig. Præcis som med sum-, differes-, produkt- og kvotietfuktioer fides der e regel for differetiatio af e sammesat fuktio, og år ma aveder de, ka ma gå fra at kue differetiere differetiere 9. Lad os se på defiitiosmægde for f og 9 hver for sig til at kue g. Ifølge vores defiitio skal vi fide alle de argumeter fra g s defiitiosmægde, hvis billeder ligger i f s defiitiosmægde. f s defiitiosmægde er de ikke-egative tal, og da 9 giver oget positivt, uaset hvilket reelt tal, der idsættes, er der ige argumeter i g s defiitiosmægde, der giver problemer. Så vi har Dm f g. f g 9 5

26 Eksempel 4: Vi ser på fuktioere f og g bestemt ved f 3 og g 5 Defiitiosmægdere for begge fuktioer er alle reelle tal.. Dee gag vil vi bestemme både f g og g f. På de måde ka vi også få e idé om, hvorvidt de kommutative lov gælder for sammesætig af fuktioer. f g f g f g f g f g Tjek, at du har styr på hvert ekelt lighedsteg. Eksempel 4 fortæller os e vigtig tig: De kommutative lov gælder IKKE for sammesætig af fuktioer. Ma får altså ikke ødvedigvis det samme, år ma fider f g og g f. I de sammesatte fuktio f g kaldes g for de idre fuktio og f for de ydre fuktio. Det er helt cetralt for at kue lære at differetiere sammesatte fuktioer, at ma er i stad til at skele mellem de idre og de ydre fuktio. Maple aveder (ige) de rigtige otatio. De forstår både bolle (de fider du uder commo Symbols. De hedder compf. Du ka se avet, hvis du går he på de og lader pile stå et øjeblik. Pas på ikke at forveksle de med gradteget.) og vores ade skrivemåde. Vi ka se det med vores kedte fuktioer fra Eksempel 4: Hidtil har vi behadlet sammesatte fuktioer alee ud fra fuktiosforskrifter. Og i pricippet behøver ma ikke mere. Me for at give e bedre forståelse af begrebet skal vi u betragte det fra et par adre sysvikler. Bemærk altså, at det følgede ikke er oget adet ed det, vi allerede har geemgået. Det er bare set fra e ade sysvikel. Vi har her e fuktio g, der afbilder fra A til B, og e fuktio f, der afbilder fra B til C. Fuktioe f g afbilder fra A til C. Når g virker, afbildes over i 6. 6 afbildes så over i 3, år f virker. Når f g virker, afbildes direkte over i 3. Bemærk ige rækkefølge: f g virker på samme måde, som hvis ma først lader g virke og derefter f virke på g s fuktiosværdi. Edu e poite er illustreret på figure. Da g A, dvs. da ikke tilhører g s værdimægde, eder - med ikke at tilhøre Vm f g, selvom Vm f. 6

27 Illustreret ved maskier fugerer sammesatte fuktioer på følgede måde: Bemærk, at det er billedet fra g, der smides id i f, år ma skal se, hvad f g4 er. Først virker de idre fuktio g på 4, der afbildes over i 3. Derefter virker f på 3, der afbildes over i 7. Dette sker på é gag, hvis ma beytter de sammesatte fuktio f g. De afbilder 4 over i 7. Fuktioer ka godt sættes samme med sig selv, og ma ka også sætte 3 eller flere fuktioer samme (lige som ma ka addere og multiplicere 3 eller flere fuktioer). Vi har så: f f f f f g h f g h Eksempel 5: Vi ser på fuktioere f :, g : 9 og h : f f f f f 4 4 g g g g g h h h h h 4. Vi har så: Opgavere 606* Bemærk fuktioe g, der fugerer ved at lægge 9 til argumetet. Når du sammesætter de med sig selv, får du de til at virke to gage, og dermed lægger de sammesatte fuktio 8 til argumetet. f g h f g h f g f 9 9 Læg godt mærke til hvert lighedsteg. Tjek, at du forstår hvert skridt. Prøv at sammelige resultatere fra eksemplere 3 og 5. Vi fik: Eksempel 3: f g 9 Eksempel 5: f g h Vi har altså set, at stukket 9 9 både ka være e sammesætig af og 3 fuktioer. Hvis du får 9 i hovedet og bliver bedt om at fide ud af, hvad de idre fuktio er (hvilket er ødvedigt, år du skal differetiere de), er svaret altså ikke etydigt. Faktisk kue være f g h. Prøv selv at overveje, hvad f, g og h skal være. 9 også 7

28 Oveståede ka lyde som et problem, me det er det ikke. Det betyder bare, at du i ogle tilfælde vil kue bruge forskellige regler til at komme frem til det rigtige resultat. Hvis du f.eks. er i stad til at differetiere og 9, så ser du du ku er i stad til at differetiere, fuktioer. 9 som e sammesætig af disse fuktioer. Hvis og 9, så ser du fuktioe som sammesat af tre Det er dee afkodig af sammesatte fuktioer, som du får brug for at kue. Når du skal geemskue e sammesat fuktio og se, hvad der er de idre fuktio, og hvad der er de ydre fuktio, skal du kigge på di variabel og se i hvilke rækkefølge, du ville foretage de ekelte operatioer, hvis du skulle rege i håde eller med e gammeldags lommereger (I Maple opskriver ma jo bare hele udtrykket på é gag). Hvis ma f.eks. har 3 7, skal ma først gage med 3, derefter trække 7 fra værdie og edelig uddrage kvadratrode af værdie. Du ka ikke først uddrage kvadratrode, for du har ikke oget at uddrage de af, år du ikke har udreget værdie af 3 7. Ige var der mulighed for at opdele i to eller tre fuktioer, me da du lærer at differetiere 3 7, vil du øjes med at opdele i to. Følgede eksempel behadler opdelige af sammesatte fuktioer: Eksempel 6: Først skrives forskrifte for de sammesatte fuktio. Derefter opdeles de: 5 f 4 8 Idre: 4 8 Ydre: f si Idre: Idre: si f3 si f4 Idre: 4 si 4 Ydre: si Ydre: Mellem: si Ydre: 5 f Idre: 5 3 Mellem: 5 Ydre: 4 Lad os som sidste eksempel se på et tilfælde, der leder frem mod æste begreb: 3 3 Eksempel 7: Vi ser på fuktioere f og g givet ved f 7 og Vi fider følgede sammesatte fuktioer: g f g f g f g f g f g Vi bemærker her to tig: ) Vi får det samme, år vi fider f g og g f, hvilket, som vi allerede har set, ikke gælder geerelt. ) Vi får e idetitetsfuktio, dvs. alle vores argumeter afbildes over i sig selv. Vi skal u se, at vi har at gøre med såkaldt omvedte fuktioer. Opgavere 607* 8

29 Omvedte fuktioer Vi skal u til at se på omvedte fuktioer og får derfor brug for først at få defieret e speciel slags fuktio: Defiitio 5: E fuktio f : A A bestemt ved forskrifte f kaldes e idetitetsfuktio, og de beteges id A. Det er altså e fuktio, der ikke gør oget ved det argumet, de virker på. Ethvert afbildes over i sig selv. Når det ikke kaldes idetitetsfuktioe, skyldes det defiitiosmægde A, der ka variere. É idetitetsfuktio ka f.eks. have de positive reelle tal som defiitiosmægde, mes e ade ka have alle reelle tal. Fælles for ehver idetitetsfuktio er dog, at des værdimægde er de samme som defiitiosmægde (overvej selv hvorfor). Måske lyder det som e meget, meget kedelig fuktiostype. Me det er det ikke (tallee 0 og er jo heller ikke kedelige, selvom de ved heholdsvis additio og multiplikatio ikke gør oget). Vi skal u have defieret begrebet omvedt fuktio. Givet e fuktio f er de omvedte fuktio f kort sagt de fuktio, der ophæver virkige af f. Dvs. hvis ma først lader f virke på et argumet og efterfølgede ka illustreres på følgede måde: f virke på værdie, så får ma det opridelige argumet. Det Som tegige viser, afbilder f tallet 0 over i -8, mes de omvedte fuktio i 0. Derfor afbilder f Som illustreret har ma altså f tallet 0 over i 0. f f id A. f afbilder -8 over Illustreret med e tabel har ma: Dvs. hvis fuktioe f afbilder,3 over i 7, så afbilder og y-værdie skifter rolle, hvilket også ses grafisk: f 7 over i,3. Ma ka altså sige, at - 9

30 Vi er u klar til e mere formel defiitio: Defiitio 6: E fuktio f : A f A kaldes ivertibel, hvis der fides e fuktio f : f A A, hvorom det gælder, at: A f f id dvs. f f Ma kalder i så fald f for de omvedte fuktio til f eller de iverse fuktio til f. Det er vigtigt at være opmærksom på, at vores otatio her IKKE betyder det samme, som år vi arbejder med tal (potesregeregler). Dvs. som udgagspukt gælder f. f Desude er her e situatio, hvor Maple IKKE aveder vores otatio: FORKERT MAPLE- INDTASTNING Det fremgår implicit af Defiitio 6, at det ikke er alle fuktioer, der er ivertible. Dvs. det er ikke alle fuktioer, der har e omvedt fuktio. Ordet de fortæller, at hvis f har e omvedt fuktio, så har de ku é omvedt fuktio (se de følgede sætig). Ivertibel og ivers er matematiske begreber, der avedes i flere sammehæge, bl.a. år ma reger med såkaldte matricer. Når ma har forstået begrebet i forbidelse med fuktioer, ka ma let overføre det til adre områder ide for matematik. 30

31 Vi samler u ogle vigtige poiter i é sætig: Sætig 3: Om e fuktio f : A f A gælder: f er bijektiv, etop hvis f er ijektiv. Og f er ivertibel, etop hvis f er bijektiv. Hvis f er ivertibel, fides der etop é omvedt fuktio f til f. Hvis f derfor, at f og er de omvedte fuktio til f, er f de omvedte fuktio til f er hiades omvedte fuktioer. f f id og f f id A Der gælder Dm f Vm f og Vm f Dm f. f A f, og ma siger Bevis 3: De 4 pukter i Sætig 3 er tæt forbudet. For at bevise dem beytter vi defiitioere, og 6. Bemærk først udgagspuktet for Defiitio 6 og Sætig 3, der er e fuktio f : A f A. Dvs. vi har fra start sikret os, at værdimægde svarer til kodomæet (for i skrivemåde f : A B er B jo kodomæet, og vi ka skrive værdimægde som f A ). Dermed er f pr. defiitio surjektiv. Da e bijektio er e fuktio, der både er ijektiv og surjektiv, følger det altså, at f er e bijektio, etop hvis f er e ijektio. Hvis f ikke er ijektiv (og altså heller ikke bijektiv), så fides der to forskellige argumeter, A, hvor f f, dvs. to argumeter giver samme fuktiosværdi. Me så ka f ikke være ivertibel, for e evt. omvedt fuktio f skulle virke på dee fuktiosværdi og afbilde de over i ja, skulle de afbilde de over i eller? De skulle jo gøre begge dele, hvis f f id A, me det må de ikke, for så er de ikke e fuktio. Hvis f er ijektiv, så er f ivertibel. For f er som ævt bijektiv, dvs. elemetere i A og f A er kyttet samme parvis (e eetydig afbildig): Og de omvedte fuktio er så simpelthe bestemt ved, at de afbilder Heraf følger også, at f og f f tilbage i. bytter defiitios- og værdimægder. Og det følger ligeledes, at de omvedte fuktio er etydig. Og edelig følger det også, at f f id f A. For som vist på oveståede tegig, vil f f.eks. afbilde argumetet 4 tilbage over i f 4. f over i værdie 4, hvorefter f vil afbilde argumetet 4 3

32 Bemærk, at sætige siger f f id A og f f id f A. Dvs. det er ikke ødvedigvis de samme idetitetsfuktioer, vi har med at gøre. Det afhæger af, om defiitiosmægde og værdimægde for f er es. Fra vores behadlig af uedelighedsbegrebet ved vi, at defiitiosmægde og værdimægde må være lige store (have samme mægtighed), me her skal vi huske på, at vi også f.eks. viste, at der er lige så mage positive reelle tal, som der er reelle tal. E ade vigtig poite er, at vi hele tide har taget udgagspukt i surjektive fuktioer, dvs. vores værdimægder har hele tide svaret til kodomæet. Det ka måske virke, som om det begræser vores muligheder for at fide ivertible fuktioer, me det gør det ikke. For vi ka tage e hvilke som helst fuktio og gøre de surjektiv ved simpelthe selv at begræse kodomæet til værdimægde. Hvis vi f.eks. har : 0, f bestemt ved f, hvor 0, vælger vi bare de surjektive fuktio g : 0, 0, bestemt ved g Vm f, så i stedet. Vi ka altså selv sørge for, at vores fuktio bliver surjektiv. Tilsvarede ka vi selv ved at begræse vores defiitiosmægde sørge for, at vores fuktio bliver ijektiv. Ikke blot bytter e fuktio og des omvedte fuktio Dm og Vm. Deres grafer er hiades spejliger i lije med ligige y, da dette også er spejlige, der bytter rudt på -akse og y-akse: 3

33 Øvelse 4: Argumetér for, at hvis e fuktio er voksede, er des omvedte fuktio også voksede. Og hvis e fuktio er aftagede, er des omvedte fuktio også aftagede. Vi ved u de væsetlige tig omkrig omvedte fuktioer. Me vi har edu ikke set, hvorda ma bestemmer dem. Til dette ka vi beytte oveståede figur, der viser, at vi skal bytte rudt på - og y-værdier. Om at bestemme omvedte fuktioer til e give fuktio Vores metode til at bestemme de omvedte fuktios forskrift er: ) Vi opskriver vores fuktiosforskrift for f, me erstatter f med y. ) Symbolere og y ombyttes, så ma får et yt udtryk. Dvs. det er IKKE e matematisk operatio. Der sker ige udregiger. Det er re symbolombytig. 3) I det ye udtryk isoleres y. 4) Til sidst erstattes y i det ye udtryk med f Eksempel 8: Fuktioe : 7 f er bijektiv (overvej!) med Dm f Vm f De er derfor ivertibel, og vi vil bestemme de omvedte fuktios forskrift. Vi beytter de agive metode: ) y7. ) 7y (Bemærk, der er IKKE foretaget oge lovlig matematisk operatio). 3) 7y 7y y (Her avedes lovlige operatioer). 7 7 f 7 7 4) Vi har hermed fudet fuktiosforskrifte for de omvedte fuktio (i overesstemmelse med Sætig 3) har Vm f Dm f Grafisk ser det således ud:. f. Bemærk, at de 33

34 g 4. Eksempel 9: Vi ser på fuktioe g givet ved forskrifte 3 De er bijektiv med Dm g Vm g (overvej dette!). Vi har altså e ivertibel fuktio, og vi vil gere bestemme de omvedte fuktio: ) ) 3) y y (Vi ombytter symbolere og y) y y y 4) g 3 4 Vi har hermed fudet forskrifte for de omvedte fuktio Vm g Dm g. Grafisk ser det ud på følgede måde: g, og vi ved, at De to første eksempler har ikke haft begræsiger i Dm og Vm. Vi skal u se to eksempler, hvor vi er ødt til at begræse vores defiitiosmægde for at få bijektive fuktioer. 34

35 Eksempel 0: Vi ser på fuktioe : ) ) 3) f. f givet ved forskrifte Dee fuktio er hverke ijektiv eller surjektiv. De er ikke ijektiv, fordi der fides to forskellige -værdier (argumeter), der afbildes over i de samme værdi, f.eks. 5 og -5. Grafisk svarer det til, at der fides e vadret lije, der skærer grafe mere ed ét sted. De er ikke surjektiv, da værdimægde er alle ikke-egative tal (og altså ikke alle reelle tal). Me hvis vi ser på f : 0, 0, givet ved forskrifte f bijektiv fuktio med samme fuktiosforskrift. Og dee fuktio er altså ivertibel, så vi ka bestemme de omvedte fuktio. y y (Vi ombytter symbolere og y)., så har vi e y y (Bemærk, at biimplikatioe KUN gælder, fordi vi har begræset defiitiosmægde. Ellers skulle det være 4) f Vi har hermed fudet forskrifte for de omvedte fuktio Vm f Dm f 0,. Grafisk ser det ud på følgede måde: y y ) f, og vi ved, at 35

36 Eksempel : Vi ser på fuktioe : f givet ved forskrifte f si Dee fuktio er hverke ijektiv eller surjektiv:. De er ikke ijektiv, fordi der fides to forskellige -værdier (argumeter), der afbildes over i de samme værdi, f.eks. 0 og, der begge afbildes over i 0. Grafisk svarer det til, at der fides e vadret lije, der skærer grafe mere ed ét sted (faktisk skærer alle vadrette lijer mellem y og y grafe uedelig mage steder). Fuktioe er ikke surjektiv, da Vm f, og altså ikke alle reelle tal. Me hvis vi ser på :, f, givet ved forskrifte f si, så har vi e bijektiv fuktio med samme fuktiosforskrift. Og dee fuktio er altså ivertibel, så vi ka bestemme de omvedte fuktio. ) y si ) si y (Vi ombytter symbolere og y). 3) si y y si (Ige gælder biimplikatioe ku, fordi vi har begræset defiitiosmægde og dermed udgår det problem, vi keder fra avedelse af siusrelatioere i trekatopgaver). 4) f si Vi har hermed fudet forskrifte for de omvedte fuktio f, og vi ved, at Vm f Dm f, Grafisk ser det ud på følgede måde: og Dm f Vm f, 36

37 Bemærk, at vi ku kom igeem eksemplere 8-, fordi vi allerede kedte de omvedte fuktioer, som vi avedte til at isolere y. I eksempel 8 avedte vi subtraktio og divisio til at isolere y, fordi fuktiosudtrykket ideholdt e additio og e multiplikatio. I eksemplere 9 og 0 avedte vi vores vide om poteser og rødder. Og i eksempel vidste vi, at si var de omvedte fuktio til si. Så vi kedte altså i forveje de omvedte fuktioer, fordi vi havde defieret dem. Det er altså ikke de teoretiske behadlig af omvedte fuktioer, der hjælper os til at bestemme disse. Teorie fortæller os ku, hvorda e omvedt fuktio opfører sig i forhold til de give fuktio. Fuktioer og de tilhørede omvedte fuktioer er ogle, vi defierer. Prøv at tæke tilbage på vores defiitioer af additio, subtraktio, multiplikatio, divisio, potesopløftig, roduddragig og trigoometriske fuktioer. Når vi seere skal idføre logaritmefuktioer, bliver det altså ige geem defiitioer. Eksempel : Vi ser på fuktioe g : Fuktioe er ijektiv, og da Vm g dermed ivertibel fuktio. Vi vil bestemme de omvedte fuktio: ) y 5 ) 5 y ( og y ombyttes) med forskrifte g 5., er de også surjektiv, dvs. vi har e bijektiv og y 3) Nu skal y isoleres: 5... hmmm, hvad gør vi u? Det hjælper ikke at uddrage de y te y y rod, for det giver: 5 5, og det briger os ikke tættere på at have isoleret y. Vores problem er, at vi har e ekspoetialfuktio, hvor vores variabel står som ekspoet (og ikke som rod). Vores løsig er så at defiere e fuktio, som vi kalder logaritmefuktioe med grudtallet 5, og som simpelthe er de omvedte fuktio til ekspoetialfuktioe med grudtallet 5. Vi skriver de log 5, og så ka vi pludselig isolere y ved: y 5 log 5 4) g y log 5 Vores vide om omvedte fuktioer fortæller os så, at: Vm g Dm g og Dm g Vm g Vi ved altså allerede, at logaritmefuktioer ku ka avedes på positive tal. Opgavere 608* 37

38 LINEÆRE FUNKTIONER Der er mage fællestræk mellem lieære sammehæge og lieære fuktioer, så e del af det følgede keder vi allerede, dog med lidt adre otatioer. Vi begyder med at defiere: Defiitio 7: E lieær fuktio er e fuktio f : med forskrifte f a b, hvor ab, er kostater. Defiitiosmægde for lieære fuktioer er som agivet, me ma ka godt i e kokret situatio begræse defiitiosmægde. F.eks. hvis ma har e situatio, hvor beteger e lægde og derfor ikke ka være egativ. Som agivet er kodomæet. Med midre a 0 vil værdimægde også som udgagspukt være, me hvis defiitiosmægde begræses, vil værdimægde automatisk også blive begræset. Sætig 4: For e lieær fuktio gælder: Hvis a 0, er fuktioe stregt voksede. Hvis a 0, er fuktioe kostat. Hvis a 0, er fuktioe stregt aftagede. Bevis 4: Der geemgås to beviser. Det adet aveder differetialregig og vil altså kue avedes, år vi har lært at differetiere. a 0 : Vi ser på to argumeter, hvor der gælder. Da a er positiv, ka vi gage med det på begge sider af ulighedsteget ude at vede det, og vi ka også lægge b til på begge sider. Vi får dermed: a a a b a b f f Dvs. vi har vist, at et større argumet giver e større fuktiosværdi, dvs. vi har vist, at fuktioe er voksede. a 0 : Vi ser på to vilkårlige argumeter og, og da a 0, har vi: f a b 0 b b f a b 0 b b Dvs. vi har vist, at f f, og altså er fuktioe kostat. a 0 : Vi ser på to argumeter, hvor der gælder. Da a er egativ, skal vi vede ulighedsteget, år vi multiplicerer med a på begge sider. Vi ka ige lægge b til på begge sider ude at vede ulighedsteget. Vi får dermed: a a a b a b f f Dvs. vi har vist, at et større argumet giver e midre fuktiosværdi, dvs. vi har vist, at fuktioe er aftagede. 38

39 Når vi har lært at differetiere, ved vi, at f ' a. Husk, at de afledede fuktio f ' agiver hældige for tagete det pågældede sted, og i sætigere og koblede vi forteget for de afledede fuktio samme med begrebere voksede, aftagede og kostat. Vi viste, at et positivt forteg for f ' er esbetydede med e voksede fuktio f. Og tilsvarede, at et egativt forteg for f ' er esbetydede med e aftagede fuktio f. Det er dee sammehæg mellem et forteg og voksede/aftagede, som du geerelt skal avede, og i dette tilfælde har vi altså (da f ' a ): a 0 f ' 0 f er voksede. a 0 f ' 0 f er aftagede. a 0 f ' 0 f er kostat. Når vi sammeliger ligige y a b for e lieær sammehæg med fuktiosforskrifte f a b for e lieær fuktio, ka vi se, at vi ud fra vores arbejde med rette lijer i Grudlæggede matematiske begreber del 3 allerede har bevist de første fire pukter i følgede: Sætig 5: For e lieær fuktio med forskrifte f a b gælder: Grafe for fuktioe er e ret lije med hældige a og skærige b med y-akse. Hvis grafe går geem puktere, f og, f, er f f a og b a f a f Hvis grafe går geem puktet, 0 0. f og har hældige a, er fuktiosforskrifte f a f. 0 0 Hvis ma lægger værdie til argumetet, lægges atil fuktiosværdie. De omvedte fuktio til e lieær fuktio med a 0 er e lieær fuktio. Bevis 5: Vi vil gere bevise det sidste pukt i Sætig 5 og beytter derfor vores metode til at fide de omvedte fuktio. At der fides e omvedt fuktio, følger af, at år a 0, er fuktioe voksede eller aftagede og dermed ijektiv og altså ivertibel. ) y a b ) a y b ( og y ombyttes) b 3) a y b b a y y a a b 4) f a a I tri 3) var det tilladt at dividere med a, da a 0. Når vi kigger på fuktiosforskrifte for de omvedte fuktio, ka vi se, at det er e lieær fuktio, hvor grafe har hældige b og skærige med y-akse. a a Opgavere 60* 39

40 Det fjerde pukt i Sætig 5 er det, ma kalder e vækstegeskab. Det er e karakteristisk egeskab for lieære fuktioer, at år ma lægger e fast størrelse til argumetet, så ædres fuktiosværdie med e fast størrelse. Vi skal seere se på vækstegeskaber for ekspoetielle udvikliger, logaritmefuktioer og potesfuktioer. Når vi behadler lieære sammehæge og lieære fuktioer ret matematisk, sakker vi om hældiger og skæriger med ordiatakse. Me år lieære fuktioer avedes som modeller for oget virkeligt, skal du kue fortolke og beskrive koefficietere i lige præcis de kokrete situatio. Eksempel 3: Højde h af et træ målt i meter ka beskrives ved fuktiosforskrifte 0,85 t,9 h t, hvor t er tide agivet i atal år efter 003. Beskriv, hvad kostatere fortæller om højde af træet. Tallet 0,85 fortæller, at træet vokser med 85 cm om året, og tallet,9 fortæller, at i 003 var træet,9 m højt. Oveståede er svaret på opgave. Dvs. det er IKKE et svar på opgave, hvis du skriver: 0,85 er hældige, og de fortæller, hvor meget fuktiosværdie går op, år argumetet øges med, og,9 er begydelsesværdie, der fortæller, hvor grafe skærer adeakse. Det er ikke matematisk forkert at skrive oveståede, me du har ikke svaret på opgave. Opgavere 6* Bemærk, at du også skal huske at iddrage ehedere, år du svarer på opgave. Eksempel 4: Ma ka også komme ud for selv at skulle bestemme e forskrift. Det oplyses, at prise pr. kg grus er 7 kr., og at det koster 450 kr. at få det bragt ud uaset mægde. Ma skal u idføre passede variable og bestemme et fuktiosudtryk, der agiver prise som fuktio af grusmægde. Da ma ka se, at hver gag ma øger grusmægde med e fast størrelse, så øges prise også med e fast størrelse, er det e lieær fuktio, ma ka avede til at beskrive situatioe. Vi idfører u: er mægde af grus målt i kg. p er de samlede pris målt i kr. Da 450 kr. er prise for 0 kg grus, er det begydelsesværdie, og da prise stiger med 7 kr., hver gag grusmægde øges med ét kg, er hældige 7. Altså er forskrifte: p ; 0 Opgavere 6* 40

41 EKSPONENTIALFUNKTIONER Vi får u brug for vores vide om poteser og rødder (det gør vi også, år vi skal se på logaritmefuktioer og potesfuktioer). Lieære fuktioer bygger på additio og multiplikatio, mes ekspoetialfuktioer bygger på potesopløftig. Der mides derfor om følgede defiitioer og regeregler: p 0 p q q q p p q pq p pq ; ; ; ; ; p a a a a a a a a a a a a Både ekspoetialfuktioer og potesfuktioer består af e potes. I ekspoetialfuktioer står vores variabel som ekspoet, mes de i potesfuktioer står som rod. Defiitio 8: E ekspoetialfuktio er e fuktio f :, 0, f a a a. a kaldes for fremskrivigsfaktore eller grudtallet. med fuktiosforskrifte Eksempel 5: Følgede er eksempler på forskrifter for ekspoetialfuktioer og for fuktioer, der ikke er ekspoetialfuktioer. 3 5 f 7 Ekspoetialfuktio f 3 Ekspoetialfuktio f IKKE Ekspoetialfuktio (pga. kravet a ) f4 e Ekspoetialfuktio f 0, Ekspoetialfuktio 5 f6 IKKE ekspoetialfuktio potesfuktio f IKKE ekspoetialfuktio 7 4 ( ) Det er her valgt ikke at lade være e ekspoetialfuktio. Ma kue godt have tilladt dette specialtilfælde, me at udelade det bladt ekspoetialfuktioere gør det lidt emmere, år vi skal se på logaritmefuktioer. I oveståede er f4 e gaske særlig ekspoetialfuktio, der har sit eget av: Defiitio 9: Ekspoetialfuktioe ep med forskrifte ep ekspoetialfuktio. e kaldes De aturlige Husk, at e ligesom er et (meget vigtigt) irratioelt tal, og at: e, eller bare e,7 4

42 Lad os se på ogle detaljer omkrig ekspoetialfuktioer. Defiitiosmægde er som agivet. Det følger af vores vide om poteser, hvor vi geem e række defiitioer kom frem til, at vi ka sætte alle tal id som ekspoet, år bare rode (der her kaldes fremskrivigsfaktore eller grudtallet) ikke er egativ. Og hermed har vi æste også svaret på, hvorfor vi kræver, at a skal være positiv. Ved ku at arbejde med positive grudtal opår ma, at defiitiosmægde er alle reelle tal. Hvis a havde været egativ, var ikke et lovligt argumet, for a a, og ma ka ikke uddrage kvadratrode af oget egativt (år ma arbejder med reelle tal). Vi har lidt utraditioelt allerede begræset vores kodomæe til. Dette skyldes, at vores værdimægde er, og med begræsige har vi fået e surjektiv fuktio. Når vi sart viser, at de også er ijektiv, ka vi altså se, at vores fuktio er bijektiv og dermed ivertibel, hvilket vi skal bruge, da vi skal idføre logaritmefuktioer som de omvedte fuktioer til ekspoetialfuktioer. Vi har to ave for a. Navet fremskrivigsfaktor skal vi bruge, år vi skal se, at ekspoetialfuktioer svarer til vækst med e fast procetdel. Navet grudtal avedes ved idførelse af logaritmefuktioer, der også tildeles et grudtal. Præcis som år det samme tal fugerer som potesekspoet og rodekspoet. Følgede figur viser grafer for eksempler på ekspoetialfuktioer. Grafe for er taget med, da de fugerer som e græse mellem aftagede og voksede ekspoetialfuktioer. Bemærk, hvorda grafe for de aturlige ekspoetialfuktio er placeret mellem grafere for og 3. Bemærk også, hvorda de ekelte grafer ligger i forhold til hiade på hver side af y-akse, og tæk over, hvorfor det er såda. Og bemærk slutteligt, at figure stemmer med vores påståede Dm og Vm. 4

43 Ud fra figure ka ma få e mistake om følgede sætig: Sætig 6: For e ekspoetialfuktio gælder: Grafe går geem puktet 0,. Hvis a, er de stregt voksede. Hvis 0a, er de stregt aftagede. De er ivertibel. 0 0,, ses ved idsættelse i forskrifte: f a Når vi har lært at differetiere fuktioer, så ved vi, at ' l Bevis 6: At grafe går geem 0. f a a, hvor l er de aturlige logaritmefuktio. Og år vi gaske sart har lært om logaritmer, så ved vi, at: a a a l 0 a l 0 Herefter følger pukt i Sætig 6 af Sætig og Sætig. Og det sidste pukt følger af, at fuktioe som ævt er bijektiv. Opgavere 63* LOGARITMEFUNKTIONER Vi er u klar til at få defieret logaritmefuktioere. De blev idført i 64 af Joh Napier (550-67), me vores måde at idføre dem på ud fra ekspoetialfuktioer skyldes Leohard Euler ( ), der også opfadt de aturlige ekspoetialfuktio og de aturlige logaritmefuktio. Vi defierer: Defiitio 0: Lad a 0 a. Så er logaritmefuktioe med grudtallet a de omvedte fuktio til ekspoetialfuktioe med grudtallet a. De skrives log a. Grudtallet a kaldes også for base. Betigelsere på a skyldes, at vi ellers ikke har e veldefieret ekspoetialfuktio med det pågældede grudtal. Pukt 3 i vores Sætig 3 samt vores vide om omvedte fuktioer giver os: Sætig 7: For logaritmefuktioer gælder: log ) a a og loga a ) Dm og Vm 3) Grafe går geem,0 log a a udtales på følgede måde, der også ka avedes som defiitio af logaritmefuktioe: Log a af er de potes, som a skal opløftes i, for at give. 43

44 Eksempel 6: Vi beytter oveståede takegag til at bestemme følgede: Vi har: log 49 log 000 log 6 log 49, fordi 0 log 000 3, fordi log 6 4, fordi Opgavere 64* Som vi sart skal se, gælder der ogle regeregler for logaritmefuktioer, der ikke afhæger af grudtallet. Så på de måde er alle logaritmefuktioer lige gode. Ma ka sige, at de ka det samme. Alligevel fides der tre særlige logaritmefuktioer, hvoraf du kommer til at støde på to mage gage: Det er logaritmefuktioere med grudtallee, e og 0. log : Logaritme med grudtallet ka være at foretrække, hvis ma arbejder med computervideskab eller musikteori, der aveder det biære talsystem. De ka også skrives lb (l for logaritme og b for biære). Vi skal ikke arbejde med dette talsystem, så dette er ikke e af vores særlige logaritmer log 0 : Titalslogaritme er aturvideskabsfolkees og igeiøreres logaritmefuktio. Det er derfor de, du støder på ide for kemi (ph-begrebet) og fysik (bl.a. lydstyrke). I disse sammehæge skrives logaritme blot log, dvs. 0-tallet er uderforstået, ligesom -tallet er uderforstået i kvadratrodsteget. De iteratioale stadardotatio er lg. log e : Logaritme med grudtallet e (dvs. de aturlige logaritmefuktio) skrives l (l for logaritme og for aturlig). Det er matematikeres logaritmefuktio. For matematikere er det logaritmefuktioe. Derfor vil du i mage matematiske værker opleve, at ma i stedet for l bare skriver log. Og vigtigere for os i første omgag: Maple er skabt af matematikere, så i Maple står log for de aturlige logaritmefuktio. Bemærk altså, at log både ka stå for titalslogaritme og de aturlige logaritme. Og ofte bliver der ikke gjort opmærksom på, hvad du skal bruge. Så det er vigtigt at vide følgede: ) I disse oter, i matematikopgaver i gymasiet, i fysik og i kemi avedes log for titalslogaritme og l for de aturlige logaritme. Og titalslogaritme kaldes ofte bare logaritme. ) I Maple står både log og l for de aturlige logaritme. Hvis du skal avede titalslogaritme, skal du skrive log 0. Maple aveder ikke stadarde lg. I Maple fider du logaritmefuktioer uder palette Epressio : Tilføj alle tre logaritmefuktioer til die favoritter. 44

45 Sætig 7 gælder som agivet for alle logaritmefuktioer, og derfor gælder følgede: Sætig 8: log 0 log 0 l : log er de potes, som 0 skal opløftes i for at give. e : l e l er de potes, som e skal opløftes i for at give. Beyt takegage i edeståede eksempel (læg et papir over resultatere, så du selv ka prøve at bestemme værdie). Dvs. hvis du skal fide log 00, skal du tæke: Hvilke potes skal 0 opløftes i for at give 00?, hvorefter du kommer frem til log 00. Og hvis du skal fide log 4 64, skal du tæke: Hvilke potes skal 4 opløftes i for at give 64?, hvorved du kommer frem til log Eksempel 7: Forsøg selv at bestemme følgede værdier (hold e håd over resultatere): log log 36 5 l e 5 7 log 0, 0 log 64 6 l 0 log 0 log 0 log 4 4 log9 9 log 0,5 4 log 0 log 8 9 l e 9 0, 0, 3 log 0, log 5 l 0 ikke defieret ( Dm ) log Prøv også at idtaste ogle af oveståede udtryk i Maple: log7 7 log 0 eksisterer ikke ( grudtallet må ikke være) log 0 ikke defieret ( Dm ) Opgavere 65* 45

46 Lad os se på grafere for ogle logaritmefuktioer. Sammelig dem med grafere for ekspoetialfuktioer. Husk, at grafere for ekspoetialfuktioer og logaritmefuktioer med samme grudtal er hiades spejliger i lije med ligige y : Opgavere 66* Bemærk, at logaritmefuktioere lægger sig omkrig -akse på præcis samme måde, som ekspoetialfuktioere lægger sig omkrig y-akse. Og bemærk, hvorda grafere for logaritmefuktioere ærmer sig de lodrette lije med ligige, år grudtallee ærmer sig (se grafere for log0,8 og log, ). Som vi allerede så i Sætig 7, går alle grafere igeem (,0). Dvs. logaritme til er 0 uaset hvilke logaritmefuktio, du arbejder med. E af de særlige egeskaber for de aturlige ekspoetialfuktio ep og de aturlige logaritmefuktio l er, at hældige for tagete i det pukt, som heholdsvis alle ekspoetialog alle logaritmefuktioer går igeem, er. Husk, at Sætig 8 er hele poite med omvedte fuktioer. 46

47 I log 0 er det først log, der virker på argumetet, der afbildes over i ekspoetialfuktioe med grudtal 0 på log. Derefter virker log, der afbildes over i. Og dermed har vi som altid med fuktioer og deres omvedte fuktioer fået daet e idetitetsfuktio, der afbilder over i. Dee idetitetsfuktio har Dm Vm. I log0 virker fuktioere i omvedt rækkefølge, dvs. først ekspoetialfuktioe og derefter logaritmefuktioe. Me ige får ma e idetitetsfuktio. Dee idetitetsfuktio har Dm Vm, så egetlig er det to forskellige idetitetsfuktioer, me det vil du meget sjældet skulle tæke over. De væsetlige poite er altså: Logaritmefuktioer og ekspoetialfuktioer med samme grudtal ophæver virkigere af hiade. Og det er lige præcis det, du skal bruge, år du skal løse ligiger med ekspoetialfuktioer og logaritmefuktioer. Hvis e ligig ideholder e logaritmefuktio med grudtallet 7, skal du udervejs avede ekspoetialfuktioe med grudtallet 7 for at ophæve virkige. Eksempel 8: Her løses e række ligiger. Bemærk i hvert tilfælde, hvorda de omvedte fuktio avedes til at ophæve virkige af e fuktio: 4) 6 5log6 ) 6e 8 e 8 6 e l l 3 l 3 6 log log ) 7 7 log 7 log log 9 3) 7 log 3 log 3 log ) l 8 e e l 8 e 8 Grudmægdere i opgavere og er alle reelle tal, mes de i opgavere 3, 4 og 5 er alle positive reelle tal, fordi variable står som argumet i e logaritmefuktio. Opgavere 67* 47

48 Ligesom vi har potesregeregler, har vi også logaritmeregeregler: Sætig 9: For pq, og gælder: ) log pq log p log q a a a p q ) log log p log q a a a 3) log p log p a 4) log p log p Bevis 9: I beviset beytter vi Sætig 7. ( a a p q p q a a a, a a log a a a og loga a ) og potesregereglere p pq p a og q a q p q a. log ) Vi udytter idetitetere a p log p a og a q q a (erstat med p eller q i sætig 7.) og får: loga log log log p a q a a p q log p q log a a log a log p log q a a a a a Sætig 7. potesregeregel Sætig 7. ) Bevis selv dee regeregel ved samme fremgagsmåde (aved e ade potesregeregel). 3) Vi udytter ige idetitetere fra Sætig 7. i første og sidste skridt, og i det midterste skridt avedes de sidste potesregeregel: loga p loga p log p log a log a log p a a a a 4) Udyt di vide om sammehæge mellem poteser og rødder til at bevise dee sætig. Sætig 9 gælder som vist for alle logaritmer. De gælder derfor også specielt for titalslogaritme og de aturlige logaritme. Og her er de mere overskuelige og emmere at huske: a b a b ) log log log a ) log loga log b a a 3) log log b a b a b ) l l l a ) l l a l b a a 3) l l Bemærk, hvorda multiplikatio bliver til additio, divisio til subtraktio og potesopløftig til multiplikatio, år ma aveder logaritmer. Ma ka løst sige, at logaritmer seder regeartere et tri ed i hierarkiet. Dee egeskab veder vi tilbage til. I første omgag træes idholdet af Sætig 9 geem e række regeeksempler. Eksempel 9: Nedeståede udtryk reduceres ved hjælp af regereglere: log 50 log 0 5 log 0 log 5 log 5 0 log 5 log log 0 log log 5 l 3 l 5 l b Opgavere 68* 48

49 Tidligere var regeregle i Sætig 9.3 meget vigtig, år ma arbejdede med ekspoetialfuktioer, fordi de forklarer, hvorda ma får e ekspoet ed fora et udtryk. Me faktisk har vi u mulighed for at udgå at avede de, hvis vi i stedet bruger logaritmefuktioe med samme grudtal som ekspoetialfuktioe. Dette illustreres med et eksempel, hvor de samme ligig løses på tre måder. Eksempel 30: Vi vil løse ligige 58 3 ; G.. metode: 3 l l 8 l l 8 l 0, l 8. metode: 3 log log 8 log log 8 log 0, log log8 8 log8 log8 0, metode: Bemærk, at de tre metoder (selvfølgelig) fører til samme resultat. Det ses, at ma slipper for e brøkstreg ved at avede logaritmefuktioe med grudtal 8, fordi ekspoetialfuktioe har grudtal 8. Det er væsetligt at bemærke, at brøkere 3 l 5 l 8 og log karakteristisk egeskab ved logaritmefuktioer. 3 log 5 har samme værdi, selvom både tællere og ævere er forskellige l log og l 8 log 8 Eksempel 3: Her løses de samme ligig på to forskellige måder: 5 3 log log ; G De første metode aveder Sætig 9.: 5 3 log log 5 3 log log 0 0 log 00 0 Ku de positive løsig tilhører grudmægde, så løsige er 0. Det er e De ade metode aveder Sætig 9.3: 5 3 log log 5log 3log log log 0 0 log 0 Opgavere 69* 49

50 Vores regeregler fører os til følgede yttige idetiteter: l l l l log log log log p p p p a a a a p Sætig 0: loga loga p og l l Det er også vigtigt at vide, hvorda Maple behadler logaritmer: Opgavere 60* Som det ses, ka ma omskrive udtryk med logaritmer med ét grudtal til udtryk med logaritmer med et adet grudtal. Der gælder geerelt: Sætig : log log a log a b b Bevis : Vi udytter e idetitet fra Sætig 7 og beytter efterfølgede logaritmeregereglere: a loga log b loga a logb a log log log a b b Der gælder altså e ligefrem proportioalitet mellem log b og log a. Specielt gælder altså: Sætig a: log l l og log l 0 l a a Øvelse 5: Tjek, at du ved hjælp af Sætig a ka geemskue Maples omskriviger ovefor. 50

51 Sætig fører os også frem til de sætig, der tidligere er blevet ævt i e kokret situatio: Sætig : log log a a p q log log Bevis : Vi begyder med højreside og beytter Sætig, hvor erstattes af heholdsvis p og q, til at udrege: b b p q logb p loga p logb a log a p log q log q log a log q b a b a Opgavere 6* Efter alle disse sætiger omhadlede logaritmer skal vi u se på de logaritmiske skalaer, som vi er stødt på i forbidelse med ekspoetielle udvikliger og potesfuktioer. I første omgag ser vi på opbygige af e logaritmisk skala, og seere skal vi se, hvorfor ma med sådae skalaer ka få ekspoetielle udvikliger og potesfuktioer til at give rette lijer. Logaritmisk skala Vores udgagspukt er e helt almidelig talakse: Vi har samme afstad fra 0 til som fra til osv. Det er vores almidelige skala. log, vi log 3, og vi afsætter et pukt ved 3. log i stedet for Me poite er, at vi u forestiller os, at det ikke er vores argumet, me derimod afsætter på dee skala. Dvs. hvis er 000, så er Og hermed kue vi såda set slutte. E almidelig skala, hvor vi afsætter, fugerer som e logaritmisk skala, og det er ikke svært at få et computerprogram til dette. Me da det egag var ret besværligt at skulle fide logaritme til alle argumetere, ville ma hellere direkte kue idsætte. Og det ka ma komme til, hvis ma é gag for alle omreger logaritmeværdiere til -værdier (se edeståede eksempler): log 5 log log log log log log 0,3 log 0,3 0 0,995 log 0 log log 3 log , 00 5

52 Med de røde tal har vi altså fået daet e skala, hvor vi ka idsætte -værdiere, og det er dee skala, vi kalder e logaritmisk skala. Dvs. puktere skal sættes samme sted, uaset om vi vælger at afsætte på e logaritmisk skala eller det etop dette, der ka give os rette lijer. log på e almidelig skala. Og som vi seere skal se, er Vi bemærker, at afstade fra til 0 er de samme som fra 0 til 00 og fra 00 til 000 osv. På disse es strækiger bliver argumetet hele tide 0 gage større, og derfor kalder ma dem decader. Dette er blot et specialtilfælde af oget, der gælder geerelt: Sætig 3: Hvis ma i e logaritmefuktio log a gør argumetet p gage større, så lægges der log a p til fuktiosværdie. Bevis 3: Beviset er egetlig e direkte opskrivig af de første logaritmeregeregel: p p log log log a a a Sætig 3 er de karakteristiske egeskab for e logaritmefuktio. Opgavere 6* Som afslutig på behadlige af logaritmefuktioer ses på e række avedelser heraf ogle historiske. Regestokke Før lommeregere avedtes regestokke til at bestemme logaritmer, poteser, rødder, sius, cosius og tages. Og de kue også avedes til at lægge og gage to tal samme. Som det ses på figure, var der e skyder, der kue bevæges frem og tilbage, og der var både almidelige og logaritmiske skalaer på selve stokke og skydere. Her skitsere meget kort ekelte af avedelsere: 5

53 Se på de blå skalaer. Vi har ladet de samme lægde svare til to forskellige værdier. F.eks. svarer det viste blå stykke til værdie 0,4 på de ederste skala og 0,8 på de øverste. Så hvis vi lader et stykke svare til log på de ederste skala, svarer samme stykke til de øverste. E logaritmeregeregel fortæller os så, at log log kommer til at svare til. log på. Og dermed Øvelse 6: Hvorda skal skalaere være, for at ma ka fide kubikrødder og kuber? 53

54 Logaritmetabeller Ide Euler tog fat på logaritmere og forbadt dem med ekspoetialfuktioer og opfadt de aturlige logaritmefuktio, var logaritmere blevet idført som et fatastisk redskab til at foretage multiplikatioer. Metode var baseret på vores regeregel log p q log p log q og a a a logaritmetabeller, hvor ma kue aflæse logaritme til e hel række tal. Hery Briggs havde idført 0-talslogaritme, og i periode lykkedes det ham og Adriaa Vlacq at fide logaritmere til alle tal mellem og med 0 decimaler. Nedefor ses e tabel over logaritmeværdier til ogle små tal, der beyttes til at illustrere metode. Tre logaritmeværdier er markeret med gult ovefor. Vi vil gere bestemme værdie af udtrykket,3,96. Vi ser, at log,3 0,3655og log,96 0, 473, og vi har dermed: log,3,96 log,3 log,96 0,3655 0, 473 0,8368 Værdie 0,8368 er, som udtrykket viser, logaritme til værdie af,3,96. Vi fider derfor det tal bladt logaritmeværdiere, der ligger tættest på 0,8368, og det er 0,8370. Det er logaritme til 6,87, og dermed har vi,3,96 6,87. Naturligvis magler der ogle decimaler, me til praktiske formål er det ofte præcist ok. 54

55 Avedelse ide for aturvideskabere I kemi vil I bl.a. møde logaritmefuktioer i forbidelse med ph-begrebet, og i fysik optræder det bl.a. i forbidelse med lydstyrke, år ma måler dee i db (decibel). I begge tilfælde er é af grudee til at iddrage logaritmefuktioe, at ma ka få ogle pæe tal, der er emme at forholde sig til. Me det er ikke de vigtigste årsag. I forbidelse med lydstyrke passer ehede decibel bedre til vores opfattelse af lyde, ed hvis vi havde agivet lydstyrke som e itesitet, hvilket egetlig er mere aturligt. Ma siger, at vores lydopfattelse opfører sig logaritmisk. Det skal forstås på de måde, at hver gag vi f.eks. halverer itesitete af lyde, så vil vores subjektive opfattelse af lyde være, at des styrke er gået det samme stykke ed. Vores opfattelse stemmer altså med logaritmefuktioers karakteristiske egeskab, at år ma multiplicerer argumetet med et tal (tallet er 0,5, år ma halverer), så vil værdie ædres med e fast værdi (hvilket er 3 db, år det drejer sig om lydstyrke). Befords lov Hvis ma geemgår et opslagsværk over fysiske kostater og tabelværdier og kigger på det første ciffer i alle tallee, vil ma opdage, at der ikke er e jæv fordelig. Der vil være ca. 30% af tallee, der har som første ciffer (edefor, hvor der ku er set på fysiske kostater, er de fude procetdel ca. 34%), 8% med cifret først og % med cifret 3 først. Dette kaldes Befords lov. Det er ikke e uiversel lov, me de gælder med god tilærmelse i e masse forskellige situatioer (befolkigstal i verdes lade, befolkigstal i daske byer, lades BNP, atal dyrearter ide for et bestemt areal, ). Procetfordelige i Befords Lov bestemmes af titalslogaritme (se de violette tal edefor). Der er også masser af situatioer, der helt klart ikke opfylder Befords Lov. Telefoumre, ummerplader, højder af meesker målt i cm og atal vude verdesmesterskaber i fodbold. Geerelt ka ma sige, at for at Befords Lov skal gælde, skal tallee fordele sig over flere størrelsesorder og ikke være uderlagt ogle meeskeskabte regler (som f.eks. telefoumre). Befords Lov ka faktisk udvides til mere ed bare første ciffer, og det ka avedes til at afsløre syd med tal, fordi meesker har tedes til at fordele cifree mere jævt, ed de ville være fordelt i virkelighede. Logaritmisk spiral De logaritmiske spiral har de egeskab, at tagete til kurve og lije fra omdrejigspuktet ud til kurve daer e kostat vikel. De optræder mage steder i ature. F.eks. følger e jagede haj og et isekt e såda kurve, år de ærmer sig heholdsvis et bytte og e lyskilde. Og ma ser de i solsikker, grakogler, galakser m.fl. 55

56 RENTESREGNING Ordet procet betyder pr. hudrede, og det agives med symbolet %. pr. i sig selv svarer til e brøkstreg, dvs. ma har: 34 34% 0, % 0, % 5, , 0,% 0, Det er væsetligt at lægge mærke til lighedstegee. Det gælder simpelthe, at 34% 0,34. Dvs. der sker absolut itet med selve tallet. Det er præcis det samme, om du skriver 34% eller 0,34. Det er desværre e udbredt misforståelse, at ma gager med 00 for at få tallet i procet, hvilket ka føre til e forkert skrivemåde: Dvs. du skal ikke begyde at komplicere tigee med e udregig. Vi ved u, hvad ordet procet betyder. De æste sproglige poite er, at vi skal lære at skele mellem formulerigere tage procet af, lægge procet til, trække procet fra, procetdel af og procetvise forskel. Vi skal i første omgag have idført et par begreber: Defiitio : Om procettallet p, vækstrate r og fremskrivigsfaktore a gælder følgede: p% r ar Vækstrate kaldes også for retefode. Eksempel 3: Hvis procettallet er 8, er r 8% 0,8 og a,8. Hvis vækstrate er 0,93, er procettallet 93 og fremskrivigsfaktore,93. Hvis fremskrivigsfaktore er,76, er vækstrate 0,76 og procettallet

57 Eksempel 33: Hvis p 5, er r 5% 0,5 og a 0,85. Hvis vækstrate er 3%, er procettallet 3 og fremskrivigsfaktore,3. Hvis fremskrivigsfaktore er 0,0, er r 80% og p 80. Opgavere 630* Defiitio : ) Tage procet af: p procet af K er r K ) Lægge procet til: Hvis ma lægger p procet til K, får ma r K 3) Trække procet fra: Hvis ma trækker p procet fra K, får ma r K Eksempel 34: a) % af 00 er % 00 0, 00 4 b) Hvis ma lægger % til 00, får ma % 00, 00 4 c) Hvis ma trækker % fra 00, får ma % 00 0, 00 0, Bemærk poite med alt dette: Når ma tager p procet af e startkapital, så fider ma rete. Og år dee lægges ove i selve startkapitale, så har ma lagt p procet til startkapitale og dermed fået slutkapitale. Hvis ma trækker rete fra startkapitale, har ma trukket p procet fra startkapitale. Ma kommer fra startkapital til slutkapital ved at multiplicere med fremskrivigsfaktore. Oveståede forklarer avet fremskrivigsfaktor. Ma fremskriver fra startkapital til slutkapital. E faktor idgår i et produkt, dvs. de gages på oget. Og dette er meget vigtigt at være opmærksom på. Fremskrivigsfaktorer er uløseligt forbudet med multiplikatio og divisio (der jo er to sider af samme sag). Ma tilbageskriver ved at dividere med fremskrivigsfaktore. Opgavere 63* 57

58 I følgede tabel er ogle eksempler på vækstrater og tilsvarede fremskrivigsfaktorer. Det er meige, at du skal kue sprige let og ubesværet fra de ee til de ade. Dvs. hvis det oplyses, at r 6%, skal du med det samme geemskue, at a,6 - og omvedt. Vækstrate r Fremskrivigsfaktor a Kommetar 0,3 = 3%,3,76 = 76%,76 0,009 = 0,9%,009 0, 8 8% 0,7 0,5 50% 0,5 = 00% 4 = 400% 5 0% Vær påpasselig med 0 ere ved små proceter. Her laves e del fejl. Bemærk, at du bare skal erstatte 0 et fora kommaet i 0,009 med et -tal. E vækstrate på -50% svarer til e halverig. Det er et meget vigtigt stadardtilfælde. E fordoblig svarer til e vækstrate på 00%. Dvs. hvis du lægger 00% til e værdi, fordobler du de (ved at gage med fremskrivigsfaktore ). Det er det adet meget vigtige stadardtilfælde. Hvis vækstrate er 400%, bliver værdie fem gage så stor. Ma lægger 0% til et tal ved at gage det med (det eutrale elemet ved multiplikatio). Vi har allerede e del vide om fremskrivigsfaktorer fra ekspoetialfuktioer. Og år vi sammeholder dette med a r, har vi: Sætig 4: Følgede gælder for ekspoetialfuktioer og fuktioe : Vækstrate / Retefode Fremskrivigsfaktore Mootoiforhold 00% r 0% 0a Fuktioe er aftagede r 0% a Fuktioe er kostat 0% r a Fuktioe er voksede Sætig 4 skulle gere give meig. E egativ vækstrate gør e kapital midre, dvs. fuktioe vil være aftagede. Det opår ma ved at multiplicere med et tal, der er positivt, me midre ed. Egetlig ka vækstrate godt være -00%, me så forsvider hele kapitale. Vi arbejder ikke med vækstrater uder -00%. Det betyder ikke, at ma ikke ka arbejde med gæld. Vi reger bare på gæld på samme måde som kapital, dvs. som et positivt tal. Bemærk, at år vi i daglig tale f.eks. taler om at gøre oget 3 gage så stort, så svarer det til e vækstrate på 00% og fremskrivigsfaktore 3, og år oget skal være halvt så stort, så er vækstrate -50% og fremskrivigsfaktore 0,5. Det er altså fremskrivigsfaktore, vi sætter tal på i vores daglige tale. 58

59 De helt cetrale sætig ide for retesregig er kapitalfremskrivigsformle: Sætig 5: Kapitalfremskrivigsformle. : Atal termier K : 0 K r : Startkapital K K r 0 : Slutkapital (Kapitale efter termier) Vækstrate I Sætig 5 er begrebet termier itroduceret. Termi kommer af det latiske termius, der betyder afslutig, græse eller fiale, og vi aveder det ide for retesregig om det tidspukt, hvor der tilskrives reter til e kapital eller et lå. Sommetider avedes det dog også om selve periode mellem to retetilskriviger. Dvs. vi ka både sige, at der er termi e gag om måede og termie er e måed. Ofte er termie et år, og ma aveder så forkortelse p.a. (pro ao). Me poite er altså, at atallet af termier agiver, hvor mage gage kapitale (der godt ka være e gæld) fremskrives. Og hermed bliver beviset gaske kort: Bevis: Hver gag, vi fremskriver e kapital, multiplicerer vi med fremskrivigsfaktore. Dvs. hvis startkapitale fremskrives gage, bliver slutkapitale:... K K r r r r K r 0 0 faktorer Eksempel 35: kr. sættes i bake med retefode % p.a. (pro ao ~ per år). Hvor meget står på kotoe efter 7 år? Vi idsætter i kapitalfremskrivigsformle: 7 0 K K r K kr. 0, ,57 kr. 7 Eksempel 36: Odysseus har et godt overblik over sit liv og ved, at ha om 8 år skal bruge kr. Ha ka få,5% p.a. i bake. Hvor mage pege skal ha idsætte på kotoe u? Dee gag er det startkapitale, der skal bestemmes, så de isoleres i formle: 0 0 K K r K K K r 50000kr 0 8 0, ,56 kr. Det væsetlige at bemærke i dette eksempel er som også ævt tidligere at ma tilbageskriver ved at dividere med fremskrivigsfaktore. Opgavere 63*

60 Eksempel 35 (versio ): Vi ser u på samme situatio som i eksempel 35, me forestiller os u, at der er to retetilskriviger om året (hver på %). På 7 år er der så 4 termier, og vi får: 0 K K r 4 K kr. 0, , 3 kr. 4 Vi ser altså, at vi får kap 4 kr. mere ud af de kr. ed med % p.a. Hvis der er mere ed retetilskrivig om året, er følgede begreber relevate: Nomiel rete / Pålydede rete: De årlige retefod, der er oplyst. Effektiv rete: De årlige retefod, der reelt har virket. Forskelle skyldes det, der kaldes retes rete. Dvs. at der også kommer reter på retere. Dette ka illustreres med edeståede figur, hvor der ses på 00 kr. som startkapital. De blå prikker viser, hvorda kapitale udvikler sig, hvis de øges med 5 kr. hver termi. Dette giver lieær vækst. De røde prikker viser udviklige, hvis det er 5% pr. termi (hvilket i første termi er idetisk med 5 kr.). Dette er e ekspoetiel vækst. Lieær vækst vs. ekspoetiel vækst Når ma lægger de samme størrelse til i hvert skridt (f.eks. 5 kr.), taler ma om absolut vækst, fordi beløbet ikke afhæger af kapitale (det latiske absolutus ka bl.a. betyde fuldkomme og uafhægig). Når ma tilskriver de samme retefod i hvert skridt, taler ma om relativ vækst, fordi selve rete afhæger af det beløb, der tilskrives reter. 60

61 Kapital i kroer Kapital i kroer Hvis ma ku har e kapital på kroe, ka det i begydelse klart bedst betale sig med absolut vækst i vores kokrete tilfælde. For vi får 5 kroer pr. termi, og efter første termi har vi derfor 6 kroer, mes vi med relativ vækst ville have haft,05 kroer, da rete jo afhæger af kapitale. Grafe edefor til vestre illustrerer dette. Absolut vækst lægger sig klart i spidse. Startkapital på kroe Startkapital på kroe Atal termier Kostat 5 kroer pr. termi 5% pr. termi Atal termier Kostat 5 kroer pr. termi 5% pr. termi Me kig så på grafe til højre. Hvis blot ma har termier ok at tage af, skal de relative vækst ok vise sit værd. Bemærk, hvorda de ærmest eksploderer i forhold til de absolutte vækst. Ma siger, at relativ vækst er stærkere ed absolut vækst. På lag sigt vil relativ vækst altid vide. Som sagt er der ku forskel på omiel og effektiv rete, hvis der tilskrives reter mere ed gag om året. Og det ka du som udgagspukt aldrig forvete, hvis du idsætter et beløb. Det forekommer vist ku, hvis du låer pege, da det er e måde samme med et særskilt oplyst oprettelsesgebyr eller bidrag at få tilbuddet til at se mere fordelagtigt ud, ed det er. Lad os se på et eksempel, hvor vi ser bort fra omkostiger ved at optage et lå og ku kigger på selve retere. Eksempel 37: Det oplyses, at rete er 9% p.a. med måedlige retetilskriviger. Dvs. i dette tilfælde er de omielle rete 9%. Hermed mees, at der hver måed tilskrives reter med retefode 9 % 0,75%. af disse fremskriviger giver e fremskrivigsfaktor på: aårlig r 0, 0075, 0938 Dvs. vi har e effektiv rete på 9,38%. Ofte avedes retesregig til at agive, hvorda to størrelser forholder sig til hiade, fordi e procetvis beskrivelse ofte bedre beskriver situatioe ed e absolut. F.eks. siger det dig ok ikke så meget, at det daske bruttoatioalprodukt steg med 35 milliarder fra 990 til 99. At stigige var 4,%, giver ok et bedre billede. Sætig 6: Hvis e størrelse ædrer værdi fra A til B, er de relative tilvækst r B A A Bevis 6: Vi aveder kapitalfremskrivigsformle med = : B B B A B A B A r r r r r A A A A A Ide vi ser på et eksempel på avedelse af dee sætig, skal vi have defieret et begreb: 6

62 Defiitio 3: De geemsitlige vækstrate er de faste vækstrate, der i de pågældede situatio ville have bragt startkapitale til slutkapitale, hvis de var blevet tilskrevet i hver termi, og de agives ofte som r g Geemsitlig vækstrate er baseret på det geometriske geemsit af fremskrivigsfaktorere. Eksempel 38: I periode 990 til 000 steg det daske BNP (bruttoatioalprodukt) fra 855,6 mia. kr. til 36,9 mia. kr. (Der er ikke korrigeret for iflatio). a) Hvad har de relative tilvækst været? b) Hvad har de geemsitlige årlige vækstrate været? c) Hvorår ville det daske BNP have oversteget 000 mia. kr., hvis udviklige var fortsat? Svar: a) Vi beytter Sætig 6 og får: B A 36,9 mia. kr. 855,6 mia. kr. r 0, % A 855,6 mia. kr. b) Der har været 0 termier, så vi har: K K K K K r r r r r 0 g g g g K0 K0 K0 36,9 mia. kr. 855,6 mia. kr. 0 g 0, ,5% c) Vi skal altså u rege med e årlig vækstrate på 4,5%. Vores udgagspukt er år 000, og vores ubekedte er atal termier: 0 K K log log K K K r r r log r r r K0 K0 K0 000 mia. kr. log,045 9,3 36,9 mia. kr. Dvs. det ville være sket i år 00 (der skal rudes op til 0, da BNP skal overstige 000) Ovefor fik vi også set eksempler, hvor r og var de ukedte størrelser, og hvor ma skulle beytte heholdsvis roduddragig og logaritmefuktioe til at isolere de ukedte størrelse. Vi har hermed behadlet situatioer med alle fire mulige ubekedte i kapitalfremskrivigsformle. Spørgsmål c) i Eksempel 38 ka også ede med udtrykket aturlige logaritme i stedet for logaritme med grudtallet r. K l K0, hvis ma aveder de l r Sætig 6 er også de, du skal beytte, år ma ide for aturvideskabere taler om procetvis afvigelse, hvor A i så fald typisk vil være e forvetet værdi (f.eks. e tabelværdi), mes B er værdie opået i dit eksperimet. 6

63 J Eksempel 39: I et fysikforsøg har du målt alumiiums specifikke varmekapacitet til 945, og kg K tabelværdie er 897 Vi idsætter ude eheder: J. Hvad er de procetvise afvigelse? kg K BA r 0, % A 897 Eksempel 40: I et kemiforsøg har du ved øje afmålig og udregig fremstillet e 0,000 M NaOH opløsig. Ved et titrerigsforsøg bestemmer du efterfølgede kocetratioe til 0,00963 M. Hvad er de procetvise afvigelse? B A 0, 00963M 0, 000 M r 0,037 3,7% A 0, 000 M Bemærk det meget væsetlige i formle, at dit udgagspukt står i ævere. E ade tig at bemærke er, at du med dee formel får egative afvigelser, hvis di eksperimetelle værdi er midre ed udgagspuktet, og positive, hvis di målte værdi er større ed udgagspuktet. Somme tider går ma ikke op i dette forteg, me oftest ka det være relevat at vide, om værdie er over eller uder, år ma skal vurdere fejlkilders idflydelse på resultatet. Lad os se lidt mere på de geemsitlige rete. Vi har set e situatio, hvor ma kedte de samlede vækstrate over e periode på 0 år, hvorefter vi øskede at bestemme de faste årlige vækstrate, der svarede til dee samlede vækstrate. Vi skal u se på e situatio, der egetlig eder samme sted, me som i første omgag kræver ogle ekstra udregiger: Eksempel 4: E akties værdi ædrer sig over e periode på 6 år med de årlige vækstrater %, 6%, 4%, 3%, % og 7%. Hvad har de geemsitlige årlige vækstrate været? Først skal ma være meget opmærksom på, at ma IKKE bare lægger tallee samme og dividerer med 6 (dvs. ma ka IKKE beytte Det Aritmetiske Geemsit). For husk på, at et geemsit er e fast værdi, der giver samme edelige resultat som e række varierede værdier. Vi lader vores akties startværdi være K 0. De 6 agive årlige vækstrater fører til slutværdie: K K,0,06,04,03,0, De geemsitlige årlige vækstrate er som ævt de faste årlige vækstrate, der ville give samme resultat som disse 6 varierede vækstrater. Dette giver os: 0 g 0 6 K r K,0,06,04,03,0,07 6 r,0,06,04,03,0,07 g r 6 g,0,06,04,03,0,07 r g 0, ,8% I oveståede tilfælde giver Det Aritmetiske Geemsit 0, , så hvis ma afruder de to resultater, ville ma i dette tilfælde ikke kue se forskel. Me det ædrer selvfølgelig ikke ved, at det ville være e helt forkert metode, der ville give 0 poit i e opgave. De forskellige slags geemsit giver bare ofte værdier tæt på hveradre. 63

64 Eksempel 4 viste os de vigtige poite, at begydelsesværdie ikke har betydig, år ma skal fide de geemsitlige vækstrate. Det er udelukkede vækstratere, ma reger på. Og vi har med kokrete tal vist følgede sætig: Sætig 7: Hvis e størrelse ædrer sig med de varierede vækstrater r, r, r 3,..., r, er de geemsitlige vækstrate r g bestemt ved: r r r r... r g 3 Lad os se på et eksempel, der også iddrager egative vækstrater: Eksempel 4: E udspekuleret arbejdsgiver sætter hver morge sie arbejderes lø ed med 0%, hvorefter de brokker sig højlydt, og ha går med til at sætte løe 0% op ige. Dette sker hver dag i e måed, hvor der er 3 arbejdsdage. Hvorda er det gået med arbejderes lø? Dette er tydeligvis e slags trickopgave, hvor der lægges op til, at der ikke er sket oget med arbejderes lø, fordi de først sættes 0% ed og derefter 0% op. Me lad os rege på det. Der er 3 arbejdsdage, dvs. der er i alt 3 løstigiger og 3 løedgage. E løstigig på 0% svarer til e fremskrivigsfaktor på,0, mes e løedgag på 0% svarer til e fremskrivigsfaktor på 0,90. Så vi har: 3 3 r, 0,90 r samlet samlet 3 3, 0,90 0, , 6% Arbejderes lø er altså faldet med 0,6% i løbet af dee måed. r g , 0,90 0, ,5% Dvs. de geemsitlige vækstrate for de 46 ædriger er -0,5%. Opgavere 633* Det er også væsetligt at kede et begreb, der egetlig ikke har oget med retesregig at gøre, me som kue lyde, som om det havde. Det er begrebet procetpoit. Det avedes bl.a. i forbidelse med aktiekurser og vælgertilslutig til politiske partier. Når et parti går fra 3% vælgertilslutig til 6%, så siger ma, at det er gået 3 procetpoit frem. Hvis du reger på det, kommer du frem til, at det er gået 3% frem (Sætig 6), me procetpoit er altså oget adet ed procetvis tilvækst. Det er meget vigtigt at lægge mærke til, at ehver multiplikatio med et positivt tal ka fortolkes som e procetvis forøgelse. F.eks. ka 35 fortolkes som om, ma lægger 00% til 5 (eller 400% til 3). Og år du multiplicerer med,37, så lægger du 37% til tallet. Selvfølgelig er det ikke altid, at det giver meig med såda e fortolkig. Hvis du bare skal udrege det aritmetiske udtryk 7 4, er der ige grud til at begyde med såda e fortolkig. Me det er utrolig vigtigt, at du er i stad til det, år det er relevat. 64

65 Kotiuert rete Som afslutig på retesregig veder vi tilbage til problemstillige med omiel og effektiv rete, der blev behadlet i Eksempel 37. Lad os forestille os, at vi har e omiel rete på 00%. Hvis vi har é årlig retetilskrivig, giver det altså fremskrivigsfaktore. Hvis det er måedlig retetilskrivig, får vi: Hvis det er ugetlig retetilskrivig, får vi: a måed a uge, , Geerelt får vi med termier: a Og det er så her, at kotiuert rete kommer id i billedet. For hvis vi u forestiller os, at der hele tide tilskrives reter. Ikke bare hvert sekud, me hele tide. Så vil der på et år være uedelig mage retetilskriviger, me vækstrate vil også være uedelig tæt på 0. Så hvad vil der ske med udtrykket? Argumetet er uedelig tæt på, me ekspoete er uedelig (løst sagt). Vil udtrykket give, eller vil det give uedelig, eller vil det give et bestemt tal, eller ka ma slet ikke sige oget om det? Lad os først se på det grafisk ved hjælp af Maple: Dee graf tyder på, at der ret faktisk er e eller ade værdi, som udtrykket ærmer sig, år går mod uedelig. Maple ka berege sådae græseværdier. Fid symbolet uder palette Calculus : e for Vi ser altså, at:. Dvs. udtrykket går mod Eulers tal, år går mod uedelig. Med kotiuert rete vil vores fremskrivigsfaktor altså blive e. Jacob Beroulli ( ) opdagede det tal, der seere blev kedt som Eulers tal, da ha i 683 fadt ud af, at lim var et bestemt tal. Faktisk gælder lim e. Dvs. ma får de aturlige ekspoetialfuktio, hvis ma lader de omielle vækstrate være variable. Dette er e af idfaldsviklere til at forstå, hvorfor etop dee ekspoetialfuktio har fået avet aturlig. Kotiuert rete er etop det, vi oplever, år vi aveder fuktiosbegrebet, fordi vi har Dm, dvs. der sker hele tide oget med fuktiosværdie. På edeståede figur er vist, hvorda ma 65

66 kommer tættere og tættere på grafe for de aturlige ekspoetialfuktio, år ma opdeler et tidsrum i flere og flere termier (her illustreret med, 5 og 0 termier). Opgavere 634* Kapitalfremskrivigsformle er e diskret fuktio, fordi des defiitiosmægde ikke består af ét eller flere itervaller, me ku pukter. Og det er såda set de eeste forskel mellem de og vores æste type fuktio, der er ekspoetielle udvikliger. Ret matematisk fugerer de på samme måde, me ekspoetielle udvikliger har kotiuert retetilskrivig, dvs. grafisk bliver det glatte kurver. Me ide vi ser på ye fuktiostyper, skal vi arbejde lidt videre med retesregig. Vi skal u se på auitetslå og opsparigsauiteter, der adskiller sig fra vores hidtidige situatioer ved, at der ikke blot tilskrives reter, me også løbede foretages afbetaliger eller idbetaliger. 66

67 ANNUITETER Defiitio 4: E auitet er række idbetaliger med fast mellemrum. E opsparigsauitet er e opsparig med fast retefod, hvor der med fast mellemrum (termi) idbetales et fast beløb. Et auitetslå er et lå med fast retefod, hvor der med fast mellemrum (termi) idbetales e fast ydelse (sum af rete og afdrag). Egetlig er ordet auitet misvisede, for det heviser til, at termie er et år, hvilket ikke er tilfældet geerelt. For huslå er termie 3 måeder (et kvart år), mes forbrugslå typisk har termie é måed. Bemærk, at ordet auitet heviser til et fast tidsrum, me ikke til hverke fast retefod eller fast idbetalt beløb. Alligevel har de to situatioer opsparigsauitet og auitetslå også fast retefod og fast beløb. Vi skal ikke rege på situatioer, hvor retefode ikke er fast (f.eks. flelå), og heller ikke på situatioer med fast retefod, me variabelt beløb (f.eks. serielå). Ma ka rege på disse tilfælde med almidelig retesregig. Sætig 8: For e opsparigsauitet med retefode r pr. termi er opsparigskapitale umiddelbart efter de te idbetalig af termisidbetalige b givet ved: A b r r Bevis 8: Vi får i beviset brug for Sætig fra Uedeligheder, hvor vi så på kvotietrækker: i 3 a q a a q a q a q... a q i0 Vi skal fide et udtryk for a q q A, der som beskrevet er opsparigskapitale umiddelbart efter de te idbetalig. Vi fider dette ved at se på, hvad de ekelte idbetaliger hver især er blevet til ved retetilskriviger og derefter addere disse størrelser. Jo tidligere e idbetalig har fudet sted, jo flere gage er de blevet tilskrevet reter. De te idbetalig (de seeste) har ikke fået tilskrevet reter. De te idbetalig (de æstseeste) har fået tilskrevet reter é gag. De første idbetalig har fået tilskrevet reter gage (der er termier mellem de idbetaliger). Dette giver os: r r 3 r A b b r b r b r... b r b b r 67

68 Eksempel 43: E børeopsparig har retefode,% p.a., og der må højst idsættes 6000 kr. om året. Først ses på, hvad et bar vil kue hæve kotoe på si 8 års fødselsdag, hvis der idbetales 6000 kr. om året fra og med de dag baret fødes. Der er 9 idbetaliger, så ma har: A A 9 b r r 9 0, kr. 790,89 kr. 0,0 Hvis forældree har det mål, at baret skal kue hæve kr., ka de udrege, hvad der skal idbetales hvert år: r b A r 0,0 b kr. 3773,86 kr. 0, 0 9 Auitetslå I forbidelse med auitetslå er følgede begreber relevate: Opgavere 635* Hovedstol (G): Det beløb, der låes. Hovedstole ædrer sig ikke. Restgæld (RG): Det beløb, der magler at blive tilbagebetalt. Fra start svarer restgælde altså til hovedstole, mes de er 0 efter sidste afdrag. Restgælde falder hurtigere og hurtigere, fordi afdragee bliver større og større (se edefor). Retefod (r): Låets faste retefod pr. termi. Ved ogle lå kompliceres dette begreb af, at der også optræder e såkaldt bidragsats. F.eks. ved et huslå, hvor ma betaler reter til obligatiosejere og bidrag til realkreditistituttet (og bidragsatse ka faktisk også variere, me det ser vi bort fra). Me bidragsatse er også e retefod, så ma ka slå det hele samme til é fast retefod, hvor ma altså ikke skeler mellem, hvem der modtager pegee. F.eks. kue retefode være 0,9% og bidragssatse være 0,6%, hvor ma så reger med é retefod på,5%. Bemærk, at det (selvfølgelig) er retefode pr. termi, der idgår i formle, mes det ofte er de omielle retefod p.a., der oplyses. Atal termier (): Atallet af termier er også atallet af idbetaliger. Ma foretager af gode grude ikke e idbetalig ved låets optagelse (det ville jo reelt bare svare til e midre hovedstol). Ydelse (y): Det faste beløb, der idbetales hver termi. Ydelse er summe af rete og afdrag (se edeståede): y R A Rete (R): Rete bereges ud fra restgælde på sædvalig vis: R r RG. Rete bliver altså midre og midre i takt med, at restgælde bliver midre. Afdrag (A): De del af ydelse, der går til tilbagebetalig af lået, dvs. det beløb, ma trækker fra de gamle restgæld for at få de ye restgæld: RG i RG i A. Da ydelse er kostat, og rete bliver midre og midre, bliver afdraget større og større. 68

69 Sætig 9: For et auitetslå gælder (med betegelsere forklaret i det foregåede): r y G ( r) Beviset for sætige er baseret på e sammeligig mellem lå og opsparig. Hvis ma kue opå e større retefod på e opsparig, ed ma skulle betale for et lå, kue det betale sig at optage et lå og sætte pegee på e opsparig. Hvis idlås- og udlåsretefode var idetiske, ville det gå lige op, dvs. ma kue som re tidsfordriv, dvs. ude hverke at tjee eller miste oget på det optage et lå og sætte pegee på e opsparig. Og det er dee takegag, der beyttes i følgede bevis: Bevis 9: Vi forestiller os, at vi i stedet for at betale løbede tilbage på vores lå med hovedstole G, opretter et auitetslå med samme retefod, hvor idbetaligere svarer til de ydelse, vi ellers skulle have idbetalt for at afvikle lået ( y b). Dvs. lået står og passer sig selv med retetilskriviger hver termi, mes ydelsere hver termi går til e auitetsopsparig, der så efter sidste termi skal have samme værdi, som lået er vokset til, dvs.: G r A Det er vigtigt at bemærke, at ere passer. Vores i auitetsopsparige var atallet af idbetaliger, der egetlig var é mere ed atal termier, me det kommer til at passe med atal termier i vores auitetslå, da vi ikke idbetaler oget som opstart til første termi, dvs. vi påbegyder vores opsparig é termi seere, ed formle egetlig agiver. Herfra er det bare udregiger: r G r A G r y r r r G y y G r r Forkorter ligige med ( r ) Eksempel 44: Vi ser på et 30-årigt huslå med retefode,7% p.a. og hovedstole 3,4 millioer kr. Der er 4 termier årligt, og vi øsker at bestemme ydelse pr. termi.,7% Atallet af termier er 0, og retefode pr. termi er r 0,675% så vi får: 4 r 0, y G kr. 443, 6kr. 0 r, Eksempel 45: Retefode på et 30-årigt huslå (4 termier årligt) er 3,6% p.a., og e familie har råd til at betale e kvartalsvis ydelse på kr. Hvor stort et beløb ka de låe? Der er 0 termier, og retefode pr. termi er 0,9% (e fjerdedel af 3,6%), så ma får: r 0 0, 009 G y 35000kr kr. r 0,009 69

70 Sætig 9 iddrager ku hovedstol, ydelse, retefod og atal termier. Når ma har beyttet sætige til at fide de faste ydelse, ka ma lave et Ecel-ark, hvor ma ka iddrage og følge restgæld, rete og afdrag (tal fra Eksempel 44): termiere 5 93 er udeladt Der er arbejdet med ekstra decimaler på ydelse, så restgælde bliver 0,00 til sidst. Opgavere 636* 70

71 INDEKSTAL Idekstal er opfudet for at gøre det lettere at overskue e tidslig udviklig af e størrelse, sammelige størrelser af forskellige størrelsesorder eller sammelige størrelser med forskellige eheder. F.eks. kue de beyttes til at følge udviklige af prise på mælk fra år til år, at sammelige prise på mælk med bruttoatioalproduktet eller sammelige bruttoatioalproduktet med arbejdsløshede målt i procet. Det er altså muligt at sammelige størrelser med forskellige eheder. Hvorvidt det giver meig med sådae sammeligiger, er e ade sag, og det er selvfølgelig oget ma altid skal overveje i det kokrete tilfælde. Idee er, at ma vælger et år som basisår, og i dette år tildeles de pågældede størrelse idekstallet 00 (i hvert fald vælges 00 oftest som basistal). Herefter følger idekstallet og værdie af de pågældede størrelse samme relative udviklig, dvs.: Sætig 0: Når e størrelse atager værdie B, har de idekstallet I B. Når samme størrelse på et adet tidspukt atager værdie S, er des idekstal IS givet ved: I I S B S B IS IB Ved at omskrive Sætig 0 til, ka ma også se, at forholdet mellem idekstal og værdi S B er kostat for e størrelse, der ædrer sig over tid. Valget af basisår er i pricippet frit, me i praksis er det vigtigt, at ma forsøger at vælge et ormalår, dvs. et år hvor de pågældede størrelse ikke af forskellige årsager har haft e meget lille eller stor værdi. Eksempel 46: Vare Q har kostet følgede pr. ehed i forskellige år: Årstal Værdi 7,93 kr. 8,35 kr. 0,3 kr. 8,94 kr. 9,4 kr. 0,6 kr.,07 kr. Vi øsker at fide et basisår, og ka frit vælge bladt årstallee bortset fra 995, hvor prise tydeligvis har været usædvalig høj (måske var et fragtskib med råstoffet X gået ed?). Vi vælger 985 som basisår, hvorfor idekstallet dette år bliver 00. Et regeeksempel til udfyldig af tabelle er: I ,94. S I000 S I kr ,74 I B B 7,93 kr Årstal Værdi 7,93 kr. 8,35 kr. 0,3 kr. 8,94 kr. 9,4 kr. 0,6 kr.,07 kr. Idekstal Når du kigger på idekstallee i Eksempel 46, skulle det gere være såda, at du ud fra disse har emmere ved at følge udviklige af prise på vare Q, ed hvis du kigger på selve værdie. Opgavere 637* 7

72 7