Introduktion til uligheder

Transkript

1 Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles hjælp bevise ulighedere, og derefter er der e del opgaver som ka løses ved brug af ulighedere. Defiitio Det aritmetiske geemsit af reelle tal x, x,..., x er A = x + x + + x. Det geometriske geemsit af ikke-egative reelle tal x, x,..., x er G = x x x. Det harmoiske geemsit af positive reelle tal x, x,..., x er H = x + x + +. x Det kvadratiske geemsit af reelle tal x, x,..., x er Sætig For positive reelle tal x, x,..., x gælder at x Q = + x + + x. Q A G H med lighedsteg etop år x = x =... = x. (Bemærk at Q A ikke kræver at x, x,... x er positive.) Ide vi viser sætigere geerelt, ser vi på tilfældet =. I dette tilfælde ser AG ulighede således ud a + b ab hvor a og b er positive reelle tal. Da begge sider er positive, ka vi kvadrere og derefter omskrive til e ulighed som åbelyst er sad a + b ab (a + b) 4ab (a b) 0, og hvor der gælder lighedsteg etop år a = b. At omskrive e ulighed til et udtryk hvor et kvadrat eller summe af ogle kvadrater er større ed ul, er e ofte avedt metode til at løse uligheder. Opgave Bevis at Q A og G H for =.

2 Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Bevis for QA ulighede. Omskriv først ulighede ved at kvadrere Nu udreges højreside dvs. (x + x + + x ) (x + x + x ). (x + x + + x ) x + x + + x + ( )(x + x + + x ) i<j i<j x i x j. x i x j, På vestreside står u e masse kvadrater og på højreside e masse dobbelte produkter, og derfor ser vi om det er muligt at omskrive ulighede til e sum af kvadrater som er større ed eller lig med 0. (x i + x j) x i x j 0, og dermed i<j i<j i<j (x i x j ) 0, med lighedsteg etop år x = x = = x. Da der gælder biimplikatio mellem samtlige omskriviger af ulighede, har vi hermed bevist at Q A. Bevis for AG ulighede. AG ulighede ka bevises ved iduktio, me hvor iduktioskridtet udføres på utraditioel vis. Vi har allerede vist de i tilfældet =. Hvis ma forsøger at vise at hvis AG ulighede er sad for da er de også sad for +, bliver det meget kompliceret. Det er imidlertid væsetlig lettere at vise at hvis AG ulighede er sad for da er de også sad for og for, og med disse to iduktiosskridt ka vi få alle domiobrikkere til at vælte. Grude til at det ikke er så kompliceret at vise at hvis AG ulighede er sad for da er de sad for, er at ma her har mulighed for selv at vælge x hesigtsmæssigt i forhold til x, x,..., x. Det overlades til læsere vise iduktiosskridtee: Opgave Vis AG ulighede ved at udytte oveståede idé. Hit: Når du skal vise at hvis ulighede er sad for, da er de også sad for, så sæt x lig det aritmetiske geemsit af x, x,..., x. Opgave Vis GH ulighede ved at udytte at du allerede har bevist AG ulighede. Nu har vi bevist Sætig og er klar til at beytte de til at løse flere uligheder: Opgave 4 Vis at a 4 + b 4 + c 4 a + b + c a + b + c

3 Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde for reelle tal a, b og c, hvor abc 0. Opgave 5 Lad være et helt positivt tal. Vis at for positive reelle tal a og b. a + b + + ab Opgave 6 Vis at for positive reelle tal a, b og c. ab + bc + ac abc Opgave 7 Lad a, b og c være positive reelle tal. Vis at a + b + c a + b + b + c + c + a 9 a + b + c. Opgave 8 Lad a, b og c være positive reelle tal. Vis at abc + (a + )(b + )(c + ). Opgave 9 Lad a og b være to positive reelle tal med sum. Bevis at Hvorår gælder der lighedsteg? ( a + ) ( + b + ) 5 a b. Opgave 0 Lad a, b og c være reelle tal således at c > 0, a > c og b > c. Vis at ab c(a c) + c(b c). Opgave Lad x, y, z være positive reelle tal som opfylder at xyz =. Bestem de midst mulige værdi af x + 4xy + 4y + z.

4 Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde 4 Opgave QA ulighede for = : x + x x + x med lighedsteg etop år x = x. GH ulighede for = : Løsigsskitser til uligheder (x + x ) x + x + x x (x x ) 0, x x x + x x + x x x, hvilket er AG ulighede for a = x x = x, dvs. etop år x = x. og a = x, og der gælder lighedsteg etop år Opgave Vi har allerede vist AG ulighede for =. Atag at x + x + + x x x x. for ikke-egative reelle tal x, x,..., x. Først viser vi at dee atagelse medfører at ulighede er sad for. Lad x, x,..., x være ikke-egative reelle tal. Ifølge atagelse er x + x + + x + x + + x x Ved at beytte AG ulighede for = på oveståede får vi hvilket etop er x +x + +x + x ++x + + +x x + x + + x x x x + x + x + x. x x x x + x + x, x x x. Nu viser vi at vores atagelse også medfører at ulighede er sad for. Lad x, x,..., x være ikke-egative reelle tal, lad A være det aritmetriske geemsit af disse tal, og sæt x = A. Ifølge atagelse er x + x + + x + A x x x A A x x x A A x x x A A x x x x + x + + x x x x. Bemærk at der i begge tilfælde gælder lighedsteg etop år alle eller alle ikkeegative reelle tal er lig hiade. Hermed er iduktioe fuldført.

5 Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde 5 Opgave Poite er at AG ulighede ka omskrives til GH ulighede. Lad x, x,..., x være positive reelle tal. Dermed er x, x,..., x også positive reelle tal. Ifølge AG ulighede gælder at x + x + + x, x x x og dermed følger GH ulighede x x x x + x + +. x Bemærk at der gælder lighedsteg etop år x = x = = x. Opgave 4 Ifølge QA ulighede er a 4 + b 4 + c 4 a + b + c. Da begge sider af lighedsteget er positive, ka vi kvadrere hvoraf det øskede følger. a 4 + b 4 + c 4 ( a + b + c ) Opgave 5 Ulighede er AG ulighede med de + tal a, b, b,..., b. Opgave 6 Ifølge AG ulighede er Opgav 7 Ifølge AH ulighede er ab + bc + ca abbcca = ( abc). Desude er a + b + c = a + b hvilket giver det øskede. + a+b + b+c + c+a Opgave 8 Ved at opløfte i tredje potes får ma AG ulighede giver b + c + c + a a+b + b+c + c+a = a + b + b + c + c + a. a + b + c abc + abc + abc + abc + ab + ac + bc + a + b + c +. ab + ac + bc (ab)(ac)(bc) = abc og a + b + c abc.

6 Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde 6 Opgave 9 Ifølge AH ulighede og da a + b =, er a + b a + b = med lighedsteg etop år a = b. Dermed giver QA ulighede ( a + ) ( + b + ) ( a + b + a b a + ) b ( + 4) = 5 med lighedsteg etop år a = b =. Opgave 0 Ved at kvadrere får ma Ved omrokkerig får ma yderligere ab cb + ca c + c (a c)(b c). (a c)(b c) + c hvilket er sadt ifølge AG ulighede. c (a c)(b c) Opgave Hvis vi skal udytte at xyz =, er det e god idé at prøve at vurdere udtrykket ved et udtryk af forme (xyz). Derfor beytter vi AG ulighede to gage på følgede måde x + 4xy + 4y + z x 4y + 4xy + z = 4xy + 4xy + z x y z = = 96. Der er lighedsteg etop år x = 4y og 4xy = z, dvs. år x = z = 4 og y =.