Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen

Transkript

1 Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25

2 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset Stokastiske Processer, der udbydes i det Herres År 25. Notere er baseret på et gammelt otesæt af Sved-Erik Graverse. Ja Pederse har revideret Sved-Erik s oter og har ikluderet et ekelt kapitel. Desude har Ja udarbejdet opgavesamlige, der til dels er baseret på opgavesamlige til boge Stokastiske Processer af Palle Schmidt. Kurset Stokastiske Processer har været udbudt mage gage før, og har tidligere beyttet Palle Schmidts bog. Me i år skal kurset for første gag omhadle Stokastisk Itegratio, og det har derfor ikke været muligt at avede Palle s bog.

3 Idhold 1 Grudlæggede defiitioer og eksempler 2 2 Kolmogorov s Kosistessætig 12 3 Modifikatio og Uskelelighed 17 4 Filtre og Stoptider 22 5 Hittig Times 28 6 Lévy Processer 3 7 Wieer processe 34 8 Poisso processe 37 9 Wieerprocesse - vigtige egeskaber love for Lévy processer Tælleprocesser Stokastisk itegratio Idledig Itegratio af simple processer E udvidelse Ito s formel A E vigtig fuktioalligig 73 B Regulære betigede fordeliger 75 C Martigaler 78 C.1 Resultater i diskret tid C.2 Resultater i kotiuert tid D Martigalmodifikatiossætige 84 E Optioal samplig i kotiuert tid 86 F Opkrydsiger 89 G Mooto Klasse Lemma 91 H Opgaver 93 1

4 1 Grudlæggede defiitioer og eksempler E stokastisk proces er fællesbetegelse for det sadsylighedsteoretiske værktøj, der beyttes ved beskrivelse af tilfældige systemer, som udvikler sig i tide, og som til ethvert tidspukt t i e parametermægde T ka beskrives ved et pukt i et tilstadsrum S. Ma taler her om tilstade til tid t. Som eksempler på sådae tilfældige systemer ka f.eks. æves : prise på et fiasielt aktiv, lufttemperature ved e målestatio, kocetratioe af et stof i blodet, osv. Tilstade til et fast tidspukt t modelleres som sædvaligt ved hjælp af e ekel stokastisk variabel X t med værdier i S, og e stokastisk proces er derfor e parametriseret familie af stokastiske variable, dvs. målelige afbildiger, defieret på et fælles sadsylighedsfelt med værdier i samme målelige rum. Helt præcist har vi flg. defiitio. Defiitio 1.1. Lad (Ω, F, P) betege et givet sadsylighedsfelt, T e vilkårlig mægde og (S,B) et måleligt rum. E familie af variable (X t ) t T defieret på (Ω,F,P) kaldes da e stokastisk proces med tidsparametermægde T og tilstadsrum S, hvis X t for ethvert t i T er e (F,B)-målelig afbildig fra Ω id i S. Som ordvalget atyder, opfattes T ormalt som e model for tide, idet et pukt i T tækes at repræsetere et tidspukt. Ma skeler i dee forbidelse mellem e diskret kotra e kotiuert tidsmodel, hvor de diskrete tidsmodel svarer til tidsparametermægder af forme Z + = {,1, }, Z eller mere geerelt delmægder heraf, hvorimod ma i forbidelse med e kotiuert tidsmodel bruger R + = [, ), R eller delmægder af disse. T vil i det følgede æste altid være ete Z + eller R +, og puktet beteges i dee forbidelse begydelsestidspuktet. Me det er værd at uderstrege, at oveståede defiitio itet forlager om T, og i visse avedelser vil T være e mere kompliceret mægde. F.eks. er det i forbidelse med billedaalyse aturligt at vælge R 2 eller e delmægde heraf som parametermægde. Ligeledes er det i visse situatioer aturligt at lade T være e mægde af delmægder af et pæt rum som f.eks. R eller e delmægde heraf. Med de tilladte geeralitet ka praktisk talt alt, hvad vi tidligere har set på, opfattes som e stokastisk proces. F.eks. ka e ekel stokastisk variabel opfattes som e proces med e tidsparametermægde beståede af et pukt. Me som ævt er det væsetligste avedelsesområde for stokastiske processer beskrivelse af tidsudvikliger, hvorfor parametermægder udstyret med e lieær ordig som f.eks. Z + /Z og R + /R er af størst iteresse, da det her giver meig at tale om fortid, fremtid og utid. Ifølge defiitioe ka tilstadsrummet være et vilkårligt måleligt rum, dvs. e mægde udstyret med e σ-algebra. Me i alle de tilfælde vi kommer ud for, vil S være udstyret med e metrik d og σ-algebrae være de tilhørede Borel σ-algebra B(S), dvs. de midste σ-algebra der ideholder alle åbe mægder. Vigtige eksempler er R for et 1 eller pæe delmægder heraf, eller e tællelig mægde udstyret med de diskrete 2

5 metrik, i hvilke Borel σ-algebrae er idetisk med mægde af alle delmægder. Ma taler her ofte om et kotiuert udfaldsrum i modsætig til et diskret udfaldsrum. De ævte eksempler er alle såkaldte polske rum, dvs. der fides e ækvivalet fuldstædig og separabel metrik. Eksistese af e metrik på S sikrer, at det har meig at tale om kotiuitet af fuktioer med værdier i S. Det iteressate ved e stokastisk proces er som for ethvert adet sadsylighedsteoretisk objekt des fordelig, og vi vil u præcisere, hvad vi forstår ved fordelige for e stokastisk proces, og hvorda de specificeres. Som bekedt er fordelige af e reel stokastisk variabel X defieret på et sadsylighedsfelt (Ω, F, P) sadsylighedsmålet P X på R givet ved P X (A) = P X 1 (A) = P(X A) A B(R), dvs. P X er billedmålet P X 1. Tilsvarede er fordelige for e give stokastisk vektor X = (X 1,,X ) sadsylighedsmålet P X 1 på R. Oveståede vil vi u geeralisere til stokastiske processer. Atag at tilstadsrummet S er metrisk og derfor udstyret med Borel σ-algebrae B(S). Idgagsvikle er at opfatte (X t ) t T som e tilfældig fuktio, dvs. fokusere på afbildige Φ X fra Ω id i S T, som seder et ω over i de tilhørede udfaldsfuktio, dvs. Φ X : ω (t X t (ω)) Fuktiosrummet S T udstyres med de såkaldte koordiat σ-algebra B(S) T, defieret som de midste σ-algebra, der gør alle koordiatvariable målelige, dvs. B(S) T := σ(ξ t t T) hvor koordiatvariable hørede til puktet t, ξ t : S T S, er givet ved ξ t ( f) := f(t), f S T. B(S) T er altså pr. defiitio σ-algebrae frembragt af algebrae A (S) T := { {ξ ti B i } t 1,...,t T,B 1,...,B B(S)}. i=1 Da ξ t Φ X = X t for ethvert t T, ses at Φ X : Ω S T er (F,B(S) T )-målelig. Det har derfor god meig at tale om billedmålet P Φ 1 X som et sadsylighedsmål på (S T,B(S) T ). Dette beteges P X. og kaldes processes fordeligsmål eller kort des fordelig. I overesstemmelse med gægs termiologi siges to processer (X t ) t T og (X t ) t T med samme tidsparameter T og samme tilstadsrum S, me muligvis defieret på forskellige sadsylighedsfelter (Ω,F,P) og (Ω,F,P ), derfor at være idetisk fordelte, syoymt ækvivalete, hvis P X. = P X.. Tit udtrykkes dette også ved at sige, at de to processer er versioer af hiade. 3

6 Øvelse 1.2. Læsere opfordres til at vise, at for ehver stokastisk proces (X t ) t T med tilstadsrum S og tidsparametermægde T defieret på et sadsylighedsfelt (Ω, F, P) er (ξ t ) t T opfattet som e stokastisk proces på (S T,B(S) T,P X. ) e versio af (X t ) t T. Dee specielle versio kaldes de kaoiske versio. Keder vi fordeligsmålet P X., keder vi specielt dets værdier på A (S) T, og da P X. ( {ξ ti B i }) = P( {ξ ti φ X B i }) = P( {X ti B i }) i=1 i=1 keder vi derfor ehver sadsylighed af forme P(X t1 B 1,...,X t B ) t 1,...,t T, B 1,...,B B(S), og dermed fordeligsmålet P X. (t 1,...,t ) for (X t1,...,x t ) for alle sæt af tidspukter t 1,...,t T. Dette sadsylighedsmål på (S,B(S) ) er som bekedt givet ved P X. (t 1,...,t )(B) := P((X t1,...,x t ) B) t 1,...,t T, B B(S). P X. bestemmer altså sættet {P X. (t 1,...,t ) t 1,...,t T } også kaldet processes edeligt dimesioale margiale fordeliger. Me da A (S) T er stabil uder edelig geemsit og frembriger σ-algebrae B(S) T, bestemmer sættet af edeligt dimesioale fordeliger omvedt også P X. ; dvs. præciserig af e procesfordelig er e tig og det samme som at agive det tilhørede sæt af edelig dimesioale margiale fordeliger. Specielt har vi, at to processer (X t ) t T og (Y t ) t T er versioer hvis og ku hvis de har samme edeligt dimesioale margiale fordeliger; det vil sige hvis og ku hvis P((X t1,...,x t ) B) = P((Y t1,...,y t ) B) (1.1) for ethvert 1, alle t 1,...,t T og alle B B(S). Da B(S) frembriges af mægder på forme A 1... A, hvor A 1,...,A B(S), har vi ligeledes, at (X t ) t T og (Y t ) t T er versioer hvis og ku hvis P(X t1 A 1,,...,X t A ) = P(Y t1 A 1,...,Y t A ) (1.2) for alle 1, alle t 1,...,t T og alle A 1,...,A B(S). Før vi fortsætter de geerelle itroduktio, idføres ogle vigtige procesegeskaber samt procestyper. Det er værd at bemærke, at betigelsere ku afhæger af fordeligsmålet, dvs. det drejer sig om versiosegeskaber, såda at forstå at hvis e proces opfylder e af betigelsere, så gælder det også ehver versio. Som det er gægs, udertrykkes det uderliggede sadsylighedsfelt i otatioe. Når T er ete R, R +, Z eller Z + idfører vi for t T fortide og fremtide, der er følgede σ-algebraer: Ft X := σ(x s s t,s T) (1.3) F X,t := σ(x s s t,s T). (1.4) i=1 4

7 Eksempel 1.3. S = R, T vilkårlig. E proces (X t ) t T siges at være itegrabel hhv. kvadratisk itegrabel, hvis X t ere alle har edelig middelværdi hhv. edeligt ade momet, dvs. X t L 1 (P) hhv. X t L 2 (P) for alle t T. I givet fald beteger m X ( ) : t E[X t ] og Γ X (, ) : (t,s) Cov(X t,x s ), og kaldes hhv. processes middelværdi - og covariasfuktio. Fuktioe t Γ X (t,t) kaldes variasfuktioe og beteges ofte σ 2 X ( ). Eksempel 1.4. S = R, T vilkårlig. E proces (X t ) t T siges at være Gaussisk, hvis (X t1,...,x t ) for ethvert sæt af tidspukter t 1,...,t i T følger e -dimesioal ormal fordelig. Som bekedt er fordelige for e Gaussisk proces etydigt bestemt ved de tilhørede middelværdi - og covariasfuktio. Eksempel 1.5. S = R 1, T = R + eller R. E proces (X t ) t T siges at være kotiuert (højrekotiuert) i sadsylighed hhv. i L p, hvis t X t er kotiuert (højrekotiuert) i sadsylighed hhv L p. Dvs. X t kovergerer imod X t i sadsylighed hhv. i L p for ethvert t og ehver følge (t ) 1 i T, som kovergerer (fra højre) mod t. For p lig 1 eller 2 omtales L p -kotiuitet ofte som kotiuitet i middel hhv. kvadratisk middel. Til seere brug bemærkes, at hvis {X q q [,] Q} er uiformt itegrabel for alle 1, så gælder (tæk over dette) implikatioe t X t er højrekotiuert i sadsylighed t X t er højrekotiuert i L 1. Eksempel 1.6. S = R 1, T = Z + /Z eller R + /R. E proces (X t ) t T siges at være (stregt) statioær, hvis (X t1,...,x tk ) (X t1 +t,...,x tk +t) for alle t 1,...,t k og t i T. Bemærk at hvis = 1 og (X t ) t T er (stregt) statioær samt kvadratisk itegrabel, så er m X (t) m R og Γ X (t,s) = φ(t s), dvs. m X er kostat, og Γ X afhæger ku af afstade mellem tidspuktere. Reelle kvadratisk itegrable processer (X t ) t T, hvis middelværdi- og covariasfuktio er på dee form, kaldes svagt statioære. Eksempel 1.7. S = R 1, T = Z + eller R +. E proces (X t ) t T siges at have uafhægige tilvækster, hvis X t1,x t2 X t1,...x tk X tk 1 er uafhægige for ethvert sæt af voksede tidspukter t 1,...,t k i T. Hvis yderligere fordelige for X s X t ku afhæger af s t for s t siges (X t ) t T at have uafhægige statioære tilvækster. 5

8 Lad (X t ) t T have uafhægige tilvækster. Dee proces har da uafhægige statioære tilvækster hvis og ku hvis X t X s X t s X for alle s < t med s,t T. Hvis yderligere der gælder X = æste sikkert har (X t ) t T uafhægige statioære tilvækster hvis og ku hvis X t X s X t s for alle s t med s,t T. E simpel overvejelse viser, at betigelse for uafhægige tilvækster ækvivalet ka formuleres på hver af følgede to måder. a) X s X t er uafhægig af fortide set ud fra tid t, dvs. σ-algebrae Ft X, for alle t < s i T. b) Ft X og σ(x u X t u t) er uafhægige for alle t i T. Hvis (X t ) t T har uafhægige / uafhægige statioære tilvækster, så har for alle s T (X s t ) t T := (X t+s X s ) t T samme egeskab, og (Xt s) t T er uafhægig af Fs X. (X t s) t T og (X t X ) t T er edvidere versioer, hvis (X t ) t T har uafhægige statioære tilvækster. Eksempel 1.8. S = R og T = Z + eller R +. E itegrabel proces (X t ) t T siges at være e martigal, hvis E[X s F X t ] = X t P.o. for alle t < s T, og (X t ) t T siges at være e baglæs martigal, hvis E[X s F X,t ] = X t P.o. for alle s < t T, Hvis = erstattes af hhv. taler ma om e super - hhv. submartigal. Eksempel 1.9. S vilkårlig og T = Z + eller R +. E proces (X t ) t T siges at være Markov, hvis fremtide er betiget uafhægig af fortide givet utide Dvs. hvis der for ethvert t og alle begræsede reelle variable Y 1 og Y 2 målelige hhv. med hesy til fremtide F X,t og fortide Ft X gælder E[Y 1 Y 2 σ(x t )] = E[Y 1 σ(x t )] E[Y 2 σ(x t )] P.o. Markov egeskabe ka formuleres på flere måder, som følgede resultat viser. Propositio 1.1. Lad (S,B) være et vilkårligt måleligt rum og T = Z + eller R +. Lad (X t ) t T have tilstadsrum S. Følgede udsag 1)-5) er da ækvivalete. 1) (X t ) t T er Markov. 2) For ethvert t og ehver begræset reel F X,t -målelig variabel Y gælder E[Y F X t ] = E[Y σ(x t )] P.o. (1.5) 6

9 3) For ethvert t og A F X,t gælder E[1 A F X t ] = E[1 A σ(x t )] P.o. 4) for alle t,s med s,t T og alle f bb er E[ f(x t+s ) F X t ] = E[ f(x t+s ) σ(x t )] P.o. 5) For alle t T og t 1,...,t T med t i t samt ehver begræset reel F X,t -målelig variabel Y er E[Y σ(x t1,...,x t,x t )] = E[Y σ(x t )] P.o. Atag yderligere, at T = Z +. Da er 1)-5) ækvivalete med 6)-8), hvor 6) For alle t T og f bb er E[ f(x t+1 ) F X t ] = E[ f(x t+1 ) σ(x t )] P.o. 7) For alle t T, t 1 <...t t og f bb er E[ f(x t+1 ) σ(x,x t1...,x t,x t )] = E[ f(x t+1 ) σ(x t )] P.o. 8) For alle t T, t 1 <...t t og A B er E[1 {Xt+1 A} σ(x,x t1...,x t,x t )] = E[1 {Xt+1 A} σ(x t )] P.o. Bevis. Lad os først vise at 1) og 2) er ækvivalete. Atag at (X t ) er e Markov proces som defieret ovefor, og lad t T og Y være e begræset F X,t -målelig variabel. For at vise 2) skal vi, pr. defiitio af betiget middelværdi, gøre rede for at Me for ethvert sådat A er E[E[Y σ(x t )],A] = E[Y,A] for alle A F X t. E[E[Y σ(x t )],A] = E[E[Y σ(x t )] 1 A ] = E [E [E [Y σ(x t )] 1 A σ(x t )]] = E[E[Y σ(x t )] E[1 A σ(x t )]] = E[E[Y 1 A σ(x t )]] = E[Y 1 A ] = E[Y,A]. Atag omvedt at 2) er opfyldt og lad Y 1 og Y 2 være reelle begræsede variable målelige med hesy til hhv. F X,t og Ft X. Da gælder P-.o. E [Y 1 Y 2 σ(x t )] = E [ E [ Y 1 Y 2 F X t ] σ(xt ) ] E[Y 2 E[Y 1 F X t ] σ(x t )] = E[Y 2 E[Y 1 σ(x t )] σ(x t )] = E[Y 1 σ(x t )] E[Y 2 σ(x t )], hvilket viser 1). Det er klart, at 2) medfører 3), 4) og 5). Omvedt følger 2) fra 3) eller 5) ved at avede det Mootoe Klasse Lemma, og 2) følger fra 4) ved brug af successiv betigig og det Mootoe Klasse Lemma. 7

10 Lad os øjes med at vise at 4) medfører 2). Atag altså at 4) er opfyldt. Vi viser først, ved iduktio i, at (1.5) gælder, år Y er på forme Y = f i (X t+si ) (1.6) i=1 hvor 1, s 1... s med s i T og f i : S R er begræset og målelig. For = 1 er dette ok pr. atagelse, så lad os atage at (1.5) gælder, år Y er forme (1.6) for et fast. For f +1 begræset og målelig samt s +1 > s har vi da [ ] E f +1 (X t+s+1 ) f i (X t+si ) F X i=1 [ =E E [ ] f +1 (X t+s+1 ) Ft+s X ] f i (X t+si ) Ft X i=1 [ =E E [ f +1 (X t+s+1 ) σ(x t+s ) ] ] f i (X t+si ) Ft X i=1 [ ] =E g(x t+s ) f i (X t+si ) F X i=1 hvor vi ved sidste lighedsteg udyttede at E[ f +1 (X t+s+1 ) σ(x t+s )] ka skrives som e fuktio, g, af X t+s. Desude udyttede vi regeregler for betigede middelværdier samt at 4) er opfyldt. Iduktiosatagelse viser u, at [ ] E f +1 (X t+s+1 ) f i (X t+si ) F X =E [ g(x t+s ) i=1 i=1 ] f i (X t+si ) σ(x t ) [ =E E [ f +1 (X t+s+1 ) σ(x t+s ) ] ] f i (X t+si ) σ(x t ) i=1 [ =E E [ ] f +1 (X t+s+1 ) Ft+s X ] f i (X t+si ) σ(x t ) i=1 [ ] =E f +1 (X t+s+1 ) f i (X t+si ) σ(x t ) i=1 som øsket. Lad u t med t T være fast. Lad R være klasse af stokastiske variable Y på forme (1.6) hvor 1, s 1... s med s i T og f i : S R er begræset og målelig. Bemærk at R er e multiplikativ klasse med σ(r) = F X,t. t t t 8

11 Lad H være mægde af F X,t -målelige begræsede stokastiske variable Y der opfylder (1.5). Idet vi har Mooto Koverges og liearitet af betigede middelværdier, opfylder H puktere (1) (3) i Appedix G. Dermed viser det Mootoe Klasse Lemma, at ehver F X,t -målelig begæset stokastisk variabel opfylder (1.5). Dette er det øskede resultat. Det overlades til læsere at overbevise sig om, at (6) (8) er ækvivalete med Markovegeskabe, år T = Z +. Vi skal i dette kursus bruge mege tid på at studere processer med uafhægige tilvækster, dels fordi de er vigtige i sig selv, og dels fordi de udgør et rigt eksempelmateriale for adre vigtige procestyper. Som et første eksempel herpå vises flg. sætig. Tidsparametermægde er ataget kotiuert, me resultatet gælder uædret i det diskrete tilfælde. Sætig Lad tilstadsrummet være S = R. Ehver proces (X t ) t med uafhægige tilvækster er e Markov proces. Hvis processe yderligere er reel (dvs. S = R) gælder følgede. 1) (X t m X (t)) t er e martigal, hvis (X t ) er itegrabel. 2) ((X t m X (t)) 2 σ 2 X (t)) t er e martigal, hvis (X t ) er kvadratisk itegrabel. 3) For alle a R er (exp(ax t )/E[exp(aX t )]) e martigal, hvis (exp(ax t )) er itegrabel. 4) For alle a R er (exp(aix t )/E[exp(aiX t )]) e martigal, hvis E[exp(aiX t )] for alle t R. 5) (X t /t) t> er e baglæs martigal, hvis X = og (X t ) er itegrabel og kotiuert i middel. Bevis. Vi viser først Markovegeskabe ved at eftervise 3) i Propositio 1.1. Me da F X,t = σ(x s X t,x t s > t) = σ(σ(x s X t s > t) σ(x t )) ka vi øjes med at se på A = A 1 A 2, hvor A 1 σ(x s X t s > t) og A 2 σ(x t ), da disse mægder tilsamme udgør et sitstabilt mægdesystem, som frembriger F X,t. Me for et sådat A er 1 A = 1 A1 1 A2, og uafhægighede af A 1 og Ft X viser at Dermed er E [1 A1 F X t ] = P(A 1 ) = E [1 A1 σ(x t )]. E [1 A1 1 A2 F X t ] = E [1 A1 F X t ] 1 A2 = E [1 A1 σ(x t )] 1 A2 = E [1 A1 1 A2 σ(x t )] som øsket. Lad os deræst vise martigalegeskab r. 1. Lad t < s være givet. Ved foryet brug af egeskaber ved betigede middelværdier fås E[X s F X t ] = E[X s X t + X t F X t ] = E[X s X t ]+X t = X t m X (t)+m X (s) 9

12 dvs. E[X s m X (s) F X t ] = X t m X (t), hvilket er det øskede. Martigalegeskab r. 2 vises tilsvarede, thi for t < s er E[(X s m X (s)) 2 F X t ] = E[(X s X t (m X (s) m X (t))+x t m X (t)) 2 F X t ] = E[((X s X t ) (m X (s) m X (t))) 2 ]+(X t m X (t)) 2 = Var(X s X t )+(X t m X (t)) 2. Samme med lighede Var(X s ) = Var(X t )+Var(X s X t ) viser dette egeskab r. 2. Lad deræst a betege et reelt tal, som opfylder betigelse i pukt 3. Ifølge Fubii s sætig er E[exp(aX s )] = E[exp(a(X s X t ))] E[exp(aX t )], for alle t < s, specielt er E[exp(a(X s X t ))] edelig. Me da der yderligere gælder E[exp(aX s ) F X t ] = E[exp(a(X s X t )) exp(ax t ) F X t ] = exp(ax t ) E[exp(a(X s X t )) F X t ] = exp(ax t ) E[exp(a(X s X t ))], er martigalegeskab r. 3 også vist. Beviset for pukt 4) går på æste samme måde blot er der her ige problemer med itegrabilitete, da alt er begræset. Detaljere overlades til læsere. Læg mærke til at der i dette tilfælde er tale om e kompleks martigal. Beviset for pukt 5) er derimod lidt aderledes. Lad < t < s være givet. Vi skal altså vise, at E[X t /t X s,x s1,...,x s ] = X s /s for alle s < s 1 < < s. Me da E[X t X s,x s1,...,x s ] = E[X t X s,x s1 X s,...,x s X s ] = E[X t X s ] ifølge de uafhægige tilvækster, magler vi ku at vise, at E[X t /t X s ] = X s /s eller ækvivalet E[X t X s ] = t/s X s. Kotiuitete i L 1 bevirker, at det er ok at vise dette for t = k s for 1 k. Me da Y i, = X is/ X (i 1)s/ er iid-variable for 1 i og X t = følger dette ved et velkedt symmetriargumet. k i=1 Y i, og X s = Y i, i=1 1

13 Korollar Lad (X t ) t betege e reel proces med uafhægige tilvækter, så at t X t er højrekotiuert i sadsylighed. Da gælder 1) t m X (t) er højrekotiuert, hvis (X t ) er itegrabel og sup{ E[X t ] t [,] Q} < for alle 1. 2) t m X (t) og t σ 2 X (t) er begge højrekotiuerte, hvis (X t) er kvadratisk itegrabel og sup{e[x 2 t ] t [,] Q} < for alle 1. 3) For givet a R er t E[exp(aX t )] højrekotiuert, hvis (exp(ax t )) er itegrabel og sup{e[exp(ax t )] t [,] Q} < for alle 1, Bevis. Følger umiddelbart af Sætig 1.11 og bemærkige sidst i Eksempel 1.5 på side 5. 11

14 2 Kolmogorov s Kosistessætig Lad S være et metrisk rum og T være e ikke-tom mægde. Betragt e stokastisk proces (X t ) t T med tilstadsrum S. For t 1,...,t T lad µ(t 1,...,t ) := P X. (t 1,...,t ) betege fordelige af vektore (X t1,...,x t ). Dermed er µ(t 1,...,t ) bestemt ved µ(t 1,...,t )(A 1 A ) = P(X 1 A 1,...,X t A ) for A 1,...,A B(S) (2.1) og {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T } er familie af edeligt dimesioale margiale fordeliger for (X t ) t T. Ligig (2.1) viser, at dee familie opfylder følgede kosistesbetigelser. Kolmogorov s kosistesbetigelser. For ethvert sæt t 1,...,t T og A 1,...,A B(S) samt ehver permutatio σ af mægde {1,...,} gælder I. µ(t 1,...,t )(A 1 A ) = µ(t σ(1),...,t σ() )(A σ(1) A σ() ) II. µ(t 1,...,t i,...,t )(A 1 A i 1 S A i+1 A ) = µ(t 1,...,t i 1,t i+1,...,t )(A 1 A i 1 A i+1 A ). Betigelse II ka også udtrykkes som egeskabe P X. (t 1,...,t i 1,t i+1,...,t ) = P X. (t 1,...,t ) p, 1 (i) 1, hvor p, 1 (i) er afbildige fra S S 1 bestemt ved (s 1,...,s ) (s 1,...,s i 1,s i+1...,s ), dvs. projektioe der sletter de i te koordiat. Hvis T er lieært ordet, som f.eks. Z + /Z eller R + /R, øjes ma som regel med at specificere µ(t 1,...,t ) for ethvert sæt t 1 < < t af voksede tidspukter, og i dee sammehæg er det derfor ku II i Kolmogorov s kosistesbetigelser, som er iteressat. Lad os u vede bøtte og betragte e familie {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T }, hvor µ(t 1,...,t ) er et sadsylighedsmål på (S,B(S) ). På uværede tidspukt atages ikke, at dee familie er frembragt af e proces som i (2.1). Vi siger, at familie er kosistet, hvis betigelsere I og II ovefor er opfyldt. Hvis T er e delmægde af R, specificerer vi som ævt ku {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T,t 1 < < t }, og siger, at familie er kosistet, hvis betigelse II er opfyldt. Det er u relevat at betragte følgede spørgsmål: Fides der et sadsylighedsfelt (Ω, F, P) og e derpå defieret stokastisk proces (X t ) t T med tidsparametermægde T og tilstadsrum S som opfylder (2.1) for alle t 1,...,t T? Vi har allerede set, at hvis spørgsmålet skal besvares postivt, må vi som miimum kræve, at familie er kosistet. Kolmogorov viste i 1933, at hvis blot S er polsk, er dee betigelse også tilstrækkelig. 12

15 Sætig 2.1. Kolmogorov s Kosistessætig Lad T betege e vilkårlig mægde, S være et polsk rum og lad {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T } være kosistet. Da fides der et sadsylighedsfelt (Ω,F,P) og e derpå defieret stokastisk proces (X t ) t T med tidsparametermægde T og tilstadsrum S, så at P(X t1 A 1,...,X t A ) = µ(t 1,...,t )(A 1 A ) (2.2) for alle t 1,...t T og A 1,...,A B(S). E proces (X t ) t T der opfylder (2.2) for alle t 1,...t T og A 1,...,A B(S) kaldes for e realisatio af {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T }. Hvis T er e delmægde at R, gælder et helt tilsvarede result for e kosistet familie {µ(t 1,...,t ) t 1,...,t T,t 1 < < t }. Sætige udtrykker altså, at så sart vi har defieret et sæt af edeligt dimesioale margiale fordeliger, som ikke ideholder åbebare selvmodsigelser, dvs. er kosistet, så fides der e tilhørede realisatio. Eksistes af processer med e give fordelig er altså ækvivalet med eksistes af et relevat kosistet sæt af edeligt dimesioale fordeliger. Vi vil ikke her gå id i beviset for Kolmogorov s Kosistessætig, me blot æve at det er ok at vise følgede tilsyeladede simplerere udsag (se otere til Målteori for et bevis) For ethvert polsk rum S og ethvert sæt {µ 1}, hvor µ er et sadsylighedsmål på (S,B(S )), så at µ +1 (A S) = µ (A) A B(S ) 1, fides der et sadsylighedsmål P på (S,B(S) ), så at µ = P p 1 for 1, hvor p : S S er givet ved p ((x i ) i 1 ) = (x 1,...,x ) (x i ) i 1 S. Som e vigtig avedelse vil vi se på eksistese af processer med statioære og uafhægige tilvækster. Defiitio 2.2. Lad µ og ν være sadsylighedsmål på (R,B(R)). Foldige af µ og ν er da sadsylighedsmålet ν µ på (R, B(R)) defieret ved (ν µ)(b) := µ(b x)ν(dx), B B(R). Fra et sadsylighedsteoretisk syspukt svarer e foldig til e sum af uafhægige stokastiske variable: Lad X have fordelig ν og µ have fordelig µ; det vil sige P(X A) = ν(a) for A B(R), med e tilsvarede defiitio for Y. Atag at X og Y er uafhægige. Da har X +Y fordelig ν µ; det vil sige P(X +Y B) = (ν µ)(b) for ethvert B B(R). 13

16 Eksempel 2.3. Lad (X t ) t være e reel proces med uafhægige statioære tilvækster og lad os atage X =. Lad ν t være fordelige af X t for ethvert t; det vil sige ν t (A) = P(X t A) for A B(R). Lad os se på familie (ν t ) t. For det første har jo ataget X =, så derfor er ν = δ, hvor δ er puktmålet i. For det adet har vi, at der for alle t,s gælder ν t+s = ν t ν s. (2.3) Det vil sige folder ma ν t og ν s, så fås ν t+s. Lad os vise dette. Bemærk at X t+s = X t + (X t+s X t ) hvor de to stokastiske variable X t og X t+s X t er uafhægige og heholdsvis har fordelig ν t og ν s. Dermed har vi altså, at X t+s har fordelig ν t ν s. Me pr. defiitio har X t+s også fordelig ν t+s, hvilket giver (2.3). Lad os herefter bestemme de edeligt dimesioale margiale fordeliger af (X t ) t. Lad t 1 < < t. Da X t1,x t2 X t1,...,x t X t 1 er uafhægige med X t1 ν t1 og X ti X ti 1 X ti t i 1 ν ti t i 1 for i = 2,...,, ses at (X t1,x t2 X t1,...,x t X t 1 ) har fordelig Defier afbildige T : R R ved og bemærk at ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1. T (x 1,...,x ) = (x 1,x 1 + x 2,...,x 1 + +x ) (X t1,...,x t ) = T ((X t1,x t2 X t1,...,x t X t 1 )). Det følger derfor, at (X t1,...,x t ) har fordelig ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 T 1. Eksempel 2.3 motiverer følgede. Defiitio 2.4. Et sæt af sadsylighedsmål (ν t ) t på (R,B(R)) kaldes e foldigssemigruppe, hvis der gælder a) ν = δ (puktmålet i ). b) ν t+s = ν t ν s for alle t,s, E foldigssemigruppe (ν t ) t siges edvidere at være regulær, hvis ν t kovergerer svagt (i fordelig) mod ν for t gåede mod. Eksempel 2.5. Hvis ν t = po(λt) eller ν t = N(µt,σ 2 t) for t, så er (ν t ) e regulær foldigssemigruppe. Der er e tæt sammehæg mellem foldigssemigrupper og processer med statioære uafhægige tilvækster, som følgede resultat viser. 14

17 Sætig ) Lad (X t ) t være e reel stokastisk proces med uafhægige statioære tilvækster og defier ν t = P Xt X. Det vil sige ν t er fordelige af X t X for t. Da er (ν t ) t e foldigssemigruppe. Edvidere er (ν t ) t regulær hvis og ku hvis (X t ) t er kotiuert i sadsylighed. 2) Lad (ν t ) t betege e give foldigssemigruppe. Da fides e reel proces (X t ) t med uafhægige statioære tilvækster, som opfylder at X t har fordelig ν t for ethvert t. Bevis. 1) er stort set vist i eksemplet ovefor; de resterede dele vises i e opgave. 2) Atag at (ν t ) t er e give foldigssemigruppe. Defier for ethvert sæt af tidspukter t 1 < < t i R + µ(t 1,...,t ) := ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 T 1, hvor T er de lieære afbildig i R bestemt ved med ivers U givet ved T (x 1,...,x ) = (x 1,x 1 + x 2,,x 1 + +x ) U (x 1,...,x ) = (x 1,x 2 x 1,...,x x 1 ). Sammelig med Eksempel 2.3. Vi vil vise, at {µ(t 1,...,t ) t 1 < < t } (2.4) udgør et kosistet sæt af edeligt dimesioale margiale mål. Kolmogorov s kosistessætig viser da, at der fides e tilhørede realisatio (X t ) t. Deræst viser vi, at (X t ) t har uafhægige tilvækster og opfylder X =.s. og X t+s X s ν t for alle s,t, (2.5) hvilket betyder, at (X t ) t har de øskede egeskaber. Bevis for at (2.4) er kosistet: Vi skal vise, at for ethvert givet sæt af tidspukter t 1 < < t og ethvert 1 i er µ(t 1,...,t ) p, 1 (i) 1 = µ(t 1,...,t i 1,t i+1,...,t ), hvor p, 1 (i) er afbildige fra R ed på R 1, som dropper de i te koordiat ud. Eller ækvivalet at ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 (p, 1 (i) T ) 1 = ν t1 ν t2 t 1 ν ti 1 t i 2 ν ti+1 t i 1 ν t t 1 T 1 1. Me da U 1 er e bijektio på R 1, er dette ækvivalet med at vise, at ν t1 ν t2 t 1 ν ti 1 t i 2 ν ti+1 t i 1 ν t t 1 (2.6) =ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 (U 1 p, 1 (i) T ) 1. 15

18 Udytter vi u at (U 1 p, 1 (i) T )(x 1,...,x ) = (x 1,...,x i 1,x i + x i+1,x i+2,...,x ) for (x 1,...,x ) R ses, at (2.6) er e kosekves af lighede ν ti+1 t i 1 = ν ti t i 1 ν ti+1 t i. Ifølge Kolmogorov s Kosistessætig fides der derfor e realisatio (X t ) t af familie {µ(t 1,...,t ) t 1 < < t }. Bevis for at (X t ) t har uafhægige tilvækster og opfylder (2.5): Bemærk at for ethvert sæt af tidspukter t 1 < < t er (X t1,x t2 X t1,...,x t X t 1 ) = U (X t1,...,x t ) og dermed har vi P (Xt1,X t2 X t1,...,x t X t 1 ) = µ(t 1,...,t ) U 1 som øsket. = ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 (U T ) 1,= ν t1 ν t2 t 1 ν t t 1 Ehver foldigssemigruppe bestemmer altså e reel stokastisk proces med uafhægige statioære tilvækster, som er i. Vi skal seere ærmere studere de to tilfælde, hvor (ν t ) t er givet ved ete 1) ν t = po(λt) for et λ > eller 2) ν t = N(,σ 2 t) for et σ 2 >, idet 1) leder frem til de såkaldte Poisso proces med itesitet λ og 2) til e stadard Wieer proces med parameter σ 2. Bemærk at de to foldigssemigrupper begge er regulære. 16

19 3 Modifikatio og Uskelelighed I overesstemmelse med det traditioelle sy på sadsylighedsteoretiske objekter er det aturligt at tro, at processer med samme fordelig er lige gode modeller for et givet system. Dette er også rigtigt, hvis tidsparametermægde er edelig eller højst tællelig, thi da vil ethvert udtryk formuleret ved hjælp af é give proces opføre sig som det tilsvarede udtryk formuleret ved hjælp af e versio, dvs. de vil være hædelser på samme tid, og de vil i givet fald have samme sadsylighed. Lad os f.eks. atage at (X t ) t T og (X t ) t T er reelle versioer med tællelig tidsparametermægde. Da er for ethvert c R begge hædelser og {sup t T X t > c} og {sup t T X t > c} P(sup t T X t > c) = P (supx t > c). t T Me hvis T er overtællelig, er tigee mere komplicerede. Atag f.eks. at T = R +, og lad (X t ) t R+ og (X t ) t R + være to ækvivalete modeller for prisudviklige på e aktie. Et oplagt iteressat spørgsmål er her: Hvad er sadsylighede for, at prise ogeside kommer over c-kroer? I modellere er det et spørgsmål om sadsylighede af mægdere {supx t > c} og {supx t > c}. t T t T Her ka der u opstå flere forskellige problemer. Da R + ikke er tællelig, er de to mægder ikke ødvedigvis målelige og ka som såda måske slet ikke tillægges oge sadsylighed, og selv om de ka, behøver sadsylighedere ikke være es. Lad os illustrere dette ved et simpelt eksempel. Eksempel 3.1. Lad (Ω,F,P) være sadsylighedsfeltet ((, ),B((, )),e t dt). Defier herpå tre reelle processer (X t ), (Y t ) og (Z t ) alle med tidsparametermægde R + ved fastsættelse X t (ω) =, Y t (ω) = 1 {t} (ω) og Z t (ω) = 1Ñ(t,ω) for alle t og ω. Her er Ñ := {(x,y) x = y N} for e ikke-borel mægde N (, ). Det ses let, at processere er versioer, for der gælder edog P(X t = Y t = Z t ) = 1 for alle t. Me ikke desto midre er de ret så forskellige. F.eks. har (X t ) lutter kotiuerte udfaldsfuktioer, medes ehver udfaldsfuktio hørede til de to øvrige er diskotiuert i midst et pukt. Betragt edvidere mægdere A X = {sup t X t > 1/2}, A Y = {sup t Y t > 1/2} og A Z = {supz t > 1/2} t Simple overvejelser viser, at A X = /, A Y = Ω og A Z = N, dvs. de to første er målelige, me har forskellig sadsylighed, hvorimod de sidste ed ikke er målelig. 17

20 Versioer og edog modifikatioer (se edefor) ka derfor ikke ødvedigvs opfattes som lige gode modeller, så hvilke er da at foretrække, hvis ma ka vælge mellem forskellige versioer? Set ud fra et modelbygigssyspukt er svaret klart. Ma tager selvfølgelig de model, hvori flest hædelser defieret ved hjælp af processe ka tillægges e sadsylighed, som er etydigt bestemt ved fordelige. Dette betyder, at ma vælger de model, der har de pæeste udfaldsfuktioer, ud fra de kedsgerig, at hvis f.eks. alle udfaldsfuktioer er højrekotiuerte / vestrekotiuerte, så er processe fuldkomme bestemt ved tælleligt mage tidsvariable, og sadsyligheder for hædelser udtrykt ved e såda tællelig familie af variable er klart etydigt bestemt ved processes fordelig. Lad os f.eks. betragte e reel proces (X t ) t med lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer. Da er V X := {ω t X t (ω) voksede} og C X := {ω t X t (ω) kotiuert} givet ved formlere V X = {X s X t } og C X = { X s X t 1/k}. s>t,s,t Q + m 1 k 1 1 s t 1,s,t [,m] Q Heraf ses, at V X og C X er hædelser, og deres sadsyligheder afhæger ku af fordelige. Tilsvarede er for ethvert c R {sup t X t > c} = { sup r, r Q X r > c} dvs. ige e hædelse med e sadsylighed, der ku afhæger af fordelige. Dette giver derfor aledig til flg. teoretiske spørgsmål. Givet et kosistet sæt af edelig dimesioale mål, hvor pæ, mht. regularitet af udfaldsfuktioere, e realisatio fides der da? Spørgsmålet er klart ku relevat i forbidelse med tidsparametermægder, som er udstyret med et ikke trivielt afstadsbegreb som f.eks. R + /R. Me ide vi ser ærmere på dette problemkompleks, idføres to forfiiger af versiosbegrebet. I modsætig til versiosbegrebet har de to ye begreber ku meig for processer, som er defieret på samme sadsylighedsfelt. Defiitio 3.2. Lad (S,B) være et måleligt rum. Lad (X t ) t T og (Y t ) t T betege processer defieret på et sadsylighedsfelt (Ω, F, P) med tidsparametermægde T og tilstadsrum S. (X t ) t T og (Y t ) t T siges da at være modifikatioer, hvis P(X t = Y t ) = 1 for alle t T, og de siges at være uskelelige, hvis der fides et N F med P(N) =, så at X t (ω) = Y t (ω) for alle t T og alle ω N c. 18

21 Da stokastiske variable og vektorer, som er es.o., har samme fordelig, er modifikatioer specielt versioer, hvorimod det modsatte ikke er sadt. Ligeledes er uskelelighed geerelt fiere ed modifikatio, dvs. alt i alt sammehæge uskelelighed modifikatio versio. Som eksemplet ovefor viser, ka selv modifikatioer have helt forskellige udfaldsfuktioer, hvorimod uskelelige processer på ær e ulmægde har idetiske udfaldsfuktioer. Forskelle mellem begrebere modifikatio og uskelelighed som ku kommer frem, hvis T er overtællelig, skyldes, at skøt N t = {X t Y t } er e ulmægde for ethvert t, så behøver t N t ikke at være e ulmægde. Det gælder som bekedt, hvis T er tællelig, og i diskret tid er modifikatio og uskelelighed derfor det samme begreb. Eksemplet ovefor viser imidlertid, at i kotiuert tid er dette ikke altid tilfældet. Lad os u argumetere for, at hvis vi er i kotiuert tid (T = R eller T = R + ), så er processer, der har lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer, modifikatioer hvis og ku hvis de er uskelelige. Lad derfor S være et metrisk rum og (X t ) t T og (Y t ) t T være processer med lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer. Da er { t : X t Y t } = { t Q + : X t Y t }; Hvis (X t ) og (Y t ) er modifikatioer, er hædelse på højre side e ulmægde; det vil sige at vestre side ligeledes har sadsylighed, og derfor er (X t ) og (Y t ) også uskelelige. Mere geerelt har vi, at hvis æste alle udfaldsfuktioer for (X t ) t T og (Y t ) t T er højrekotiuerte, så fides e ulmægde N således at { t : X t Y t } N { t Q + : X t Y t }; og derfor ser vi, at også i dette tilfælde er (X t ) t T og (Y t ) t T uskelelige hvis og ku hvis de er modifikatioer. Alt i alt har vi vist første del af følgede resultat. Propositio 3.3. Lad T = R eller T = R +. Lad S være et metrisk rum. 1) Hvis (X t ) t T og (Y t ) t T har udfaldsfuktioer, der æste alle er højrekotiuerte, så er disse processer uskelelige hvis og ku hvis de er modifikatioer. 2) Hvis (X t ) t T og (Y t ) t T har udfaldsfuktioer, der æste alle er vestrekotiuerte, så er disse processer uskelelige hvis og ku hvis de er modifikatioer. Dette resultat er yderligere med til at uderstrege øsket om at arbejde med pæe realisatioer. Spørgsmålet om eksistes af pæe realisatioer af et givet kosistet sæt af edeligt dimesioale mål er et både stort og vaskeligt eme, og vi vil her øjes med at æve tre vigtige resultater. Som formulerige viser, er der tale om eksistes af modifikatioer og ikke blot versioer, dvs. e give proces med de relevate edeligt dimesioale fordeliger ka modificeres på det samme sadsylighedsfelt, så at de modificerede proces udelukkede har udfaldsfuktioer af de øskede art. De to første resultater vil ikke 19

22 blive bevist her, hvorimod vi seere skal give et udførligt bevis for de sidste sætig. Udsagee omhadler processer med tidsparametermægde R + og tilstadsrum R. Me det er værd at bemærke, at der, hvad agår de to første, gælder tilsvarede resultater i et geerelt polsk rum S, blot skal udskiftes med d(, ), hvor d er e fuldstædig og separabel metrik på S, som frembriger topologie. Lad (X t ) t være e proces med tidsparametermægde T = R +. Vi siger at e udfaldsfuktio t X t (ω) er cadlag (e forkortelse af det fraske Cotiue A Droite, Limite A Gauche ), hvis de er højrekotiuert med græseværdier fra vestre; det vil sige at hvis t og t t, så gælder X t (ω) X t (ω), og hvis t > og t er midre ed t med t t, så gælder at limx t (ω) eksisterer i R. I givet fald lader vi X t (ω) := lim t t,t <t X t (ω) og X t (ω) := X t (ω) X t (ω) for t >. Kolmogorov s Modifikatiossætig. E stokastisk proces (X t ) har e modifikatio med lutter kotiuerte udfaldsfuktioer, hvis der eksisterer positive kostater α,β,γ og C, så at E[ X t X s α ] C t s 1+β for alle t,s R + med t s γ. Chetsov s Modifikatiossætig. E stokastisk proces (X t ), som er højrekotiuert i sadsylighed, har e cadlag modifikatio, dvs. e modifikatio hvor alle udfaldsfuktioer er cadlag, hvis der eksisterer positive kostater α,β,γ og C, så at for alle t 1 < t 2 < t 3 t 1 + γ. E[ X t1 X t2 α X t2 X t3 α ] C t 3 t 1 1+β Martigalmodifikatiossætige. Ehver martigal (X t ), som er højrekotiuert i sadsylighed, har e cadlag modifikatio. Et bevis fides i Appediks D. De basale defiitio på e stokastisk proces sikrer, at tilstade til et vilkårligt fast tidspukt er e målelig variabel. Derimod giver de ige garati for målelighed af tilstade til tid τ, dvs. afbildige X τ : ω X τ(ω) (ω) hvor τ : Ω T. Problemet er ige størst, år T er overtællelig. For er T e højst tællelig tidsparametermægde, så er X τ (F,B(S))-målelig for ehver fuktio τ : Ω T, som opfylder {τ = t} F for alle t i T. Bemærk emlig at X τ = X t 1 {τ=t} t T og år T er højst tællelig, er dee sum målelig. Me dette løser ikke problemet i kotiuert tid, så vi vil derfor idføre et yt begreb. Atag derfor at tidsparametermægde T er udstyret med e σ-algebra B(T). I de vigtige tilfælde R + /R vil B(T) være Borel σ-algebrae. 2

23 Defiitio 3.4. Lad S være et metrisk rum. E proces (X t ) t T med tidsparametermægde T og tilstadsrum S siges at være målelig, hvis (t,ω) X t (ω) er e (B(T) F,B(S))-målelig afbildig fra T Ω id i S. Da simulta målelighed som bekedt medfører separat målelighed, ses, at hvis (X t ) t T er e målelig proces, er t X t (ω) er (B(T),B(S))-målelig for alle ω, dvs. målelige processer har målelige udfaldsfuktioer. Yderligere viser sammesætige ω (τ(ω),ω) X τ(ω) (ω), at for e målelig proces (X t ) t T er X τ målelig for ehver afbildig τ : Ω T, som er (F, B(T))-målelig. Dvs. målelige processer ka meigsfyldt studeres til målelige tidspukter. Alle processer med diskret tid er målelige, hvorimod dette ikke er automatisk i kotiuert tid. Me vi u skal se, at processer med pæe udfaldsfuktioer er målelige. Propositio 3.5. Lad (X t ) t være e reel proces der ete har lutter højrekotiuerte eller vestrekotiuerte udfaldsfuktioer. Så er (X t ) t målelig. Bevis. Lad (X t ) t betege e reel proces med lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer. Defier for ethvert, i 1 og ethvert ω Ω Da X t (ω) := X i/2 (ω) hvis (i 1)/2 t < i/2. {(t,ω) Xt (ω) B} = [(i 1)/2,i/2 [ {X i/2 B} for B B(R) i=1 ses, at (X t ) ere alle er målelige processer, og da højrekotiuitete edvidere sikrer, at lim X t (ω) = X t (ω) for alle (t,ω) R + Ω, følger påstade umiddelbart, da målelighed bevares uder puktvis koverges. Det vestrekotiuerte tilfælde klares aalogt. 21

24 4 Filtre og Stoptider I dette afsit er tidsparametermægde T altid Z + eller R +, og (Ω,F,P) beteger et givet sadsylighedsfelt. Som tidligere ævt, har det i dee situatio meig at tale om fortid, utid og fremtid, idet vi forestiller os T repræseterede de fremadskridede tid. I forlægelse heraf idføres e model for iformatiosmægde, der er til stede til tid t, dvs. opsamlet i tide op til og med t. Som det er sædvae i sadsylighedsteori modelleres e såda iformatiosmægde ved e σ-algebra F t. Til ethvert tidspukt t har vi derfor e del σ-algebra F t i F, og da iformatiosmægde vokser med tide, er det aturligt at forlage, at F t F s for vilkårlige tidspukter t < s i T. Dette formaliseres i begrebet et filter, idet e parametriseret familie (F t ) t T af del σ- algebraer i F kaldes et filter, hvis F t F s for alle t < s i T og i dee forbidelse kaldes (Ω,F,(F t ) t T,P) et filtreret sadsylighedsfelt. Tolkede F t som iformatiosmægde til tid t bliver ( ) F := σ F t aturligt ok e model for de totale iformatio. Iformatiosmægder ka være større og midre, og yderpuktere svarede til ige cotra fuld iformatio til ethvert tidspukt t modelleres ved filtree 1) F t = {/,Ω} for alle t, 2) F t = F for alle t. Vi har allerede mødt filtre i form af det såkaldte aturlige filter (F X t ) t T hørede til e proces (X t ) t T defieret på (Ω,F,P), hvor F X t = σ(x s s t) for alle t T. Kombiatioe af udtrykket tilstade til tid t og iformatiosmægde til stede til tid t leder aturligt til, at vi siger, at e proces (X t ) t T med tilstadsrum S (hvor (S,B) er et måleligt rum) er adapteret (tilpasset) til et filter (F t ) t T, hvis X t er (F t,b)-målelig for alle t T. Bemærk at dette ækvivalet ka beskrives ved iklusioe F X t F t for alle t. Det aturlige filter er derfor det midste filter, hvortil e proces ka være adapteret. I tilfældet med kotiuert tid viser det sig at være iteressat, om et givet filter (F t ) opfylder lighede F t = F t+ for alle t, hvor F t+ := s>t F s for t. t 22

25 Filtret siges i givet fald at være højrekotiuert. Det ses let, at (F t+ ) er det midste højrekotiuerte filter, som ideholder (F t ), idet (F t+ ) er et højrekotiuert filter, og det er midre ed ethvert adet højrekotiuert filter, der ideholder (F t ). Advarsel: Det aturlige filter hørede til e proces med lutter højrekotiuerte eller edog kotiuerte udfaldsfuktioer er ikke ødvedigvis højrekotiuert. Læsere bør overveje, hvad højrekotiuitet af filtret siger om iformatiosmægde. Som bekedt giver et filter aledig til et tilhørede stoptidsbegreb. Me ide vi omtaler dette, idføres e otatio, som trækker e forbidelse mellem filtre og det give sadsylighedsmål. Lad hertil N betege de målelige P-ulmægder, dvs. N = {A F P(A) = }. Et filter (F t ) t T siges da at være P-komplet, hvis N F t for alle t eller ækvivalet N F. Et givet filter (F t ) t T er ofte ikke komplet, me daes et yt filter (F t ) t T ved fastsættelse F t = σ(f t N ) for t, ses umiddelbart, at dette er komplet og edog det midste komplette filter ideholdede (F t ). (F t ) t T kaldes det kompletterede filter hørede til (F t ) t T. E simpel øvelse viser, at kompletterig bevarer højrekotiuitet. Det ka edvidere vises, at i mage iteressate sammehæge er det kompletterede filter højrekotiuert, selvom det opridelige ikke er. Da stoptidsbegrebet i diskret tid er velkedt, vil vi i det følgede udelukkede se på kotiuert tid, dvs. T = R +. Læsere opfordres dog til selv at oversætte og gebevise de relevate resultater i diskret tid. Lad derfor (F t ) t betege et givet filter i (Ω,F,P). Defiitio 4.1. E stokastisk variabel τ : Ω R + { } kaldes e stoptid mht.(f t ) t, hvis {τ t} F t for alle t, og til e stoptid τ tilordes stoptids σ-algebrae F τ := {B F B {τ t} F t for alle t }. τ : Ω R + { } kaldes e udvidet stoptid mht.(f t ) t, hvis {τ < t} F t for alle t, og til e udvidet stoptid τ tilordes σ-algebrae F τ+ := {B F B {τ < t} F t for alle t }. 23

26 Bemærk at τ er e udvidet stoptid mht.(f t ) t, hvis og ku hvis τ er e stoptid mht. (F t+ ) t, samt at F τ+ etop er stoptids σ-algebrae hørede til τ opfattet som stoptid mht. (F t+ ) t. Heraf følger, at hvis τ er e stoptid mht. (F t+ ) t, så er τ e udvidet stoptid mht. (F t ) t. Øvelse 4.2. Eftervis at F τ og F τ+ vitterlig er del σ-algebraer i F og at F τ F τ+ for ehver stoptid τ. Ide vi giver eksempler på stoptider, opsummeres e række vigtige egeskaber ved disse samt de tilhørede σ-algebraer. Resultatere er alle forholdsvis umiddelbare kosekveser af defiitioe. Da det overalt drejer sig om stoptider mht. det samme filter, udertrykkes dette i otatioe. Propositio 4.3. Vi har følgede resultater. 1) Mægde af stoptider (hhv. udvidede stoptider) er stabil uder additio, edelig max og mi samt tællelig sup-daelse. Mægde af udvidede stoptider er edvidere stabil uder tællelig if-daelse, hvorimod et tælleligt ifimum af stoptider geerelt ku er e udvidet stoptid. 2) Ehver kostat variabel, dvs. τ t for et t R +, er e stoptid og F τ = F t og F τ+ = F t+. 3) For ethvert par af stoptider τ 1 og τ 2 er {τ 1 τ 2 }, {τ 1 < τ 2 }, {τ 1 = τ 2 } F τ1 F τ2 = F τ1 τ 2. Dvs.F τ1 F τ2, hvis τ 1 τ 2 puktvis, og τ er målelig mht.f τ for ehver stoptid τ. Påstade 3) gælder ligeledes for udvidede stoptider. 4) For ehver udvidet stoptid τ er F τ+ = σ( F (τ )+ ), og F τ+ = F τ +, hvis τ og τ ere er udvidede stoptider, så at τ τ puktvis. Bevis. De første tre påstade vises i e opgave. Da første halvdel af påstad 4 ikke er helt oplagt gives et bevis her. Lad for e give udvidet stoptid τ A betege σ-algebrae σ( F (τ )+ ). Da τ τ for alle er iklusioe A F τ+ oplagt. Lad derfor B F τ+ være givet og betragt opsplitige Lighedere B = [B {τ = }] [B {τ < }]. 1) B {τ < } {τ < t} = B {τ < t} for t < ; 2) B {τ < } {τ < t} = B {τ < } for t ; 24

27 viser, at B {τ < } F (τ )+ A for alle og dermed B {τ < } A. Specielt er {τ = } = {τ < } c A, og H := {B F B {τ = } A } udgør derfor e del σ-algebra i F. Vi ka u afslutte beviset ved at argumetere for at H F. Pr. defiitio af F er det ok at vise, at H ideholder F for ethvert 1. Me for B F viser lighedere 3) B {τ k} {τ k < t} = / for t k; 4) B {τ k} {τ k < t} = B\(B {τ < k}) for t > k; at Da følger det øskede. B {τ k} F (τ k)+ A for k. B {τ = } = B {τ k} k= Til e give udvidet stoptid τ defieres for ethvert e afbildig τ ved fastsættelse τ := k/2 på {(k 1)/2 τ < k/2 } og τ := på {τ = }. τ ere er da stoptider og for alle 1 er τ < τ +1 τ τ + 1/2 på {τ < }, dvs. specielt kovergerer τ τ puktvis. Det er edvidere værd at bemærke, at samt at A {τ = k/2 } F k/2 for k, 1, A F τ+ ; F τ+ = F τ og F τ = {B F B {τ = k/2 } F k/2 k 1} for alle. Vi kalder (τ ) for de diskrete approximatio af τ. Stoptids σ-algebraere F τ og F τ+ omtales ofte som iformatiosmægde, der er til stede til tid τ, og de ævte egeskaber viser, at de har meget til fælles med de give F t og F t+. Me hvad med tilstade til tid τ for e (F t )-adapteret proces (X t ) er de F τ /F τ+ målelig? Ige er situatioe simpel, hvis tide er diskret eller mere geerelt, hvis τ ku atager tællelig mage værdier, thi her gælder ude videre, at hvis (X t ) er (F t )-adapteret, så er målelig mht.f τ, dvs. specielt er ω X τ(ω) (ω) defieret på {τ < } 25

28 X τ målelig mht.f τ for ehver edelig stoptid τ. I kotiuert tid er situatioe som forvetet mere kompliceret, me edeståede giver e yttig ødvedig og tilstrækkelig betigelse for, at X τ er F τ -målelig på hædelse {τ < }. Lemma 4.4. Lad (S,B) være et måleligt rum og være (Ω,F,(F t ) t,p) et filtret sadsylighedsfelt. Lad (X t ) t betege e (F t ) t -adapteret proces med tilstadsrum S og τ være e vilkårlig (F t )-stoptid. Da er X τ F τ -målelig på {τ < } hvis og ku hvis der for ethvert t gælder, at X τ t er F t -målelig. Bevis. Pr. defiitio af F τ har vi, at X τ er F τ -målelig på {τ < } hvis og ku hvis der for ethvert B B og t gælder {X τ B} {τ t} F t. (4.1) Me bemærk at Edvidere er {X τ B} {τ t} = {X τ t B} {τ t}. (4.2) {X τ t B} {τ > t} = {X t B} {τ > t} F t. Idet der gælder {X τ t B} = [ {X τ t B} {τ > t} ] [ {X τ t B} {τ t} ], ser vi, at højre side af (4.2) tilhører F t hvis og ku hvis {X τ t B} F t. Det vil sige (4.1) er opfyldt for ethvert B B hvis og ku hvis X τ t er F t -målelig. Defiitio 4.5. Lad S være et metrisk rum. E stokastisk proces (X t ) t med tilstadsrum S defieret på et filtreret sadsylighedsfelt (Ω,F,(F t ) t,p) siges at være progressiv målelig mht.(f t ) t, hvis for alle t i R + (s,ω) X s (ω) er målelig mht.(b([,t]) F t,b(s)) som afbildig fra [,t] Ω id i S. Som det æste resultat viser, løser progressiv målelighed geerelt problemet vedrørede målelighed af tilstade til e stoptid. Sætig 4.6. Lad S være metrisk. Lad T være R + og lad (X t ) t betege e stokastisk proces med tilstadsrum S defieret på (Ω,F,(F t ) t,p). Da gælder 1) Hvis (X t ) t er progressiv målelig mht.(f t ) t, er X τ F τ -målelig på {τ < } for ehver stoptid τ; specielt er (X t ) (F t ) t -adapteret. 2) Processe (X t ) t er progressiv målelig mht.(f t ), hvis (X t ) t er (F t ) t -adapteret og har lutter højrekotiuerte / vestrekotiuerte udfaldsfuktioer. 26

29 Bevis. 1) Lad τ og (X t ) være givet. I følge oveståede lemma gælder det om at vise, at X τ t er F t -målelig for alle t. Me da τ t er F t -målelig, følger dette umiddelbart af de progressive målelighed ved at betragte sammesætige ω (τ(ω) t,ω) X τ(ω) t (ω). 2) Lad os af otatiosmæssige grude atage at processe er reel, dvs. S = R. Højrekotiuitete sikrer, at for givet t kovergerer X s (ω) := 1 {} (s) X (ω)+ for ethvert pukt (s, ω) [,t] Ω; og da 1 ]( j 1)t/, jt/] (s) X jt/ (ω) X s (ω) j=1 (s,ω) X s (ω) tydeligvis er målelig mht.(b([,t]) F t,b(s)) for ethvert 1, følger påstade af de puktvise koverges. Det vestrekotiuerte tilfælde klares aalogt. Vi får specielt i teorie om martigaler brug for at have variable X τ defieret for alle ω selv for ikke edelige stoptider τ. Dette ka selvfølgelig gøres på mage måder, me da vi ku får brug for dette i forbidelse med med reelle processer vælges flg. kovetio. For ehver reel proces (X t ) t og ehver ikke-egativ variabel τ med værdier i de udvidede reelle tal defieres X τ (ω) := lim X τ (ω) hvis dee eksisterer i R og X τ (ω) := ellers. Specielt har X τ værdie X τ(ω) (ω) på mægde {τ < }, dvs. der er tale om e udvidelse af de tidligere idførte defiitio. Edvidere ses umiddelbart at X τ er F τ -målelig for ehver stoptid τ og ehver reel (F t )-progressiv målelig proces (X t ) t. 27

30 5 Hittig Times De såkaldte Hittig Times udgør lagt de vigtigste eksempler på stoptider. Lad stadig T være ete Z + eller R + og lad (X t ) betege e stokastisk proces med tid T og tilstadsrum S (der er et metrisk rum), defieret på et filtreret sadsylighedsfelt (Ω,F,(F t ),P). For ethvert B S idføres otatioe T B := if{t > X t B} hvor if(/) =, T B kaldes første Hittig Time til mægde B for processe (X t ) t T. Flg. resultater er vigtige. Propositio 5.1. Der gælder følgede. 1) T B T A hvis A B. 2) T A B = T A T B og T A = if T A. 3) X TA A på {T A < }, hvis alle udfaldsfuktioer er højrekotiuerte. 4) T A = s+t s A på {T A > s}, hvor for ethvert s T s A := if{t > X s+t A}. 5) Lad (X t ) og (Y t ) betege to versioer med tilstadsrum R, som begge har lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer. For ehver åbe mægde U R gælder da T U (X) T U (Y) og X TU (X) 1 {TU (X)< } Y TU (Y) 1 {TU (Y)< }, hvor T U (X) og T U (Y) beteger første Hittig Time til U for hhv.(x t ) og (Y t ). Bevis. Vi viser ku 5). Defier for ethvert 1 T U(X) := if{k/2 > X k/2 U} og tilsvarede TU (Y). Bemærk at de idførte variable er aftagede i. Umiddelbar avedelse af defiitioe viser, at P(T U (X) = k/2 ) = P(X 1/2 / U,,X (k 1)/2 / U,X k/2 U) = P(Y 1/2 / U,,Y (k 1)/2 / U,Y k/2 U) = P(T U (Y) = k/2 ) for alle k, dvs. TU (X) og T U (Y) har samme fordelig for ethvert. Heraf følger påstade vedrørede T U (X) og T U (Y), thi højrekotiuitete og det faktum, at U er åbe, bevirker, at TU (X) T U(X) og TU (Y) T U(Y) puktvis, og dee kovergesform implicerer som bekedt koverges i fordelig. Argumetet vedrørede det adet par går på samme måde. 28

31 Bemærkig 5.2. a) I 5) ka ma ved et tilsvarede argumet vise, at (X t TU (X)) og (Y t TU (Y)) er versioer. b) Er tidsparametermægde diskret, gælder 3) ude ekstra atagelser med A i stedet for A. Hvorår er Hittig Times stoptider? Hvis tide er diskret og B B(S), er der ige problemer, thi da er T B e stoptid mht. til ethvert filter, hvortil (X t ) er adapteret, specielt det aturlige. Me ige er situatioe vaskeligere i kotiuert tid, og vi øjes her med flg. resultat. Sætig 5.3. Lad T være R +, S være metrisk, og lad (X t ) t betege e (F t ) t -adapteret stokastisk proces med tid T og tilstadsrum S defieret på (Ω,F,(F t ) t,p). Da gælder 1) Hvis (X t ) t har lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer, er T U e udvidet (F t ) t - stoptid for ehver åbe mægde U. 2) Hvis (X t ) t har lutter kotiuerte udfaldsfuktioer og F e lukket mægde, er T F e (F t ) t -stoptid, hvis {T F = } F. Bevis. For ehver åbe mægde U og ethvert t gælder ifølge højrekotiuitete, at {T U < t} = <r<t, r Q {X r U}, hvilket viser 1). Lad deræst F betege e vilkårlig lukket mægde. Da atagelsere sikrer, at {T F } = {T F = } F, drejer det sig om at vise, at {T F t} F t for ethvert t >. Lad et sådat t være givet. Defier U := {x S d(x,f) < 1/} for 1, hvor d er e kompatibel metrik på S. Der gælder u, at F U +1 U for alle og F = U =. 1 1U Da F er lukket og alle udfaldsfuktioer højrekotiuerte, er {T F t} = k 1{ s [1/k,t] X s F}, og da de edvidere er kotiuerte, og U ere er åbe, har vi for ethvert k, at { s [1/k,t] X s F} = {X s U }, 1 s [ 1 k,t] Q hvoraf det øskede umiddelbart følger. 29

32 6 Lévy Processer Som et led i kostruktioe af Poisso og Wieer processe vil vi i dette afsit ved hjælp af martigalmodifikatiossætige gøre rede for, at ehver proces med uafhægige statioære tilvækster, som er kotiuert i sadsylighed, har e cadlag modifikatio. Udsaget er aturligvis ku iteressat for processer med kotiuert tid. I dee sammehæg idføres følgede. Defiitio 6.1. E stokastisk proces (X t ) t med tilstadsrum R kaldes e Lévy proces, hvis de har uafhægige statioære tilvækster og alle des udfaldsfuktioer er cadlag. Bemærkig 6.2. I Opgave 1 viser vi, at e proces med statioære uafhægige tilvækster er højrekotiuert i sadsylighed hvis og ku hvis de er kotiuert i sadsylighed. E Lévy proces er derfor kotiuert i sadsylighed. Dette betyder imidlertid ikke, at e såda proces har kotiuerte udfaldsfuktioer; se f.eks. Poisso processe seere. I øvrigt ser vi også fra Sætig 2.6, at højrekotiuitete i sadsylighed svarer til regularitet af de tilhørede foldigssemigruppe. Det æste resultat gælder også for flerdimesioale processer, me vi øjes her med at se på det reelle tilfælde. Sætig 6.3. Lad (X t ) t betege e reel proces med uafhægige statioære tilvækster. (X t ) t har da e Lévy modifikatio, hvis de er højrekotiuert i sadsylighed. Bevis. Vi viser, at (X t ) t har e modifikatio ( X t ) t som er cadlag. Da egeskabe statioære og uafhægige tilvækster bevares uder modifikatio, følger heraf, at ( X t ) t er e Lévy proces. Beviset vil derfor være afsluttet. Beviset for eksistese af ( X t ) t bygger på martigalmodifikatiossætige, me for ikke at skulle arbejde med komplekse martigaler vil vi yderligere atage, at (X t ) er e itegrabel proces. Lad m X (t) := E[X(t)]. Ifølge Sætig 1.11 er (M t ) t := (X t m X (t)) t derfor e martigal. I lemmaet edefor viser vi, at t m X (t) er cadlag, og altså specielt højrekotiuert. Heraf følger, at (M t ) t er højrekotiuert i sadsylighed, og martigalmodifikatiossætige sikrer derfor, at (M t ) t har e cadlag modifikatio ( M t ) t. Dermed er ( X t ) t := (M t + m X (t)) t e cadlag modifikatio af (X t ) t. Lemma 6.4. Lad (X t ) t betege e reel itegrabel proces med kotiuert tid og uafhægige statioære tilvækster. Hvis processe er højrekotiuert i sadsylighed er middelværdifuktioe m X på forme t m 1 + m 2 t, hvor m 1 = E[X ] og m 2 = E[X 1 X ]. Bevis. Statioaritete af tilvækstere viser, at for alle t,s er m X (t + s) = E[X t+s X s ]+E[X s ] = E[X t X ]+E[X s ] = m X (t) m X ()+m X (s). D.v.s. ϕ(t) := m X (t) m X () opfylder fuktioalligige ϕ(s+t) = ϕ(s)+ϕ(t), ϕ() = 3

33 på [, ), og ifølge Appediks A er ϕ(t) derfor lig t ϕ(1) for alle t Q. Specielt gælder derfor, at sup{ E[X t ] t [,] Q} < for alle 1, og ifølge Korollar 1.12 er t ϕ(t) derfor højrekotiuert. Resultatet følger u umiddelbart af Appediks A. Ide vi fortsætter formuleres to variater af Lemma 6.4. Lemma 6.5. Lad (X t ) t betege e reel kvadratisk itegrabel proces med kotiuert tid og uafhægige statioære tilvækster. Variasfuktioe σ 2 X er da på forme t σ 1+σ 2 t, hvor σ 1 = Var(X ) og σ 2 = Var(X 1 X ). Bevis. Da X er uafhægig af alle variable af forme X t X, og (X t X ) t er kvadratisk itegrabel med uafhægige statioære tilvækster, ka og vil vi atage, at X =.s. Simpel udyttelse af de uafhægige statioære tilvækster viser, at ϕ(t) = σx 2 (t) er e voksede løsig til fuktioalligige ϕ(s+t) = ϕ(s)+ϕ(t), ϕ() = på [, ). Ifølge Appediks A er de derfor lieær, hvilket etop er det øskede resultat. Lemma 6.6. Lad (X t ) t betege e reel Lévy proces. For ethvert reelt tal a, hvorom det gælder, at processe (exp(ax t )) er itegrabel, er E[exp(aX t ))] = c a exp(tψ a ) for t, hvor c a = E[exp(aX ))] og ψ a = loge[exp(a(x 1 X ))]. Bevis. De uafhægige statioære tilvækster viser samme med Fubii s sætig, at vi ude tab af geeralitet ka atage, at X =.s. Simpel teori om middelværdie af et produkt af uafhægige variable viser deræst, da X =.s., at fuktioe ϕ(t) := E[exp(aX t ))] opfylder fuktioalligige ϕ(s+t) = ϕ(s) ϕ(t), ϕ() = 1 på [, ). Da udfaldsfuktioere er højrekotiuerte og ekspoetialfuktioe kotiuert og ikke-egativ, fås af Fatou s lemma, at ϕ er edre halvkotiuert fra højre i ethvert pukt t, og som vist i Appediks A betyder dette, at logϕ er lieær, hvilket etop er det øskede. Bemærkig 6.7. Der gælder et resultat aalogt til Lemma 6.6 for de karakteristiske fuktio. Vi skal i dette kursus ikke studere geerelle Lévy processer, me vi vil dog formulere flg. almee resultat, som viser, at de tidligere omtalte uafhægighed mellem fortide og fremtidige tilvækster set ud fra e kostat utid geeraliserer til situatioe, hvor utide er e stoptid. Resultatet, der er uhyre vigtigt, lyder som følger. 31

34 Sætig 6.8. Lad (X t ) t betege e reel Lévy proces og lad τ betege e edelig udvidet (Ft X )-stoptid. Da er Fτ+ X og σ(x τ+t X τ t ) uafhægige, og processe (Xt τ ) := (X τ+t X τ ) t er e versio af (X t X ) t. Bevis. Da τ +t for ethvert t ige er e edelig udvidet (F X t ) t -stoptid, viser et iduktiosargumet, at det er ok at vise, at for ethvert t er F X τ+ og X τ+t X τ uafhægige og X τ+t X τ X t X. (6.1) Lad t og A Fτ+ X være givet. Ifølge Opgave 6 er det, for at vise (6.1), ok at overbevise sig om at der gælder E[exp(ia(X τ+t X τ )),A] = E[exp(ia(X t X ))] P(A) (6.2) for ethvert a R. Lad (τ ) betege de diskrete approksimatio til τ, se side 25, og a R. Ved brug af højrekotiuitete af (X t ) t fås For ethvert 1 er E[exp(ia(X τ+t X τ )),A] = lim E[exp(ia(X τ +t X τ )),A]. (6.3) E[exp(ia(X τ +t X τ )),A] = E[exp(ia(X k/2 +t X k/2 )),{τ = k/2 } A] k=1 og da {τ = k/2 } A F X k/2 for alle k ifølge egeskaber ved de diskrete approksimatio, fås af egeskabe b) side 6 at E[exp(ia(X τ +t X τ )),A] = E[exp(ia(X t X ))] Idet τ er edelig gælder så derfor er k=1 P({τ = k/2 } A). P({τ = k/2 } A) = P([ k=1 {τ = k/2 }] A) = P(A), k=1 E[exp(ia(X τ +t X τ )),A] = E[exp(ia(X t X ))] P(A). Ved at avede (6.3) følger (6.2). Resultatet gælder uædret for flerdimesioale processer, og ligeledes ka atagelse om edelighed af τ udværes, hvis P erstattes af P( τ < ). Som e typisk avedelse af Sætig 6.8 vises, at ehver Lévy proces med uiformt begræsede sprig har mometer af ehver orde. 32

35 Sætig 6.9. Lad (X t ) t betege e reel Lévy proces, som er i.o. og har begræsede sprig, dvs. der fides et c > så at P( t > X t > c) = hvor X t := X t X t, Da har X t og edog sup s t X s mometer af ehver orde for alle t. Bevis. Lad t være givet. Det er ok at vise påstade for M t = sup X s. s t Defier successiv stoptider (τ ) i hht.: τ : og for 1 τ := τ 1 + if{t (,1] X τ 1 +t X τ 1 > 1} hvor if(/) sættes lig 1. Læsere opfordres til at overbevise sig om, at der herved er defieret e følge af udvidede stoptider mht. til det aturlige filter. Ifølge Sætig 6.8 er τ τ 1 ere uafhægige, og ved brug af et tidligere resultat om Hittig Times til åbe mægder for versioer (Proposito 5.1) ses, at de også er idetisk fordelte. Da sprigstørrelse er ataget begræset af c, er X τ X τ 1 c+1.o. for alle og udyttes dette tillige med Markov s ulighed fås for ethvert k 1, at P(M t > k(1+c)) P(τ k t) = P( E[exp( k i=1 k i=1 (τ i τ i 1 ) t) (τ i τ i 1 ))] exp(t) a k e t, hvor a = E[exp( (τ 1 τ ))] < 1. Me dette viser, at M t har mometer af ehver orde og edog et ekspoetielt momet. Lad mig slutte kapitlet med at idføre e otatio, som specielt er yttig, hvis ma på samme tid arbejder med flere processer defieret på et filtreret rum (Ω,F,(F t ),P). Defiitio 6.1. E reel eller flerdimesioal stokastisk proces (X t ) t defieret på (Ω,F,P) kaldes e Lévy proces mht. filtret (F t ) t, hvis a) (X t ) t er (F t )-adapteret og har lutter cadlag udfaldsfuktioer. b) F t og σ({x s X t t s}) er uafhægige for alle t. Da Ft X F t for alle t for ehver (F t )-adapteret proces (X t ), er det klart, at ehver (F t )-Lévy proces er e Lévy proces i de forstad, vi tidligere har idført. Me som allerede atydet, er det i visse situatioer aturligt, at arbejde med filtre, der er større ed det aturlige filtre, bladt adet hvis ma opererer med flere processer ad gage. 33

36 7 Wieer processe Vi skal i dette afsit og Afsit 9 idføre og studere Wieer processe. Defiitio 7.1. Lad σ 2 > være givet. 1) E reel Lévy proces (W t ) t kaldes e Wieer proces med parameter σ 2, hvis a) W =.s. og W s W t N(,σ 2 (s t)) for alle t s. b) (W t ) har lutter kotiuerte udfaldsfuktioer. 2) E reel proces (X t ) t kaldes e Wieer proces med drift µ R og parameter σ 2 >, hvis (X t µt) t er e Wieer proces med parameter σ 2. Bemærk at da e Lévy proces har statioære tilvækster, er a) ækvivalet med atagelse a ) W =.s. og W t N(,σ 2 t) for t >. Lad os først vise at Wieer processe eksisterer. Da foldigssemigruppe(n(,σ 2 t)) t er regulær, fides der, som vist i Sætig 2.6 og Sætig 6.3, e Lévy proces, der opfylder a). For at vise eksistese er det derfor ok at vise, at dee proces har e modifikatio, som opfylder b). Lad (X t ) t betege e reel Lévy proces hørede til foldigssemigruppe(n(,σ 2 t)) t og lad C X være som defieret side 18. Da (W t ) := (X t 1 CX ) har lutter kotiuerte udfaldsfuktioer, er det ok at vise, at P(C X ) = 1, thi i givet fald er (W t ) t e modifikatio af (X t ) t. Da Lévy processe (X t ) t har lutter cadlag udfaldsfuktioer, er CX c = { t > X t X t } = { t (,m] X t X t > 1/k}, m 1 og for ethvert m og k er k 1 { t (,m] X t X t > 1/k} m2 { X i/2 X (i 1)/2 > 1/k}. p 1 =p i=1 For at vise P(C X ) = 1 eller ækvivalet P(CX c ) =, er det derfor tilstrækkeligt at vise, at for alle p, hvilket er opfyldt, hvis m2 P( { X i/2 X (i 1)/2 > 1/k}) = =p i=1 m2 lim P( i=1 { X i/2 X (i 1)/2 > 1/k}) er lig. Me ifølge subadditivitete, Markov s ulighed og de statioære tilvækster er dee græseværdi for ethvert midre ed m 2 E[ X 1/2 4 ] k 4. 34

37 Græseværdie er derfor lig, da fjerde mometet i e N(,σ 2 /2 ) -fordelig er proportioal med σ 4 /2 2. Dette afslutter beviset for eksistese af Wieer processe. Sætig 7.2. Wieer processe med drift er de eeste ikke-trivieelle reelle Lévy proces, som er i.s. og har kotiuerte udfaldsfuktioer. Bevis. Lad (X t ) være e ikke-triviel reel Lévy proces, som er i.s. og har kotiuerte udfaldsfuktioer. Ifølge Sætig 6.9 har X t og M t := sup X s s t mometer af ehver orde for alle t, og m X ( ) og σ X ( ) er begge lieære. Ved overgag til (X t m X (t)) og passede ormerig ka vi derfor atage, at E[X t ] og Var(X t ) = t t. Vi skal derfor ku vise, at X t N(,t) for t >. Betragt hertil for givet t > det uafhægige trekatsskema {Y k 1 k } hvor Y k = X kt/ X (k 1)t/. Da E[Y k ] = for alle 1 k og s 2 := k=1var(y k ) = t for 1 er k=1 (Y k E[Y k ]) s = X t t for alle 1. Dvs. hvis trekatsskemaet opfylder e Lyapouov betigelse, vil Lyapouov s Sætig give det øskede resultat. Me da s 2 t ses ved brug af de statioære tilvækster, at Lyapouov betigelse er opfyldt for α = 4, hvis vi ka vise Idfør for givet s > otatioe E[X 4 s ] 3s2 for s. X(s,k,) = X ks/ X (k 1)s/ for 1 k. Da tilvækstere er uafhægige og cetrerede fås ved simple regerier, at E[X 4 s ] = E[ = E[ k=1 k=1 X(s,k,) 4 ]+ E[ X(s,k,) 2 X(s,l,) 2 ] k l X(s,k,) 4 ]+ 3( 1) s 2 for 1. 35

38 Dvs. tallee E[ k=1 er begræsede, da E[( k=1 X(s,k,) 4 ] 1 og derfor også E[( X(s,k,) 2 ) 2 ] E[ E[ k=1 k=1 k=1 X(s,k,) 2 ) 2 ] 1 X(s,k,) 4 ]+3 E[ X(s,k,) 2 X(s,l,) 2 ] k l X(s,k,) 4 ( 1) ]+ 2 s 2 E[ Me ifølge Cauchy-Schwarz s ulighed er E[ k=1 for alle 1, og da k=1 X(s,k,) 4 ] E[sup X(s,k,) 2 k E[sup X(s,k,) 4 ] k E[ ( k=1 X(s,k,) 4 ]+s 2. X(s,k,) 2 ] k=1 X(s,k,) 2 ) 2 ] sup k X(s,k,) 4 P-.o. og sup X(s,k,) Ms 4 k P-.o. pr. kotiuitet fås af Lebesgue s Sætig, at lim E[sup k X(s,k,) 4 ] = og dermed lim E[ k=1 X(s,k,) 4 ] =. Idsættes dette i formle for E[X 4 s ] ses, at dee er midre ed 3s2, ja der gælder faktisk lighedsteg. Sætige er hermed vist. 36

39 8 Poisso processe Defiitio 8.1. Lad λ > være givet. E reel Lévy proces (P t ) t kaldes e Poisso proces med parameter λ, hvis a) P =.s. og P s P t po(λ(s t)) for alle t s. b) (P t ) har lutter ikke-aftagede udfaldsfuktioer, som ku atager ikke-egative heltallige værdier. Bemærk at da e Lévy proces har statioære tilvækster, er a) ækvivalet med atagelse a ) P =.s. og P t po(λt) for t >. Lad os også her vise, at Poisso processe eksisterer. Da foldigssemigruppe(po(λt)) t er regulær, fides der, som vist i Sætig 2.6 og Sætig 6.3, e Lévy proces (X t ) t, der opfylder a). Da egeskabe a) bevares uder modifikatio, er det, for at vise eksistese, ok at vise, at (X t ) t har e modifikatio, som opfylder b). Lad V X være defieret som på side 18. Poissofordelige er kocetreret på de ikkeegative tal, og derfor er P(X s X t ) = P(X s X t ) = 1 for alle t s. Dette betyder specielt, at P(V X ) = 1. Lad også A := {X t Z + for alle t Q + }. Da poissofordelige er kocetreret på de ikke-egative hele tal, har vi ligeledes at P(A) = 1. Højrekotiuitete af (X t ) t sikrer, at A = {X t Z + for alle t }. Bemærk at der for ethvert ω A V X gælder at t X t (ω) er e ikke-aftagede udfaldsfuktio, som ku atager ikke-egative heltallige værdier. Dermed opfylder processe (P t ) t := (X t 1 A VX ) t kravet i b), og da P(A V X ) = 1, er (P t ) t e modifikatio af (X t ) t. Lad os deræst vise, at Poisso fordelige har sprig af størrelse +1, samt at dee egeskab karakteriserer Poisso processe ide for klasse af Lévy processer. Sætig 8.2. Lad (P t ) t betege e Poisso proces med parameter λ >, da er hvor P t := P t P t for t >. Bevis. Det er ok at vise, at P( t > : P t / {,1}) =, P( t (,] P t / {,1}) = for alle 1. Lad derfor være givet. Da udfaldsfuktioere pr. defiitio er ikkeaftagede med værdier i Z +, er der ku sprig af heltallig størrelse, dvs. P t ( P t ) 2 for alle t, og edvidere giver højrekotiuitete, at der puktvist gælder, at k lim k i=1 (P i/k P (i 1)/k ) 2 = 37 <s ( P s ) 2.

40 Ifølge Fatou s lemma gælder derfor E[ ( P s ) 2 ] limif <s k k i=1 Me da P = <s P s P-.o., følger derfor, at og dermed Hvilket viser de øskede påstad. (λ 1/k+(λ 1/k) 2 ) = λ = E[P ]. E[ ( P s ) 2 ] = E[ P s ] <s <s ( ) P (( P s ) 2 P s ) = <s = 1. Sætig 8.3. Lad (N t ) t betege e Lévy proces der opfylder at N =, at alle udfaldsfuktioer er ikke-aftagede og tager værdier i Z + samt at P( t > : N t / {,1}) =. De sidste betigelse siger altså, at sprigee i (N t ) t er af størrelse 1. Da gælder ete N t = æste sikkert for ethvert t eller også er (N t ) t e Poisso proces. Bevis. Da (N t ) t har udfaldsfuktioer der er voksede og tilvækstere i (N t ) t er uafhægige og statioære, gælder for alle s,t at P(N t+s = ) = P(N t+s =, N t = ) = P(N t+s N t =,N t = ) = P(N t = ) P(N s = ). (8.1) Edvidere har vi, idet (N t ) t er heltallig og har højrekotiuerte udfaldsfuktioer, at t P(N t = ) er højrekotiuert. Da P(N = ) = 1, viser Appedix A at der fides et λ så at P(N t = ) = e λt for ethvert t. (8.2) Vi ser, at i tilfældet λ = er P(N t = ) = 1 for ethvert t. Lad os derfor atage at λ > og vise, at (N t ) t er e Poisso proces med parameter λ. Pr. atagelse er (N t ) t e Lévy proces der opfylder b) side 37, så vi skal overbevise os om at a) også er opfyldt. Me da betigelsere a) og a ) side 37 er ækvivalete, er det ifølge a ) ok at vise, at der gælder N t po(λt) for ethvert t >. Lad derfor t >. For ethvert er N t = = i=1 i=1 (N it/ N (i 1)t/ ) = 1 {Nit/ N (i 1)t/ >} + i=1 i=1 (N it/ N (i 1)t/ )1 {Nit/ N (i 1)t/ >} (N it/ N (i 1)t/ 1) 1 {Nit/ N (i 1)t/ 2}. 38

41 De sidste sum kovergerer mod pr. atagelse, så derfor er N t = lim i=11 {Nit/ N (i 1)t/ >} P-.o. (8.3) Ifølge (8.2) er 1 {Nit/ N (i 1)t/ >} bi(1,1 e λt/ ), hvilket medfører i=1 1 {Nit/ N (i 1)t/ >} bi(,1 e λt/ ). Læsere bedes overveje at bi(,1 e λt/ )-fordelige kovergerer svagt mod po(λt)- fordelige. (Vis f.eks. at sadsylighedsfuktioe kovergerer puktvis). Af (8.3) følger derfor at N t po(λt). Lad os u studere fordelige af vetetidere mellem sprigee i e Poisso proces. Lad (P t ) t betege e Poisso proces med parameter λ > med tilhørede aturlige filter (F P t ) t. Defier variable (D ) ved følgede: D og D := if{t > P t } for 1, dvs. D D 1 D 2 D puktvis. Da Poisso processe, som vist ovefor,.s. ku har sprig af størrelse 1, er P D = P-.o. for alle 1, og påær på e ulmægde gælder derfor ligeledes beskrivelse D = if{t > D 1 P t > } for 1. Det vil sige, at D agiver tidspuktet for te sprig i Processe, og D ere kaldes derfor også de successive sprigpukter. Da {D t} = {P t } for alle og t, er D ere stoptider mht.(ft P ). I e opgave viser vi, at vetetidere mellem sprigee er uafhægige og ekspoetialfordelte med middelværdi 1 λ. Helt præcist idfører vi vetetide W melle ( 1)te og te sprig; det vil sige W := D D 1 for = 1,2,.... Resultatet er da følgede: Sætig 8.4. Lad (P t ) t betege e Poisso proces med parameter λ > med tilhørede sprigpukter (D ) og vetetider W = D D 1 for 1. De stokastiske variable W 1,W 2,... er da uafhægige og idetisk fordelte med fælles fordelig E(λ). Da D = W 1 + +W for 1 har vi derfor specielt at D Γ(,λ). Korollar 8.5. Lad (P t ) t og (D ) være som i sætige. For ethvert er fordelige for (D 1,D 2,...,D ) absolut kotiuert med tæthed hvor = {u R < u 1 < < u }. u λ e λu 1 (u), 39

42 Bevis. For givet er fordelige for (D 1,D 2 D 1,...,D D 1 ) ifølge Sætig 8.4 absolut kotiuert med tæthed Da hvor med determiat 1 og ivers u i=1 λ 1 (, ) (u i ) e λu i. (D 1,D 2,...,D ) = T (D 1,D 2 D 1,...,D D 1 ), T (x) := (x 1,x 1 + x 2,,x 1 + +x ) for x R U (x) := (x 1,x 2 x 1,,x x 1 ) for x R, følger derfor af de lieære trasformatiossætig, at fordelige for (D 1,D 2,...,D ) er absolut kotiuert med tæthed u λ 1 (, ) (u 1 ) e λu 1 i=2 som ved omskrivig ses at være det øskede resutat. λ 1 (, ) (u i u i 1 ) e λ(u i u i 1 ), Korollar 8.6. Lad (P t ) t og (D ) være som i sætige. For ethvert 1 og t > er fordelige for (D 1,,D 2,...,D ) givet {P t = } absolut kotiuert med tæthed hvor t = {u R < u 1 < < u < t}. Bevis. Lad og t være givet. Da u!/t 1 t (u), P( < D 1 < < D ) = 1 og {P t = } = {D t} {D +1 > t}, er P( < D 1 < < D t P t = ) = 1. E simpel overvejelse viser derfor, at det er ok at vise, at 1 P(D 1 t 1,...,D t P t = ) =...!/t 1 t (u)du du 1 for alle t 1 t t. Lad et sådat sæt af t i er være givet. Ifølge det oveståede er P({D 1 t 1,...,D t } {P t = }) lig P(D 1 t 1,...,D t ) P(D 1 t 1,...,D t,d +1 t), hvoraf følger ved brug af Sætig 8.4, at P({D 1 t 1,...,D t } {P t = }) = 4

43 = u 1 λ e λu du du 1 Ved divisio med fås derfor u 1 λ e λt du du 1 = P(P t = ) = (λt)! P(D 1 t 1,,D t P t = ) = 1 λ +1 e λu +1 du +1 du 1 u... λ e λt 1 t (u)du du 1. e λt,...!/t 1 t (u)du du 1. Korollar 8.6 viser, at de betigede fordelig for (D 1,...,D ) givet {P t = } præcis er fordelige for vektore beståede af de ordesvariable hørede til et sæt Y 1,...,Y af uafhægige stokastiske variable alle uiformt fordelt over itervallet (,t). Dee bemærkig ka ofte udyttes i bevis - og beregigssammehæge. 41

44 9 Wieerprocesse - vigtige egeskaber Vi har i Afsit 7 defieret og eftervist eksistese af e stadard Wieer proces med parameter σ 2, dvs. e Lévy proces, som er i, med lutter kotiuerte udfaldsfuktioer hvis tilvækster over tidsitervaller af lægde l er ormalt fordelt med middelværdi og varias σ 2 l. Idet der iøvrigt hevises til de geerelle afsit om Lévy processer, skal vi her kort æve ogle egeskaber, der er specifikke for Wieerprocesse. Vi starter med et par fordeligsresultater. Sætig 9.1. Lad (W t ) t betege e stadard Wieer proces med parameter σ 2. Flg. betigelser er da opfyldte. a) Skalerigsegeskab. For a > er ( a W t/a ) t e stadard Wieer proces med parameter σ 2. b) Tidsiversio. Processe ( W t ) t defieret ved W = og W t = t W 1/t for t > har samme fordelig som e Wieer proces med parameter σ 2, og des udfaldsfuktioer er P-.a. kotiuerte. Bevis. Lad a > være givet. Processe ( a W t/a ) t har tydeligvis udfaldsfuktioer af de rigtige type, og ifølge velkedte egeskaber ved ormal fordelige er processe gaussisk med middelværdifuktio, vi magler derfor ku at vise, at de har de rette covariasstruktur, dvs. vise at E[ a W t/a a W s/a ] = σ 2 t s for alle t,s. Me dette følger ligeledes af egeskaber ved ormal fordelige. Beviset for pukt b) forløber ogelude tilsvarede. Først bemærkes at ( W t ) t er e gaussisk proces med samme middelværdi - og covariasfuktio som e Wieer proces med parameter σ 2, hvilket viser versiosegeskabe. Videre ses ud fra defiitioe, at udfaldsfuktioer alle er kotiuerte på det åbe iterval (, ). D.v.s. kotiuitet er et spørgsmål om opførsel i puktet. Vi magler derfor blot at vise, at sup W s P-.o. for. s 1/ Da variablee er aftagede, er det ok at vise koverges i sadsylighed. Me dette følger af de viste versiosegeskab, thi for alle ε > og alle 1 er P( sup W s > ε) = P( sup W s > ε) = P( sup W s > ε), <s 1/ <s 1/, s Q <s 1/, s Q og dee sadsylighed går imod for, da Wieer processe er kotiuert. Tidsiversios resultatet viser, at resultater vist om Wieer processe s opførsel for t, ka oversættes til udsag om des opførsel år t og omvedt. Som et simpelt eksempel herpå har vi P(limW t = ) = P(lim t t W t = ) = P(lim t W 1/t /t = ) = P(lim t 1/t W t = ), 42

45 dvs., da P(lim t W t = ) = 1, at der gælder flg. procesudgave af de store tals stærke lov lim W t/t = P-.o., t Vi vil deræst vede os mod udfaldsfuktioere, thi godt ok ved vi, at de alle er kotiuerte, me der ka siges meget mere. Vi øjes dog her med edeståede resultat. E fuktio g : R R siges at være at begræset variatio over et iterval [,t], hvis der gælder at { } sup g(t i ) g(t i 1 ) = t < t 1 <... < t = t og 1 <. i=1 Hvis g er af begræset variatio over et vilkårligt iterval [,t], siges g at være af begræset variatio. E fuktio der ete er ikke-aftagede eller kotiuert differetiabel, er af begræset variatio. Ma ka yderligere vise, at e cadlag fuktio g : R + R er af begræset variatio hvis og ku hvis der fides to ikke-aftagede højrekotiuerte fuktioer g 1,g 2 : R + R så at g(t) = g 1 (t) g 2 (t) for ethvert t. Sætig 9.2. Lad (W t ) t betege e stadard Wieer proces med parameter σ 2. Da gælder for P-.a. ω a) t W t (ω) er itetsteds differetiabel, b) t W t (ω) er af ubegræset variatio over ethvert edeligt iterval. c) For alle t > er lim 2 i=1 (W ti/2 W t(i 1)/2 )2 = σ 2 t P-.o. og i L 2. Bevis. Pukt a) vises i e opgave. Lad os vise c). Lad t > være givet. Ved brug af de uafhægige statioære tilvækster samt mometformler for ormalfordelige ses, at der fides e kostat r, så at E[ ( 2 2 (W it/2 W (i 1)t/2 ) 2 σ t) 2 ] r 1/2 for alle 1. i=1 Heraf fås c) ved hjælp af Borel-Catelli lemmaet. Samme med kotiuitete viser c), at vi for ethvert t > har sup 2 i=1 W it/2 W (i 1)t/2 = P-.o. thi sup i W it/2 W (i 1)t/2 puktvis for ifølge kotiuitete og 2 i=1 (W it/2 W (i 1)t/2 ) 2 2 i=1 W it/2 W (i 1)t/2 sup W it/2 W (i 1)t/2. i Næste alle udfaldsfuktioer er derfor af ubegræset variatio på [,t]. Udyttes dette på processe (W s t ) t, som for ethvert s ige er e Wieer proces, sluttes, at for ethvert 43

46 iterval (a, b) har.a. udfaldsfuktioer ubegræset variatio på (a, b). Ved u at tage foreigsmægde over alle ulmægdere svarede til itervaller med ratioale edepukter, ses at for P-.a. ω er t X t (ω) af ubegræset variatio over ethvert edeligt iterval. Sætige er hermed vist. Hvis tide tillod det, ville det have været på si plads at udersøge kotiuitetsegeskabere ærmere. Jeg tæker her på Love om de Itererede Logaritme samt sætiger agåede de præcise Hölder Kotiuitet af udfaldsfuktioere. Dette udlades dog, og vi vil i stedet diskutere optioalitet af stoptider i forbidelse med de tilkyttede fudametale martigaler, dvs. (W t ) t, (W 2 t σ 2 t) t og (exp(aw t 1/2 (σa) 2 t)) t for a >. Kotiuitete sikrer, at de alle martigaler mht. filtret (F W t+) t. Vi øjes med flg. simple, me ofte avedelige kriterium. For simpelheds skyld sættes σ 2 = 1, me der gælder tilsvarede resultater for ethvert σ 2. Sætig 9.3. Ehver udvidet (F W t+)-stoptid T med edelig middelværdi er optioal for (W t ) t og (W 2 t t) t. Resultatet er i e vis forstad optimalt for martigale (W 2 t t) t, hvorimod det relevate itegrabilitets krav for (W t ) t er E[ T ] <. Bevis. Betragt martigale (W T t ) t. Ifølge Sætig E.1 side 32 er E[WT 2 t T t ] = og dermed E[W T 2 t ] = E[T t ] E[T ] <. Ifølge Doob s ulighed er sup t WT 2 t derfor itegrabel, hvilket viser, at T er optioal mht.(w t ) t. Me da WT 2 T supwt 2 t + T t for alle, er T også optioal for (W 2 t t) t. Korollar 9.4. Lad T være som i sætige. Da er W T og W 2 T E[W T ] = og E[WT 2 ] = E[T ]. Defier for < a < < b < og µ R variable T a,b (µ) = if{t > µt +W t [a,b] c }. Husk på at if(/) =. Hvis µ = skrives kort T a,b. itegrable og Teorie om Hittig times viser, at T a,b (µ) ere er stoptider mht.(f W t+ ) t, og set i lyset af oveståede sætig er flg. resultat iteressat. Lemma 9.5. For alle valg af a,b og µ har T a,b (µ) mometer af ehver orde. 44

47 Bevis. Lad a,b og µ være givet. Vi skal vise, at For ethvert er hvor k P(T a,b (µ) > ) < for k 1. =1 P(T a,b (µ) > ) P( {µi+w i [a,b]}) i= P( {µ +W i W i 1 [a b,b a]}) = r, i=1 r = P(µ +W 1 [a b,b+a]) < 1. P(T a,b (µ) > ) kovergerer med adre ord ekspoetielt hurtigt mod, hvilket viser det øskede. Med baggrud i disse resultater ka vi u udlede ogle eksplicitte fordeligsresultater vedrørede Wieerprocesse (W t ) t. Husk på at vi har ataget σ 2 = 1. Betragt først µ =. Ifølge det oveståede er P(T a,b < ) = 1 for ethvert valg af parametre a < < b og dermed ifølge kotiuitete samt Sætig 9.3 P(W Ta,b = a)+p(w Ta,b = b) = 1 samt E[W Ta,b ] = og E[W 2 T a,b ] = E[T a,b ]. Ved simpel udregig fås derfor flg. idetiteter P(W Ta,b = a) = b b a, P(W T a,b = b) = a b a og E[T a,b] = b ( a). Atag deræst at µ er forskellig fra. Situatioe er her lidt mere kompliceret, idet vi får brug for e martigal af ekspoetiel type, ærmere bestemt processe (e 2µ W t 1/2( 2µ) 2t ) t = (e 2 µ (W t+µt) ) t. Da sup s Ta,b (µ) exp( 2µ(W s + µs)) exp(2 µ (b a)) fås ifølge Optioal Samplig, Sætig E.4 side 88, at E[e 2µ (W T a,b (µ)+µt a,b (µ)) ] = 1, hvilket ved beregiger af samme type som ovefor viser, at og P(W Ta,b (µ) + µt a,b (µ) = a) = r a r b a 1 r b a P(W Ta,b (µ) + µt a,b (µ) = b) = 1 r a 1 r b a, 45

48 hvor r = e 2 µ. Tillige fås, da E[W Ta,b (µ)] = og dermed µ E[T a,b (µ)] = E[W Ta,b (µ) + µt a,b (µ)], at E[T a,b (µ)] = (b a)(1 r a ) µ (1 r b a ) + a/µ. Vi vil deræst studere de såkaldte esidige passage tider, dvs. T a (µ) defieret ved T a (µ) = if{t > µt +W t > a} hvis a >, µ R og T a (µ) = if{t > µt +W t < a} hvis a <, µ R. Da udfaldsfuktioere er kotiuerte og dermed begræsede på begræsede itervaller, kovergerer T (µ) ere puktvis mod for ethvert µ. D.v.s. for alle a > har vi P(T a (µ) < ) = lim P(T a (µ) < T (µ)) = lim P(W T,a (µ) + µt,a (µ) = a), og dermed ifølge oveståede formler P(T a (µ) < ) = 1 hvis µ og P(T a (µ) < ) = e 2 µ a hvis µ <. Bemærk at i tilfældet µ < ka resultatet ækvivalet formuleres som sup(w t + µt) E( 2 µ ). t Da T,a (µ), som allerede ævt, kovergerer puktvis opad mod T a (µ) fås af Mooto koverges, at E[T a (µ)] = a/µ hvis µ > og E[T a (µ)] = hvis µ =. Ved hjælp af de ekspoetielle martigaler ka vi edog bestemme fordelige for T a (µ). Vi ser ku på tilfældet µ. For ethvert x > er (e xw t 1/2x 2t ) t = (e x(w t+µt) (1/2x 2 +xµ)t ) t. Ved hjælp af optioal samplig sætige sluttes derfor, da at Hvilket ved substitutio giver, at T a (µ) < P-.o. og W Ta (µ) + µt a (µ) = a P-.o., E[e (1/2x2 +xµ)t a (µ) ] = e xa for x >. E[e ut a(µ) ] = e aµ e a µ 2 +2u for u > 46

49 Etydighedssætige for Laplace trasformatioe viser derfor, at T a (µ) er e såkaldt Ivers Gauss fordelig med parametre a 2 og µ 2, dvs. absolut kotiuert med tæthed t aeaµ 2π t 3/2 e (a2 t 1 +µ 2 t)/2 for t >. Da ( W t ) t også er e Wieer proces, har T a (µ) og T a ( µ) samme fordelig for alle a og µ, og det overlades derfor til læsere at formulere de relevate resultater for a <. Det er også af iteresse at se på tilfældet a =, og i dee forbidelse defieres for alle µ R T + (µ) = if{t > µt +W t > } og T (µ) = if{t > µt +W t < }. Me da T + (µ) T a (µ) for ethvert a > og tilsvarede T (µ) T a (µ) for ethvert a < ses let, at både T + (µ) og T (µ) er lig P-.s. for alle µ R. Overvej at dette viser, at {t > µt +W t (ω) = } for ethvert µ R er e lukket overtællelig mægde for P-.a. ω. Ma ka edog vise, at de P-.s. har dimesio 1/2. 47

50 1 1 love for Lévy processer Fra Sadsylighedsteori 2 og 1.2 keder I de såkaldte Kolmogorov s 1 lov, som siger, at hale σ-algebrae hørede til e følge af uafhægige stokastiske variable er triviel, idet de ku ideholder hædelser, der har sadsylighed eller 1. Vi skal i dette afsit se, at der gælder tilsvarede 1 love for Lévy processer. Lad derfor (X t ) t være e Lévy proces, som er i med sadsylighed 1, defieret på et sadsylighedsrum (Ω,F,P) med tilhørede aturlige filter (Ft X ). Lad A F+ X være givet. Da A Fε X sikrer de uafhægige tilvækster, at A er uafhægig af ehver vektor af forme (X t1 +ε X ε,...,x t +ε X ε ) hvor ε > og t 1 < t. A er derfor uafhægig af (X t1,...,x t ), da (X t1 +ε X ε,...,x t +ε X ε ) (X t1,...,x t ) i sadsylighed for ε, fordi processe er højrekotiuert og i. Stadard argumeter viser derfor, at A er uafhægig af F X og dermed af sig selv, hvilket betyder, at P(A) = eller 1. Bemærk at argumetet ikke gjorde brug af statioaritete af tilvækstere og ej heller, at der var tale om e e-dimesioal proces. Alt i alt har vi vist. Sætig 1.1. Lad (X t ) t betege e reel eller flerdimesioal Lévy proces, som er i med sadsylighed 1. Ehver hædelse i F+ X har da sadsylighed ete eller 1. Korollar 1.2. For ehver udvidet F X t -stoptid τ er P(τ = ) ete eller 1. Lad os deræst udersøge, hvad der sker, år tide går mod uedelig, dvs. lad os se på hale -σ-algebrae Her gælder tilsvarede flg. resultat. F X, = F X,t = σ(x s s t). t Sætig 1.3. Lad (X t ) t betege e reel eller flerdimesioal Lévy proces, som er i med sadsylighed 1. Ehver hædelse i F X, har da sadsylighed ete eller 1. Bevis. Bevis Lad A F X, være givet. Da A σ( F X ) viser et velkedt resultat for diskret tids martigaler, at t E[1 A F X ] 1 A P.o. for. For givet er A specielt ideholdt i F X,, og overvejelser af samme type som beyttet i beviset for Sætig 1.11 side 9 viser derfor, at E[1 A F X ] = φ (X ) 48

51 for e reel Borel fuktio φ, som opfylder φ 1. D.v.s. da X =.o., at 1 A = limsup φ (X ) = limsupφ (X X ) P.o. Me limsup φ (X X ) er tydeligvis målelig mht. hale-σ-algebrae frembragt af følge (X X ) 1, og da X X = i=1 (X i X i 1 ) samt (X i X i 1 ) i 1 er e iid-følge, er det øskede resultat derfor e kosekves af flg. sætig kedt uder avet Hewitt-Savage s 1-lov. Sætig 1.4. Lad (X i ) i 1 betege e følge af uafhægige idetisk fordelte stokastiske variable, og lad (S ) 1 betege de tilhørede partial summer. P(A) er da eller 1 for ehver hædelse i hhv. F X, = F X, = k k ) 1 1σ(X og F S, = F S, = k k ). 1 1σ(S Bevis. Da X = S S 1 er F X, F S, 1 for alle og dermed F X, F S,. Som allerede ævt viser Kolmogorov s sætig, at F X, er triviel, og vi vil u vise, at dette også gælder F S,. Lad derfor A F S, være givet og sæt f = 1 A. Betragt et 1. Da og F S, F S,2 = σ(s 2,X 2+1,...) (X 1,,X,S 2,X 2+1,...) og (X +1,...,X 2,S 2,X 2+1,...) er idetisk fordelte, gælder dette også vektorere Variablee (X 1,,X, f) og (X +1,...,X 2, f). E[ f X 1,...,X ] og E[ f X +1,...,X 2 ] har derfor også samme fordelig specielt samme ade momet. Heraf fås ved udregig, at E[( f E[ f X 1,...,X ]) 2 ] = E[( f E[ f X +1,...,X 2 ]) 2 ], og da E[ F X, ] er e kotraktio i L 2, har vi tillige, at E[ ( E[ f F X, ] E[ f X +1,...,X 2 ] ) 2 ] E[( f E[ f X+1,...,X 2 ]) 2 ]. 49

52 Simple vurderiger viser u, at E[ ( f E[ f F X, ] ) 2 ]/4 er midre ed E[( f E[ f X +1,...,X 2 ]) 2 ]+E[ ( E[ f F X, ] E[ f X +1,...,X 2 ] ) 2 ] for alle og derfor E[ ( f E[ f F X, ] ) 2 ] 8 E[( f E[ f X1,...,X ]) 2 ]. D.v.s. f = lim E[ f F X, ] i L 2 og dermed f = E[ f F X, ] P-.o., thi fra teorie om baglæs martigaler vides, at E[ f F X, ] E[ f F X, ] P.o. og i L 2 for. Me σ-algebrae F X, ideholder, som ævt, ku hædelser med sadsylighed eller 1, og der fides derfor e kostat c, så at P( f = c) = 1. Me pr. defiitio er f = 1 A, og dette er derfor ku muligt, hvis P(A) er ete eller 1. 5

53 11 Tælleprocesser Defiitio E reel stokastisk proces (N t ) t med kotiuert tid kaldes e tælleproces, hvis t N t (ω) er ikke-aftagede og højrekotiuert med værdier i Z + for alle ω. Bemærk at ehver Poisso proces er e tælleproces. Da udfaldsfuktioere i e tælleproces pr. defiitio er ikke-aftagede, højrekotiuerte med værdier i Z +, vokser de ku i form af sprig af heltallig størrelse, og tælleprocesse siges at være simpel, hvis for P-.a. ω alle sprig er af størrelse 1. Der er ikke problemer med at tilorde dee mægde e sadsylighed, idet {ω t > N t (ω) / {,1}} = {ω t (,] N t (ω) / {,1}} =1 2 k = {N i/2 k N (i 1)/2 k > 1}, =1 k=1 i=1 viser, at det er e hædelse. Specielt er Poisso processere simple tælleprocesser, og de er, som bemærket tidligere, de eeste simple tælleprocesser, der er i og har uafhægige statioære tilvækster. Tælleprocesser fremkommer ofte på flg. vis. Lad (ξ ) 1 betege reelle ikke-egative stokastiske variable defieret på et sadsylighedsfelt (Ω,F,P), og lad A betege hædelse {limif ξ = }. Da defierer N t (ω) = 1 [,t] (ξ (ω)) 1 A (ω) t, ω Ω =1 e tælleproces, som omtales som tælleprocesse bestemt ved følge (ξ ) 1. Tilfældet hvor P(ξ ξ +1 ) = 1 for alle er specielt vigtigt, idet N t ere her, tolkede ξ som tidspuktet for de te akomst, ka opfattes som atallet af akomster i periode [,t]. I dee situatio gælder tydeligvis, at P(N t1 1,...,N tk k ) = P(ξ 1 t 1,...,ξ k t k ), dvs.(n t ) s fordelig ka bestemmes direkte ud fra fordelige for (ξ ) 1. Hvis ξ ere specielt er på forme (S ) 1, hvor S er te partialsum for e følge af uafhægige idetisk fordelte stokastiske variable (X i ) i 1 med fordelig F kaldes de tilhørede tælleproces e Reewal tælleproces med vetetidsfordelig F. Normalt forlager ma, at F() =, thi i givet fald er de tilhørede tælleproces simpel. Lad (N t ) t være e tælleproces defieret på et sadsylighedsfelt (Ω,F,P) og lad (D ) 1 betege de ikke-egative variable defieret ved D = if{t > N t }. 51

54 Pr. defiitio er D (ω) D +1 (ω) for alle og ω, og da (N t ) t har lutter ikke-aftagede højrekotiuerte udfaldsfuktioer med heltallige værdier, kovergerer D (ω) mod uedelig for ethvert ω, dvs. {lim ifd(ω) = }. Da {D t} = {N t } for alle t og, er D ere stoptider mht.(ft N ) t det aturlige filter hørede til (N t ). D ere er derfor specielt stokastiske variable, og da idetitete {D t} = {N t } viser, at N t = 1 {Nt } = 1 [,t] (D ) =1 =1 ses, at ehver tælleproces fremkommer på oveævte måde. Bemærk at (N t ) er simpel, hvis og ku hvis P(D = D +1 ) = for alle 1. Ifølge Sætig 8.4 er Poisso processe med parameter λ > e Reewal proces hørede til ekspoetial fordelige med parameter λ; og bladt Reewal processere ka Poisso processere karakteriseres ved at de tilhørede middelværdifuktio er lieær. Dette formuleres som e sætig. Sætig Lad (N t ) t være e Reewal proces med vetetidsfordelig F, hvor F() =. F er da e ekspoetial fordelig med parameter λ >, hvis og ku hvis m N (t) = λt for alle t. Bevis. Atag F er e ekspoetial fordelig med parameter λ og lad (X i ) i 1 betege e følge af uafhægige stokastiske variable med fordelig F. Idet S beteger de te partialsum af X i ere, gælder for ethvert t m N (t) = E[N t ] = E[1 [,t] (S )] = =1 =1 P(S t) = s 1 /( 1)! λ e λs ds = λ e λs e λs ds = λt. =1 Atag omvedt at t E[N t ] er på forme t λt. Idet L F beteger Laplacetrasforme hørede til F, har vi for alle a > D.v.s. = = 1/a λ/a 2 = =1 =1 e at E[N t ]dt = e at P(S t)dt =1 1/a ([e at P(S t)] e at dp(s t)) E[e as ] = 1/a L F ( a) = =1 L F ( a) = λ/(λ + a) for a >, L F ( a) a(1 L F ( a)). hvilket er esbetydede med, at F er e ekspoetial fordelig med parameter λ. 52

55 12 Stokastisk itegratio 12.1 Idledig I mage sammehæge betragter ma e determiistisk proces (x t ) t, der løser e differetialligig af type dx t = a(x t )dt. Det vil sige x t = x + a(x s )ds for t. Me i de virkelige verde er der imidlertid ofte støj i ligige, således at e mere rimelig model er e stokastisk proces (X t ) t, der løser e ligig på forme dx t = a(x t )dt+ støj. Atager ma at støje er ormalfordelt, kommer ma frem til at (X t ) t løser e stokastisk differetialligig dx t = a(x t )dt + σ(x t )dw t (12.1) hvor (W t ) t er e Wieerproces. Idee er her, at e tilvækst X t+dt X t for dt lille approksimativt er givet ved X t+dt X t a(x t )dt + σ(x t )(W t+dt W t ), således at der cirka gælder X t+dt X t N(a(X t )dt,σ 2 (X t )dt), år vi betiger på X t. Hvis ma skal gøre oveståede mere præcist, skal (12.1) oversættes til itegralligige X t = X + a(x s )ds+ σ(x s )dw s. Vi er med adre ord ødt til at overveje, hvorda ma defierer (stokastiske) itegraler på forme φ s dw s. Dette er emet for ærværede kapitel. Før vi defierer det stokastiske itegral, vil vi dog først se lidt på ormal itegratio. Atag derfor at (g t ) t er e (determiistisk) fuktio, der opfylder g = samt at t g t er ikke-aftagede og højrekotiuert. Vi ved da, at (g t ) t iducerer et (etydigt) mål λ g på [, [ som opfylder λ g ({}) = og λ g (]a,b]) = g(b) g(a). Defiér fuktioe ( φ s dg s ) t ved φ s dg s := φ s dλ g (s) t, år itegralet på højre side eksisterer for ethvert t. Vi kalder (g t ) t for itegratore, (φ t ) t for itegrate og( φ sdg s ) t for itegralfuktioe. Her atages itegrate at opfylde, at afbildige t φ t er målelig mht. (B(R + ),B(R)). Vi siger, at (φ t ) t er lokalt begræset, hvis sup t T φ t < for ethvert T og t φ t er målelig mht. (B(R + ),B(R)). I givet fald eksisterer φ s dg s og er edelig for ethvert t. Itegralet har følgede egeskaber, hvor vi for emheds skyld ku vil betragte lokalt begræsede itegrater: 53

56 (E1) (Liearitet) For a,b R, t og (φ 1 t ) t og (φ 2 t ) t lokalt begræsede er (aφs 1 + bφ s 2 )dg s = a φs 1 dg s + b φs 2 dg s, t. (E2) (Itegralets værdi på idikatorfuktioer). Der gælder 1 ]a,b] (s)dg s = g b t g a t, t, (12.2) for a < b. (E3) (Itegralfuktioe som fuktio af t) Hvis (φ t ) t er lokalt begræset, så gælder at t φ sdg s er e cadlag fuktio fra R + til R. Hvis yderligere t g t er kotiuert, så er t φ s dg s kotiuert. (E4) (Domieret koverges) Atag at (φt ) t for er lokalt begræset for = 1,2,... samt at der fides e fuktio (φ t ) t således at φt φ t for ethvert t. Atag også at der for ethvert T > fides e kostat C T < således at φt C T for alle og ethvert t T. Da gælder for ethvert t. φ s dg s φ s dg s (E5) (Aalyses Fudametalsætig) Atag f er kotiuert differetiabel. Da gælder f(g t ) f(g ) = f (g s )dg s (12.3) for t >. (Aalyses Fudametalsætig som I keder de fra Matematisk Aalyse svarer til fuktioe g t = t, der iducerer Lebesguemålet). (E6) (Positivitet af itegralet) Hvis (φ t ) t er lokalt begræset og ikke-egativ, så er φ s dg s for ethvert t. Hvis mere geerelt (g t ) t er e cadlag fuktio af begræset variatio med g =, så ka ma vise at (g t ) t ka skrives som g t = gt 1 g2 t hvor (gt i) t er ikke-aftagede højrekotiuerte med g i = for i = 1,2. I givet fald defierer vi φ s dg s := φ s dg 1 s φ s dg 2 s (12.4) uder atagelse af at begge itegraler på højre side er edelige. Når (φ t ) t er lokalt begræset, afhæger itegralet φ sdg s ikke af (gt i) t me ku af (g t ) t ; se Opgave 43. Egeskabere (E1) (E5) ovefor gælder også, år (g t ) t er af begræset variatio, mes dette ikke er tilfældet for (E6). 54

57 Eksempel Atag at (h t ) t er højrekotiuert og ikke-aftagede med h =. Lad (φ t ) t være lokalt begræset og sæt g t := ψ s dh s for t. Idet g t = ψ s + dh s ψs dh s, ka vi af (E3) og (E6) slutte, at (g t ) t er af begræset variatio. Edvidere har vi for (φ t ) t lokalt begræset at φ s dg s = φ s ψ s dh s. Øsker ma at defiere et itegralbegreb som har egeskabere ovefor, er det ødvedigt at atage at itegratore er af begræset variatio. Lad os være mere præcise og atage at (g t ) t er e reel cadlag fuktio med g = som opfylder at der fides et itegral ( φ s dg s ) t defieret for (φ t ) t lokalt begræset. Atag at dette itegral besidder egeskabere (E1), (E2) og (E4). Da ka ma vise, at (g t ) t er af begræset variatio. Vi skal beytte følgede følgede pedat til (E3). Lemma Atag at (φ t ) t er målelig som fuktio af t og opfylder φ s ds < for ethvert t >. Da er t φ sds kotiuert. Bevis. Vi har for ethvert t. Hvis t t har vi φ s ds = 1 ],t] (s)φ s ds 1 ],t ](s)φ s 1 ],t] (s)φ s for for ethvert s t. Da {t} er e ulmægde mht. Lebesguemålet, følger fra Lebesgues Sætig om Domieret Koverges at som øsket. φ s ds = 1 ],t ](s)φ s ds 1 ],t] (s)φ s ds = φ s ds Lad os u vede tilbage til vort øske om at defiere itegralet det stokastiske itegral φ sdw s. Hvis vi har et ω hvor t W t (ω) er af begræset variatio, ka vi aturligvis bare defiere det stokastiske itegral φ s dw s (ω) ved hjælp af sædvalig itegratiosteori som ovefor. MEN! Vi har i Sætig 9.2 set, at æste alle udfaldsfuktioer for Wieerprocesse er af ubegræset variatio, så der er simpelthe ikke mulighed for at lave et sædvaligt itegral mht. (W t ) t. Vi skal derfor idføre et yt itegralbegreb for Wieerprocese og udlede egeskaber ved dette itegral. 55

58 Først vil vi defiere og studere itegralet for e lille klasse af itegrater; det såkaldt simple itegral. Desude vises egeskaber ved det simple itegral, heruder martigaleskabe af simple itegraler. Deræst udvides mægde af itegrater og vi defierer det geerelle itegral ved et approksimatiosargumet. Edelig vil vi udlede Ito s formel, der er de stokastiske kalkyles svar på Aalyses Fudametalsætig. Approksimatiosargumetet er baseret på følgede yttige resultat. Sætig Betragt et filtreret sadsylighedsfelt (Ω,F,(F t ) t,p). Lad (M t ) t betege e (F t ) t -martigal for = 1,2,.... (1) Hvis (M t ) t er adapteret itegrabel proces således at der for hvert t gælder M t M t i L 1 (P), så er (M t ) t e (F t ) t -martigal. (2) Atag at der for ethvert t gælder at (M t ) 1 er e Cauchy følge i L 1 (P) samt at alle udfaldsfuktioer for (M t ) t er højrekotiuerte (kotiuerte). Da fides e og op til uskelelighed ku e progressivt målelig (F t ) t -martigal (M t ) t, der opfylder (i) at udfaldsfuktioere æste alle er højrekotiuerte (kotiuerte) og (ii) at M t M t i L 1 (P) for ethvert t. (3) Lad situatio være som i (2). Hvis filtret er komplet, ka processe (M t ) t vælges således at alle udfaldsfuktioer er højrekotiuerte (kotiuerte). Bevis. (1) overlades til læsere. (2) Vi viser, at der fides e delfølge 1 < 2 <... og e progressivt målelig proces (M t ) t således at sup M k t M t.s. for k (12.5) t T for ethvert T >. Deræst viser vi, at (M t ) t har alle de øskede egeskaber. Da (M k ) 1 er e Cauchy følge i L 1 (P) for ethvert k 1, har vi pr. defiitio, at der for ethvert ε > fides et N således at E [ M k Mm k ] < ε for,m N. Specielt ka vi vælge e delfølge 1 < 2 <... således at Defiér E [ M k+1 k M k k ] < 2 k for ethvert k. (12.6) M t (ω) := { limk M k t (ω) hvis græseværdie eksisterer i R ellers. (12.7) Bemærk at (M k t ) t er progressivt målelig, idet de har højrekotiuerte udfaldsfuktioer og er adapteret. Da målelighed bevares ved puktvis græseovergag, er (M t ) ligeledes progressivt målelig. 56

59 Lad T >. For at vise (12.5) argumeterer vi som følger. Maksimalulighede i Sætig C.3 avedt på submartigale ( M k+1 t M k t ) t for k > T viser samme med (12.6) at ( ) ( ) P sup M k+1 t M k t > k 2 P sup M k+1 t M k t > k 2 k 2 2 k t T t k Idet k=1 k2 2 k < giver Borel-Catelli ( P sup M k+1 t t T M k t > k 2 for uedelig mage k ) =. Dermed fides e ulmægde N således at der for ω N fides et k = k (ω) så at sup M k+1 t M k t (ω) k 2 for k k. t T Vi viser, at der for dette ω gælder sup t T M t (ω) M k t (ω) for k, hvilket afslutter beviset for (12.5). Me for m > k er M m t (ω) = M m 1 k t (ω)+ j=k (M j+1 t og dermed viser trekatsulighede at for k k < m er sup M m t t T m 1 j=k sup t T M m 1 k t (ω) sup t T M j+1 t M j t (ω) j=k m 1 j=k (ω) M j t (ω)) (12.8) M j+1 t j 2 M j t (ω) j 2. j=k Da de sidste sum kovergerer mod for k, ser vi at (M k t (ω)) k 1 er e Cauchy følge i R for t T. Det vil sige lim k M k t (ω) eksisterer og ifølge (12.7) beteges græse M t (ω). Lader vi m i (12.8), følger at M t (ω) = M k t (ω)+ og trekatsulighede viser som ovefor at sup t T Dette afslutter beviset for (12.5). M t M k t (ω) j=k (M j+1 t (ω) M j t (ω)) j 2 for k. j=k Vi magler u at vise, at (M t ) t har de øskede egeskaber. 57

60 Da (Mt ) t har højrekotiuerte udfaldsfuktioer, viser (12.5), at æste alle udfaldsfuktioer for (M t ) t er højrekotiuerte (og kotiuerte, hvis (Mt ) har kotiuerte udfaldsfuktioer). Lad t. Da (Mt ) 1 er e Cauchy følge i L 1 (P), sikrer fuldstædighede af L 1 (P), at (Mt ) 1 kovergerer i L 1 (P). Da vi samtidig fra (12.5) ved, at delfølge (M k t ) k 1 kovergerer æste sikkert mod M t, ser vi at Mt kovergerer i L 1 (P) mod M t for. Martigalegeskabe af (M t ) t kommer fra (1). Lad os til sidst argumetere for etydighede. Lad (N t ) t betege e itegrabel proces, der dels har udfaldsfuktioer som æste alle er højrekotiuerte og dels opfylder at Mt N t i L 1 (P) for ethvert t. Da e L 1 (P)-græse er æste sikkert etydigt bestemt, følger at (M t ) t og (N t ) t er modifikatioer. Dermed er de også uskelelige, idet udfaldsfuktioere er højrekotiuerte. (3) Lad os u vise, at hvis filtret er komplet ka vi kostruere e adapteret proces (N t ) t, som er uskelelig fra (M t ) t i (12.7). Lad N F være e ulmægde således at der ethert ω N c gælder at t M t (ω) er højrekotiuert (kotiuert). Lad N t := 1 N cm t. Da har (N t ) t lutter højrekotiuerte (kotiuerte) udfaldsfuktioer. Edvidere er (N t ) t adapteret, idet der for ethvert t gælder M t = N t æste sikkert og filtret er komplet; se opgave 19. Da de to processer er modifikatioer, er de, på grud af de højrekotiuerte udfaldsfuktioer, også uskelelige. Vi ka derfor lade processe (N t ) t erstatte (M t ) t i (2). Bemærkig Udertide er det yttigt at alle udfaldsfuktioer for martigale (M t ) t er højrekotiuerte, som i (3) ovefor. F.eks. har vi ku formuleret optioal samplig i kotiuert tid for martigaler hvor alle udfaldsfuktioer er højrekotiuerte; se Appedix E. I reste af kapitlet er vort set-up som følger: Vi betragter et filtreret sadsylighedsfelt (Ω,F,(F t ) t,p). Når vi taler om martigaler, mees (F t )-martigaler; tilsvarede kalder vi e proces progressivt målelig, år de er progressivt målelig mht. (F t ). Lad (W t ) t betege e Wieerproces med parameter 1 mht. (F t ) t. Det vil sige, at W =, (W t ) t har kotiuerte udfaldsfuktioer og for alle s < t er W t W s uafhægig af F s med W t W s N(,t s). Vi får brug for at defiere itegralprocesse ( φ s ds) t af e progressivt målelig reel proces (φ t ) t der opfylder φ s ds <.s. for ethvert t >. Vi lader derfor { t φ s ds(ω) := φ s(ω)ds hvis φ s(ω) ds < hvis φ s (ω) ds =. Itegralprocesse ( φ s ds) t er da progressivt målelig og æste alle udfaldsfutioer er kotiuerte ifølge Lemma

61 12.2 Itegratio af simple processer I dette afsit skal vi defiere det stokastiske itegral af simple processer. Defiitio E proces (φ t ) t siges at være simpel, hvis de er på forme φ t = Y 1 {} (t)+ i=1 Y i 1 ]ui,v i ](t), t, (12.9) hvor, Y er begræset og F -målelig, og Y i er begræset og F ui -målelig og u i < v i for i = 1,...,. Mægde af simple processer beteges med S. Læg mærke til at e simpel proces er vetrekotiuert og adapteret; specielt er de progressivt målelig. Bemærkig I (12.9) ka itervallere ]u i,v i ] lappe id over hiade, og derfor har e simpel proces (φ t ) t geerelt mere ed e opskrivig som i (12.9). Ved evetuelt at idføre ekstra delepukter ka ma dog altid atage, at itervallere ikke lapper id over hiade. Vi siger, at e simpel proces (φ t ) t er skrevet på kaoisk form, hvis φ t = Y 1 {} (t)+ i=1 Y i 1 ]ti 1,t i ](t) t (12.1) hvor t < t 1 < t 2 <... < t, Y er F -målelig og Y i er F ti 1 -målelig for i = 1,...,. Ehver simpel proces ka altså skrives på kaoisk form. Eksempel Atag at (φ t ) t er givet ved φ t = Y 1 1 ]1,3] (t)+y 2 1 ]2,9] (t). (12.11) hvor Y 1 er F 1 målelig, Y 2 er F 2 -målelig, og begge stokastiske variable er begræsede. Da er e kaoisk opskrivig φ t = Y 1 1 ]1,2] (t)+(y 1 +Y 2 ) 1 ]2,3] (t)+y 2 1 ]3,9] (t). (12.12) Lad (φ t ) t være e simpel proces givet ved (12.9). Vi defierer da processe ( φ sdw s ) t, der kaldes det stokastiske itegral af (φ t ) t med hesy til (W t ) t, på følgede måde: φ s dw s := i=1 Y i (W t vi W t ui ), t. (12.13) Også her kaldes (φ t ) t for itegrate og (W t ) t for itegratore. Overvej at det stokastiske itegral er veldefieret; altså at højre side af (12.13) ikke afhæger af de valgte opskrivig i (12.9). Bemærk også, at itegralet ikke afhæger af φ. Sammelig ligeledes itegralet med (12.2) og læg mærke til at itegralet af (φ t ) t er defieret på samme måde som hvis (W t ) t havde været af begræset variatio. 59

62 Eksempel Det ka måske være vaskeligt geemskue hvorda itegralet egetlig er defieret, så lad os se på (φ t ) t givet ved φ t = Y 1 ]u,v] (t) (12.14) hvor Y er F u -målelig og begræset. For e såda proces er hvis t u φ s dw s = Y(W t W u ) hvis t [u,v] Y(W v W u ) hvis t v. (12.15) Heraf ses også at t φ s dw s er kotiuert samt at itegralet er adapteret. Sætig Vi har følgede resultater. (1) Lad (φ t ) t S. Da er ( φ s dw s ) t e kvadratisk itegrabel martigal med kotiuerte udfaldsfuktioer. Edvidere er processe ( ( ) ) 2 φ s dw s φs 2 ds (12.16) t e martigal, der ligeledes har kotiuerte udfaldsfuktioer. (2) (Liearitet af itegralet). Lad (φ i t ) t S for i = 1,2 og a,b R. Da gælder for alle t. (aφs 1 + bφs 2 )dw s = a φs 1 dw s + b φs 2 dw s (12.17) (3) Atag at (φ t ) t S. For ethvert T > har vi da [ ] 2 [ T ] E sup φ t dw s 4E φt 2 dt. (12.18) t T Bevis. Liearitete i (2) følger direkte fra defiitioe af itegralet. Lad os herefter se på (1). Da (φ t ) t er begræset og (W t ) t er kvadratisk itegrabel, er processe ( φ s dw s ) t kvadratisk itegrabel. Martigalegeskabe af ( φ s dw s ) t : På grud af liearitete i (2) er det ok at betragte et (φ t ) t givet ved (12.14). Vi skal vise [ ] s E φ r dw r F s = φ r dw r 6

63 for alle s < t, og øjes med at eftervise dette år u s t v. Da er [ ] E φ r dw r F s = E [Y(W t W u ) F s ] = Y E [(W t W u ) F s ] = Y(W s W u ) = s φ r dw r hvor vi udervejs udyttede, at Y er F u -målelig (og dermed F s -målelig) og at (W r ) r er e martigal. Lad os deræst eftervise martigalegeskabe af (12.16). Bemærk først at da (φ t ) t er begræset, gælder det samme for φ r 2 dr for ethvert t. Da det stokastiske itegral som ævt er kvadratisk itegrabelt, følger at processe i (12.16) er itegrabel. Lad (φ t ) t være opskrevet på kaoisk form som hvor φ t = Y 1 {} (t)+ i=1 φ i t, t, φ i t = Y i1 ]ti 1,t i ](t) (12.19) og = t < t 1 <... < t, og Y i er begræset og F ti 1 -målelig. Da er φ 2 t = Y 2 1 {}(t)+ i=1 (φt i )2, t, (overvej at det er vigtigt at (φ t ) t er på kaoisk form for at dette gælder), og dermed er Samtidig har vi ( ) 2 φ r dw r = i=1 ( φ 2 r ds = i=1 (φ i r )2 ds. 2 φr r) i dw + φr i dw r φr j dw r. (12.2) i j Da der for i j gælder at itervallere ]t i 1,t i ] og ]t j 1,t j ] er disjukte, ka ma ud fra defiitioe af itegralet overbevise sig om, at leddee i de sidste sum på højre side af (12.2) er martigaler. For at afslutte beviset skal vi derfor idse, at ( ) 2 φr i dw r (φr) i 2 dr 61

64 er e martigal for ethvert i = 1,...,. Hold i fast. Ige er der flere tilfælde ma skal checke, og vi øjes med at se på s,t så t i 1 s t t i. Da er ( ) 2 φr i dw r = Yi 2 ( ) 2 Wt W ti 1 = Y 2 i [ (W t W s ) 2 + ( W s W ti 1 ) 2 + 2(Wt W s ) (W s W ti 1 ) ]. Da W t W s N(,t s) er uafhægig af F s, og Y i samt W s W ti 1 er F s -målelige følger [ ( ) ] 2 [ (Wt E φr i dw r F s = Yi 2 ) ] 2 E W ti 1 Fs = Yi 2 [ (t s)+(ws W ti 1 ) 2] ( s ) 2 = (φr) i 2 dr+ φr i dw r, hvilket er det øskede resultat. Processe i (12.16) har kotiuerte udfaldsfuktioer, hvilket følger af at t φ s dw s er kotiuert samt Lemma Lad os edelig vise 3). Eftersom (12.16) er e martigal der starter i, er [ ( T ) ] 2 [ T ] E φ s dw s = E φs 2 ds og Doob s ulighed giver derfor det øskede. s 12.3 E udvidelse Ovefor defierede vi det stokastiske itegral for e meget lille klasse af itegrater, og vi skal u se, at det er muligt at udvide mægde af itegrater på e såda måde, at egeskabere i Sætig 12.9 forbliver sade. Defiitio Lad H 2 betege mægde af progressivt målelige reelle processer (φ t ) t der opfylder T E[ φt 2 dt] < for ethvert T >. Bemærk at vi som tidligere ævt har at e simpel proces er progressivt målelig og begræset, og dermed er S e delmægde af H 2. Hvis (φt ) t og (φ t ) t tilhører H 2, siger vi at (φt ) t kovergerer mod (φ t ) t i H 2 (og skriver (φt ) t (φ t ) t i H 2 ), hvis der gælder [ T ] E (φt φ t ) 2 dt (12.21) 62

65 for ethvert T >. Dette svarer til koverges i L 2 (P λ T ) for ethvert T > hvor λ T beteger Lebesguemålet på [,T], og derfor har vi (φt,i ) t (φt i ) t for i = 1,2 medfører (aφt,1 + bφt,2 ) t (aφt 1 + bφt 2 ) t (12.22) for alle a,b, hvor kovergese er i H 2. For at kostruere itegralet behøver vi følgede lemma. Lemma Lad (φ t ) t H 2. (1) Atag (φt ) t S med (φt ) t (φ t ) t i H 2. Der fides da e og op til uskelelighed ku e kvadratisk itegrabel progressivt målelig martigal (M t ) t som har æste alle udfaldsfuktioer kotiuerte og opfylder at φs dw s M t i L 2 (P) for t. (12.23) (2) Processe (M t ) t afhæger ikke af de valgte følge (φt ) t. Det vil sige at hvis (ψt ) t S med (ψt ) t (φ t ) t i H 2, så gælder ψs dw s M t i L 2 (P) for t. Bevis. (1) Bemærk at der ifølge Sætig 12.9 (1) for ethvert t gælder at [ ( ) ] 2 [ ] E (φs φs m )dw s = E (φs m φs ) 2 ds. (12.24) Da (φt ) t (φ t ) t i H 2 kovergerer højre side mod, år og m kovergerer mod uedelig. Følge ( φ s dw s) 1 er derfor Cauchy i L 2 (P), og kovergerer derfor såvel i L 2 (P) som i L 1 (P). Da L 2 (P)- og L 1 (P)-græsere er idetiske (æste sikkert), er det ok at kostruere e proces (M t ) t med de øskede egeskaber, hvor L 2 (P)-kovergese i (12.23) erstattes af L 1 (P)-koverges. Me eksistes og etydighed af (M t ) t følger så fra Sætig (2) Lad (ψt ) t S med (ψt ) t (φ t ) t i H 2. Fra (1) med (φt ) t erstattet af (ψt ) t har vi, at der fides e progressivt målelig stokastisk proces (N t ) t hvor æste alle udfaldsfuktioer er kotiuerte så ψs dw s N t i L 2 (P) for ethvert t. Vi skal vise at (M t ) t og (N t ) t er uskelelige. Defier e y følge at simple processer (ξt ) t ved (ξt ) t := (ψt ) t år er ulige og (ξt ) t := (ψt ) t år er lige. Da (φt ) t (φ t ) t i H 2 og (ψt ) t (φ t ) t i H 2 har vi (ξt ) t (φ t ) t i H 2. Dermed fides ifølge (1) e progressivt målelig kvadratisk itegrabel proces (P t ) t med æste alle udfaldsfuktioer kotiuerte således at ξs dw s P t i L 2 (P) for ethvert t. Ved at gå igeem ulige ser vi at (P t ) t og (N t ) t er uskelelige, og ved at gå igeem lige ser vi at (P t ) t og (M t ) t er uskelelige. Dermed er (M t ) t og (N t ) t uskelelige. 63

66 Vi ka u defiere det stokastiske itegral for ehver proces i H 2. Vi skal beytte at der for ethvert (φ t ) t H 2 fides e følge (φt ) t S med (φt ) t (φ t ) t i H 2. Beviset for eksistese af e såda følge fides i Øksedal: Stochastic Differetial Equatios. Defiitio Lad (φ t ) t H 2. Vi defierer processe ( φ s dw s ) t, der kaldes det stokastiske itegral af (φ t ) t med hesy til (W t ) t, som φ s dw s := M t for t, hvor (M t ) t er processe der optræder i Lemma Læg mærke til at hvis (φ t ) t er simpel, så ka vi vælge de approksimerede følge (φt ) t S i Lemma til bare at være (φ t ) t. Dermed ses, at oveståede defiitio stemmer helt overes med vor tidligere defiitio (12.13), år (φ t ) t er simpel. Sætig Vi har følgede resultater. (1) Lad (φ t ) t H 2. Da er ( φ s dw s ) t e progressivt målelig kvadratisk itegrabel martigal, hvor æste alle udfaldsfuktioer er kotiuerte. Edvidere er processe ( ( ) ) 2 φ s dw s φs 2 ds (12.25) t e martigal, hvor æste alle udfaldsfuktioer er kotiuerte. (2) (Liearitet af itegralet). Lad (φt i) t H 2 for i = 1,2 og a,b R. Da gælder aφs 1 + bφs 2 dw s = a φs 1 dw s + b φs 2 dw s for alle t.s. (12.26) (3) Atag at (φ t ) t H 2. For ethvert T > har vi da [ ] 2 [ T ] E sup φ t dw s 4E φt 2 dt. (12.27) t T (4) (Koverges af itegraler) Atag at (φt ) t, 1, og (φ t ) t tilhører H 2 samt at (φt ) t (φ t ) t i H 2. Da gælder [ ] E φ t dw s φt 2 [ T ] dw s 4E (φ t φt )2 dt (12.28) sup t T for ethvert T >. 64

67 Bevis. Beviset bygger dels på at martigalegeskabe bevares ved græseovergag i L 1 (P) (Sætig 12.3) og dels på at de tilsvarede resultater gælder for det simple itegral. Ifølge Lemma har vi allerede vist (1), på ær egeskabere vedrørede processe i (12.25). Atag (φt ) t S med (φt ) t (φ t ) t i H 2. Vi har da t φ s dw s (φ s )2 ds t φ s dw s φ 2 s ds i L 2 (P) i L1 (P) for ethvert t, hvor det ederste kovergesresultat følger af Lemma 13 i otere til Sadsylighedsteori 1.1. Beyt u Sætig 12.3 (1) med Mt = ( φs dw s) 2 (φs )2 ds og M t = ( φ s dw s ) 2 φ s 2 ds til at slutte, at (12.25) er e martigal. Da der gælder T φs 2 ds < æste sikkert for ethvert T, viser Lemma 12.2 at (12.25) har kotiuerte udfaldsfuktioer (æste sikkert). (2) Vi skal vise, at processere på højre og vestre side af (12.26) er uskelelige. Da de idgåede processer har kotiuerte udfaldsfuktioer (æste sikkert), er det ok at vise, at højre og vestre side er modifikatioer. Lad derfor t være fast i det følgede. bφ 2, s Lad (φs i, ) s S således at (φs i, ) t (φs i) t i H 2 for i = 1,2. Vi har da (aφs 1, + ) s (aφs 1 + bφs 2 ) s i H 2 ifølge (12.22). Udytter vi u liearitete af det simple itegral, ses at a =a lim [ = lim a φs 1 dw s + b φs 1, t aφ 1, t = lim = φ 2 s dw s dw s + b lim φs 1, dw s + b s + bφs 2, dw s aφ 1 s + bφ 2 s dw s t φ 2, φs 2, dw s ] s dw s hvor kovergese er i L 2 (P). (3) Martigalegeskabe i (12.25) medfører [ ( ) ] 2 [ ] E φ s dw s = E φs 2 ds (12.29) og derfor følger (3) fra Doob s ulighed. (4) følger direkte fra (3). Geerelt har ma ikke e pæ aalytisk repræsetatio af itegralet φ s dw s og det er heller ikke muligt at agive fordelige. Vi skal u se på ogle eksempler. 65

68 Eksempel Lad u < v og Y være kvadratisk itegrabel og F u -målelig. Lad φ t := Y 1 ]u,v] (t). Vi har da (φ t ) t H 2. Edvidere er φ s dw s = Y(W t v W t u ) for ethvert t.s. (12.3) Sammelig med (12.15). For at vise dette resultat beyttes et approksimatiosargumet. Lad φt = Y 1 ]u,v] (t), hvor Y er de begræsede stokastiske variabel Y := Y 1 { <Y<}. Det vil sige Y Y i L 2 (P). Da gælder (φt ) t (φ t ) t i H 2 og dermed φs dw s φ s dw s i L 2 (P) ifølge Sætig (4). Me ifølge (12.15) er φs dw s = Y (W t v W t u ). Da Y Y i L 2 (P), ser vi at Y (W t v W t u ) Y(W t v W t u ) i L 2 (P), som er det øskede resultat. Eksempel Atag at (φ t ) t er e kvadratisk itegrabel progressivt målelig proces der opfylder at t φ t er kotiuert i L 2 (P). 1 Dee betigelse er specielt opfyldt, hvis (φ t ) t har kotiuerte udfaldsfuktioer og sup t T φ t L 2 (P) for ethvert T >. Da gælder (φ t ) t H 2 og i det følgede vil vi vise, at itegralet φ s dw s ka approksimeres med e vestresum. Lad for ethvert = 1,2,..., (φ t ) t være defieret ved φ t := i=1 φ i ] i 1 2. i 2 ] (t) Det vil sige, at (φ t ) t approksimerer (φ t ) t fra vestre. Itegralet φ s dw s ka ifølge Eksempel bereges som vestresumme φ s dw s = i=1 ( ) φ i 1 W 2 t i W 2 t i 1 2 (12.31) De uedelige sum der optræder på højre side er i virkelighede ku e edelig sum for ethvert fast t. F.eks. har vi for t = 1 at 1 φ s dw s = 2 i=1 ( ) φ i 1 W 2 i 2 Wi 1. 2 Der gælder edvidere (φt ) t (φ t ) t i H 2. For ethvert t har vi dermed φ s dw s φ s dw s i L 2 (P). (12.32) Øsker ma at berege (simulere) φ s dw s, så ka ma altså approksimere dette itegral ved vestresumme i (12.31). 1 Det vil sige at for t t gælder E[ φ t φ t 2 ] 66

69 Eksempel I foregåede eksempel så vi, at ma udertide ka approksimere itegraler ved vestresummer. Her er det imidlertid helt afgørede, at vi beytter vestreog ikke højre- eller midtsummer. Typisk vil sidstævte emlig ikke kovergere; og hvis de kovergerer, vil det som som regel ikke være mod det stokastiske itegral. Lad os give et eksempel. Lad (φ t ) t = (W t ) t. Bemærk at da (W t ) t er e adapteret proces med kotiuerte udfaldsfuktioer, så er de også progressivt målelig. Edvidere er sup t t T W t L 2 (P) for ethvert T > ifølge Doob s ulighed. Lad os evaluere itegralet i puktet t = 1. Vi har da som ævt ovefor, at Edvidere har vi tidligere set at 2 ( ) Wi 1 W 2 i=1 i 2 Wi i=1 1 ( W i 2 Wi 1 2 ) 2 1.s., så heraf følger, at der om højresumme gælder 2 i=1 W s dw s. (12.33) ( ) 1 W i W 2 i 2 Wi 1 W s dw s + 1 (12.34) 2 i sadsylighed. Vi viser seere, ved hjælp af Ito s formel, at W s dw s = (W 2 t t)/2. Eksempel Som tidligere ævt ka ma typisk ikke agive fordelige eksplicit af et stokastisk itegral. Dog ka ma med e determiistisk itegrat vise, at itegralet er ormalfordelt. Helt præcist har vi følgede: Atag at (φ t ) t er determiistisk, målelig og opfylder at T t dt < for ethvert T. Processe ( φ s dw s ) t har da uafhægige tilvækster og φ 2 s φ u dw u φ u dw u N Dette resultat ka vises i følgede skridt: (, φu 2 du s (1) Vis først det øskede, år itegrate er determiistisk og simpel. ) s < t. (12.35) (2) Vis deræst ved Mooto Klasse, at resultatet gælder, år (φ t ) t er determiistisk og begræset. (3) Vis til sidst resultatet ved at approksimere et geerelt (φ t ) t med φ t := φ t 1 { φt <}. Bemærkig Ma ka faktisk lave edu e meget yttig udvidelse af det stokastiske itegral; mere præcist ka φ s dw s defieres for alle progressivt målelige processer (φ t ) t der opfylder φ s 2 ds < med sadsylighed 1 for ethvert t >. Vi skal her ikke komme ærmere id på hvorda dee udvidelse er defieret, me lad os blot æve et par egeskaber: 67

70 1. Itegralet er lieært; 2. ( φ dw s ) t er geerelt ku e såkaldt lokal martigal; dog er processe e martigal, hvis [ ( ) 1] E φs 2 2 ds < for ethvert t >. ( ( 3. Processe t φ ) 2 ) s dw s t φ s 2ds t er e lokal martigal; 4. hvis (φ t ) t har kotiuerte udfaldsfuktioer, ka itegralet approksimeres ved vestresummer; det vil sige i sadsylighed, hvor Edvidere er for t ] k 1 2, k 2 ] Ito s formel φ s dw s = φ s dw s φt = φ k 1 for t ] k 1 2 2, k 2] og k = 1,2,... φ s dw s (12.36) k 1 ( ) ( ) φ i 1 W 2 i=1 i 2 Wi 1 + φ 2 k 1 W t 2 Wk 1 2 E stokastisk proces (X t ) t kaldes e Ito proces, hvis de ka skrives på forme X t = X + φ s dw s + (12.37) a s ds, t, (12.38) hvor (φ t ) t H 2 og (a t ) t er progressivt målelig og opfylder a s(ω) ds < for alle t og ω. I avedelser vil ma ofte kort skrive (X t ) t på differetialform som følger dx t = φ t dw t + a t dt (12.39) Vi skal i det følgede geemgå Ito s formel, der er de stokastiske kalkyles svar på Aalyses Fudametalsætig. Dee formel siger, at hvis ma tager e glat fuktio på e Ito proces, så vil de resulterede proces stadig være e Ito proces; desude gives e opskrivig på forme (12.38) for de resulterede proces. Lad f : R 2 R f : (x,t) f(x,t) 68

71 opfylde at de partielle afledede x f(x,t), t f(x,t), 2 2 x f(x,t) eksisterer for alle (x,t) og er kotiuerte som fuktio af (x,t). Vi siger da, at f tilhører C 2,1 (R 2 ). Sætig (Ito s formel) Lad f C 2,1 (R 2 ) og (X t ) t være e Ito proces givet ved (12.38). Atag at ( x f(x t,t)) t H 2. Da er f(x t,t) = f(x,)+ + s f(x s,s)ds+ 1 2 x f(x s,s)φ s dw s + 2 x f(x s,s)φ 2 s ds x f(x s,s)a s ds for ethvert t.s. Bemærkig Husk på at pr. defiitio er det stokastiske itegral progressivt målelig, så atagelse ( x f(x t,t)) t H 2 siger altså, at processe opfylder itegrabilitesbetigelse i Defiitio Dette er e lidt irriterede atagelse, som skyldes, at I pt ku har lært at itegrere processer i H 2. Er ma villig til at beytte udvidelse af itegralet, der er skitseret i Bemærkig 12.18, ka atagelse ( x f(x t,t)) t H 2 droppes. Til gegæld vil ma så geerelt ku have at ( x f(x s,s)φ s dw s ) t er e såkaldt lokal martigal. Ito s formel viser, at differetialet af f(x t,t) er d f(x t,t) = x f(x t,t)(φ t dw t + a t dt)+ t f(x t,t)dt x f(x t,t)φt 2 dt, og udyttes (12.38), ka dette kort skrives d f(x t,t) = x f(x t,t)dx t + t f(x t,t)dt x (X t,t)φt 2 dt Eksempel Lad os se på ogle specialtilfælde af Ito s formel. 1. Atag at X t = X + a sds. Da er, for e fuktio f : R R der er C 2 (R), f(x t ) = f(x )+ f (X s )a s ds = f(x )+ f (X s )dx s. (12.4) (Her er det ku ødvedigt at atage f C 1 (R)). Ved sidste lighedsteg beyttede vi Eksempel Specielt har vi 2 2 f(t) f() = f (s)ds 69

72 2. Atag at X t = W t (der svarer til φ t = 1 og a t = ). For e fuktio f : R R der er C 2 (R), har vi da, idet W =, at f(w t ) = f()+ f (W s )dw s + 1 f (W s )ds for alle t.s. (12.41) 2 Hvis ma vil være sikker på at ( f (W t )) t tilhører H 2, ka ma f.eks. atage at f er begræset. Lad specielt f(x) = x 2. Da er f (x) = 2x og f (x) = 2. Dvs. Wt 2 = 2 W s dw s +t og dermed er W s dw s = (W 2 t t)/2. 3. Lad f : R 2 R tilhøre C 2,1 (R 2 ). Vi har da f(w t,t) = f(,)+ t x f(w s,s)dw s + s (W s,s)ds x f(w s,s)ds. (12.42) Bevis for Ito s formel. Vi vil ku bevise (12.41) og ku i tilældet hvor f C 2 (R) med f og f begræsede. Beviset i det geerelle tilfælde forløber på samme måde som edefor, me er mere pakket id i otatio. Beviset bygger på at f ka Taylorudvikles som f(y) f(x) = f (x)(y x)+ 1 2 f (x)(y x) 2 + R(x,y)(y x) 2, x,y R (12.43) hvor R(x, y) er (simultat) kotiuert i (x, y) og opfylder R(x, x) =. Vi vil vise at processere på højre og vestre side af (12.41) er uskelelige, og da begge sider har kotiuerte udfaldsfuktioer æste sikkert, er det ok at vise, at de er modifikatioer. Hold derfor t > fast og lad os vise at (12.41) er opfyldt for dette t æste sikkert. Betragt e iddelig = t < t 1 <... < t k = t af itervallet [,t]. Ved at beytte e teleskoperede sum samt at W = ser vi at f(w t ) f() = Taylorudviklige ovefor viser, at der for hvert j gælder f(w t j ) f(w t j 1 ) = f (W t j 1 ) ( W t j W t j 1 ) k ( f(wt j ) f(w t j 1 ) ) (12.44) j= f (W t j 1 ) ( W t j W t j 1 ) 2 + r(w t j 1,W t j ) ( W t j W t j 1 ) 2 7

73 og dermed er f(w t ) f(w ) = + + k j=1 k j=1 f (W t j 1 ) ( W t j W t j 1 ) (12.45) 1 2 f (W t j 1 ) ( ) 2 W t j W t j 1 (12.46) k r(w t j 1,W t j ) ( ) 2. W t j W t j 1 (12.47) j=1 Vi lader u fihede af iddelige gå mod og viser, at højre side af (12.45) kovergerer mod første led på højre side af (12.41) (i L 2 (P)), at (12.46) kovergerer mod adet led på høreside af (12.41) (i sadsylighed) samt at (12.47) kovergerer mod (i sadsylighed). Resultatet vil så være vist. Lad os u for emhed skyld atage, at t = 1 og lad t j = j 2 for j = 1,...,2. Det vil sige, at vi har k = 2 delepukter. Koverges af højre side af (12.45). Ifølge Eksempel har vi for, som øsket. Koverges af (12.47) mod. Bemærk at 2 r(w t j 1,W t j ) ( ) 2 W t j W t j 1 j=1 2 f (W t j 1 ) ( ) 1 W t j W t j 1 f (W s )dw s j=1 sup j=1,...,2 r(w t j 1,W t j ) 2 ( ) 2. Wt j W t j 1 (12.48) j=1 Da (x,y) r(x,y) er kotiuert (og dermed uiformt kotiuert for x og y i begræsede itervaller) med r(x,x) =, ser vi, at for. Da yderligere sup j=1,...,2 r(w t j 1,W t j ) 2 ( ) 2 Wt j W t j 1 t = 1 j=1 puktvis i sadsylighed ifølge Sætig 9.2, kovergerer vestre side af (12.48) mod i sadsylighed. Koverges af (12.46). Lad os bemærke at 2 j=1 f (W t j 1 ) ( W t j W t j 1 ) 2 = 2 j=1 f (W t j 1 )(t j t j 1 ) 2 (Wt + f ) ] 2 (W t j 1 )[ j W t j 1 (t j t j 1 ). j=1 71

74 Lebesgue s Sætig om Domieret Koverges viser, at første led på højre side kovergerer puktvis (og dermed i sadsylighed) mod 1 f (W s )ds. For at afslutte beviset magler vi blot at vise, at adet led på højre side kovergerer mod i L 2 (P). Me ma ka overbevise sig om, at de stokastiske variable (Wt f ) ] 2 (W t j 1 )[ j W t j 1 (t j t j 1 ), j = 1,...,2, har middelværdi, varias 2(t j t j 1 ) 2 (E [ ( f ( W t j 1 )) 2 ] og er ukorrelerede. Derfor er E ( 2 (Wt f ) 2 (W t j 1 )[ j W t j 1 (t j t j 1 )] ) 2 = j=1 Da t j t j 1 = 1 2 og f er begræset, følger kovergese i L 2 (P). 2 [ ( E f ( )) ] 2 W t j 1 2(t j t j 1 ) 2. j=1 72

75 A E vigtig fuktioalligig Fuktioalligige ϕ(a+b) = ϕ(a)+ϕ(b), ϕ() =, hvor ϕ er e reel fuktio på R +, dukker op flere gage i forbidelse med processer med uafhægige statioære tilvækster, og vi skal i dette appediks studere de tilhørede løsigsmægde. Bemærk at betigelse ϕ() = er e ødvedighed for at opå reelle værdier. Lieære fuktioer x λ x, hvor λ er e reel kostat, opfylder tydeligvis betigelsere, og det ka vises, at disse er de eeste målelige løsiger til problemet. Dette skal vi dog ikke vise her, hvor vi øjes med flg. simplere overvejelser. Ved getage brug af fuktioalligige ses, at ehver løsig ϕ opfylder betigelsere ϕ( m x) = m ϕ(x) for alle x og alle,m 1, dvs. ϕ(t) = t ϕ(1) for alle t Q +. Ved hjælp heraf følger u let. Sætig A.1. E løsig ϕ til fuktioalligige er lieær, hvis ϕ er edre halvkotiuert fra højre i midst et pukt t, dvs. limif ϕ(t ) ϕ(t) for ehver følge t t. Fuktioer, der er højrekotiuert i midst et pukt, specielt mootoe fuktioer, opfylder betigelse, og løsiger af dee art er derfor lieære. Bevis. Fuktioalligige viser, at vi ka atage, at det give pukt t er lig, dvs. limif ϕ(t ) for ehver følge t. Ved foryet brug af ligige følger deræst, at de atagede egeskab gælder i ethvert pukt t, og da Q + er tæt i R +, betyder dette, at ϕ(t) lim if ϕ(q ) = t ϕ(1) for alle t. q Q +,q t Lad u t være vilkårligt givet, og vælg s så at t + s Q +. Ifølge det oveståede gælder derfor ϕ(t)+ϕ(s) = ϕ(t + s) = (t + s) ϕ(1) og derfor ϕ(t) t ϕ(1) = s ϕ(1) ϕ(s). D.v.s. alt i alt ϕ(t) = t ϕ(1), hvilket er det øskede resultat. Det overlades til læsere at eftervise, at der gælder et tilsvarede resultat, hvis R + udskiftes med et iterval af forme [,a]. Læsere bør også overveje, at ved trasformatio med logaritmefuktioe ka oveståede beyttes til at vise, at ehver højrekotiuert ikke-egativ fuktio ϕ defieret på R +, som opfylder fuktioalligige ϕ(a+b) = ϕ(a) ϕ(b), ϕ(1) = 1, 73

76 er på forme x exp(λx) for et eller adet reelt tal λ. Dette resultat gælder ligeledes for komplekse fuktioer ϕ, hvilket ses ved at studere ϕ og argϕ hver for sig. 74

77 B Regulære betigede fordeliger Vi betragter et sadsylighedsfelt (Ω, F, P) hvorpå alle stokastiske variable i det følgede er defieret. Lad X og Y være stokastiske variable. I det følgede skal vi udersøge hvorda ma ka defiere e betiget sadsylighed af type P(X A Y = y). Når P(Y = y) > er der ikke så meget at spille om, for da vil vi lade P(X A Y = y) = P({X A} {Y = y}) P(Y = y) (B.1) Geerelt er det dog ødvedigt at beytte følgede defiitio, der kytter sig til defiitioe af e betiget sadsylighed givet e σ-algebra. Defiitio B.1. Lad X og Y være stokastiske variable der tager værdier i polske rum S 1 og S 2. Vi siger da, at P X Y (A y), defieret for A B(S 1 ) og y S 2, er er e regulær betiget fordelig af X givet Y, hvis følgede er opfyldt. 1) A P X Y (A y) er et sadsylighedsmål på (S 1,B(S 1 )) for ethvert y S 2. 2) y P X Y (A y) er målelig mht (B(S 2 ),B(R)) for ethvert A B(S 1 ). 3) P X Y (A Y) = E[1 {X A} Y] P-.s. Vi viser i e opgave, at egeskabe 3) ækvivalet ka formuleres som Love om Total Sadsylighed: P(X A,Y B) = P X Y (A y)p Y (dy) (B.2) for alle A B(S 1 ) og B B(S 2 ). Ma ka vise, at der fides e og op til ulmægder ku e regulær betiget fordelig af X givet Y. Se Hoffma bid 2 for eksistese. Helt præcis ka etydighede formuleres som følger: Hvis P X Y og P X Y er regulære betigede fordeliger af X givet Y, så er P X Y ( y) = P X Y ( y) for P Y -æste alle y. Overalt i det følgede vil vi lade P X Y (A y) betege e regulær betiget fordelig af X givet Y. Når vi taler om fordelige af X givet Y = y, så meer vi blot sadsylighedsmålet P X Y ( y). Dee fordelig vil også blive beteget X Y = y. Desude vil vi ofte skrive P(X A Y = y) i stedet for P X Y (A y). E afbildig µ(a,y 2 ) defieret for y 2 S 2 og A B(S 1 ), der opfylder 1) og 2) ovefor (med P X Y ( ) erstattet af µ(, )), kaldes i øvrigt for e Markovkere. Stadardbeviset viser, at der for f bb(s 1 ) gælder E[ f(x) Y] = f(x)p X Y (dx Y). S 1 Vi defierer derfor E[ f(x) Y = y] := f(x)p X Y (dx y) S 1 B 75 (B.3) (B.4)

78 og oterer, at e avedelse af de lille trasformatiossætig viser, at E[ f(x)] = E[ f(x) Y = y]p Y (dy). S 2 Lad os se på ogle eksempler. Eksempel B.2. Atag at y S 2 med P(Y = y ) >. Da gælder P X Y (A y ) = P({X A} {Y = y }) P(Y = y ) (B.5) (B.6) Eksempel B.3. Atag at S 1 = S 2 = R og at (X,Y) er er absolut kotiuert med tæthed f X,Y. Da gælder, at givet Y = y er X absolut koiuert med tæthed x f X,Y(x,y) f Y (y). Her er der dog det (lille) problem, at ævere ka være ul. Lad os derfor idføre e vilkårlig tæthed g på R og defiere { fx,y (x,y) f X Y (x y) := f Y (y) hvis f Y (y) > g(x) hvis f Y (y) = Da gælder P X Y (A y) = A f X Y(x y)dx. Der er desude et par vigtige regeregler for betigede sadsyligheder, som I bør kede. Propositio B.4. 1) De stokastiske variable X og Y er uafhægige hvis og ku hvis der for P Y -æste alle y gælder P(X A Y = y) = P(X A) for alle A B(S 1 ). 2) Lad φ : S 1 S 2 S 3 hvor S 3 er et polsk rum og φ er målelig. Da er for P Y -æste alle y. P(φ(X,Y) A Y = y) = P(φ(X,y) A Y = y), A B(S 3 ), (B.7) Egeskabe 1) siger altså, at X og Y er uafhægige hvis og ku hvis fordelige X Y = y ikke afhæger af y. Bemærk også at hvis der fides et sadsylighedsmål µ på S 1 således at der for P Y -æste alle y gælder P(X A Y = y) = µ(a) for alle A B(S 1 ), så er X og Y uafhægige og µ er fordelige for X. (Dette følger af (B.2).) Edvidere 2) ka formuleres som egeskabe at φ(x,y) Y = y φ(x,y) Y = y for P Y -æste alle y. I øvrigt viser 1) og 2) samme at hvis X og Y er uafhægige, så er φ(x,y) Y = y φ(x,y). Resultatet i 2) er kedt uder avee Nyttig Regel og De Bevidstløse Statistikers Regeregel. Lad os se på ogle avedelser. 76

79 Eksempel B.5. Atag at X og Y er reelle stokastiske variable så X Y = y N(y,1). Da gælder, at X Y og Y er uafhægige samt at X Y N(, 1). Bemærk emlig at egeskabe X Y = y N(y, 1) ifølge de Bevidstløse Statistiker medfører X Y Y = y X y Y = y N(,1). Da de betigede fordelig af X Y givet Y = y således ikke afhæger af y, følger fra Propositio B.4 1) at X Y og Y er uafhægige samt at X Y har de agive fordelig. Eksempel B.6. Lad os geeralisere Eksempel B.5. Atag at S 1 = S 2 = R og at µ er et sadsylighedsmål på R. Da gælder, at X Y og Y er uafhægige hvis og ku hvis P X Y (A y) := µ(a y), y S 2,A B(S 1 ) er e regulær betiget fordelig af X givet Y. I givet fald har X Y fordelig µ. Ved hælp af regulære betigede fordeliger ka vi edvidere formulere Markovegeskabe som følger Sætig B.7. Lad T = R + eller T = Z + og S være polsk. Lad (X t ) t T være e stokastisk proces med tilstadsrum S. Følgede udsag er da ækvivalete. (1) (X t ) t T er Markov. (2) For alle t,s T og t 1 <... < t t gælder P(X t+s A X t1 = x 1,...,X t = x,x t = x) = P(X t+s A X t = x) for alle A B(S) og P (Xt1,...,X t,x t)-æste alle (x 1,...,x,x). Bevis. Egeskabe i (2) ka pr. defiitio af regulære betigede fordeliger også formuleres som E[1 {Xt+s A} σ(x t1,...,x t,x t )] = E[1 {Xt+s A} σ(x t )] P.s. og at dette er ækvivelet med (1) ses derfor af Propositio 1.1. Resultatet i (2) ka også formuleres som egeskabe X t+s (X t1 = x 1,...,X t = x,x t = x) X t+s X t = x Eksempel B.8. Lad (X t ) t være e reel proces med uafhægige tilvækster, og lad os via de Bevidstløse Statistiker vise, at dee proces er Markov. Lad emlig s > og t 1 <... < t < t. Da har vi X t+s (X t1 = x 1,...,X t = x,x t = x) =(X t+s X t )+X t (X t1 = x 1,...,X t = x,x t = x) (X t+s X t )+x (X t1 = x 1,...,X t = x,x t = x) og da X t+s X t er uafhægig af (X t1,...,x t,x t ) ser vi at X t+s (X t1 = x 1,...,X t = x,x t = x) x+(x t+s X t ). Da fordelige ikke afhæger af x 1,...,x, følger Markov egeskabe. 77

80 C Martigaler Martigalere udgør e meget vigtig og velstuderet procestype. De store iteresse for disse processer skyldes, at de dukker aturligt op i utroligt mage sammehæge, og at ma for martigalere bladt adet ka vise flotte maksimaluligheder samt iteressate kovergessætiger. Derudover er de tidligere omtalte modifikatiossætig for martigaler særdeles vigtig. I har i Sadsylighedsteori 2 eller 1.2 allerede studeret diskret tids martigaler, og vi vil derfor her især kocetrere os om processer med kotiuert tid, dvs. T = R +. Alle processer omtalt i det følgede tækes defieret på et givet sadsylighedsfelt (Ω,F,P). Defiitio. Lad T R. Processe (X t,f t ) t T kaldes e martigal, hvis (F t ) t T er et filter i F, og (X t ) t T er e reel itegrabel F t -adapteret proces, så at E[X s F t ] = X t P.o. for alle t s hvor s,t T. Hvis = erstattes af hhv. taler ma om e super- hhv. submartigal. Da (F t ) ideholder (Ft X ), dvs. Ft X F t for alle t, er (X t ) specielt e martigal i hht. defiitioe på side 6. I tilfældee T = Z = {..., 2, 1,} og T = R =],], kalder vi også e martigal for e baglæs martigal; e ligede sprogbrug beyttes i sub- og supermartigaltilfældee. Som det er bekedt fra det tids diskrete tilfælde, er (ax t +by t,f t ) t T e martigal for alle reelle tal a og b, hvis (X t,f t ) t T og (Y t,f t ) t T er martigaler, hvorimod det tilsvarede resultat for sub - og supermartigaler ku holder for ikke-egative a og b. Derimod er (X t,f t ) t T e submartigal, hvis og ku hvis ( X t,f t ) t T er e supermartigal. Tilsvarede viser Jese s ulighed for betigede middelværdier, at hvis (X t,f t ) t T er e martigal, og ϕ : R R e koveks fuktio, så er (ϕ(x t ),F t ) t T e submartigal, h- vis processe (ϕ(x t )) er itegrabel. Er (X t,f t ) t T ku e submartigal, gælder resultatet stadigt, hvis det yderligere atages, at ϕ er ikke-aftagede. Specielt er ( X t,f t ) t e submartigal, hvis (X t,f t ) t T er e martigal og (X t +,F t ) t T e submartigal for ehver submartigal (X t,f t ) t T. Vort første mål er at vise maksimaluligheder og kovergessætiger for martigaler med kotiuert tid. Idee i bevisere er at overføre de tilsvarede resultater fra diskret tid til kotiuert tid via observatioe, at hvis (X t,f t ) t er e martigal (sub eller super), så er (Y,G ), hvor Y := X t, G := F t og t t, e diskret tids martigal (sub eller super). Tilsvarede har vi at hvis t t 1... t... så defierer (Y,G ), hvor Y := X t, G := F t for e diskret tids baglæs martigal (sub eller super). Vi skal gøre brug af følgede resultat. 78

81 Lemma C.1. Lad T R + og atag T. Lad (X t,f t ) t T være e submartigal. Da gælder sup t T E[X + t ] < hvis og ku hvis sup t T E[ X t ] <. Bevis. Bemærk at for t T er E[X + t ] E[ X t ], hvilket giver hvis -dele. Desude gælder E[ X t ] = 2E[X + t ] E[X t ] 2E[X + t ] E[X ] hvor vi ved sidste ulighedsteg udyttede at submartigalegeskabe sikrer E[X ] E[X t ]. Dette viser ku hvis -dele. C.1 Resultater i diskret tid De fleste af resultatere edefor har I mødt tidligere. Resultat 1. Optioal Samplig. Hvis (X,F ) er e martigal, så er E[X T F S ] = X S P.o. for ethvert par af begræsede (F )-stoptider S T. Processe (X T,F ) er specielt e martigal for ehver (F )-stoptid T. (Der gælder et tilsvarede resultat for sub - og supermartigaler.) Resultat 2. Maksimaluligheder. Hvis (X,F ) er e submartigal, så gælder for alle 1 og alle λ > 1) λ P(mi k X k λ) E[X ]+E[X + ], 2) λ P(max k X k λ) E[X,max k X k λ ] E[X + ]. specielt er λ P(max k X k λ) 3 max k E[ X k ], og dermed λ P(sup k X k λ) 3 supe[ X k ] for alle λ >. k D.v.s. variable sup k X k er edelig P-.o., hvis sup k E[ X k ] <. Resultat 3. Opkrydsigsuligheder. Hvis (X,F ) er e submartigal, gælder for alle 1 og alle a < b reelle tal E[U X (,{,1,...,};[a,b])] E[(X a) + (X a) + ]/(b a). Ved at lade fås specielt, at E[U X (,Z + ;[a,b])] er edelig P-.o. for alle reelle tal a < b, hvis sup k E[ X k ] <. (Se Lemma C.1). Ovefor beteger U X (,{,1,...,};[a,b]) atal opkrydsiger for (X m ) m= over [a,b]. Se Appedix F for de præcise defiitio. E vigtig avedelse af de to foregåede resultater samt Resultat C i appedix F giver følgede versio af martigalkovergessætige. 79

82 Resultat 4. Kovergessætiger. Hvis (X,F ) er e submartigal, eksisterer lim X P-.o. og er P-itegrabel, hvis sup E[ X ] <. Der er derfor koverges P-.o. samt i L 1, hvis og ku hvis {X 1} er uiformt itegrabel. Resultat 5. Doob s Ulighed. Lad p > 1 med tilhørede kojugerede tal q være givet. Hvis (X,F ) er e martigal eller e ikke-egativ submartigal, så eksisterer lim X P-.o. og i L p hvis og ku hvis sup X p <, og der gælder flg. uligheder sup k X k p q X p for alle og sup Bemærk at tallee X p vokser med. X p q sup X p. Resultat 6 Atag at (X,F ) er e baglæs submartigal. Så eksisterer lim X P-.o. og i L 1 hvis og ku hvis if E[X ] >. Resultat 6 er yt, så lad os skitsere et bevis. Bevis. Ku hvis -dele er oplagt, så vi skal ku se på hvis -dele. Lad os først idse at (X ) er uiformt itegrabel. Vi vil dog ku vise dette i tilfældet hvor (X,F ) er e baglæs martigal. (Et bevis i det geerelle tilfælde fides i Hoffma, bid 1). I martigaltilfældet er X = E[X F ] og da familie (E[X F ]) som bekedt er uiformt itegrabel, følger det øskede. For e uformt itegrabel familie gælder, at koverges æste sikkert medfører koverges i L 1. For at afslutte beviset magler vi derfor bare at vise at lim X eksisterer P-.o. Dette følger imidlertid ved at argumetere som i beviset for martigalkovergessætig. Det vil sige, at ma ved hjælp af opkrydsigsulighede i Resultat 3 viser, at med sadsylighed 1 foretager processe (X ) ku edeligt mage opkrydsiger over et vilkårligt iterval [a,b]. Heraf følger som i Appedix F, at X kovergerer æste sikkert. Lad os give e vigtig avedelse. Sætig C.2. (Lévy s Sætig). Lad (Ω,F,P) være et sadsylighedsfelt og lad (F ) være et filter. Det vil sige at for hele tal,m med m er F F m F. Sæt F := F. Lad X betege e stokastisk variabel med edelig middelværdi. Da gælder at E[X F ] E[X F ] P-.o. og i L 1 (P) for. Bevis. Det er velkedt, at hvis vi defierer X := E[X F ], så er (X,F ) e baglæs martigal. Lad { lim X X (ω) := (ω) hvis græseværdie eksisterer i R ellers. 8

83 Resultat 6 viser, at X X P-.o. og i L 1 (P). Vi magler derfor blot at vise, at X = E[X F ]. Bemærk at X er F m -målelig for ethvert m. Derfor er X pr. defiitio også F m -målelig for ethvert m. Da F = m F m følger, at X er F -målelig. Vi skal derfor blot, pr. defiitio af e betiget middelværdi, vise at E[X,A] = E[X,A], for A F. (C.1) Me vi bemærker at for er E[X,A] = E[X X,A]+E[X,A] = E[X X,A]+E[X,A] hvor vi ved sidste lighedsteg beyttede at X = E[X F ]. Da X X i L 1 (P) har vi E[X X,A] for, og heraf følger (C.1). C.2 Resultater i kotiuert tid Vi vil u se på resultater i kotiuert tid. Lad hertil (X t,f t ) t betege e submartigal, og lad betege e give tællelig delmægde af R + ideholdt i et begræset iterval [l,r]. Da er tællelig ka vi vælge e følge af edelige delmægder (D ) 1, så at D D +1 for alle og D =. Kotiuitete af sadsylighedsmålet samt mooto koverges sætig sikrer derfor, at for alle λ > er P(supX t > λ) = limp(maxx t > λ) t t D og tilsvarede samt for alle reelle tal a < b P( if t X t < λ) = lim P(mi t D X t < λ) E[U X (,,[a,b])] = lim E[U X (,D,[a,b])]. Ved e passede ummererig ka vi atage D = {t,...,t k }, hvor l t t k r. Resultat 2 og 3 avedt på de diskrete submartigal (X ti,f ti ) i k t E[X t ] og ligeledes t E[X t + ] er voksede, at og P(max t D X t > λ) λ 1 E[X + r ] P(mi t D X t < λ) λ 1 (E[X + r ] E[X l ]) giver derfor, da 81

84 samt E[U X (,D,[a,b])] E[(X r a) + (X l a) + ]/(b a). Idsættes dette i det oveståede, har vi hermed vist følgede sætig. Sætig C.3. Lad (X t,f t ) t betege e submartigal, og lad betege e tællelig delmægde af R + ideholdt i et begræset iterval [l,r]. For ethvert λ > og ethvert par af reelle tal a < b gælder da P(supX t λ) λ 1 E[X r + ], t P( if t X t λ) λ 1 (E[X + r ] E[X l ]) og derfor ved additio P(sup t X t λ) 3/λ sup t [l,r] E[ X t ], samt E[U X (,,[a,b])] E[(X r a) + (X l a) + ]/(b a). Hvis (X t ) t har lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer gælder tilsvarede uligheder for erstattet af hele itervallet [l,r]. De sidste påstad følger umiddelbart af højrekotiuitete ved at bruge ulighedere svarede til de tællelige mægde = {l,r} (Q + [l,r]). Vi vil deræst studere kovergesresultater. Disse deler sig aturligt i to kategorier omhadlede dels koverges P-.o. og dels koverges i L p (p 1). De sidste type er de simpleste, thi da koverges i L p er metrisk, gælder for ehver reel proces (X t ) t og ethvert p 1, følgede betigelse for eksistes af græseværdi lim t X t eksisterer i L p, hvis og ku hvis lim X t eksisterer i L p for ehver følge af voksede tidspukter t, som går mod. Dvs. L p -koverges for t for e proces med kotiuert tid er et spørgsmål om L p - koverges af følger. Vi har derfor flg. direkte geeralisatio af oveståede resultat omhadlede diskret tid. Sætig C.4. Hvis (X t,f t ) t er e submartigal, så eksisterer lim t X t i L 1, hvis og ku hvis {X t t } er uiformt itegrabel. Hvis (X t,f t ) t er e martigal eller e ikke-egativ submartigal, så eksisterer for ethvert p > 1 lim t X t i L p, hvis og ku hvis sup t X t p <. Lad (X t,f t ) t være e submartigal. Husk på at da er (X t +,F t ) t ligeledes e submartigal. Da der dermed gælder, at t E[X t + ] er voksede, giver Lemma C.1, at t E[ X t ] er begræset på edelige itervaller. Heraf følger fra Resultat 6, at følgede gælder. Lemma C.5. For e submartigal (X t,f t ) t er t X t højrekotiuert i sadsylighed hvis og ku hvis t X t er højrekotiuert i L 1. 82

85 Bevis. Da begge kovergesformer er metriske, er det ok at se på følger. Me for sådae er resultatet e umiddelbar kosekves af teorie om baglæs submartigaler, se Resultat 6 side 8. Vi ka få et resultat vedrørede koverges P-.o. ved at beytte opkrydsigsulighedere samt Resultat C i Appediks F. Helt præcist gælder følgede. Sætig C.6. Lad (X t,f t ) t betege e submartigal hvis udfaldsfuktioer alle er højrekotiuerte. Da eksisterer lim t X t P.o., hvis sup t E[ X t ] <. I givet fald er lim t X t L 1 (P). Hvis mægde {X t t } er uiformt itegrabel, er der også L 1 -koverges. Bevis. Ifølge Sætig C.3 betyder atagelsere, at hædelsere { sup s Q + X s < } og a<b, a,b Q {U X (,Q +,[a,b]) < } begge har sadsylighed 1. Dvs. for.a. ω opfylder t X t (ω) betigelse i Resultat C i Appediks F. Dette giver eksistese af e græseværdie P-.o., og itegrabilitete af lim t X t er derefter e umiddelbar kosekves af Fatou s lemma. Påstade agåede koverges i L 1 følger ved stadard argumeter, thi som allerede ævt, er det ok at se på følger, og her er det velkedt, at uiform itegrabilitet og koverges P-.o. sikrer koverges i L 1. Til slut formuleres Doob s ulighed for processer med kotiuert tid. Sætig C.7. Doob s Ulighed. Lad (X t,f t ) t betege e martigal eller e ikke-egativ submartigal med lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer. Lad p > 1 samt det tilhørede kojugerede tal q være givet. Da gælder flg. uligheder sup s t X s p q X t p for alle t og sup t X t p q sup X t p. t Bevis. Resultatet er e kosekves af højrekotiuitete og Resultat 5 avedt på processere (X /2 k,f /2 k) svarede til ethvert k 1. Thi for ethvert dyadisk ratioalt tal t er sup s t X s = sup k sup :/2 k t X /2 k og sup t X t = sup k sup X /2 k. 83

86 D Martigalmodifikatiossætige Lad (X t,f t ) t betege e submartigal. Lige før Lemma C.5 argumeterede vi for, at t E[ X t ] er begræset på begræsede itervaller. Maksimal - og opkrydsigsulighedere (Sætig C.3) viser, at hædelse Ω = { sup X s < } {U X (,Q [,],[a,b]) < } =1 s Q [,] =1 a<b, a,b Q har sadsylighed 1. Ifølge appediks F, Resultat B, defierer fastsættelse Xt h (ω) := lim X t(ω) 1 Ω (ω) t, ω Ω s t,s Q derfor e reel proces (X h t ) t med cadlag, og dermed lokalt begræsede, udfaldsfuktioer. For ethvert t og ehver følge (t ) Q, så at t t gælder derfor X h t = lim X t P-.o., thi pr. defiitio er X h t (ω) = lim X t (ω) 1 Ω (ω) for alle ω. Heraf uddrages umiddelbart flg. resultat. Martigalmodifikatiossætige. Ehver submartigal, der er højrekotiuert i sadsylighed, har e cadlag modifikatio. Vi vil u se ærmere på processe (X h t ). Da Ω er e målelig ulmægde er X t 1 Ω F t for alle t. Ved græseovergag følger derfor, at (X h t ) er (F t+)-adapteret. Edvidere er (Xt h ) e itegrabel proces, thi ifølge Fatou s lemma gælder for ethvert t og ehver følge (t ) Q, t t, at E[ Xt h ] limife[ X t ] < Udyttes teorie om baglæs submartigaler (se side 8) fås tillige, at Xt h = lim X t i L 1. Dette giver yderligere, at t E[Xt h ] er højrekotiuert, idet E[X h t ] = lim E[X t ] = lim s t E[X s ] = m X (t+). Me betiget middelværdidaelse er som bekedt e kotraktio L 1, og for alle t og ehver følge (t ) Q, t t gælder derfor E[X h t F t ] = lim E[X t F t ] i L 1, 84

87 hvilket ved overgag til e delfølge ( k ), hvor der er koverges P-.o., betyder, at E[X h t F t ] = lim k E[X tk F t ] X t P-.o. Ved successiv betigig udvider dette for alle s < t til ulighede E[X h t F s ] X s P-.o. Hvis (X t,f t ) t er e martigal, ka overalt erstattes med =. Vi har derfor i det væsetlige vist flg. sætig. Sætig D.1. Lad (X t,f t ) t betege e submartigal. De reelle proces (Xt h ) har da flg. egeskaber 1) Udfaldsfuktioere er cadlag, specielt lokalt begræsede. 2) (X h t ) er e itegrabel (F t+ )-adapteret proces, og m X h er højrekotiuert. 3) (X h t,f t+ ) t er e submartigal og E[X h t F t ] X t P-.o. for t. Pukt 3 gælder med = i stedet for, hvis (X t,f t ) t er e martigal. Bevis. Det eeste vi magler at vise, er submartigalegeskabe i pukt 3. Lad derfor s < t være givet og lad (s ) Q betege e følge af ratioale tal så at s < s < t for alle og s s. Ifølge det oveståede har vi og derfor også for alle, da E[X h t F s ] X s P-.o. for alle 1 E[X h t F s ] X s P-.o. E[X h t F s ] = E[X h t F s ] P-.o. pr. defiitio af kompletterig. Påstade følger derfor, da X s X h s P-.o. og F s+ = F s og dermed (ifølge Lévy s Sætig C.2) lim E[X h t F s ] = E[X h t F s+ ] i L 1. Korollar D.2. Lad (X t ) t være e submartigal. Processere (X t ) t og (X h t ) t er da modifikatioer, hvis F t+ = F t for alle t, og middelværdifuktioe t E[X t ] er højrekotiuert. Dette sidste gælder specielt, hvis (X t ) t er e martigal. Bevis. Atagelse om filtret og ulighede i pukt 3 viser, at for ethvert t er X h t X t P-.o., hvoraf påstade følger ved at tage middelværdi på begge sider og udytte, at E[X h t ] = lim s t E[X s ] = m X (t+) = m X (t) = E[X t ]. 85

88 E Optioal samplig i kotiuert tid I dette afsit geeraliseres Resultat 1 side 79 til processer med kotiuert tid, idet vi viser flg. pedat til Resultat 1. Sætig E.1. Optioal Stoppig Lad (X t,f t ) t betege e højrekotiuert submartigal, og lad S T betege begræsede udvidede (F t )-stoptider. Da er X T og X S itegrable og E[X T F S+ ] X S P-.o.. Hvis (X t,f t ) t er e martigal, ka erstattes af =. Ide vi beviser sætige uddrages flg. korollar. Vi formulerer det ku i submartigal tilfældet, me det gælder også med de aturlige præciseriger i martigal tilfældet. Korollar E.2. E[X T ] E[X ] for ehver begræset udvidet stoptid T. (X T t,f t ) t er e højrekotiuert submartigal for ehver udvidet stoptid T. Bevis for korollaret. Da første del af korollaret er e umiddelbar kosekves af sætige, kocetrerer vi os udelukkede om at vise ade del. Lad T betege e give udvidet stoptid. For ethvert t er T t e begræset udvidet stoptid, og de er F t -målelig. Sætige sikrer derfor, at (X T t ) er e itegrabel proces, og ifølge højrekotiuitete og de deraf følgede progressive målelighed er (X T t ) også (F t )-adapteret. For give s < t følger submartigalegeskabe u af sætige, thi da {T < s} F s, er E[X T t F s ] = E[X T t (1 {T<s} + 1 {T s} ) F s ] = E[X T s 1 {T<s} + X T t s 1 {T s} F s ] = X T s 1 {T<s} + E[X T t s F s ] 1 {T s} X T s 1 {T<s} + X s 1 {T s} = X T s P.o. Bevis for Sætige. Lad (S ) og (T ) betege de diskrete approksimatioer til hhv. S og T. Betragt for givet de tidsdiskrete proces (X k/2 +1,F k/2 +1). Ifølge egeskaber ved de diskrete approksimatio er S, S +1, T og T +1 begræsede stoptider mht.(f k/2 +1) k, dvs. {T = k/2 +1 } F k/2 +1 for alle k,, hvor T er ete S, S +1, T eller T +1, og da S +1 S T og T +1 T, 86

89 følger af Resultat 1 side 79, at variablee X S+1, X S, X T og X T+1 alle er itegrable med middelværdier, der er større ed E[X ], og edvidere holder ulighedere E[X T F T+1 ] X T+1, E[X S F S+1 ] X S+1 og E[X T F S ] X S P.o. (E.1) Lad (Y,G ) og (Z,H ) være defieret ved Y := X T, Z := X S, H := F T H := F S Ligig (E.1) viser da, at (Y,G ) og (Z,H ) er baglæs submartigaler. Højrekotiuitete af udfaldsfuktioere for (X t ) t viser, at Y X T og Z Y S for puktvis. Me kovergessætige for baglæs submartigaler side 8 viser så, at X T X T og X S X S i L 1, hvilket specielt viser, at X T og X S er itegrable. Successiv betigig viser, at E[X T F Sk ] X Sk P-.o. for alle k. Da k F Sk = F S+ følger af Lévy s Sætig C.2, at E[X T F S+ ] X S P-.o., hvoraf de øskede ulighed følger ved at lade gå mod uedelig og udytte, at betiget middelværdidaelse er e kotraktio i L 1. Til slut vil vi udersøge, hvad der gælder for geerelle stoptider. Lad fortsat (X t,f t ) t betege e højrekotiuert submartigal. Ifølge Sætig E.1 er (X T,F (T )+ ) og (X + T,F (T )+) submartigaler for ehver udvidet (F t )-stoptid T. Dette betyder, at der for ethvert gælder et sæt af uligheder, og vi vil u lade gå mod uedelig og se, hvad vi får. Som det er bekedt fra de tilsvarede teori i diskret tid, er flg. begreb vigtigt i dee sammehæg. Defiitio E.3. E udvidet (F t )-stoptid T siges at være optioal for (X t ) t, hvis {X T } er uiformt itegrabel. De tids diskrete kovergessætig for submartigaler sikrer, at hvis T er optioal for (X t ) t, så eksisterer lim X T P-.o. og i L 1. Med de idførte defiitio af X T betyder dette, at X T er itegrabel og X T X T i L 1. Lad fortsat T være optioal for (X t ) t, og betragt e vilkårlig udvidet (F t )-stoptid S T. Ved foryet brug af Sætig E.1 fås for alle, at X + S E[X+ T F (S )+] P-.o. 87

90 D.v.s.(X S,F (S )+ ) er e L 1 -begræset submartigal, og lim X S eksisterer derfor P-.o. som e itegrabel variabel. Specielt er X S itegrabel. Me da vi tillige har ulighede E[X T k F (S )+ ] X S P-.o. for alle k sluttes ved for ethvert først at lade k og udytte, at X T k X T i L 1, at E[X T F (S )+ ] X S P-.o. for alle, hvilket ved græseovergage giver E[X T F S+ ] X S P-.o. da σ( F (S )+ ) = F S+. ka erstattes af =, hvis (X t,f t ) t er e martigal. Alt i alt har vi vist. Sætig E.4. Lad (X t,f t ) t betege e højrekotiuert submartigal og lad T betege e udvidet (F t )-stoptid, som er optioal for (X t ) t. Da er X S itegrabel for ehver udvidet (F t )-stoptid S, hvor S T, og E[X T F S+ ] X S P-.o. Hvis (X t,f t ) t er e martigal, ka erstattes af =, og ehver udvidet (F t )-stoptid S T, er ligeledes optioal for (X t ) t. 88

91 F Opkrydsiger For fuldstædighedes skyld præciseres de ødvedige otatio og teori agåede opkrydsiger. Bevisere for de formulerede påstade overlades til læsere. Lad (x i ) i betege e reel talfølge og a < b reelle tal. For ethvert 1 beteges med U((x i ) i,{,...,},[a,b]) atallet af opkrydsiger over itervallet [a,b] af de edelige følge x,...,x. Helt præcist ka dette atal defieres som følger. Lad v = og for l 1 lad v 2l 1 := if{i v 2(l 1) x i < a} og v 2l := if{i v 2l 1 x i > b} hvor if(/) =. Det vil sige at ν 1 er det første i hvor x i < a (og ν 1 = + hvis der ikke fides et sådat i); ν 2 er det første i efter ν 1 hvor x i > b (og ν 1 = + hvis der ikke fides et sådat i); ν 3 er det første i efter ν 2 hvor x i < a (og ν 1 = + hvis der ikke fides et sådat i); og så videre. Da defieres U((x i ) i,{,...,},[a,b]) := k hvor k {,1...,} er etydigt bestemt ved v 2k og v 2(k+1) >. Det vil sige at U((x i ) i,{,...,},[a,b]) agiver atallet af gage x,...,x bevæger sig fra et iveau uder a til et iveau over b. Lad U((x i ) i,[a,b]) := lim U((x i ) i,{,...,},[a,b]) betege atallet af gage x,x 1,... bevæger sig fra et iveau uder a til et iveau over b. Der gælder u flg. resultat. Resultat A Lad (x i ) i betege e reel talfølge, så at U((x i ) i,[a,b]) < for ethvert par af ratioale tal a < b. Da er et af flg. tre pukter opfyldte. 1) x, 2) x, 3) x R : x x. Specielt ses, at hvis følge (x i ) i er begræset, er de koverget med e edelig græseværdi. Lad u f betege e reel fuktio defieret på R +. For ethvert par af reelle tal a < b og ehver edelig delmægde D = {t 1,...,t } R +, hvor t 1 < < t defieres U( f,d,[a,b]) := U((a i ) i,[a,b]) hvor a i = f(t i ) i. Dette udvides til vilkårlige delmægder H af R + ved fastsættelse U( f,h,[a,b]) := sup U( f,d,[a,b]). D H, Dedelig 89

92 Bemærk at U( f,h,[a,b]) = sup U( f,h,[a,b]) hvis H H. Her får vi brug for flg. to resultater. Resultat B Lad f : R + R være givet. Hvis for alle 1 og alle par af ratioale tal a < b U( f,[,] Q,[a,b])+ sup f(t) <, t [,] Q så er der ved fastsættelse t f h (t) := lim f(s) t s t,s Q defieret e cadlag fuktio på R + med reelle værdier. Resultat C Lad f : R + R højrekotiuert være givet. Da er U( f,[, ), [a,b]) = U( f, Q +, [a,b]) for alle reelle tal a < b, og lim t f(t) eksisterer i R, hvis U( f,q +,[a,b])+ sup t Q + f(t) < for alle ratioale tal a < b. Notatio i forbidelse med processer. Hvis (X ) er e reel diskret tids proces defieres for alle ω Ω og alle reelle tal a < b U X (,[a,b])(ω) := U((X (ω)),[a,b]). Det ses let, at dette defierer U X (,[a,b]) som e målelig variabel. Hvis (X t ) t er e reel kotiuert tids proces defieres for alle ω Ω, alle reelle tal a < b samt alle delmægder H af R + U X (,H,[a,b])(ω) := U((t X t (ω)),h,[a,b]). Hvis H er edelig eller tællelig, er U X (,H,[a,b]) målelig, hvorimod dette for vilkårlige H kræver regularitet f.eks. højrekotiuitet af udfaldsfuktioere, thi i givet fald er U X (,H,[a,b]) = U X (,H Q,[a,b]). hvis H er et iterval med ratioale edepukter. 9

93 G Mooto Klasse Lemma I det følgede beteger E e ikke-tom mægde. Lad R betege e multiplikativ mægde af begræsede fuktioer fra E id i R. Multiplikativ betyder, at f,g R medfører f g R. Lad F := σ(r) være σ-algebrae frembragt af R. Det vil sige R er de midste σ-algebra på E, der gør alle f R målelige. Lad os u forestille os, at H er e mægde af begræsede fuktioer fra E id i R. Vi siger, at H er et MVR, hvis (1) H er et vektorrrum. (2) De kostate fuktio 1 tilhører H. (3) Mægde H er lukket uder mooto begræset koverges. Hermed mees følgede: Hvis (i) f : E R er begræset og tilhører H for ethvert, (ii) der gælder f 1 (e) f 2 (e)..., (iii) der fides e kostat C < så f (e) C for ethvert og ethvert e, så tilhører f := lim f ligeledes H. Sætig G.1 (Det Mootoe Klasse Lemma). Lad R og F være som ovefor og atag at H er et MVR. Hvis R er e delmægde af H, vil ehver F -målelig begræset fuktio f : E R tilhøre H. Bemærkig G.2. Vi skal ofte avede det Mootoe Klasse Lemma på følgede måde: Lad F være e σ-algebra på E. Vi øsker da at vise, at ehver F -målelig begræset fuktio fra E id i R har e attraktiv egeskab, p. Hertil beyttes følgede skridt. (a) Vi fider først e lille klasse R af begræsede fuktioer der opfylder at Ehver fuktio i R har egeskabe p; R er e multiplikativ mægde; σ(r) = F. (b) Vi lader deræst H betege mægde af F -målelige begræsede fuktioer f : E R, der har egeskabe p og efterviser at H er et MVR. (Som regel er dette uproblematisk). 91

94 (c) Mooto Klasse siger da, at ehver F -målelig begræset fuktio fra E id i R har de øskede egeskab p. Stadardbeviset, som I tidligere har leget med, svarer til specialtilfældet hvor R = {1 A A F }, me vi skal også betragte adre valg af R. Lad os u give e lille avedelse at det Mootoe Klasse Lemma. Eksempel G.3. Atag at µ, ν er to sadsylighedsmål på [, 1] som opfylder 1 f dµ = 1 f dν (G.1) for ehver kotiuert fuktio f : [, 1] R. Da gælder µ = ν; det vil sige µ(a) = ν(a) for ethvert A B([,1]). (G.2) Vi vil vise mere geerelt, at (G.1) er opfyldt for e vilkårlig målelig og begræset fuktio f : R R. Det vil sige at de attraktive egeskab p altså er, at (G.1) er opfyldt. Specialiserer vi til f = 1 A for A B([,1]) følger (G.2). (a) Lad R = { f f : [,1] R er kotiuert}. Fra et tidligere kursus ved I, at σ(r) = B([,1]). (G.3) Desude er R multiplikativ. Pr. atagelse har vi (G.1) for f R. (b) Lad H være mægde af begræsede målelige fuktioer f : [,1] R, der opfylder (G.1). Liearitete af itegralet viser, at (1) i defiitioe af et MVR er opfyldt, og da 1 [,1] dµ = µ([,1]) = 1 = ν([,1]) = 1 [,1] dν ser vi, at (2) ligeledes er opfyldt. Atag til sidst at f og f er som agivet uder (i) (iii). Da f f og 1 f dµ = 1 f dν, følger af Mooto Koverges på begge sider at 1 f dµ = 1 f dν, og dermed ses, at f ligeledes tilhører H. Det vil sige (3) er også opfyldt. (c) Mooto Klasse viser u, at ehver målelig begræset fuktio f : [,1] R har egeskabe p; det vil sige opfylder (G.1), som øsket. Da ehver kotiuert fuktio på itervallet [, 1] ka approksimeres med polyomier, får vi følgede resultat som korollar. Atag at µ, ν er to sadsylighedsmål på [, 1] som opfylder 1 x dµ(x) = 1 x dν(x) for ethvert =,1,... Da gælder µ = ν. Dette følger som ævt af at (G.4) medfører (G.1). (G.4) 92

95 H Opgaver Opgave 1. Lad (X t ) t T og (Y t ) t T være stokastiske processer med tilstadsrum R, der er defieret på det samme grudlæggede sadsylighedsfelt (Ω,F,P). Vis, at (X t ) t T og (Y t ) t T er modifikatioer hvis og ku hvis processere (X t,y t ) t T og (X t,x t ) t T, der har tilstadsrum R 2, er versioer af hiade. Opgave 2. Giv et eksempel på to reelle (det vil sige tilstadsrummet er R) stokastiske processer (X t ) t T og (Y t ) t T der opfylder (i) X t og Y t har samme fordelig for ethvert t T ; det vil sige P(X t A) = P(Y t A) for alle t og alle A B(R); (ii) (X t ) t T og (Y t ) t T er ikke versioer hiade. Sammelig (i) med betigelse (1.1), der sikrer, at processere er versioer af hiade. Opgave 3. (Uafhægighed af stokastiske processer) Lad (X t ) t T1 og (Y s ) s T2 være stokastiske processer, der hhv. har tilstadsrum (S 1,B 1 ) og (S 2,B 2 ). Vi siger, at de to stokastiske processer er uafhægige, hvis σ(x t t T 1 ) og σ(y s s T 2 ) er uafhægige. Vis, at (X t ) t T1 og (Y s ) s T2 er uafhægige hvis og ku hvis følgede betigelse er opfyldt: For alle 1, 2 1, t 1,...,t 1 T 1 og s 1,...,s 2 T 2 gælder, at de stokastiske vektorer (X t1,...,x t1 ) og (Y s1,...,y s2 ) er uafhægige. (Disse stokastiske vektorer tager hhv. værdier i (S 1 1,B 1 1 ) og (S 2 2,B 2 2 ).) VINK til hvis -dele: Beyt Mooto Klasse samt at σ(x t t T 1 ) = σ( 1 i=1 {X t i A i } 1 1 og t i T 1 og A i B 1 for = 1,..., 1 ) med e tilsvarede opskrivig for σ(y s s T 2 ). Opgave 4. Lad T = R + og S = R, og lad ν være N(,1)-fordelige. Det vil sige ν(a) = A 1 2π e 1 2 x2 dx for A B(R). For t 1 < t 2 < t defiér π(t 1,...,t ) := ν ν ν, hvor agiver produktmålet og ν optræder gage på højre side. Det vil sige at π(t 1,...,t ) er målet på R der opfylder π(t 1,...,t )(A 1 A ) = ν(a 1 ) ν(a ) for A 1,...,A B(R). 93

96 (1) Vis, at {π(t 1,...,t ) t 1 < < t } er kosistet. (2) Lad (X t ) t betege e realisatio. Gør rede for at (X t ) t er statioær og agiv kovariasfuktioe Γ X. Udersøg også om (X t ) t har uafhægige tilvækster. Lad os u idføre e ade familie {π (t 1,... < t ) t 1 <...t } af fordeliger som følger. Lad π (t 1 ) := N(,2) for ethvert t 1 R +. Når 2 lader vi π (t 1,...,t ) := π(t 1,...,t ). (3) Udersøg om {π (t 1,...,t ) t 1 < < t } er kosistet. Opgave 5. Lad (X t ) t og (Y t ) t betege reelle stokastiske processer; det vil sige tilstadsrummet er R. Atag at disse processer er versioer. Vis, at (X t ) t er e martigal hvis og ku hvis (Y t ) t er e martigal. Opgave 6. Lad (Ω,F,P) være et sadsylighedsfelt og G være e σ-algebra så G F. Lad X være e stokastisk variabel og atag at E[exp(iθX)1 A ] = P(A)E[exp(iθX)] for ethvert θ R og A G. Vis, at G og X er uafhægige. (Det vil sige at A og X er uafhægige for ethvert A G. Ækvivalet: 1 A og X er uafhægige stokastiske variable). VINK: Etydighedssætige for karakteristiske fuktioer. Opgave 7. I ærværede opgave skal vi beytte et lille resultat, som I har vist i et tidligere kursus: Atag at X og Y er uafhægige stokastiske variable så at X +Y L 1. Da gælder, at X og Y tilhører L 1. Dette resultat må I tage for givet. Lad (X t ) t være e proces med tilstadsrum R, der har uafhægige statioære tilvækster. Vis, at hvis der fides et t > således at X t L 1, så gælder for ethvert t at X t L 1. Opgave 8. Lad (X t ) t være e proces med tilstadsrum R, der har uafhægige statioære tilvækster. Atag for emheds skyld X =. (1) Atag i dette spørgsmål at (X t ) t er e itegrabel proces. Vis, at m X (s+t) = m X (s)+m X (t) for alle s,t. Slut heraf at m X (t) = tm X (1) for ethvert t Q +. Vis, at hvis t X t er højrekotiuert i sadsylighed, så er m X (t) = tm X (1) for ethvert t. 94

97 (2) Atag at (X t ) t er e kvadratisk itegrabel proces. Vis, at σ X (t + s) = σ X (t) + σ X (s) for alle t,s. Slut heraf at der gælder σ X (t) = tσ X (1) for ethvert t. Opgave 9. Lad (X t ) t og (Y t ) t være reelle processer med statioære uafhægige tilvækster som opfylder at X t Y t for ethvert t. Gør rede for at (X t ) t og (Y t ) t er versioer af hiade. Opgave 1. Lad (X t ) t være e reel proces med statioære uafhægige tilvækster. Vis, at følgede tre udsag er ækvivalete (1) (X t ) t er højrekotiuert i sadsylighed. (2) For t gælder at X t X i sadsylighed. (3) (X t ) t er kotiuert i sadsylighed. Opgave 11. Atag at X N(µ,σ 2 ) for = 1,2,... samt at µ µ og σ 2 σ 2. Vis, at X N(µ,σ 2 ). Opgave 12. Lad S 1 og S 2 være polske rum. Lad X og Y være stokastiske variable så X tager værdier i S 1 og Y i S 2. Lad P X Y (A y), defieret for y S 2 og A B(S 1 ), betege e regulær betiget fordelig af X givet Y. Vis, at y S 1 g(x,y)p X Y (dx y) er (B(S 2 ),B(R))-målelig samt at E[g(X,Y)] = S 2 S 1 g(x,y)p X Y (dx y)p Y (dx) for ehver fuktio g : S 1 S 2 R der er (B(S 1 ) B(S 2 ),B(R))-målelig og begræset. Opgave 13. I dee opgave skal vi vise Nyttig Regel. Lad S 1,S 2 og S 3 være polske rum og atag at P X Y (A y) defieret for y S 2 og A B(S 1 ) er e regulær betiget fordelig af X givet Y, hvor X tager værdier i S 1 og Y i S 2. Lad φ : S 1 S 2 S 3. Defiér P φ(x,y) Y (B y) := 1 B (φ(x,y))p X Y (dx y) for B B(S 3 ),y S 2. S 1 Vis, at P φ(x,y) Y er e regulær betiget fordelig af φ(x,y) givet Y. Opgave 14. Lad X,ε 1,ε 2,... være uafhægige reelle stokastiske variable, hvor ε ere er idetisk fordelte. Lad φ : R 2 R være målelig. Defiér X +1 = φ(x,ε +1 ) for =,1,... 95

98 (1) Vis, at (X ) Z+ er Markov ved hjælp af Nyttig Regel og Sætig B.7. (2) Vis, at (X ) Z+ er Markov ved hjælp af Propositio 1.1. (3) Vis, at (X ) Z+ er statioær hvis og ku hvis X X 1. Opgave 15. Lad X,Y være stokastiske variable der tager værdier i polske rum S 1 og S 2 rum. Lad P X Y (A y),a B(S 1 ),y S 2, være e Markovkere. (1) Vis, at P X Y er e regulær betiget fordelig af X givet Y hvis og ku hvis der gælder P(X A,Y B) = for alle A B(S 1 ) og B B(S 2 ). B P X Y (A y)p Y (dy) (2) Atag u at P X Y er e regulær betiget fordelig af X givet Y. Vis, at hvis y S 2 opfylder P(Y = y ) >, så er P X Y (A y ) = P(X A,Y = y ) P(Y = y, A B(S 1 ). ) Opgave 16. Lad (X,Y) være e absolut kotiuert stokastisk vektor på R 2 med tæthed f X,Y. Atag for emheds skyld at de margiale tæthed f Y for Y opfylder f Y (y) > for alle y. Lad f X Y (x y) := f X,Y(x,y) f Y (y) Vis, at P X Y (A y) := A f X Y (x y)dx er e regulær betiget fordelig af X givet Y. Det vil sige at fordelige af X givet Y = y er absolut kotiuert med tæthed f X Y ( y). Opgave 17. Lad (X,Y) være absolut kotiuert med tæthed { 1y e y x y hvis x > og y > f X,Y (x,y) = ellers (1) Vis, at der gælder X Y = y E( 1 y ) for (P Y -æste alle) y >, hvor E(λ) agiver ekspoetialfordelige med middelværdi λ 1. (2) Vis, at Y og Y X er uafhægige med Y Y X E(1). 96

99 Opgave 18. (AR(1)-processe). Lad (ε ) Z være uafhægige og idetisk fordelte stokastiske variable så at ε N(,1) for alle. Lad θ ],1[. (1) Vis, at i= θ i ε i kovergerer i L 2, sadsylighed og æste overalt. Agiv ligeledes fordelige af dee sum. Atag at (X ) Z er e proces der opfylder X = θx 1 + ε, Z. (H.1) E såda proces kaldes i øvrigt for e autoregressiv proces af orde 1. (Kort: e AR(1)- proces). Nedefor vil vi fide de fordelige af X, år (X ) Z er e statioær proces. (2) Agiv de betigede fordelig X +1 X = x. (3) Vis, at der for ethvert m = 1,2,... gælder X = θ m m 1 X m + j= θ j ε j (4) Atag yderligere at (X ) Z er e statioær proces og fid fordelige af X. Opgave 19. Lad (Ω,F,(F t ) t,p) være et filtreret sadsylighedsfelt. Atag at (F t ) t er P-komplet. (1) Atag at X : Ω R er (F,B(R))-målelig og opfylder X = P-.s. Vis, at X er (F,B(R))-målelig. (2) Lad (X t ) t og (Y t ) t betege reelle stokastiske processer, der er modifikatioer. Vis, at de ee proces er adapteret hvis og ku hvis de ade er adapteret. Opgave 2. Lad F t ) t være et filter og τ : Ω R + { }. Vis, at τ er e udvidet stoptid mht. (F t ) t hvis og ku hvis τ er e stoptid mht. (F t+ ) t. Opgave 21. Øvelse 4.2. Vis desude 1) 3) i Propositio 4.3. Opgave 22. Vis, at hvis (F t ) t er et højrekotiuert filter, så er det kompletterede filter (F t ) t ligeledes højrekotiuert. 97

100 Opgave 23. Vis, at hvis (M t ) t er e submartigal mht. (F t ) t, så er (M t ) t er e submartigal mht. (F t ) t. Opgave 24. Atag at (M t ) t er e submartigal mht. (F t ) t samt at alle udfaldsfuktioer for (M t ) t er højrekotiuerte. Vis, at (M t ) t er e submartigal mht. (F t+ ) t. Opgave 25. Lad V 1,V 2,... være e følge af ikke-egative, ikke-degeererede uafhægige og idetisk fordelte stokastiske variable med EV 1 = 1. Lad V := 1. Defier F := σ(v,...,v ), Z := V V 1 V for. Da V 1 er ikke-degeereret, viser Jese s ulighed at E( V 1 ) < E(V 1 ) = 1. (1) Vis, at (Z ) =,1,... er e ikke-egativ martigal med hesy til (F ) =,1,.... (2) Gør rede for at Z := lim Z eksisterer med sadsylighed 1. (3) Vis, at E( Z ) for. Slut heraf af E( Z ) = samt at Z =.s. (4) Er familie (Z ) =,1,2,... uiformt itegrabel? Opgave 26. (At kække kridt). Lad U 1,U 2,... være e følge af uafhægige og idetisk fordelte stokastiske variable, der er uiformt fordelte på ],1[. Lad U := 1. Lad L := U U 1 U for =,1,... (Fortolk L som kridtstykkets lægde efter kæk). Lad α R opfylde α > 1 og α. (1) Vis, at med sadsylighed 1 gælder ( lim (1+α) 1/α) L = { hvis α > hvis 1 < α <. VINK: Sæt V k := (1+α)U α k og beyt foregåede opgave. (2) Vis, at med sadsylighed 1 gælder { L hvis λ > 1/e lim λ = hvis < λ < 1/e. (H.2) VINK: Beyt at α medfører (1+α) 1/α e samt at α medfører (1+α) 1/α e. Det er lidt af e overrraskelse at (H.2) gælder. Mage ville ok have gættet på et skift ved λ = 1/2. 98

101 Opgave 27. (Det klassiske ruiproblem). I dee opgave skal vi, ved hjælp af martigaler, udrege ogle ruisadsyligheder, som I sikkert for mødt i et tidligere kurset, hvor Hoffma er forelæser. Se e fortolkig til sidst i opgave. Lad Y 1,Y 2,... betege e følge af uafhægige og idetisk fordelte stokastiske variable med P(Y = 1) = P(Y = 1) = 1 2. Lad Y :=. Lad (F ) =,1,... betege det aturlige filter frembragt af (Y ) =,1,.... Lad X := Y +Y 1 + +Y for =,1,... (1) Gør rede for at processere (X ) =,1,... og (X 2 ) =,1,... er martigaler med hesy til (F ) =,1,.... Lad a,b være to stregt positive hele tal og sæt K := a+y for. Lad T a,b := if{ K = eller K = a+b}. (2) Gør rede for at E(X Ta,b ) = og (T a,b ) = E(XT 2 a,b ) for ethvert. Slut heraf at E(T a,b ) mi{a 2,b 2 } samt at T a,b er edelig med sadsylighed 1. (3) Gør rede for at T a,b er optioal for processere (X ) =,1,... og (X 2 ) =,1,.... VINK: Gør rede for, og udyt at, E(X Ta,b ) =. (4) Vis, at P(K Ta,b = ) = b a+b samt at E(T a,b) = ab. Fortolkig: To persoer, α og β, spiller e serie af spil, hvor hver perso har sadsylighed 1/2 for at vide et givet spil. Videre af et spil får 1 kr af tabere. Tæk på Y som udfaldet af te spil. Da beteger K spiller α s kapital efter spil, idet α har startkapital a og β har startkapital b. Stoptide T a,b agiver da tidspuktet hvor e af de spillere bliver ruieret; hædelse {K Ta,b = } svarer til at α ruieres og E(T a,b ) er middelvetetide på rui. Ma ka i øvrigt også berege de samme sadsyligheder, år de to spillere ikke har samme sadsylighed for at vide et spil, me ma skal så have fat i ogle lidt adre martigaler. Opgave 28. Lad (W t ) t betege e Wieer proces med parameter 1. Lad S t := sup s t W s betege maksimum af (W s ) s [,t]. Lad os for emheds skyld atage W (ω) = for alle ω. For a > lad T a := if{s > W s a}. Bemærk at da W = er S t. (1) Gør rede for at der for a,t > gælder {S t a} = {T a t} {S t a,w t < a} = {T a t,w Ta +(t T a ) W Ta < }. (2) Vis, at P(S t a,b t < a) = 1 2 P(S t a) for a,t >. (3) Vis, at P(S t a) = 2P(B t a) for a,t >. 99

102 (4) Lad t >. Gør rede for at S t B t. Opgave 29. Atag at (M t ) t er e submartigal mht. (F t ) t. Lad (G t ) t være et filter så at G t og F t er uafhægige for ethvert t. Lad (H t ) t være det midste filter der ideholder både (F t ) t og (G t ) t ; det vil sige H t := σ(a B A G t,b F t ). Vis, at (M t ) t er e submartigal mht. (H t ) t. VINK: Mooto klasse. Opgave 3. Lad (F t ) t være et filter og atag at (X t ) t er e itegrabel Lévy proces med hesy til dette filter (se Defiitio 6.1). Atag X = og lad µ := E(X 1 ). (1) Vis, at (X t tµ) t er e martigal med hesy til (F t ) t. (2) Atag u yderligere at (X t ) t er e kvadratisk itegrabel proces og lad σ 2 := Var(X 1 ). Vis, at ( (X t tµ) 2 tσ 2) t er e martigal med hesy til (F t) t. Opgave 31. Lad τ være e udvidet stoptid mht. (F t ) t og A F τ+. Vis, at τ A := τ 1 A + 1 A c er e udvidet stoptid mht. (F t ) t Opgave 32. Lad (F t ) t være et filter. Gør rede for at hvis (X t ) t og (Y t ) t er progressivt målelige reelle processer, så er (X t +Y t ) t og (X t Y t ) t progressivt målelige. Gør desude rede for at hvis (Xt ) t er progressivt målelig for = 1,2,... og vi lader { lim X X t (ω) := t (ω) hvis græseværdie eksisterer i R ellers, så er (X t ) t progressivt målelig. Opgave 33. Lad (F t ) t være et filter. Lad u < v samt A F u. Lad B B(R + ) opfylde at B [,u[= /. Vis, at følgede processer er (F t )-progressivt målelige: X(t,ω) := 1 A (ω)1 [u,v[ (t) Y(t,ω) := 1 A (ω)1 B (t). Opgave 34. Vis Sætig 2.6 (1). 1

103 Opgave 35. Lad (X t ) t være e Lévy proces. Vis, at (X t ) t er kotiuert i sadsylighed; det vil sige at hvis t t så gælder X t X t i sadsylighed. Opgave 36. Lad (F t ) t være et filter og (X t ) t være e reel proces (det vil sige processe har tilstadsrum R). (1) Vis, at hvis (X t ) t er e Lévy proces mht. (F t ) t (se Defiitio 6.1), så er (X t ) t e Lévy proces i hehold til Defiitio 6.1. (2) Vis, at hvis (X t ) t er e Lévyproces i hehold til Defiitio 6.1, så er (X t ) t e Lévy proces mht. (F X t ) t. Opgave 37. Lad (P t ) t være e Poissoproces med parameter λ >. Vis, at der gælder P t t λ æste sikkert for t. Præciserig: udsaget P t t λ æste sikkert for t betyder, at der fides e ulmægde N således at der for ethvert ω N c gælder P t(ω) t λ for t. VINK: Start med at beytte Store Tals Lov til at vise at P k k. Lav deræst e ulighed, der ka vise resultatet. k λ æste sikkert for Opgave 38. Lad (P t ) t være e Poissoproces med parameter λ > og D 1,D 2,..., være de successive sprigtidspukter. Lad W 1 := D 1 og W := D D 1 for 2 være vetetidere mellem sprigee. (1) Vis, at D 1 E(λ). VINK: Beyt at P(D 1 > t) = P(P t = ). (2) Vis ved iduktio i, at følgede er opfyldt for ethvert = 1,2... (a) D er edelig; (b) (P D +t P D ) t er e Poisso process, der er uafhægig af (D 1,...,D ). (c) W +1 er uafhægig af (D 1,...,D ) og W +1 W 1. (3) Overvej at vi har vist, at W 1,W 2,... er e følge af uafhægige og idetisk fordelte stokastiske variable med W E(λ) for ethvert. Opgave 39. Lad (P t ) t betege e Poisso proces med parameter λ. Lad (D ) 1 være de tilhørede vetetidspukter og lad T > være et fast tal. Bemærk at D PT agiver tidspuktet for sidste sprig før tid T og D PT +1 agiver tidspuktet for første sprig efter tid T. Vi idfører 11

104 U T := T D PT ; det vil sige U T er vetetide fra sidste sprig før tid T til tid T ; Y T := D PT +1 T ; det vil sige Y T er vetetide fra tid T til første sprig efter tid T. X T := U T +Y T = D PT +1 D PT ; det vil sige X T er vetetide fra sidste sprig før tid T til første sprig etfer tid T. (1) Skitser e udfaldsfuktio for (P t ) t og afsæt T, D PT og D PT +1 på tidsakse. Marker desude U T,Y T og X T. (2) Giver Opgave 38 e formodig om fordelige eller middelværdie af X T? Hvad er i bekræftede fald di formodig? (3) Vis, at U T og Y T er uafhægige; agiv fordelige af Y T og fordeligsfuktioe for U T. (4) Bereg E(X T ) samt lim T E(X T ) og sammelig med (2). Opgave 4. (E sum af Poisso processer). Poissoprocesse defieres og studeres i Kapitel 8. Lad os os her betragte to uafhægige Poisso processer (M t ) t og (K t ) t med parametre λ og µ. Lad N t := M t + K t for t. (1) Vis, at (N t ) t er e Poisso proces med parameter λ + µ. (2) Lad = 1,2,.... Vis, at P(K t = k N t = ) = ( k )( ) µ k ( ) λ k for k =,1,...,. µ + λ µ + λ (3) Lad T N betege vetetide på første sprig i (N t ) t ; det vil sige T N = if{t > N t = 1}. Lad tilsvarede T K og T M betege vetetidere på første sprig i (K t ) t og (M t ) t. Bemærk at T N = mi{t M,T K } Lad A := {T K < T M } være hædelse at første sprig i (K t ) t kommer før første sprig i (M t ) t. Vis, at T N og A er uafhægige samt at P(A) = µ µ+λ. Opgave 41. (Opsplitig af e Poissoproces i to). Lad (N t ) t være e Poissoproces med parameter λ >. Lad (X ) =1 være e følge af uafhægige og idetisk fordelte stokastiske variable som opfylder P(X = 1) = p = 1 P(X = ) for ethvert ; det vil sige at X atager værdiere 1 og med sadsylighed p og 1 p. Processere (N t ) t og (X ) =1 atages at være uafhægige. Defier K t := N t =1 X og M t := N t K t = N t =1 (1 X ). 12

105 (1) Vis, at der for 1, = t < t 1 <... < t og k i,m i {,1,2,...,} gælder = i=1 P(K ti K ti 1 = k i,m ti M ti 1 = m i, i = 1,...,) Po(pλ(t i t i 1 );k i )Po((1 p)λ(t i t i 1 );m i ), hvor Po(µ; k) agiver sadsylighedsfuktioe i puktet k for e Poissofordelig med parameter µ. (2) Vis, at (M t ) t og (K t ) t er uafhægige Poissoprocesser med parametre (1 p)λ og pλ. Opgave 42. Lad (g t ) t være e ikke-aftagede fuktio med g =. Lad (φ t ) t være lokalt begræset og lad h t := φ s dg s. Vis, at t h t er cadlag med h t = φ t g t for t >. Opgave 43. Lad (g t ) t være givet ved g t = g 1 t g 2 t = h 1 t h 2 t for ethvert t, hvor g 1 = g2 = h1 = h2 = og (gi t) t og (h i t) t er ikke-aftagede og højrekotiuerte. Vis, at der for (φ t ) t lokalt begræset gælder φ s d(g 1 s g 2 s) = φ s d(h 1 s h 2 s) for t. Opgave 44. Vis Aalyses Fudametalsætig (E5) år (g t ) t = (g 1 t g2 t ) t hvor (g i t) t er ikke-aftagede og højrekotiuerte med g i =. VINK: Når f er kotiuert differetiabel, har vi at f ka Taylorudvikles som f(x) f(y) = f (x)(x y)+r(x,y)(x y), hvor (x,y) R(x,y) er kotiuert med R(x,x) =. Lad = t < t 1 <... < t k = t være e iddelig af [,t] og bemærk at f(g t ) f(g ) = k i=1 [ f(g ti ) f(g ti 1 )]. Beyt Taylorudviklige på hvert led på højre side og lad fihede af iddelige gå mod. Opgave 45. lad p > 1 med tilhørede kojugerede tal q være givet. Doob s ulighed for e martigal med diskret tid siger følgede: 13

106 Hvis (X,F ) er e martigal eller e ikke-egativ submartigal, så gælder for ethvert 1. sup X k p q X p k Beyt dette til at vise følgede resultat: Lad (X t,f t ) t betege e martigal eller e ikke-egativ submartigal med lutter højrekotiuerte udfaldsfuktioer. Da gælder sup X s p q X t p for ethvert t. s t I de sidste opgaver atager vi, at (F t ) t er e filtratio og at (W t ) t er e Wieerproces mht. dette filter. Martigalegeskabe er med hesy til dette filter edefor. Opgave 46. Lad (X t ) t være e Ito proces som i (12.38). Atag at E[sup t T X t 2 ] < for ethvert T > samt at processe (φ t ) t i (12.38) er begræset. Agiv e proces (b t ) t således at ( ) Xt 2 b s ds er e martigal. t Opgave 47. Vis at ( ) cos 2 (W t )+ si(w s )ds t er e martigal. Opgave 48. Vis resultatet i Eksempel Opgave 49. Lad (φt ) t,(φ t ) t H 2 med (φt ) t (φ t ) t i H 2. Atag at (ψ t ) t H 2 samt at (ψ t ) t er begræset (det vil sige der fides et C > så at ψ t (ω) C for alle (t,ω).) Gør rede for at (φt ψ t ) t,(φ t ψ t ) t H 2 samt at (φt ψ t ) t (φ t ψ t ) t i H 2. Opgave 5. Lad (φ t ) t H 2. 14

107 (1) Gør rede for at for r er (φ t 1 ],r] (t)) H 2. Vis også at der gælder φ s dw s = φ s 1 ],r] (s)dw s.s. (H.3) for ethvert t r. (Overvej at dette er et rimeligt resultat set i lyset af, at de to itegrater stemmer overes op til tid t.) VINK til sidste del: Start med at overveje at lighede gælder, år (φ t ) t er på forme (12.14). Overvej deræst at lighede gælder, år (φ t ) t er simpel, og beyt et approksimatiosargumet til at afslutte beviset. (2) (Stadsig af itegraler) Lad r Vis, at r Her husker vi på at r φ s dw s = φ s dw s = 1 ],r] (s)φ s dw s for alle t.s. (H.4) { r φ s dw s hvis r t φ s dw s hvis r t. (3) (Itegratio fra s til t). Lad s < t. Vi defierer s φ u dw u := φ u dw u s φ u dw u. Vis, at der for T t gælder T φ u dw u = 1 ]s,t] (u)φ u dw u.s. s (4) (Stokastiske kostater udefor itegraler). Lad Z være begræset og F s -målelig. Vis, at der for t > s gælder Z1 ]s,t] (r)φ r dw r = Z 1 ]s,t] (r)φ r dw r = Z φ r dw r.s. s Opgave 51. (Orstei-Uhlebeck processe) Lad λ > og X være F -målelig. Defier Orstei-Uhlebeck processe (X t ) t som følger X t := e λt (X + e λu dw u ). (1) Vis, at (2) Vis, at der for s t gælder X t = X λ X s ds+w t X t = e λ(t s) (X s + hvor s φ u dw u := φ u dw u s φ u dw u. 15 s for alle t.s. e λ(u s) dw u ).s.,

108 (3) Gør rede for at (X t ) t er Markov, og agiv de betigede fordelig X t X s = x for s < t og x R. Opgave 52. Betragt situatioe i beviset for Sætig Vis, at der for i j gælder, at processe ( ) φr i dw s φr j dw s t er e martigal. 16