Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
|
|
- Christina Paulsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til sidst er opgaver af stigede sværhedsgrad. Der er løsigsskitser til samtlige opgaver bagerst i otere. I otere beteger Z sædvaligvis mægde af hele tal, Q mægde af ratioale tal, R mægde af reelle tal og C mægde af komplekse tal. Desude beteger L e af disse fire talmægder. De komplekse tal ka beskrives som mægde af alle tal på forme a+ib, hvor i = 1 og a og b er reelle tal. Alle opgaver ka reges ude brug af komplekse tal. 1 Polyomier 1.1 Defiitio Et polyomium p(x) = a x + a 1 x a 1 x + a 0 hvor a, a 1,..., a 1, a 0 L og a 0 kaldes et te grads polyomium med koefficieter i L. Nulpolyomiet er fuktioe der er kostat ul, dvs. p(x) = 0, og dets grad sættes per kovetio til. Tallet x 0 kaldes e rod i p(x), hvis p(x 0 ) = 0. Et polyomium kaldes for lige, hvis p(x) = p( x) for alle reelle tal x, og et polyomium kaldes tilsvarede for ulige, hvis p(x) = p( x) for alle reelle tal x. 1.2 Etydighedssætige Hvis to polyomier p og q er idetiske, dvs. at p(x) = q(x) for alle x R, da er deres koefficieter idetiske. Opskrivige af polyomier er altså etydig. 1.3 Øvelse Vis at de lige polyomier etop er de polyomier hvor koefficietere hørede til led af ulige poteser af x er ul. Vis tilsvarede at de ulige polyomier etop er de polyomier hvor koefficietere hørede til led af lige poteser af x er ul. 2 Polyomiumsdivisio 2.1 Sætig Lad p(x) være et te grads polyomium med koefficieter i L. Hvis x 0 L er rod i p(x), da fides et etydigt bestemt polyomium q(x) af grad 1 med koefficieter i L så p(x) = (x x 0 )q(x). Specielt gælder at hvis x 1, x 2,..., x m L er rødder i p(x), da fides et etydigt bestemt poyomium q(x) af grad m med koefficieter i L så p(x) = (x x 1 )(x x 2 )... (x x m )q(x).
2 Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts Defiitio Et polyomium q(x) siges at gå op i p(x) (begge med koefficieter i L) hvis der fides at polyomium d(x) så p(x) = q(x)d(x). Ma skriver at q(x) p(x). 2.3 Sætig Lad p(x) og q(x) være polyomier med koefficieter i L af grad heholdsvis og m med > m 0. Atag at koefficiete til m tegradsleddet i q(x) er ±1. Da fides etydigt bestemte polyomier d(x) af grad m og r(x) af grad midre ed m med koefficieter i L så p(x) = q(x)d(x) + r(x). Polyomiet r(x) kaldes reste af p(x) ved divisio med q(x). Dette svarer til sætige om hele tal der siger at hvis og m er hele tal, m 0, da fides to etydigt bestemte hele tal d og r, 0 r < m, således at = dm + r. Her er r reste ved divisio af med m. At et polyomium går op i et adet polyomium vil ligesom for hele tal sige at reste ved divisio er Eksempel på polyomiumsdivisio Ma dividerer p(x) = x 3 2x 2 + 2x 15 med q(x) = x 3 på følgede måde: x 3 x 3 2x 2 + 2x 15 x 2 + x + 5 x 3 3x 2 x 2 + 2x 15 x 2 3x 5x 15 5x 15 0 Dvs. at p(x) = x 3 2x 2 + 2x 15 = (x 3)(x 2 + x + 5). 2.5 Eksempel på polyomiumsdivisio med rest Ma dividerer p(x) = x 3 + 3x 2 2x + 7 med q(x) = x på følgede måde: x x 3 + 3x 2 2x + 7 x + 3 x 3 + 0x 2 + x 3x 2 3x + 7 3x 2 + 0x + 3 3x + 4 Dvs. at p(x) = x 3 + 3x 2 2x + 7 = (x 2 + 1)(x + 3) 3x + 4. Hvis du ikke er fortrolig med polyomiumsdivisio, så lav følgede øvelse.
3 Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts Øvelse Udfør disse to divisioer x 4 2x 2 + 3x 2 x 1 3x 4 + 8x x 2 + 9x + 4 x 2 + x Algebraes fudametalsætig Lad p(x) være et te grads polyomium med koefficieter i C. Da har polyomiet ikke ødvedigvis forskellige rødder x 1, x 2,..., x C således at 2.8 Korollar p(x) = a (x x 1 )(x x 2 )... (x x ). Et te grads polyomium har højst reelle rødder. 2.9 Øvelse Vis at et polyomium af ulige grad med reelle koefficieter altid har midst e reel rod Defiitio Tallet x 0 siges at være m-dobbelt rod i et polyomium p(x) hvis (x x 0 ) m går op i p(x) Sætig For et polyomium p(x) gælder at x 0 er m-dobbeltrod i p etop hvis 2.12 Eksempel p(x 0 ) = p (x 0 ) = p (2) (x 0 ) =... = p (m 1) (x 0 ) = 0. Lad p(x) = x +1 ( + 1)x + 1. Vi vil vise at (x 1) 2 går op i p(x). Ved differetiatio får ma p (x) = ( + 1)x ( + 1)x 1, dvs. p(1) = p (1) = 0. Dermed er 1 dobbeltrod i p og (x 1) 2 går op i p(x) Eksempel Vi udersøger for hvilke det gælder at x går op i x + x x + 1. Sæt p (x) = x + x x + 1. Da p 3 (x) = (x 2 + 1)(x + 1) må x x m + x m 1 + x m 2 + x m 3. Dermed vil x p 4t+s (x) etop år x p s (x). Da x ikke går op i p 2 (x), p 1 (x) og p 0 (x), går x op i p (x), etop hvis har rest 3 ved divisio med 4.
4 Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts Nyttige faktoriseriger (x + a) = x + ( ) 1 x 1 a + ( ) 2 x 2 a ( ) 1 xa 1 + a x a = (x a)(x 1 + x 2 a + x 3 a xa 2 + a 1 ) x + a = (x + a)(x 1 x 2 a + x 3 a 2... xa 2 + a 1 ) for ulige Her beteger ( m) atallet af måder hvorpå ma ka udtage m elemeter af Opgaver Opgave Vis at der fides et polyomium af grad større ed ul med heltallige koefficieter som går op i p(x) = x 4 + x Opgave Bestem reste ved divisio af x 100 2x med x 2 1. (Egel) Opgave Bestem a og b så (x 1) 2 går op i ax 4 + bx (Egel) Opgave Udersøg om der fides et polyomium af grad større ed ul med heltallige koefficieter som går op i p(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x Koefficieter 3.1 Adegradspolyomiets koefficieter Hvis adegradspolyomiet p(x) = x 2 + bx + c har røddere x 1 og x 2, da er dvs. at b = (x 1 + x 2 ) og c = x 1 x 2. p(x) = (x x 1 )(x x 2 ) = x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2, 3.2 Tredjegradspolyomiets koefficieter Hvis tredjegradspolyomiet p(x) = x 3 + bx 2 + cx + d har røddere x 1, x 2 og x 3, da er p(x) = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) = x 3 (x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 )x x 1 x 2 x 3, dvs. at b = (x 1 + x 2 + x 3 ), c = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 og d = x 1 x 2 x 3. På samme måde ka ma bestemme koefficietere i polyomier af højere grad ud fra røddere. 3.3 Eksempel Hvis p(x) = x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 har røddere 3, 1, 1, 3, da er a 2 = ( 3)( 1) + ( 3)1 + ( 3)3 + ( 1)1 + ( 1) = 10.
5 Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts Opgaver Opgave Vis at p(x) = (x 1) (x + 1) ku ideholder led af lige grad. Opgave Lad x 1 og x 2 være røddere i p(x) = x 2 + ax + bc og x 2 og x 3 være røddere i q(x) = x 2 + bx + ac. Vis at hvis ac bc, da er x 1 og x 3 røddere i r(x) = x 2 + cx + ab. Opgave For hele tal a og har polyomiet p(x) = x 3 x 2 + ax 2 tre heltallige rødder. Bestem a og. 4 Polyomier med heltallige koefficieter I dette afsit er alle tal hele tal, og alle polyomier har heltallige koefficieter. 4.1 Sætig For et polyomium p(x) gælder at hvis a b mod, da er p(a) p(b) mod. Specielt vil a b p(a) p(b), år a b. Bevis Lad p(x) = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0. Hvis a b, vil a k b k = (a b)(a k 1 + a k 2 b + a k 3 b ab k 2 + b k 1 ), og dermed vil p(a) p(b) = a m (a m b m ) + a m 1 (a m 1 b m 1 ) a 1 (a b). 4.2 Eksempel For et polyomium p(x) er p() lig et trecifret tal for alle = 1, 2, 3, Vi vil vise at p(x) ikke har ogle heltallige rødder. (BW 1998) Da p() 0 mod 1998 for alle = 1, 2, 3,..., 1998, vil der for ethvert helt tal m fides et {1, 2,..., 1998} så m mod 1998, og dermed p(m) p() 0. Dvs. at p(x) ikke har oge heltallige rødder. 4.3 Sætig Hvis et ratioalt tal skrevet som uforkortelig brøk p q er rod i polyomiet p(x) = a x + a 1 x a 1 x + a 0 med heltallige koefficieter, da vil p a 0 og q a. Specielt vil de eeste ratioale rødder i være hele tal. p(x) = x + a 1 x a 1 x + a 0
6 Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts Eksempel For at bestemme samtlige ratioale rødder i p(x) = x 5 + 3x 3 + 2x + 6 er det altså ok at tjekke de hele tal der går op i 6, dvs. at eeste ratioale rod er x = Defiitio Et polyomium p(x) med koefficieter i L kaldes irreducibelt idefor L hvis der ikke fides to polyomier med koefficieter i L og grad midst e, så p(x) er et produkt af disse. 4.6 Sætig Hvis p(x) er et polyomium med heltallige koefficieter som er irreducibelt idefor Z, da er det også irreducibelt idefor Q. 4.7 Eisesteis irreducibilitetskriterium Lad p(x) = a x +a 1 x a 1 x+a 0 være et polyomium med heltallige koefficieter, hvor et primtal p går op i a 0, a 1,... a 1, me p a og p 2 a 0. Da er p(x) irreducibelt idefor Q. 4.8 Eksempel For at udersøge om polyomiet p(x) = x er irreducibelt idefor Q, ka ma bruge Eiseteis irreducibilitetskriterium, me ikke direkte. Bemærk først at p(x) er irreducibelt, etop hvis p(x + 1) er irreducibelt. Da p(x + 1) = x 5 + 5x x x 2 + 5x + 5, er det irreducibelt ifølge Eisesteis irreducibilitetskriterium med primtallet p = 5, og dermed er p(x) det også. 4.9 Opgaver Opgave Lad p(x) være et polyomium med heltallige koefficieter således at der fides to hele tal a og b så p(a) = 1 og p(b) = 3. Ka ligige p(x) = 2 have to forskellige heltallige løsiger? (BW 1994) Opgave Lad p(x) være et polyomium med heltallige koefficieter således at der fides et helt tal så p( ) < p() <. Vis at da er p( ) <. (BW 1991) Opgave Vis at p(x) = x 6 + 3x 4 + 6x 3 + 9x + 3 er irreducibelt idefor Q. Opgave Vis at p(x) = x p + p 2 x 2 + px + p 1 er irreducibelt idefor Q for alle ulige primtal p.
7 Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts Bladede opgaver Opgave 5.1 Et tredjegradspolyomium p(x) = x 3 + 2x 2 3x 5 har røddere a, b og c. Agiv et tredjegradspolyomium med røddere 1 a, 1 b og 1 c. (GM 1994) Opgave 5.2 Det reelle tal a er rod i p(x) = x 3 x 1. Bestem et tredjegradspolyomium med heltallige koefficieter som har a 2 som rod. Opgave 5.3 Bestem samtlige mulige værdier af x + 1 x og løs dee ligig.(gm 2000) hvor x tilfredsstiller ligige x 4 + 5x 3 4x 2 + 5x + 1 = 0, Opgave 5.4 Lad p(x) være et sjettegradspolyomium som for to reelle tal a og b, 0 < a < b, opfylder at p(a) = p( a), p(b) = p( b) samt p (0) = 0. Vis at p(x) = p( x) for alle reelle tal x. (BW 1998) Opgave 5.5 I et tredjegradspolyomium p(x) = x 3 + ax 2 + bx + c er b < 0 og ab = 9c. Vis at p(x) har tre forskellige reelle rødder. (BW 1992) Opgave 5.6 Bestem alle fjerdegradspolyomier p(x) som opfylder følgede: i) p(x) = p( x) for alle x. ii) p(x) 0 for alle x. iii) p(0) = 1. iv) p(x) har præcis to lokale miima i x 1 og x 2 således at x 1 x 2 = 2. (BW 1992) Opgave 5.7 Et polyomium p(x) har heltallige koefficieter og grad. Desude fides præcis k hele tal som er løsig til ligige (p(x)) 2 = 1. Vis at k 2. (IMO 1974) Opgave 5.8 Lad p(x) være et te grads polyomium med p(k) = Bestem p( + 1). k k+1 for k = 0, 1, 2,...,. Opgave 5.9 Lad f(x) = x + 5x 1 + 3, hvor > 1 er et helt tal. Vis at f(x) ikke ka skrives som et produkt af to polyomier med heltallige koefficieter og grad midst e. (IMO 1993)
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mere1. De karakteristiske egenskaber ved de tre mest almindelige talsystemer, og... 2
Projekt 0.3 Galois-legemere GF p - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold. De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og.... De kommutative, associative og distributive lov
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereDen hurtige Fouriertransformation. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
De hurtige Fouriertrasformatio Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) Polyomier Polyomium: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x Geerelt: p(x) = eller! " i= a i x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! 2 Evaluerig
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereUdtrykkelige mængder og Cantorrækker
Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse 20303870 Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208 Abstract This thesis
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereProjekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereDen hurtige Fouriertransformation
Polyomier De hurtige Fouriertrasformatio Polyomium: Geerelt: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x p(x) =! " eller x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) 2 Evaluerig
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs mereSammensætning af regnearterne - supplerende eksempler
Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig
Læs mereSprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereForslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende
Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereGeorg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith
Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mere6 Populære fordelinger
6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).
Læs mereBogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d
Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -
Læs mereLængde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.
Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Februar 09 ; Michael Symaski ; m@ghg.dk Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mereAnalyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)
Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)
Læs mereKompendie Komplekse tal
Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereBachelorprojekt for BSc-graden i matematik
D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:
Læs mereMM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007
MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereLidt Om Fibonacci tal
Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt
Læs mereBaggrundsnote til sandsynlighedsregning
Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige
Læs mereProjekt 0.7. Vinklens tredeling og konstruerbare tal
Projet 0.7. Viles tredelig og ostruerbare tal Det er let at tredele et lijestye. Eller for de sags syld dele det op i lige store dele, hvor : Afsæt e vilårlig viel, hvor lije l = AB ligger ud af det ee
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereGENEREL INTRODUKTION.
Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereDeskriptiv teori: momenter
Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs merePrisfastsættelse af digitale goder - Microsoft
Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereKomplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal
Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.
Læs mereSvar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereSammenligning af to grupper
Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er
Læs mereRettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen
Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt
Læs mereM Å L T E O R I S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 F O R E L Æ S N I N G S N O T E R S V E N D E R I K G R A V E R S E N O G
F O R E L Æ S N I N G S N O T E R T I L M Å L T E O R I O G S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 S V E N D E R I K G R A V E R S E N A U G U S T 2 0 0 5 I N S T I T U T F O R M A T E M A T I S K
Læs mereIntroduktion til Statistik
Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereDenne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen
Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget
Læs mereTeoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering
Uge 47 I Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereDe Platoniske legemer De fem regulære polyeder
De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær
Læs mere