Analyse af en glasfiberbjælke

Transkript

1 Analyse af en glasfiberbjælke Civilingeniør i Bygge og Anlægskonstruktion Aalborg Universitet 1. semester 19. december 2008 Gruppe B205

2

3 De Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter Byggeri og Anlæg Sohngaardsholmsvej 57 Telefon Fax Titel: Analyse af en glasfiberbjælke Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Projektperiode: 1. september til 19. december 2008 Projektgruppe: B205 Deltagere: Rasmus Bødker Heidi Christensen Mads Damgaard Søren Madsen Anne Kathrine Nielsen Lasse Bøgelund Petersen Vejleder: Lars Andersen Oplagstal: 8 Sidetal: 108 Synopsis: Ved analyse og design af komplekse konstruktionsdetaljer er det vigtigt, at den enkelte ingeniør kan vurdere anvendeligheden og nøjagtigheden af analytiske, eksperimentelle og numeriske metoder. Denne rapport tager udgangspunkt i en simpelt understøttet bjælke udført i glasfiber, som er et ortotropisk materiale, og symmetrisk belastet. Spændinger og deformationer i glasfiberbjælken bestemmes ved analytiske, numeriske og eksperimentelle beregningsmetoder. Hovedessensen er derfor at opstille beregningsmetoder, som beskriver glasfiberbjælkens virkelige fysiske opførsel så nøjagtig som muligt. I rapporten diskuteres de enkelte beregningsmetoders gyldighed samt usikkerhed og beregningsmodellerne sammenlignes indbyrdes. Bilagsantal og art: 6 bilag på vedlagt CD-ROM 3 stk. vedlagt A4-tegninger Afsluttet den: 19. december 2008 Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

4

5 Forord Denne rapport er resultatet af et 1. semestersprojekt udarbejdet på kandidatuddannelsen Civilingeniør i Bygge- og Anlægskonstruktion under Studienævnet for Byggeri og Anlæg. Rapporten er udarbejdet i henhold til gældende studieordning under De Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter, Aalborg Universitet, i perioden fra den 1. september til den 19. december Temaet for projektet er Analyse og design af bærende konstruktioner, og projektets titel er Analyse af en glasfiberbjælke. Som supplement til rapporten er der vedlagt en CD-ROM, der indeholder denne hovedrapport samt en bilagsrapport. Ud over rapporterne er arbejdstegningerne fra de udførte laboratorieforsøg vedlagt samt tilgængelige på CD-ROM en. Desuden findes programfilerne til de forskellige modeller, der behandles i rapporten, så læseren selv har mulighed for at køre disse filer. For at kunne åbne filerne kræves det, at den anvendte computer har installeret MatLab, Trusslab, MathCAD, Abaqus CAE samt Adobe Acrobat. Gennem rapporten vil der være henvisninger til CD-ROM en, når der kan findes relevant materiale herpå. Ligeledes henvises der gennem rapporten til bilag, der alle er at finde i den vedlagte bilagsrapport som bilag x.x på CD-ROM en, mens henvisninger i kapitler og afsnit i rapporten angives med det pågældende kapitels eller afsnits nummer. I rapporten er kildehenvisninger angivet med numre [xx]. Kilden er stillet før punktum, hvis det kun er en sætning eller formel, der bygger herpå. Hvis et helt afsnit bygger på en kilde, er kilden stillet på en linie for sig selv sidst i afsnittet. Figurer og tabeller, der ikke er et produkt af gruppens arbejde, vil ligeledes have en kildehenvisning i figur- eller tabelteksten. Kilderne angives i litteraturlisten således: Bøger: Forfatter. Titel. Forlag. Udgivelsesår. ISBN. Websider: Forfatter. Titel. År. URL-adresse. Besøgsdato. I forbindelse med projektet rettes en særlig tak til professor Lars Damkilde, samt ingeniørassistent Morten Olsen og Per Knudsen, som har været behjælpelige ifm. vejledning og udførelse af laboratorieforsøg. Aalborg december 2008 Rasmus Bødker Heidi Christensen Mads Damgaard Søren Madsen Anne Kathrine Nielsen Lasse Bøgelund Petersen 3

6

7 Indhold 1 Indledning Introduktion til projektet Overordnede anvendte metoder Rapportens indhold Indledende analyse af glasfiberbjælken Anvendte metoder Materialeegenskaber Fastlæggelse af tværsnitskonstanter Bjælkens indre kraftfordeling Maksimal belastning for bjælken Udbøjning af glasfiberbjælken ud fra bjælketeorier Opsamling Numeriske FEM-beregninger i Abaqus Anvendte metoder Bjælkemodel i forsimplet ortotropisk materiale Skalmodel i forsimplet ortotropisk materiale Skalmodel i ortotropisk materiale Opsamling Numeriske FEM-beregninger i MatLab Anvendte metoder D bjælkemodel Forsimplet skalmodel Opsamling Analyse af ikke-lineære effekter 61 5

8 INDHOLD 5.1 Anvendte metoder Lineær beregning af Braziereffekt Ikke-lineær beregning af Braziereffekt i Abaqus Opsamling Fastlæggelse af materialeparametre Anvendte metoder Materialeparametre på langs af bjælken Materialeparametre på tværs af bjælken Korrektion af materialeparametre Materialeparametre ved forsøg ift. Fiberline Composites A/S Opsamling Behandling af bøjningsforsøg Anvendte metoder Bøjningsforsøg af hele bjælken Udbøjning ved 10kN Tøjninger ved 10kN Undersøgelse af Braziereffekt Opsamling Efterbehandling Efterbehandling af Abaqusmodel ud fra forsøgsresultater Konklusion 105 6

9 Kapitel1 Indledning I dette kapitel præsenteres den overordnede geometri for det betragtede konstruktionsprofil, og indledende betragtninger af det anvendte materiale beskrives. Dette leder frem til en projektramme, der søges besvaret gennem projektet. De overordnede metoder i projektet behandles, og der udarbejdes en kritik af de anvendte kilder. Til sidst præsenteres kort hvad der behandles i de enkelte kapitler i rapporten. 1.1 Introduktion til projektet I takt med at kravene til kvalitet og økonomi i et byggeprojekt kommer mere i fokus, er det af stor vigtighed at kunne vurdere anvendeligheden og nøjagtigheden af analytiske, eksperimentelle og numeriske metoder til analyse og design af komplekse konstruktionsdetaljer. Enhver model er en simplificering af de virkelige fysiske fænomener, og det er vigtigt at kende til modellens begrænsninger og fejl. Det er essentielt at kunne sammenligne forskellige modeller for at kunne vælge den mest simple og hurtigste i praksis. Endnu mere vigtigt er det at være opmærksom på ikke at sammenligne noget, der ikke kan sammenlignes. Denne rapport vil derfor tage sit udgangspunkt i en analyse af et fastlagt konstruktionsprofil, hvor der foretages analyser ud fra forskellige metoder, herunder analytiske, numeriske og eksperimentelle. De forskellige metoder sammenholdes, og forskellene i metoderne vurderes ud fra deres forudsætninger. Projektet behandler en bjælke udført i glasfiber. Glasfiber er et kompositmateriale, der har udpræget plastiske egenskaber og stor trækstyrke. Et kompositmateriale er sammensat af mindst to forskellige materialer. Det enkelte materiale egner sig ikke nødvendigvis til konstruktionsformål, men kombineres materialerne resulterer det i stor styrke og stivhed. Ud over bl.a. armeret beton udgør plast forstærket med forskellige fibre i dag en væsentlig del af kompositmaterialer. Her kan nævnes et materiale som glasfiberarmeret plast, hvor fibrenes egenskaber udnyttes til at modstå træk- og trykbelastninger, mens plasten, også kaldet matrixmaterialet, overfører forskydningsbelastningen. [1] Som konstruktionsmateriale har glasfiberarmeret plast en række fordele. Her kan det nævnes, at materialet er korrosions- og vejrbestandig, hvor frost, saltvand og kemikalier ikke har indflydelse på bæreevnen. Dette betyder desuden, at der kun er kosmetisk vedligeholdelse forbundet med armeret plast. Materialet er ligeledes kendetegnet ved dets lave egenvægt kombineret med stor styrke, og mulighed for hurtig bearbejdning samt kort montagetid. [2] Den behandlede glasfiberbjælke har en længde på 2, 1m. Bjælken har et konstant tværsnit i form af et firkantet rørprofil med dimensionerne mm, og er et standardelement fra Fiberline Composites A/S. Bjælken undersøges, som udgangspunkt, som en simpelt understøttet bjælke udsat for to identiske og symmetrisk placerede punktlaster. Bjælken er understøttet 100mm fra hver bjælkeende og punktlasterne er placeret i bjælkens tredjedelspunkter, svarende til 700mm fra hver ende. Bjælkens statiske system kan ses på figur

10 1. Indledning P P Figur 1.1 Statisk system for den simpelt understøttede glasfiberbjælke. Mål i mm. Det bemærkes, at på figur 1.1 og de efterfølgende tilsvarende figurer er koordinatsystemet placeret til venstre for bjælken grundet overskuelighed, men burde i princippet ligge i bjælkeenden i bjælkens centerakse. Først analyseres bjælken vha. simple analytiske metoder, hvor der anvendes bjælketeorier. Herefter analyseres bjælken ud fra elementmetoden, der er en numerisk metode. Til de numeriske analyser anvendes computerprogrammerne Abaqus og MatLab. I Abaqus udarbejdes modeller, der gradvis forbedres og sammenholdes med de analytiske beregninger. Desuden udarbejdes et program i MatLab, der ligeledes analyserer bjælken numerisk og resultaterne sammenlignes med hhv. de analytiske beregninger og nogle af resultaterne fundet i Abaqus. For at verificere teorierne udføres forsøg i laboratoriet. I forbindelse med analysen af den valgte glasfiberbjælke afgrænses der fra at kigge på stabilitetsproblemer i form af kipning, foldning samt vridning, da de ikke er aktuelle ud fra de valgte placeringer af laster og understøtninger. Det er ligeledes valgt kun at analysere bjælkens lokale og globale deformation uden at skelne mellem kort- og langtidstilstand. Med bjælkens lokale deformation menes Poissonog Braziereffekt. Formålet med denne rapport er ikke at analysere anvendeligheden af glasfiber som byggemateriale, men at vurdere forskellige metoders begrænsninger ved analyse af en given konstruktionsdetalje bedst muligt. Ovenstående leder frem til følgende projektramme: Analyse af en glasfiberbjælke ud fra analytiske, numeriske og eksperimentelle metoder, samt diskussion af forudsætninger, usikkerheder og afvigelser imellem metoderne. 1.2 Overordnede anvendte metoder I dette afsnit gennemgås de overordnede metoder for hele projektet. I hvert kapitel beskrives mere uddybende de metoder, der er relevante for det enkelte kapitel. Formålet med projektet er at vurdere forskellen mellem forskellige beregningsmetoder. Der benyttes overordnet tre metoder til at analysere den konkrete fysiske problemstilling: Analytiske metoder Bernouli-Euler bjælketeori Timoshenko bjælketeori Numeriske metoder Bernouli-Euler bjælketeori Timoshenko bjælketeori Skalteori 8

11 1.3 Rapportens indhold Skive- og pladeteori Eksperimentelle metoder Forsøg i laboratoriet Hver af disse metoder giver et bud på, hvordan glasfiberbjælken opfører sig når denne udsættes for en given lastpåvirkning og ved forskellige understøtningsforhold. Det ønskes både at vurdere forskellen mellem de enkelte metoder samt mellem forskellige modeller indenfor hver metode, hvor modelleringen af lastpåvirkning og understøtningsforhold varieres. Dette gøres ud fra spændinger eller tøjninger og globale flytninger. I både den analytiske og den numeriske beregningsmetode anvendes primær forskning, hvor der tages udgangspunkt i kendt teori og empiriske udtryk. Således benyttes der gennem disse afsnit eksempelvis bjælketeorier og elementmetoden. I forbindelse med de eksperimentelle undersøgelser foretages sekundær forskning for at give et indblik i, hvorvidt teorier og resultater fra den primære forskning stemmer overens med den ekspermentelle del. Det er hermed muligt at vurdere, om der er kohærens mellem de anvendte beregningsmetoder. Til udførelsen af den eksperimentelle del er der anvendt en hypotetisk deduktiv metode. Metoden kan beskrives således: 1. Opstille hypoteser / forventninger 2. Observation / forsøg 3. Vurdering af måleresultater / usikkerheder og teori Ud fra den primære forskning opstilles hypoteser om hvordan glasfiberbjælken deformerer lokalt og globalt. Under forsøgene observeres glasfiberbjælkens virkemåde, hvorefter det vurderes hvorvidt empirien afviger fra glasfiberbjælkens virkelige opførsel. Det ønskes, at forsøgene sikrer validitet og reliabilitet, dvs. at det er det rigtige der måles, og at forsøgene er pålidelig. Ligeledes vurderes eventuelle usikkerheder og fejlkilder ved forsøgene Kildekritik For at kunne besvare den opstillede projektramme har det været nødvendigt at anvende teori og viden fra flere forskellige kilder. Det er her vigtigt at anvende pålidelige kilder og vide hvorvidt, der er tale om en subjektiv eller en objektiv kilde. Gennem rapporten er der anvendt lærebøger, som må anses værende pålidelige, ligesom forelæsningsnotater, da disse anvendes i undervisningssammenhæng. Det bemærkes, at disse kan bygge på enkeltpersoners fortolkning, og derfor kan være subjektiv. Udover lærebøger er der anvendt oplysninger fra internettet. Oplysninger hentet fra internettet er materialeegenskaber fra producenten, der må stå inde for validiteten. De anvendte oplysninger fra internettet anses derfor som værende pålidelige. 1.3 Rapportens indhold Efter introduktionen til dette projekt og gennemgangen af de overordnede anvendte metoder beskrives rapportens indhold i det følgende. Dette skal medvirke til at klarlægge den røde tråd i rapporten. Generelt er rapporten opbygget, så hvert kapitel starter med en beskrivelse af, hvilken metode der er anvendt i kapitlet. Desuden afsluttes det enkelte kapitel med en opsamling. Dette gælder dog ikke kapitel 8 Efterbehandling, hvor der ikke er en opsamling, og kapitel 9 Konklusion, hvis formål er at samle op på de foregående kapitler. Rapporten er inddelt i følgende kapitler: 9

12 1. Indledning Indledende analyse af glasfiberbjælken Formålet med dette kapitel er at klarlægge hvilke materialeegenskaber der anvendes for glasfiberbjælken samt fastlægge de geometriske tværsnitskonstanter. Snitkræfterne i bjælken bestemmes ud fra ligevægtsbetragtninger og bjælken analyseres vha. hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus I dette kapitel analyseres glasfiberbjælken vha. beregningsprogrammet Abaqus. Dette gøres ved først at modellere bjælken vha. bjælkeelementer i et forsimplet ortotropisk materiale. Derefter modelleres bjælken vha. skalelementer. Modellen optimeres gradvist ved at ændre på materialeegenskaberne, så materialet bliver ortotropisk, og ændre på last og understøtningsforhold, så disse til sidst opbygges tilnærmelsesvis som de virker i fuldskalaforsøget. Numeriske FEM-beregninger i MatLab Glasfiberbjælken analyseres i dette kapitel vha. beregningsprogrammet MatLab. Først udarbejdes et program, hvor bjælken modelleres på baggrund af hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. Efterfølgende udarbejdes et tilsvarende program, hvor bjælken modelleres vha. kombinerede pladeog skiveelementer. I begge programmer antages glasfiberbjælken opbygget af et forsimplet ortotropisk materiale. Analyse af ikke-lineære effekter I dette kapitel behandles Braziereffekten vha. forsimplede analytiske beregningsmetoder. Derefter analyseres Braziereffekten vha. Abaqus, hvor der tages hensyn til både lineære og ikke-lineære effekter. I kapitlet behandles udelukkende hvilke deformationer Braziereffekten giver anledning til, og dermed ikke hvilken indflydelse effekten har på spændingerne i bjælken. Fastlæggelse af materialeparametre Dette kapitel tager udgangspunkt i en række forsøg, hvis formål er at bestemme materialeparametre, i form af elasticitetsmoduler og Poissons forhold, for glasfiberen. Desuden ækvivaleres det ortotropiske kompositmateriale med et homogent materiale med samme aksial- og bøjningsstivhed og materialeparametrene herfor sammenlignes med materialeparametre oplyst fra Fiberline Composites A/S. Behandling af bøjningsforsøg Formålet med dette kapitel er at behandle forsøgsresultaterne fra bøjningsforsøget af glasfiberbjælken. Ud fra resultaterne findes udbøjninger og tøjninger i forskellige punkter langs bjælken. Disse sammenlignes med resultaterne fundet i den Abaqusmodel, som er skønnet at stemme bedst overens med bøjningsforsøget. Det eftervises ligeledes, at der er konstant moment og forskydningskraft i det forudsatte områder. Desuden analyseres Braziereffekten ud fra målte tøjninger i bjælken og brudspændingerne behandles kort. Efterbehandling I dette kapitel vurderes det, hvorvidt der kan opnås kohærens mellem den Abaqusmodellen og forsøgsresultaterne. Dette gøres ved at implementere de fundne materialeparametre i Abaqusmodellen og se om der opnåes de samme resultater for udbøjninger og tøjninger, som fra bøjningsforsøget. Konklusion I konklusionen følges op på det behandlede i rapporten. Desuden vurderes de forskellige metoder, der er anvendt til at analysere glasfiberbjælken. 10

13 Kapitel2 Indledende analyse af glasfiberbjælken I dette kapitel undersøges glasfiberbjælken vha. simple metoder. Først diskuteres i metodeafsnittet hvordan en forholdsvis simpel analyse af glasfiberbjælken kan gennemføres og hvilke beregningsmetoder, der kan anvendes for at få gode resultater med en given belastning af glasfiberbjælken. Herefter præsenteres glasfiberprofilets materialeegenskaber og tværsnitskonstanter. Bjælkens indre kræfter undersøges ud fra ligevægtsligningerne og herudfra gives et estimat på den maksimale belastning af bjælken. Udbøjningen af bjælken under belastning undersøges vha. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorierne. 2.1 Anvendte metoder For at forudsige hvad der sker, når glasfiberbjælken belastes, skal der opstilles en model, der kan beskrive dette. Afhængig af hvilke resultater og hvor detaljerede disse ønskes, må der opstilles mere eller mindre advancerede modeller. Den simpleste metode, der kan anvendes til at modellere glasfiberbjælken, er bjælketeorien for retlinede plane bjælker. Glasfiberbjælken er naturligvis et tre-dimensionalt legeme, men for, på en relativ enkel måde, at beskrive, hvad der sker, når bjælken belastes, modelleres den som et en-dimensional legeme. Da glasfiberbjælken er symmetrisk, samt lasterne og understøtningerne virker symmetriske over tværsnittet, kan lasten tilnærmes med en ækvivalent last gennem bjælkens centerlinie og glasfiberbjælken med god tilnærmelse betragtes som virkende i et plan. Tværsnitskonstanterne findes ud fra en to-dimensional betragtning af bjælken, og pålægges den en-dimensionale model. [3, s. 3] Ved bjælketeori tages der ikke højde for, at tværsnittet kan være et tyndvægget profil. Glasfiberbjælkens tværsnit består af fire sider, som kan betragtes som relativt tynde ift. tværsnittets ydre dimensioner. Alle fire sider virker som skiver, da toppen og bunden af profilet bliver udsat for hhv. tryk og træk og siderne påvirkes i deres eget plan med en lineær varierende spændingsfordeling. Det tyndvæggede tværsnit vil under belastning ændre form pga. 2. ordens effekter, som der ikke tages højde for ved brug af bjælketeorierne. For at lave en model, der er bedre end bjælketeorierne til at beskrive fysikken ved tyndvæggede profiler, må der anvendes andre metoder. Dette gøres så 2. ordens effekter, som eksempelvis deformationen af tværsnittet, kan medtages i beregningerne. Dette kan f.eks. gøres ved at forbedre bjælketeorierne. I bjælketeorierne indgår tværsnittets form kun i inertimomentet, så for at få 2. ordens effekter med i beregningen, må inertimomentet nødvendigvis ændre sig samtidig med at lasten øges på bjælken. Modeller, hvori der tages højde for dette behandles i kapitel 5. I dette kapitel bestemmes snitkræfter, spændinger og udbøjninger ud fra en enhedslast. Herudfra bestemmes den maksimale belastning, der kan påsættes glasfiberbjælken, og udbøjning. 2.2 Materialeegenskaber Et konstruktionsmateriales egenskaber afhænger af, om materialet er karakteriseret som isotropt, anisotropt eller ortotropt. Glasfiber er et ortotropt materiale, hvilket betyder, at der i hver fiberretning, som 11

14 2. Indledende analyse af glasfiberbjælken står vinkelret på hinanden, er forskellige materialeparametre. I det følgende vil de ortotrope materialeog styrkeparametre for den anvendte glasfiber blive gennemgået. Fiberline Composites A/S angiver på deres hjemmeside tekniske materialedata for deres glasfiberprodukter. Disse data er opstillet i tabel 2.1, hvor de angivne materialeværdier er gældende for glasfiber i tør tilstand og med en temperatur mellem -20 C og 60 C. Karakteristiske stivhedstal [MPa] [ ] Elasticitetsmodul, E Elasticitetsmodul, E Forskydningsmodul, G Poissons forhold, ν 0,90 0,23 Poissons forhold, ν 90,0 0,09 Tabel 2.1 Materialeparametre fundet gennem målinger udført af Fiberline Composites A/S. [4] Retningerne, der angives i tabellen, for elasticitetsmodul og Poissons forhold kan ses på figur 2.1. Figur 2.1 Angivelser af retninger for styrker og stivhed. I denne rapport defineres 1-, 2- og 3-retningen, så 1 er lig 0, 2 er lig 90, mens 3-retningen er ubetydelig, idet udstrækningen af denne er væsentlig mindre end 1- og 2-retningen, og derfor findes der ingen oplysninger herom i tabel 2.1. Dette undersøges i bilag D.1. I både isotropiske og ortotropiske materialer er sammenhængen mellem elastiske tøjninger og spændinger beskrevet ved Hooks lov på følgende måde ε = C σ (2.1) 12 hvor ε er tøjningsvektoren [ ] C er fleksibilitetsmatricen [1/MPa] σ er spændingsvektoren [MPa] Forskellen mellem isotropiske og ortotropiske materialer ligger i fleksibilitetsmatricen C, der herunder er vist for ortotropiske materialer. ε = ε 11 ε 22 ε 33 γ 12 γ 13 γ 23, C = 1 ν 21 ν 31 E 1 E 2 ν 12 1 ν 32 E 1 E2 E E ν 13 ν 23 1 E 1 E 2 E G G G 23, σ = σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 13 σ 23

15 2.3 Fastlæggelse af tværsnitskonstanter For ortotropiske materialer indeholder fleksibilitetsmatricen C flere forskellige materialeparametre, da der er forskellige egenskaber i hver fiberretning. Da C skal være symmetrisk gælder følgende forhold mellem elasticitetsmodulerne og Possions forhold. ν 12 E 1 = ν 21 E 2 Ved dette udtryk kan materialeparametrene angivet i tabel 2.1 kontrolleres, og det viser sig, at disse stemmer overens, da begge sider af lighedstegnet giver ca. 1, mm 2 /N. Forsøg har vist, at den anvendte glasfiber har styrkerne angivet i tabel 2.2, hvor de angivne styrkeparametre er gældende for glasfiber i tør tilstand og med en temperatur mellem -20 C og 60 C. Karakteristiske styrkeværdier [MPa] Bøjestyrke, f b,0 240 Bøjestyrke, f b, Trækstyrke, f t,0 240 Trækstyrke, f t,90 50 Trykstyrke, f c,0 240 Trykstyrke, f c,90 70 Forskydningsstyrke, f t 25 Tabel 2.2 Styrkeparametre fundet gennem målinger udført af Fiberline Composites A/S. [4] Ud fra tabel 2.1 og 2.2 kan det konkluderes, at glasfiber har en styrke i længderetningen, som minder om eksempelvis armeringsståls, men er svagere i tværretningen. Ligeledes ses det, at glasfiber har et elasticitetsmodul, som er ti gange mindre end ståls. Dette medfører, at det i visse situationer ikke er hensigtsmæssigt at bruge glasfiber som konstruktionsmateriale, hvis der eksempelvis skal laves store spændvidder, da glasfiberbjælker får en væsentlig større udbøjning end en tilsvarende bjælke i stål. Derimod kan glasfiber med fordel bruges i en gitterkonstruktion eller andre konstruktioner, hvor der er behov for lav vægt kombineret med stor styrke. Ud over materialeegenskaberne skal de relevante tværsnitskonstanter for profilet bestemmes før glasfiberbjælken analyseres. Dette gøres i det følgende. 2.3 Fastlæggelse af tværsnitskonstanter På baggrund af det valgte glasfiberprofil fastlægges de relevante tværsnitskonstanter. Tværsnitskonstanterne anvendes i den resterende del af rapporten, hvor de indgår i forskellige beregninger af bl.a. spændinger og deformationer. Profilets tværsnit kan ses på figur 2.2. Figur 2.2 Glasfiberprofilets tværsnit importeret fra Fiberline Composites A/S s hjemmeside. Mål i mm. [5] Profilet har en udvendig dimension på mm og en godstykkelse på 8mm. Det ses på figur 2.2, at profilet ikke er fuldstændig firkantet, men har afrundede hjørner både indvendig og udvendig. På 13

16 2. Indledende analyse af glasfiberbjælken grund af de afrundede hjørner er en eksakt beregning af tværsnitskonstanterne mere omstændig, end hvis profilet havde været helt firkantet. For eksempel kan inertimomentet ikke længere bestemmes vha. formler for simple geometriske figurer. Betragtes profilet som fuldstændig firkantet, dvs. der ses bort fra de afrundede hjørner, kan beregningerne af tværsnitskonstanterne nemt gennemføres. For at vurdere betydningen af at medregne de afrundede hjørner, bestemmes tværsnitskonstanterne for hhv. et forsimplet profil med vinkelrette hjørner og det korrekte profil, hvorefter resultaterne sammenlignes. I bilag A er beregningen af tværsnitskonstanterne for begge profiler gennemført og resultaterne kan ses i tabel 2.3. For inertimomentet og det elastiske modstandsmoment er der kun opgivet én værdi, da profilet er dobbelt symmetrisk, hvorfor det er ens om y- og z-aksen. I tabel 2.3 er desuden angivet de tværsnitskonstanter, som Fiberline Composites A/S oplyser på deres hjemmeside for det pågældende profil. Areal, A Inertimoment, I y Modstandsmoment, W el,y [m 2 ] [mm 4 ] [mm 3 ] Korrekt profil , Forsimplet profil , Oplysninger fra Fiberline , Tabel 2.3 Tværsnitskonstanter beregnet for det korrekte og forsimplede profil, samt de opgivne værdier fra Fiberline Composites A/S s hjemmeside. [4] Ud fra tabel 2.3 kan det bestemmes, som gjort i bilag A, at en beregning af tværsnitskonstanterne for det korrekte profil medfører et areal, et inertimoment og et modstandsmoment, som er 0, 35% større end ved det forsimplede profil. Det kan dermed konkluderes, at det er fordelagtigt at forsimple profilet til et helt firkantet profil, idet afvigelserne herved er minimale. Samtidig lettes beregningsgangen både for de numeriske og analytiske metoder. Desuden giver resultaterne fra det forsimplede profil værdier, der er mindre end det korrekte, og dermed giver det spændinger og deformationer, der er på den sikre side, i forhold til traditionelle brud- og anvendelsesberegninger. De beregnede tværsnitskonstanter sammenlignes desuden med de oplysninger Fiberline Composites A/S giver på deres hjemmeside. Det ses i tabel 2.3, at Fiberline Composites A/S opgiver nogle tværsnitskonstanter, der er større end dem, der er blevet beregnet med det korrekte profil. Beregning af arealet for det korrekte profil er kontrolleret ved at importere en tegning af profilets tværsnit fra Fiberline Composites A/S s hjemmeside i AutoCad og hermed få programmet til at beregne tværsnitsarealet. Resultatet i AutoCad stemmer overens med det beregnede resultat, og dermed oplyser Fiberline Composites A/S større værdier end det, der kan beregnes ud fra de tegninger, som foreligger. I den resterende del af rapporten vil der på baggrund af undersøgelserne i dette afsnit blive taget udgangspunkt i tværsnitskonstanterne for det forsimplede profil. 2.4 Bjælkens indre kraftfordeling Bjælkens indre kraftfordeling analyseres ud fra ligevægts betragtninger. I beregningerne betragtes glasfiberbjælken, som en plan bjælke, hvilket betyder, at bjælkeaksen og de kræfter, der virker på bjælken, skal ligge i samme plan. I virkeligheden bliver kræfterne ikke påført direkte i bjælkeaksen, men bjælken bliver belastet over en bredde svarende til bjælkens bredde. Det antages, at belastningen over bredden er jævnt fordelt, så resultanten går gennem bjælkeaksen, hvorfor der optræder en tilnærmet plan situation. Bjælkens egenlast tages ikke med i beregningerne, da denne er meget lille i forhold til den belastning, som bjælken udsættes for. På figur 2.3 ses det statiske system for bjælken. 14

17 2.5 Maksimal belastning for bjælken x [m] Figur 2.3 Statisk system for glasfiberbjælken. Snitkræfterne i glasfiberbjælken bestemmes ved at opstille statisk ligevægt for hvert snit af bjælken. Dette er gjort i bilag B.1, hvor moment- og forskydningskraftfordelingen er fundet. Snitkraftfordelingerne er bestemt for en last P = 1kN, idet det er formen af bjælkens indre kraftfordeling der ønskes bestemt. Der antages lineær sammenhæng mellem den påførte last og den indre kraftfordeling, idet der regnes elastisk og der ses bort fra 2. ordens effekter. Det er derfor muligt at skalere moment- og forskydningskraften op i forhold til den belastning der påføres. Moment- og forskydningskraftkurven kan ses på figur 2.4 og 2.5, hvor kurverne er optegnet ud fra l = 2.100mm, b = 600mm, a = 100mm og en last på P = 1kN jvf. figur 2.3. M( x) [Nm] x [m] M( x) 200 [Nm] 400 V( x) [N] x [m] Figur 2.4 Momentkurve for glasfiberbjælken. Figur 2.5 Forskydningskraftkurve for glasfiberbjælken. På figur 2.4 ses, at momentet mellem understøtning og last er lineært fordelt, og der opstår et konstant moment på 600Nm mellem de to punktlaster. Ud fra figur 2.5 ses, at der er en konstant forskydningskraft på 1.000N mellem understøtning og last, mens forskydningkraften er nul mellem de to punktlaster Maksimal belastning for bjælken Ud fra moment- og forskydningskraftfordelingen er det muligt at bestemme de maksimale normalogv ( forskydningsspændinger x) [N] 0 i glasfiberbjælken. Herudfra bestemmes hvor stor en last der kan påføres profilet, uden der opstår brud. Normalspændingerne beregnes vha. Naviers formel hvorved maksimalspændingerne σ max i de yderste fibre beregnes. Dette er gjort i bilag B.2. For en last P = 33kN fås x [m] σ max = 237MPa < f b,0 = 240MPa hvormed bæreevnen er overholdt i forhold til normalspændingerne forårsaget af bøjningsmomentet. Forskydningsspændingerne beregnes vha. Grasshoffs formel, hvilket er gjort i bilag B.2. Den maksimale forskydningsspænding optræder i bjælkemidten. For en last P = 32kN fås τ max = 24MPa < f τ = 25MPa 15

18 2. Indledende analyse af glasfiberbjælken hvormed bæreevnen er overholdt i forhold til forskydningsspændingerne. Idet både bæreevnen i forhold til normal- og forskydningsspændingerne skal overholdes, vælges at påsætte en last på P = 30kN i de numeriske beregninger. I bilag B.3 er normalspændingerne i tre udvalgte punkter fundet for en last på 30kN. Disse kan ses i tabel mm 1.300mm 1.700mm Beregningsmodel [MPa] [MPa] [MPa] Analytisk 215, 1/ 215, 1 215, 1/ 215, 1 107, 5/ 107, 5 Tabel 2.4 Normalspændingerne σ 11 i bjælken i udvalgte punkter, hvor det før skråstregen er på oversiden, og efter skråstregen er på undersiden. De fundne normalspændinger sammenlignes i et senere kapitel med normalspændingerne fundet vha. af numeriske beregningsmetoder i Abaqus. 2.6 Udbøjning af glasfiberbjælken ud fra bjælketeorier Udbøjningen af den simpelt understøttede bjælke, som kan ses på figur 2.3, beregnes i dette afsnit ud fra to bjælketeorier. Først beregnes udbøjningen ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien, som almindeligvis anvendes ved bjælker, der betragtes som slanke. Derefter beregnes udbøjningen vha. Timoshenko bjælketeorien, hvorefter resultaterne sammenholdes. Ved anvendelsen af begge bjælketeorier accepteres følgende forudsætninger: Flytningerne er små i forhold til legemernes dimensioner Deformationerne er små Materialet er lineært elastisk Ligevægtsligningerne kan opstilles i udeformeret tilstand Tværsnittets form forbliver uændret under deformation [3, s. 15],[6, 1. lektion] Endvidere er der for bjælkeberegningerne antaget E = E 1 = E 2, G = G 12 = G 13 = G 23 og ν = ν 12, hvilket giver et forsimplet ortotropisk materiale. Ved et forsimplet ortotropisk materiale menes et materiale med samme stivhed i både 1- og 2-retningen, men hvor forskydningsmodullet gør, at relationen for isotropiske materialer ikke er overholdt. Relationen for isotropiske materialer er som følger E = G 2 (1 + ν) (2.2) Følgende materialedata anvendes derfor jvf. afsnit 2.2 E = MPa ν = 0, 23 G = 3.000MPa Udbøjning regnet efter Bernoulli-Euler bjælketeori For Bernoulli-Euler bjælketeorien er den grundlæggende kinematiske antagelse, at plane tværsnit forbliver plane, og tværsnittet forbliver vinkelret på den deformerede bjælkeakse. Dette betyder, at tværsnittet

19 2.6 Udbøjning af glasfiberbjælken ud fra bjælketeorier ikke deformeres, men bevæger sig med stivlegeme bevægelser, og der af denne grund ikke forekommer forskydnings- og vinkeltøjninger over tværsnittet. Der vil således ikke være nogle forskydningsspændinger over tværsnittet jvf. de kinematiske betingelser. Dette er ikke korrekt fysisk antagelse, idet der vil optræde forskydningsspændinger i virkeligheden, hvilke bestemmes statisk ud fra ligevægtsligningerne. [7, s. 5 og 8] I teorien tages der kun hensyn til tværudbøjningen w(x), hvorfor krumningen er lig med den anden afledede af bjælkens udbøjning ved små flytninger, dvs. κ = d2 w(x). Ud fra hhv. den kinematiske, statiske dx og fysiske feltbetingelse opstilles en differentialligning for udbøjningen 2 af bjælken [3, s ]. Idet momentfordelingen M(x) er kendt jvf. afsnit 2.4 anvendes differentialligningen hvor E er elasticitetsmodulet [MPa] I y er bøjningsinertimomentet [mm 4 ] d 2 w(x) dx 2 = M(x) E I y (2.3) Differentialligningen er af anden orden, og der skal derfor benyttes to randbetingelser til fastlæggelse af den fuldstændige løsning til randværdiproblemet. Der anvendes desuden overgangsbetingelser, idet der ellers optræder diskontinuitet ved enkeltkræfterne. [3, s ] Randbetingelserne er givet ved, at flytningen er nul ved understøtningerne, samt at vinkeldrejningen er nul midt på bjælken, da bjæken belastes symmetrisk. Indicies på w angiver, hvilket snit, jvf. figur 2.3, dette gælder for. w 2 (a) = 0 dw 3 ( l 2 ) dx Overgangsbetingelserne er givet ved at flytningen og vinkeldrejningen, i de punkter hvor lasten påføres og bjælken understøttes, er den samme set fra både højre og venstre side. = 0 w 1 (a) = w 2 (a) dw 1 (a) = dw 2(a) dx dx w 2 (a + b) = w 3 (a + b) dw 2 (a + b) dx = dw 3(a + b) dx I bilag B.4 bestemmes udbøjningen w(x). Udbøjningen er bestemt for en last P = 1kN, og da der er lineær sammenhæng mellem den påførte last og udbøjningen, når der ses bort fra 2. ordens effekter, er det muligt at skalere udbøjningen i forhold til den belastning der påføres. På figur 2.6 ses en graf for bjælkens udbøjning ved en belastning på 1kN. 5 w( x) f( x) [mm] x [m] Figur 2.6 Udbøjningen ved brug af Bernoulli-Euler teorien ved en belastning på P = 1kN. 17

20 2. Indledende analyse af glasfiberbjælken I afsnit 2.5 er det valgt, at der skal påsættes en last P = 30kN på bjælken. Udbøjningen for denne belastning findes ved at skalere værdierne fra figur 2.6. I tabel 2.5 ses den skalerede udbøjning i udvalgte punkter målt fra venstre enden af bjælken. 100mm 400mm 850mm 1050mm [mm] [mm] [mm] [mm] Analytisk Bernoulli-Euler 0 35, 1 69, 5 73, 3 Tabel 2.5 Bjælkens udbøjning i udvalgte punkter beregnet ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien ved en last P = 30kN. Ud fra tabel 2.5 kan det ses, at den maksimale udbøjning på midten af bjælken er 73, 3mm, hvilket kan betragtes som en betydelig flytning. Der optræder derfor ikke små flytninger, som er en af forudsætningerne for Bernoulli-Euler bjælketeorien, hvorfor en bedre modellering af bjælken ønskes. Først betragtes bjælken dog vha. Timoshenko bjælketeorien, selvom denne bygger på samme forudsætning Udbøjning regnet efter Timoshenko bjælketeori For Timoshenko bjælketeorien er den grundlæggende kinematiske antagelse, at plane tværsnit forbliver plane, tilsvarende Bernoulli-Euler bjælketeorien, men Timoshenko bjælketeorien adskiller sig fra Bernoulli-Euler bjælketeorien ved, at det deformerede tværsnit ikke forbliver vinkelret på den deformerede bjælkeakse. Ved Bernoulli-Euler bjælketeorien er der ingen forskydningstøjning over tværsnittet, da tværsnittet antages vinkelret på bjælkeaksen, hvilket ikke er tilfældet for Timoshenko bjælketeorien. Der tages her hensyn til forskydningsdeformationen ved at indføre en gennemsnitlig vinkeltøjning over tværsnittet. Denne forskydningstøjning medfører en tillægsdeformation af bjælkeaksen sammenlignet med Bernoulli- Euler bjælketeorien. [7, s. 8] Udbøjningen af bjælken w(x) ved brug af Timoshenko bjælketeorien afhænger derfor ikke kun af krumningen κ(x), men også af vinkeltøjningen γ(x). Som for Bernoulli-Euler bjælketeorien kan udbøjningen beregnes vha. opstillede differentialligninger, men her anvendes i stedet virtuelle kræfters princip. For Timoshenko bjælker kan udbøjningen således bestemmes i ét punkt ved formel (2.4), hvor der anvendes virkelige flytninger sammen med virtuelle kræfter. δq z w z = l 0 ( δqz Q z G A z + δm ) y M y dx (2.4) E I y hvor δqz, δm y er virtuelle kræfter [kn] og momenter [knm] Q z, M y er virkelige kræfter [kn] og momenter [knm] A z er forskydningsarealet [mm 2 ] [7, s. 31] Forskydningsarealet A z oplyses af Fiberline Composites A/S til 1440mm 2, hvilket ca. svarer til tværsnitsarealet af siderne på profilet, som er det normale at anvende som forskydningsareal for rektangulære rør. [8, s. 73] Beregningen af udbøjningen i ét punkt på bjælken er gennemført i bilag B.5 ved en belastning P = 1kN. Idet der er lineær sammenhæng mellem den påførte last og udbøjningen, når der ses bort fra 2. ordens effekter, er det muligt at skalere udbøjningen op i forhold til den belastning der påføres. Ved at udarbejde et MathCAD program, hvor placeringen af den virtuelle enkeltkraft er variabel findes udbøjningen for alle punkter i bjælken. MathCAD programmet kan findes på den vedlagte CD-ROM i mappen MathCAD-Timoshenko. Udbøjningerne kan ses på figur

21 2.6 Udbøjning af glasfiberbjælken ud fra bjælketeorier 4 BE (x) [mm] Timoshenko (x) [mm] Udeformeret x [m] Figur 2.7 Udbøjningen ved brug af Timoshenko og Bernoulli-Euler bjælketeori ved en belastning på 1kN. Som vist på figur 2.7 giver Bernoulli-Euler bjælketeorien en udbøjning på 2, 4mm, og Timoshenko bjælketeorien giver en udbøjning på 2, 6mm på midten af bjælken, hvor udbøjningen er størst. Det svarer i dette tilfælde til, at ved brug af Timoshenko bjælketeorien fås en maksimal udbøjning, der er 8,3% større end ved brug af Bernoulli-Euler bjælketeorien. I bilag B.6 er der foretaget en undersøgelse af, om udbøjningen skal beregnes vha. Bernouli-Euler eller Timoshenko bjælketeori for det givne længdehøjdeforhold, eller om begge teorier giver gode resultater. Herudfra er det fundet, at med et længdehøjdeforhold mellem bør det overvejes, hvor nøjagtige resultater der ønskes og herudfra vurderes hvilken bjælketeori der skal anvendes. Idet længdehøjdeforholdet for den bjælke, der analyseres er 21, bør det vurderes om Bernoulli-Euler bjæketeorien giver acceptable resultater. Det vurderes dog at med en bjælke på 2.100mm giver både Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien acceptable resultater. Den relative betydning af forskydningsdeformationer i forhold til bøjningsdeformationer afhænger af ( ) forholdet hl 2, så hvis der anvendes en højere eller kortere bjælke, stiger forskellen på udbøjningen mellem de to teorier [7, s. 12]. I FEM beregninger i afsnit 4.2 bruges faktoren φ z, når der arbejdes med bjælkeelementer. Faktoren indgår i stivhedsmatricer for bjælkeelementer. hvor A/kz svarer til forskydningsarealet [9, s. 27] φ z = 12 E I y k z A G l 2 Ved anvendelse af Bernoulli-Euler bjælketeorien er φ z lig med 0, men anvendes Timoshenko bjælketeorien bliver φ z i dette tilfælde lig med 0,06. Denne værdi skal sammenlignes med 1, idet bidraget fra bøjning er 1. Dette betyder, at forskydningsdeformationen giver et meget lille bidrag til udbøjningen af bjælken. Bernoulli-Euler bjælketeorien bliver ved meget korte eller meget høje bjælker uanvendelig, da forskydningsdeformationen er dominerende, hvilket der ikke tages højde for i denne teori. Beregningen af udbøjningen er ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien regnet ved at løse en differetialligning, hvorimod den ud fra Timoshenko bjælketeorien er regnet vha. virtuelle kræfters princip. Resultaterne er kontrolleret ved at lade G A z, da det medfører, at Timoshenko bjælketeorien går mod Bernoulli-Euler bjælketeorien (φ z 0). [7, s. 12] I afsnit 2.5 er det valgt, at der skal påsættes en lastning P = 30kN på bjælken, og udbøjningen for denne belastning findes ved at skalere værdierne i figur 2.7. I tabel 2.6 ses udbøjningen i udvalgte punkter på bjælken beregnet ud fra hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. 19

22 2. Indledende analyse af glasfiberbjælken 100mm 400mm 850mm 1050mm [mm] [mm] [mm] [mm] Analytisk Bernoulli-Euler 0 35, 1 69, 5 73, 3 Analytisk Timoshenko 0 37, 3 73, 6 77, 4 Tabel 2.6 Bjælkens udbøjning i udvalgte punkter beregnet ud fra hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. Ud fra tabel 2.6 er den maksimale udbøjning på midten af bjælken udregnet til 73, 3mm og 77, 4mm vha. hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien, hvilket kan betragtes som betydelige flytninger. Der optræder derfor ikke små flytninger, som er en af forudsætningerne for de to teorier. Dette kan betyde, at det ikke er korrekt at regne med en lineær sammenhæng mellem belastning og udbøjning, og teorierne derfor ikke giver de korrekte resultater i forhold til den udbøjning, der kan måles i laboratoriet. Ud fra laboratorieforsøgene er det muligt at undersøge, hvornår den lineære sammenhæng mellem belastning og udbøjning ophører. I kapitel 6 behandles de eksperimentelle metoder og det undersøges hvornår der ikke længere er lineær sammenhæng mellem belastning og udbøjning. 2.7 Opsamling Ud fra en spændingsanalyse er der fundet en øvre værdi for lasten på 32kN. Der er herudfra valgt en last P = 30kN som anvendes i de følgende analyser. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien er benyttet til at regne udbøjningen af bjælken. Bernoulli- Euler bjælketeorien har den grundlæggende kinematiske antagelse at plane tværsnit forbliver plane, og tværsnittet forbliver vinkelret på den deformerede bjælkeakse, hvilket giver en maksimal udbøjning på 73, 3mm. Der er desuden lavet en undersøgelse, der angiver for hvilket længdehøjdeforhold, det er mest fordelagtigt at anvende hhv. Bernoulli-Euler eller Timoshenko bjælketeori. Denne undersøgelse har givet et grænseområde for længdehøjdeforholdet af bjælken på 15-25, inden for hvilket glasfiberbjælken ligger, da l/h = 21, hvorfor det er en vurderingssag, om Bernoulli-Euler bjælketeorien giver tilstrækkeligt korrekte udbøjningsresultater. Blandt andet fordi glasfiberbjælken ligger i dette grænseområde, er udbøjningen regnet for begge bjælketeorier, men også for at undersøge hvilken indflydelse forskydningsbidraget i Timoshenko bjælketeorien har på den maksimale udbøjning. For Timoshenko bjælketeorien er den grundlæggende kinematiske antagelse, at plane tværsnit forbliverplane, tilsvarende Bernoulli-Euler bjælketeorien, men Timoshenko bjælketeorien adskiller sig fra Bernoulli-Euler teorien ved, at det deformerede tværsnit ikke nødvendigvis forbliver vinkelret på den deformerede bjælkeakse, hvilket giver en maksimal udbøjning på 77, 4mm. Forskellen på den maksimale udbøjning beregnet ved de to bjælketeorier er 5, 6%, hvilket stemmer fint overens med, at glasfiberbjælkens dimensioner ligger i det fundne grænseområde for længdehøjdeforholdet. Både Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorierne har en række begrænsninger, som bevirker, at det ikke er muligt at analysere en deformation af tværsnittet. Der ønskes derfor udarbejdet en model, hvor det er muligt at analysere en deformation af tværsnittet. Dette behandles i det følgende kapitel. 20

23 Kapitel3 Numeriske FEM-beregninger i Abaqus I følgende kapitel behandles glasfiberbjælken under anvendelse af elementmetoden. Kapitlet behandler en analyse af glasfiberbjælken vha. numeriske beregningsmetoder, hvor det kommercielle beregningsprogram Abaqus anvendes. Ud fra bjælkens geometri, belastning og randbetingelser findes deformationer og spændinger i bjælken. Kapitlet danner udgangspunkt for sammenligning med analytiske beregninger, anden del af de numeriske beregninger og de eksperimentelle resultater. Først analyseres bjælken vha. bjælkeelementer for at sammenligne med analytiske bjælkeberegninger og sidenhen vha. skalelementer for at tage højde for nogle af bjælketeoriernes begrænsninger. 3.1 Anvendte metoder Ved modellering af bjælken i Abaqus laves først simple modeller som gradvist tilnærmes forsøgsopstillingen og dermed den virkelige bjælke. Dette betyder, at der først udarbejdes bjælkemodeller, og senere skalmodeller. Den første model laves desuden for at verificere, at Abaqus giver de forventede resultater ligesom den første skalmodel laves for at kunne vurdere indflydelsen ved at gå fra en bjælke- til en skalmodel. Forskellen mellem bjælke- og skalteorien er bl.a., at tværsnittet iht. bjælketeorien ikke kan deformere i sit plan, og plane tværsnit forbliver plane, mens tværsnittet iht. skalteorien kan deformere i sit eget plan, og ikke nødvendigvis forbliver plant. Forskellen mellem bjælketeorierne og bjælkens virkelige opførsel er skitseret på figur 3.1. z z z Q Q Q y x y x y x Bernoulli-Euler Timoshenko Virkelig opførsel Figur 3.1 Deformation af tværsnittet over højden ud fra de to bjælketeorier, Bernoulli-Euler og Timoshenko, ift. bjælkens virkelige opførsel. [7] I beregningsprogrammet Abaqus modelleres glasfiberbjælken først vha. bjælkeelementer i et forsimplet ortotropisk materiale, hvor resultaterne sammenlignes med de simple analytiske beregninger jvf. afsnit Ved et forsimplet ortotropisk materiale menes et materiale med samme stivhed i både 1. og 2. retningen, men at relationen jvf. formel (2.2) ikke er opfyldt, hvilket gør, at det ikke er isotropt. Der laves to bjælkemodeller, én der regner efter Bernoulli-Euler bjælketeorien, og én der regner efter Timoshenko bjælketeorien. Bjælkemodellerne sammenlignes med de analytiske beregninger og i afsnit 4.2 med en bjælkemodel i MatLab. 21

24 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus Ved behandling af bjælken som et to-dimensionelt problem, som det er tilfældet ved anvendelse af bjælketeorierne, tages der ikke hensyn til deformation af tværsnittet f.eks. i form af Braziereffekt. Det må derfor være en bedre tilnærmelse til virkeligheden at modellere bjælken som et skalelement, idet denne bl.a. giver mulighed for deformation af tværsnittet. Idet skalmodellen bør give en bedre modellering af bjælken end bjælkemodellerne, undersøges forskellen på bjælkemodellerne og en forsimplet ortotropisk skalmodel. I denne skalmodel modelleres laster og understøtningerne tilsvarende forholdene i bjælkemodelleringen. Den modellering er dog ikke fuldkommen, da glasfiber er et ortotropisk materiale og last- og understøtningsforholdene er anderledes i virkeligheden. For at imødekomme bjælkens virkelige egenskaber opbygges en ortotropisk skalmodel. Denne model opbygges først med last- og understøtningsforhold som den forsimplede ortotropiske skalmodel for at kunne vurdere indflydelsen ved at gå fra forsimplet ortotropisk til ortotropisk materiale. Herefter forbedres modelleringen af last- og understøtningsforholdene gennem tre trin således disse tilnærmes de virkelige forhold ved forsøg med bjælken. Den bedste af modellerne sammenlignes med de eksperimentelle resultater. Kapitlet indeholder således følgende afsnit: Bjælkemodel i forsimplet ortotropisk materiale (lineær analyse) Bernoulli-Euler bjælketeori Timoshenko bjælketeori Skalmodel i forsimplet ortotropisk materiale Last og understøtning langs linier (lineær analyse) Last og understøtning langs linier (ikke-lineær analyse) Skalmodel i ortotropisk materiale (ikke-lineær analyse) Last og understøtning langs linier Last og understøtning på flader Last og understøtning som påklistrede solide stålemner Last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning I alle de nævnte afsnit bestemmes udbøjningen af glasfiberbjælken i punkter svarende til de steder, hvor der placeres flytningsmålere ved forsøget i laboratoriet. Derudover bestemmes spændingerne i glasfiberbjælken ved de fire første modeller. Dette gøres for at kunne sammenligne resultaterne indbyrdes samt med spændingerne beregnet analytisk. Ved de sidste modeller bestemmes tøjningerne i afhængighed af de forskellige understøtningsforhold. Tøjningerne bestemmes i udvalgte punkter svarende til de steder, hvor der placeres strain gauges ved forsøget i laboratoriet. Grunden til, at det er tøjningerne der bestemmes er, at disse kan måles direkte ved forsøgene Bjælkemodel i forsimplet ortotropisk materiale For at verificere, at ens forudsætninger giver identiske resultater ved en analytisk og en numerisk beregning, modelleres glasfiberbjælken i Abaqus, som bjælkemodeller efter hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. Bjælken betragtes i et to-dimensionelt plan, idet udbøjningen forekommer i en anden retning end bjælkeaksens udstrækning. Bjælkens deformation er i virkeligheden et tre-dimensionelt problem, men da lasten påsættes symmetrisk i bjælkens bredderetning kan lasten tilnærmes med en ækvivalent last gennem bjælkens centerlinie. Det er derfor tilstrækkeligt at betragte den i et to-dimensionelt plan. Bjælken opbygges efter samme geometri, som ved de analytiske beregninger, hvorfor den regnes som en simpelt understøttet bjælke. Lasten påføres som to punktlaster på 30kN i bjælkens centerlinie. Det statiske system for bjælken kan ses på figur 3.2.

25 3.2 Bjælkemodel i forsimplet ortotropisk materiale Figur 3.2 Statisk system for bjælken med last og understøtning langs en linie. Mål i mm. Bjælkemodellen tillægges forsimplede ortotropiske materialeegenskaber for at have samme forudsætninger, som i de analytiske beregninger. De anvendte materialeegenskaber er hhv. elasticitetsmodul, forskydningsmodul og Poissons forhold, der jvf. afsnit 2.2 er E = MPa G = 3.000MPa ν = 0, 23 For at kunne beskrive udbøjningen af bjælken eksakt skal den som minimum inddeles i fem elementer grundet last og understøtningsforhold. Last- og understøtningsforholdene giver en momentfordeling som vist på figur 3.3. Her ses det, at momentfordelingen kan beskrives ved fem rette linier, hvoraf de tre er konstante. Når momentfordelingen er givet ved et 1. grads polynomium er udbøjningen givet ved et 3. grads polynomium. Det bemærkes at hvor momentet er konstant, er krumningen også konstant, hvorfor udbøjningen i princippet er givet ved en cirkelbue, men da der er tale om små deformationer, kan cirkelbuen med god tilnærmelse beskrives som en parabel, der igen kan beskrives ved et 3. grads polynomium. Figur 3.3 Skitsering af momentfordeling for bjælken. For de elementtyper, der anvendes til at beskrive Bernoulli-Euler bjælketeorien, er formfunktionerne givet ved 3. grads polynomiumer, hvorfor denne teori giver en eksakt værdi for udbøjningen i alle punkter i bjælken ved den givne momentfordeling. For elementtyperne, der anvendes til at beskrive Timoshenko bjælketeorien, er formfunktionerne derimod givet ved 1. eller 2. grads polynomiumer. Det vælges at modellere bjælken med elementer der anvender 2. grads formfunktioner, hvormed den eksakte udbøjning kun kan beskrives, når momentfordelingen er konstant. Timoshenko bjælketeorien giver derfor den eksakte udbøjning i knudepunkterne, der alle ligger i forbindelse med en konstant momentfordeling, hvorimod udbøjningen ikke nødvendigvis er eksakt for den del af bjælken, hvor momentet varierer lineært. For at få udbøjningen på bjælkemidten indlægges et ekstra knudepunkt her. Således inddeles bjælken i seks elementer. Jævnfør ovenstående er denne opdeling fordelagtig og tilstækkelig, og et øget antal elementer vil ikke have indflydelse på resultaterne. Der ønskes udført en lineær elastisk analyse i Abaqus. 23

26 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus I det følgende beskrives modelleringen af bjælken i Abaqus: Der modelleres et 2D bjælkeelement. Geometrien fastlægges ved at optegne en wire i x-retningen med en længde på 2.100mm. Wiren tegnes stykvis, idet der skal være et knudepunkt, hvor der påsættes laster og understøtninger. Desuden deneres et knudepunkt på midten af bjælken, idet udbøjningen ønskes bestemt her. Dette medfører at bjælken inddeles i seks elementer på langs. Herefter deneres wirens tværsnit ved at oprette et rkantet prol med dimensionerne mm. De førnævnte forsimplede ortotropiske materialeegenskaber tillægges hele bjælkens geometri. Lasten påføres i to knudepunkter 700mm fra hver bjælkeende vha. et Static General Step, der både kan regne lineært og ikke-lineært, men anvendes her i det lineære tilfælde for at bruge samme procedure for alle bjælkemodeller. Bjælken understøttes 100mm fra hver bjælkeende. I den ene understøtning sættes ytningen til nul i både x- og z-retningen, mens ytningen i den anden understøtning kun sættes til nul i z-retningen jvf. gur 3.2. Der er dermed dannet en simpel understøtning for bjælken. Ved modellering af bjælken iht. Bernoulli-Euler bjælketeorien benyttes formfunktioner, hvor der anvendes kubisk ytningsinterpolation. Tilsvarende benyttes, ved modellering af bjælken iht. Timoshenko bjælketeorien, formfunktioner, hvor der anvendes kvadratisk ytningsinterpolation. I begge tilfælde er inddelingen af bjælken i seks elementer tilstrækkelig til, at et øget antal elementer ikke vil have indydelse på resultaterne fra Abaqus, hvilket er undersøgt vha. en konvergensanalyse. Bjælken inddeles dog i tretten elementer for at kunne udtage data, der hvor der placeres strain gauges eller ytningsmålere. Konvergensanalyse af bjælkens udbøjning iht. Bernoulli-Euler bjælketeorien kan ses på gur l = 6 l = 13 l = 28 l = 56 U [mm] Antal elementer Figur 3.4 Resultat af konvergensanalyse af bjælkens maksimale udbøjning. Abaqus-modellerne kan ses på vedlagte CD-ROM i mappen beam-homogen-cubic-fororto og beam-homogenkvadratisk-fororto. Resultater for udbøjning Efter at have fastlagt bjælkens geometri, belastning og randbetingelser er Abaqus i stand til at bestemme deformationer og spændinger i bjælkemodellen. Udbøjningen i Abaqus giver en glat kurve. På figur 3.5 og 3.6 kan udbøjningen af bjælkemodellen modelleret vha. hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien ses. Det bemærkes, at nedenstående grafer er optegnet ud fra udbøjningsværdier i knudepunkterne, som er forbundet vha. rette linier. Dette medfører, at udbøjningskurverne ikke forekommer helt glatte. Figur 3.5 Udbøjning for glasfiberbjælken modelleret som en Bernoulli-Eulerbjælke. 24

27 3.2 Bjælkemodel i forsimplet ortotropisk materiale Figur 3.6 Udbøjning for glasfiberbjælken modelleret som en Timoshenkobjælke. Udbøjningernes variationer i bjælkeaksens retning kan desuden ses i tabel 3.1, hvor der sammenlignes med resultaterne fra den analytiske bjælkeberegning baseret på hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeori jvf. afsnit og afsnit mm 400mm 850mm 1050mm Beregningsmodel [mm] [mm] [mm] [mm] Analytisk Bernoulli-Euler 0, 0 35, 1 69, 5 73, 3 Analytisk Timoshenko 0, 0 37, 2 73, 6 77, 4 Bernoulli-Eulerbjælke 0, 0 35, 3 70, 0 73, 7 Timoshenkobjælke 0, 0 37, 6 74, 6 78, 4 Tabel 3.1 Bjælkens udbøjning i udvalgte punkter ved de forskellige beregningsmodeller. Ud fra tabel 3.1 kan det ses, at afvigelsen for Bernoulli-Euler bjælketeorien er 0, 5%, mens den for Timoshenko bjælketeorien er 1, 3% ved den maksimale udbøjning. En del af afvigelsen kan forklares med, at der i den analytiske beregning er anvendt et forskydningsareal, oplyst fra Fiberline Composites A/S, på 49% af tværsnitsarealet, mens Abaqus anvender et forskydningsareal på 44% af tværsnitsarealet, hvilket medfører større udbøjning [10, ]. Dette forklarer ikke hele afvigelsen, da det har vist sig, at ved at indsætte forskydningsarealet, som Abaqus regner med i de analytiske beregninger fås en mindre afvigelse. Jvf. afsnit går Timoshenko bjælketeorien mod Bernoulli-Euler bjælketeorien når G A y. Dette er eftervist i Abaqus ved at give Timoshenkomodellen et forskydningsmodul på G = MPa, der er en faktor 100 større end materialets egentlige forskydningsmodul. Herved findes en maksimal udbøjning som svarer til den maksimale udbøjning fundet ved Bernoulli-Eulermodellen. Resultater for spænding Det er ligeledes muligt at sammenligne spændingerne ved den analytiske og numeriske beregning. Det vælges at sammenligne normalspændingerne σ 11 i udvalgte punkter, hvor der placeres strain gauges i forbindelse med laboratorieforsøgene. Placering af strain gauges kan ses på vedlagte teging 3, hvor 1.700mm henviser til snit F-F, 1.300mm henviser til snit D-D og 1.100mm henviser til snit B-B. For bjælkemodellen udtages snitkræfter, som derefter omregnes til spændinger, som vist i bilag B.3. Normalspændningerne regnes i top og bund af bjælken vha. Naviers formel. I tabel 3.2 kan spændingerne ses. Ud fra tabel 3.2 kan spændingerne beregnet analytisk og de to numeriske modeller sammenlignes. Afvigelsen mellem alle tre modeller er, som forventet, 0%. Det er hermed verificeret, at der opnås identiske resultater ved analytisk og numerisk beregning, når der anvendes ens forudsætninger. I det følgende opbygges glasfiberbjælken som en skalmodel med forsimplede ortotropiske egenskaber i Abaqus. Formålet er at kunne vurdere, hvorvidt denne model afviger fra de analytiske og de numeriske bjælkemodeller. 25

28 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus 1.100mm 1.300mm 1.700mm Beregningsmodel [MPa] [MPa] [MPa] Analytisk 215, 1/ 215, 1 215, 1/ 215, 1 107, 5/ 107, 5 Bernoulli-Eulerbjælke 215, 1/ 215, 1 215, 1/ 215, 1 107, 5/ 107, 5 Timoshenkobjælke 215, 1/ 215, 1 215, 1/ 215, 1 107, 5/ 107, 5 Tabel 3.2 Normalspændingerne i bjælken i udvalgte punkter ved de forskellige beregningsmodeller, hvor det før skråstregen er på oversiden, og efter skråstregen er på undersiden. 3.3 Skalmodel i forsimplet ortotropisk materiale Dette afsnit vil redegøre for udbøjningen og spændinger i udvalgte punkter for glasfiberbjælken modelleret af skalelementer i Abaqus. Skalmodellen tillægges samme geometri som bjælkemodellen. Skalmodellen er simpelt understøttet, og hver understøtning virker, ligesom i bjælkemodellen, hen over bredden som en linie ligesom lasten påføres som en linielast på tværs, men påføres på ydersiden af tværsnittet. Som i de tidligere beregninger påføres to laster på hver 30kN. Bjælkens statiske system kan ses på figur 3.7. Figur 3.7 Statisk system for bjælken med last og understøtning som linie. Mål i mm. Skalmodellen modelleres af et homogent materiale med forsimplede ortotropiske egenskaber for at kunne sammenligne med de tidligere beregnede bjælkemodeller. En anden grund til at bjælken først modelleres med forsimplede ortotropiske materialeegenskaber er for, at kunne bestemme indflydelsen af stivheden på tværs af bjælken, når denne sammenlignes med den ortotropiske modellering. De anvendte materialeegenskaber er de samme som ved bjælkemodellen afsnit 3.2, hvilket vil sige E-modul E 1 = MPa E 2 = MPa Poissons forhold ν 12 = 0, 23 26

29 3.3 Skalmodel i forsimplet ortotropisk materiale Forskydningsmodul G 12 = 3.000MPa G 13 = 3.000MPa G 23 = 3.000MPa Jvf. bilag D.1 har E 3, ν 13 og ν 23 ingen indflydelse på udbøjning og tøjninger, idet disse relaterer til tykkelsesretningen af profilet. Parametrene kan således vælges frit, og sættes til E 3 = 10MPa, ν 13 = 0, 5 og ν 23 = 0, 5. Bjælken inddeles i elementer således, at et øget antal elementer ikke giver anledning til væsentlige ændringer i udbøjning og spændinger. Det nødvendige antal elementer findes ved en konvergensanalyse, som kan ses på figur Der ønskes udført en lineær elastisk analyse af glasfiberbjælken. I det følgende beskrives modellering af skalmodellen i Abaqus: Der laves en solid boks med et tværsnit på mm, hvorefter denne ekstruderes 92mm. Tværsnittet laves 92 92mm, idet Abaqus regner ud fra tværsnittets centerlinie. Elementet laves om til kun at bestå af overader, således det ikke længere er solidt ved at fjerne overaderne i enderne. De resterende overader laves til skalelementer og gives en materialetykkelse på 8mm. Herved fås som tidligere et rkantet prol med dimensionerne mm. De forsimplede ortotropiske materialeegenskaber indføres vha. funktionen Engineering Constants. Ved indførelsen af ortotropiske materialeegenskaber er det nødvendigt at lave et lokalt koordinatsystem for elementet. Desuden deneres materialeorienteringen ift. koordinatsystemet. På gur 3.8 kan både det globale og de lokale koordinatsystemer for glasberbjælken ses z x y Figur 3.8 Placering af lokale koordinatsystemer for hver af de fire sider i skalmodellen ift. det globale koordinatsystem. 27

30 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus Hele bjælken tillægges forsimplede ortotropiske materialeegenskaber. Som en tilnærmelse til en linielast påføres lasten som en adelast på 1mm i bjælkens længderetning over bjælkens bredde, 700mm fra hver bjælkeende. Prolets dimensioner, samt linielasten kan ses på gur 3.7. Der påføres en last på 326, 1N/mm 2 svarende til en enkeltkraft på 30kN, idet skalmodellens bredde er 92mm. Som i bjælkemodellen påføres lasten i et Static Generel Step. Understøtningerne modelleres som et charnier 100mm fra hver ende af bjælken, virkende over bjælkens bredde. Bjælken fastholdes mod ytning i x-, y- og z-retningen i en linie i den ene ende og mod ytning i y- og z-retningen i en linie i den anden ende jvf. gur 3.7. Elementet er dermed understøttet svarende til en simpelt understøttet bjælke. Ved modellering af bjælken vha. forsimplede ortotropiske skalelementer benyttes formfunktioner, hvor der anvendes kvadratisk interpolation til interpolation af ytninger. Antallet af frihedsgrader pr. knude sættes til 6, det er dog tilstrækkeligt med 5 frihedsgrader pr. knude, men for at undgå singularitet tilføjes en ekstra frihedsgrad vedrørende rotation om normalen til aden [10, ]. Det vil sige, at der kan forekomme tre translationer i hhv. x-, y- og z-retningen og tre rotationer om hhv. x-, y- og z-retningen. De seks frihedsgrader og deres placering i elementet kan ses på gur 3.9. Figur 3.9 Placering af de seks frihedsgrader. Den sjette frihedsgrad er markeret med tynde streger. Elementerne er lavet som S8R elementer, hvilket vil sige otte-knuders elementer, som benytter reduceret integration. Da der anvendes kvadratisk interpolation skal der som minimum være to elementer over højden og bredden for at kunne modellere deformationen af tværsnittet, som er vist yderst til højre på gur 3.1. Ved at lave en konvergensanalyse af bjælkens udbøjning har det vist sig, at der skal være 15 elementer i længderetningen i den lineære analyse, mens der i den ikke-lineære analyse skal være 44 elementer i længderetning før udbøjningen konvergerer. Begge modeller modelleres med 44 elementer i længderetningen. Resultatet af konvergensanalysen af den ikke-lineære model kan ses på gur ,75 78,7 78,65 l = 44 m = 2 n = 2 l = 92 m = 4 n = 4 U [mm] 78,6 78,55 m 78,5 l = 15 m = 2 n = 2 l n 78, Antal elementer Figur 3.10 Resultat af konvergensanalyse af bjælkens maksimale udbøjning. I Abaqus laves en ikke-lineær analyse ved at tilvælge optionen nlgeom. Begge Abaqus-modeller kan ses på vedlagte CD-ROM i mappen shell-linie-bc-homogen-fororto. Resultater for udbøjning Udbøjningen for den forsimplede ortotropiske skalmodel fundet ud fra en ikke-lineære analyse kan ses på figur Udbøjningen er bestemt ved at midle bjælkens udbøjning i hvert snit. 28

31 3.3 Skalmodel i forsimplet ortotropisk materiale Figur 3.11 Udbøjning for glasfiberbjælken modelleret vha. forsimplede ortotropiske skalelementer. I tabel 3.3 er skalmodellernes udbøjning sammenlignet med de analytiske modeller fra afsnit og afsnit og de numeriske bjælkemodeller fra afsnit mm 400mm 850mm 1050mm Beregningsmodel [mm] [mm] [mm] [mm] Analytisk Bernoulli-Euler 0, 0 35, 1 69, 5 73, 3 Analytisk Timoshenko 0, 0 37, 2 73, 6 77, 4 Bernoulli-Eulerbjælke 0, 0 35, 3 70, 0 73, 7 Timoshenkobjælke 0, 0 37, 6 74, 6 78, 4 Forsimplet ortotropisk skal (lineær) 0, 1 37, 7 74, 6 78, 3 Forsimplet ortotropisk skal (ikke-lineær) 0, 4 38, 0 74, 9 78, 7 Tabel 3.3 Bjælkens udbøjning ved de forskellige beregningsmodeller. Ved modellering af glasfiberbjælken vha. skalelementer er der en lille afvigelse i inertimomentet ift. det tidligere anvendte, da skalmodellen i Abaqus er lavet ved at påføre skallen en tykkelse ud fra centerlinien. Dette medfører, at der i beregningen af inertimomentet medtages dobbelt materiale i hjørnerne og de yderste hjørner medtages ikke. Dette er vist på figur Figur 3.12 Det virkelige bjælketværsnit ift. tværsnittet af bjælken modelleret vha. skalelementer. De steder i tværsnittet hvor der medtages dobbelt materiale er skraveret. Beregningen af inertimomentet, der anvendes i Abaqus, kan ses i bilag C.1. Afvigelsen svarer til at inertimomentet er ca. 0, 6% mindre. Glasfiberbjælkens udbøjning er sammensat af bidrag fra hhv. bøjning og forskydning, hvor det kun er bøjningsbidraget, der bliver påvirket af det formindskede inertimoment. Det vurderes derfor, at det formindskede inertimoment har en ubetydelig indflydelse på bjælkens samlede udbøjning. I modsætning til bjælkemodellerne tages der ved modelleringen af glasfiberbjælken vha. skalelementer højde for 2. ordens effekter i form af eksempelvis Braziereffekt, når der udføres en ikke-lineær analyse. Dette kan bevirke, at tværsnittets inertimoment formindskes, når tværsnittet deformerer under bjælkens udbøjning. Braziereffekten har dog ikke umiddelbart væsentlig indflydelse på 29

32 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus udbøjningen af glasfiberbjælken jvf. tabel 3.3 grundet dennes geometri, når der anvendes forsimplede ortotropiske materialeegenskaber. Braziereffekt behandles nærmere i kapitel 5. Det ses ud fra tabel 3.3, at den maksimale udbøjning for det forsimplede ortotropiske skalelement er hhv. 78, 3mm og 78, 7mm ved lineær og ikke-lineær analyse, og udbøjningen er derfor hhv. 6, 2% og 6, 6% større sammenlignet med Bernoulli-Euler bjælkemodellens udbøjning og hhv. 0, 1% mindre og 0, 4% større sammenlignet med Timoshenko bjælkemodellens udbøjning. Afvigelserne kan skyldes at tværsnittet har mulighed for at deformere frit, og plane tværsnit ikke nødvendigvis forbliver plane ved anvendelse af skalelementer, såfremt der anvendes et tilstrækkeligt antal elementer over højden. Derfor bliver udbøjningen som forventet større end ved Timoshenko bjælketeorien, når der medtages ikkelineære effekter i modellen opbygget af skalelementer. Resultater for spænding Ved skalmodellering er spændinger og tøjninger bestemt i Gausspunkterne, da disse ligger til grund for beregningen af stivhedsmatricen. Det er derfor mest præcist at udtrække spændingerne og tøjningerne i Gausspunkterne. Ligesom for bjælkemodellen findes spændingerne dog i de punkter, hvori der placeres strain gauges ifm. laboratorieforsøgene. Disse punkter svarer alle til knudepunkter i Abaqusmodellen. Ved skalmodellering bliver spændinger og tøjninger i knudepunkter bestemt ved interpolation mellem Gausspunkterne eller ekstrapolation fra Gausspunkterne. Spændingerne og tøjningerne i knudepunkterne kan således fremkomme ved inter- eller ekstrapolation fra Gausspunkterne i et eller flere elementer, hvor værdierne midles afhængig af knudens placering. Problematikken er skitseret på figur Resultaterne kan derfor ikke forventes at være eksakte. Figur 3.13 Skitsering af ekstrapolation fra fire Gausspunkter til et fælles knudepunkt for fire skalelementer. Ved måling af tøjninger i laboratoriet vil der være en vis unøjagtighed, hvilket giver en afvigelse på spændingerne. Det vurderes derfor tilstrækkelig nøjagtigt at bestemme spændingerne i knudepunkterne i stedet for i Gausspunkterne. Normalspændingerne σ 11 i de udvalgte knudepunkter kan ses i tabel

33 3.4 Skalmodel i ortotropisk materiale 1.100mm 1.300mm 1.700mm Beregningsmodel [MPa] [MPa] [MPa] Analytisk 215, 1/ 215, 1 215, 1/ 215, 1 107, 5/ 107, 5 Bernoulli-Eulerbjælke 215, 1/ 215, 1 215, 1/ 215, 1 107, 5/ 107, 5 Timoshenkobjælke 215, 1/ 215, 1 215, 1/ 215, 1 107, 5/ 107, 5 Forsimplet ortotropisk skal (lineær) 216, 2/ 216, 3 196, 0/ 216, 3 108, 1/ 108, 3 Forsimplet ortotropisk skal (ikke-lineær) 219, 4/ 208, 7 180, 2/ 210, 0 108, 3/ 107, 9 Tabel 3.4 Nomalspændingerne i bjælken i udvalgte punkter ved de forskellige beregningsmodeller, hvor det før skråstregen er på oversiden, og efter skråstregen er på undersiden. Ud fra tabel 3.4 kan normalspændingerne fundet for den forsimplede ortotropiske sammenlignes med normalspændingerne i bjælkemodellerne. Som forventet afviger resulaterne fra de tidligere beregnede spændinger, men afvigelsen er minimal og vurderes derfor som værende ubetydelig. Dog bemærkes det at i punktet 1.300mm er spændingerne i oversiden mindre end i undersiden, hvilket skyldes randeffekterne fra lasterne. 3.4 Skalmodel i ortotropisk materiale I det følgende gennemføres en række analyser af glasfiberbjælken modelleret vha. skalelementer i ortotropisk materiale. Skalmodellen med ortotropiske materialeegenskaber modelleres med fire forskellige typer af lastarrangementer og understøtningsforhold: Last og understøtning langs linier, last og understøtning på flader, last og understøtning som påklistrede solide stålemner samt last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning. Dette gøres for at kunne sammenligne laster og understøtningers indflydelse på deformationerne i bjælken, og optimere modellen ift. forsøgsopstillingen i laboratoriet. Geometrien af den ortotropiske skalmodel opbygges på samme måde som for den forsimplede ortotropiske skalmodel. Skalelementet modelleres som et homogent materiale med ortotropiske egenskaber. Det ortotropiske materiale består af materialeegenskaberne fra afsnit 3.3, hvor E 2 dog ændres til 8.500MPa. For de ortotropiske skalelementer ønskes det at lave en ikke-lineær elastisk analyse, hvor der tages højde for eventuelle 2. ordens effekter Last og understøtning langs linier Last og understøtningsforholdene samt elementinddelingen for den ortotropiske skalmodel er i dette tilfælde identiske med forholdene for den forsimplede ortotropiske skalmodel. Modelleringen i Abaqus er derfor tilsvarende modelleringen beskrevet i afsnit 3.3. Bjælkens statiske system kan ses på figur Figur 3.14 Statisk system for bjælken med last og understøtning langs linier. Mål i mm. 31

34 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus Abaqus-modellen kan ses på vedlagte CD-ROM i mappen shell-linie-bc-homogen-ortho. Resultater for udbøjning Udbøjningen for den ortotropiske skalelement med laster og understøtninger svarende til den forsimplede ortotropiske model kan ses på figur Figur 3.15 Udbøjning for glasfiberbjælken modelleret vha. ortotropisk skalelementer, hvor last og understøtning er modelleret langs linier. Udbøjningen i udvalgte punkter, beregnet analytisk og numerisk ud fra bjælketeorierne, en forsimplet ortotropisk skalmodel og en ortotropisk skalmodel i Abaqus, kan ses i tabel mm 400mm 850mm 1050mm Beregningsmodel [mm] [mm] [mm] [mm] Analytisk Bernoulli-Euler 0, 0 35, 1 69, 5 73, 3 Analytisk Timoshenko 0, 0 37, 2 73, 6 77, 4 Bernoulli-Eulerbjælke 0, 0 35, 3 70, 0 73, 7 Timoshenkobjælke 0, 0 37, 6 74, 6 78, 4 Forsimplet ortotropisk skal (lineær) 0, 1 37, 7 74, 6 78, 3 Forsimplet ortotropisk skal (ikke-lineær) 0, 4 38, 0 74, 9 78, 7 Last og understøtning langs linier 0, 5 38, 6 76, 1 79, 9 Tabel 3.5 Bjælkens udbøjning i udvalgte punkter ved de forskellige beregningsmodeller. Sammenlignes den maksimale udbøjning for den ortotropiske skalmodel på 79, 9mm med den maksimale udbøjning for den forsimplede ortotropiske skalmodel i tabel 3.5 findes en afvigelse på 1, 5%. Den lille afvigelse kan skyldes, at den forsimplede ortotropiske skalmodel har samme stivhed E = MPa i både x 1 - og x 2 -retningen, mens den ortotropiske skalmodel har stivheden E = MPa i x 1 -retningen og E = 8.500MPa i x 2 -retningen. Den mindre stivhed i x 2 -retningen forårsager den lidt større bjælkeudbøjning, da skalelementer medregner deformationer af tværsnittet, hvorved inertimomentet mindskes. Denne deformation af tværsnittet behandles nærmere i kapitel 5. I bilag D.1 er glasfiberbjælkens to sider samt top og bund hver for sig modelleret både vha. forsimplede ortotropiske og ortotropiske elementer. Siderne er modelleret som indspændte slanke bjælker, mens top og bund betragtes som indspændte plader. Bilaget viser, at sidernes udbøjning stiger med 0, 3% ved at ændre E 2 fra MPa til 8.500MPa, mens top og bunds udbøjning stiger med 0, 2% ved samme ændring. Sammenlignes dette med ændringen af den maksimale udbøjning for hele bjælken ses, at afvigelsen for den maksimale udbøjning er større end disse afvigelser for profilets sider. Dette skyldes delvis de lokale deformationer der opstår over hele profilets tværsnit, når der medregnes ikke-lineære effekter, som Braziereffekt, der som nævnt behandles i kapitel 5. Resultater for tøjning I modsætning til de forrige afsnit vælges det her at finde normaltøjninger, i stedet for normalspændinger, da disse måles direkte i laboratorieforsøgene. Normaltøjningerne bestemmes i de samme punkter på bjælken, hvori der tidligere blev udtaget normalspændinger. Det vælges således at bestemme nor- 32

35 3.4 Skalmodel i ortotropisk materiale maltøjningerne i knudepunkterne og ikke i Gausspunkterne, som ellers giver det mest præcise resultat jvf. afsnit 3.3. Normaltøjningerne ε 11 i de valgte knudepunkter kan ses i tabel mm 1.300mm 1.700mm Beregningsmodel [ ] [ ] [ ] Last og understøtning langs linier 9, 21/ 9, 27 4, 62/ 9, 67 4, 61/ 4, 74 Tabel 3.6 Normaltøjningerne ε 11 i bjælken i udvalgte punkter, hvor det før skråstregen er på oversiden, og efter skråstregen er på undersiden. Da både punktet 1.100mm og 1.300mm fra bjælkeenden ligger i området med konstant moment, giver det god mening, at tøjningerne ikke afviger væsentligt fra hinanden. Afvigelserne mellem tøjningerne i top og bund kan skyldes, ligesom for spændingerne, at der interpoleres mellem Gausspunkterne for at få værdierne i knudepunkterne og at tøjningerne måske ikke fordeler sig lineært. I punktet 1.300mm er tøjningernes størrelse ca. halveret ift. til undersiden, hvilket skyldes randeffekterne fra lasterne. Normaltøjningerne sammenlignes med normaltøjningerne i de efterfølgende ortotropiske modeller Last og understøtning på flader I fuldskalabøjningsforsøget i laboratoriet af den 2.100mm bjælke eksisterer hverken punkt- eller linielaster, men last og understøtningsforholdene består af fysiske objekter, der har en geometrisk udstrækning f.eks. stålemner. Bøjningsforsøget behandles nærmere i kapitel 7. For at tilnærme forsøgsopstillingen i laboratoriet påføres laster og understøtninger på flader i Abaqus. Bjælkens statiske system kan ses på figur Figur 3.16 Statisk system for bjælken med last og understøtning på flader. Mål i mm. I det følgende beskrives modelleringen af last og understøtning på flader i Abaqus: Laster og understøtninger modelleres på ader, dvs. lasten påføres 700mm fra hver bjælkeende som en adelast på 100mm over bjælkens bredde. Der påføres en last på 3, 26N/mm 2 svarende til en enkeltkraft på 30kN. Understøtningen modelleres ligeledes som en ade på 100mm over bjælkens bredde. Fladens midte placeres 100mm fra hver ende af bjælken. Bjælken fastholdes mod ytning i x-, y- og z-retningen i den ene ende, svarende til at bjælken er indspændt her. I modsatte ende fastholdes bjælken mod ytning i y- og z-retningen svarende til en indspænding som dog kan bevæge sig i x-retningen jvf. gur Bjælken laves som udgangspunkt med samme antal elementer som tidligere i længderetningen, hvilket vil sige 44, men pga. at last og understøtning laves som ader, bliver det til 42 elementer. Der anvendes stadig to elementer over både højden og bredden. Abaqus-modellen kan ses på vedlagte CD-ROM i mappen shell-ade-bc-homogen-ortho. Resultater for udbøjning Udbøjningen for den ortotropiske skalmodel med laster og understøtninger påført på flader, kan ses på figur

36 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus Figur 3.17 Udbøjning for glasfiberbjælke modelleret vha. ortotropisk skalelementer, hvor last og understøtning er påført på flader. Udbøjningen i udvalgte punkter, beregnet for den ortotropiske skalmodel med last og understøtning langs linier og med last og understøtning på flader, kan ses i tabel mm 400mm 850mm 1.050mm Beregningsmodel [mm] [mm] [mm] [mm] Last og understøtning langs linier 0, 5 38, 6 76, 1 79, 9 Last og understøtning på flader 0, 1 12, 4 30, 3 32, 1 Tabel 3.7 Den ortotropiske skalmodels udbøjning i afhængighed af last og understøtningsmodellering. Sammenlignes den maksimale udbøjning for den ortotropiske skalmodel med laster og understøtninger modelleret som hhv. en flade og en linie findes en afvigelse på ca. 59, 8%. Afvigelsen kan skyldes, at lasten fordelt over en flade forårsager mindre udbøjning end lasten påført som en linie på tværs af elementet. Dette forklarer dog kun en meget lille del af afvigelsen. Den dominerende årsag til at udbøjningen bliver væsentlig mindre, ved understøtning på flader, er, at understøtningerne, modelleret som flader, giver en indspænding af bjælken. Den ene understøtning har fri bevægelighed i x-retningen, men bjælken kan ikke rotere om y-aksen, og der opstår derfor træk i oversiden af bjælken over understøtningerne. Indspændingen af bjælken bevirker, at udbøjningen mere end halveres. Resultater for tøjning Normaltøjningerne i udvalgte knudepunkter kan ses i tabel mm 1.300mm 1.700mm Beregningsmodel [ ] [ ] [ ] Last og understøtning langs linier 9, 21/ 9, 27 4, 62/ 9, 67 4, 61/ 4, 74 Last og understøtning på flader 4, 36/ 4, 37 1, 34/ 4, 38 0, 40/ 0, 34 Tabel 3.8 Normaltøjningerne ε 11 i glasfiberbjælken i udvalgte punkter ved de forskellige last- og understøtningsforhold, hvor det før skråstregen er på oversiden, og efter skråstregen er på undersiden. Ud fra tabel 3.8 kan normaltøjningerne fundet for den ortotropiske skalmodel med last og understøtning langs linier sammenlignes med last og understøtning på flader. Ved last og understøtning på flader bliver normaltøjningerne mindre, hvilket er i overensstemmelse med, at momenterne bliver mindre, når bjælken opfører sig som en indspændt bjælke. Modelleringen af understøtningerne som en flade er pga. udbøjningen og normaltøjningerne en meget dårlig tilnærmelse til, hvordan de virkelige understøtninger i laboratoriet virker rent fysisk. Der undersøges derfor en modellering af understøtningerne og lasterne som solide stålemner. 34

37 3.4 Skalmodel i ortotropisk materiale Last og understøtning som påklistrede solide stålemner I stedet for at påføre lasten direkte på bjælken, ønskes det nu at modellere last og understøtningsforholdene som solide stålemner, hvilket også er tilfældet i laboratoriet. Fladelasten og understøtninger påføres stålemnerne som bekrevet i afsnit og fordeles herigennem til bjælken. I første omgang ønskes dette modelleret så simpelt som muligt ved at påklistre de solide stålemner til bjælken. Bjælkens statiske system kan ses på figur Figur 3.18 Statisk system for bjælken med last og understøtning som solide stålemner. Mål i mm. I det følgende beskrives modelleringen af de påklistrede solide stålemner i Abaqus: Påklistringen mellem bjælken og stålemner er lavet ved at tilføje Constraints af typen Tie vha. surface to surface. Det bemærkes at påklistringen er en tilnærmelse til den virkelige model, hvor emnerne ikke limes sammen. Interaktionerne er lavet således, at der ses bort fra bjælkens skaltykkelse, hvilket betyder at stålemnerne modelleres til at støde op til skalelementets centerlinie. Stålemnerne udformes som solide elementer på mm med materialeegenskaberne E = Pa og ν = 0, 3. Stålemnerne, der anvendes som understøtninger, placeres så adens midte er 100mm fra hver ende af bjælken. I adens midtpunkt understøttes denne som beskrevet i afsnit Bjælken fastholdes således mod ytning i x-, y- og z-retningen i den ene ende og mod ytning i y- og z-retningen i den anden ende jvf. gur 3.18, men har stadig mulighed for at roterer over understøtningerne i modsætning til Last og understøtning på ader. Stålemnerne, der skal føre lasten til bjælken, placeres så adens midte er 700mm fra hver ende af bjælken. Lasten påføres emnerne som i afsnit Bjælken opdeles i samme antal elementer som tidligere, hvilket vil sige 42 i længderetning og to over både højden og bredden. Stålemnerne opdeles i otte hexadronformede otteknudes lineære elementer med et integrationspunkt. Dette vil sige at elementets stivhed regnes vha. reduceret integration, hvilket gør, at elementets stivhed ikke er bestemt præcist langs randen. Elementets masse og påførte laster er stadig integreret præcist, hvilket gør, at det er tilstrækkeligt at anvende reduceret integration, da disse elementer blot bruges til at overføre kraften. Abaqus-modellen kan ses på vedlagte CD-ROM i mappen shell-kont-tie-bc-homogen-ortho. Resultater for udbøjning Udbøjningen for den ortotropiske skalmodel med laster og understøtninger påført som påklistrede stålemner, kan ses på figur

38 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus Figur 3.19 Udbøjning for glasfiberbjælke modelleret vha. ortotropisk skalelementer, hvor last og understøtning er modelleret som påklistrede stålemner. Udbøjningen i udvalgte punkter, beregnet for den ortotropiske skalmodel med de forskellige last- og understøtningsforhold, kan ses i tabel mm 400mm 850mm 1050mm Beregningsmodel [mm] [mm] [mm] [mm] Last og understøtning langs linier 0, 5 38, 6 76, 1 79, 9 Last og understøtning på flader 0, 1 12, 4 30, 3 32, 1 Påklistrede stålemner 0, 6 36, 1 71, 1 74, 9 Tabel 3.9 Bjælkens udbøjning i udvalgte punkter ved de forskellige last- og understøtningsforhold. Som det fremgår, er modelleringen, af den ortotropiske skalmodel som påklistrede stålemner, en bedre modellering end last og understøtning på flader, hvilket medfører at denne sammenlignes med modellen med last og understøtning langs linier. Sammenlignes den maksimale udbøjning af den ortotropiske skalmodel med påklistrede stålemner på 74, 9mm med den maksimale udbøjning for last og understøtning langs linier i tabel 3.9 findes en afvigelse på 6, 3%. Afvigelsen kan skyldes, at både last- og understøtningsforhold laves som påklistrede flader, hvilket medfører, at bjælkens frie længde bliver effektivt kortere. Resultater for tøjning Normaltøjningerne i udvalgte knudepunkter kan ses i tabel mm 1.300mm 1.700mm Beregningsmodel [ ] [ ] [ ] Last og understøtning langs linier 9, 21/ 9, 27 4, 62/ 9, 67 4, 61/ 4, 74 Last og understøtning på flader 4, 36/ 4, 37 1, 34/ 4, 38 0, 40/ 0, 34 Påklistrede stålemner 9, 52/ 9, 39 11, 04/ 8, 97 4, 78/ 4, 81 Tabel 3.10 Normaltøjningerne ε 11 i bjælken i udvalgte punkter ved de forskellige last- og understøtningsforhold, hvor det før skråstregen er på oversiden, og efter skråstregen er på undersiden. Ud fra tabel 3.10 kan normaltøjningerne, fundet for den ortotropiske skalmodel med last og understøtning som påklistrede solide stålemner, sammenlignes med de øvrige modeller. Her viser det sig, at ligesom ved udbøjningen stemmer modellen godt overens med den ortotropiske skalmodel med last og understøtning langs linier. 36

39 3.4 Skalmodel i ortotropisk materiale Last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning I stedet for at påklistre stålemner til glasfiberbjælken ønskes det at lave en model, der muliggør både glidning og rotation, samt mulighed for at emnerne kan slippe hinanden ved laster og understøtninger, som det er tilfældet i bøjningsforsøget i laboratoriet. Dog simplificeres opstillingen ift. fuldskalabøjningsforsøget, som det kan ses på figur Figur 3.20 Øverst ses bøjningsforsøget opstillet i laboratoriet og nederst ses simplificeringen af bøjningsforsøget som modelleres i Abaqus. I det følgende beskrives modelleringen af solide stålemner med mulighed for glidning i Abaqus: Materialeegenskaberne for både bjælken og stålemnerne er de samme som beskrevet tidligere. Det der ændres i Abaqus er last og understøtningsforholdene. For at kunne modellere at bjælken kan glide og rotere de steder, hvor denne påvirkes af en last eller er understøttet, er det nødvendigt at anvende interaktioner i Abaqus frem for påklistringer. Dette vil sige, at bjælken kan deformere lokalt i tværsnittet over understøtningerne og under lasterne, som det er tilfældet i bøjningsforsøget. Forskellen på lokal deformation under laster kan ses på gur Oplastning Last og understøtning langs linier Last og understøtning som påklistrede solide stålemner Last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning Figur 3.21 Lokal deformation af tværsnittet under oplastning for tre forskellige lastforhold. Disse interaktioner kan desuden modelleres således, at der kan være glidning eller ingen glidning imellem de to ader, som er i kontakt med hinanden. Dette er fordelagtigt, da enkelte ader som er i kontakt skal kunne glide i forhold til hinanden, da lasten skal kunne påføres i samme punkt selv under deformation af 37

40 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus bjælken, samt give understøtningerne mulighed for at rotere og glide. For at kunne modellere den indbyrdes glidning er der lavet to interaktionsegenskaber. Hver af disse har en tangentiel og en normal egenskab. Fælles for begge er egenskaben i normalretningen, der er deneret som en straf, der øger modstanden mod penetration ved kontakt og der tillades seperation efter kontakt. Når glidning ikke tillades er der deneret en tangentiel friktionkoecient på 0, 56 svarende til friktion mellem to stålader, eller at der stort set ikke kan forekomme glidning ved opnået kontakt. Når glidning tillades er der deneret en tangentiel friktionkoecient på 0, 04 svarende til friktion mellem to teonbelægninger [11]. Interaktionerne er lavet ved at modellere, at aderne, der benævnes primær- og sekundærader, er i kontakt med hinanden som surface to surface og har mulighed for small sliding indbyrdes. Dette vil sige, at hver sekundærade vil være i kontakt med det samme lokale areal på primærade indtil de evt. slipper hinanden. Der kan således forekomme en lille glidning inden for et enkelt element og fri rotation. Bjælken vælges som primærader, og stålemnerne som sekundærader. Forholdet mellem primær- og sekundærader kan ses på gur 3.22, hvor det er vist hvordan primæraderne parres med sekundærader i starten af analysen. Dette forhold bevares gennem hele analysen, og der beregnes således ikke nye kontaktforhold under analysen, hvilket er tilfældet ved nite sliding, som er alternativet til small sliding. [12, ] Figur 3.22 Illustration af forholdet mellem primær- og sekundærflader. Interaktionerne er desuden lavet således, at der ses bort fra bjælkens skaltykkelse, hvilket betyder at stålemnerne modelleres til at støde op til skalelementets centerlinie. Bjælken understøttes ved at det nederste stålelement understøttes som beskrevet i afsnit Dog fastholdes bjælken mod ytning i x-, y- og z-retningen i begge ender jvf. gur I modsætning til tidligere er belastningen påført som en tvungen ytning på 68, 3mm, svarende til at reaktionerne ved understøtningerne bliver 30kN. Bjælken opdeles i samme antal elementer som tidligere, hvilket vil sige 42 i længderetning og to over både højden og bredden. Stålemnerne opdeles af hensyn til primær-/sekundæradeforhold i 4 8 elementer, dvs. i alt 32 elementer pr. emne. Abaqus-modellen kan ses på vedlagte CD-ROM i mappen shell-kont-int-bc-homogen-ortho. Resultater for udbøjning Udbøjningen for den ortotropiske skalmodel med laster og understøtninger udført som solide stålemner med mulighed for glidning, kan ses på figur Figur 3.23 Udbøjning for glasfiberbjælken modelleret vha. ortotropisk skalelementer, hvor last og understøtning er modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning. Udbøjningen i udvalgte punkter, beregnet for den ortotropiske skalmodel med forskellige last- og understøtningsforhold, kan ses i tabel 3.11.

41 3.4 Skalmodel i ortotropisk materiale 100mm 400mm 850mm 1050mm Beregningsmodel [mm] [mm] [mm] [mm] Last og understøtning langs linier 0, 5 38, 6 76, 1 79, 9 Last og understøtning på flader 0, 1 12, 4 30, 3 32, 1 Påklistrede stålemner 0, 6 36, 1 71, 1 74, 9 Interaktive stålemner 0, 0 37, 6 75, 1 79, 0 Tabel 3.11 Bjælkens udbøjning i udvalgte punkter ved de forskellige last- og understøtningsforhold. Ud fra tabel 3.11 kan det ses, at den ortotropiske skalmodel afviger med +5, 2% ift. modellen med påklistrede stålemner og 1, 1% ift. modellen med last og understøtning langs linier. Afvigelsen mellem de interaktive og de påklistrede stålemner kan skyldes, at bjælken nu kan glide over understøtninger, samt deformere lokalt ved både last og understøtning. Ligeledes giver det god mening, at udbøjningen for modellen med last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning ligger tæt på udbøjningen fundet ud fra last og understøtning langs linier, da last og understøtningsforhold giver samme muligheder for global deformation. Resultater for tøjninger Normaltøjningerne i udvalgte knudepunkter kan ses i tabel mm 1.300mm 1.700mm Beregningsmodel [ ] [ ] [ ] Last og understøtning langs linier 9, 21/ 9, 27 4, 62/ 9, 67 4, 61/ 4, 74 Last og understøtning på flader 4, 36/ 4, 37 1, 34/ 4, 38 0, 40/ 0, 34 Påklistrede stålemner 9, 52/ 9, 39 11, 04/ 8, 97 4, 78/ 4, 81 Interaktive stålemner 9, 63/ 9, 43 10, 0/ 9, 26 4, 67/ 4, 64 Tabel 3.12 Bjælkens normaltøjninger ε 11 kan ses i udvalgte punkter ved de forskellige beregningsmodeller. Ud fra tabel 3.12 kan normaltøjningerne fundet for den ortotropiske skalmodel med last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning sammenlignes med de øvrige modeller. Her viser det sig, at modellen stemmer godt overens med den ortotropiske skalmodel med last og understøtning langs linier, samt den ortotropiske skalmodel med påklistrede stålemner. I punktet 1.300mm er der i modellerne en forskel i normaltøjningerne i oversiden ift. normaltøjningerne i undersiden pga. randeffekter fra lasterne, hvilket ikke er tilfældet i den sidste model med last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning. For senere at kunne sammenligne Abaqusmodellen med forsøgsresultater fra laboratoriet laves en model til at udtage udbøjningsværdier og normaltøjninger for en last på 10kN. I det følgende beskrives modelleringen i Abaqus: I Abaqus er belastningen påført som en tvungen ytning på 21, 8mm svarende til at reaktionerne ved understøtningerne bliver 10kN. Abaqus-modellen kan ses på vedlagte CD-ROM i mappen shell-kont-int- BC-homogen-ortho-R10. Output fra Abaqusmodellen på 10kN behandles i afsnit

42 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus 3.5 Opsamling For at kunne tage højde for nogle af bjælketeoriernes begrænsninger og for bedre at kunne sammenligne beregnede resultater med målte resultater fra laboratoriet, er bjælken modelleret vha. skalelementer i FEM-programmet Abaqus. Dette gøres, da skalteorien i modsætning til bjælketeorierne giver mulighed for, at tværsnittet kan deformere, og ikke nødvendigvis forbliver plant eller vinkelret på bjælkeaksen. For at verificere at Abaqus regner rigtigt, er der først lavet en lineær analyse af bjælken modelleret vha. bjælkeelementer, og herefter er resultatet sammenlignet med de analytiske bjælkeberegninger. Dette har vist, at de analytiske og numeriske bjælkeberegninger efter bjælketeorierne giver næsten ens resultater. Efter det er verificeret, at Abaqus regner som antaget, er glasfiberbjælken modelleret vha. skalelementer for at kunne konkludere hvor stor indflydelse 2. ordens effekter, som eksempelvis Braziereffekt har på bjælkens samlede udbøjning. Der laves først en lineær analyse af skalmodellen, hvor glasfiberbjælken modelleres vha. skalelementer med forsimplede ortotropiske materialeegenskaber for at tydeliggøre effekten af at gå fra bjælketeorien til skalteorien. I modellen er last og understøtningsforhold modelleret langs linier. Ved at anvende skalteorien frem for bjælketeorien fås en maksimal udbøjning, som er 6, 2% større end udbøjningen fundet ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien og 0, 1% mindre end ved brug af Timoshenko bjælketeorien. Herudfra kan det konkluderes, at ved at lave en model der kan tage højde for nogle af bjælketeoriernes begrænsninger fås en større udbøjning end den fundet ud fra Bernoulli- Euler bjælketeorien. Derimod bliver udbøjningen mindre ift. Timoshenko bjælketeorien. For at kunne vurdere hvor stor indvirkning Braziereffekten har på bjælkens udbøjning, er skalmodellen ligeledes analyseret ikke-lineært. Det viser sig, at det hverken medfører stor forskel i udbøjning eller spændinger at gå fra en lineær til en ikke-lineær analyse. Dette gælder dog kun ved de forsimplede ortotropiske egenskaber, hvor E 1 = E 2. Senere i rapporten undersøges Braziereffekten nærmere med ortotropiske materialeegenskaber. Efter de første analyser af glasfiberbjælken ved brug af en skalmodel er det forsøgt at lave en model, som kan sammenlignes med forsøgsresultaterne. Denne model laves som en ikke-lineær analyse af skalmodellen med de oplyste materialeegenskaber fra Fiberline Composites A/S. Det forsøges at modellere samme last og understøtningsforhold, som dem i laboratoriet for at opbygge en realistisk model. Dette er gjort ved at lave flere analyser med forskellige last og understøtningsforhold. Ved at ændre last og understøtningsforhold til at virke over flader fremfor langs linier, bliver den maksimale udbøjning ca. halveret, hvilket giver god mening, da understøtninger modelleret som flader giver en indspænding af bjælken. Derfor modelleres last og understøtningsforhold som påklistrede stålemner. Dette medfører dog, at bjælketværsnittet ikke kan deformere frit i de punkter hvor last og understøtninger påføres. For at kunne tage højde for deformationen af tværsnittet og at stålemnerne kan glide, modelleres last og understøtningsforhold i stedet for som interaktioner. Disse interaktioner giver mulighed for glidning mellem stålemner og bjælke, som det er tilfældet i laboratorieforsøget. Derudover kan tværsnittet frit deformere lokalt ved last og understøtninger. I dette kapitel er det forsøgt at lave den bedst mulige model af den måde glasfiberbjælken belastes og understøttes på i laboratoriet. I kapitel 7, hvor bøjningsforsøget af hele bjælken i laboratoriet behandles, undersøges hvorvidt den sidste model i dette kapitel stemmer overens med laboratorieforsøget. 40

43 Kapitel4 Numeriske FEM-beregninger i MatLab Følgende kapitel har til formål at redegøre for FEM-programmeringen af glasfiberbjælken. Kapitlet omhandler den numeriske analyse af glasfiberbjælken, hvor programmet MatLab benyttes. Der programmeres først en 3D bjælkemodel, og efterfølgende forbedres modellen ved at programmere en forsimplet skalmodel ud fra skive- og pladeteorien. For at kontrollere resultaterne og eftervise at programmerne regner rigtigt sammenlignes fundne resultater med de analytiske beregninger og Abaqusmodellerne. 4.1 Anvendte metoder I kapitlet benyttes, som tidligere nævnt, elementmetoden. Metoden er en tilnærmelse til løsning af fysiske problemer, hvor den overordnede idé er at opdele konstruktionen i et antal mindre elementer. Fremgangsmåden for anvendelse af elementmetoden er først at definere geometri, materialeegenskaber og randbetingelser for den pågældende konstruktion. Efter at have inddelt konstruktionen i et antal elementer med tilhørende knuder udledes stivhedsrelationen for det enkelte element. Herved opnås der en sammenhæng mellem kraft og flytning ud fra den tilknyttede differentialligning. Ud fra elementernes stivhedsrelation kan konstruktionens samlede stivhedsrelation bestemmes. Korrigeres systemets globale stivhedsmatrice for randbetingelserne opnås et antal lineære ligninger som herefter løses. Løsningen til disse ligninger vil være knudeflytningerne og -rotationerne i det globale system. [13] Programmeringen i MatLab følger følgende fremgangsmåde, som er ens for alle elementmetodeprogrammer: 1. Opstilling af den stærke formulering 2. Opstilling af den svage formulering 3. Diskretisering 4. Valg af arbitrær vægtfunktion v(x) og formfunktioner 5. Bestemmelse af den lokale stivhedsmatrice 6. Sammensætning af den globale stivhedsmatrice 7. Anvendelse af randbetingelser 8. Løsning af det globale ligningssystem 9. Bestemmelse af flytninger og snitkræfter mellem knudepunkter [14] 41

44 4. Numeriske FEM-beregninger i MatLab 4.2 3D bjælkemodel I det følgende redegøres for den programmerede 3D bjælkemodel i MatLab. Grundet glasfiberbjælkens belastning og symmetri i sin bredderetning er det tilstrækkeligt at betragte bjælken i et todimensionalt plan, men for at få den fulde forståelse for elementmetoden ved brug af bjælkeelementer er det valgt at programmere glasfiberbjælken som et tredimensionalt problem. Programmet er opbygget således, at der er mulighed for både at anvende Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeori. I rapporten er det dog valgt primært at beskrive programmet ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien. 3D bjælkemodellen har seks frihedsgrader pr. knude, tre translationer og tre rotationer. På figur 4.1 kan et bjælkeelement med dets frihedsgrader ses. Figur 4.1 Bjælkeelement med seks frihedsgrader i hver knude. I programmet er det forudsat, at det rumlige bjælkesystem ikke er påvirket af belastninger langs elementet. De to punktlaster, som glasfiberbjælken påvirkes af, angriber derfor i elementknuderne. Endvidere forudsættes der lineært elastiske materialeegenskaber, små deformationer og elementer med konstante tværsnit Indhold og opbygning af programmet Programmet, der er lavet til at kunne regne på glasfiberbjælken ved brug af bjælkeelementer, kan findes på den vedlagte CD-ROM i mappen Bjælkeprogram. Programmet består af et hovedprogram Main, hvor alle inputdata skal angives. Hovedprogrammet kalder fem funktionsfiler, som benyttes til at opstille og løse ligningssystemet samt at plotte resultaterne. På figur 4.2 kan ses et diagram for hvordan programmet gennemløber de forskellige funktionsfiler. Figur 4.2 Opbygning af det programmerede bjælkeprogram. 42 Når hovedprogrammet Main køres benyttes automatisk tre funktionsfiler, som illustreret på figur 4.2. Funktionsfilen Graf_bjaelke skal køres manuelt for at få plottet resultaterne. I det følgende gives en kort beskrivelse af de enkelte filer. Main Dette er programmets hovedfil. Her vælges hvilken bjælketeori der ønskes anvendt og efterfølgende indtastes bjælkens tværsnitsdata og materialeegenskaber. Desuden indtastes knudepunkternes koordinater, topologien og randbetingelserne.

45 4.2 3D bjælkemodel Globalstivhed I denne funktion laves den globale stivhedsmatrice. For hvert enkelt element fås den lokale stivhedsmatrice fra funktionen Kl_bjaelke, som sammensættes til systemets globale stivhedsmatrice. Kl_bjaelke I denne hjælpefunktion til Globalstivhed laves den lokale stivhedsmatrice for hvert element, som bl.a. afhænger af hvilken bjælketeori, der er valgt. Loes_system I denne funktion angives lastvektoren og ligningssystemet løses, hvor resultatet heraf er knudeflytningerne og -rotationerne samt reaktionerne i understøtningerne. Graf_bjaelke Denne funktion skal køres manuelt. Funktionen laver et plot af både den udeformerede og den deformerede geometri. Desuden plottes snitkræfterne. Formfunktion Denne funktion er en hjælpefunktion til Graf_bjaelke, hvor formfunktionerne bliver beregnet Programmering af 3D bjælkemodellen I det følgende vil de ni punkter fra afsnit 4.2 blive behandlet og i slutningen af hvert punkt vil det blive kommenteret, hvor dette kan findes i programkoden. 1. Opstilling af den stærke formulering Den stærke formulering bestemmes ved at finde differentialligningerne med tilhørende randbetingelser for bjælken. Da bjælken har seks frihedsgrader skal den stærke formulering bestemmes for aksial-, bøjnings- og vridningsdeformationen. Ved små deformationer er aksial-, bøjnings- og vridningsdeformationen dekoblede og kan betragtes enkeltvis. Til den aksiale deformation er den stærke formulering givet ved stangens anden ordens differentialligning. ( d A E du ) x + b = 0 (4.1) dx dx hvor ux er flytningen i aksial retning [m] b er en linielast [N/m] [15, s. 53] For at løse formel (4.1) skal der anvendes to randbetingelser. Her kan enten angives en aksial flytning eller en normalkraft i hver ende. Tilsvarende findes den stærke formulering for bøjningsdeformationen af følgende fjerde ordens differentialligning ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien i xz-planet. d 2 ( ) E I y d2 u z dx dx 2 q = 0 (4.2) hvor uz er en flytning i tværretningen [m] q er en ydre last [N/m] [15, s. 318] Hertil er fire randbetingelser nødvendige. Da glasfiberbjælken er simpelt understøttet gælder det, at både momentet og flytningen i hver understøtning er nul. Det skal bemærkes, at differentialligningen for bøjningsdeformationen i xy-planet er identisk med formel (4.2), hvor der dog indsættes inertimomentet I z og flytningen u y. 43

46 4. Numeriske FEM-beregninger i MatLab Den stærke formulering for vridningsdeformationen findes ud fra Saint-Vernant vridningsteorien. Her findes følgende anden ordens differentialligning. ( d G I x dθ ) x m x = 0 (4.3) dx dx hvor Ix er vridningsinertimomentet [m 4 ] θ x er en vridningsrotation [rad/m] m x er en ydre last [knm/m] [15, s. 264] For at løse formel (4.3) skal der anvendes to randbetingelser. Her kan enten angives en rotation eller et vridende moment i hver ende. Det bemærkes, at glasfiberbjælken kun er udsat for bøjning om én akse, hvorfor der ikke forekommer aksial- eller vridningsdeformationer, og dermed bliver aksial- og vridningsstivhederne inaktive i den globale stivhedsmatrice. I programkoden indgår de tre dierentialligninger, der ønskes løst ikke direkte, da de i punkt 2 omskrives til den svage formulering, som elementmetoden er baseret på. 2. Opstilling af den svage formulering Den svage formulering findes ved at multiplicere hver af de tre differentialligninger med en arbitrær vægtfunktion v(x) og derefter integrere over bjælkens længde. Den svage formulering for vridning- og aksialbelastning bliver en gang mindre differentiabel end den stærke formulering, mens den svage formulering for bøjning er to gange mindre differentiabel end den stærke formulering. Det er derfor fordelagtigt at anvende den svage formulering, da der kan anvendes en approksimeret udbøjningsfunktion, som er færre gange differentiabel end den stærke formulering. I programkoden indgår de svage formuleringer ikke direkte. De svage formuleringer omskrives til den FEdiskretiserede form K a = f, hvor stivhedsmatricen K indeholder et integrale, hvilket ikke kan løses eksakt i MatLab. Løsningen af integralet kan udføres i et andet program, men da resultatet heraf er velkendt fra lærebøger, er dette ikke gjort. Resultatet er blot indskrevet i funktionslen Kl_bjaelke, som på denne måde bestemmer den lokale stivhedsmatrice. 3. Diskretisering Bjælken inddeles i et passende antal elementer, hvorfor knudekoordinater, antal frihedsgrader og nummerering af knuder og elementer skal foretages. Bjælken inddeles i fem elementer, hvilket betyder, at der fremkommer 36 frihedsgrader. På figur 4.3 kan nummereringen af elementer og knuder for bjælken ses. Figur 4.3 Nummerering af elementer og knuder for bjælken. Mål i mm. I programkoden foretages inddelingen af elementer i len Main. Her indtastes knudepunkternes koordinater, hvor antallet heraf afhænger af, hvor mange elementer der ønskes. Desuden skal topologien indskrives, så programmet ved hvilke knuder, der hører til det enkelte element. 44

47 4.2 3D bjælkemodel 4. Valg af arbitrær vægtfunktion v(x) og formfunktioner Det viser sig, at et fordelagtigt valg af den arbitrære vægtfunktion v(x) fortages ved brug af Galerkin metoden. Ved at anvende Galerkin metoden fås, at den arbitrære vægtfunktion v(x) interpoleres på samme måde som flytningerne. [15, s. 143] Da der indgår tre forskellige differentialligninger til at beskrive stivhedsmatricen for et 3D bjælkeelement betyder det, at der tre gange skal vælges hvilke formfunktioner, der skal anvendes. Flytningerne interpoleres mellem værdier i knudepunkterne vha. formfunktionerne, hvilket gøres ved formel (4.4). Formfunktionerne udtrykker, hvordan et element deformerer sig, når en frihedsgrad sættes til 1 og de øvrige til 0. w = N a (4.4) hvor w er den interpolerede flytning N er en vektor, der indeholder formfunktionerne a er flytningerne og rotationerne i knudepunkterne Ved bøjning skal flytningen fundet ved interpolation som minimum være i stand til at beskrive en konstant krumning, da dette er den simpleste udbøjningsform, der giver tøjninger. Dette betyder, at flytningen minimum skal være et 2. grads polynomium, da krumningen er den anden afledede af flytningen. Derudover indgår den anden afledede af flytningen i den svage formulering, hvilket betyder, at den første afledede af flytningen skal være kontinuert over elementets ender, ellers vil den anden afledede af flytningen være uendelig. Dette kaldes også for C 1 -kontinuert og er illustreret på figur 4.4. C 0 kontinuert C 1 kontinuert f(x) f(x) d f dx x d f dx x differentiation integration d 2 f dx 2 x d 2 f dx 2 x x x Figur 4.4 C n kontinuert betyder, som det vises, at den n-afledede er kontinuert. [16] Dette betyder, at både flytningen og hældningen varierer kontinuert over elementknuderne. Da rotationen af tværsnittet er den afledede af flytningen ved små flytninger, bliver denne således kontinuert. I hver knude haves to randbetingelser, hhv. en flytning og en rotation, hvilket medfører, at der er fire randbetingelser til rådighed for hvert element. Et 3. grads polynomium kan opfylde disse fire randbetingelser. Da momentet divideret med EI er den anden afledede af flytningen, betyder det, at et 3. grads polynomium er i stand til at modellere en vilkårlig lineær momentvariation over hvert element. Det vil sige, at ved belastning af glasfiberbjælken med enkeltkræfter bliver de interpolerede flytninger de eksakte flytninger. 45

48 4. Numeriske FEM-beregninger i MatLab Ses der på de andre to differentialligninger, der indgår i stivhedsmatricen, herunder differentialligningerne for aksial belastning og vridning, indgår kun den første afledede af hhv. flytningen og rotationen. Det vil sige, at den interpolerede flytning skal være C 0 kontinuert, hvilket er opfyldt for et 1. grads polynomium. I programkoden indgår den arbitrære vægtfunktion v(x) ikke direkte, da den indgår i stivhedsmatricen K, der som tidligere nævnt ikke løses i dette program. Tilsvarende den arbitrære vægtfunktion v(x) indgår formfunktionerne i stivhedsmatricen, og dermed indgår de i denne sammenhæng ikke direkte i programmet. Formfunktionerne indgår også i forbindelse med bestemmelse af ytningerne imellem knudepunkterne og ved bestemmelse af snitkræfterne. Dette bliver gjort i plotfunktionen Graf_bjaelke. 5. Bestemmelse af den lokale stivhedsmatrice For hvert element skal den lokale stivhedsmatrice bestemmes. Bjælken har seks frihedsgrader i hver knude, hvorfor den lokale stivhedsmatrice bliver en symmetrisk matrice. Da der regnes lineært elastisk gælder følgende lokale stivhedsrelation. K e a = f (4.5) hvor Ke er den lokale stivhedsmatrice a er knudeflytningsvektoren f er knudelastvektoren Løses formel (4.5) med hensyn til a skal den lokale stivhedsmatrice indeholde bidrag for bjælkens aksiale stivhed, bøjnings- og vridningsstivhed. Ved hjælp af virtuelt arbejdes princip er bjælkens aksiale stivhed givet ved K EA = hvor BEA = dn EA dx x i er det enkelte elements startkoordinat x j er det enkelte elements slutkoordinat [15, s. 194] Efter samme fremgangsmåde kan bøjningsstivheden i xz-planet findes. hvor [15, s. 321] B EIy = d2 N EIy dx 2 K EIy = xj x i B EAT A E B EA dx (4.6) xj x i B EIy T E I y B EIy dx (4.7) Ligeledes skal bøjningsstivheden i xy-planet bestemmes. Denne findes ved at indsætte inertimomentet I z i stedet for I y i formel (4.7). Bjælkens vridningsstivhed er givet ved K GIx = xj x i B GIx T G I x B GIx dx (4.8) hvor BGIx = dn GIx dx I x er vridningsinertimomentet [mm 4 ] [15, s. 274] Bidragene fra aksial-, bøjnings- og vridningsstivheden samles herefter i én matrice, som bliver 3D bjælkeelementets lokale stivhedsmatrice. Dette giver følgende matrice. 46

49 4.2 3D bjælkemodel [9, s. 27] K e = X X Y Y 2 0 Y Y Z 1 0 Z Z 1 0 Z S S Z 2 0 Z Z 2 0 Z Y Y 3 0 Y Y 4 X X Y Y 2 0 Y Y Z 1 0 Z Z 1 0 Z S S Z 2 0 Z Z 2 0 Z Y Y 4 0 Y Y 3 u 1 v 1 w 1 θ x1 θ y1 θ z1 u 2 v 2 w 2 θ x2 θ y2 θ z2 (4.9) Symbolerne i matricen bestemmes ved følgende formler, hvor Y symbolerne bestemmes på samme måde som Z symbolerne, blot med I z og φ y i stedet for I y og φ z. Der gøres opmærksom på at når formel (4.1), (4.2) og (4.3) løses indgår φ-faktoren ikke i nedenstående udtryk. Det er derimod Timoshenko bjælketeorien, der ligger til grund for denne faktor. Z 1 = 12 E I y (1+φ z ) L 3 Z 2 = 6 E I y (1+φ z ) L 2 Z 3 = (4+φ z) E I y (1+φ z ) L Z 4 = (2 φ z) E I y (1+φ z ) L X = A E L S = G I x L φ z = 12 E I y k z A G L 2 hvor Akz er forskydningsarealet i z-retningen [mm 2 ] [9, s. 27] φ-faktoren er medtaget, idet programmet, som tidligere nævnt, er i stand til at regne efter både Bernoulli- Euler og Timoshenko bjælketeorien. Til bestemmelse af formel (4.9) hører eksempelvis frihedsgrad u 1 og u 2, jvf. figur 4.1, til den aksiale stivhed, hvorfor den aksiale stivhed indsættes i række 1 og søjle 1 samt række 7 og søjle 7 i den lokale stivhedsmatrice osv. Alternativt kan den lokale stivhedsmatrice findes ved at bestemmme de kræfter, der opstår, når bjælken påvirkes af enhedsflytninger i hver frihedsgrad på skift vha. formel (4.1), (4.2) og (4.3). Da der regnes lineært elastisk er det herefter muligt ved superposition af de fundne relationer mellem knudekræfter og flytninger for elementærtilfældene at bestemme den lokale stivhedsmatrice. I programkode bestemmes den lokale stivhedsmatrice i len Kl_bjaelke. Formel (4.6), (4.7) og (4.8) kan ikke ndes direkte i programmet, da resultatet fra disse som tidligere nævnt blot er indskrevet i len Kl_bjaelke. 6. Sammensætning af den globale stivhedsmatrice Den globale stivhedsrelation skal findes. Jævnfør formel (4.5) fås en global knudelast- og knudeflytningsvektor med 36 rækker svarende til det samlede antal af frihedsgrader. Ligeledes fås en symmetrisk global stivhedsmatrice med dimensionen svarende til det samlede antal af frihedsgrader. Den globale stivhedsmatrice sammensættes som skitseret på figur 4.5 for eksempelvis en bjælke med tre elementer. Hvert element har en lokal stivhedsmatrice svarende til formel (4.9), som er vist over hvert element på figur 4.5. Eksempelvis svarer q 1 til de første seks søjler og rækker i formel (4.9). 47

50 4. Numeriske FEM-beregninger i MatLab Figur 4.5 Sammensætning af den globale stivhedsmatrice. Det bemærkes, at for et generelt orienteret element skal den lokale stivhedsmatrice og den ækvivalente knudelastvektor transformeres om fra lokale elementkoordinater til det globale koordinatsystem. Dette er dog ikke gjort for bjælken, idet det enkelte element er orienteret langs bjælkeaksen. I programkoden foretages samlingen af systemets globale stivhedsmatrice i funktionslen Globalstivhed. Det bemærkes, at da der ikke anvendes transformation i programkoden, skal de koordinater der indskrives i Main have y-værdier, der er ens. Tilsvarende gælder for z-værdierne. 7. Anvendelse af randbetingelser Med den fundne globale stivhedsrelation kan ligningssystemet ikke løses direkte, da den globale stivhedsmatrice er singulær. Randbetingelserne benyttes derfor til at reducere ligningssystemet, hvorved matricen kan inverteres. I programkoden bliver ligningssystem reduceret i funktionslen Loes_system. 8. Løsning af det globale ligningssystem Efter at have reduceret den globale stivhedsmatrice og bestemt lastvektoren kan det reducerede ligningssystem løses ud fra følgende udtryk. a red = K 1 red f red (4.10) Når systemet er løst kendes alle flytninger og rotationer i alle knudepunkterne. Efterfølgende kan reaktionerne ved understøtningerne bestemmes ved at løse det fulde system. R = K a f (4.11) I programkoden bliver ligningssystemet løst i funktionslen Loes_system. Herefter er resultaterne i programmet gemt i R og a, hvor R er reaktionerne og a er knudeytningerne og -rotationerne. Efter denne funktion er kørt igennem slutter programmet. 48

51 4.2 3D bjælkemodel 9. Bestemmelse af flytninger og snitkræfter mellem knuderpunkter Ud fra de beregnede knudeflytninger og den valgte formfunktion findes flytningerne imellem knuderne ved kubisk interpolation. u z (x) = N(x) a (4.12) hvor N er en vektor, der indeholder de fire formfunktioner, som er 3. grads polynomier a er flytningerne og rotationerne i knudepunkterne Det vælges at bestemme flytningerne i otte interne punkter i hvert element, og dermed kan den deformerede geometri plottes ved at trække linier op imellem de beregnede punkter. Kun den lodrette flytning interpoleres og plottes i dette program, da belastningen af glasfiberbjælken ikke giver flytninger i de to øvrige retninger. Ud over at bestemme flytningerne imellem de beregnede knudepunkter findes snitkræfterne ved at benytte formfunktionerne. Snitkræfterne bestemmes ved følgende formler. [15, s ] M y (x) = E I y κ = E I y d2 u z dx 2 V y (x) = dm y(x) dx = E I y d3 u z dx 3 = E I y 2 N(x) dx 2 u (4.13) = E I y 3 N(x) dx 3 u (4.14) Snitkræfter beregnes ved brug af formfunktionerne, men da bjælken i dette projekt kun belastes i ét plan beregnes og plottes kun én momentkurve og én forskydningskraftskurve. I programkoden laves beregningen af ytningerne og snitkræfterne i plotfunktionerne. Plotfunktionen Graf_bjaelke skal køres manuelt i Main Resultater og kontrol Den programmerede bjælkemodels udbøjningsresultater ønskes sammenlignet med bjælkemodellen fra Abaqus jvf. afsnit 3.2, dvs. bjælkemodel i forsimplet ortotropisk materiale, og med den analytiske beregning jvf. afsnit 2.6. Den programmerede bjælkemodel har derfor samme last- og understøtningsforhold, hvorfor den regnes simpelt understøttet med to punktlaster på 30kN placeret 700mm fra hver ende af glasfiberbjælken. Der er desuden anvendt samme forsimplede ortotropiske materialeparametre, som ved Abaqusmodellen og de analytiske beregninger. Det vurderes løbende gennem afsnittet om resultaterne ser fornuftige ud, og dermed om programmet regner rigtigt. På figur 4.6 kan udbøjningen af den programmerede bjælkemodel efter Bernoulli-Euler bjælketeorien ses. Figur 4.6 Den programmerede bjælkemodels udbøjning efter Bernoulli-Euler bjælketeorien. Det ses ud fra figur 4.6, at flytningen i understøtningerne er nul, hvorfor randbetingelserne er opfyldt. Desuden virker udbøjningen generelt fornuftig ift. de to punktlaster, som er påsat bjælken. Udbøjningens variation i bjælkeaksens retning kan desuden ses i tabel 4.1, hvor der sammenlignes med resultaterne fra bjælkemodellen fra Abaqus og den analytiske beregning. 49

52 4. Numeriske FEM-beregninger i MatLab 100mm 400mm 850mm 1050mm Beregningsmodel [mm] [mm] [mm] [mm] Analytisk Bernoulli-Euler 0, 0 35, 1 69, 5 73, 3 Abaqus Bernoulli-Euler 0, 0 35, 3 70, 0 73, 7 Programmerede Bernoulli-Euler 0, 0 35, 1 69, 5 73, 3 Tabel 4.1 Den programmerede bjælkemodels udbøjning efter Bernoulli-Euler bjælketeorien sammenlignet med bjælkemodellen fra Abaqus og den analytiske beregning. Det ses ud fra tabel 4.1, at den programmerede bjælkemodels udbøjningsresultater giver samme resultater som for den analytiske beregning. Det skal bemærkes, at der generelt fås mere nøjagtige resultater jo finere elementinddeling der foretages. Det gælder dog for Bernoulli-Euler bjælker, hvor de enkelte elementers tværsnit har konstante dimensioner, at elementmetoden giver eksakte resultater forudsat, at de ydre laster angriber i knudepunkterne [13]. Ligeledes ses det, at den programmerede bjælkemodels maksimale udbøjning afviger 0, 5% fra den maksimale udbøjning for bjælkemodellen i Abaqus. Forklaringen herpå er tidligere kommenteret i afsnit 3.2. Programmet er opbygget således, at det er muligt at anvende Timoshenko bjælketeorien i stedet for Bernoulli-Euler bjælketeorien. På figur 4.7 kan udbøjningen af den programmerede bjælkemodel ses, når Timoshenko bjælketeorien anvendes. Figur 4.7 Udbøjning for glasfiberbjælken ved brug af Timoshenko bjælketeori med kubisk interpolation. Ved brug af Timoshenko bjælketeorien er den dimensionsløse faktor φ z medregnet i den lokale stivhedsmatrice for hvert element jvf. formel (4.9). Udbøjningens variation i bjælkeaksens retning kan desuden ses i tabel 4.2, hvor der sammenlignes med resultaterne fra Abaqusmodellen og den analytiske beregning. 100mm 400mm 850mm 1050mm Beregningsmodel [mm] [mm] [mm] [mm] Analytisk Timoshenko 0, 0 37, 2 73, 7 77, 4 Abaqus Timosheko 0, 0 37, 6 74, 6 78, 4 Programmerede Timosheko 0, 0 37, 2 73, 7 77, 4 Tabel 4.2 Den programmerede bjælkemodels udbøjning efter Timoshenko bjælketeorien sammenlignet med bjælkemodellen fra Abaqus og den analytiske beregning. Det ses ud fra tabel 4.2, at der tilsvarende Bernoulli-Euler bjælkemodellen er overensstemmelse mellem den analytiske beregning og den programmerede bjælkemodel. Den maksimale udbøjning for den programmerede bjælkemodel afviger 1, 3% fra den maksimale udbøjning for modelleringen i Abaqus. Forklaringen herpå er tidligere kommenteret i afsnit

53 4.2 3D bjælkemodel Resultater for snitkræfter Det er ligeledes muligt at bestemme snitkræfterne i den programmerede bjælkemodel. På figur 4.8 kan momentfordelingen for glasfiberbjælken ses. Fordelingen er beregnet ud fra formel (4.13). Figur 4.8 Momentkurve for den programmerede bjælkemodel. På figur 4.8 ses, at momentet giver en lineær fordeling mellem understøtning og last og et konstant moment på 18kNm mellem de to punktlaster. Momentfordelingen for den analytiske beregning af bjælken, jvf. afsnit 2.4, er fundet med en last på 1kN. Multipliceres denne momentfordeling med 30 fås nøjagtig samme fordeling som for den programmerede bjælke med et maksimalt moment på 18kNm. Forskydningskraftkurven for den programmerede bjælkemodel kan ses på figur 4.9. Fordelingen er beregnet ud fra formel (4.14). Figur 4.9 Forskydningskraftkurve for den programmerede bjælkemodel. Forskydningskraften er den afledte af momentet, hvilket ud fra figur 4.8 og figur 4.9 ses at være gældende. Således haves en forskydningskraft, som er konstant mellem understøtning og last, hvor momentet er lineært varierende og tilsvarende nul mellem de to punktlaster, hvor momentet er konstant. Desuden fås ved sammenligning med den analytiske beregning af forskydningskraftkurven i afsnit 2.4 samme konstante forskydningskraft på 30kN, når der lastes op til 30kN. Det undersøges, hvorvidt der er ligevægt mellem de ydre laster og reaktionerne for at vurdere om programmet regner rigtigt. Da bjælken kun er lodret belastet af de to punktlaster på 30kN og simpelt understøttet, optræder der kun lodrette reaktioner. Den lodrette reaktion i hver understøtning er fundet til 30kN, hvorfor ligevægten er overholdt. Desuden er momenligevægten kontrolleret. Ydermere undersøges, om der er ligevægt i de enkelte elementer. Det vælges, at undersøge ligevægt af element fire, jvf. figur 4.3. På figur 4.10 kan snitkræfterne i elementknuderne ses. 51

54 4. Numeriske FEM-beregninger i MatLab Figur 4.10 Snitkræfter i elementknuder. Af figur 4.10 ses, at den lodrette ligevægt er overholdt. Ligeledes er momentligevægten overholdt, hvilket ses ved at regne positivt moment mod uret om højre knude. M = 18kNm + 30kN 0, 6m = 0 (4.15) Ud fra ovenstående kontrol af den programmerede bjælkemodel vurderes det, at programmet virker efter hensigten. I det følgende beskrives en forsimplet skalmodel efter plade- og skiveteorien, der bedre kan beskrive deformationen af glasfiberbjælken end den programmerede bjælkemodel. 4.3 Forsimplet skalmodel I den programmerede bjælkemodel er det antaget, at tværsnittet ikke deformerer under lastpåvirkningen. Der søges derfor en model, som giver mulighed for deformation af tværsnittet, hvorfor det vælges at programmere en forsimplet skalmodel. I kapitel 3 er der lavet en bjælkemodel i Abaqus og efterfølgende udarbejdet en bedre model ved at lave en skalmodel. Dette vil tilsvarende blive gjort her, hvor der laves en forsimplet skalmodel, der summerer egenskaberne af et pladeelement og et skiveelement. Et skalelement kan bære laster i alle retninger og kan derfor både optage laster i planet og ud af planet. Dette kan hverken et pladeelement eller et skiveelement, men kombineres de to elementer fås netop disse egenskaber. Skiveelementet kan optage laster i planet, dvs. et skiveelement har to frihedsgrader, hvilket er flytningerne i planet. Pladeelementet kan optage laster ud af planet vha. bøjning, dvs. et pladeelement har tre frihedsgrader, hvilket er flytningen ud af planet og to rotationer af tværsnittet om de to akser i planet. Det der overordnet adskiller skalelementet fra disse, er at et skalelement kan være krumt, og dermed beskrive store deformationer Indhold og opbygning af programmet Programmet, der er lavet til at kunne regne på glasfiberbjælken ved en forsimplet skalmodel, kan findes på den vedlagte CD-ROM i mappen Skalprogram. Ved den forsimplede skalmodel beregnes én lokal stivhedsmatrice for pladeelementet og én lokal stivhedsmatrice for skiveelementet. De to lokale stivhedsmatricer summeres, hvilket kan lade sig gøre, da hver lokal stivhedsmatrice udvides med nuller svarende til seks frihedsgrader i hver knude. Programmet er opbygget således, at det er muligt at benytte enten otte-knuders Melosh-elementer, hvor der anvendes analytisk integration eller otte-knuders isoparametriske elementer, hvor der anvendes numerisk integration ifm. beregning af den lokale stivhedsmatrice. Der gøres opmærksom på, at programmet kun er i stand til at regne med isotropiske og forsimplede ortotropiske materialeegenskaber. Programmet består af et hovedprogram Main, hvor alle inputdata skal angives samt ti funktionsfiler, der benyttes i hovedprogrammet til at løse ligningssystemet og plotte resultaterne. På figur 4.11 kan ses to diagrammer for, hvordan programmet gennemløber de forskellige funktioner, når der hhv. benyttes otte-knuders isoparametriske elementer med numerisk integration og otte-knuders Melosh elementer med analytisk integration. 52

55 4.3 Forsimplet skalmodel Figur 4.11 Til venstre: Programforløb ved brug af isoparametriske elementer med numerisk integration. Til højre: Programforløb ved brug af Melosh elementer med analytisk integration. I det følgende gives en kort beskrivelse af de enkelte filer. Main Dette er programmets hovedfil. Her vælges hvilken elementtype der ønskes anvendt og efterfølgende indtastes elementernes tværsnitsdata og materialeegenskaber. Desuden indtastes knudepunkternes koordinater, topologien og randbetingelserne. Globalstivhed Denne funktion laver systemets globale stivhedsmatrice. For hvert element fås en lokal stivhedsmatrice fra pladeelementet og en lokal stivhedsmatrice fra skiveelementet, som sammensættes til systemets globale stivhedsmatrice. Transformation Denne funktion transformerer elementets koordinater fra det globale koordinatsystem over i et lokalt koordinatsystem. Desuden bestemmes transformationsmatricen, der benyttes til at transformere de lokale stivhedsmatricer over i det globale koordinatsystem. Kl_skive_analytisk I denne hjælpefunktion til Globalstivhed laves den lokale stivhedsmatrice for skiveelementet ved brug af otte-knuders Melosh elementer, hvor der anvendes analytisk integration. Kl_plade_analytisk I denne hjælpefunktion til Globalstivhed laves den lokale stivhedsmatrice for pladeelementet ved brug af otte-knuders Melosh elementer, hvor der anvendes analytisk integration. Kl_skive_numerisk I denne hjælpefunktion til Globalstivhed laves den lokale stivhedsmatrice for skiveelementet ved brug af otte-knuders isoparametriske elementer, hvor der anvendes numerisk integration. Kl_plade_numerisk I denne hjælpefunktion til Globalstivhed laves den lokale stivhedsmatrice for pladeelementet ved brug af otte-knuders isoparametriske elementer, hvor der anvendes numerisk integration. GaussRect I denne hjælpefunktion til Kl_skive_numerisk og Kl_plade_numerisk bestemmes Gausspunkter med tilhørende vægte til den numeriske integration. Loes_system I denne funktion angives lastvektoren og ligningssystemet løses, hvor resultatet heraf er knudeflytningerne og -rotationerne samt reaktionerne i understøtningerne. Plot_geometri Denne funktion skal køres manuelt i Main og laver et plot af både den udeformerede og den deformerede geometri. Formfunktion Denne funktion er en hjælpefunktion til Plot_geometri, hvor formfunktionerne beregnes og bruges til at lave den kvadratiske interpolation. 53

56 4. Numeriske FEM-beregninger i MatLab Programmering af den forsimplede skalmodel I afsnit 4.1 er de ni basistrin for elementmetoden gennemgået. Baggrunden for dette program er også de ni basistrin, men disse vil i dette afsnit ikke blive gennemgået i trin som tidligere. Programmet er generelt bygget op på samme måde som bjælkeprogrammet, hvor de største forskelle er bestemmelsen af de lokale stivhedsmatricer og plotfunktionen. Derfor lægges vægten på dette i resten af kapitlet. I det følgende beskrives kort de to elementtypers egenskaber og hvordan stivhedsmatricerne beregnes. Skiveelementet Da glasfiberbjælkens sider har en lille tykkelse sammenlignet med tværsnittets højde og bjælkens længde antages plan spændingstilstand. Spændingerne i bjælken afhænger således ikke af tykkelsesretningen. Desuden antages der lineære elastiske materialeegenskaber. Skiveelementet har som tidligere nævnt egenskaben af kun at kunne optage kræfter i sit eget plan. De tilhørende frihedsgrader for skiveelementet er derfor [ ] u v På figur 4.12 er vist et eksempel på, hvordan et skiveelement kan belastes i sit eget plan, og hvordan det kan deformere med de to frihedsgrader u og v. Figur 4.12 Skiveelement belastet med to kræfter i planet og deformerer ved forlængelse. Differentialligningen for det todimensionale lineære elastiske problem er givet ved følgende udtryk T σ x x σ + b = 0 + σ xy dy + b x = 0 σ y y + σ xy dx + b (4.16) y = 0 hvor er differentiationsoperatormatricen σ er spændingsvektoren [N/m 2 ] b er en volumenkraft [N/m 3 ] [15, s. 292] Ved indførelse af den svage formulering, hvor formel (4.16) multipliceres med en arbitrær vægtfunktion og integreres over elementets areal, er det muligt at udlede stivhedsrelationen K s a = f, hvor den lokale stivhedsmatrice K s er givet ved K s = B T D B tda (4.17) hvor D er den konstitutive matrice [15, s. 304] A Af formel (4.17) ses, at der indgår en matrice B. Denne matrice indeholder de afledede formfunktioner. Matricen B er opskrevet i følgende formel 54

57 4.3 Forsimplet skalmodel B = N 1 N x 0 2 N 0 1 y 0 N 1 N 1 N 2 y x y x 0... N 2 y... 0 N 2 x... N n x 0 N n y N n N n y x (4.18) hvor Ni er formfunktioner [15, s. 286] Den konstitutive matrice D, som er indsat i formel (4.17), er for plan spændingstilstand givet ved følgende udtryk D = E 1 ν 0 1 ν 2 ν 1 0 (4.19) 1 ν [17, s. 21] Programmet er som tidligere nævnt kun i stand til at regne med isotropiske og forsimplede ortotropiske materialeegenskaber. Ønskes ortotropiske materialeegenskaber, kan den konstitutive matrice i formel (4.19) blot erstattes med den konstitutive matrice for ortopiske materialer ved plan spændings tilstand. Pladeelementet Der findes flere forskellige teorier, der kan anvendes til at bestemme deformation af en plade. I den forsimplede skalmodel gøres der brug af Reissner-Mindlin pladeteorien, som er en teori, der både kan anvendes for tykke og tynde plader. Deformation af en plade virker lidt på samme måde som bøjning af en bjælke. Ved Reissner-Mindlin pladeteorien gøres der samme kinematiske antagelser som ved Timoshenko bjælketeorien. Det vil sige, at plane tværsnit forbliver plane efter deformation, og tværsnittet ikke nødvendigvis står vinkelret på den aksiale akse. Det vil sige, at denne pladeteori tager højde for forskydningsdeformationen. Pladen har tre frihedsgrader i hver knude. Disse er følgende w θ x θ y [17, s. 178] På figur 4.13 er vist et eksempel på, hvordan et pladeelement kan belastes med laster vinkelret på sit eget plan, og hvordan det kan deformere med to ud af de tre frihedsgrader w, θ x og θ y. Figur 4.13 Pladeelement belastet med tre kræfter ind i planet og deformerer ved bøjning. Den lokale stivhedsmatrice for et pladeelement, hvor der anvendes Reissner-Mindlin pladeteori bestemmes ved følgende formel K p = A B MT D M B M da (4.20) 55

58 4. Numeriske FEM-beregninger i MatLab [9, s. 543] De to matricer der indgår i formel (4.20) bestemmes på følgende måde. B M = 0 0 N 1 x N n x N 0 1 y 0 0 N 0 1 x N 1 y N n y N 1 x 0 N 1 N n N 1 y N bøjning } forskydning (4.21) [17, s. 179] D M = 0 0 D 12 t k G t k G t bøjning } forskydning (4.22) hvor D er den konstitutive matrice givet ved formel (4.19) 56 [9, s. 534] t er pladetykkelsen [m] k er en konstant, som sættes til 6 5 for at tage højde for variationen af forskydningsspændingerne over tværsnittet Stivhedsmatricen K p er en sum af bøjningsstivheden og forskydningsstivheden, hvor de dele der hører til hhv. bøjning og forskydning er markeret ud for matricerne. Ønskes der ortotropiske materialeegenskaber kan den konstitutive matrice givet ved formel (4.22) blot erstattes med den konstitutive matrice for ortotropiske materialer ved plan spændingstilstand Valg af elementer Skive- og pladeelementernes lokale stivhedsmatrice bestemmes ved at anvende formel (4.17) og (4.20). For at benytte formlerne skal der anvendes integration, hvilket både kan gøres analytisk og numerisk. Dette deler programmet op i to dele, når den globale stivhedsmatrice skal bestemmes, hvilket er illustreret på figur Otte-knuders Melosh element I programmet er det muligt at vælge et otte-knuders Melosh element. For et Melosh element kræves det, at elementet skal være rektangulært og placeret parallelt med koordinatakserne [18]. Det vil sige, at Melosh elementet ikke er særlig fleksibelt. Det kan dog anvendes til at modellere glasfiberbjælken, da alle siderne på denne er rektangulære og placeret parallelt med koordinatakserne. Ved valg af Melosh elementet i programmet bliver den lokale stivhedsmatrice bestemt analytisk. Dette gøres ved, at formfunktionerne for det otte-knuders Melosh element indsættes i formel (4.18) og (4.21) for hhv. skive- og pladeelementet. Ved at bestemme de konstitutive matricer D og D M kan de lokale stivhedsmatricer K s og K p bestemmes for hhv. skiveelementet og pladeelementet. Dette er gjort analytisk i matematikprogrammet Maple, hvorefter resultaterne er importeret i funktionsfilerne Kl_skive_analytisk og Kl_plade_analytisk. Otte-knuders isoparametrisk element I programmet er det også muligt at vælge et otte-knuders isoparametrisk element. Dette element er mere fleksibelt end Melosh elementet, da dette ikke behøver at have rektangulær form. Desuden behøver det ikke at være placeret parallelt med koordinatakserne. På figur 4.14 er det isoparametriske vist. [18]

59 4.3 Forsimplet skalmodel Figur 4.14 Ilustration af det isoparametriske element. Ved valg af det isoparametriske elementet i programmet gøres der ikke brug af de nævnte egenskaber, da koordinaterne i programmet angives ens uanset hvilket element der anvendes. Det vil sige, at ved brug af det isoparametriske element bliver elementernes form stadig rektangulære og orienteret parallelt med koordinatakserne. Den eneste forskel i programmet ved brug af det isoparametriske element fremfor Melosh elementet er, at den lokale stivhedsmatrice bliver bestemt numerisk. Den lokale stivhedsmatrice bestemmes på samme måde som ved Melosh elementet, hvor formfunktionerne indsættes i formel (4.18) og (4.21) for hhv. skive- og pladeelementet. I dette tilfælde anvendes de isoparametriske formfunktioner i stedet for formfunktionerne for Melosh elementet, som ikke er afhængige af x og y, men ξ og η, jvf. figur Formfunktionerne skal afledes mht. x og y. Dette gøres først ved at aflede formfunktionerne mht. ξ og η og herefter multiplicere med den inverse af Jacobian matricen. Ved brug af de isoparametriske formfunktioner og Jacobian matricen til at bestemme den lokale stivhedsmatrice bliver integralet ikke-lineært og kan generelt ikke løses analytisk. Der må derfor anvendes numerisk integration. I programmet er det gjort muligt at angive, hvilken Gaussorden der ønskes anvendt ved den numeriske integration i et interval fra et til fire. Jo højere Gaussorden, jo finere bliver inddelingen ved den numeriske integration. Ved øget Gaussorden konvergerer det numeriske integrale mod det analytiske integrale. Dette medfører, at den numeriske beregning af den lokale stivhedsmatrice ved det isoparametriske element skal give samme lokale stivhedsmatrice som for Melosh elementet, når Gaussordenen forøges tilstrækkeligt. Dette undersøges nærmere i næste afsnit Resultater og kontrol I det følgende vil udbøjningsresultaterne for den forsimplede skalmodel blive beskrevet. Den forsimplede skalmodel sammenlignes med skalmodellen i Abaqus i forsimplet ortotropisk materiale efter en lineær beregning jvf. afsnit 3.3. Derfor tillægges modellen samme materialeegenskaber og understøtningsforhold. Dette betyder, at modellen er simpelt understøttet og belastet af to laster på 30kN svarende til en tværgående linielast på 326, 1N/mm placeret 700mm fra hver ende af glasfiberbjælken. Den forsimplede skalmodel inddeles i to elementer over højden og bredden samt seks elementer i længden. På figur 4.15 kan elementinddelingen af bjælken ses. 57

60 4. Numeriske FEM-beregninger i MatLab Y [mm] Z [mm] Z [mm] X [mm] X [mm] Y [mm] Figur 4.15 Udeformeret og deformeret tilstand af den programmerede skalmodel. Modellen er inddelt i 48 elementer med i alt 160 knudepunkter. Det skal bemærkes, at der ikke er foretaget en konvergensanalyse, da knudekoordinaterne og topologien skal indtastes manuelt, hvilket er tidskrævende. Det har dog i afsnit 3.3 vist sig at forsimplede ortotropiske skalmodel i Abaqus, først konvergerer ved 44 elementer i længden, svarende til 352 elemeter i alt. På figur 4.15 og (4.16) kan udbøjningen ses, når der anvendes otte-knuders Melosh elementer med analytisk integration. Figur 4.16 Udbøjning af den programmerede skalmodel, når udbøjningsværdierne er midlet over tværsnittet. For at se hvad forskellige valg af elementtype og Gaussorden har af betydning, kan de lokale stivhedsmatricer sammenlignes for at se, om de adskiller sig fra hinanden. Det er dog svært at vurdere, hvilken betydning en forskel i den lokale stivhedsmatrice har for deformationen af glasfiberbjælken. Forskellen på valg af elementtype kan derfor belyses ved at se på resultaterne fra beregningen. I tabel 4.3 kan forskellen på den maksimale udbøjning ved forskellige valg af elementtype og Gaussorden ses. Det kan som forventet ses, at ved en øget Gaussorden konvergerer udbøjningen bestemt ved numerisk integration mod udbøjningen ved brug af Melosh elementet, som er løst analytisk. Da det otte-knuders isoparametriske element i programmet har rektangulær form, medfører det, at en Gaussorden på 3 giver det eksakte resultat. Dette skyldes at for n integrationspunkter giver Gaussintegrationen en eksakt integration af et polynomium af ordenen 2 n 1. Det vides at B-matricerne i formel (4.20) og (4.17) indeholder 2. grads formfunktioner og da disse multipliceres med den transponerede B-matrice fås 4. grads polymomier. Da det yderligere vides at Jacobian matricen, som relaterer de afledede af flytningerne i ξη-koordinatsystemet og xy-koordinatsystemet, er konstant for rektangulære elementer, fås stadig 58

61 4.4 Opsamling Element Maksimal udbøjning [mm] Melosh 72,3 Isoparametrisk, n = 4 72,3 Isoparametrisk, n = 3 72,3 Isoparametrisk, n = 2 75,2 Tabel 4.3 Den programmerede skalmodels maksimale udbøjning ved forskellige valg af elementtype og Gaussorden n. 4. grads polymomier, som skal integreres. Dette er grunden til, at Gaussorden 3 er tilstrækkelig til at få det eksakte resultat. [15, s ]. Udbøjningernes variation i x-aksens retning kan desuden ses i tabel 4.4, hvor der sammenlignes med resultaterne fra skalmodellen i Abaqus i forsimplet ortotropisk materiale efter en lineær beregning. 100mm 400mm 850mm 1050mm Beregningsmodel [mm] [mm] [mm] [mm] Abaqus skalmodel 0, 1 37, 7 74, 6 78, 3 Programmeret skalmodel 0, 0 34, 6 68, 6 72, 3 Tabel 4.4 Den programmerede skalmodels udbøjning sammenlignet med skalmodellen i Abaqus i forsimplet ortotropisk materiale efter en lineær beregning. Det ses ud fra tabel 4.4, at den programmerede skalmodel ikke stemmer fuldstændig overens med skalmodellen i Abaqus, hvilket der kan være flere årsager til. I afsnit 3.3 blev der lavet en konvergensanalyse for skalmodellen i Abaqus, hvor resultatet heraf medførte, at modellen i længderetningen blev inddelt i elementer pr. 50 mm. Dette er væsentligt flere elementer, end der er anvendt i den programmerede skalmodel. Det ville være oplagt at forøge antallet af elementer i den programmerede skalmodel, men da indtastningen af elementknudernes koordinater skal gøres manuelt undlades dette. Som kontrol af programmet er de tre ligevægtsligninger desuden undersøgt for at eftervise, at systemet er i ligevægt. Dette er dog ikke vist her. 4.4 Opsamling Der er i de to foregående afsnit redegjort for programmeringen af 3D bjælkemodellen og den forsimplede skalmodel. Den programmerede bjælkemodel er i stand til både at regne efter Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. I den forbindelse har udbøjningsresultaterne vist sig at være identiske med de fundne udbøjningsresultater i den analytiske beregning af glasfiberbjælken. Der er dog ulemper forbundet med både Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien ift. den virkelige opførsel af glasfiberbjælken, når den udsættes for de to punktlaster. De to teorier tager ikke hensyn til tværsnittets deformation i sit eget plan, hvorfor den forsimplede skalmodel er programmeret. Den forsimplede skalmodel er baseret på plade- og skiveteorien, hvor de to stivhedsmatricer er summeret. Det enkelte element i den forsimplede skalmodel kobler således ikke plade- og skivevirkningen, hvorfor krumme elementer ikke kan behandles i programmet. Ligeledes er det ikke muligt at regne med store deformationer, idet der her vil opstå krumme flader. Til den forsimplede skalmodel kan der enten benyttes otte-knuders Melosh elementer eller otte-knuders isoparametriske elementer med hhv. analytisk og numerisk integration i forbindelse med den lokale stivhedsmatrice. Med tilstrækkelig høj Gaussorden for det isoparametriske element fås samme udbøjningsresultater som ved det otte-knuders Melosh element. Det bemærkes at for en kvadratisk plade udsat for en ensformig fladelast vil det gælde, at et ni-knuders element giver et udbøjningsresultat, der tilnærmer sig den eksakte tyndpladeløsning bedre end et otte-knuders element. Dette gælder ved store værdier af elementets længde-tykkelsesforhold, når der benyttes fuld integration. Denne påstand 59

62 QS QL QH Fig Numeriske Some early FEM-beregninger thick plate elements. i MatLab underbygges af figur 4.17 og (a) w c L/t QS-R QS-N L/ 2 x 2 Gaussian integration of all terms 3 x 3 Gaussian integration of all terms w c D/qL Simply supported Exact thin plate solution L/t Clamped edge Simply supported Exact thin plate Exact thin plate solution solution L/t L/t QS-R 2 x 2 Gaussian integration of all terms QS-R 2 x 2 Gaussian integration of all terms Figur (a) 4.17 Nøjagtighed QS-N af otte-knuders 3 x 3 Gaussian elementer med reduceret og fuld integration, når ter med reduceret og fuld integration, når der integration of Figur all terms (b) 4.18 Nøjagtighed QS-N af ni-knuders 3 x 3 Gaussian elemen-integration of all terms der er tale om en kvadratisk plade udsat for en Fig. 5.3 Performance er tale om en of (a) kvadratisk quadratic plade serendipity udsat (QS) for and en (b) Lagrangian (QL) elemen Simply supported thickness L=t, ratios, Clamped uniformedge load on a square plate with 4 4 normal subdivisions in ensformig fladelast Fuldoptrukket linie indikerer reduceret integration, mens stiplet linie kerer reduceret integration, mens stiplet linie ensformig fladelast. Fuldoptrukket linie indi- 2 2 quadrature and N is normal 3 3 quadrature indikerer fuld integration. [19, s. 178] indikerer fuld integration. [19, s. 178] Exact thin plate Exact thin plate solution solution Af figur 4.17 og ses det, at et otte-knuders element med et stort længde-tykkelsesforhold afviger fra den eksakte tyndpladeløsning, når der er tale om en kvadratisk plade udsat for en ensformig fladelast og fuld integration Dette er ikke tilfældet for et ni-knuders element, hvor fuld integration konvergerer tæt på den eksakte løsning uafhængig af længde-tykkelsesforholdet af elementerne. Det er derfor muligt, at den forsimplede skalmodel havde 2 givet 10 3 bedre 10 4 udbøjningsresultater, hvis 10 3 der var 10 4 benyttet ni-knuders elementer frem for otte-knuders elementer. L/t L/t QS-R 2 x 2 Gaussian integration of all terms Udbøjningsresultaterne afviger fra skalmodellen i Abaqus i forsimplet ortotropisk materiale efter en (b) QS-N 3 x 3 Gaussian integration of all terms lineær beregning jvf. afsnit 3.3. Dette kan skyldes, at der ikke er foretaget en konvergensanalyse af den Fig. forsimplede 5.3 Performance skalmodel. of (a) quadratic serendipity (QS) and (b) Lagrangian (QL) elements with varying span-tothickness L=t, ratios, uniform load on a square plate with 4 4 normal subdivisions in a quarter. R is reduced 2 2 quadrature and N is normal 3 3 quadrature. w c D/qL 4 w c D/qL Clampe Exa solut L/ 60

63 Kapitel5 Analyse af ikke-lineære effekter I dette kapitel undersøges ovaliseringen af tværsnittet udsat for bøjning, også kaldet Braziereffekt, som er et ikke-lineært fænomen. Der udføres beregninger af Braziereffekten og dennes betydning for hele bjælkens udbøjning undersøges, ud fra lineære betragtninger, selvom det er et ikke-lineært fænomen. Deformationerne af tværsnittet kontrolleres i FEM-programmet TrussLab, som ligeledes er en lineær beregning, der anvender bjælkeelementer. Herefter undersøges udbøjningen og deformationen af tværsnittet af en skalmodel i Abaqus, hvor der tages hensyn til hhv. lineære og ikke-lineære effekter. 5.1 Anvendte metoder Når bjælken udsættes for bøjning vil tværsnittet deformere forskelligt pga. hhv. Poisson- og Braziereffekt. Braziereffekten betegner ovaliseringen af tværsnittet, når bjælken udsættes for bøjning. Ved at lave en lineær analyse af skalmodellen tages der ikke højde for Braziereffekt og tværsnittet deformerer udelukkende ud fra Poissoneffekt. Poissoneffekten består i, at oversiden, som udsættes for tryk, udvider sig, mens undersiden, som udsættes for træk, trækker sig sammen. Effekten er vist på figur 5.1. Oplastning Udeformeret Deformeret Figur 5.1 Tværsnittets deformation ved oplastning ud fra lineære betragtninger. Ved at lave en ikke-lineær analyse af skalmodellen, i Abaqus, tages der højde for både Poisson- og Braziereffekt, hvilket bevirker, at tværsnittet ikke deformerer symmetrisk, som det ville gøre, hvis der kun opstod Braziereffekt. Tværsnittets derformation ud fra en ikke-lineær analyse kan ses på figur 5.2, hvor det lineære bidrag fra Poissoneffekten og bidraget fra Braziereffekten, der stiger kvadratisk, er summeret. + = Oplastning Poissoneffekt Braziereffekt P = 75% P = 100% Figur 5.2 Tværsnittets deformation ved oplastning, med lasten P, ud fra ikke-lineære betragtninger. 61

64 5. Analyse af ikke-lineære effekter Braziereffekten er et ikke-lineært fænomen og kan derfor ikke bestemmes ud fra almindelige lineære bjælkeberegninger. I dette kapitel foretages alligevel bjælkeberegninger af Braziereffekten ud fra lineære betragtninger, hvilket beskrives i det følgende. Det bemærkes at spændinger forårsaget af Braziereffekten først behandles i kapitel 7. Betragtes bjælken, som vist på figur 5.3, vil normalspændingerne fra bøjning bevirke, at der vil være tryk i oversiden og træk i undersiden af profilet. Tryk og trækkræfterne vil bestå af lodrette og vandrette komposanter, hvilket kan ses på figur 5.3. Figur 5.3 Lodrette og vandrette komposanter af de kræfter der virker i de yderste fibre af bjælketværsnittet. De lodrette komposanter af kræfterne vil trække fibrene mod bjælkecenteret. Disse kræfter er ækvivalente med en volumenkraft p v. Ud fra ligevægtsbetragtninger på et infinitesimalt fiber, som kan ses på figur 5.3, samt indførelse af relationen mellem det bøjende moment og krumningen kan volumenkraften bestemmes ved formel (5.1), hvor M 2 angiver, at det er en ikke-lineær effekt. [20] p v = M2 E 2 Iyy 2 z (5.1) hvor z er afstanden fra profilets tyngdepunktslinie til toppen af profilet [mm] På figur 5.4 kan en illustration af transformeringen af de lodrette komposanter fra normalspændingen til volumenkraften ses. Det antages, at volumenkraften i top og bund optages af forskydning, mens den optages ved tryk i siderne. [20] 62

65 5.1 Anvendte metoder Figur 5.4 Transformering af normalspændingen i de yderste fibre til en volumenkraft på tværsnittet. Mål i mm. Idet profilet er dobbeltsymmetrisk, betragtes kun den fjerdedel af profilet, som kan ses på figur 5.5. Udsnittet er understøttet som vist til højre på figur 5.5, idet det er sammenhængende med resten af profilet, samt at det skal kunne bøje ud som følge af belastningen. Det antages, i den lineære beregning, at der udelukkende sker rotation af hjørnet, hvorfor den vertikale og horisontale flytning i hjørnet er nul. Figur 5.5 Til venstre: Profilets tværsnit, som er dobbeltsymmetrisk. Til højre: Statisk system af den fjerdedel af profilet, som betragtes. Mål i mm. Den horisontale flytning af punkt A, den vertikale flytning af punkt C samt rotationen af hjørnet i punkt B bestemmes vha. virtuelle kræfters princip. Metoden går ud på, at der påsættes virtuelle kræfter eller momenter, hvor flytninger eller rotationer ønskes bestemt og det indre arbejde sættes lig med det ydre arbejde. [21, s ] Deformationerne af tværsnittet bevirker, at inertimomentet mindskes. Reduktionen af inertimomentet bevirker, at bjælken bøjer yderligere ned. I bjælkeberegningerne tages der hensyn til de ikke-lineære effekter ved at finde det reducerede inertimoment og bestemme udbøjningen af bjælken ud fra dette reducerede inertimoment. Det vil sige, at der laves en lineær beregning af et ikke-lineært fænomen. [20] 63

66 5. Analyse af ikke-lineære effekter 5.2 Lineær beregning af Braziereffekt Braziereffekten undersøges på midten af bjælken, idet momentet er konstant og størst mellem kræfterne, og randeffekterne fra kræfterne er mindst her. Jævnfør afsnit 5.1 kan normalspændingerne i bjælketværsnittet transformeres til en volumenkraft p v, hvorfor der betragtes et udsnit af bjælken, der har en længde på 50mm. I bilag E.1 er volumenkraften fundet til p v = 0, 11N/mm 3. På figur 5.6 ses tværsnittet af bjælken samt det udsnit der betragtes i de lineære beregninger af Braziereffekten. Figur 5.6 Til venstre: Tværsnit af bjælken. Til højre: Det udsnit af bjælken, der betragtes i beregningerne. Mål i mm. Idet profilet er dobbeltsymmetrisk betragtes kun en fjerdedel af profilet, og det statiske system for denne del kan ses til højre på figur 5.5. Understøtningerne er udformet, så det betragtede udsnit hænger sammen med resten af profilet, samt at der kan ske en horisontal flytning af punkt A og en vertikal flytning af punkt C. Den horisontale flytning i punkt A, u h, den vertikale flytning i punkt C, u v, samt rotationen i punkt B, θ, bestemmes vha. virtulle kræfters princip jvf. afsnit 5.1. Beregningerne af u h, u v og θ kan ses i bilag E.3, og resultatet kan ses i tabel 5.1. Horisontal u h Vertikal u v Rotation θ [mm] [mm] [ ] 0, 90 1, 38 2, 24 Tabel 5.1 Horisontal flytning i punkt A, vertikal flytning i punkt C samt rotation i punkt B. Beregningerne tager udgangspunkt i Bernoulli-Euler bjælketeorien, idet resultaterne ønskes sammenlignet med deformationerne fundet i TrussLab, hvor der også tages udgangspunkt i Bernoulli-Euler bjælketeorien. Antagelsen i Bernoulli-Euler bjælketeorien om, at tværsnittet forbliver vinkelret på bjælkeaksen under deformation bevirker, at den virtuelle forskydningskraft, δv, ikke giver anledning til virtuelt arbejde. I beregningerne ses der derfor bort fra bidrag fra forskydningskraften. I bilag E.4 er der bestemt en funktion for hhv. den horisontale udbøjning u h (z) og den vertikale udbøjning u v (y). Det antages, at hjørnet i punkt B kun roterer, og at der ikke sker flytninger hverken vertikalt eller horisontalt. Der kendes derfor fire randbetingelser for hhv. u h (z) og u v (y), og det antages derfor, at udbøjningerne er givet ved tredjegradspolynomier givet ved formel (5.2) og formel (5.3). u h (z) = a 3 z 3 + a 2 z 2 + a 1 z + a 0 (5.2) u v (y) = a 3 y 3 + a 2 y 2 + a 1 y + a 0 (5.3) 64

67 5.2 Lineær beregning af Braziereffekt Det bemærkes at tredjegradspolynomiet kun gælder inden for grænserne [0; 46mm], og kan beskrive hele tværsnittet grundet symmetri. Alternativt kunne udbøjningerne være beskrevet ved fjerdegradspolynomier, hvilket i princippet ville være mere korrekt, da dette kan beskrive flytningen over hele tværsnitet [0; 92]. Et fjerdeordensudtryk ville i princippet også stemme bedre overens fysisk, da momentet er et andenordens udtryk for en linielast, og momentet er givet ved den anden afledte af udbøjningen. For u h (z), fra punkt A til B, gælder det, at udbøjningen er u h ved punkt A og nul ved punkt B, samt at hældningen er nul ved punkt A og θ ved punkt B: u h (0) = u h u h (0) = 0 u h (l c ) = 0 u h (l c ) = θ For u v (y), fra punkt B til C, gælder det, at udbøjningen er nul ved punkt B og u v ved punkt C, samt at hældningen er θ ved punkt B og nul ved punkt C: u v (0) = 0 u v (0) = θ u v (l c ) = u v u v (l c ) = 0 Beregningerne af konstanterne a 0, a 1, a 2 og a 3 findes i bilag E.4. På figur 5.7 ses u h (z) og u v (y). y [mm] ,24 1 u v ( y) [mm] 2 B C 1,38 u v ( y) 3 3 u h ( z) 2 z u h ( z) [mm] 1 A x y 0, z [mm] Figur 5.7 Til venstre øverst: Grafen for funktionen u v (y). Til venstre nederst: Grafen for funktionen u h (z). Til højre: De to funktioner for deformation optegnet sammen, skaleret 18 gange. I bilag A er inertimomentet af det udeformerede tværsnit fundet til 4, mm 4. Inertimomentet for det deformerede tværsnit bestemmes ud fra formel (5.4). Det bemærkes, at den horisontale udbøjning u h (z) ikke har indflydelse på inertimomentet, da afstanden fra linien, om hvilken der tages inertimoment, til tyngdepunktet af delarealet, ikke ændres når emnet flyttes parallelt med denne linie. ( l I yy = 4 0 l l z 2 tdz + (z + u v (y)) 2 dydz l t t ) (5.4) 65

68 5. Analyse af ikke-lineære effekter I bilag E.5 er inertimomentet af det deformerede tværsnit fundet til 4, mm 4. Det vil sige, at inertimomentet reduceres med 3% som følge af Braziereffekten. Det reducerede inertimoment vil bevirke, at udbøjningen af bjælken øges i forhold til udbøjningen bestemt i afsnit Udbøjningen beregnes på midten af bjælken ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien, og beregningen er tilsvarende beregningerne i bilag B.4 med et ændret inertimoment. Der findes en udbøjning på 75, 4mm på midten af bjælken. Dette betyder, at udbøjningen øges med 3%, hvilket er den indflydelse, som Braziereffekten har på udbøjningen, da der er lineær sammenhæng mellem inertimoment og udbøjning. Det bemærkes at ved indsættelse af det reducerede inertimoment for det deformerede tværsnit i bjælkeberegningen, fås principielt en større udbøjning, der så igen giver en større deformation af tværsnittet, som giver et endnu mindre inertimoment, osv. Denne selvforstærkende effekt er der her set bort fra, da denne vurderes værende minimal. De analytiske beregninger er kontrolleret i FEM-programmet TrussLab, som også er en lineær beregning ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien. Inputfil til TrussLab kan ses i mappen trusslab-braziereffekt på vedlagte CD-ROM. På figur 5.8 ses den deformerede geometri fundet vha. TrussLab. Der er fundet en horisontal flytning i punkt A, en vertikal flytning i punkt B, en rotation i punkt B samt en vertikal flytning i punkt C. 2,24 B C 1,38 A x z y 0,90 Figur 5.8 Den deformerede geometri fundet vha. TrussLab, skaleret 18 gange. Deformationerne fra hhv. beregningerne baseret på virtuelle kræfters princip og TrussLab kan ses i tabel 5.2. Desuden er afvigelsen mellem de to beregninger angivet i tabellen. Horisontal i A Vertikal i B Rotation i B Vertikal i C [mm] [mm] [ ] [mm] Virtuelle kræfters princip 0, 90 0, 00 2, 24 1, 38 TrussLab 0, 90 0, 04 2, 24 1, 38 Afvigelse 0, 00 0, 04 0, 00 0, 00 Tabel 5.2 Horisontal flytning i punkt A, vertikal flytning i punkt B, rotation i punkt B samt vertikal flytning i punkt C beregnet lineært vha. TrussLab. I beregningerne baseret på virtuelle kræfters princip er det antaget, at hjørnet udelukkende roterer og den horisontale og vertikale flytning er nul, mens der i TrussLab er fundet, at der både sker en rotation og en vertikal flytning i hjørnet. Afvigelsen i punkt B kan derfor skyldes antagelsen om at der udelukkende sker rotation af hjørnet. Det bemærkes, at den vertikale flytning i hjørnet er lille, og det vurderes derfor, at det er iorden at antage, at der udelukkende sker en rotation af hjørnet i beregningerne baseret på 66

69 5.3 Ikke-lineær beregning af Braziereffekt i Abaqus virtuelle kræfters princip. Ligeledes observeres det at virtuelle kræfters princip og Trusslab i øvrigt stemmer overens, for de værdier der anvendes i de lineære beregninger, hvilket også var forventet. 5.3 Ikke-lineær beregning af Braziereffekt i Abaqus Braziereffekten undersøges i Abaqus ved at sammenligne udbøjningen ved hhv. en lineær beregning og en beregning hvor der også tages højde for ikke-lineære effekter, herunder bl.a. Braziereffekt. Der tages udgangspunkt i Abaqusmodellen, med last og understøtning modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning, fra afsnit Der laves en lineær analyse, hvorfor der ses bort fra ikkelineære effekter. I Abaqus laves en lineær analyse ved at fravælge optionen nlgeom. På tilsvarende vis som i afsnit er belastningen påført som en tvungen ytning på 65, 5mm, svarende til at reaktionerne ved understøtningerne begge bliver 30kN. Resultatet giver en maksimal udbøjning på midten af bjælken u max = 77, 3mm og dermed et forhold mellem udbøjning og reaktion på u/r = 2, 58. Det deformerede tværsnit fra Abaqus kan ses på figur 5.9. z x y Figur 5.9 Til venstre: Det udeformerede tværsnit på midten af bjælken. Til højre: Det deformerede tværsnit ud fra en lineær beregning, skaleret 18 gange. Ud fra figur 5.9 observeres det, at ved en lineær analyse i Abaqus deformerer tværsnittet udelukkende vha. Poissoneffekt. Efter at have lavet en lineær analyse i Abaqus, udføres en analyse, hvor der tages højde for ikke-lineære effekter. Der tages udgangspunkt i den samme model som ved den lineære analyse. I Abaqus laves en ikke-lineær analyse ved at tilvælge optionen nlgeom. På tilsvarende vis som tidligere er belastningen påført som en tvungen ytning på 67mm, svarende til at reaktionerne ved understøtningerne begge bliver 30kN. Resultatet giver en maksimal udbøjning på midten af bjælken u max = 79mm og dermed et forhold mellem udbøjning og reaktion på u/r = 2, 62. Det deformerede tværsnit fra Abaqus kan ses på figur

70 5. Analyse af ikke-lineære effekter 0,68 0,45 0,32 z x y 0,54 0,91 Figur 5.10 Til venstre: Det udeformerede tværsnit. Til højre: Det deformerede tværsnit, på midten af bjælken, ud fra en ikkelineær beregning, skaleret 18 gange. På figur 5.10 ses det, at deformationerne af top og bund ikke er symmetriske og rotationerne af de fire hjørner ikke er ens, i modsætning til antagelsen ved de forsimplede lineære beregninger jvf. afsnit 5.2. Dette kan skyldes, at Abaqus tager hensyn til både lineære og ikke-lineære effekter og derfor tager hensyn til, at der optræder Poisson- og Brazereffekt samtidigt, hvilket medvirker til det asymmetriske deformerede tværsnit. Ligeledes tager Abaqus hensyn til, at der sker en omlejring af spændinger, som vil optræde og være dominerende, inden Braziereffekten for alvor slår igennem, under oplastning. Efter at have foretaget både en lineær analyse og en analyse hvor der tages højde for ikke-lineære effekter, ses det at udbøjningen bliver 2, 11% større, hvis der tages højde for ikke-lineære effekter. Dette svarer til at bidraget til udbøjningen fra de ikke-lineære effekter er 2, 11%. Deformationerne fra hhv. beregningerne baseret på virtuelle kræfters princip, TrussLab og Abaqus kan ses i tabel 5.3. Horisontal i A Vertikal i B Rotation i B Vertikal i C [mm] [mm] [ ] [mm] Virtuelle kræfters princip 0, 90 0, 00 2, 23 1, 38 TrussLab 0, 90 0, 04 2, 24 1, 38 Abaqus (ikke-lineær analyse) 0, 32 0, 09 0, 68 0, 45 Tabel 5.3 Horisontal flytning i punkt A, vertikal flytning i punkt B, rotation i punkt B, samt vertikal flytning i punkt C beregnet lineært vha. VKP og TrussLab samt ikke-lineært i Abaqus. Det ses af tabel 5.3 at tværsnittet ikke deformerer så meget ved beregningen i Abaqus, som ved de lineære beregninger af tværsnitsdeformationerne. Årsagerne til dette diskuteres herunder Opsamling I kapitlet er de ikke-lineære effekter i form af Braziereffekten undersøgt. Først er der gemmenført en analyse ud fra lineære betragtninger. Det vil sige, at der er lavet en lineær beregning af et ikke-lineært fænomen. Braziereffekten bevirker, at der sker en yderligere udbøjning af bjælken, og det er fundet, at bidraget til udbøjningen fra Braziereffekten er 3%. Der er desuden gennemført en analyse i programmet Abaqus, hvor der både er lavet en lineær analyse og en analyse, hvor der er taget hensyn til de ikke-lineære effekter. Det er herudfra fundet, at bidraget til udbøjningen fra de ikke-lineære effekter er 2, 11%. Afvigelsen mellem de to beregninger kan skyldes, at de ikke-lineære effekter i den analytiske beregning er analyseret ud fra lineære betragtninger, mens Abaqus tager højde for bl.a. både Poisson- og Braziereffekt i de ikke-lineære beregninger. Forskellen mellem de to metoder kan dermed give en idé om, at

71 5.4 Opsamling formindskelse af inertimomentet som følge af Braziereffekten ikke er det første ikke-lineære fænomen, der træder i kraft, men måske nærmere en tredjeordens effekt, da der vil forekomme spændingsomlejringer inden, hvilket analysen i Abaqus medregner. Dette underbygges ligeledes af tabel 5.3, hvor det ses, at tværsnittet ikke deformerer så meget ved beregningen i Abaqus, hvor der direkte tages højde for ikke-lineære effekter. Ud fra ovenstående betragtninger kan det konkluderes, at de forsimplede beregninger, hvor der foretages lineære betragtninger af det ikke-lineære fænomen Braziereffekt giver et øget bidrag til udbøjningen fra Braziereffekten ift. ved egentlige ikke-lineære beregninger, hvor der også tages højde for Poissoneffekt og spændingsomlejringer. 69

72

73 Kapitel6 Fastlæggelse af materialeparametre Dette kapitel vil omhandle eksperimentelle metoder. Der er udført et antal laboratorieforsøg, der har til formål at bestemme materialeparametre for det ortotropiske materiale. De fundne materialeparametre korrigeres og sammenholdes til sidst med parametrene oplyst af Fiberline Composites A/S. Kapitlet vil indeholde en beskrivelse af forsøgene og de metoder der anvendes, samt behandling af de målte data. 6.1 Anvendte metoder Der er udført et antal forsøg i laboratoriet, der har til formål at bestemme materialeegenskaberne hhv. på langs og på tværs af glasfiberbjælken. Der er udarbejdet arbejdstegninger til forsøgene, som kan ses på tegning 1 og 2. På figur 2.1 er retningerne for materialeparametrene vist, hvor det bemærkes at 0 svarer til 1-retningen og 90 svarer til 2-retningen. For at måle egenskaberne på langs udskæres to emner i længderetningen, hvorpå der udføres hhv. et træk og et bøjningsforsøg. Der er udført i alt tre trækforsøg, der har til har til formål at bestemme den aksiale stivhed E 1 A 1 og Poissons forhold ν 12, der beskriver tværkontraktionen ved træk i længderetningen, mens der er udført fem bøjningsforsøg til bestemmelse af bøjningsstivheden E 1 I 1 i længderetningen. Egenskaberne på tværs af bjælkeaksens retning måles ved at udskære skiver af profilet, hvor der udføres hhv. tryk- og bøjningsforsøg. Der er udført tre trykforsøg, der har til formål at bestemme den aksiale stivhed E 2 A 2 og Poissons forhold ν 21, der beskriver tværekspansionen i forhold til tryk i tværretningen, mens der er udført fire bøjningsforsøg til bestemmelse af bøjningsstivheden E 2 I 2 i tværretningen. Til bestemmelse af bøjningsstivheden i tværretningen er momentfordelingen fundet vha. programmet TrussLab. Ved at betragte en sammenhæng mellem den aksiale stivhed og bøjningsstivheden bestemmes tykkelsen af profilet ækvivalent med en homogen plade og det tilhørende elasticitetsmodul. Til bestemmelse af materialeparametrene optegnes et antal grafer ud fra forsøgsresultaterne, hvorefter der anvendes lineær regression. For at vurdere hvorvidt der er lineær sammenhæng mellem målingerne, beregnes en korrelationskoefficient R, der ligger i intervallet 1 til 1. Værdier tæt på 1 angiver, at der er en positiv lineær sammenhæng, mens værdier tæt på 1 angiver, at der er en negativ lineær sammenhæng. Hvis værdien er tæt på eller lig med nul betyder det, at der ikke optræder nogen lineær sammenhæng. [22, s ] Til at bestemme korrelationskoefficienten anvendes MatLab, som giver en 2 2 matrice. I matricen angiver diagonalen, korrelationen af hver variabel, der indgår, med sig selv. Off-diagonalen angiver korrelationen mellem de to variable, der indgår [23]. I dette kapitel angives kun korrelationskoefficienterne i off-diagonalen, idet korrelationskoefficienterne i diagonalen giver værdien 1 i alle tilfælde. I forsøgene er der anvendt metal strain gauges og flytningsmålere. Strain gauges kan anvendes til at klarlægge tøjninger og derudfra spændinger og belastninger. Når en strain gauge lavet af metal deformerer, sker der en ændring i den elektriske modstand i strain gaugen, hvilket er relateret til den lokale tøjning [24, s. 428]. Formålet med strain gauges med elektrisk modstand er at lave en sensor, der kun er følsom overfor tøjning i længdeaksen og derfor ikke er følsom overfor tværgående og forskydende 71

74 6. Fastlæggelse af materialeparametre tøjning. Dette sikres ved, at strain gaugens udstrækning i tværretningen er lille i forhold til i længderetningen. Strain gaugen har dog en vis følsomhed overfor tværgående tøjning, men for de fleste gauges ses der bort fra disse forskydningstøjninger [24, s. 431]. Ændringen af modstanden i strain gaugen under deformation beskrives ved en gauge faktor givet ved GF = δr R ε a (6.1) hvor GF er en gauge faktor [ ] R er modstanden i en strain gauge [Ω] δr er ændringen i modstanden i en strain gauge [Ω] ε a er den aksiale tøjning [ ] [24, s. 431] Gauge faktoren oplyses af producenten, og er 2, 07 for de anvendte enkelt gauge. Modstanden i standard strain gauges ligger på Ω [24, s. 443]. Det anvendte måleudstyr omregner de målte ændringer i modstanden til tøjninger. Til at måle udbøjningerne i bøjningsforsøget til bestemmelse af E 1 I 1 i længderetningen anvendes flytningsmålere. Der er anvendt typen LVDT, Induktiv Standard Transducer, der måler spændinger og det anvendte måleudstyr omregner spændingerne til flytninger. Til det anvendte udstyr i laboratoriet findes kalibreringstabeller, som bør anvendes ved behandlingen af de målte data. Kalibreringstabellerne viser dog, at kalibreringsfaktoren er meget tæt på én, hvorfor de målte data ikke kalibreres i denne rapport. 6.2 Materialeparametre på langs af bjælken Der udføres et trækforsøg for at bestemme hhv. den aksiale stivhed E 1 A 1 og Poissons forhold ν 12, mens der udføres et bøjningsforsøg for at bestemme bøjningsstivheden E 1 I 1. Ved at sammenholde E 1 A 1 og E 1 I 1 bestemmes den ækvivalente tykkelse t 1 af profilet svarende til tykkelsen af en homogen plade, samt elasticitetsmodulet på langs af bjælken E Trækforsøg Egenskaberne på langs af bjælken findes ved at udskære en side af profilet med dimensionerne l b h på , 6 8mm. For at bestemme størrelsen af E 1 A 1 og ν 12 laves et trækforsøg, hvor normaltøjningen ε 11 måles som funktion af lasten. Hver ende af elementet fastsættes derfor med kæber, hvorpå der påsættes en trækkraft varierende fra 0 40kN. Tøjningerne som funktion af lasten måles vha. strain gauges, der er limet på glasfiberelementet. Lasten påføres elementet vha. en Mohr & Federha Universial Static Testing Machine. Lasten angives i volt, hvor 10V = 300kN. Kalibreringen på denne maskine er tæt på 1. Til måling af tøjningerne anvendes metal strain gauges med GF = 2, 07. Disse har en tolerance på ±1%. Ved opsamlingen af data anvendes en HBM Spider 8, der vha. GF omregner ændringerne i modstandene i strain gaugesene til tøjninger, og angiver disse i microstrain. Der placeres fire strain gauges på emnet, én på hver af siderne. Strain gaugesene påsættes med hhv. to i længde- og to i tværretningen, så der kan måles tøjninger både på langs og på tværs af elementet. Elementet og placeringen af strain gauges kan ses på figur

75 6.2 Materialeparametre på langs af bjælken Figur 6.1 Forsøgsopstilling for trækforsøg i længderetningen. Mål i mm. I forsøget forventes det, at der opstår enakset spændingstilstand på midten af elementet, hvorfor strain gaugesene er placeret på midten. Der er dog risiko for, at længden af elementet ikke er tilstrækkelig til at sikre denne tilstand, idet elementet er forholdsvis bredt. Der er desuden risiko for, at der ikke trækkes jævnt over tværnittet, hvis kæberne ikke fastholder elementet ens over hele bredden, eller hvis der er skævheder i elementet. Skævheder kan skyldes bearbejdningen i form af udskæring og slibning af elementet. Ved en belastning på maksimalt 40kN fremgår det, af forsøgsresultaterne, at elementet under hele forsøget er inden for det lineær-elastiske område. Dette kan ses på figur F.1 i bilag F.1.1. Aksial stivhed E 1 A 1 Ved at optegne den påførte kraft som funktion af den målte normaltøjning i længderetningen ε 11 og bestemme hældningen af den bedste rette linie mellem målepunkterne findes den aksiale stivhed. Dette er gjort i bilag F.1.1. Der er udført i alt tre trækforsøg, og i tabel 6.1 er den aksiale stivhed beregnet for alle forsøg for de to strain gauges i længderetningen på hver side af profilet. I beregningerne er der som tidligere nævnt antaget enakset spændingstilstand, hvor Hooks lov er gældende. Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 [N] [N] [N] Strain gauge 1 1,64 1,64 1,64 Strain gauge 2 1,74 1,75 1,74 Tabel 6.1 Den aksiale stivhed E 1 A 1 i bjælkens længderetning. I tabel 6.2 er de tilhørende korrelationskoefficienter angivet. Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 Strain gauge 1 0,9998 0,9996 0,9998 Strain gauge 2 1,0000 0,9999 0,9999 Tabel 6.2 Korrelationskoefficienten R for den aksiale stivhed i bjælkens længderetning. 73

76 6. Fastlæggelse af materialeparametre Af korrelationskoefficienterne fremgår det, at der er en næsten perfekt lineær sammenhæng mellem normaltøjningen i længderetningen og den påførte last. Ud fra forsøgsresultaterne findes en middelværdi, spredning og variationskoefficient for den aksiale stivhed. Middelværdien er givet ved hvor n er antal målte værdier [ ] x i er de målte værdier [ ] X = 1 n Ved indsættelse i formel (6.2) findes E 1 A 1 = 1, N. n x i (6.2) i=1 Spredningen er givet ved S = 1 n 1 n i=1 (x i X) 2 (6.3) Ved indsættelse i formel (6.3) findes S = 0, N. Variationskoefficienten findes ud fra X og S COV = S X (6.4) Ved indsættelse i formel (6.4) findes COV = 0, 033. [22, s ] Det bemærkes, at den fundne middelværdi for den aksiale stivhed udelukkende er baseret på tre forsøg, på samme element, og derfor ikke kan vurderes som repræsentativ for hele glasfiberbjælken. Af variationskoefficienten fremgår det, at der er forholdvis lille forskel på de fundne aksiale stivheder. Afvigelsen kan skyldes tolerancer ved forsøgsudstyret, at strain gaugesene kan være placeret skævt i forhold til længderetningen eller skævheder i elementet. Ved en visuel iagttagelse af elementet fremgår det, at strukturen i materialet er meget uens. Dette kan sammen med skævheder og det relativt korte og brede element bevirke, at der ikke er opstået enakset spændingstilstand i elementet, som antaget. Poissons forhold ν 12 Ved at optegne den målte normaltøjning i tværretningen ε 22 som funktion af den målte normaltøjning i længderetningen ε 11, og bestemme hældningen af den bedste rette linie mellem målepunkterne, findes Poissons forhold ν 12. Dette er gjort i bilag F.1.2 og Poissons forhold for de tre forsøg, for hver af de to tøjninger i længderetningen kombineret med hver af de to tøjninger i tværretningen, er vist i tabel 6.3. Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 [ ] [ ] [ ] Strain gauge 1 og 3 0,221 0,225 0,222 Strain gauge 1 og 4 0,224 0,219 0,216 Strain gauge 2 og 3 0,234 0,240 0,235 Strain gauge 2 og 4 0,237 0,234 0,230 Tabel 6.3 Poissons forhold ν 12 i bjælkens længderetning. 74 Der kunne være bestemt en enkelt værdi for ν 12 pr. forsøg ved at midle normaltøjningerne i hhv. længdeog tværretningen inden sammenhængen mellem disse blev bestemt. En midling af de tre resultater, der ville fremkomme herved, vil dog give samme middelværdi for Poissons forhold som middelværdien for værdierne i tabel 6.3. I tabel 6.4 er korrelationskoefficienterne til de fundne Poissons forhold angivet.

77 6.2 Materialeparametre på langs af bjælken Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 Strain gauge 1 og 3 0,9992 0,9997 0,9992 Strain gauge 1 og 4 0,9996 0,9998 0,9993 Strain gauge 2 og 3 0,9993 0,9985 0,9996 Strain gauge 2 og 4 0,9993 0,9996 0,9994 Tabel 6.4 Korrelationskoefficient R for Poissons forhold i bjælkens længderetning. Ud fra tabel 6.4 fremgår det, at der er god lineær sammenhæng mellem tøjningerne i længde- og tværretningen. Ved indsættelse af resultaterne fra tabel 6.3 i formel (6.2) findes middelværdien ν 12 = 0, 228. Ligeledes findes spredningen ved indsættelse i formel (6.3) til S = 0, 0078 og variationskoefficienten bestemmes ved indsættelse i formel (6.4) til COV = 0, 034. Den fundne middelværdi kan anvendes som et estimat for Poissons forhold, men kan ikke vurderes som repræsentativ for hele glasfiberbjælken. Dette skyldes, at middelværdien kun er bareset på tre forsøg på det samme element og at det er erfaret, at fiberlaget i bjælken varierer meget fra side til side. Af variationskoefficienten fremgår det, at der er forholdvis lille forskel på de fundne Poissons forhold. Afvigelsen kan være forårsaget af de samme fejlkilder som nævnt ved bestemmelsen af den aksiale stivhed A 1 E Bøjningsstivhedsforsøg Bøjningsstivheden på langs af bjælken findes ved at udskære en side af profilet med dimensionerne l b h på mm. For at undersøge størrelsen af E 1 I 1 laves et bøjningsforsøg, hvor sammenhængende værdier mellem udbøjning og belastning måles. Elementet indspændes i den ene ende, så den frie længde bliver 302mm, og belastes af lodder i den anden ende. Udbøjningen måles vha. en flytningsmåler. Der belastes med lodder fra 0 1, 607kg i trin af ca. 0, 4kg. Den anvendte ytningmåler er af typen LVDT, Induktiv Standard Transducer, og har et måleområde på ±10mm. Flytningsmålerens tolerance er på ±1, 5%. Ved opsamlingen af data anvendes en HBM UGR 60, der omregner ændringen i spænding i ytningsmåleren til en ytning, og angiver denne i mm. Elementet og forsøgsopstillingen kan ses på figur 6.2. Figur 6.2 Forsøgsopstilling for bøjningsstivhedsforsøg i længderetningen. P angiver lasten, mens F angiver en flytningsmåler. Mål i mm. I forsøget forudsættes det, at der udelukkende forekommer bøjning i elementet, hvilket vurderes at være en rimelig forudsætning, idet elementet er forholdsvis langt og slankt. Der er dog risiko for vridning, hvis der optræder skævheder i elementet. Det er desuden forudsat, at elementet virker som en udkraget bjælke, hvilket ikke er opfyldt, hvis kæberne ikke virker som en tilstækkelig indspænding. Bøjningsstivheden af materialet afhænger af, hvor fibrene er placeret i tværsnittet, hvilket ikke har betydning for den aksiale stivhed. Ved en sammenligning af den aksiale stivhed E 1 A 1 og bøjningsstivheden E 1 I 1 kan det bestemmes, hvorledes fibrene er placeret i glasfibermaterialet, og elasticitetsmodulet på langs af bjælken kan bestemmes. 75

78 6. Fastlæggelse af materialeparametre Bøjningsstivhed E 1 I 1 Ved at optegne kraften, svarende til en given belastning, som funktion af udbøjningen, og bestemme hældningen af den bedste rette linie gennem disse målepunkter, beregnes bøjningsstivheden E 1 I 1 på langs af glasfiberen. Dette er gjort i bilag F.2 og bøjningsstivheden, for hver af de udførte forsøg, er vist til venstre i tabel 6.5. Desuden er den tilhørende korrelationskoefficient vist til højre i tabel 6.5. Bøjningsstivhed, E 1 I 1 [Nmm 2 ] 10 7 Korrelationskoefficient R [ ] 2,84 1,0000 2,89 1,0000 2,89 0,9999 2,84 0,9999 2,87 1,0000 Tabel 6.5 Til venstre: Bøjningsstivheden i bjælkens længderetning. Til højre: Korrelationskoefficienten for bøjningsstivheden. Af korrelationskoefficienterne fremgår det, at der er fuldstændig lineær sammenhæng mellem udbøjningen og den påførte last i forsøgene. Ud fra formel (6.2) og forsøgsresultaterne findes en middelværdi på E 1 I 1 = 2, Nmm 2. Tilsvarende findes en spredning på S = 0, Nmm 2 og en variationskoefficent på COV = 0, 009 ved indsættelse i hhv. formel (6.3) og formel (6.4). Ligesom det var gældende ved trækforsøget og materialeparametrene fundet derudfra, kan middelværdien for bøjningsstivheden ikke betragtes som repræsentativ for hele bjælken, idet fiberlaget i bjælken varierer meget fra side til side. Variationen i bøjningsstivheden er meget lille og afvigelsen kan skyldes tolerancer ved flytningsmålerne og fejlkalibrering af måleudstyret. Hermed menes, at flytningsmåleren blev nulstillet mellem hvert forsøg, selvom prøveemnet ikke var helt tilbage i udgangspositionen Bestemmelse af elasticitetsmodul E 1 og ækvivalent tykkelse t 1 Med kendt aksial stivhed E 1 A 1 og bøjningsstivhed E 1 I 1, på langs af bjælken, kan den ækvivalente tykkelse af profilet bestemmes. Det antages, at fibrene ligger i et lag i midten og på begge sider af fibrene forekommer der matrixmateriale. Denne opbygning af materialet ækvivaleres med en homogen plade med tykkelsen t 1 og stivheden E 1. Formålet med dette er, at finde en samlet ensformig stivhed for hele materialet. På figur 6.3 ses en illustration af hvordan det kompositte materiale med fordelingen af stivheden E og tykkelsen t ækvivaleres med en homogen plade med tykkelsen t 1 og stivheden E 1. Figur 6.3 Det kompositte materiale, der ækvivaleres med en homogen plade. Den ækvivalente tykkelse bestemmes ud fra middelværdierne af E 1 A 1 og E 1 I 1. Den aksiale stivhed og 76

79 6.3 Materialeparametre på tværs af bjælken bøjningsstivheden kan udtrykkes ved EA = E t b1 1 3 EI = E t b2 12 hvor (6.5) (6.6) b1 er bredden af elementet ved bestemmelsen af EA [mm] b2 er bredden af elementet ved bestemmelsen af EI [mm] Med en kendt E1 A1, E1 I1 og bredde af de to forsøgselementer er t den eneste ubekendte faktor. Den ækvivalente tykkelse er bestemt i bilag F.3 og er t1 = 7, 42mm. En ækvivalent tykkelse på t1 < 8mm viser, at fibrene ligger samlet enten i midten eller ved kanten af materialet. Når den ækvivalente tykkelse er beregnet, kan det ækvivalerede materiales elasticitetsmodul på langs af bjælken beregnes. Dette gøres ved at indsætte t1 i udtrykket for E1 A1 eller E1 I1, hvorved samme resultat opnås. Dette er gjort i bilag F.3, og elasticitetsmodulet på langs af bjælken er bestemt til E1 = MPa. Ved bestemmelsen af den ækvivalente tykkelse i hver retning findes ikke nødvendigvis den samme tykkelse. Dette behandles nærmere i afsnit Materialeparametre på tværs af bjælken For at bestemme hhv. den aksiale stivhed E2 A2 på tværs af bjælken og Poissons forhold ν21 udføres et trykforsøg på et tværsnit af bjælken. Desuden udføres et bøjningsforsøg, ligeledes på et tværsnit, for at bestemme bøjningsstivheden E2 I2. Som ved bestemmelsen af materialeparametre på langs af bjælken bestemmes den ækvivalente tykkelse t2 af profilet samt elasticitetsmodulet på tværs af bjælken E2 ved at sammenholde E2 A2 og E2 I Trykforsøg Materialeegenskaberne på tværs af bjælken bestemmes ved at udskære et stykke af bjælketværsnittet, der har en længde på 50mm. For at forhindre over- og undersiden af profilet i at bøje ud limes et stålemne med epoxylim på over- og undersiden. Stålemnet belastes af en trykkraft, varierende fra 0 8kN. For at bestemme størrelsen af E2 A2 og ν21 måles normaltøjningerne, i hhv. tvær- og længderetningen ift. lastretningen, som funktion af lasten. Til måling af tøjningerne anvendes strain gauges, der limes på tværsnittet. På figur 6.4 ses nogle af strain gaugesene samt de stålemner, der er limet på profilet. Figur 6.4 Forsøgsopstilling fra laboratoriet for trykforsøget i tværretningen. Lasten påføres elementet vha. en Mohr & Federha Universial Static Testing Machine. Lasten angives i volt, hvor 1V = 3kN. Kalibreringen på denne maskine er tæt på 1. Til måling af tøjningerne anvendes 77

80 6. Fastlæggelse af materialeparametre metal strain gauges med GF = 2, 07. Disse har en tolerance på ±1%. Ved opsamlingen af data anvendes en HBM Spider 8, der vha. GF omregner ændringerne i modstandene i strain gaugesene til tøjninger, og angiver disse i microstrain. Der limes i alt otte strain gauges på emnet, fire på hver side, hvoraf der placeres én på hhv. yder- og indersiden, til måling af normaltøjningen i tværretningen ε 11, mens der placeres én på hver kant, til måling af normaltøjningen i længderetningen ε 22. Elementet og placeringen af strain gauges kan ses på figur 6.5. Figur 6.5 Forsøgsopstilling for trykforsøg i tværretningen. I det ideelle tilfælde opstår der enakset spændingstilstand i tværsnittets sider ved trykforsøget. Der er dog risiko for bøjning i siderne og at siderne i elementet er for korte til at spændingerne fordeles jævnt, hvilket kan have indflydelse på resultaterne. Resultaterne fra de otte strain gauges vurderes bedst ved at lave en graf, hvoraf sammenhængen mellem påført last og tøjning fremgår. På figur 6.6 er kraften som funktion af normaltøjningen i længderetningen, fra hhv. den ene og den anden side af tværsnittet optegnet for det ene af de udførte forsøg. Figur 6.6 Kraft som funktion af normaltøjningen i længderetningen på hver sin side af tværsnittet. 78 Grunden til at kurverne for tøjningerne i de to sider af profilet ikke har samme hældning kan være, at materialet er meget inhomogent, og der derfor ikke er samme antal fibre i de to sider. Det var tydeligt at se på bjælketværsnittet i laboratoriet, at det var inhomogent, og der var flere fibre i den ene side og mere matrixmateriale i den anden. Det viser sig, at forsøgsresultaterne fra den ene side af bjælketværsnittet foruden større hældning giver meget varierende resultater. Den ikke lineære sammenhæng mellem kraft og tøjning i den ene side af profilet kan skyldes, at der allerede inden forsøgets start var et brud i epoxylimen mellem stålemnet og glasfiberen fra et tidligere udført trækforsøg. Bruddet i epoxylimen fremstår som en åben revne, og er sandsynligvis opstået i den stærkeste side af profilet, da stivheden her er størst og deformationen

81 6.3 Materialeparametre på tværs af bjælken derfor sker i epoxylimen. Knækket på tøjningskurven på figur 6.6 kan skyldes, at lasten først påvirker elementet konstant, når revnen er sammensluttet. Herefter varierer tøjningen tilnærmelsesvis lineært, og som forventet er stivheden i denne side af profilet størst. Resultaterne fra den side af tværsnittet, hvor resultaterne er meget varierende, vurderes ikke anvendelige til en analyse af glasfibermaterialets egenskaber, og forkastes derfor. Af de resterende forsøgsresultater, dvs. fra den anden side af bjælketværsnittet, fremgår det, at elementet under hele forsøget er inden for det lineært elastiske område, ved en belastning på maksimalt 8kN. Den maksimale belastning er ligeledes valgt, så der ikke opstår 2. ordens effekter i form af søjlevirkning i profilets sider. Efter to forsøg, med varierende resultater for den ene side i profilet, drejes tværsnittet 180 om en lodret akse for at undersøge om afvigelserne i den ene side af profilet skyldes, at forsøgsudstyret trykker skævt. Ved dette forsøg svarer resultaterne til de første to forsøg, og skæv belastning af tværsnittet vurderes derfor ikke at være årsag til de varierende resultater. I det følgende behandles kun de to forsøg, hvor profilet er placeret på samme måde i forsøgsudstyret. Aksial stivhed E 2 A 2 Den påførte kraft optegnes som funktion af den målte normaltøjning i længderetningen ε 22, og hældningen af den bedste rette linie mellem målepunkterne bestemmes. Herudfra findes den aksiale stivhed på tværs af glasfiberbjælken jvf. Hooks lov. Dette er gjort i bilag F.4.1 og den aksiale stivhed, for hver af de to tilbageværende strain gauges, er vist i tabel 6.6. Forsøg 1 Forsøg 2 [N] [N] Strain gauge 1 7,79 7,82 Strain gauge 2 7,67 7,56 Tabel 6.6 Den aksiale stivhed i bjælkens tværretning E 2 A 2. I tabel 6.7 er de tilhørende korrelationskoefficienter angivet. Forsøg 1 Forsøg 2 Strain gauge 1 0,9985 0,9983 Strain gauge 2 0,9988 0,9986 Tabel 6.7 Korrelationskoefficienten R for den aksiale stivhed i bjælkens tværretning. Ud fra tabel 6.7 fremgår det, at der er god lineær sammenhæng mellem tøjningerne i længderetningen og den påførte last. Ud fra forsøgsresultaterne findes en middelværdi, en spredning og en variationskoefficient for den aksiale stivhed. Middelværdien findes jvf. formel (6.2) til E 2 A 2 = 7, N. Tilsvarende bliver spredningen S = 0, N og varitaionskoefficentetn COV = 0, 002 for de to forsøg jvf. hhv. formel (6.3) og formel (6.4). Den fundne middelværdi for den aksiale stivhed kan ikke vurderes som repræsentativ, idet den kun er baseret på to forsøg, på samme element, men den anvendes som et estimat for den aksiale stivhed. Af variationskoefficienten fremgår det, at der er en forholdsvis lille forskel på de fundne aksiale stivheder. Afvigelsen kan skyldes tolerancer ved forsøgsudstyret. Poissons forhold ν 21 Ved at optegne den målte normaltøjning i tværretningen ε 11 som funktion af den målte normaltøjning i længderetningen ε 22, i forhold til lastretningen, kan Poissons forhold ν 21 bestemmes. Dette gøres ved at optegne den bedste rette linie mellem målepunkterne og finde hældningen af denne, idet forholdet mellem tøjningen i tvær- og længderetningen angiver Poissons forhold. Dette er gjort i bilag F.4.2 og 79

82 6. Fastlæggelse af materialeparametre Poissons forhold, for hver af tøjningerne i længderetningen kombineret med hver af tøjningerne i tværretningen, er vist i tabel 6.8. ν 21 angiver tværekspansionen ved tryk i tværretningen. Forsøg 1 Forsøg 2 [ ] [ ] Strain gauge 1 og 3 0,047 0,046 Strain gauge 1 og 4 0,110 0,116 Strain gauge 2 og 3 0,046 0,045 Strain gauge 2 og 4 0,108 0,112 Tabel 6.8 Poissons forhold ν 21. I tabel 6.9 er de tilhørende korrelationskoefficienter angivet. Forsøg 1 Forsøg 2 Strain gauge 1 og 3 0,9932 0,9950 Strain gauge 1 og 4 0,9938 0,9984 Strain gauge 2 og 3 0,9936 0,9963 Strain gauge 2 og 4 0,9953 0,9984 Tabel 6.9 Korrelationskoefficienten R for Poissons forhold ν 21. Idet korrelationskoefficienterne i tabel 6.9 er tæt på én ved alle sammenhængende værdier af normaltøjningerne i hhv. længde- og tværretningen, er der god lineær sammenhæng mellem tøjningerne. Ved indsættelse af resultaterne i formel (6.2) findes middelværdien til ν 21 = 0, 079. Ligeledes findes spredningen til S = 0, 035 og variationskoefficienten til COV = 0, 443 ved indsættelse i hhv. formel (6.3) og formel (6.4) for de to forsøg. Middelværdien kan som tidligere nævnt ikke vurderes som repræsentativ for hele glasfiberbjælken, men kan anvendes som et estimat for Poissons forhold. Dette skyldes, at middelværdien kun er baseret på to forsøg på det samme element. Af variationskoefficienten ses det, at der er stor forskel på Poissons forhold i forsøgene. Forskellen skyldes, at normaltøjningerne i tværretningen på hhv. inder- og ydersiden er meget forskellige. Dette kan skyldes, at bjælketværsnittet pga. inhomogenitet udbøjer om både x- og z-aksen jvf. figur 6.7, hvilket vil sige, at deformationen på ydersiden af tværsnittet bliver større end på indersiden. Figur 6.7 Illustration af udbøjning om hhv. x- og z-aksen ved tryk. 80 Poissons forhold er beregnet for hhv. tværkontraktionen og tværekspansionen ved belastning i hhv. længde- og tværretningen. Det indbyrdes forhold mellem Poissons forhold og elasticitetsmodulerne på langs og tværs undersøges nærmere i afsnit 6.4.

83 6.3 Materialeparametre på tværs af bjælken Bøjningsstivhedsforsøg Bøjningsstivheden på tværs af bjælken bestemmes, ligesom i trykforsøget, ved at udskære et stykke af bjælketværsnittet, der har en længde på 50mm. For at undersøge størrelsen af E2 I2 laves et bøjningsforsøg, hvor sammenhængende værdier mellem normaltøjning på tværs af glasfiberbjælken ε 22 og belastning måles. Elementet indspændes i undersiden ved at lime et stålemne herpå med epoxylim. Til oversiden udformes et trækhoved bestående af en massiv stålplade forbundet, via fire bolte, til to stålklodser med et tværsnit på 20 20mm. På hver af stålklodserne svejses en mindre stålklods, med et tværsnit på 5 5mm, for at formindske kontaktfladen ved lastpåførslen. Trækhovedet påmonteres elementets overside således at den massive stålplade, der trækkes i, ikke er i berøring med bjælkens overside, mens de to stålklodser er inde i profilet, og påfører lasten i to flader på 5 50mm. De to store stålklodser kan vendes således, at den indbyrdes cc-afstand mellem de to mindre klodser er hhv. 35mm og 69, 5mm. Stålemnerne belastes af en trækkraft, varierende fra ca. 0 3kN. På figur 6.8 ses det trækhoved, der monteres på profilet. Figur 6.8 Forsøgsopstilling i laboratoriet for bøjningsstivhedsforsøget i tværretningen. Lasten påføres elementet vha. en Mohr & Federha Universial Static Testing Machine. Lasten angives i volt, hvor 1V = 3kN. Kalibreringen på denne maskine er tæt på 1. Til måling af tøjningerne anvendes metal strain gauges med GF = 2, 07. Disse har en tolerance på ±1%. Ved opsamlingen af data anvendes en HBM Spider 8, der vha. GF omregner ændringerne i modstandene i strain gaugesene til tøjninger, og angiver disse i microstrain. Der placeres to strain gauges på glasfiberemnet, én på hhv. yder- og indersiden af oversiden. Begge strain gauges påsættes, så der kan måles tøjninger på tværs af glasfiberbjælken. Elementet og forsøgsopstillingen kan ses på figur 6.9. Figur 6.9 Forsøgsopstilling for bøjningsstivhedsforsøg i tværretningen. 81

84 6. Fastlæggelse af materialeparametre Der ønskes udført et forsøg, hvor der forekommer ren bøjning i oversiden af forsøgselementet. Dette er sandsynligvis ikke tilfældet, idet oversiden har for små dimensioner til, at der kan optræde ren bøjning og noget af belastningen vil optages som forskydning. Det antages at bjælkeoversiden virker som en Bernoulli-Euler bjælke ved behandlingen af resultaterne, hvilket er en fejlkilde, hvis noget af belastningen optages ved forskydning. Ligesom på langs af bjælken kan det, ved en sammenligning af den aksiale stivhed E 2 A 2 og bøjningsstivheden E 2 I 2 på tværs af bjælken, bestemmes, hvorledes fibrene er placeret i glasfibermaterialet, og elasticitetsmodulet på tværs af bjælken kan bestemmes. Bøjningsstivhed E 2 I 2 Momentkurven for pladen i oversiden af forsøgselementet, hvor lasten påføres med en cc-afstand på hhv. 35mm og 69, 5mm, findes for en enhedslast i Trusslab. Oversidens krumning findes ud fra den målte normaltøjning ε 22. Ved at optegne momentet, svarende til en given belastning, som funktion af krumningen ved samme belastning, og bestemme hældningen af den bedste rette linie gennem disse målepunkter, findes bøjningsstivheden E 2 I 2 på tværs af glasfiberbjælken. Dette er gjort i bilag F.5 og bøjningsstivheden, for hver af de udførte forsøg, er vist i tabel I tabel 6.10 angiver forsøg 1 og 2 resultater for bøjningsstivheden fundet ved en cc-afstand på 35mm, mens forsøg 3 og 4 angiver bøjningsstivheden for en cc-afstand på 69, 5mm. Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 Forsøg 4 [Nmm 2 ] [Nmm 2 ] [Nmm 2 ] [Nmm 2 ] Strain gauge 1 2,54 2,53 1,62 1,62 Strain gauge 2 2,48 2,47 1,65 1,65 Tabel 6.10 Bøjningsstivheden i bjælkens tværretning E 2 I 2. I tabel 6.11 er de tilhørende korrelationskoefficienter angivet. Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 Forsøg 4 Strain gauge 1 0,9980 0,9983 0,9980 0,9983 Strain gauge 2 0,9972 0,9977 0,9978 0,9983 Tabel 6.11 Korrelationskoefficienten R for bøjningsstivheden i bjælkens tværretning. Ud fra tabel 6.11 fremgår det, at der er god lineær sammenhæng mellem krumning og moment. Der findes en middelværdi ud fra formel (6.2) på E 2 I 2 = 2, Nmm 2 for forsøg 1 og 2, og E 2 I 2 = 1, Nmm 2 for forsøg 3 og 4. Tilsvarende findes en spredning på hhv. S = 0, Nmm 2 og S = 0, Nmm 2 for hhv. forsøg 1 og 2 samt forsøg 3 og 4 ved indsættelse i formel (6.3). Endelig findes en variationskoefficient på hhv. COV = 0, 016 og COV = 0, 012 for hhv. forsøg 1 og 2 samt forsøg 3 og 4 ved indsættelse i formel (6.4). Middelværdierne kan ikke vurderes som repræsentative, idet der kun er udført to forsøg til bestemmelse af hvert E 2 I 2, men anvendes som estimater. Af variationskoefficenterne kan det ses, at der er en forholdsvis lille forskel på bøjningsstivhederne i de to tilfælde. Afvigelserne kan skyldes tolerancer i måleudstyret. Forskellen på de to middelværdier skyldes, at afstanden mellem stålklodserne, hvor lasten påføres, varieres. Når cc-afstanden mellem stålklodserne er stor, påføres kraften tæt på understøtningerne, hvorfor der ikke vil optræde så store momenter og udbøjninger i oversiden, men fortrinsvis træk i siderne af profilet. Når stålklodserne sidder tæt på hinanden, vil der opstå forholdsvis større momenter og udbøjninger i oversiden. Desuden er det erfaret, at stivheden i oversiden og siderne er forskellige i forsøgselementet, hvilket har indflydelse på hvordan oversiden deformerer. 82

85 6.4 Korrektion af materialeparametre De påsatte strain gauges giver en tøjning midlet over længden af strain gaugen. Når lasterne påføres tæt på hinanden er momentet forholdsvis større end når lasterne påføres længere fra hinanden. Dette bevirker, at der er større risiko for, at den målte tøjning, pga. midlingen, er for lille i forhold til den maksimale tøjning på midten, når lasterne er placeret tæt på hinanden Bestemmelse af elasticitetsmodul E 2 og ækvivalent tykkelse t 2 Med kendt aksial stivhed E 2 A 2 og bøjningsstivhed E 2 I 2, på tværs af bjælken, kan den ækvivalente tykkelse af profilet bestemmes. Ligesom den ækvivalente tykkelse på langs af bjælken bestemmes den ækvivalente tykkelse t 2 ud fra middelværdierne af E 2 A 2 og E 2 I 2. Det antages, at fibrene ligger i et lag i midten, og på begge sider af fibrene forekommer der matrixmateriale. Denne opbygning af materialet ækvivaleres med en homogen plade med tykkelsen t 2. Ved forsøgene på tværs af bjælken haves en middelværdi af E 2 A 2 og to middelværdier af E 2 I 2, da E 2 I 2 er fundet for en cc-afstand på hhv. 35mm og 69, 5mm. E 2 A 2 kombineres med hver E 2 I 2 hvorved to værdier for t 2 bestemmes. Den ækvivalente tykkelse er bestemt i bilag F.6 og er t 2 = 8, 83mm beregnet ud fra E 2 I 2 ved en cc-afstand på 35mm. Den ækvivalente tykkelse bestemt ud fra E 2 I 2 ved en cc-afstand på 69, 5mm er t 2 = 7, 13mm. En ækvivalent tykkelse på t 2 < 8mm viser, at fibrene ligger samlet enten i midten eller kanten af materialet, mens en ækvivalent tykkelse på t 2 > 8mm viser, at fibrene er fordelt f.eks. i yderkanterne ift. tykkelsen. Elasticitetsmodulet findes ud fra de to værdier af t 2. Dette gøres ved at indsætte t 2 i udtrykket for E 2 A 2 eller E 2 I 2. Herved findes elasticitetsmodulet på tværs af bjælken til hhv. E 2 = 8.730MPa og E 2 = MPa for hhv. t 2 = 8, 83m og t 2 = 7, 13mm. Beregningen er foretaget i bilag F Korrektion af materialeparametre Ved videre anvendelse af de fundne materialeparametre er det nødvendigt, at der er overensstemmelse mellem de indbyrdes afhængige parametre. Ligeledes er det en fordel, hvis den ækvivalente tykkelse af materialet er ens på langs og på tværs af materialet. Dette er dog ikke et krav, idet der kan skabes overensstemmelse i de to retninger ved at opbygge materialet som komposit. Laget kan opbygges komposit, hvis EA og EI er kendt i begge retninger, og der findes to ligninger med to ubekendte E og t, som begge kan justeres indtil materialet opfører sig, som målt ved forsøgene. Det ønskes dog at finde en ækvivalent tykkelse svarende til et homogent materiale ud fra de fundne materialeparametre, da dette kan indtastes direkte i Abaqusmodellen med last og understøtning modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning. For at opnå samme ækvivalente tykkelse på langs og på tværs tages udgangspunkt i resultaterne på langs af bjælken t 1 = 7, 42mm og E 1 = MPa. Ved korrektion af E 2 så t 2 = 7, 42mm findes E 2 = MPa for forsøg 1 og 2 og E 2 = MPa for forsøg 3 og 4. Disse to elasticitetsmoduler er i god overensstemmelse med hinanden og vægtes således at elasticitetsmodulet, der anvendes ved de videre beregninger er E 2 = MPa. Korrektionen er udelukkende sket ud fra den ækvivalente tykkelse. Indsættelse af t 2 = 7, 42mm og E 2 = MPa i EA og EI jvf. formel (6.5) giver derfor de korrekte værdier for den aksiale stivhed E 2 A 2, men ikke for bøjningsstivheden E 2 I 2. For det konkrete forsøg findes E 2 I 2 = 1, Nmm 2 ved anvendelse af den ækvivalente tykkelse og det korrigerede elasticitetsmodul. Denne værdi ligger mellem de to middelværdier for bøjningsstivheden fundet direkte ved forsøg og det fundne elasticitetsmodul accepteres derfor. For Poissons forhold skal der af pga. symmetri i stivhedsmatricen gælde følgende sammenhæng ν 12 E 1 = ν 21 E 2 ν 21 = ν 12 E 1 E 2 (6.7) For at undersøge, om sammenhængen i formel (6.7) er tilstede, ifølge forsøgsresultaterne, tages der igen udgangspunkt i resultaterne fra forsøgene til bestemmelse af materialeparametrene på langs af 83

86 6. Fastlæggelse af materialeparametre bjælken, ν 12 = 0, 228 og E 1 = MPa samt det netop fundne elasticitetsmodul på tværs af bjælken E 2 = MPa. Ved indsættelse af disse parametre i formel (6.7) findes ν 21 = 0, 082. Ud fra forsøget er Poissons forhold fundet til ν 21 = 0, 079. Der er således en afvigelse på ca. 2, 5% mellem det beregnede og det målte Poissons forhold. For at sikre overensstemmelse mellem alle de anvendte materialeparametre anvendes ν 21 = 0, 082 ved de videre beregninger. 6.5 Materialeparametre ved forsøg ift. Fiberline Composites A/S Ved bestemmelsen af materialeparametre på langs og på tværs af glasfiberbjælken, ud fra forsøgsresultater, er hhv. elasticitetsmodulerne og Poissons forhold bestemt. Det er fundet at elasticitetsmodulerne er E 1 = MPa E 2 = MPa I følge Fiberline Composites A/S er elasticitetsmodulerne E 1 = MPa E 2 = 8.500MPa [4] Ud fra disse resultater ses, at de målte elasticitetsmoduler er hhv. ca. 26% og 22% større end de oplyste elasticitetsmoduler. Dette er i god overensstemmelse med, at de oplyste værdier Fiberline Composites A/S er minimums værdier fra i henhold til klasse E23 i EN [25]. Ifølge en uvildig test, i overensstemmelse med EN 1990 Annex D, fra Institute of Steel Construction RWTH Aachen, er middelværdierne af elasticitetmodulerne i et profil produceret af Fiberline Composites A/S målt til E 1 = MPa E 2 = MPa [26] I forhold til disse elasticitetsmoduler er forsøgsresultaterne hhv. ca. 7% mindre og 2% større. Det vurderes derfor, at de fundne elasticitetsmoduler er realistiske. Ud fra forsøgene er Poissons forhold afstemt indbyrdes jvf. afsnit 6.4 og fundet til ν 12 = 0, 228 ν 21 = 0, 082 Ifølge Fiberline Composites A/S er disse ν 12 = 0, 23 ν 21 = 0, 09 [4] Poissons forhold fundet ved forsøg er hhv. ca. 1% og 9% mindre end de oplyste fra Fiberline Composites A/S. I betragtning af de usikkerheder, der var ved forsøgene, stemmer disse resultater godt overens. 84

87 6.6 Opsamling 6.6 Opsamling Under behandlingen af forsøgsresultaterne er der fundet en række materialeparametre for glasfiberbjælken. Ud fra et simpelt trækforsøg på et element, udskåret på langs af bjælken, er den aksiale stivhed E 1 A 1 fundet. Afvigelsen på de fundne forsøgsresultater er 3, 3%. Ud fra samme forsøg er tværkontraktionen fundet ved træk på langs af elementet. Afvigelsen ved bestemmelsen af Poissons forhold ν 12 er 3, 4%. Det vurderes, at de fundne afvigelser begge primært kan forklares med tolerancer på måleudstyret. For at bestemme bøjningsstivheden på langs af bjælken er et simpelt bøjningsforsøg udført. Dette er gjort ved at indspænde et element, udskåret på langs af bjælken, og belaste dette i den frie ende. Herved er E 1 I 1 bestemt med en afvigelse på 0, 9%. Denne afvigelse kan ligeledes være forårsaget af usikkerheder på måleudstyret og vurderes som ubetydelig. Ud fra materialets stivheder E 1 A 1 og E 1 I 1 er en ækvivalent tykkelse af profilet t 1 og et tilhørende elasticitetsmodul E 1 beregnet. Den aksiale stivhed E 2 A 2 på tværs af glasfiberbjælken er fundet ved et trykforsøg på et udsnit af bjælken. Ved forsøget blev en del af måleresultaterne forkastet, da disse var meget varierende. Ved de resterende resultater var afvigelsen på 0, 9%. Ud fra samme forsøg er tværkontraktionen for en belastning på tværs af bjælken bestemt. Ved bestemmelse af Poissons forhold ν 21 er afvigelsen 44, 3%. Afvigelsen ved E 2 A 2 kan skyldes tolerancer på måleudstyret, mens afvigelsen på ν 21 kan skyldes at siden grundet inhomogenitet bøjer ud om to akser. Bøjningsstivheden på tværs af glasfiberen er bestemt ved at udføre et trækforsøg på et bjælketværsnit vha. et specialfremstillet trækhoved udført i stål. Der er udført to versioner af forsøget for hvilke afvigelserne er hhv. 1, 6% og 1, 2%. Den fundne bøjningsstivhed E 2 I 2 varierer dog en del i de to versioner af forsøget. Dette skyldes sandsynligvis forskellen i statisk virkemåde, hvor der fortrinsvis opstår træk i det ene tilfælde og bøjning i det andet. Ud fra materialets aksiale stivhed E 2 A 2 og de to bøjningsstivheder E 2 I 2 er to ækvivalente tykkelser t 2 af profilet og to tilhørende elasticitetsmoduler E 2 beregnet. Det er vigtigt, at der er overensstemmelse mellem de indbyrdes afhængige materialeparametre. Parametrene i tværretningen korrigeres derfor, så der er sammenhæng med parametrene fundet på langs af bjælken. Under korrektionen af elasticitetsmodulet E 2 ift. den ækvivalente tykkelse t 1 fås nøjagtig samme værdi af E 2. Ved korrektion af Poissons forhold ν 21 findes en afvigelse på 2, 5% mellem den beregnede og den målte værdi, hvilket vurderes som ubetydeligt. De fundne materialeparametre sammenlignes med minimumsværdierne angivet af Fiberline Composites A/S og middelværdierne fra Fiberline Composites A/S, fundet ved en uvildig test. Materialeparametrene afviger med hhv. 7% og 2% ift. middelværdierne, hvilket vurderes som acceptable afvigelser på baggrund af de begrænsede forsøgsdata, der har været tilrådighed. 85

88

89 Kapitel7 Behandling af bøjningsforsøg Kapitlet indeholder en beskrivelse af fuldskala bøjningsforsøget udført i laboratoriet og de metoder der anvendes, samt behandling af de målte data. Det undersøges, om der er overensstemmelse mellem Abaqusmodellen med last og understøtning modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning og forsøgsresultaterne. 7.1 Anvendte metoder Der er udført et bøjningsforsøg af hele glasfiberbjælken, hvor der måles tøjninger og flytninger. Disse sammenlignes med værdierne fra den numeriske model af bjælken. Der er udarbejdet en arbejdstegning til forsøget, som kan ses på tegning 3. I bøjningsforsøget anvendes samme type strain gauges og flytningsmålere som beskrevet i afsnit 6.1. Endvidere benyttes rosetter til at måle forskydningstøjninger. Rosetterne består af tre strain gauges, der er placeret i forhold til hinanden som vist på figur 7.1. Gauge faktoren, der skal anvendes i formel (6.1), er 2, 0 for de anvendte rosetter. Figur 7.1 Orientering af rosetterne. 7.2 Bøjningsforsøg af hele bjælken Der udføres et bøjningsforsøg, hvor flytninger og tøjninger undersøges. I forsøget er bjælken understøttet 100mm fra bjælkens ender vha. stålemner. Understøtningen kan ses på figur 7.2 og udgøres øverst af et stålemne, hvor der er friktion mellem glasfiberbjælken og stålet, hvilket bevirker, at bjælken ikke kan flytte sig horisontalt. Under stålemnet ligger et mindre stålemne, hvor de flader, der ligger mod hinanden er belagt med teflon, hvorfor de to stålemner kan glide i forhold til hinanden. Nederst boltes en stålcylinder fast til stålemnet, og cylinderen giver mulighed for, at bjælken kan rotere omkring understøtningen, hvorfor der ikke kan optages moment. 87

90 7. Behandling af bøjningsforsøg Figur 7.2 Foto af understøtningen i forsøget. Bjælken belastes i tredjedelspunkterne og belastningerne påføres ligesom understøtningerne vha. stålemner. En af lastcellerne kan ses på figur 7.3. Den udgøres nederst af et stålemne, hvor der er friktion mellem stålemnet og glasfiberen, hvorved lasten ikke kan flytte sig i den horisontale retning. Ovenpå stålemnet placeres endnu et stålemne, hvor de to stålflader, der ligger mod hinanden er belagt med teflon, hvorfor stålemnerne kan glide i forhold til hinanden. Øverst placeres et stålemne, der kan rulle på det underliggende stålemne, således at lasten altid virker lodret. Der udføres i alt tre forsøg. I de to første forsøg påføres en belastning i trin af 1kN op til 11kN, hvorefter bjælken aflastes i trin. Det sidste forsøg er et brudforsøg, hvor belastningen påføres i trin á 2kN op til 10kN, á 1kN op til 16kN og herefter á 0, 5kN til der opstår brud. Den anførte belastning er pr. lastcelle. Figur 7.3 Foto af en lastcelle i forsøget. 88 Under belastningen af glasfiberbjælken blev det erfaret, at der indtraf brud ved en belastning på 41, 5kN pr. lastcelle. Det skal dog bemærkes, at bjælken forinden var begyndt at knage, og at bruddet ikke indtraf øjeblikkeligt efter de 41, 5kN blev påført, men først efter nogle minutter. Det er således muligt, at bjælken ville have brudt ved en mindre belastning, hvis denne havde været påført over en længere periode. Bruddet i bjælken opstod ikke, som forventet, som et bøjningsbrud i bjælkemidten, men under den ene lastcelle som en form for forskydningsbrud. Det bør derfor overvejes at lave en anden forsøgsopstilling, hvor lasterne påføres anderledes. På bjælken er der monteret seks flytningsmålere, der direkte måler nedbøjningen af bjælken ved belastningen. Desuden er der monteret 16 enkelt gauges og fire rosette gauges. Der er placeret otte gauges, der i par måler tøjningerne i længderetningen ε 11 hhv. over- og under bjælken. Desuden er der placeret en enkelt gauges i tværretningen på profilets fire sider, hvorudfra en eventuel Braziereffekt kan analyseres.

91 7.3 Udbøjning ved 10kN Rosette gauges består af tre enkelt gauges og er placeret på siden af bjælken. For at kontrollere målingerne fra rosetterne påsættes en enkelt gauge på modsatte side af bjælken, hvor der sidder rosetter. Disse enkelt gauges er placeret i længderetningen. På figur 7.4 ses en skitse af forsøgsopstillingen og placeringen af flytningsmålere, enkelt gauges og rosetter. For en mere detaljeret illustration henvises der til tegning 3. Figur 7.4 Forsøgsopstilling for bøjningsforsøg. Mål i mm. I bøjningsforsøget påføres de to laster vha. 2 stk. 200kN lastceller. Flytningerne måles vha. ytningmålere af typen LVDT, Induktiv Standard Transducer. De to ytningsmålere i midten har et måleområde på 100mm, og er kalibreret, så de har en tolerance på ±0, 7%. De øvrige ytningsmålere har et måleområde på 50mm, og er kalibreret, så de har en tolerance på ±0, 5%. Til måling af tøjningerne anvendes metal strain gauges i form af hhv. enkelt gauges og rosetter. Disse har en gauge faktor på hhv. GF = 2, 07 og GF = 2, 0, og en tolerance på ±1%. Den ene last føres igennem en HBM Strain Indikator, hvor lasten angives i kn med én decimals nøjagtighed og noteres manuelt. De øvrige data, dvs. last fra den anden lastcelle, udbøjninger fra seks ytningsmålere og tøjninger fra 28 enkelt gauges og rosetter, opsamles vha. en HBM UGR 60. Ved hjælp af gauge faktorerne omregnes ændringerne i modstandene i strain gaugesene til tøjninger, og disse angives i microstrain. Ligeledes omregnes ændringerne i spændingerne i ytningsmålerne til ytninger, og disse angives i mm. Omregningerne foretages i HBM UGR 60'eren og resultaterne gemmes i en data l. I det følgende sammenlignes udbøjninger og tøjninger fundet ved forsøg med Abaqusmodellen hvor last og understøtning er modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning beskrevet i afsnit Det er derfor denne model der henvises til, når der står Abaqusmodel. Det bemærkes, at der i Abaqusmodellen er anvendt matarialeparametre fra Fiberline Composites A/S. Beregningerne i dette kapitel er foretaget i MatLab, og beregningsprogrammerne samt inputfiler kan ses i mappen Fuldskalaforsøg på den vedlagte CD-ROM. 7.3 Udbøjning ved 10kN Udbøjningen i givne punkter hen over bjælken er målt vha. seks flytningsmålere. For de enkelte målepunkter kan der optegnes sammenhængende værdier mellem kraft og flytning i det givne punkt, og det er fundet, at sammenhængen kan beskrives lineært. Udbøjningerne i målepunkterne bestemmes ud fra den bedste rette linie ved en belastning på 10kN og sammenlignes med udbøjningen, der ligeledes findes ved 10kN ud fra Abaqusmodellen. I tabel 7.1 ses udbøjningen fra Abaqusmodellen og i målepunkterne på bjælken fundet ved de tre forsøg. Desuden angives middelværdien bestemt ud fra formel (6.2) og spredningen bestemt ud fra formel (6.3) i tabel 7.1 for forsøgene. Flytningsmålerne er nummereret i tabel 7.1, og placeringen af de enkelte flytningsmålere kan både ses på figur 7.5 og tegning 3. 89

92 7. Behandling af bøjningsforsøg Figur 7.5 Placeringen af flytningsmåler 1 til 4. Flytningsmåler 5 og 6 er ikke vist, da bjælken er symmetrisk. Mål i mm. Flytningsmåler [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] Abaqusmodel 0, 0 12, 3 24, 5 25, 7 12, 3 0, 0 Forsøg 1 0,13 7,76 15,21 15,79 7,81 0,30 Forsøg 2 0,11 7,79 15,30 15,87 7,90 0,37 Forsøg 3 0,18 7,58 14,76 15,44 7,55 0,26 Middelværdi 0,14 7,71 15,09 15,7 7,75 0,31 Spredning 0,03 0,11 0,29 0,23 0,18 0,05 Tabel 7.1 Udbøjningen målt ved de enkelte flytningsmålere i hhv. Abaqusmodellen og de tre forsøg. De fundne middelværdier for udbøjningen kan ikke vurderes som repræsentative, idet de kun er baseret på tre forsøg, men de anvendes som estimater for udbøjningen. Ud fra middelværdierne og spredningerne kan variationskoefficienten bestemmes ud fra formel (6.4). Variationskoefficenterne kan ses i tabel ,241 0,015 0,019 0,015 0,023 0,173 Tabel 7.2 Variationskoefficient COV for udbøjningerne i de givne punkter. Ud fra tabel 7.2 ses det, at der er forholdsvis lille afvigelse i de fundne udbøjninger i de tre forsøg, bortset fra over understøtningerne ved flytningsmåler 1 og 6. De fundne afvigelser kan skyldes de angivne tolerancer for flytningsmålerne i afsnit 7.2. De øgede varationskoefficienter ved understøtningerne kan skyldes, at tolerancerne for flytningsmålerne får større indflydelse, idet flytningerne over understøtningerne er tæt på nul. I tabel 7.3 er korrelationskoefficienter tilhørende udbøjningerne som funktion af lasten angivet Forsøg 1 0,7374 0,9993 0,9991 0,9993 0,9990 0,9371 Forsøg 2 0,6110 0,9987 0,9983 0,9987 0,9981 0,8782 Forsøg 3-0,9388 0,9998 0,9996 0,9996 0,9992 0,9786 Tabel 7.3 Korrelationskoefficent R for udbøjningerne i de givne målepunkter. 90 Ud fra tabel 7.3 fremgår det, at der generelt er god lineær sammenhæng mellem lasten og udbøjningen. Flytningerne ved understøtningerne formodes at være nul, hvilket er undersøgt i forsøget ved at placere en flytningsmåler over hver understøtning, hhv. flytningsmåler 1 og 6. I tabel 7.1 ses det, at udbøjnin-

93 7.3 Udbøjning ved 10kN gen over understøtningerne ikke helt er nul. Dette kan bl.a. skyldes, at understøtningerne under forsøget flyttede sig i vandret retning, hvilket også kan have medført en lodret flytning. Flytningsmålerne er placeret på bjælken, så de følger bjælken under deformationen. Dette bevirker, at flytningsmålerne står skråt på den deformerede bjælke og derfor ikke måler lige over understøtningerne. Størrelsen af udbøjningerne over understøtningerne vurderes som værende ubetydelige og de øvrige udbøjninger korrigeres derfor ikke for disse. Udbøjningen af bjælken optegnes ud fra middelværdierne angivet i tabel 7.1 og kan ses på figur 7.6. Kurven mellem punkterne er tilnærmet med et 2. grads polynomium. På figur 7.6 er udbøjningen fundet vha. Abaqusmodellen ligeledes optegnet. Figur 7.6 Udbøjningen af bjælken. På figur 7.6 og i tabel 7.1 kan det ses, at udbøjningen tilnærmelsesvis er symmetrisk omkring midten, som antaget i de analytiske og numeriske beregninger. Flytningsmåler 1 og 6 samt 2 og 5 er placeret symmetrisk, og afvigelserne mellem middelværdierne er hhv. 0, 17mm og 0, 04mm, hvilket vurderes som ubetydelige og kan skyldes tolerancerne for flytningsmålerne. Ud fra tabel 7.1 og figur 7.6 kan det ses, at målingerne i laboratoriet afviger med 39% på midten af bjælken ift. modellen fra Abaqus med last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning. I forsøgene til bestemmelse af materialeparametre er der fundet højere værdier af stivhederne, end de oplyste værdier af Fiberline Composites A/S, som er anvendt i Abaqusmodellen. I afsnit 6.5 er der fundet afvigelser i elasticitetsmodulerne E 1 og E 2 på hhv. 26% og 22%, hvilket kan beskrive en del af afvigelsen mellem de målte udbøjninger og de fundne udbøjninger i Abaqusmodellen. Desuden er det muligt, at forsøgene til bestemmelse af materialeparametre er udført på en svagere bjælke end bjælken anvendt til bøjningsforsøget. Er dette tilfældet, kan forskellen i elasticitetsmoduler forklare hele forskellen i udbøjningen. Afvigelsen kan desuden skyldes, at materialet er inhomogent og derfor ikke har samme stivhed over hele længden, som antaget i modelleringen i Abaqus. Det er erfaret ved at udføre et forsøg, hvor bjælken drejes 90 om bjælkeaksen, at stivheden ændrer sig alt efter, hvordan bjælken vender. Dette kan have indflydelse på de målte resultater. Bjælken i forsøget, hvor udbøjningerne er målt, er orienteret, så stivheden er størst, vurderet ud fra en visuel betragtning, hvor det fremgår at der er flest fibre i toppen og bunden af tværsnittet. Dette kan ligeledes forårsage de små målte udbøjninger ift. Abaqusmodellen. Det er undersøgt, om der er lineær sammenhæng mellem last og udbøjning under hele forsøget, hvor bjælken belastes til brud. På figur 7.7 ses en graf over sammenhængen mellem last og udbøjning på midten af bjælken i brudforsøget. 91

94 7. Behandling af bøjningsforsøg Figur 7.7 Udbøjningen på midten af bjælken som funktion af lasten. På figur 7.7 kan det ses, at der er tilnærmelsesvis lineær sammenhæng mellem last og udbøjning under hele brudforsøget. Der er dog en lille krumning på grafen, hvilket kan skyldes, at der optræder Braziereffekt. Denne vurderes dog ikke at være dominerende. Braziereffekten i forsøget behandles yderligere i afsnit Tøjninger ved 10kN Normaltøjningerne i længderetningen ε 11 i givne punkter hen over bjælken er målt vha. strain gauges. Sammenhængen mellem kraft og normaltøjning i længderetningen i et givent punkt er optegnet, og det er fundet, at denne kan beskrives lineært. Normaltøjningerne i længderetnigen bestemmes ved en belastning på 10kN for at kunne sammenligne med Abaqusmodellen. Dette gøres ligesom i afsnit 7.3 ud fra den bedste rette linie. I tabel 7.4 ses normaltøjningerne på langs fra Abaqusmodellen og i målepunkterne på bjælken fundet ved de tre forsøg. Desuden angives middelværdien bestemt ud fra formel (6.2) og spredningen bestemt ud fra formel (6.3) i tabel 7.4. Placeringen af de enkelte strain gauges kan ses på figur 7.8 og på tegning 3. Figur 7.8 Placeringen af udvalgte strain gauges til måling af normaltøjninger i længderetningen. Mål i mm mm 1.200mm 1.300mm 1.700mm [ ] [ ] [ ] [ ] Abaqusmodel 3, 13/ 3, 11 3, 11/ 3, 07 1, 55/ 1, 54 Forsøg 1 1, 850/ 1, 886 1, 785/ 1, 777 1, 797/ 1, 867 0, 882/ 0, 870 Forsøg 2 1, 861/ 1, 895 1, 795/ 1, 787 1, 820/ 1, 876 0, 887/ 0, 888 Forsøg 3 1, 811/ 1, 864 1, 774/ 1, 735 1, 770/ 1, 827 0, 868/ 0, 842 Middelværdi 1, 841/ 1, 880 1, 785/ 1, 766 1, 796/ 1, 857 0, 879/ 0, 867 Spredning 0, 026/0, 018 0, 011/0, 028 0, 025/0, 026 0, 010/0, 024 Tabel 7.4 De målte normaltøjninger i længderetningen i hhv. Abaqusmodellen og de tre forsøg. Det før skråstregen er på oversiden og det efter skråstregen er på undersiden. 92

95 7.4 Tøjninger ved 10kN De fundne middelværdier for normaltøjningerne på langs kan ikke vurderes som repræsentative, idet de kun er baseret på tre forsøg, men de anvendes som estimater for normaltøjningerne på langs. Ud fra middelværdierne og spredningerne kan variationskoefficienten bestemmes ud fra formel (6.4). Variationskoefficienterne kan ses i tabel mm 1.200mm 1.300mm 1.700mm 0,014/-0,010 0,006/-0,016 0,014/-0,014 0,011/-0,027 Tabel 7.5 Variationskoefficient COV for normaltøjningerne i længderetningen i de givne punkter. Det før skråstregen er på oversiden og det efter skråstregen er på undersiden. Ud fra tabel 7.5 ses det, at afvigelsen i de fundne normaltøjninger i længderetningen i de tre forsøg er lille. De fundne afvigelser kan skyldes de angivne tolerancer for strain gauges i afsnit 7.2. I tabel 7.6 er korrelationskoefficienterne tilhørende normaltøjningerne i længderetningen, i udvalgte punkter, angivet mm 1.200mm 1.300mm 1.700mm Forsøg 1 0, 9993/0, , 9996/ , 9993/0, , 9994/0, 9977 Forsøg 2 0, 9989/0, , 9993/0, , 9988/0, , 9988/0, 9971 Forsøg 3 0, 9998/1, , 0000/0, , 9998/0, , 9999/0, 9994 Tabel 7.6 Korrelationskoefficenter R for normaltøjningerne i længderetninge. Det før skråstregen er på oversiden og det efter skråstregen er på undersiden. I tabel 7.6 fremgår det, at der tilnærmelsesvis er fuldstændig lineær sammenhæng mellem lasten og normaltøjningerne i længderetningen. Ud fra tabel 7.4 kan det ses, at tøjningerne fra laboratorieforsøget er mindre end tøjningerne fra modellen i Abaqus med last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning. Afvigelsen kan skyldes tolerancer på strain gauges og iøvrigt de samme forhold, som er gældende ved udbøjningen jvf. afsnit Undersøgelse af momentfordeling På baggrund af afsnit 2.4 forventes det, at der er konstant moment mellem lasterne og lineært varierende moment mellem last og understøtning. Det undersøges derfor, ud fra de målte normaltøjninger i længderetningen ε 11, om denne momentfordeling eksisterer i forsøget. Momenterne bestemmes ud fra Naviers formel givet ved formel (7.1), idet der ikke er noget bidrag fra normalkraft. I formel (7.1) antages det, at normalspændingen σ kan bestemmes ud fra Hooks lov for enakset spændingstilstand jvf. formel (7.2), idet bredden af bjælken er lille i forhold til længden, og idet fibrene ligger i længderetningen, hvor også tøjningerne måles. Det vurderes derfor som en acceptabel antagelse, at der ses bort fra normaltøjningerne i tværretningen ε 22 ved bestemmelsen af normalspændingerne. σ = M W el (7.1) σ = E ε (7.2) I beregningerne anvendes middelværdierne af normaltøjningerne i længderetningen, herved menes at de absolutte værdier for over- og undersiden midles. For elasticitetsmodulet anvendes E 1 = MPa bestemt i afsnit I tabel 7.7 ses momenterne bestemt i givne punkter på bjælken samt momenterne bestemt analytisk i afsnit

96 7. Behandling af bøjningsforsøg 1.100mm 1.200mm 1.300mm 1.700mm Beregningsmodel [knm] [knm] [knm] [knm] Analytisk Forsøg 3, 84 4, 31 4, 43 2, 12 Tabel 7.7 Momentet i udvalgte punkter på bjælken ud fra hhv. analytiske beregninger samt forsøget. I tabel 7.7 ses det, at momentet er tilnærmelsesvis konstant mellem lasterne, dvs. i de tre første punkter angivet i tabel 7.7, mens momentet i det sidste punkt er ca. halvdelen af momentet mellem lasterne, hvilket er i overensstemmelse med momentfordelingen fundet i afsnit 2.4. Momenterne fundet ud fra tøjningerne målt i forsøget afhænger af bjælkens stivhed, der, som tidligere forklaret, er væsentlig større end antaget. Momentet beregnet analytisk afhænger derimod kun af lasten og bjælkens statiske system. Dette kan være årsagen til, at momentet fundet ud fra forsøget generelt er en del mindre end momentet beregnet analytisk. Afvigelsen kan desuden skyldes, at der ikke er enakset spændingstilstand, som antaget ved beregningen af momentet. Endelig var strain gaugesene, der målte tøjningerne, placeret midt på bjælken, hvilket kan forårsage, at de målte tøjninger er lidt mindre end de ville have været, hvis de blev målt tættere på bjælkens sider. Dette skyldes, at stivheden i profilet er størst i siderne, hvor det effektive areal optræder. Grunden til, at momentet mellem lasterne ikke er fuldstændig konstant kan være, at der opstår randeffekter ved understøtningerne. I forbindelse med, at bjælken belastes vil bjælkeoversiden få en lokal nedbøjning på tværs af bjælkeaksen. Når bjælkeoversiden bøjer ned i denne retning vil det, fordi materialet er sammenhængende, medføre en nedbøjning i bjælkeoversiden på langs af bjælken. Randeffekten er illustreret på figur 7.9 Figur 7.9 Skitsering af randeffekt, som medfører nedbøjning af bjælkeoversiden. Nedbøjningen på langs i bjælkeoversiden medfører, at der opstår normaltøjninger i længderetningen, som ikke har betydning globalt set, men det kan opfattes som en form for tillægstøjninger, der har indflydelse på det beregnede moment. Dette kan være forklaringen på, at momentet vokser lidt fra midten og ind mod understøtningerne Undersøgelse af forskydningskraftfordeling Det undersøges, hvorvidt forskydningskraftfordelingen fundet analytisk i afsnit 2.4 stemmer overens med de forskydningskræfter, der kan bestemmes ud fra de målte forskydningstøjninger. Forskydningstøjningerne hen over bjælken kan bestemmes ud fra de tøjninger, som rosetterne måler under bøjningsforsøget. I rosetterne er der målt tre tøjninger i forskellige retninger. Sammenhængen mellem belastning og tøjning i et givent punkt og en given retning er optegnet, og det er fundet, at denne tilnærmelsesvis kan beskrives med en del af et 2. grads polynomium når hele brudforsøget betragtes. Ved små belastninger forekommer der en lineær sammenhæng mellem belastning og tøjning, men i forbindelse med at der opstår 2. ordens effekter beskrives sammenhængen bedst ved et 2. grads polynomium. Her er

97 7.4 Tøjninger ved 10kN det dog valgt udelukkende at tilnærme sammenhængen med et 2. grads polynomium, idet dette bedst beskriver den samlede kurve. Tøjningerne bestemmes ved en belastning på 10kN. Der er, som tidligere nævnt, udført tre forsøg, hvor bjælken i de to første forsøg er belastet til 11kN, og bjælken i det sidste forsøg er belastet til brud. Ved at betragte målingerne fra de tre forsøg er det fundet, at rosetterne i de to første forsøg giver variationer, som ikke kan forklares. Derfor behandles udelukkende forsøget, hvor bjælken er belastet til brud. I tabel 7.8 ses tøjningerne i de enkelte rosetter på bjælken i brudforsøget fundet ud fra de tilnærmede 2. grads polynomier ved en belastning på 10kN. I tabel 7.8 er tolerancerne desuden angivet og viser, hvor godt tøjninger ved 10kN er beskrevet ud fra et 2. grads polynomium. På figur 7.1 ses orienteringen af rosetterne, mens placeringen af rosetterne på bjælken kan ses på tegning mm [ ] 1.300mm [ ] A B C A B C Tøjning 29,860 13,502 15,459 20,269 3,929 68,578 Tolerance ±1, 156 ±3, 452 ±1, 617 ±3, 482 ±3, 390 ±4, mm [ ] 1.700mm [ ] A B C A B C Tøjning -7,72 744, ,423 83,65 786,324 88,0122 Tolerance ±3, 451 ±29, 689 ±12, 640 ±2, 953 ±24, 826 ±12, 918 Tabel 7.8 Tøjninger i rosetterne samt tolerancerne for hvor godt kurven er tilnærmet målingerne. Tøjningerne i rosetterne kan omregnes til tøjninger i bjælken ved anvendelse af formlen for transformation af tøjninger givet ved formel (7.3). I formel (7.3) anvendes den enkelte strain gauges vinkel med vandret, hvilke er angivet på figur 7.1. ε A ε B ε C = cos(β A ) 2 sin(β A ) 2 cos(β A ) sin(β A ) cos(β B ) 2 sin(β B ) 2 cos(β B ) sin(β B ) cos(β C ) 2 sin(β C ) 2 cos(β C ) sin(β C ) ε 11 ε 22 γ 12 (7.3) [27, note 10] Spændingerne i bjælken kan herefter bestemmes ved anvendelse af formel (7.4). ε 1 11 E ε 22 1 ν 21 E 2 0 = ν 12 1 E 1 E2 0 σ 11 σ 22 (7.4) γ τ 12 G I formel (7.4) anvendes materialeparametrene fundet ved forsøg jvf. afsnit 6.5. Beregningen i formel (7.3) og formel (7.4) er foretaget i et udarbejdet MatLab-program, der kan ses i mappen forskydningskraftforsoeg på vedlagte CD-ROM. Ud fra afsnit 2.4 forventes det, at der ikke er nogen forskydningskraft mellem lasterne og konstant forskydningskraft mellem last og understøtning. Det undersøges derfor, ud fra de fundne forskydningsspændinger, om denne forskydningskraftfordeling er tilstede i forsøget. Forskydningskraften i de enkelte målepunkter bestemmes ud fra Grasshoffs formel givet ved formel (7.5). 95

98 7. Behandling af bøjningsforsøg τ 12 = V z S y I y t (7.5) hvor Vz er forskydningskraften [N] S y er det statiske moment [mm 3 ] I y er bøjningsinertimomentet [mm 4 ] t er tykkelsen af profilet [mm] Grasshoffs formel er gældende ved åbne tyndfligede profiler, men på trods af at glasfiberbjælken er et lukket tyndvægget firkantprofil anvendes formlen, da profilet er symmetrisk og kan ækvivaleres med et I-profil. I beregningen af forskydningskraften anvendes den ækvivalente tykkelse jvf. afsnit 6.4 som t samt ved bestemmelsen af I y og S y. Inertimomentet bestemmes som i bilag A. Det statiske moment findes om midten af profilet, hvor dette og dermed forskydningsspændingen er størst. Dette er skitseret på figur 7.10, hvor det ligeledes kan ses, at der er et konstant og et varierende bidrag til forskydningsspændingen. Figur 7.10 Skitsering af forskydningsspændingsfordelingen samt arealer medvirkende til statisk moment. Den maksimale forskydningstøjning og dermed forskydningsspænding er kun fundet på den ene side af bjælken, hvorfor det statiske moment kun anvendes for en fjerdedel af profilet jvf. figur Dette medfører at kun den halve forskydningskraft beregnes ved indsættelse i formel (7.5). I tabel 7.9 er forskydningskraften derfor ganget med to for at få den totale forskydningskraft i bjælken. Beregningerne er foretaget i et udarbejdet MatLab-program, der kan ses i mappen forskydningskraft-forsoeg på vedlagte CD-ROM. I tabel 7.9 er forskydningskraften i givne punkter på bjælken angivet både for de analytiske beregninger jvf. afsnit 2.4 og forsøgsresultater mm 1.300mm 1.500mm 1.700mm Beregningsmodel [kn] [kn] [kn] [kn] Analytisk Forsøg 0, 13 0, 59 9, 99 10, 25 Tabel 7.9 Forskydningskraft i udvalgte punkter på bjælken. 96 I tabel 7.9 ses, at forskydningskraften i forsøget er tilnærmelsesvis nul mellem lasterne, dvs. i de to første punkter angivet i tabel 7.9. Desuden ses, at forskydningskraften er tilnærmelsesvis 10kN mellem last og understøtning, dvs. i de to sidste punkter. Afvigelserne i forskydningskræfterne mellem lasterne og mellem last og understøtning kan skyldes tolerancer for rosetterne jvf. afsnit 7.2.

99 7.5 Undersøgelse af Braziereffekt 7.5 Undersøgelse af Braziereffekt I bøjningsforsøget er der placeret fire strain gauges, én på hver side af profilet, på tværs af bjælken. Disse er placeret i snit A jvf. figur 7.11 og tegning 3. Figur 7.11 Udsnit af glasfiberbjælken, hvor placeringen af strain gauges i snit A fremgår. Mål i mm. Formålet med strain gaugesene er at undersøge, om der forekommer Braziereffekt i glasfiberbjælken. Først betragtes normaltøjningerne i tværretningen ε 22 ved en last på 10kN pr. lastcelle og derefter betragtes disse som funktion af den påførte last i brudforsøget Normaltøjningerne i tværretningen ved 10kN I forsøg 1 og 2, hvor der lastes op til 10kN antages normaltøjningerne i tværretningen ε 22 at variere lineært. Tøjningerne i de fire strain gauges fundet ved forsøg og i Abaqusmodellen, fundet ved 10kN, kan ses i tabel Desuden er middelværdien, beregnet ud fra formel (6.2), og spredningen, beregnet ud fra formel (6.3), angivet i tabel Det bemærkes, at der i Abaqusmodellen er anvendt matarialeparametre fra Fiberline Composites A/S. Venstre side Underside Højre side Overside [ ] [ ] [ ] [ ] Abaqusmodel -0,098 1,027-0,098-0,403 Forsøg 1-0,021 0,505-0,073-0,346 Forsøg 2-0,019 0,509-0,076-0,346 Middelværdi -0,020 0,507-0,075-0,306 Spredning 0,001 0,003 0,001 0,0004 Tabel 7.10 Normaltøjningerne i tværretningen på bjælkens fire sider i snit A jvf. tegning 3. Ud fra spredningen og middelværdien beregnes variationskoefficienten jvf. formel (6.4). Variationskoefficienterne kan ses i tabel Venstre side Underside Højre side Overside -0,076 0,007-0,019-0,001 Tabel 7.11 Variationskoefficienterne COV for normaltøjningerne i tværretningen på bjælkens fire sider i snit A jvf. figur Ud fra variationskoefficienterne ses det, at der er god overensstemmelse mellem måleresultaterne i forsøg 1 og 2. Korrelationskoefficienterne R til de målte tøjninger i de to forsøg kan ses i tabel Af disse fremgår det, at tøjningerne med god tilnærmelse er lineært afhængige af lasten. 97

100 7. Behandling af bøjningsforsøg Venstre side Underside Højre side Overside Forsøg 1-0,9175 0,9978-0,9833-0,9955 Forsøg 2-0,8551 0,9972-0,9872-0,9945 Tabel 7.12 Korrelationskoefficienterne R for normaltøjningerne i tværretningen på bjælkens fire sider i snit A jvf. figur I tabel 7.10 ses, at de absolutte værdier af de målte tøjninger generelt er mindre end de absolutte værdier af tøjningerne fundet i Abaqusmodellen. Dette skyldes sandsynligvis, at stivheden i bjælken er væsentligt større end stivheden anvendt i Abaqusmodellen. Ved hjælp af Abaqusmodellen undersøges det, om der kan antages enakset spændingstilstand så Hooks lov for enakset spændingstilstand kan anvendes til beregning af spændingerne. Dette gøres ved at omregne normaltøjningerne ε 22 fra modellen til spændinger σ 22 vha. Hooks lov for enakset spændingstilstand og sammenligne disse med spændingerne σ 22 udtrukket direkte fra Abaqus. Ved omregningen af tøjningerne fra Abaqusmodellen anvendes E 2 = 8.500MPa, da det er dette elasticitetsmodul, der anvendes i Abaqus og dermed det, der ligger til grund for spændingerne taget direkte fra Abaqus. Ved indsættelse i Hooks lov for enakset spændingstilstand, der er givet ved formel (7.2), beregnes spændingerne i tabel 7.13, hvor spændingerne fundet direkte i Abaqusmodellen ligeledes kan ses. Venstre side Underside Højre side Overside [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] Abaqusmodel - omregnet -0,833 8,729-0,833-3,426 Abaqusmodel - direkte udtræk -0,809 2,712-0,809-0,002 Tabel 7.13 Normalspændingerne i tværretningen på bjælkens fire sider i snit A jvf. figur Ud fra tabel 7.13 ses det, at spændingerne fundet vha. tøjningerne og direkte ud fra Abaqusmodellen med last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning afviger med knap 3% i bjælketværsnittets sider, men er meget forskellige fra hinanden i over- og undersiden. De store forskelle i spændinger kan skyldes, at der forekommer spændingsomlejringer i bjælken, hvilket ikke fremgår af tøjningerne. Det vurderes derfor, at Hooks lov for enakset spændingstilstand generelt er en for simpel metode til at beregne spændingerne i bjælken. Tøjningerne fra forsøget omregnes således ikke til spændinger. Det er kun ved forholdsvis små laster, at tøjningerne i tværsnittet med god tilnærmelse kan antages at variere lineært. I det følgende behandles derfor udviklingen af tøjningerne som funktion af den påførte last i brudforsøget Udviklingen af normaltøjninger i tværretningen Idet glasfiberbjælken belastes, forventes det, som beskrevet i kapitel 5, at der vil forekomme lineære og ikke-lineære deformationer i bjælketværsnittet. Ud fra de fire målte normaltøjninger i tværretningen ε 22 vurderes det, om disse lineære effekter, i form af Poissoneffekt, og ikke-lineære effekter, bl.a. i form af Braziereffekt, forekommer. Ved indtrædelse af Poissoneffekt forventes det, at længderne af siderne i bjælketværsnittet forbliver konstante, da der måles på midten af højden af siderne, og at der således ikke opstår tøjninger. Ligeledes forventes det, at der opstår træk i oversiden af bjælketværsnittet, dvs. længden af oversiden forøges, her svarende til, at der optræder negative normaltøjninger ε 22. Endelig forventes det, at der opstår tryk i undersiden af bjælketværsnittet, dvs. længden af undersiden formindskes, hvilket svarer til, at der optræder positive normaltøjninger ε 22. Ved indtrædelse af Braziereffekt forventes det derimod, at længderne af siderne i bjælketværsnittet forøges, og at der således opstår negative tøjninger, mens længden af hhv. over- og undersiden i bjælke- 98

101 7.5 Undersøgelse af Braziereffekt tværsnittet formindskes og at der således opstår positive tøjninger. Normaltøjningen i tværretningen som en funktion af den påførte last kan ses på figur 7.12 og 7.13 for hhv. over- og undersiden i bjælketværsnittet. Figur 7.12 Tøjningen i oversiden på tværs af bjælketværsnittet optegnet som funktion af lasten. Figur 7.13 Tøjningen i undersiden på tværs af bjælketværsnittet optegnet som funktion af lasten. Jævnfør figur 7.12 er de absolutte værdier af normaltøjningen i tværretningen i oversiden tiltagende til en belastning på ca. 20kN pr. lastcelle. Dette er i overensstemmelse med, at der optræder Poissoneffekt i takt med at der lastes op. Herefter begynder de absolutte værdier af tøjningen at aftage, hvilket kunne tyde på, at Braziereffekten begynder at påvirke tværsnittet. Ved en belastning på ca. 38kN pr. lastcelle er tøjningen nul. Ved denne belastning må oversiden af tværsnittet igen være vandret, svarende til at udbøjningen fra Poisson- og Braziereffekten er lige stor og modsat rettet. Efter denne tilstand bliver tøjningen positiv, hvilket svarer til at Braziereffekten øges, indtil der opstår brud. Af figur 7.13 fremgår det, at normaltøjningen i tværretningen går fra nul mod en positiv normaltøjning i tværretningen fra start og indtil der opstår brud. Dog ses det, at tøjningen varierer næsten lineært i den første del af forsøget, hvor der udelukkende forekommer Poissoneffekt, mens krumningen af tøjningskurven tiltager efterhånden, som der også opstår Braziereffekt. Normaltøjningen i tværetningen som en funktion af den påførte last for de to sider i bjælketværsnittet kan ses på hhv. figur 7.14 og Figur 7.14 Tøjningen i venstre side på tværs af bjælketværsnittet optegnet som funktion af lasten. 99

102 7. Behandling af bøjningsforsøg Figur 7.15 Tøjningen i højre side på tværs af bjælketværsnittet optegnet som funktion af lasten. Jævnfør figur 7.14 og 7.15 ses, at de absolutte værdier af tøjningen i bjælkesiderne tiltager under hele forsøget. Det bemærkes dog, at de absolutte værdier af tøjningerne kun er nul i første måling og herefter stiger langsomt. Krumningen af tøjningskurven øges herefter i takt med at der opstår Braziereffekt. Af de to grafer fremgår det ligeledes, at der ikke er 100% symmetri over bjælkens længdeakse, idet tøjningen i den ene side bliver ca. 38% større end i den modsatte side, inden der opstår brud. Af ovenstående grafer og forklaringer fremgår det, at der både opstår Poisson- og Braziereffekt i bjælketværsnittet i snit A jvf. figur Desuden fremgår det, at Poissoneffekten er en lineær effekt hvorimod Braziereffekten stiger kvadratisk og dermed indhenter Poissoneffekten efterhånden som der lastes op. 7.6 Opsamling I fuldskala bøjningsforsøget er udbøjninger og tøjninger målt som funktion af lasten, og sammenlignet med resultaterne fra Abaqusmodellen med last og understøtning modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning ved en last på 10kN. Det har vist sig, at de målte værdier generelt er en del lavere end værdierne fra modellen. Dette vurderes primært at skyldes, at den reelle stivhed af bjælken er væsentlig større end stivheden oplyst fra Fiberline Composites A/S, der er anvendt i modellen. Det er fundet, at udbøjningen er lineært afhængig af lasten helt til brud. Desuden er det konstateret, at momentet og forskydningskraften overordnet varierer som forudsat, dog forårsager bjælkens øgede stivhed og randeffekter ved lasterne, at der er mindre afvigelser i forbindelse med bestemmelse af momentet. Det er undersøgt, om der optræder Braziereffekt i et punkt mellem de to lastceller. Ud fra brudforsøget viser det sig, at der primært optræder Poissoneffekt indtil en belastning på ca. 20kN pr. lastcelle hvorefter Braziereffekten indtræder gradvist, hvilket er i overensstemmelse med det forventede. De målte resultater for udbøjning, normaltøjning på langs af bjælken og Braziereffekt er generelt mindre end resultaterne fra Abaqusmodellen, hvor last og understøtning er modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning. Materialeparametrene fra forsøgene implementeres derfor i Abaqusmodellen for at undersøge, om der hermed bliver bedre overensstemmelse mellem model og forsøg. 100

103 Kapitel8 Efterbehandling I dette kapitel sammenlignes resultaterne fra bøjningsforsøget behandlet i kapitel 7, med udtræk fra Abaqusmodellen hvor last og understøtningsforhold er modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning. I Abaqusmodellen er materialeparametrene tilpasset ud fra de beregnede værdier fra laboratorieforsøgene. 8.1 Efterbehandling af Abaqusmodel ud fra forsøgsresultater De anvendte materialeparametre fra Fiberline Composites A/S, samt de beregnede materialeparametre, fundet ud fra forsøg, kan ses i tabel 8.1. Det bemærkes, at de fundne materialeparametre ud fra forsøgene gælder for en ækvivalent homogen plade med en materialetykkelse på t = 7, 42mm. E 1 E 2 ν 12 [MPa] [MPa] [ ] Fiberline ,23 Forsøgsresultat ,228 Tabel 8.1 Materialeparametre fra Fiberline Composites A/S og forsøgsresultater. Abaqusmodellen fra afsnit anvendes, hvor materialetykkelse og -parametrene tilpasses de angivne værdier i tabel 8.1. Der påføres en tvungen flytning på 19, 02mm svarende til at reaktionerne ved understøtningerne bliver 10kN. Dette giver en udbøjning af bjælken, som kan ses på figur 8.1, hvor denne er plottet sammen med udbøjningen målt i laboratoriet samt udbøjningen fundet ud fra Abaqusmodellen med materialeparametrene fra Fiberline Composites A/S. Figur 8.1 Udbøjning for glasfiberbjælken fundet i Abaqusmodellen med materialeparametre fra hhv. laboratorieforsøg og Fiberline Composites A/S ift. udbøjningen målt i laboratoriet. I tabel 8.2 sammenlignes middelværdierne af de målte udbøjninger med udbøjningerne bestemt ved en last på 10kN i Abaqusmodellen med last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning, hvor der er anvendt materialeparametre fra tabel

104 8. Efterbehandling 100mm 400mm 850mm 1.050mm Beregningsmodel [mm] [mm] [mm] [mm] Abaqusmodel (Fiberline) 0, 0 12, 3 24, 5 25, 7 Abaqusmodel (Forsøgsresultater) 0, 0 10, 7 21, 3 22, 4 Forsøg 0, 1 7, 7 15, 1 15, 7 Tabel 8.2 Glasfiberbjælkens udbøjning i udvalgte punkter ved modelleringen i Abaqus samt middelværdierne af forsøgene. Abaqusmodellen med last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning, hvor der anvendes de fundne materialeparametre fra laboratorieforsøgene, kan ses på vedlagte CD-ROM i mappen shell-kont-int-real-model-r10. Af figur 8.1 og tabel 8.2 ses, at udbøjningen fundet i Abaqus har nærmet sig de målte resultater fra laboratoriet ved at ændre matrialeparametrene til de værdier, der er fundet ud fra forsøg. Dog er der stadig en afvigelse på 6, 7mm for udbøjningen på midten af bjælken, hvilket svarer til at udbøjningen fundet i Abaqus er 42, 7% større end målt i laboratoriet. Ud over udbøjningen sammenlignes normaltøjningerne i længderetningen ε 11 målt i laboratoriet med normaltøjnigerne i længderetningen ε 11 fundet i Abaqusmodellen med last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning, hvor der er anvendt materialeparametre fra tabel 8.1. De fundne middelværdier af tøjningerne ud fra bøjningsforsøget kan ses i figur 8.2 og tabel 8.3 sammen med de tilsvarende tøjninger fundet ved en last på 10kN ud fra Abaqusmodellen med last og understøtning modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning. Figur 8.2 Normaltøjninger i længderetningen ε 11 for glasfiberbjælken fundet i Abaqusmodellen med materialeparametre fra hhv. laboratorieforsøg og Fiberline Composites A/S ift. normaltøjningen målt i laboratoriet mm 1.300mm 1.700mm [ ] [ ] [ ] Abaqusmodel (Fiberline) 3,13/-3,11 3,11/-3,07 1,55/-1,54 Abaqusmodel (Forsøgsresultater) 2,67/-2,65 2,64/-2,60 1,32/-1,31 Forsøg 1,84/-1,88 1,80/-1,86 0,88/-0,87 Tabel 8.3 Normaltøjningerne i bjælkens længderetning ε 11 fundet i laboratoriet sammenlignet med udtræk fra Abaqus. Af figur 8.2 og tabel 8.3 ses, at normaltøjningerne i bjælkens længderetning ε 11 fundet i Abaqus, ligesom udbøjningen, har nærmet sig de målte resultater fra laboratoriet ved at ændre matrialeparametrene til de værdier, der er fundet ud fra forsøg. Dog er der stadig en betydelig afvigelse. Endvidere sammenlignes normaltøjningerne i tværretningen ε 22 målt i laboratoriet med normaltøjningerne i tværretningen fundet i Abaqusmodellen med last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning, hvor der er anvendt materialeparametre fra tabel 8.1. De fundne middelværdier af tøjningerne ud fra bøjningsforsøget kan ses i tabel 8.4 sammen med de tilsvarende tøjninger fundet 102

105 8.1 Efterbehandling af Abaqusmodel ud fra forsøgsresultater ved en last på 10kN ud fra Abaqusmodellen med last og understøtning modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning. Venstre side Underside Højre side Overside [ ] [ ] [ ] [ ] Abaqusmodel (Fiberline) 0,098-1,027 0,098 0,403 Abaqusmodel (Forsøgsresultater) 0,082-0,858 0,082 0,349 Forsøg 0,020-0,507 0,075 0,306 Tabel 8.4 Normaltøjningerne på tværs af bjælkens fire sider i snit A jvf. figur 7.11 fundet i laboratoriet sammenlignet med udtræk fra Abaqus. Ud fra tabel 8.4 ses, at de målte tøjninger generelt er mindre end tøjningerne fundet i Abaqusmodellerne. Dette til trods for, at der i den ene model er anvendt materialeparametre ud fra forsøgsresultaterne, som dog ligger tættere på de målte tøjninger. En af grundene til at Abaqusmodellen afviger fra resultaterne fra laboratoriet kan skyldes, at de målte materialeparametre er fundet ud fra en anden bjælke end bjælken, der er anvendt i bøjningsforsøget. Hvis materialeparametrene er fundet ud fra en bjælke med forholdsvis lille stivhed, men bjælken i forsøget har meget stor stivhed, kan dette forklare forskellen i udbøjningen. En anden grund til afvigelserne kan være, at den eneste af materialeparametrene, der ikke er fundet ud fra forsøg, er forskydningsmodulet G. Forskydningsmodulet er anvendt direkte fra Fiberline Composites A/S. Den oplyste værdi er sandsynligvis en minimumsværdi, og det er derfor muligt, at den er sat lavere end bjælkens egentlige forskydningsmodul. Det er ligeledes gennem forsøgene observeret, at bjælken er opbygget af et inhomogent materiale, frem for det antagede homogene materiale. Dette kan ses på figur 8.3 og 8.4. Figur 8.3 Illustration af tværsnittets inhomogenitet. Figur 8.4 Illustration af tværsnittets inhomogenitet. Ud fra figur 8.3 og 8.4 kan det ses, at profilets over- og underside er opbygget ens, hvor fibrene er placeret nogenlunde jævnt, mens de to sider er inhomogene og har flere materialefejl. Disse materialefejl ses i 103

106 8. Efterbehandling form af steder med mindre eller ingen fibermateriale. Dette bevirker, at de beregnede materialeparametre kun gælder for enkelte sider i profilet og dermed gives et misvisende resultatet, når disse parametre anvendes for alle fire sider. Denne teori underbygges af et forsøg, lavet af studerende fra Aalborg Universitet Esbjerg, som har vist, at hvis bjælken vendes, måles en stor forskel på bjælkens udbøjning. Ved at have de inhomogene sider som over- og underside måles en større udbøjning, end når de relativt homogene sider er over- og underside, som var tilfældet i kapitel 7. For at få et reelt billede af bjælkens materialeparametre burde alle materialeparametrene derfor findes for hver af profilets fire sider. En anden fejlkilde kunne være, hvis de forskellige forsøgsemner er taget fra forskellige bjælkeelementer. Endvidere er der i Abaqusmodellen anvendt en ækvivalent materialetykkelse for en homogen plade, hvor det virkelige materiale er et kompositmateriale, og der burde i princippet tages højde for variationen af materialeopbygningen i Abaqusmodellen. Slutteligt bemærkes det, at forsøgene i laboratoriet er udført over hvad der må betegnes som kort tid. Dette skal ses i forhold til, at glasfiber er et materiale, for hvilket der er stor forskel på kort- og langtidstilstanden. Der skelnes mellem korttidstilstand, som er en belastning, der virker i mindre end ét år og langtidstilstand, som er en belastning, der virker i mere end ét år [28]. Denne forskel kan ses på figur 8.5, hvor udbøjningsresultater, fra et online beregningsprogram udarbejdet af Fiberline Composites A/S, er plottet op for hhv. kort- og langtidstilstand med samme understøtninger og last, som anvendt i laboratorieforsøget. Figur 8.5 Udbøjning for glasfiberbjælke med en last på 10kN regnet i online beregningsprogram udarbejdet af Fiberline Composites A/S. Til venstre: Korttidstilstand. Til højre: Langtidstilstand. [29]. Som det fremgår af figur 8.5 er forskellen på den maksimale udbøjning for 10kN regnet i hhv. kort- og langtidstilstanden u = 36, 36mm, hvilket er en betydelig forskel. Ovenstående efterbehandling leder frem til konklusionen i det følgende kapitel. 104

107 Kapitel9 Konklusion Denne rapport behandler analysen af en glasfiberbjælke. Analysen har taget udgangspunkt i følgende projektramme: Analyse af en glasfiberbjælke ud fra analytiske, numeriske og eksperimentelle metoder, samt diskussion af forudsætninger, usikkerheder og afvigelser imellem metoderne. For at besvare denne projektramme er projektet opdelt i tre dele, en analytisk del, en numerisk del og en del, der behandler laboratoriearbejde. Den numeriske del er endvidere delt op i to dele, én der behandler numeriske analyser af bjælke- og skalmodeller i det kommercielle FEM-program Abaqus og én der behandler bjælke- og skive/plademodeller i MatLab. De tre overordnede metoder, der er anvendt til at analysere den konkrete fysiske problemstilling er følgende: Analytiske metoder Bernouli-Euler bjælketeori Timoshenko bjælketeori Numeriske metoder Bernouli-Euler bjælketeori Timoshenko bjælketeori Skalteori Skive- og pladeteori Eksperimentelle metoder Forsøg i laboratoriet Alle modellerne analyserer en 2.100mm lang glasfiberbjælke i firkantrørprofil mm, understøttet 100mm fra hver ende og belastet med to laster placeret i trejdedelspunkterne. Ved en analytisk analyse af glasfiberbjælken, ud fra hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorierne, er denne opbygget af et forsimplet ortotropisk materiale. I beregningerne er det erfaret, at der ikke optræder små flytninger, som er en af forudsætningerne for de to teorier. Ved store flytninger er der øget risiko for, at der optræder 2. ordens effekter, hvilket bjælkemodellerne ikke tager hensyn til. Det viser sig, at beregningerne alligevel giver gode resultater. Dette skyldes, at der ikke forekommer dominerende 2. ordens effekter i form af f.eks. Braziereffekt. Ved en anden profiltype er det muligt, at 2. ordens effekterne er mere dominerende, hvorfor bjælkemodellerne ikke nødvendigvis vil give ligeså gode resultater. Generelt vurderes det, at bjælketeorierne er et godt estimat for udbøjningen af et simpelt fysisk problem, som glasfiberbjælken. Det er dog væsentligt at vælge den rette bjælketeori ud fra længdehøjdeforholdet, hvor Timoshenko bjælketeorien bør anvendes ved små længdehøjdeforhold. I den numeriske analyse af glasfiberbjælken er denne modelleret af skalelementer i Abaqus for at tage hensyn til 2. ordens effekter og tillægge bjælken de korrekte ortotropiske materialeegenskaber. Skalmodellerne er modelleret med varierende last og understøtningsforhold. Den model, der stemmer bedst overens med forsøgsopstillingen i laboratoriet, er en model, hvor last og understøtning er modelleret som solide stålemner med mulighed for glidning. Ud fra modellen er det erfaret, at materialeegenskaberne i bjælkens tværretning ikke har væsentlig indflydelse ved bøjning af bjælken. Det vurderes at 105

108 9. Konklusion skalmodellerne giver et bedre estimat for bjælkens opførsel end bjælkemodellerne i tilfælde af, at der forekommer 2. ordens effekter. I numerisk FEM-programmering vil resultaterne af en analyse konvergere imod den analytiske beregning. Dette er undersøgt ved at udarbejde en bjælkemodel ud fra hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorierne i programmet MatLab, hvor det er fundet, at disse konvergerer mod de analytiske analyser. Der er desuden udarbejdet en skive-/plademodel i MatLab. Resultaterne af denne kan ikke sammenlignes direkte med skalmodellen modelleret i Abaqus, idet skive-/plademodellen er en forsimplet model ift. skalteorien. Skive-/plademodellen er ikke anvendelig ved krumme elementer og dermed ikke ved store flytninger. Idet der forekommer store flytninger af bjælken, giver skalmodellen et bedre estimat for bjælkens opførsel. I den eksperimentelle analyse er der udført forsøg på materialet i laboratoriet for at fastlægge materialeparametre. Her har der været udført for få forsøg, da det har vist sig, at glasfiberbjælken er inhomogen, dvs. at der tilsyneladende er forskellige materialeegenskaber i de forskellige sider. Dette bevirker, at bjælken opfører sig forskelligt afhængigt af om den roteres 90 om bjælkeaksen. For at have et repræsentativt grundlag til at bestemme materialeegenskaberne for den anvendte type glasfiberbjælke, er forsøg på enkelte udsnit af én bjælke ikke tilstrækkeligt. Det vurderes derfor, at antallet af udførte forsøg og forsøgselementer ikke er tilstrækkeligt til at give et generelt indtryk af materialet. Der er desuden udført et fuldskala bøjningsforsøg, hvor resultaterne heraf sammenlignes med de analytiske og numeriske modeller. Ud fra forsøget er det erfaret, at der er god lineær sammenhæng mellem last og udbøjning, dog er der en lille indflydelse fra Braziereffekten. Braziereffekten er desuden undersøgt tæt på bjælkemidten, hvor det er fundet, at der både opstår Poisson- og Braziereffekt. Generelt kan det ikke konkluderes hvilken metode, der giver det bedste resultat for en konkret fysisk problemstilling. Derimod er det vigtigt at være opmærksom på hvilke begrænsninger, der ligger i de forskellige metoder, og om disse begrænsninger er rimelige ift. den konkrete fysiske problemstilling, der ønskes analyseret. 106

109 Litteratur [1] Fiberline Composites A/S. Kompositter generelt, URL _Kompositter_generelt.asp [2] Fiberline Composites A/S. Materialeegenskaber, URL _NY_Yderligere_konstruktions_oplysninger.asp [3] Esben Byskov. Indledende Bjælketeori [4] Fiberline Composites A/S. Tekniske data, URL NY_EN_13_706_-_tekniske_data.asp [5] Fiberline Composites A/S. Konstruktionsprofiler, Firkantrør 100x100/8/8 mm, URL fiberline.dk/dk/products/profiledetails.asp?prodid=17983&context= [6] Lars Andersen & Søren R. K. Nielsen. Statik IV, undervisningsnoter URL aau.dk/lecture/5sema/notes/ [7] Lars Andersen & Søren R. K. Nielsen. Elastic Beams in Three Dimensions. Aalborg Universitet, [8] Bjarne Chr. Jensen & Bent Bonnerup. Stålkonstruktioner efter DS 412. Nyt Teknisk Forlag, ISBN [9] Robert D. Cook & David S. Malkus og Michael E. Plesha & Robert J. Witt. Concepts and applications of finite element analysis. John Wiley & Sons, Inc., ISBN [10] Simulia. Getting Started with Abaqus: Interactive Edition (v6.7). Simulia, [11] RoyMech. Coefficient of Friction, URL Tribology/co_of_frict.htm [12] Simulia. Abaqus Analysis User s Manual (v6.7). Simulia, [13] Sven Krabbenhøft. Grundlæggende elementmetode for Bjælker og Rammer URL aaue.dk/~skr/bjaelker_rammer2.pdf [14] Jesper W. Stærdahl & Johan Clausen. Finite Element Methods I, 7. semester - Aalborg Universitet, kursusgang 1, URL notes/lecture_1_2.pdf [15] Niels Saabye Ottosen & Hans Petersson. Introduction to the finite element method. University of Lund, Sweden, ISBN [16] Fehmi Cirak. Review: Euler-Bernoulli Beam, URL teaching/4d9/beams.pdf [17] G. R. Liu & S. S. Quek. The finite element method - A practical course. Butterworth-Heinemann, ISBN [18] Jesper W. Stærdahl & Johan Clausen. Finite Element Methods I, 7. semester - Aalborg Universitet, kursusgang 2, URL notes/lecture_3_4.pdf

110 LITTERATUR [19] O.C. Zienkiewicz & R.L. Tayler. The Finite Element Method Volume 2 Solid Mechanics ISBN [20] Lars Damkilde. Advanced Continuum Mechanics, 7. semester - Aalborg Universitet, kursusgang 6, [21] Esben Byskov. Det Virtuelle Arbejdes Princip for Plane, Retliniede Bjælker. Aalborg Universitet, [22] Bilal M. Ayyub & Richard H. McCuen. Probability, Statistics, and Reliability for Engineers and Scientists. CHAPMAN & HALL/CRC, ISBN [23] Inc. The MathWorks. Programmatic Fitting: regression Analysis (MatLab). The MathWorks, Inc., [24] D.E. Figliola, R.S. og Beasley. Theory and Design for Mechanical Measurements 4th edition. John Wiley & Sons, Inc., [25] Fiberline Composites A/S. EN 13706, URL EN13_706.asp [26] Fiberline Composites A/S. Certificate of Conformity of the Material Grade E23 for Fiberline Construction Profiles made of Pultruded Glass-Fibre-Reinforced Polymers according to EN :2002, URL [27] Lars Pilegaard Hansen. Transformationsformler i relation til strain gauges, URL civil.aau.dk/~i6cfrier/expmethod/ [28] Fiberline Composites A/S. Tidslængde (kort- eller langtidstilstand), URL fiberline.com/dk/other/bmhelp.asp [29] Fiberline Composites A/S. Beregningsprogram, URL _Beregningsprogram.asp