Analyse af en glasfiberbjælke

Transkript

1 Analyse af en glasfiberbjælke Civilingeniør i Bygge og Anlægskonstruktion Aalborg Universitet 1. semester 19. december 2008 Gruppe B205

2

3 De Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter Byggeri og Anlæg Sohngaardsholmsvej 57 Telefon Fax Titel: Analyse af en glasfiberbjælke Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Projektperiode: 1. september til 19. december 2008 Projektgruppe: B205 Deltagere: Rasmus Bødker Heidi Christensen Mads Damgaard Søren Madsen Anne Kathrine Nielsen Lasse Bøgelund Petersen Vejleder: Lars Andersen Oplagstal: 8 Sidetal: 108 Synopsis: Ved analyse og design af komplekse konstruktionsdetaljer er det vigtigt, at den enkelte ingeniør kan vurdere anvendeligheden og nøjagtigheden af analytiske, eksperimentelle og numeriske metoder. Denne rapport tager udgangspunkt i en simpelt understøttet bjælke udført i glasfiber, som er et ortotropisk materiale, og symmetrisk belastet. Spændinger og deformationer i glasfiberbjælken bestemmes ved analytiske, numeriske og eksperimentelle beregningsmetoder. Hovedessensen er derfor at opstille beregningsmetoder, som beskriver glasfiberbjælkens virkelige fysiske opførsel så nøjagtig som muligt. I rapporten diskuteres de enkelte beregningsmetoders gyldighed samt usikkerhed og beregningsmodellerne sammenlignes indbyrdes. Bilagsantal og art: 6 bilag på vedlagt CD-ROM 3 stk. vedlagt A4-tegninger Afsluttet den: 19. december 2008 Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

4

5 Forord Denne rapport er resultatet af et 1. semestersprojekt udarbejdet på kandidatuddannelsen Civilingeniør i Bygge- og Anlægskonstruktion under Studienævnet for Byggeri og Anlæg. Rapporten er udarbejdet i henhold til gældende studieordning under De Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter, Aalborg Universitet, i perioden fra den 1. september til den 19. december Temaet for projektet er Analyse og design af bærende konstruktioner, og projektets titel er Analyse af en glasfiberbjælke. Som supplement til rapporten er der vedlagt en CD-ROM, der indeholder denne hovedrapport samt en bilagsrapport. Ud over rapporterne er arbejdstegningerne fra de udførte laboratorieforsøg vedlagt samt tilgængelige på CD-ROM en. Desuden findes programfilerne til de forskellige modeller, der behandles i rapporten, så læseren selv har mulighed for at køre disse filer. For at kunne åbne filerne kræves det, at den anvendte computer har installeret MatLab, Trusslab, MathCAD, Abaqus CAE samt Adobe Acrobat. Gennem rapporten vil der være henvisninger til CD-ROM en, når der kan findes relevant materiale herpå. Ligeledes henvises der gennem rapporten til bilag, der alle er at finde i den vedlagte bilagsrapport som bilag x.x på CD-ROM en, mens henvisninger i kapitler og afsnit i rapporten angives med det pågældende kapitels eller afsnits nummer. I rapporten er kildehenvisninger angivet med numre [xx]. Kilden er stillet før punktum, hvis det kun er en sætning eller formel, der bygger herpå. Hvis et helt afsnit bygger på en kilde, er kilden stillet på en linie for sig selv sidst i afsnittet. Figurer og tabeller, der ikke er et produkt af gruppens arbejde, vil ligeledes have en kildehenvisning i figur- eller tabelteksten. Kilderne angives i litteraturlisten således: Bøger: Forfatter. Titel. Forlag. Udgivelsesår. ISBN. Websider: Forfatter. Titel. År. URL-adresse. Besøgsdato. I forbindelse med projektet rettes en særlig tak til professor Lars Damkilde, samt ingeniørassistent Morten Olsen og Per Knudsen, som har været behjælpelige ifm. vejledning og udførelse af laboratorieforsøg. Aalborg december 2008 Rasmus Bødker Heidi Christensen Mads Damgaard Søren Madsen Anne Kathrine Nielsen Lasse Bøgelund Petersen 3

6

7 Indhold 1 Indledning Introduktion til projektet Overordnede anvendte metoder Rapportens indhold Indledende analyse af glasfiberbjælken Anvendte metoder Materialeegenskaber Fastlæggelse af tværsnitskonstanter Bjælkens indre kraftfordeling Maksimal belastning for bjælken Udbøjning af glasfiberbjælken ud fra bjælketeorier Opsamling Numeriske FEM-beregninger i Abaqus Anvendte metoder Bjælkemodel i forsimplet ortotropisk materiale Skalmodel i forsimplet ortotropisk materiale Skalmodel i ortotropisk materiale Opsamling Numeriske FEM-beregninger i MatLab Anvendte metoder D bjælkemodel Forsimplet skalmodel Opsamling Analyse af ikke-lineære effekter 61 5

8 INDHOLD 5.1 Anvendte metoder Lineær beregning af Braziereffekt Ikke-lineær beregning af Braziereffekt i Abaqus Opsamling Fastlæggelse af materialeparametre Anvendte metoder Materialeparametre på langs af bjælken Materialeparametre på tværs af bjælken Korrektion af materialeparametre Materialeparametre ved forsøg ift. Fiberline Composites A/S Opsamling Behandling af bøjningsforsøg Anvendte metoder Bøjningsforsøg af hele bjælken Udbøjning ved 10kN Tøjninger ved 10kN Undersøgelse af Braziereffekt Opsamling Efterbehandling Efterbehandling af Abaqusmodel ud fra forsøgsresultater Konklusion 105 6

9 Kapitel1 Indledning I dette kapitel præsenteres den overordnede geometri for det betragtede konstruktionsprofil, og indledende betragtninger af det anvendte materiale beskrives. Dette leder frem til en projektramme, der søges besvaret gennem projektet. De overordnede metoder i projektet behandles, og der udarbejdes en kritik af de anvendte kilder. Til sidst præsenteres kort hvad der behandles i de enkelte kapitler i rapporten. 1.1 Introduktion til projektet I takt med at kravene til kvalitet og økonomi i et byggeprojekt kommer mere i fokus, er det af stor vigtighed at kunne vurdere anvendeligheden og nøjagtigheden af analytiske, eksperimentelle og numeriske metoder til analyse og design af komplekse konstruktionsdetaljer. Enhver model er en simplificering af de virkelige fysiske fænomener, og det er vigtigt at kende til modellens begrænsninger og fejl. Det er essentielt at kunne sammenligne forskellige modeller for at kunne vælge den mest simple og hurtigste i praksis. Endnu mere vigtigt er det at være opmærksom på ikke at sammenligne noget, der ikke kan sammenlignes. Denne rapport vil derfor tage sit udgangspunkt i en analyse af et fastlagt konstruktionsprofil, hvor der foretages analyser ud fra forskellige metoder, herunder analytiske, numeriske og eksperimentelle. De forskellige metoder sammenholdes, og forskellene i metoderne vurderes ud fra deres forudsætninger. Projektet behandler en bjælke udført i glasfiber. Glasfiber er et kompositmateriale, der har udpræget plastiske egenskaber og stor trækstyrke. Et kompositmateriale er sammensat af mindst to forskellige materialer. Det enkelte materiale egner sig ikke nødvendigvis til konstruktionsformål, men kombineres materialerne resulterer det i stor styrke og stivhed. Ud over bl.a. armeret beton udgør plast forstærket med forskellige fibre i dag en væsentlig del af kompositmaterialer. Her kan nævnes et materiale som glasfiberarmeret plast, hvor fibrenes egenskaber udnyttes til at modstå træk- og trykbelastninger, mens plasten, også kaldet matrixmaterialet, overfører forskydningsbelastningen. [1] Som konstruktionsmateriale har glasfiberarmeret plast en række fordele. Her kan det nævnes, at materialet er korrosions- og vejrbestandig, hvor frost, saltvand og kemikalier ikke har indflydelse på bæreevnen. Dette betyder desuden, at der kun er kosmetisk vedligeholdelse forbundet med armeret plast. Materialet er ligeledes kendetegnet ved dets lave egenvægt kombineret med stor styrke, og mulighed for hurtig bearbejdning samt kort montagetid. [2] Den behandlede glasfiberbjælke har en længde på 2, 1m. Bjælken har et konstant tværsnit i form af et firkantet rørprofil med dimensionerne mm, og er et standardelement fra Fiberline Composites A/S. Bjælken undersøges, som udgangspunkt, som en simpelt understøttet bjælke udsat for to identiske og symmetrisk placerede punktlaster. Bjælken er understøttet 100mm fra hver bjælkeende og punktlasterne er placeret i bjælkens tredjedelspunkter, svarende til 700mm fra hver ende. Bjælkens statiske system kan ses på figur

10 1. Indledning P P Figur 1.1 Statisk system for den simpelt understøttede glasfiberbjælke. Mål i mm. Det bemærkes, at på figur 1.1 og de efterfølgende tilsvarende figurer er koordinatsystemet placeret til venstre for bjælken grundet overskuelighed, men burde i princippet ligge i bjælkeenden i bjælkens centerakse. Først analyseres bjælken vha. simple analytiske metoder, hvor der anvendes bjælketeorier. Herefter analyseres bjælken ud fra elementmetoden, der er en numerisk metode. Til de numeriske analyser anvendes computerprogrammerne Abaqus og MatLab. I Abaqus udarbejdes modeller, der gradvis forbedres og sammenholdes med de analytiske beregninger. Desuden udarbejdes et program i MatLab, der ligeledes analyserer bjælken numerisk og resultaterne sammenlignes med hhv. de analytiske beregninger og nogle af resultaterne fundet i Abaqus. For at verificere teorierne udføres forsøg i laboratoriet. I forbindelse med analysen af den valgte glasfiberbjælke afgrænses der fra at kigge på stabilitetsproblemer i form af kipning, foldning samt vridning, da de ikke er aktuelle ud fra de valgte placeringer af laster og understøtninger. Det er ligeledes valgt kun at analysere bjælkens lokale og globale deformation uden at skelne mellem kort- og langtidstilstand. Med bjælkens lokale deformation menes Poissonog Braziereffekt. Formålet med denne rapport er ikke at analysere anvendeligheden af glasfiber som byggemateriale, men at vurdere forskellige metoders begrænsninger ved analyse af en given konstruktionsdetalje bedst muligt. Ovenstående leder frem til følgende projektramme: Analyse af en glasfiberbjælke ud fra analytiske, numeriske og eksperimentelle metoder, samt diskussion af forudsætninger, usikkerheder og afvigelser imellem metoderne. 1.2 Overordnede anvendte metoder I dette afsnit gennemgås de overordnede metoder for hele projektet. I hvert kapitel beskrives mere uddybende de metoder, der er relevante for det enkelte kapitel. Formålet med projektet er at vurdere forskellen mellem forskellige beregningsmetoder. Der benyttes overordnet tre metoder til at analysere den konkrete fysiske problemstilling: Analytiske metoder Bernouli-Euler bjælketeori Timoshenko bjælketeori Numeriske metoder Bernouli-Euler bjælketeori Timoshenko bjælketeori Skalteori 8

11 1.3 Rapportens indhold Skive- og pladeteori Eksperimentelle metoder Forsøg i laboratoriet Hver af disse metoder giver et bud på, hvordan glasfiberbjælken opfører sig når denne udsættes for en given lastpåvirkning og ved forskellige understøtningsforhold. Det ønskes både at vurdere forskellen mellem de enkelte metoder samt mellem forskellige modeller indenfor hver metode, hvor modelleringen af lastpåvirkning og understøtningsforhold varieres. Dette gøres ud fra spændinger eller tøjninger og globale flytninger. I både den analytiske og den numeriske beregningsmetode anvendes primær forskning, hvor der tages udgangspunkt i kendt teori og empiriske udtryk. Således benyttes der gennem disse afsnit eksempelvis bjælketeorier og elementmetoden. I forbindelse med de eksperimentelle undersøgelser foretages sekundær forskning for at give et indblik i, hvorvidt teorier og resultater fra den primære forskning stemmer overens med den ekspermentelle del. Det er hermed muligt at vurdere, om der er kohærens mellem de anvendte beregningsmetoder. Til udførelsen af den eksperimentelle del er der anvendt en hypotetisk deduktiv metode. Metoden kan beskrives således: 1. Opstille hypoteser / forventninger 2. Observation / forsøg 3. Vurdering af måleresultater / usikkerheder og teori Ud fra den primære forskning opstilles hypoteser om hvordan glasfiberbjælken deformerer lokalt og globalt. Under forsøgene observeres glasfiberbjælkens virkemåde, hvorefter det vurderes hvorvidt empirien afviger fra glasfiberbjælkens virkelige opførsel. Det ønskes, at forsøgene sikrer validitet og reliabilitet, dvs. at det er det rigtige der måles, og at forsøgene er pålidelig. Ligeledes vurderes eventuelle usikkerheder og fejlkilder ved forsøgene Kildekritik For at kunne besvare den opstillede projektramme har det været nødvendigt at anvende teori og viden fra flere forskellige kilder. Det er her vigtigt at anvende pålidelige kilder og vide hvorvidt, der er tale om en subjektiv eller en objektiv kilde. Gennem rapporten er der anvendt lærebøger, som må anses værende pålidelige, ligesom forelæsningsnotater, da disse anvendes i undervisningssammenhæng. Det bemærkes, at disse kan bygge på enkeltpersoners fortolkning, og derfor kan være subjektiv. Udover lærebøger er der anvendt oplysninger fra internettet. Oplysninger hentet fra internettet er materialeegenskaber fra producenten, der må stå inde for validiteten. De anvendte oplysninger fra internettet anses derfor som værende pålidelige. 1.3 Rapportens indhold Efter introduktionen til dette projekt og gennemgangen af de overordnede anvendte metoder beskrives rapportens indhold i det følgende. Dette skal medvirke til at klarlægge den røde tråd i rapporten. Generelt er rapporten opbygget, så hvert kapitel starter med en beskrivelse af, hvilken metode der er anvendt i kapitlet. Desuden afsluttes det enkelte kapitel med en opsamling. Dette gælder dog ikke kapitel 8 Efterbehandling, hvor der ikke er en opsamling, og kapitel 9 Konklusion, hvis formål er at samle op på de foregående kapitler. Rapporten er inddelt i følgende kapitler: 9

12 1. Indledning Indledende analyse af glasfiberbjælken Formålet med dette kapitel er at klarlægge hvilke materialeegenskaber der anvendes for glasfiberbjælken samt fastlægge de geometriske tværsnitskonstanter. Snitkræfterne i bjælken bestemmes ud fra ligevægtsbetragtninger og bjælken analyseres vha. hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus I dette kapitel analyseres glasfiberbjælken vha. beregningsprogrammet Abaqus. Dette gøres ved først at modellere bjælken vha. bjælkeelementer i et forsimplet ortotropisk materiale. Derefter modelleres bjælken vha. skalelementer. Modellen optimeres gradvist ved at ændre på materialeegenskaberne, så materialet bliver ortotropisk, og ændre på last og understøtningsforhold, så disse til sidst opbygges tilnærmelsesvis som de virker i fuldskalaforsøget. Numeriske FEM-beregninger i MatLab Glasfiberbjælken analyseres i dette kapitel vha. beregningsprogrammet MatLab. Først udarbejdes et program, hvor bjælken modelleres på baggrund af hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. Efterfølgende udarbejdes et tilsvarende program, hvor bjælken modelleres vha. kombinerede pladeog skiveelementer. I begge programmer antages glasfiberbjælken opbygget af et forsimplet ortotropisk materiale. Analyse af ikke-lineære effekter I dette kapitel behandles Braziereffekten vha. forsimplede analytiske beregningsmetoder. Derefter analyseres Braziereffekten vha. Abaqus, hvor der tages hensyn til både lineære og ikke-lineære effekter. I kapitlet behandles udelukkende hvilke deformationer Braziereffekten giver anledning til, og dermed ikke hvilken indflydelse effekten har på spændingerne i bjælken. Fastlæggelse af materialeparametre Dette kapitel tager udgangspunkt i en række forsøg, hvis formål er at bestemme materialeparametre, i form af elasticitetsmoduler og Poissons forhold, for glasfiberen. Desuden ækvivaleres det ortotropiske kompositmateriale med et homogent materiale med samme aksial- og bøjningsstivhed og materialeparametrene herfor sammenlignes med materialeparametre oplyst fra Fiberline Composites A/S. Behandling af bøjningsforsøg Formålet med dette kapitel er at behandle forsøgsresultaterne fra bøjningsforsøget af glasfiberbjælken. Ud fra resultaterne findes udbøjninger og tøjninger i forskellige punkter langs bjælken. Disse sammenlignes med resultaterne fundet i den Abaqusmodel, som er skønnet at stemme bedst overens med bøjningsforsøget. Det eftervises ligeledes, at der er konstant moment og forskydningskraft i det forudsatte områder. Desuden analyseres Braziereffekten ud fra målte tøjninger i bjælken og brudspændingerne behandles kort. Efterbehandling I dette kapitel vurderes det, hvorvidt der kan opnås kohærens mellem den Abaqusmodellen og forsøgsresultaterne. Dette gøres ved at implementere de fundne materialeparametre i Abaqusmodellen og se om der opnåes de samme resultater for udbøjninger og tøjninger, som fra bøjningsforsøget. Konklusion I konklusionen følges op på det behandlede i rapporten. Desuden vurderes de forskellige metoder, der er anvendt til at analysere glasfiberbjælken. 10

13 Kapitel2 Indledende analyse af glasfiberbjælken I dette kapitel undersøges glasfiberbjælken vha. simple metoder. Først diskuteres i metodeafsnittet hvordan en forholdsvis simpel analyse af glasfiberbjælken kan gennemføres og hvilke beregningsmetoder, der kan anvendes for at få gode resultater med en given belastning af glasfiberbjælken. Herefter præsenteres glasfiberprofilets materialeegenskaber og tværsnitskonstanter. Bjælkens indre kræfter undersøges ud fra ligevægtsligningerne og herudfra gives et estimat på den maksimale belastning af bjælken. Udbøjningen af bjælken under belastning undersøges vha. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorierne. 2.1 Anvendte metoder For at forudsige hvad der sker, når glasfiberbjælken belastes, skal der opstilles en model, der kan beskrive dette. Afhængig af hvilke resultater og hvor detaljerede disse ønskes, må der opstilles mere eller mindre advancerede modeller. Den simpleste metode, der kan anvendes til at modellere glasfiberbjælken, er bjælketeorien for retlinede plane bjælker. Glasfiberbjælken er naturligvis et tre-dimensionalt legeme, men for, på en relativ enkel måde, at beskrive, hvad der sker, når bjælken belastes, modelleres den som et en-dimensional legeme. Da glasfiberbjælken er symmetrisk, samt lasterne og understøtningerne virker symmetriske over tværsnittet, kan lasten tilnærmes med en ækvivalent last gennem bjælkens centerlinie og glasfiberbjælken med god tilnærmelse betragtes som virkende i et plan. Tværsnitskonstanterne findes ud fra en to-dimensional betragtning af bjælken, og pålægges den en-dimensionale model. [3, s. 3] Ved bjælketeori tages der ikke højde for, at tværsnittet kan være et tyndvægget profil. Glasfiberbjælkens tværsnit består af fire sider, som kan betragtes som relativt tynde ift. tværsnittets ydre dimensioner. Alle fire sider virker som skiver, da toppen og bunden af profilet bliver udsat for hhv. tryk og træk og siderne påvirkes i deres eget plan med en lineær varierende spændingsfordeling. Det tyndvæggede tværsnit vil under belastning ændre form pga. 2. ordens effekter, som der ikke tages højde for ved brug af bjælketeorierne. For at lave en model, der er bedre end bjælketeorierne til at beskrive fysikken ved tyndvæggede profiler, må der anvendes andre metoder. Dette gøres så 2. ordens effekter, som eksempelvis deformationen af tværsnittet, kan medtages i beregningerne. Dette kan f.eks. gøres ved at forbedre bjælketeorierne. I bjælketeorierne indgår tværsnittets form kun i inertimomentet, så for at få 2. ordens effekter med i beregningen, må inertimomentet nødvendigvis ændre sig samtidig med at lasten øges på bjælken. Modeller, hvori der tages højde for dette behandles i kapitel 5. I dette kapitel bestemmes snitkræfter, spændinger og udbøjninger ud fra en enhedslast. Herudfra bestemmes den maksimale belastning, der kan påsættes glasfiberbjælken, og udbøjning. 2.2 Materialeegenskaber Et konstruktionsmateriales egenskaber afhænger af, om materialet er karakteriseret som isotropt, anisotropt eller ortotropt. Glasfiber er et ortotropt materiale, hvilket betyder, at der i hver fiberretning, som 11

14 2. Indledende analyse af glasfiberbjælken står vinkelret på hinanden, er forskellige materialeparametre. I det følgende vil de ortotrope materialeog styrkeparametre for den anvendte glasfiber blive gennemgået. Fiberline Composites A/S angiver på deres hjemmeside tekniske materialedata for deres glasfiberprodukter. Disse data er opstillet i tabel 2.1, hvor de angivne materialeværdier er gældende for glasfiber i tør tilstand og med en temperatur mellem -20 C og 60 C. Karakteristiske stivhedstal [MPa] [ ] Elasticitetsmodul, E Elasticitetsmodul, E Forskydningsmodul, G Poissons forhold, ν 0,90 0,23 Poissons forhold, ν 90,0 0,09 Tabel 2.1 Materialeparametre fundet gennem målinger udført af Fiberline Composites A/S. [4] Retningerne, der angives i tabellen, for elasticitetsmodul og Poissons forhold kan ses på figur 2.1. Figur 2.1 Angivelser af retninger for styrker og stivhed. I denne rapport defineres 1-, 2- og 3-retningen, så 1 er lig 0, 2 er lig 90, mens 3-retningen er ubetydelig, idet udstrækningen af denne er væsentlig mindre end 1- og 2-retningen, og derfor findes der ingen oplysninger herom i tabel 2.1. Dette undersøges i bilag D.1. I både isotropiske og ortotropiske materialer er sammenhængen mellem elastiske tøjninger og spændinger beskrevet ved Hooks lov på følgende måde ε = C σ (2.1) 12 hvor ε er tøjningsvektoren [ ] C er fleksibilitetsmatricen [1/MPa] σ er spændingsvektoren [MPa] Forskellen mellem isotropiske og ortotropiske materialer ligger i fleksibilitetsmatricen C, der herunder er vist for ortotropiske materialer. ε = ε 11 ε 22 ε 33 γ 12 γ 13 γ 23, C = 1 ν 21 ν 31 E 1 E 2 ν 12 1 ν 32 E 1 E2 E E ν 13 ν 23 1 E 1 E 2 E G G G 23, σ = σ 11 σ 22 σ 33 σ 12 σ 13 σ 23

15 2.3 Fastlæggelse af tværsnitskonstanter For ortotropiske materialer indeholder fleksibilitetsmatricen C flere forskellige materialeparametre, da der er forskellige egenskaber i hver fiberretning. Da C skal være symmetrisk gælder følgende forhold mellem elasticitetsmodulerne og Possions forhold. ν 12 E 1 = ν 21 E 2 Ved dette udtryk kan materialeparametrene angivet i tabel 2.1 kontrolleres, og det viser sig, at disse stemmer overens, da begge sider af lighedstegnet giver ca. 1, mm 2 /N. Forsøg har vist, at den anvendte glasfiber har styrkerne angivet i tabel 2.2, hvor de angivne styrkeparametre er gældende for glasfiber i tør tilstand og med en temperatur mellem -20 C og 60 C. Karakteristiske styrkeværdier [MPa] Bøjestyrke, f b,0 240 Bøjestyrke, f b, Trækstyrke, f t,0 240 Trækstyrke, f t,90 50 Trykstyrke, f c,0 240 Trykstyrke, f c,90 70 Forskydningsstyrke, f t 25 Tabel 2.2 Styrkeparametre fundet gennem målinger udført af Fiberline Composites A/S. [4] Ud fra tabel 2.1 og 2.2 kan det konkluderes, at glasfiber har en styrke i længderetningen, som minder om eksempelvis armeringsståls, men er svagere i tværretningen. Ligeledes ses det, at glasfiber har et elasticitetsmodul, som er ti gange mindre end ståls. Dette medfører, at det i visse situationer ikke er hensigtsmæssigt at bruge glasfiber som konstruktionsmateriale, hvis der eksempelvis skal laves store spændvidder, da glasfiberbjælker får en væsentlig større udbøjning end en tilsvarende bjælke i stål. Derimod kan glasfiber med fordel bruges i en gitterkonstruktion eller andre konstruktioner, hvor der er behov for lav vægt kombineret med stor styrke. Ud over materialeegenskaberne skal de relevante tværsnitskonstanter for profilet bestemmes før glasfiberbjælken analyseres. Dette gøres i det følgende. 2.3 Fastlæggelse af tværsnitskonstanter På baggrund af det valgte glasfiberprofil fastlægges de relevante tværsnitskonstanter. Tværsnitskonstanterne anvendes i den resterende del af rapporten, hvor de indgår i forskellige beregninger af bl.a. spændinger og deformationer. Profilets tværsnit kan ses på figur 2.2. Figur 2.2 Glasfiberprofilets tværsnit importeret fra Fiberline Composites A/S s hjemmeside. Mål i mm. [5] Profilet har en udvendig dimension på mm og en godstykkelse på 8mm. Det ses på figur 2.2, at profilet ikke er fuldstændig firkantet, men har afrundede hjørner både indvendig og udvendig. På 13

16 2. Indledende analyse af glasfiberbjælken grund af de afrundede hjørner er en eksakt beregning af tværsnitskonstanterne mere omstændig, end hvis profilet havde været helt firkantet. For eksempel kan inertimomentet ikke længere bestemmes vha. formler for simple geometriske figurer. Betragtes profilet som fuldstændig firkantet, dvs. der ses bort fra de afrundede hjørner, kan beregningerne af tværsnitskonstanterne nemt gennemføres. For at vurdere betydningen af at medregne de afrundede hjørner, bestemmes tværsnitskonstanterne for hhv. et forsimplet profil med vinkelrette hjørner og det korrekte profil, hvorefter resultaterne sammenlignes. I bilag A er beregningen af tværsnitskonstanterne for begge profiler gennemført og resultaterne kan ses i tabel 2.3. For inertimomentet og det elastiske modstandsmoment er der kun opgivet én værdi, da profilet er dobbelt symmetrisk, hvorfor det er ens om y- og z-aksen. I tabel 2.3 er desuden angivet de tværsnitskonstanter, som Fiberline Composites A/S oplyser på deres hjemmeside for det pågældende profil. Areal, A Inertimoment, I y Modstandsmoment, W el,y [m 2 ] [mm 4 ] [mm 3 ] Korrekt profil , Forsimplet profil , Oplysninger fra Fiberline , Tabel 2.3 Tværsnitskonstanter beregnet for det korrekte og forsimplede profil, samt de opgivne værdier fra Fiberline Composites A/S s hjemmeside. [4] Ud fra tabel 2.3 kan det bestemmes, som gjort i bilag A, at en beregning af tværsnitskonstanterne for det korrekte profil medfører et areal, et inertimoment og et modstandsmoment, som er 0, 35% større end ved det forsimplede profil. Det kan dermed konkluderes, at det er fordelagtigt at forsimple profilet til et helt firkantet profil, idet afvigelserne herved er minimale. Samtidig lettes beregningsgangen både for de numeriske og analytiske metoder. Desuden giver resultaterne fra det forsimplede profil værdier, der er mindre end det korrekte, og dermed giver det spændinger og deformationer, der er på den sikre side, i forhold til traditionelle brud- og anvendelsesberegninger. De beregnede tværsnitskonstanter sammenlignes desuden med de oplysninger Fiberline Composites A/S giver på deres hjemmeside. Det ses i tabel 2.3, at Fiberline Composites A/S opgiver nogle tværsnitskonstanter, der er større end dem, der er blevet beregnet med det korrekte profil. Beregning af arealet for det korrekte profil er kontrolleret ved at importere en tegning af profilets tværsnit fra Fiberline Composites A/S s hjemmeside i AutoCad og hermed få programmet til at beregne tværsnitsarealet. Resultatet i AutoCad stemmer overens med det beregnede resultat, og dermed oplyser Fiberline Composites A/S større værdier end det, der kan beregnes ud fra de tegninger, som foreligger. I den resterende del af rapporten vil der på baggrund af undersøgelserne i dette afsnit blive taget udgangspunkt i tværsnitskonstanterne for det forsimplede profil. 2.4 Bjælkens indre kraftfordeling Bjælkens indre kraftfordeling analyseres ud fra ligevægts betragtninger. I beregningerne betragtes glasfiberbjælken, som en plan bjælke, hvilket betyder, at bjælkeaksen og de kræfter, der virker på bjælken, skal ligge i samme plan. I virkeligheden bliver kræfterne ikke påført direkte i bjælkeaksen, men bjælken bliver belastet over en bredde svarende til bjælkens bredde. Det antages, at belastningen over bredden er jævnt fordelt, så resultanten går gennem bjælkeaksen, hvorfor der optræder en tilnærmet plan situation. Bjælkens egenlast tages ikke med i beregningerne, da denne er meget lille i forhold til den belastning, som bjælken udsættes for. På figur 2.3 ses det statiske system for bjælken. 14

17 2.5 Maksimal belastning for bjælken x [m] Figur 2.3 Statisk system for glasfiberbjælken. Snitkræfterne i glasfiberbjælken bestemmes ved at opstille statisk ligevægt for hvert snit af bjælken. Dette er gjort i bilag B.1, hvor moment- og forskydningskraftfordelingen er fundet. Snitkraftfordelingerne er bestemt for en last P = 1kN, idet det er formen af bjælkens indre kraftfordeling der ønskes bestemt. Der antages lineær sammenhæng mellem den påførte last og den indre kraftfordeling, idet der regnes elastisk og der ses bort fra 2. ordens effekter. Det er derfor muligt at skalere moment- og forskydningskraften op i forhold til den belastning der påføres. Moment- og forskydningskraftkurven kan ses på figur 2.4 og 2.5, hvor kurverne er optegnet ud fra l = 2.100mm, b = 600mm, a = 100mm og en last på P = 1kN jvf. figur 2.3. M( x) [Nm] x [m] M( x) 200 [Nm] 400 V( x) [N] x [m] Figur 2.4 Momentkurve for glasfiberbjælken. Figur 2.5 Forskydningskraftkurve for glasfiberbjælken. På figur 2.4 ses, at momentet mellem understøtning og last er lineært fordelt, og der opstår et konstant moment på 600Nm mellem de to punktlaster. Ud fra figur 2.5 ses, at der er en konstant forskydningskraft på 1.000N mellem understøtning og last, mens forskydningkraften er nul mellem de to punktlaster Maksimal belastning for bjælken Ud fra moment- og forskydningskraftfordelingen er det muligt at bestemme de maksimale normalogv ( forskydningsspændinger x) [N] 0 i glasfiberbjælken. Herudfra bestemmes hvor stor en last der kan påføres profilet, uden der opstår brud. Normalspændingerne beregnes vha. Naviers formel hvorved maksimalspændingerne σ max i de yderste fibre beregnes. Dette er gjort i bilag B.2. For en last P = 33kN fås x [m] σ max = 237MPa < f b,0 = 240MPa hvormed bæreevnen er overholdt i forhold til normalspændingerne forårsaget af bøjningsmomentet. Forskydningsspændingerne beregnes vha. Grasshoffs formel, hvilket er gjort i bilag B.2. Den maksimale forskydningsspænding optræder i bjælkemidten. For en last P = 32kN fås τ max = 24MPa < f τ = 25MPa 15

18 2. Indledende analyse af glasfiberbjælken hvormed bæreevnen er overholdt i forhold til forskydningsspændingerne. Idet både bæreevnen i forhold til normal- og forskydningsspændingerne skal overholdes, vælges at påsætte en last på P = 30kN i de numeriske beregninger. I bilag B.3 er normalspændingerne i tre udvalgte punkter fundet for en last på 30kN. Disse kan ses i tabel mm 1.300mm 1.700mm Beregningsmodel [MPa] [MPa] [MPa] Analytisk 215, 1/ 215, 1 215, 1/ 215, 1 107, 5/ 107, 5 Tabel 2.4 Normalspændingerne σ 11 i bjælken i udvalgte punkter, hvor det før skråstregen er på oversiden, og efter skråstregen er på undersiden. De fundne normalspændinger sammenlignes i et senere kapitel med normalspændingerne fundet vha. af numeriske beregningsmetoder i Abaqus. 2.6 Udbøjning af glasfiberbjælken ud fra bjælketeorier Udbøjningen af den simpelt understøttede bjælke, som kan ses på figur 2.3, beregnes i dette afsnit ud fra to bjælketeorier. Først beregnes udbøjningen ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien, som almindeligvis anvendes ved bjælker, der betragtes som slanke. Derefter beregnes udbøjningen vha. Timoshenko bjælketeorien, hvorefter resultaterne sammenholdes. Ved anvendelsen af begge bjælketeorier accepteres følgende forudsætninger: Flytningerne er små i forhold til legemernes dimensioner Deformationerne er små Materialet er lineært elastisk Ligevægtsligningerne kan opstilles i udeformeret tilstand Tværsnittets form forbliver uændret under deformation [3, s. 15],[6, 1. lektion] Endvidere er der for bjælkeberegningerne antaget E = E 1 = E 2, G = G 12 = G 13 = G 23 og ν = ν 12, hvilket giver et forsimplet ortotropisk materiale. Ved et forsimplet ortotropisk materiale menes et materiale med samme stivhed i både 1- og 2-retningen, men hvor forskydningsmodullet gør, at relationen for isotropiske materialer ikke er overholdt. Relationen for isotropiske materialer er som følger E = G 2 (1 + ν) (2.2) Følgende materialedata anvendes derfor jvf. afsnit 2.2 E = MPa ν = 0, 23 G = 3.000MPa Udbøjning regnet efter Bernoulli-Euler bjælketeori For Bernoulli-Euler bjælketeorien er den grundlæggende kinematiske antagelse, at plane tværsnit forbliver plane, og tværsnittet forbliver vinkelret på den deformerede bjælkeakse. Dette betyder, at tværsnittet

19 2.6 Udbøjning af glasfiberbjælken ud fra bjælketeorier ikke deformeres, men bevæger sig med stivlegeme bevægelser, og der af denne grund ikke forekommer forskydnings- og vinkeltøjninger over tværsnittet. Der vil således ikke være nogle forskydningsspændinger over tværsnittet jvf. de kinematiske betingelser. Dette er ikke korrekt fysisk antagelse, idet der vil optræde forskydningsspændinger i virkeligheden, hvilke bestemmes statisk ud fra ligevægtsligningerne. [7, s. 5 og 8] I teorien tages der kun hensyn til tværudbøjningen w(x), hvorfor krumningen er lig med den anden afledede af bjælkens udbøjning ved små flytninger, dvs. κ = d2 w(x). Ud fra hhv. den kinematiske, statiske dx og fysiske feltbetingelse opstilles en differentialligning for udbøjningen 2 af bjælken [3, s ]. Idet momentfordelingen M(x) er kendt jvf. afsnit 2.4 anvendes differentialligningen hvor E er elasticitetsmodulet [MPa] I y er bøjningsinertimomentet [mm 4 ] d 2 w(x) dx 2 = M(x) E I y (2.3) Differentialligningen er af anden orden, og der skal derfor benyttes to randbetingelser til fastlæggelse af den fuldstændige løsning til randværdiproblemet. Der anvendes desuden overgangsbetingelser, idet der ellers optræder diskontinuitet ved enkeltkræfterne. [3, s ] Randbetingelserne er givet ved, at flytningen er nul ved understøtningerne, samt at vinkeldrejningen er nul midt på bjælken, da bjæken belastes symmetrisk. Indicies på w angiver, hvilket snit, jvf. figur 2.3, dette gælder for. w 2 (a) = 0 dw 3 ( l 2 ) dx Overgangsbetingelserne er givet ved at flytningen og vinkeldrejningen, i de punkter hvor lasten påføres og bjælken understøttes, er den samme set fra både højre og venstre side. = 0 w 1 (a) = w 2 (a) dw 1 (a) = dw 2(a) dx dx w 2 (a + b) = w 3 (a + b) dw 2 (a + b) dx = dw 3(a + b) dx I bilag B.4 bestemmes udbøjningen w(x). Udbøjningen er bestemt for en last P = 1kN, og da der er lineær sammenhæng mellem den påførte last og udbøjningen, når der ses bort fra 2. ordens effekter, er det muligt at skalere udbøjningen i forhold til den belastning der påføres. På figur 2.6 ses en graf for bjælkens udbøjning ved en belastning på 1kN. 5 w( x) f( x) [mm] x [m] Figur 2.6 Udbøjningen ved brug af Bernoulli-Euler teorien ved en belastning på P = 1kN. 17

20 2. Indledende analyse af glasfiberbjælken I afsnit 2.5 er det valgt, at der skal påsættes en last P = 30kN på bjælken. Udbøjningen for denne belastning findes ved at skalere værdierne fra figur 2.6. I tabel 2.5 ses den skalerede udbøjning i udvalgte punkter målt fra venstre enden af bjælken. 100mm 400mm 850mm 1050mm [mm] [mm] [mm] [mm] Analytisk Bernoulli-Euler 0 35, 1 69, 5 73, 3 Tabel 2.5 Bjælkens udbøjning i udvalgte punkter beregnet ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien ved en last P = 30kN. Ud fra tabel 2.5 kan det ses, at den maksimale udbøjning på midten af bjælken er 73, 3mm, hvilket kan betragtes som en betydelig flytning. Der optræder derfor ikke små flytninger, som er en af forudsætningerne for Bernoulli-Euler bjælketeorien, hvorfor en bedre modellering af bjælken ønskes. Først betragtes bjælken dog vha. Timoshenko bjælketeorien, selvom denne bygger på samme forudsætning Udbøjning regnet efter Timoshenko bjælketeori For Timoshenko bjælketeorien er den grundlæggende kinematiske antagelse, at plane tværsnit forbliver plane, tilsvarende Bernoulli-Euler bjælketeorien, men Timoshenko bjælketeorien adskiller sig fra Bernoulli-Euler bjælketeorien ved, at det deformerede tværsnit ikke forbliver vinkelret på den deformerede bjælkeakse. Ved Bernoulli-Euler bjælketeorien er der ingen forskydningstøjning over tværsnittet, da tværsnittet antages vinkelret på bjælkeaksen, hvilket ikke er tilfældet for Timoshenko bjælketeorien. Der tages her hensyn til forskydningsdeformationen ved at indføre en gennemsnitlig vinkeltøjning over tværsnittet. Denne forskydningstøjning medfører en tillægsdeformation af bjælkeaksen sammenlignet med Bernoulli- Euler bjælketeorien. [7, s. 8] Udbøjningen af bjælken w(x) ved brug af Timoshenko bjælketeorien afhænger derfor ikke kun af krumningen κ(x), men også af vinkeltøjningen γ(x). Som for Bernoulli-Euler bjælketeorien kan udbøjningen beregnes vha. opstillede differentialligninger, men her anvendes i stedet virtuelle kræfters princip. For Timoshenko bjælker kan udbøjningen således bestemmes i ét punkt ved formel (2.4), hvor der anvendes virkelige flytninger sammen med virtuelle kræfter. δq z w z = l 0 ( δqz Q z G A z + δm ) y M y dx (2.4) E I y hvor δqz, δm y er virtuelle kræfter [kn] og momenter [knm] Q z, M y er virkelige kræfter [kn] og momenter [knm] A z er forskydningsarealet [mm 2 ] [7, s. 31] Forskydningsarealet A z oplyses af Fiberline Composites A/S til 1440mm 2, hvilket ca. svarer til tværsnitsarealet af siderne på profilet, som er det normale at anvende som forskydningsareal for rektangulære rør. [8, s. 73] Beregningen af udbøjningen i ét punkt på bjælken er gennemført i bilag B.5 ved en belastning P = 1kN. Idet der er lineær sammenhæng mellem den påførte last og udbøjningen, når der ses bort fra 2. ordens effekter, er det muligt at skalere udbøjningen op i forhold til den belastning der påføres. Ved at udarbejde et MathCAD program, hvor placeringen af den virtuelle enkeltkraft er variabel findes udbøjningen for alle punkter i bjælken. MathCAD programmet kan findes på den vedlagte CD-ROM i mappen MathCAD-Timoshenko. Udbøjningerne kan ses på figur

21 2.6 Udbøjning af glasfiberbjælken ud fra bjælketeorier 4 BE (x) [mm] Timoshenko (x) [mm] Udeformeret x [m] Figur 2.7 Udbøjningen ved brug af Timoshenko og Bernoulli-Euler bjælketeori ved en belastning på 1kN. Som vist på figur 2.7 giver Bernoulli-Euler bjælketeorien en udbøjning på 2, 4mm, og Timoshenko bjælketeorien giver en udbøjning på 2, 6mm på midten af bjælken, hvor udbøjningen er størst. Det svarer i dette tilfælde til, at ved brug af Timoshenko bjælketeorien fås en maksimal udbøjning, der er 8,3% større end ved brug af Bernoulli-Euler bjælketeorien. I bilag B.6 er der foretaget en undersøgelse af, om udbøjningen skal beregnes vha. Bernouli-Euler eller Timoshenko bjælketeori for det givne længdehøjdeforhold, eller om begge teorier giver gode resultater. Herudfra er det fundet, at med et længdehøjdeforhold mellem bør det overvejes, hvor nøjagtige resultater der ønskes og herudfra vurderes hvilken bjælketeori der skal anvendes. Idet længdehøjdeforholdet for den bjælke, der analyseres er 21, bør det vurderes om Bernoulli-Euler bjæketeorien giver acceptable resultater. Det vurderes dog at med en bjælke på 2.100mm giver både Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien acceptable resultater. Den relative betydning af forskydningsdeformationer i forhold til bøjningsdeformationer afhænger af ( ) forholdet hl 2, så hvis der anvendes en højere eller kortere bjælke, stiger forskellen på udbøjningen mellem de to teorier [7, s. 12]. I FEM beregninger i afsnit 4.2 bruges faktoren φ z, når der arbejdes med bjælkeelementer. Faktoren indgår i stivhedsmatricer for bjælkeelementer. hvor A/kz svarer til forskydningsarealet [9, s. 27] φ z = 12 E I y k z A G l 2 Ved anvendelse af Bernoulli-Euler bjælketeorien er φ z lig med 0, men anvendes Timoshenko bjælketeorien bliver φ z i dette tilfælde lig med 0,06. Denne værdi skal sammenlignes med 1, idet bidraget fra bøjning er 1. Dette betyder, at forskydningsdeformationen giver et meget lille bidrag til udbøjningen af bjælken. Bernoulli-Euler bjælketeorien bliver ved meget korte eller meget høje bjælker uanvendelig, da forskydningsdeformationen er dominerende, hvilket der ikke tages højde for i denne teori. Beregningen af udbøjningen er ud fra Bernoulli-Euler bjælketeorien regnet ved at løse en differetialligning, hvorimod den ud fra Timoshenko bjælketeorien er regnet vha. virtuelle kræfters princip. Resultaterne er kontrolleret ved at lade G A z, da det medfører, at Timoshenko bjælketeorien går mod Bernoulli-Euler bjælketeorien (φ z 0). [7, s. 12] I afsnit 2.5 er det valgt, at der skal påsættes en lastning P = 30kN på bjælken, og udbøjningen for denne belastning findes ved at skalere værdierne i figur 2.7. I tabel 2.6 ses udbøjningen i udvalgte punkter på bjælken beregnet ud fra hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. 19

22 2. Indledende analyse af glasfiberbjælken 100mm 400mm 850mm 1050mm [mm] [mm] [mm] [mm] Analytisk Bernoulli-Euler 0 35, 1 69, 5 73, 3 Analytisk Timoshenko 0 37, 3 73, 6 77, 4 Tabel 2.6 Bjælkens udbøjning i udvalgte punkter beregnet ud fra hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. Ud fra tabel 2.6 er den maksimale udbøjning på midten af bjælken udregnet til 73, 3mm og 77, 4mm vha. hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien, hvilket kan betragtes som betydelige flytninger. Der optræder derfor ikke små flytninger, som er en af forudsætningerne for de to teorier. Dette kan betyde, at det ikke er korrekt at regne med en lineær sammenhæng mellem belastning og udbøjning, og teorierne derfor ikke giver de korrekte resultater i forhold til den udbøjning, der kan måles i laboratoriet. Ud fra laboratorieforsøgene er det muligt at undersøge, hvornår den lineære sammenhæng mellem belastning og udbøjning ophører. I kapitel 6 behandles de eksperimentelle metoder og det undersøges hvornår der ikke længere er lineær sammenhæng mellem belastning og udbøjning. 2.7 Opsamling Ud fra en spændingsanalyse er der fundet en øvre værdi for lasten på 32kN. Der er herudfra valgt en last P = 30kN som anvendes i de følgende analyser. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien er benyttet til at regne udbøjningen af bjælken. Bernoulli- Euler bjælketeorien har den grundlæggende kinematiske antagelse at plane tværsnit forbliver plane, og tværsnittet forbliver vinkelret på den deformerede bjælkeakse, hvilket giver en maksimal udbøjning på 73, 3mm. Der er desuden lavet en undersøgelse, der angiver for hvilket længdehøjdeforhold, det er mest fordelagtigt at anvende hhv. Bernoulli-Euler eller Timoshenko bjælketeori. Denne undersøgelse har givet et grænseområde for længdehøjdeforholdet af bjælken på 15-25, inden for hvilket glasfiberbjælken ligger, da l/h = 21, hvorfor det er en vurderingssag, om Bernoulli-Euler bjælketeorien giver tilstrækkeligt korrekte udbøjningsresultater. Blandt andet fordi glasfiberbjælken ligger i dette grænseområde, er udbøjningen regnet for begge bjælketeorier, men også for at undersøge hvilken indflydelse forskydningsbidraget i Timoshenko bjælketeorien har på den maksimale udbøjning. For Timoshenko bjælketeorien er den grundlæggende kinematiske antagelse, at plane tværsnit forbliverplane, tilsvarende Bernoulli-Euler bjælketeorien, men Timoshenko bjælketeorien adskiller sig fra Bernoulli-Euler teorien ved, at det deformerede tværsnit ikke nødvendigvis forbliver vinkelret på den deformerede bjælkeakse, hvilket giver en maksimal udbøjning på 77, 4mm. Forskellen på den maksimale udbøjning beregnet ved de to bjælketeorier er 5, 6%, hvilket stemmer fint overens med, at glasfiberbjælkens dimensioner ligger i det fundne grænseområde for længdehøjdeforholdet. Både Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorierne har en række begrænsninger, som bevirker, at det ikke er muligt at analysere en deformation af tværsnittet. Der ønskes derfor udarbejdet en model, hvor det er muligt at analysere en deformation af tværsnittet. Dette behandles i det følgende kapitel. 20

23 Kapitel3 Numeriske FEM-beregninger i Abaqus I følgende kapitel behandles glasfiberbjælken under anvendelse af elementmetoden. Kapitlet behandler en analyse af glasfiberbjælken vha. numeriske beregningsmetoder, hvor det kommercielle beregningsprogram Abaqus anvendes. Ud fra bjælkens geometri, belastning og randbetingelser findes deformationer og spændinger i bjælken. Kapitlet danner udgangspunkt for sammenligning med analytiske beregninger, anden del af de numeriske beregninger og de eksperimentelle resultater. Først analyseres bjælken vha. bjælkeelementer for at sammenligne med analytiske bjælkeberegninger og sidenhen vha. skalelementer for at tage højde for nogle af bjælketeoriernes begrænsninger. 3.1 Anvendte metoder Ved modellering af bjælken i Abaqus laves først simple modeller som gradvist tilnærmes forsøgsopstillingen og dermed den virkelige bjælke. Dette betyder, at der først udarbejdes bjælkemodeller, og senere skalmodeller. Den første model laves desuden for at verificere, at Abaqus giver de forventede resultater ligesom den første skalmodel laves for at kunne vurdere indflydelsen ved at gå fra en bjælke- til en skalmodel. Forskellen mellem bjælke- og skalteorien er bl.a., at tværsnittet iht. bjælketeorien ikke kan deformere i sit plan, og plane tværsnit forbliver plane, mens tværsnittet iht. skalteorien kan deformere i sit eget plan, og ikke nødvendigvis forbliver plant. Forskellen mellem bjælketeorierne og bjælkens virkelige opførsel er skitseret på figur 3.1. z z z Q Q Q y x y x y x Bernoulli-Euler Timoshenko Virkelig opførsel Figur 3.1 Deformation af tværsnittet over højden ud fra de to bjælketeorier, Bernoulli-Euler og Timoshenko, ift. bjælkens virkelige opførsel. [7] I beregningsprogrammet Abaqus modelleres glasfiberbjælken først vha. bjælkeelementer i et forsimplet ortotropisk materiale, hvor resultaterne sammenlignes med de simple analytiske beregninger jvf. afsnit Ved et forsimplet ortotropisk materiale menes et materiale med samme stivhed i både 1. og 2. retningen, men at relationen jvf. formel (2.2) ikke er opfyldt, hvilket gør, at det ikke er isotropt. Der laves to bjælkemodeller, én der regner efter Bernoulli-Euler bjælketeorien, og én der regner efter Timoshenko bjælketeorien. Bjælkemodellerne sammenlignes med de analytiske beregninger og i afsnit 4.2 med en bjælkemodel i MatLab. 21

24 3. Numeriske FEM-beregninger i Abaqus Ved behandling af bjælken som et to-dimensionelt problem, som det er tilfældet ved anvendelse af bjælketeorierne, tages der ikke hensyn til deformation af tværsnittet f.eks. i form af Braziereffekt. Det må derfor være en bedre tilnærmelse til virkeligheden at modellere bjælken som et skalelement, idet denne bl.a. giver mulighed for deformation af tværsnittet. Idet skalmodellen bør give en bedre modellering af bjælken end bjælkemodellerne, undersøges forskellen på bjælkemodellerne og en forsimplet ortotropisk skalmodel. I denne skalmodel modelleres laster og understøtningerne tilsvarende forholdene i bjælkemodelleringen. Den modellering er dog ikke fuldkommen, da glasfiber er et ortotropisk materiale og last- og understøtningsforholdene er anderledes i virkeligheden. For at imødekomme bjælkens virkelige egenskaber opbygges en ortotropisk skalmodel. Denne model opbygges først med last- og understøtningsforhold som den forsimplede ortotropiske skalmodel for at kunne vurdere indflydelsen ved at gå fra forsimplet ortotropisk til ortotropisk materiale. Herefter forbedres modelleringen af last- og understøtningsforholdene gennem tre trin således disse tilnærmes de virkelige forhold ved forsøg med bjælken. Den bedste af modellerne sammenlignes med de eksperimentelle resultater. Kapitlet indeholder således følgende afsnit: Bjælkemodel i forsimplet ortotropisk materiale (lineær analyse) Bernoulli-Euler bjælketeori Timoshenko bjælketeori Skalmodel i forsimplet ortotropisk materiale Last og understøtning langs linier (lineær analyse) Last og understøtning langs linier (ikke-lineær analyse) Skalmodel i ortotropisk materiale (ikke-lineær analyse) Last og understøtning langs linier Last og understøtning på flader Last og understøtning som påklistrede solide stålemner Last og understøtning som solide stålemner med mulighed for glidning I alle de nævnte afsnit bestemmes udbøjningen af glasfiberbjælken i punkter svarende til de steder, hvor der placeres flytningsmålere ved forsøget i laboratoriet. Derudover bestemmes spændingerne i glasfiberbjælken ved de fire første modeller. Dette gøres for at kunne sammenligne resultaterne indbyrdes samt med spændingerne beregnet analytisk. Ved de sidste modeller bestemmes tøjningerne i afhængighed af de forskellige understøtningsforhold. Tøjningerne bestemmes i udvalgte punkter svarende til de steder, hvor der placeres strain gauges ved forsøget i laboratoriet. Grunden til, at det er tøjningerne der bestemmes er, at disse kan måles direkte ved forsøgene Bjælkemodel i forsimplet ortotropisk materiale For at verificere, at ens forudsætninger giver identiske resultater ved en analytisk og en numerisk beregning, modelleres glasfiberbjælken i Abaqus, som bjælkemodeller efter hhv. Bernoulli-Euler og Timoshenko bjælketeorien. Bjælken betragtes i et to-dimensionelt plan, idet udbøjningen forekommer i en anden retning end bjælkeaksens udstrækning. Bjælkens deformation er i virkeligheden et tre-dimensionelt problem, men da lasten påsættes symmetrisk i bjælkens bredderetning kan lasten tilnærmes med en ækvivalent last gennem bjælkens centerlinie. Det er derfor tilstrækkeligt at betragte den i et to-dimensionelt plan. Bjælken opbygges efter samme geometri, som ved de analytiske beregninger, hvorfor den regnes som en simpelt understøttet bjælke. Lasten påføres som to punktlaster på 30kN i bjælkens centerlinie. Det statiske system for bjælken kan ses på figur 3.2.