Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik Vodkaklovnen, et modelleringsprojekt Udarbejdet af: Helle Laursen EUC-vest Spangsbjergmøllevej 72 6700 Esbjerg 0
Indholdsfortegnelse Indledning.side 2 Projektets overordnede udviklingssigte.side 2 Design af forløbet.side 2 Beskrivelse af forløbet.side 3 Elevernes udbytte.side 5 Evaluering.....side 6 1
Indledning: Denne rapport er udarbejdet i forbindelse med kurset Problemorienteret projektarbejde i, om og med matematik afholdt af RUC i efteråret 2004. Kursusdeltagerne var gymnasielærere. Rapporten redegør for kursets hovedopgave, som var at designe et projektforløb inden for matematisk modellering. Projektet skulle kunne anvendes i en 2.g-klasse. Emnet differentialregning var aktuelt og ville naturligt passe ind i årsfagplanen. Specifikt valgte vi at arbejde indenfor delemnet optimering. Projektet er vedlagt som bilag 1. Projektets overordnede udviklingssigte Succeskriteriet for dette projekt er, at eleverne udvikler en matematisk modelleringskompetence, som eleverne også kan anvende i andre sammenhænge. Det er intentionen, at eleven kan: Anvende faglig matematisk viden til at strukturere og simplificere et givet praktisk problem Reflekterer over og se begrænsningerne i modeller Kommunikere om opstilling, analyse og anvendelse af en matematisk model Vurdere og kritisere brug af modeller senere i undervisningsforløbet og gerne i andre faglige sammenhænge. Projektopgaven er en optimeringsopgave, som er et emne HTX-elever altid stifter bekendtskab med. I forhold til den normale praksis er der dog nogle væsentlige forskelle: 1. projektopgaven bliver udleveret på et tidspunkt, hvor eleverne slet ikke kender til emnet. Tanken er altså, at de selv skal opdage princippet i optimering, og evt. kan formulere hvordan differentialregning kan bruges i denne sammenhæng. Opgaven kan dog løses ved hjælp af grafer optegnet ved hjælp af grafregner. 2. Opgave b i projektet kræver, at eleverne indlægger forudsætninger, for overhovedet at løse opgaven. Altså har denne opgave ikke nogen klar løsning, men kræver at eleverne diskuterer hvilke forudsætninger der er ønskelige for det design, de har valgt at arbejde med. 3. Eleverne bliver inddelt efter niveau og der skal afleveres grupperapport Som supplerende fagligt stof vil eleverne komme til at arbejde med emnerne algebra, funktionsundersøgelse og rumlig geometri. Design af forløbet a) Valg af problemstilling Problemet eleverne skulle arbejde med, skulle have en indbygget motivation, forstået på den måde at hensigten var, at eleverne kunne tage problemet til sig som deres eget. Det betød, at vi søgte i deres virkelighed, altså noget de i hvert fald havde set før og kunne genkende. Valget faldt på Vodkaklovnen af flere grunde. Eleverne har i hvert fald set reklamerne for Ekstrabladet i TV, og derudover er salget af sodavandsdrinks i stærk stigning i disse år. For yderlig at skabe motivation har jeg forsøgt at skabe en pseudovirkelighed i projektformuleringen. Disse ting tilsammen har forhåbentlig den virkning, at eleverne tager problemet til sig som deres eget. 2
Eleverne skulle i projektet arbejde med at designe en vodkaklovn, under hensynstagen til at volumen var fastlagt og overfladearealet skulle minimeres. I første delspørgsmål var figuren en simpel cylinder, hvor der var et bestemt svar på opgaven. I andet delspørgsmål skulle eleverne arbejde med en flaske, som var sammensat af minimum to figurer. Det gør opgaven betydelig sværere, og kræver at eleverne må fastlægge forudsætninger, for overhovedet at kunne besvare spørgsmålet. I det sidste spørgsmål skal eleverne så forsøge at beskrive den metode, de har anvendt til opgave 1 og 2. Det er et forsøg på, at få dem til at reflektere over opgaven. Håbet er, at nogen kan beskrive optimeringsprincippet uden at det er blevet gennemgået for klassen. b) Matematiske forudsætninger Eleverne skal have gennemgået den indledende del af differentialregning, men de er ikke blevet introduceret i begrebet optimering. Der finder ikke nogen speciel introduktion til projektet sted, og eleverne får heller ikke udleveret andet materiale De må klare sig med den viden de har. Det skal nævnes, at eleverne er vant til at bruge cas-lommeregner i den daglige undervisning. c) Organisering Projektet forløber over cirka 3 uger, og eleverne får tildelt 8 lektioner a 45 minutter på klassen (4 gange 2 lektioner) De skal arbejde i grupper a 4 elever, som læreren denne gang har sammensat, så eleverne er nogenlunde jævnbyrdige og kan udfordrer hinanden i processen. Der skal afleveres en fælles rapport for hver gruppe. Eleverne havde i alle lektioner adgang til pc-lokaler, hvor programmet mathcad er installeret, og derudover har alle elever cas-lommeregner. d) Vejledning For at få fat i alle grupper var vejledningen sat i system. Jeg havde simpelthen planlagt at hver gruppe fik 10. minutters vejledning hver gang med undtagelse af 1. dag. e) Evalueringen Rapporterne vil blive bedømt efter 13-skalaen. Derudover udfylder eleverne et spørgeskema, hvor de bliver bedt om at evaluere processen (se bilag 2), og endelig bliver elevernes udbytte testet. Testen foregår ved, at eleverne i de samme grupper bliver bedt om at løse og aflevere en skriftlig besvarelse på en opgave, som har fælles træk med problemstillingen i projektet. Beskrivelser af forløbet. Elverne opfattede generelt problemstillingen som interessant og relevant, og udefra så det ud til, at de kastede sig over opgaven. Alle grupper klarede opgave 1 fint, og var til min overraskelse meget hurtige færdige med den opgave. Grupperne havde dog alle løst opgaven udelukkende ved hjælp af grafregner, og havde altså slet ikke berørt differentialregning. Nogle af grupperne skubbende jeg så lidt på, ved at spørge om minimumspunktet på grafen kunne findes på anden vis. Slutresultatet er, at alle grupper i rapporten har vist, at opgave 1 kan løses ved hjælp af differentialregning. 3
Eksempel på dialog omkring opgave 1: L: Er I allerede færdige med opgave 1 E: ja. Diameteren på cylinderen skal være 6, er det ikke rigtigt? L: jo, men forklar mig lige hvordan I har beregnet det? E: Vi har tegnet grafen og fundet minimumspunktet, (viser lommeregneren) L: Kunne man mon finde minimumspunktet på en anden måde? kunne I beregne det? I opgave 2 løb alle grupper ind i vanskeligheder. De gik meget op i at udtænke et godt design, og syntes helt klart at den del af opgave var sjov. Alle grupper ender ud med forskellige figurer, og de møder derved forskellige problemer undervejs i processen. Da de gik i gang med udregningerne, kom problemerne med de mange ubekendte, og ret hurtigt begyndte frustrationerne at brede sig. For alle grupper var det nødvendigt med vejledning i denne fase, for at de kunne komme videre. De var generelt meget overrasket over, at man må lave forudsætninger og grupperne havde også mange diskussioner om hvilke og hvor mange forudsætninger de skulle stille op. Afhængig af gruppernes design og de enkelte gruppers formåen måtte jeg hjælpe dem lidt med at få fastlagt rimelige forudsætninger. Alle løber dog ind i lange ligninger, som de har svært ved at overskue, simplificere og isolere i. Her er Caslommeregneren dog en god hjælp, og den blev anvendt i stor omfang. Eksempel på dialog omkring opgave 2: E1: vi har gjort ligesom i første opgave, og man får alt for mange ubekendte til at det kan løses? L: Ja hvordan kan man mon slippe af med nogen af de ubekendte? E2: kan man ikke sige at keglestubben og kuglekalotten har samme højde? E3: nej det må man ikke L: hvorfor må man egentlig ikke det? Opgave 3 i projektet har alle grupper haft vanskeligheder ved at forstå. Håbet var, at nogle kvikke elever måske ville formulere optimerings-princippet, som det står skrevet i lærebogen - det må siges at være mislykket. Jeg tror, eleverne har været så optaget af første del af projektet og simpelthen har brugt ressourcerne her. Under alle omstændigheder er denne del af besvarelsen generelt overfladisk og mangelfuld for alle rapporter. Den selvstændige refleksion som opgave 3 kræver, har eleverne ikke formået på dette tidspunkt. Vejledningen af grupperne foregik i klasselokalet. Der var på forhånd afsat 10 minutter pr. gruppe, her kunne grupperne stille spørgsmål og måske få et skub fremad. Som lærer er det rart, at det er struktureret. Man kan koncentrere sig om en gruppe af gangen, og man føler ikke, at de alle hiver i en på samme tid. Man får snakket med alle grupper og får en fornemmelse af, hvor langt de er i processen. Ulempen er dog, at man ikke har samme tid til at cirkulere i klassen og være tilstede. Det svære ved at yde god vejledning er, at finde den rigtige grænse for hvor meget man skal hjælpe. De skal jo gerne have et skub, så de kan komme videre i processen, men samtidige skal man jo ikke give dem svaret. At eleverne var niveauinddelt betød selvfølelig, at grupperne krævede differentieret vejledning. De dårlige grupper skulle have en del hjælp til at fastlægge forudsætninger, så problemstillingen blev overskuelig for dem. De gode grupper fik lov til at lege med matematikken og fik gode diskussioner ud af det. 4
Grupperne var gode til at udnytte de 10 minutter, de vidste de havde til rådighed, og var klar med spørgsmål. En klar fordel ved denne model er, at grupperne har haft tid til at bearbejde spørgsmålene, og ikke bare kalder på læreren ved det mindste problem, Ulempen er, at enkelte grupper måske oplever, at de sidder og venter i lange perioder uden at kunne komme videre (men det vil nok forekomme uanset hvad). At spørgsmålene bliver skrevet ned løbende, betyder også at eleverne skal redegøre for problemstillingen skriftligt, og min fornemmelse er, at det var medvirkende til, at de selv blev klogere og i sidste ende havde nemmere ved at skrive rapporten. Elevernes udbytte Rapporter i matematik er jo en del af hverdagen på HTX, og normalt er det meste af karakterskalaen i brug, når eleverne afleverer rapporter. Det er ikke tilfældet i dette projekt. Alle rapporter vurderes her til at ligge indenfor middelområdet, hvorfor mon? Jeg tror, det er forskellige ting, der gør sig gældende for de enkelte grupper. De dårligste elever har været placeret sammen og med deres egen problemstilling (figur). Resultatet er, at de har været nødsaget til at arbejde selv. De har undervejs fået hjælp til at indsnævre problemstillingen, så de kunne overskue den, hvilket har betydet at de har kunne skrive en læsevenlig rapport med en god dokumentation. De bedste elever har arbejdet med en svær problemstilling, som har udfordret dem fagligt. Det har været lige på grænsen af deres formåen, de har brugt mathcad i stor grad og har tydeligvis haft svært ved at få det dokumenteret ordentligt. Det har resulteret i en rapport af høj faglighed, men den er ikke læsevenlig og dokumentation er svag. Efterfølgende blev eleverne udsat for en test. Testen foregik ved, at eleverne i de samme grupper blev bedt om at besvare en skriftlig opgave, som har fælles træk med problemstillingen i projektet. Eleverne fik 30 minutter til opgaven. De blev informeret om, at det ikke var en prøve, de fik karakter for, men var en test af deres udbytte i forbindelse med det netop overståede projekt. Opgaven kan ses på bilag 3. Alle grupperne løser opgaven og har haft den rigtige ide, altså at få opstillet en funktion for arealet af vinduet. Dog er der flere, der undervejs i beregningerne laver simple fejl, trods det at ligningerne burde være overskuelige. Konklusionen må dog være, at eleverne kunne overføre princippet fra projektet til optimerings-opgaven. Jeg er overbevist om, at gennemgangen af emnet optimering (som klassen skal i gang med om en måneds tid) vil forløbe lettere end tidligere. I forbindelse med evalueringsskemaet (bilag 2) er det mest bemærkelsesværdige elevernes reaktion på niveau-deling. Det er tydeligt fra besvarelserne, at flere af eleverne (ca. en ¼) har følt sig stemplet, at de har oplevet at de var placeret i en dårlig gruppe. Generelt er eleverne ellers enige om, at projektopgaven har været sjov og faglig udfordrende. Enkelte synes den havde været for svær. Fagligt set har projektet betydet, at eleverne har oplevet, at matematikken kunne bruges til at opstille en model, som beskriver overfladearealet af en figur. Denne model kan så efterfølgende bruges til at træffe nogle valg, som har praktisk betydning. Det er også blevet tydeligt for dem, at denne model har sine begrænsninger såfremt figuren bliver for kompliceret. 5
Derudover har projektet naturligvis styrket elevernes færdigheder indenfor differentialregning (anvendelse af regneregler), og elevernes forståelse af sammenhængen mellem differentialkvotient og tangentens hældning er blevet bedre. Emnet funktionsundersøgelse vil være meget let at gå til herefter. Endvidere er elevernes evne til at arbejde med cas-lommeregner og matematikprogrammet mathcad blevet styrket, idet projektet forudsætte at disse værktøjer er til rådighed. Evaluering Projektet var meget åbent, og det betød jo at alle grupper arbejdede med forskellige problemstillinger og krævede differentieret vejledning. For at komme dette problem i møde, havde jeg besluttet, at der skulle afleveres grupperapporter frem for selvstændige rapporter. Endvidere var vejledningen sat i system, så jeg kunne undgå at alle hev og sled i mig på samme tid. Det betød, at jeg havde god tid til hver gruppe, både i vejledningsarbejdet og når rapporterne skulle rettes. Som tidligere nævnt reagerede nogle elever negativt på, at de var inddelt efter niveau. Det var specielt de faglige dårlige elever, som påpegede at de følte sig stemplet. Min oplevelse af forløbet var dog, at det fungerede rigtigt godt. Det betød, at de faglige dygtige elever udfordrede hinanden, og blev involveret i diskussioner ofte på et højt fagligt niveau. De mindre gode elever måtte selv arbejde for sagen, og kunne ikke som normalt søge hjælp hos andre grupper, da de jo havde hver deres problemstilling. Det førte indimellem til frustrationer, men samtidig betød det jo også, at de tog mere ansvar end normalt, og overraskende nok fik disse grupper alle afleveret rapporter med en høj formidlingsgrad. Endvidere tog jeg i vejledning meget hensyn til, at klassen var niveauinddelt. Jeg var bevist om, at nogle grupper havde brug for, at jeg indsnævrede problemstillingen, så de kunne overskue opgaven. Efter at dette er blevet debatteret åbent i klassen, og alle har set, at de har fået fornuftige karakterer ud af dette projekt, tror jeg at holdningen til niveaudeling har ændret sig. Jeg kunne sagtens finde på at bruge det igen. Det er vanskeligt på nuværende tidspunkt at udtale sig om, hvor meget eleverne har fået med sig i processen. Sikkert er det dog, at eleverne har prøvet at anvende matematik og IT til at opstille og analyserer på en model. Jeg tror, at denne proces har medvirket til, at eleverne har fået et mere nuanceret syn på modelbegrebet, og efterfølgende vil være mere kritiske overfor egen og andres brug af modeller. Givetvis har projektet også styrket elevernes færdigheder indenfor differentialregning, og elevernes forståelse af sammenhængen mellem differentialkvotient og tangentens hældning er blevet bedre. Som lærer har det været en positiv oplevelse at arbejde med dette projekt. Fagligt set har alle elever arbejdet fornuftigt, og timerne har været præget af godt humør og stort engagement fra elevernes side. 6
Bilag 1 Vodkaklovnen Et firma vil opstarte en produktion af den omdiskuterede VODKA-KLOVN, kendt fra Ekstrabladets reklamer i TV. Designerne i virksomheden beslutter at vodka-klovnen skal udformes som en dåse med klovnehovedet som et separat låg. Hovedet skal fungere som blikfang, og er i øvrigt uden betydning for resten af opgaven. Dåsen skal kunne indeholde ¼ liter vodka drink. Inden produktionens opstart skal dåsens udformning bestemmes når firmaet har et ønske om at minimere materiale-forbruget. a) hjælp designerne og bestem dåsens dimensioner Designerne er dog ikke helt tilfredse med designet og ønsker at afprøve en anden form inden man går videre. Man bestemmer sig til at fastholde klovnehovedet som et separat låg, men selve flasken skal nu bestå af to rumlige figurer. Firmaet har selvfølelig stadig et ønske om at minimere materialeforbruget. b) hjælp designerne i firmaet og kom med et forslag til vodkaklovnens udformning, herunder ønskes de to rumlige figurers dimensioner bestemt. c) Beskriv så generelt som muligt den metode du har anvendt i overstående opgaver. Organisering: I arbejder i grupper a 4 personer og der afleveres en fælles grupperapport. I har i alt 8 lektioner på klassen og rapporten afleveres den torsdag den 11. november Lektioner på klassen: Onsdag den 20. oktober november, 2 lektioner, projektet udleveres Torsdag den 21. oktober, 2 lektioner Torsdag den 28. oktober, 2 lektioner Torsdag den 4. november, 2 lektioner 7
Bilag 2 Evaluering af vodka-klovnen Giv til hvert af udsagnene et tal mellem 1 og 5 (1 svarer til JA, 3 svarer til BÅDE OG og 5 svarer til NEJ) Projektopgaven var for svær Projektopgaven var faglig udfordrende Projektopgaven var sjov at arbejde med Projektopgaven skulle bare overstås og afleveres Super at der skulle afleveres grupperapport og ikke selvstændig rapport Super at grupperne var fastlagt på forhånd Jeg var godt tilfreds med min gruppe Jeg vil gerne arbejde med et lignede projekt Jeg fik tilstrækkelig med hjælp undervejs i projektet Nævn det bedste ved projektopgave: Nævn det dårligste ved projektopgaven: Projektet mål er at udvikle matematisk modellerings-kompetence altså at du kan gå fra et konkret praktisk problem til en matematisk model som kan undersøges. Hvad er den primære forskel på den model du stiller op i opgave 1 og den model du stiller op i opgave 2: Beskriver en matematisk model altid virkeligheden? Nævn eksempler på situationer hvor matematiske modeller er anvendt: 8
Bilag 3 Opgave i modellering I forbindelse med en bygningsrenovering skal der udformes et vindue som vist skitseret på figur 1. Vinduets omkreds skal være 5 meter, og målene a og b skal fastlægges ud fra ønsket om, at der skal komme størst mulig lysmængde gennem vinduet. 1. Bestem målene a og b 2. Bestem vinduets areal. Figur 1 9
10
Vodkaklovnen Et firma vil opstarte en produktion af den omdiskuterede VODKA-KLOVN, kendt fra Ekstrabladets reklamer i TV. Designerne i virksomheden beslutter at vodka-klovnen skal udformes som en dåse med klovnehovedet som et separat låg. Hovedet skal fungere som blikfang, og er i øvrigt uden betydning for resten af opgaven. Dåsen skal kunne indeholde ¼ liter vodka drink. Inden produktionens opstart skal dåsens udformning bestemmes når firmaet har et ønske om at minimere materiale-forbruget. a) hjælp designerne og bestem dåsens dimensioner Designerne er dog ikke helt tilfredse med designet og ønsker at afprøve en anden form inden man går videre. Man bestemmer sig til at fastholde klovnehovedet som et separat låg, men selve flasken skal nu bestå af to rumlige figurer. Firmaet har selvfølelig stadig et ønske om at minimere materialeforbruget. b) hjælp designerne i firmaet og kom med et forslag til vodkaklovnens udformning, herunder ønskes de to rumlige figurers dimensioner bestemt. c) Beskriv så generelt som muligt den metode du har anvendt i overstående opgaver. Organisering: I arbejder i grupper a 4 personer og der afleveres en fælles grupperapport. I har i alt 8 lektioner på klassen og rapporten afleveres den torsdag den 11. november Lektioner på klassen: Onsdag den 20. oktober november, 2 lektioner, projektet udleveres Torsdag den 21. oktober, 2 lektioner Torsdag den 28. oktober, 2 lektioner Torsdag den 4. november, 2 lektioner