Matematiske kompetencer I dette kapitel skal du arbejde med forskellige matematiske kompetencer. I matematik skal du kunne andet og mere end blot at gentage paratviden og regne opgaver i kendte situationer. Du skal fx kunne bruge ligninger og ligningsløsning til at løse og beskrive forskellige situationer og problemstillinger fra omverdenen. Du skal også kunne løse en matematikopgave, som du ikke tidligere har arbejdet med, og du skal kunne bruge matematik til at argumentere for en bestemt løsning, kunne bedømme og opstille matematiske modeller m.m. Matematisk kompetence handler altså om, at du skal kunne forstå, anvende og tage stilling til, hvordan du kan bruge matematik i mange forskellige sammenhænge. Du skal i kapitlet arbejde med, hvad matematiske kompetencer er. Du skal ligeledes arbejde med opgaver, aktiviteter og undersøgelser, hvor du kan blive klogere på og udvikle dine egne matematiske kompetencer. De matematiske kompetencer kan bruges til at sige noget om, hvad man skal kunne i matematik både mens man uddanner sig, men også i ens hverdagsog arbejdsliv. MÅL, FAGORD OG BEGREBER Målet er, at du: kan forklare, hvad de seks matematiske kompetencer betyder kan udvikle matematiske kompetencer ved at løse problemer ved hjælp af matematik kan udvikle og vælge en strategi til at løse et problem, som rummer matematik. Du skal arbejde med: problembehandlingskompetence modelleringskompetence ræsonnements- og tankegangskompetence repræsentations- og symbolbehandlingskompetence kommunikationskompetence hjælpemiddelkompetence. FORHÅNDSVIDEN OPGAVE 1 Løs opgaven sammen med din makker og et andet makkerpar. A Diskuter, hvorfor I mener, det er vigtigt, at elever lærer matematik i skolen. B Find så mange argumenter som I kan for, at danske skoleelever skal lære matematik. Hvad skal de bruge det til? Hvorfor er det et vigtigt fag?
MATEMATISKE KOMPETENCER 7 TEORI MATEMATISK KOMPETENCE At have matematiske kompetencer betyder, at man har en viden, som gør, at man kan handle hensigts mæssigt i forskellige situationer og sammen hænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Matematisk kompetence består af seks forskellige delkompetencer, som du kan læse mere om herunder. Problembehandlingskompetence Forstå, løse og vurdere problemer Repræsentations- og symbolbehandlingskompetence Bruge og forstå repræsentationer og symboler i matematik Benzin Opstille og vurdere matematiske modeller Modelleringskompetence Kommunikere i, med og om matematik Kommunikationskompetence Stille spørgsmål, finde svar og argumentere Ræsonnements- og tankegangskompetence Bruge hjælpemidler til at løse problemer i matematik Hjælpemiddelkompetence = Problembehandlingskompetence, modelleringskompetence og ræsonnements- og tankegangskompetence handler om, at du i matematik skal kunne bruge din matematiske viden til at stille spørgsmål og svare på spørgsmål. Du skal fx vide, hvilke spørgsmål det giver mening at stille i matematik, og hvilke former for svar der er meningsfulde. Repræsentations- og symbolbehandlingskompetence, kommunikationskompetence og hjælpemiddelkompetence handler om, at du skal kunne bruge redskaber og sprog til at kunne kommunikere i og om matematik. Du skal fx kunne bruge forskellige hjælpemidler, og du skal kunne repræsentere resultater fra undersøgelser og formidle konklusioner til en bestemt gruppe mennesker. Når du løser problemer i matematik, trækker du ofte på flere matematiske kompetencer på samme tid. Du kan fx både bruge ræsonnements- og tankegangskompetencen sammen med repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen, når du fx forsøger at skrive ræsonnementer ned eller lave et matematisk bevis.
8 MATEMATISKE KOMPETENCER Løs opgaverne på opslaget sammen med din makker. OPGAVE 2 A I skal tegne et mindmap, hvor I skriver Matematisk kompetence i midten, og rundt om skriver I: Problembehandling, Modellering, Ræsonnement og tankegang, Repræsentation og symboler, Kommunikation samt Hjælpemidler. B Diskuter hver af kompetencerne og skriv ned, hvad I tænker, de betyder, om det minder om noget, I har hørt før, og hvad det har med matematik at gøre. TEORI PROBLEMBEHANDLINGSKOMPETENCE Problembehandlingskompetence handler om, at du skal kunne opstille og løse problemer i matematik, selvom du ikke umiddelbart har en metode til at løse problemet. Du skal både kunne løse problemer, som andre har opstillet, selvom du ikke har en løsningsmetode til problemet på forhånd, og du skal selv kunne opstille et matematisk problem og planlægge, hvordan du kan løse det. Det, der er et matematisk problem for nogle, er måske ikke et problem for andre, fordi de har redskaberne til at løse det. Et matematisk problem er en særlig type matematisk spørgsmål, som kræver, at du er nødt til at lave en matematisk undersøgelse for at kunne svare på spørgsmålet. Matematiske problemer kan handle om problemer fra hverdagen, hvor du kan bruge matematik til at løse problemet, fx hvis du skal undersøge, hvilket lånetilbud du skal bruge, hvilken ferie du har råd til osv. Men matematiske problemer kan også være ting fra matematikkens verden, fx hvilken type firkant har det største areal, hvis omkredsen skal være 30. Når du skal løse et matematisk problem, kan det være en god idé at have en strategi for, hvordan du griber det an. En problemløsningsstrategi kan fx bestå af de tre trin i figuren herunder. Forstå problemet Undersøge problemet Vurdere løsningen Afgrænse problemet. Prøve sig frem. Minder det om noget, jeg har prøvet før? Gennemføre en undersøgelse. Være systematisk i undersøgelsen. Vurdere løsningen i forhold til problemet. Undersøge om der er andre løsninger. OPGAVE 3 Find de rektangler, som opfylder følgende: længde og bredde skal være hele tal omkreds og areal skal være samme tal. A Forklar med jeres egne ord, hvad problemet er. B Beskriv, hvordan I kan undersøge problemet. C Gennemfør undersøgelsen. D Undersøg, om/hvordan I kunne have løst problemet på en anden måde. Beskriv hvordan.
MATEMATISKE KOMPETENCER 9 AKTIVITET SORTÉR PROBLEMER Aktivitet for to til tre personer. Materialer: Sortér problemer (A1), saks og digitale værktøjer. I denne aktivitet får I udleveret 12 kort. I skal sortere kortene ud fra, om I mener, at beskrivelsen på kortet er en opgave, som I nemt kan løse, eller om det er et problem, hvor I er nødt til at lave en undersøgelse, før I kan løse det. I behøver ikke i første omgang at løse alle problemerne. DEL 1 A Klip kortene på arket Sorter problemer (A1) ud. B Sortér kortene i to bunker ud fra, om I mener at det, der er beskrevet på kortet, er en opgave, hvor I har en metode, I kan løse opgaven med. det, der er beskrevet på kortet, er et problem, som kræver, at I er nødt til at lave en undersøgelse for at kunne løse problemet. C Vælg to kort, som I mener beskriver en opgave og to kort, som I mener beskriver et problem, og løs dem. DEL 2 A Gå sammen med en anden gruppe. B Sammenlign jeres måde at sortere kortene på. Tal fx om: Hvilke forskelle og ligheder har I? Hvad kendetegner de spørgsmål, I mener er opgaver? Hvad kendetegner de spørgsmål, I mener, er problemer? C Forklar, hvad I mener kendetegner et matematisk problem. OPGAVE 4 A Tegn en cirkel og konstruer cirklens indskrevne kvadrat og omskrevne kvadrat. I kan bruge vinkelrette linjer gennem centrum til det indskrevne kvadrat og tangenter til det omskrevne kvadrat. B Undersøg, om der er en sammenhæng mellem arealet af det indskrevne kvadrat og arealet af det omskrevne kvadrat. C Undersøg, om der er en sammenhæng mellem arealerne af andre ligedannede, regulære indskrevne og omskrevne polygoner til en cirkel, fx en trekant? En femkant? OPGAVE 5 TILBUD 1 Få vinklen (v) på din pizzaslice fordoblet gratis. v A Undersøg, hvilket tilbud der giver mest pizza. Beggrund jeres svar. OPGAVE 6 A Skriv en forskrift for tre forskellige funktioner, som går gennem punktet (2, 5). B Få en makker til at kontrollere dine forskrifter. OPGAVE 7 En cylinderformet træstav bliver savet skråt igennem, som figuren herunder viser. Højden på det højeste sted er 10 cm, og højden på det laveste sted er 3 cm. Radius i træstaven er 4 cm. A Beskriv, hvordan I kan beregne rumfanget af den udsavede træstav. B Beregn rumfanget. r TILBUD 2 Få radius (r) på din pizzaslice fordoblet gratis. SKITSE 10 cm 3 cm 4 cm
10 MATEMATISKE KOMPETENCER TEORI MODELLERINGSKOMPETENCE Modelleringskompetence handler om, hvordan man kan bruge matematik til at beskrive og løse problemer fra hverdagen eller fra verden omkring os. Modelleringskompetence handler både om at kunne opstille og vurdere matematiske modeller. En matematisk model kan vi bruge til at oversætte eller efterligne noget fra virkeligheden, så vi kan undersøge det med matematik. Matematisk modellering kan beskrives som en proces. Herunder er vist et diagram, der viser en modelleringsproces. Du skal først finde ud af, hvilken situation eller problemstilling fra virkeligheden, du ønsker at modellere. Herefter skal du opstille en problemstilling. Derefter laver du en situationsbeskrivelse, hvor du sorterer i de informationer, du har, og dermed får afgrænset din problemstilling. I den næste del af modelleringsprocessen skal du opstille en matematisk model, som kan beskrive den situation, du skal modellere. En matematisk model indeholder ofte variable og sammenhænge, fx lineære sammenhænge mellem to variable. Når du er kommet frem til et matematisk resultat, så skal du vurdere det i forhold til den virkelighed og problemstilling, som du tog udgangspunkt i. Nogle gange kan du komme frem til, at du er nødt til at ændre eller justere på din model eller er nødt til at ændre på en af de andre dele i modelleringsprocessen. Det kan fx være, du er blevet opmærksom på, at der er forhold i processen, som du ikke havde taget højde for. Når du mener, du har taget højde for de forskellige forhold og forholdt dig kritisk til de forskellige dele, så kan du give et matematisk svar på problemstillingen. Det kan være en god idé at bruge et digitalt værktøj, når du arbejder med matematiske modeller. Det er nemlig hurtigt at ændre på en matematisk model, hvis man har den i et digitalt værktøj. Se figuren nederst. Fx kan man have brug for at undersøge, om man har råd til et mobilabonnement. Hvis man ved, at man har 3000 kr. i lommepenge om året, og selv skal betale for mobilabonnement, kan vi lave en problemstilling: Har jeg råd til et mobilabonnement som koster 79 kr. pr. måned, når jeg har 3000 kr. i lommepenge på et år? Og hvor mange penge har jeg tilbage af mine lommepenge? Vi kan oversætte mobilabonnementet til en matematisk model, Pris = antal måneder 79 kr. Vi kan så bruge modellen til at finde ud af, hvad et mobilabonnement koster i 6, 12 eller n måneder. Og vi kan bruge modellen til at finde ud af, hvor stor en del af det årlige lommepengebeløb, vi har til rådighed, der går til mobilabonnementet. Ud fra det kan vi overveje, om det er bedre med et billigere abonnement, som måske har en pakke med fx færre GB data m.m. end den til 79 kr. pr. måned. PROBLEMSTILLING Sortering af informationer SITUATIONSBESKRIVELSE Fortolkning og vurdering MATEMATISK SVAR Oversættelse MATEMATISK RESULTAT Matematisk behandling MATEMATISK MODEL
MATEMATISKE KOMPETENCER 11 AKTIVITET VURDERING OG MODELLERING Aktivitet for tre til fire personer. Materialer: Tøj-klubben (A2), Vurdering og modellering (A3), saks og digitale værktøjer. I denne aktivitet skal I først vurdere modelleringer, som andre har lavet, og derefter skal I selv udføre en modelleringsproces. DEL 1 A Læs casen på arket Tøj-låneklubben (A2). B Forklar, hvad problemstillingen er i casen. C Beskriv modellen og resultatet af modelleringen. D Vurder afgrænsningen af problemstillingen for den case, der er beskrevet. Ville I ændre på noget? Er de relevante informationer taget med? E Vurder den model, der er beskrevet i casen. Er problemstillingen oversat hensigtsmæssigt til en matematisk model? F Vurder resultatet af modelleringen. Er tallene realistiske? Hvad tænker I om resultatet? G Vurder resultatet i forhold til problemstillingen. Hvilke variable kan ændre på resultatet? H Vurder, om I synes det er en god modellering og begrund hvorfor/hvorfor ikke. DEL 2 A Vælg en problemstilling fra arket Vurdering og modellering (A3). B Gennemfør en matematisk modelleringsproces, hvor I afgrænser problemstillingen, udvælger relevante informationer og oplysninger, opstiller en matematisk model, foretager beregninger og vurderer resultatet. C Gå sammen med andre i klassen, som har arbejdet med samme case. Præsenter jeres modellering for hinanden i grupperne og sammenlign jeres matematiske modeller. Diskuter, hvilke ting I har gjort ens og forskelligt, og om I bliver inspireret fra de andre gruppers modelleringsproces. OPGAVE 8 Noah hjælper sin far med at fjerne gamle fliser fra en terrasse i haven. Fliserne måler 40x40x4 cm, og der er ca. 60 m 2 terrasse. Hver flise vejer ca. 19 kg. Noah og hans far kører fliserne på en sækkevogn. De kan have fire fliser på sækkevognen ad gangen. Fliserne skal i gennemsnit køres ca. 75 meter på sækkevognen, hvor de kan blive læsset på en trailer og kørt væk. Traileren må højst læsses med 640 kg. Der er 10 kilometer fra Noahs hus til genbrugsstationen, hvor de kan aflevere fliserne. Bilen kører med en gennemsnitsfart på 40 km/t til og fra genbrugspladsen. A Opstil en matematisk model for, hvor lang tid det vil tage at fjerne alle fliserne. I kan fx overveje Hvor lang tid det tager at køre med fliserne på sækkevognen til og fra traileren? Hvor lang tid det tager at læsse og tømme traileren? Hvor hurtigt bilen kan køre med og uden læs? Hvor mange pauser Noah og hans far har brug for i løbet af dagen?
12 MATEMATISKE KOMPETENCER TEORI RÆSONNEMENTS- OG TANKEGANGSKOMPETENCE Ræsonnements- og tankegangskompetence handler om at kunne stille spørgsmål og finde svar i matematik, samt at vide hvordan man kan argumentere og begrunde ud fra matematik. Når man opbygger matematiske ræsonnementer, er det vigtigt at kunne skelne mellem definitioner, hypoteser og sætninger. En definition i matematik forklarer betydningen af et nyt ord eller begreb vha. allerede kendte ord eller begreber. En definition er en slags universel fælles beslutning om, hvad et matematisk begreb betyder. Definitioner er altså en vedtagelse af et ords betydning, og skal derfor ikke bevises. Vi kan fx definere, at en trekant er en plan figur, der er afgrænset af tre rette linjestykker, og vi kan definere, at en trekant kaldes retvinklet, hvis en af dens vinkler er 90. En hypotese er en antagelse om, at noget bestemt gælder. Man ved ikke, om en hypotese er sand eller falsk, men man kan prøve at undersøge det. Hvis man tror, hypotesen er sand, kan man forsøge at bevise den. Hvis man tror, hypotesen er falsk, kan man forsøge at modbevise den. Når det er bevist, at en hypotese er sand, så kaldes den en sætning. At fx vinkelsummen i en trekant er 180 er startet som en hypotese, men der findes bevis for, at den er sand, så nu er det en sætning: Vinkelsummen i en trekant er 180. Prøv at finde eksempler på bevis for denne sætning på internettet. Når man skal argumentere i matematik, så er det vigtigt, at man kan bruge og opstille hypoteser og undersøge, om de er sande eller falske. AKTIVITET DEFINITIONER, SÆTNINGER OG HYPOTESER Aktivitet for tre til fire personer. Materialer: Små stykker papir eller post-its og et digitalt værktøj. I skal undersøge, hvad I ved om firkanter, og formulere jeres egne definitioner, sætninger og hypoteser. DEL 1 A Skriv mindst tre påstande hver, som I mener gælder for firkanter. I skal skrive hver påstand på et lille stykke papir eller post-its. B Sorter jeres påstande i tre bunker. I skal for hver påstand vurdere, om I mener, det er en 1. definition noget, som forklarer matematiske begreber ved hjælp af allerede kendte ord og begreber. Et eksempel på en definition kunne være: en ret vinkel er en vinkel på 90. 2. sætning en påstand, som I kan bevise er sand. Et eksempel på en sætning kunne være: vinkelsummen i en trekant er altid 180. 3. hypotese noget, som I tror, er rigtigt, men som I ikke kan bevise. Et eksempel på en hypotese kunne være: Der kan være netop én ret vinkel i en trekant. Læg dem i tre bunker og lav en overskrift til hver bunke. C Hvis I mangler påstande i en af de tre bunker, skal I prøve at skrive nogle, så I har påstande i alle tre kategorier. D Vælg en hypotese og undersøg, om I kan bevise, om den er rigtig eller forkert.
MATEMATISKE KOMPETENCER 13 Løs opgaverne på siden sammen med din makker. OPGAVE 9 I de følgende opgaver skal I skrive et ræsonnement, altså et argument, hvor I bruger matematik til at begrunde med. SKITSE 115 D C v 49 A B A Forklar, hvilke ting der skal være opfyldt, for at figur ABCD er et kvadrat. D C A B B Hvis ABCD er et kvadrat, forklar da, hvordan I uden at måle kan vide, at trekant ABC er en ligebenet, retvinklet trekant. E Forklar, hvordan I kan bestemme størrelsen på vinkel v uden at måle eller bruge et geometriprogram. OPGAVE 10 I denne opgave skal I opstille en hypotese, som I efterfølgende skal afprøve. Forestil jer et rektangel, som har bredden 2, men som har en variabel længde l og arealet A. A Lav en hypotese, der beskriver, hvordan den graf, som viser sammenhængen mellem rektanglets sidelængde l og rektanglets areal A. ser ud i et koordinatsystem. I kan fx overveje, om grafen er en ret linje, en ikke-lineær kurve osv. B Tegn en skitse af, hvordan I tror grafen kommer til at se ud. Areal, A 60 Længde, L C Forklar, hvordan I uden at måle kan vide, at vinklen mellem de to regulære sekskanter er 60. D Forklar, hvilken af de tre omskrivninger af formlen for arealet af en trekant A = 1 2 h g der er korrekt. Forklar også, hvad der er forkert i mindst en af de to forkerte. 1. g = 2A h 2. g = 2h A 3. g = 1 2 h A C Afprøv jeres hypotese. Find ud af, hvordan I vil afprøve hypotesen. Vil I fx opstille en formel, vil I tegne i et geometriprogram, eller vil I gøre noget helt tredje? D Forklar, om jeres hypotese fra punkt A bliver bekræftet eller afkræftet. E Forestil jer, at I i stedet for rektanglet har et kvadrat med en variabel sidelængde, s. Lav en ny hypotese med en skitse, som viser sammenhængen mellem kvadratets sidelængde og arealet af kvadratet. Afprøv jeres hypotese.
14 MATEMATISKE KOMPETENCER TEORI REPRÆSENTATIONS- OG SYMBOLBEHANDLINGS- KOMPETENCE AKTIVITET REPRÆSENTATIONER PÅ FLERE MÅDER Repræsentation og symbolbehandling handler om, at du skal kunne bruge og forstå repræsentationer i matematik, bl.a. matematisk symbol sprog. Repræsentationer kan fx være tabeller, grafer, diagrammer, tegninger og lign. Matematisk symbolsprog indeholder ofte regneudtryk, tal og bogstaver, som du fx kender det fra formler og ligninger. Hvis du har lavet en undersøgelse og gerne vil vise resultatet, kan du fx vælge at lave et diagram. Diagrammet er en repræsentation af din undersøgelse. Du kunne også vise dine data i en tabel. Tabellen er en anden repræsentation. Repræsentationer kan se forskellige ud, men det er vigtigt, at man vælger en hensigtsmæssig repræsentation i forhold til det, man gerne vil vise med matematikken. Symbolbehandling handler om at kunne afkode matematisk symbolsprog, men det handler også om at kunne oversætte mellem symbolsprog og hverdagssprog. I mange matematikopgaver, som er eksempler på situationer fra hverdagen, bruger du din symbolbehandlingskompetence, når du oversætter fra hverdagssituationen til matematik. Du bruger også symbolbehandling, når du fx omskriver regneudtryk, som er skrevet med variable og tal. Du vil ofte opleve, at du bruger repræsentationsog symbolbehandlingskompetencen sammen med andre kompetencer, fx problembehandlingskompetencen eller modelleringskompetencen. Repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen kan ofte hjælpe os med at omsætte problemer til matematikholdige udtryk eller til matematiske modeller. Aktivitet for to til tre personer. Materialer: Repræsentationer på flere måder (A4) og et digitalt værktøj. I skal i denne aktivitet arbejde med at repræsentere noget, som er vist på en anden måde. Fx kan I vise data, der i forvejen er vist i en tabel, som en graf, eller I kan vise en funktionsforskrift som en graf eller en tabel. DEL 1 A Vælg et af felterne på arket Repræsentationer på flere måder (A4). Find en anden måde at repræsentere det, der er vist i det felt, I har valgt. Hvis det er en graf, kan I fx lave en tabel, et regneudtryk eller en sproglig forklaring. B Gentag punkt A med tre af de andre felter. DEL 2 A Byt jeres egne repræsentationer med en anden gruppe. Grupperne skal finde ud af, hvilke felter de omsatte repræsentationer passer med. B Gå sammen med gruppen, I har byttet repræsentationer med, og sammenlign jeres svar. Hvilke ligheder og forskelle er der på jeres svar? Har I fået gode idéer af hinanden til fremstilling af repræsentationer?
MATEMATISKE KOMPETENCER 15 OPGAVE 11 Formlen herunder kan man bruge til at beregne en procentvis ændring ud fra en begyndelsespris og en slutpris. p = s b b 100 % s er slutprisen, b er begyndelsesprisen, og p er den procentvise ændring. A Beregn den procentvise ændring, hvis prisen på en vare har ændret sig fra 299 kr. til 329 kr. B Hvis en vare koster 449 til at starte med, hvad er så slutprisen, hvis den procentvise ændring har været 15 %. C Omskriv formlen, så du ud fra en begyndelsespris og den procentvise ændring kan beregne slutprisen. OPGAVE 12 Herunder kan du se tre forskellige repræsentationer af karakterfordelingen fra terminsprøven i en 9. klasse. A Lav en hyppighedstabel, som viser fordelingen af karaktererne. Hvilket af diagrammerne kan du bedst bruge til at finde de relevante tal? B Find størsteværdi, mindsteværdi, variationsbredde og median for datasættet. Hvilket af diagrammerne kan du bedst bruge til at finde disse deskriptorer? C Forklar, hvilke forskelle, du synes, der er, ved at vise karakterfordelingen på de tre måder. OPGAVE 13 På en arbejdsplads er der M mænd og K kvinder. A Hvordan vil du sprogligt udtrykke, at M = K M = 1 3 K M = 2K B Skriv et udtryk, som beskriver, at der er fire mænd mere, end der er kvinder. C Skriv et udtryk, som beskriver, at der er halvt så mange mænd, som der er kvinder. D Skriv et udtryk, du selv finder på, og byt med en kammerat. Forklar for hinanden, hvad det udtryk, jeres kammerat har givet jer, fortæller om antallet af mænd og kvinder på arbejdspladsen. Karakterfordeling Boksplot 13 % 4 % 8 % 21 % 25 % 0 5 10 15 00 02 4 7 10 29 % Pindediagram 8 6 4 2 12 0 0 5 10 15
16 MATEMATISKE KOMPETENCER TEORI KOMMUNIKATIONSKOMPETENCE Kommunikationskompetence handler om, at du skal kunne udtrykke dig om matematik og med matematik. Du skal ligeledes kunne forstå, når andre udtrykker sig om og med matematik, og du skal kunne fortolke deres udtryk. Kommunikationskompetencen handler derfor om, at du skal kunne bruge matematiske fagord og begreber. kunne bruge matematikkens sprog, fx symbolsprog eller diagrammer og grafer som en del af din kommunikation. kunne kommunikere om og med matematik både mundtligt og skriftligt. kunne søge efter information. kunne vurdere de oplysninger, du finder, fx ved at søge information online. Kommer de fra en pålidelig kilde? Er den graf, du fx finder, kommunikeret ordentligt, eller er akseinddelingen på en måde, så grafen kommer til at blive fortolket på en bestemt måde osv. være bevidst om, hvem du kommunikerer til og med, når du kommunikerer om og med matematik. Er det en kammerat, en forælder, en lærer, en byrådspolitiker, et skolebestyrelsesmedlem osv.? Forskellige modtagere af vores kommunikation, kræver ofte forskellige måder at kommunikere på. AKTIVITET ET GODT SVAR PÅ EN UNDERSØGELSE Aktivitet for tre til fire personer. Materialer: Et godt svar på en undersøgelse (A5), To stjerner og en idé (A6), digitale værktøjer, papir og post-its. I denne aktivitet skal I arbejde med at lave skriftlige svar på undersøgelser. I DEL 1 skal I være sammen i grupper på tre til fire personer. I DEL 2 skal I være to grupper sammen. DEL 1 A Vælg i gruppen en af opgaverne og løs opgaven hver især. I skal lægge vægt på, at opgaven skal kommunikeres så godt som muligt. Print jeres besvarelser ud, eller skriv dem i hånden på papir. B Læs alles besvarelser igennem. C Præsenter på skift jeres besvarelser for hinanden, mens I giver feedback til den, der præsenterer. D Brug arket To stjerner og en ide (A6), hvor I hver især finder to ting, som I synes fungerer godt ved den besvarelse, der bliver præsenteret, og en idé, som kan gøre besvarelsen endnu bedre. DEL 2 A Brug den feedback, som alle i grupperne har fået. Sammenlign stjerner og idéer, som I hver især har fået. B Diskuter, om det er en god idé at bruge digitale værktøjer til jeres besvarelse. C Lav en fælles liste med ting, der er gode at huske, når man skal kommunikere om resultater af undersøgelser på skrift i matematik.
MATEMATISKE KOMPETENCER 17 OPGAVE 14 Påstand: Det gælder, at a + b = c, og det medfører, at c b = a. A Undersøg ved hjælp af taleksempler (mindst tre), om påstanden ser ud til at gælde. Prøv med både positive og negative tal. B Forklar med dine egne ord, hvad påstanden siger. C Lav et andet eksempel på noget, som a + b = c kan medføre. OPGAVE 15 Herunder er en række forskellige trekanter. A B C D F OPGAVE 16 Når vi i statistik arbejder med at analysere datasæt for fx at finde medianen, er der forskellige måder, man kan finde medianen på. A Undersøg, ved at søge efter indformation på fx internettet, i jeres formelsamling eller lignende, hvor mange forskellige måder, man kan finde medianen i et datasæt på. B Hvilke forskelle er der på de måder, I finder? C Hvilken af de forskellige måder, I fandt, var den mest udbredte? E G H I OPGAVE 17 Mathilde arbejder med en opgave, hvor hun skal undersøge fire regneudtryk, som skal kunne bruges til at beregne, hvad prisen er, hvis der er 20 % rabat på en vare. Hun undersøger følgende fire regneudtryk: Tillægsordene herunder kan beskrive trekanter: Spidsvinklet Stumpvinklet Retvinklet Ligebenet Ligesidet A Beskriv mindst tre trekanter med mindst et tillægsord fra listen. B Overvej, om flere af tillægsordene kan knyttes til samme trekant. Hvis det er tilfældet, så tegn i hvert tilfælde et eksempel på en trekant, hvortil man kan knytte mere end ét af de fem tillægsord. p 0,8 p 0,2 p p 0,2 0,8 p I sin besvarelse skriver hun: Jeg har reduceret de fire udtryk i et CAS-værktøj. p 0,8 = 0,8 p p 0,2 p = 0,8 p p 0,2 = 5 p 0,8 p = 0,8 p Jeg kan se, at de to første regneudtryk giver det samme. De to sidste regneudtryk giver noget forskelligt, og derfor må de to være forkerte. A Er Mathildes besvarelse et godt svar? Forklar, hvorfor/hvorfor ikke.
18 MATEMATISKE KOMPETENCER TEORI HJÆLPEMIDDELKOMPETENCE Hjælpemiddelkompetence handler om, at du skal kunne vælge, hvilke hjælpemidler der er de bedste at bruge i en given situation. Hvilket hjælpemiddel passer bedst til det formål eller den situation, jeg står med lige nu? Der er ofte mange hjælpemidler, som kan løse det samme problem, men alle hjælpemidler kan have begrænsninger, så det er nødvendigt at tænke sig godt om, før man vælger. Er det fx smartest at bruge et CAS-værktøj til dette problem? Eller kan det betale sig at bruge et geometriprogram til denne situation? Skulle jeg hellere bruge papir og blyant? Har jeg en app på min telefon, som kan hjælpe mig hurtigt videre? Osv. AKTIVITET DET BEDSTE VÆRKTØJ TIL OPGAVEN Aktivitet for tre til fire personer. Materialer: Centicubes eller andre brikker i forskellige farver, post-its, digitale værktøjer, blyant, lineal, lommeregner og Det bedste værktøj til opgaven (A7). I denne aktivitet skal I vurdere, hvilket hjælpemiddel der vil være det mest hensigtsmæssige at bruge til at løse forskellige opgaver eller matematiske problemstillinger med. I skal også arbejde med at finde på opgaver, som man bedst kan løse med et bestemt hjælpemiddel, og I skal afprøve hinandens opgaver. DEL 1 A Placer pladen fra Det bedste værktøj til opgaven (A7.2) midt på bordet mellem jer. Klip kortene på arket Det bedste værktøj til opgaven (A7.1 og A7.2) ud og læg dem med bagsiden op. B Vend nu et kort og læg det midt på pladen i det store felt. Den, der vender kortet, læser problemstillingen højt for de andre i gruppen. C Alle i gruppen skal overveje, hvilket hjælpemiddel, de vil bruge til opgaven og placere deres brik ved det valgte hjælpemiddel. D Forklar for hinanden, hvordan og med hvilket hjælpemiddel I vil løse opgaven. DEL 2 A Find på jeres egne eksempler på opgaver, som bedst løses med et bestemt hjælpemiddel. I skal i gruppen vælge 4-5 hjælpemidler fra pladen og lave opgaver til hvert hjælpemiddel. B Løs jeres opgaver, så I er sikre på, hvordan man gør. DEL 3 I skal nu gå sammen med en anden gruppe og bytte opgaverne fra DEL 2 med denne gruppe. A Nu skal hver gruppe beslutte og begrunde, hvilke hjælpemidler de finder bedst egnet til at besvare den anden gruppes opgaver.
MATEMATISKE KOMPETENCER 19 Løs opgaverne på denne side sammen med din makker. I skal bruge digitale værktøjer til at løse opgaverne. OPGAVE 21 Tabellen herunder viser antallet af elever på efterskole i skoleårene 2012-2017. OPGAVE 18 Omskriv udtrykkene og undersøg, hvilke udtryk der har samme værdi. Diskuter, om der er nogle af udtrykkene, I kan reducere i hovedet eller med papir og blyant. A 2a + 2(a 2) B 4(a + 1) 4 C (a + 1) 2 4 D a 2 (a 2) 2 E (a 1)(a + 1) + a 2 4 F 2(2a 2) OPGAVE 19 A Tegn tre forskellige regulære polygoner, som alle skal have omkredsen 10. B Undersøg, hvilken af jeres regulære polygoner, der har det største areal. C Tegn en cirkel med omkreds 10. D Undersøg, hvor mange procent af cirklens areal hver af jeres tre regulære polygoner dækker. OPGAVE 20 I skal opstille et budget for en lejrskole for en klasse med 25 elever og 2 lærere for 3 dage med de udgifter, I kan se herunder. Overnatning for både elever og lærere, pris i alt Mad, pris pr. person pr. dag Transport for hele turen, pr. person Entrébilletter for hele turen, pr. person 14 175 kr. 150 kr. 250 kr. 255 kr. A Undersøg, hvad de samlede udgifter til lejrskolen bliver. B Undersøg, hvor mange flere penge klassen kan bruge på entrébilletter pr. person, når de samlede udgifter til lejrskolen ikke må overstige 40 000 kr. Skoleår Antal elever 2012-2013 23 685 2013-2014 24 094 2014-2015 24 731 2015-2016 24 926 2016-2017 25 126 Kilde: uvm.dk En efterskolelærer mener, at antallet af elever har været lineært voksende i perioden 2012 til 2016. A Tegn et punktdiagram over udviklingen af elever på efterskole i perioden 2012-2016. B Indtegn en lineær tendenslinje i diagrammet, og vurdér, om I synes, læreren har ret. C Hvor mange elever vil gå på efterskole i 2022 ifølge tendenslinjen? D Find selv opdaterede tal på internettet, og undersøg, hvordan udviklingen er fortsat frem til i dag. E Sammenlign de opdaterede tal med tendenslinjen fra punkt B. OPGAVE 22 Tegn en kasse og en pyramide med samme rumfang. Begge figurer skal leve op til følgende: højden skal være et helt tal grundfladerne i de to figurer må ikke have samme areal. A Tegn mindst tre forskellige løsninger, som opfylder begge betingelser. B Vælg en af jeres løsninger fra punkt A, og tegn en udfoldning af begge figurer og find overfladearealet.