Betonkonstruktioner Lektion 4 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Fault of Engineering 1
Bøjning med forskdning -Brudtilstand Fault of Engineering 2
Introduktion til Diagonaltrkmetoden I forbindelse med bøjning optræder der normalt også forskdningspåvirkninger. I modsætningen til bøjningsmomenter og normalkræfter kan man i forbindelse med forskdning ikke nøjes med at betragte ét tværsnit. Der betragtes forskdningszoner. Fault of Engineering 3
Betragt forskdningszonen i den viste bjælke Der er prinipielt to virkemåder for forskdningskræfternes vej fra last til reaktion. Fault of Engineering 4
1. Buevirkning Fault of Engineering 5
1. Gittervirkning Fault of Engineering 6
Diagonaltrkmetoden Teori for forskdningsarmerede bjælker. Baseret på plastiitetsteorien Udviklet i Danmark i perioden 1975 1980 Implementeret i DS 411 i 1984 Implementeret i Euroode 2 i 2007! Før denne metode var forskdningsberegning baseret på empiriske formler. Fault of Engineering 7
Betragt udsnit af forskdningszonen. Fault of Engineering 8
Betragt udsnit af forskdningszonen: Tætsiddende, lukkede bøjler s b M 2 V V M 1 h Længdearmering A sw Fault of Engineering 9
Statisk model: Momentet optages af stringere Bøjlerne regnes jævnt fordelt og påvirket til trækfldning Hovdespændinger Betonen mellem stringerne påvirkes til et en-akset trk, som danner vinklen med vandret C M V x z x F Fault of Engineering 10
Betragt nu området mellem stringerne. C x F Fault of Engineering 11
Totale spændinger: x x x x x sx s sx Betonspændinger: x,, x x Ækvivalente bøjlespændinger:,, sx s sx Fault of Engineering 12
Betonspændinger: 0 σ Snit parallel med -aksen: τ x σ σ σ x σ x σ 2 os x 13
Betonspændinger: 0 σ Snit parallel med x-aksen: σ σ τ x σ σ σ sin 2 x σ sin os 14
Bøjlespændinger omregnet til jævnt fordelte spændinger: sx sx 0 s A b sw f σ s s x f f f f f f f f f f Fault of Engineering 15
Totale spændinger: x x x sx s x x sx Denne spænding skal sammen med C og F give resultanten nul idet bjælken ikke påvirkes af dre normalkraft x x os 2 sin b os sin 2 sw f Fault of Engineering 16
Lodret projektionsligning: V x bz x V bz Moment om trækstringeren: M C Cz M z x z 2 2 b 1 V ot 2 indsættes x og x os 2 os sin Moment om trkstringeren: F M z 1 V ot 2 I forskdningszonen øges trækkraften ift. Momentbidraget, mens trkkraften redueres Fault of Engineering 17
Lodret projektionsligning for et vilkårligt vandret snit giver: sin 2 sw f 0 b 2 sin b sw f sw x f ot b indsættes x x os sin x x x Fault of Engineering 18
Status: Formlerne er alene udledt vha. ligevægtsbetingelserne. Der er således tale om en nedreværdiløsning. Forudsat at momentbrud ikke er afgørende kan en nedreværdi for bjælkens forskdningsstrke findes af: sw x f ot b Dog må betontrkket ikke overstige betonens knusningsstrke: x os sin f * Fault of Engineering 19
f * f hvor effektivitetsfaktor Hvordan bestemmes vinklen? I prinippet kan vinklen vælges frit idet der er tale om en nedreværdiløsning! Hvordan bestemmes den optimale vinkel? Vinklen er optimalt når betonen knuses samtidigt med at bøjlerne flder! x os sin * x f os sin f * sw x f ot b Fault of Engineering 20
f * f hvor effektivitetsfaktor * x f os sin sw x f ot b Optimalt vinkel findes af: tan * 1 *, * A b sw f f * Indsættes udtrkket for den optimale vinkel i en af ovenstående udtrk for x fås: f * * 1 * Afbilder en irkel!! Fault of Engineering 21
* f Svare til en vinkel 45 1 Bøjler flder ikke 2 1 1 2 * Antagelsen om fldning i bøjlerne giver en dårlig nedreværdiløsning når * er større end ½. I dette tilfælde er det bedre at holde = konstant svarende til 45 o. Dette svarer til, at betonen knuses uden at bøjlerne flder. Det vil sige, der er tale om overarmeret tilfælde når * er > ½. Fault of Engineering 22
Samlet optimale løsning: * f 1 2 * 1 *,, * ½ * ½ f * f Fault of Engineering 23
Faktoren er mindre end 1 og kaldes effektivitetsfaktoren. Denne faktor tager hensn til, at betonen ikke er perfekt plastisk som det forudsættes. Effektivitetsfaktoren bestemmes ved at sammenligne de teoretiske resultater med forsøg. I NAD til EC2 er der foreslået følgende værdi: f 0.7 k, dog ikke mindre end 0.45 ( f k 200 i MPa) Fault of Engineering 24
Praktisk anvendelse af Diagonaltrkmetoden til dimensionering af forskdningsarmerede bjælker Hvordan beregnes den nødvendige bøjleafstand når forskdningspåvirkningen varierer fra snit til snit? Fault of Engineering 25
Betragt en bjælke med fordelt belastning på oversiden Hældningen af det en-aksede trk vælges Der indlægges et snit i bjælken med samme hældning som det valgte p C Vot V(x) z R zot F x Fault of Engineering 26
p C Regningsmæssige forskdningsspænding: Ed V Ed bz R s Bøjlernes samlede fldekraft i snittet: Vot V(x) F z N z ot A sw f s zot n z ot s Fault of Engineering 27
Forskdningsspænding: p C Ed V Ed bz Lodret projektion: N R px V (x) R s Vot V(x) z z ot A s sw f V Ed x zot F s A sw f V ( x) z ot Fault of Engineering 28
Hvis bjælken inddeles i delstrækninger med længden zotkan bøjleafstanden s bestemmes af nedenstående formel, hvor V(x) er den mindste forskdningspåvirkning på hver delstrækning: s A sw f V ( x) z ot p C V(x) z R zot zot F x Fault of Engineering 29
s A sw f V ( x) z ot Det fremgår, at jo større ot vælges, jo større bliver den nødvendige bøjleafstand s. Dvs., der kan spares på bøjlearmeringen når ot vælges så stort som muligt. Fault of Engineering 30