Betonkonstruktioner Lektion 3 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk 1
Teori fra 1. og. lektion Hvad er et stift plastisk materiale? Hvad er forskellen på en elastisk og plastisk spændingsfordeling? Hvad vil det sige at et tværsnit er normaltarmeret?
Bøjning med normalkraft -Brudtilstand 3
Formål: t beregne et armeret betontværsnits brudmoment når der samtidigt virker en normalkraft 4
Elementer udsat for bøjning med normalkraft 5
I praksis kan de af belastningen fremkaldte momenter og normalkræfter (M Ed og Ed ) virke uafhængigt af hinanden eller de kan være proportionale med hinanden. I begge tilfælde eftervises tværsnittet sædvanligvis ved, at man påfører tværsnittet normalkraften Ed og Beregner det tilhørende brudmoment M Rd, som så skal være større end M Ed. 6
Eksempel: M Ed og Ed uafhængige af hinanden. p F F M Ed 1 pl 8 Ed F 7
Eksempel: M Ed og Ed proportionalt med hinanden. e R M Ed R e Ed R 8
Bøjning med normalkraft. ormalkraften påføres tværsnittet. For denne situation beregnes brudmomentet. To ubekendte: M Rd, x To ligninger: Moment- og projektionsligning 9
Rektangulære tværsnit normaltarmerede. cu3 f cd d h/ h/ M Rd =? x x F c z s F s = s f yd F x b f c cd F s s f yd 10
Projektionsligningen: Fc Fs x s f yd bf cd z d x f cd d h/ h/ M Rd =? x F c z F s = s f yd 11
z F h d M c Rd Momentligning om armeringen: 1 x h F h d F M c s Rd Momentligning om midtelinien: z F x h M s Rd Momentligning om F c : lle tre ligninger kan anvendes til beregning af M Rd. su s y Husk at checke:
Overarmeret tilfælde, fremgangsmåde: cu3 f cd d h/ h/ M Rd x x F c z s < yd F s = s E s s Projektionsligningen giver. gradsligning for x: d x x b f cd E s s cu3 x 13
år x er fundet ved løsning af. gradsligningen kan M Rd beregnes: Momentligning om armeringen: M Rd d h F c z 14
Eksempel med normaltarmeret tværsnit Eksempel 3.1 Eksempel 3. 15
Eksempel: Beregn tværsnittets regningsmæssige brudmoment når der samtidigt virker en tryknormalkraft = 50 k i afstanden a =450 mm fra toppen. f f cd yd uk yd 7.6 MPa 417 MPa 8% 0.1% 800 700 = 50 k M =? a = 450 mm 5 ø0 400 CL 400 16
f cd x x F c x a = 450 mm 700 z = 50 k 100 F s = s f yd 5 ø0 400 CL 400 17
Projektionsligningen: 18 F c F s yd s cd f f x x cd yd s f f x 1 30mm 7.6 1 10 50 417 0 4 5 0.8 1 3 x
Momentligningen om armeringen: M Rd d a F z M F z d a c Rd c M Rd 0.8 30 1 7.6 700 3 0.830 5010 3 700 450 41610 6 mm 19
Check af armeringstøjningen: s cu d x x 700 30 0.35% 30 3 0.41% s yd 0.1% ntagelsen om flydning OK s uk 8% OK 0
M- diagram 1
Et M- diagram angiver alle de kombinationer af M og, som tværsnittet netop kan optage. Det betegnes også som tværsnittets brudbetingelse mht. M &. Brudbetingelser er altid konvekse.
Tværsnit b h d n so sn d o h/ h/ so M sn M,-diagrammet kan optegnes når samtlige kombinationer af (,M), som giver anledning til brud i tværsnittet, er fundet. 3
Spørgsmål: Hvilken af de to viste punkter (Z eller K) svarer til en kombination af M og, som kan optages af tværsnittet? M Ed Z K Ed (tryk) 4
M Ed på den sikre side B C D E Ed (tryk) B C D 5
M Ed B C D E Ed (tryk) B C D Hvert af de 8 punkter svarer til en bestemt tøjningstilstand 6
7
Punkt Svarer til nedenstående tøjningsfordeling: B M Ed C D E Ed (tryk) b B C D d n so d o so h + sn sn yd 8
Punkt B og B svarer til bæreevnen ved ren bøjning. B B M Ed C C D D E Ed (tryk) 9
B M Ed C cu3 yd D E Ed so + so + B C D sn yd sn cu3 Punkt C Punkt C 30
B M Ed C D E Ed so cu3 _ so _ B C D sn sn cu3 Punkt D Punkt D 31
B M Ed C D E Ed so B C D sn c3 Punkt E 3
Punkt so + F so = so f yd d o -h/ d n -h/ M sn F sn = sn f yd yd sn so f yd M sn d n h so d o h f yd 33
Punkt C cu3 x f cd so x F c F so = so f yd d o -h/ M d n -h/ sn F sn = sn f yd xbf yd cd sn so f yd hvor : x cu3 cu3 y d n M xbf cd h x sn d n h so d o h f yd 34
Formlerne for Punkt C gælder når trykarmeringen flyder. Ellers skal der regnes med F so = so E s s. Samme procedure for punkt C. 35
Punkt D cu3 f cd F so = so f yd so x=d n dn F c d o -h/ M sn d n bf cd so f yd M d n bf cd h d n so d o h f yd 36
Formlerne for Punkt D gælder når trykarmeringen flyder. Ellers skal der regnes med F so = so E s s. Samme procedure for punkt D. 37
Punkt E f cd so F so = so σ s F c d o -h/ M d n -h/ sn F sn = sn σ s c3 hbf cd sn so s σ s beregnes på baggrund af c3. M so d o h sn d n h s 38