Tektonik Program lektion 3 8.15-9.00 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt Ligevægtsbetingelser. 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Plant gittersystem Bestemmelse af stangkræfter Løsskæring af knuder. Rittersnit 10.00 10.30 Pause 10.30 12.00 Opgaveregning Kursusholder Poul Henning Kirkegaard, institut 5, Aalborg Universitet 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 1/91 Understøtninger Simpel understøtning en lodret reaktion F 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 2/91
Understøtninger Fast Simpel understøtning en lodret reaktion F y og en vandret reaktion F x 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 3/91 Understøtninger Indspændt understøtning en lodret reaktion F y, en vandret reaktion F x og et moment M 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 4/91
Understøtninger Understøtninger for stålbjælke 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 5/91 Reaktioner Definition: Hvis en understøtning forhindrer bevægelse af et konstruktionselement i en given retning, da vil konstruktionselementet bliver påvirket af en kraft (reaktion) i samme retning. På samme vis, hvis et konstruktionselement forhindres i at rotere, vil konstruktionselementet blive påvirket af et moment (reaktion). 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 6/91
Reaktioner Opstilling af beregningsmodel (frit legeme diagram) for indspændt bjælke vælg koordinatakser løsskær konstruktionsdel uendelig stiv angiv alle kræfter og momenter, såvel laster som reaktioner Last Reaktioner Tyngdelast 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 7/91 Reaktioner Opstilling af beregningsmodel for 200 kg tung kurv 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 8/91
Reaktioner Opstilling af beregningsmodel for gitterkonstruktion 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 9/91 Ligevægtsbetingelser Bestem reaktionerne 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 10/91
Ligevægtsbetingelser Beregningsmodel med reaktionerne A y, B y og B x 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 11/91 Ligevægtsbetingelser 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 12/91
Ligevægtsbetingelser Beregningsmodel med reaktionerne R a og R b 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 13/91 Ligevægtsbetingelser Fladelast lavet til enkeltlaster 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 14/91
Ligevægtsbetingelser 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 15/91 Ligevægtsbetingelser Bestem reaktionerne 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 16/91
Ligevægtsbetingelser Beregningsmodel med reaktionerne A x, A y og M A 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 17/91 Ligevægtsbetingelser 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 18/91
Ligevægtsbetingelser Opstil beregningsmodel 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 19/91 Ligevægtsbetingelser Beregningsmodel 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 20/91
Ligevægtsbetingelser Beregningsmodel med reaktionerne A x, A y og T 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 21/91 Ligevægtsbetingelser Statisk ubestemt = flere reaktioner end der kan bestemmes ved ligevægtsligninger 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 22/91
Ligevægtsbetingelser Statisk ubestemt = flere reaktioner end der kan bestemmes ved ligevægtsligninger 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 23/91 Ligevægtsbetingelser Ustabil system = for få randbetingelser, ingen vandret reaktion 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 24/91
Ligevægtsbetingelser Ustabil system = for få randbetingelser, ingen vandret reaktion 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 25/91 Ligevægtsbetingelser Ustabil system = for få randbetingelser, færre reaktioner end ligevægtsligninger 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 26/91
Plant gittersystem Hvorledesbestemmesde indre kræfter (stangkræfter) i et gittersystem? 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 27/91 Grimshaw - Waterloo Station -400-meter-long curved glass roof, -The length of the trains and the curve of the five new tracks determined the geometry -designed to use standard-size glass sheets -The form of the roof structure consists of thirty-seven prismatic, three-pinned bow string arches of varying spans covering the entire length of the trains 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 28/91
Plant gittersystem I et plant gittersystem er alle de konstruktive elementer (stænger) i samme plan 1. Knuder modelleres som charniere (leje). 2. Laster angriber i knuder. 3. Konstruktive elementer (stænger) har kun tryk eller trækkræfter. 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 29/91 Plant gittersystem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 30/91
Plant gittersystem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 31/91 Plant gittersystem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 32/91
Plant gittersystem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 33/91 Roof Trusses upper chord lower chord rise span KING POST 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 34/91
Roof Trusses diagonal WARREN 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 35/91 Roof Trusses ENGLISH or HOWE 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 36/91
Roof Trusses HOWE 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 37/91 Roof Trusses PRATT 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 38/91
Roof Trusses PRATT 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 39/91 Roof Trusses BOWSTRING 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 40/91
Bridge Trusses WARREN 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 41/91 Bridge Trusses HOWE 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 42/91
09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 43/91! Ikke plant gittersystem - rumgitter 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 44/91
Plant gittersystem Tagkonstruktion af gitterspær Ås 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 45/91 Plant gittersystem Kræfter på gitterspær antages at virke i knuderne 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 46/91
Plant gittersystem Gitterbro 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 47/91 Plant gittersystem Kræfter virkende på plan gitterbro 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 48/91
Plant gittersystem Stangkræfter i et gittersystem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 49/91 Plant gittersystem Stangkræfter i et gittersystem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 50/91
Plant gittersystem Mest simple gittersystem = 3 stænger og 3 knuder 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 51/91 Plant gittersystem Et gittersystem består af n = 3 + 2 ( j - 3 ) elementer og j knuder. Et gittersystem i ligevægt har 2j = n + r knuder med r reaktioner, r=3 for plant gitter. n < 2j r: statisk ubestemt n = 2j r: statisk bestemt n > 2j r: statisk overbestemt 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 52/91
Plant gittersystem Statisk ubestemt gittersystem n = 6 j = 5 r = 3 n < 2j-r 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 53/91 Plant gittersystem Statisk bestemt gittersystem m = 7 j = 5 r = 3 m = 2jr 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 54/91
Plant gittersystem Statisk overbestemt gittersystem n = 8 j = 5 r = 3 n > 2j-r 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 55/91 Plant gittersystem Laster angriber ikke uden for knuderne 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 56/91
Stangkræfter løsskæring af knude 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 57/91 Stangkræfter løsskæring af knude 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 58/91
Stangkræfter løsskæring af knude 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 59/91 Reaktioner Kontrol! 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 60/91
Reaktioner Kontrol! Tryk Træk Træk 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 61/91 Stangkræfter løsskæring af knude Identifikation af stænger uden kræfter i gittersytem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 62/91
Stangkræfter løsskæring af knude Identifikation af stænger uden kræfter i gittersytem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 63/91 Stangkræfter løsskæring af knude Identifikation af stænger uden kræfter i gittersytem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 64/91
Stangkræfter løsskæring af knude Identifikation af stænger uden kræfter i gittersytem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 65/91 Stangkræfter løsskæring af knude Identifikation af stænger uden kræfter i gittersytem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 66/91
Stangkræfter løsskæring af knude Identifikation af stænger uden kræfter i gittersytem = 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 67/91 Stangkræfter løsskæring af knude Identifikation af stænger uden kræfter i gittersytem 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 68/91
Knude G: + ΣF y = 0 F GC = 0 Knude D: + Σ F x = 0 F DF = 0 Knude F: + ΣF y = 0 F FC = 0 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 69/91 Stangkræfter Rittersnit Opstiller ligevægt for en del af et gittersystem, som er skåret ud (Rittersnit) 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 70/91
Stangkræfter Rittersnit Kun 3 stænger må skæres ved et Rittersnit, da der kun er 3 ligevægtsligninger. 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 71/91 Stangkræfter Rittersnit Bestem stangkræfterne i stængerne GE, GC og BC ved Rittersnit. 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 72/91
Stangkræfter Rittersnit Bestemmer reaktioner 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 73/91 Stangkræfter Rittersnit Bestemmer reaktioner x F = 0 x 400 A = 0 A x = 400 N y y F = 0 y A y A + D 1200 = 0 M = 0 1200(8) 400(3) + D (12) = 0 D A y = 900 N = 300 N y 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 74/91
Stangkræfter Rittersnit Der skæres i de 3 stænger GE, GC og BC 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 75/91 Stangkræfter Rittersnit 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 76/91
Stangkræfter Rittersnit 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 77/91 Stangkræfter Rittersnit 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 78/91
Stangkræfter Rittersnit Stangkræfterne i stængerne GE, GC og BC ved Rittersnit 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 79/91 Opgave 1 Bestem reaktionerne ved A 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 80/91
Opgave 1 - løsning Beregningsmodel med reaktionerne A x, A y og F BC 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 81/91 Opgave 1 - løsning 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 82/91
Opgave 2 Bestem stangkræfterne som funktion af lasten P ved løsskæring af knuder 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 83/91 Opgave 2 - løsning 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 84/91
Opgave 2 - løsning 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 85/91 Opgave 3 Bestem stangkraften i stængerne DE, EH og HG ved Riitersnit. 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 86/91
Opgave 3 - løsning Bestemmer reaktionerne A x, A y og G y 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 87/91 Opgave 3 - løsning Bestemmer reaktionerne A x, A y og G y x F = 0 M = 0 x x y y y A A = 0 20(4) 20(8) 40(12) + G (16) = 0 A = 0 G = 45 kn y F = 0 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 88/91 y A + G 30 20 20 40 = 0 A = 65 kn y
Opgave 3 - løsning Der skæres i de 3 stænger DE, EH og HG 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 89/91 Opgave 3 - løsning 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 90/91
Thank You for Your Attention 09-02-2006 13:37 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 91/91