Stokastiske processer og køteori

Transkript

1 Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1

2 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2

3 Vi skal kun se på åbne kønetværk (ankomst fra eksterne kilder, hver kunde forlader systemet med sandsynlighed 1). Ideelt vil vi gerne, at hvert delsystem ligner de køsystemer, vi véd, hvordan vi analyserer (M/M-systemer, M/GI-systemer). Interessante spørgsmål: 1. Hvordan ser ankomst/afgangsprocesser i delsystemer ud? 2. Hvilken indflydelse har det på beregninger, at delsystemer generelt afhænger af hinanden? 3. Hvordan beregnes performancestørrelser for (del)system? HVAD ER KØNETVÆRK? 3

4 POISSON AFGANGSPROCES HVORNÅR? Antag ankomstproces til et køsystem med intensitet a. Vi har Poisson afgangsproces m. intensitet a i køsystemerne M/M(m, ) med trafiktilbud A, hvis A/m < 1 (ligevægt) (Burke s sætning, del 1). M/GI(, 0)-køsystemet (uendeligt mange ekspedienter). Intuition: når systemet er i ligevægt er flow ind = flow ud. Ankomst- og afgangsprocessen må altså se ens ud. Burke s sætning, del 2: I M/M(m, ) gælder også, at antal kunder til t, N(t), er uafhængig af afgangsprocessen før tid t. Vi kan altså ikke bruge observationer af afgangsprocessen nu til at sige noget om antallet af kunder i systemet nu. POISSON AFGANGSPROCES HVORNÅR? 4

5 EKSEMPEL: SIMPEL TANDEMKØ Poisson M/M(1, ) Poisson M/M(1, ) Poisson Hvert delsystem kan analyseres separat som M/M(1, ). Lad N i (t) = antal kunder i delsystem i til tid t. Eftersom N 2 (t) kun afhænger af ankomstproces før tid t, som er uafhængig af N 1 (t) iflg. Burke s sætning, er N 1 (t) faktisk uafhængig af N 2 (t) (gælder generelt i Jacksonnetværk). EKSEMPEL: SIMPEL TANDEMKØ 5

6 FRA AFGANGSPROCES TIL ANKOMSTPROCES Ankomstprocesser til delsystemer er typisk Sammensat af flere afgangsproc./eksterne ankomstproc. En procentdel af en afgangsproc./eksterne ankomstproc. Begge dele. Reminder fra 2. forelæsning: Sum. Hvis N i uafhængige Poissonprocesser med int. a i, i = 1, 2, så er N 1 + N 2 en Poissonproces med intensitet a 1 + a 2. Udtynding. Lad N være en Poissonproces med intensitet a. Hvis Ñ er tælleprocessen, som fremkommer ved uafhængigt at inkludere den nte ankomst i N med sandsynlighed p, så er Ñ en Poissonproces med intensitet ap. FRA AFGANGSPROCES TIL ANKOMSTPROCES 6

7 Flere uafhængige Poissonkilder: Poisson (a 1 ) Poisson (a 2 ) Poisson (a k ). Poisson (a 1 +a 2 + +a k ) Sumproces har intensitet givet ved sum af afgangsintensiteter. Tilfældig allokering: Poisson (a) p 1 p 2 p k. Poisson (ap 1 ) Poisson (ap 2 ) Poisson (ap k ) Sandsynlighed p j for delproces j giver denne intensitet ap j. FRA AFGANGSPROCES TIL ANKOMSTPROCES 7

8 ERLANG ANKOMSTPROCESSER Cyklisk allokering: Poisson (a). Erlang (k, a/k) Erlang (k, a/k) Erlang (k, a/k) Delproces j får præcis hver jte ankomst. Dermed fås en Erlangproces af orden k m. intensitet a/k. Vanskeligt at benytte dette til eksakte beregninger pånær i meget simple kønetværk, fx simpel tandemkø. ERLANG ANKOMSTPROCESSER 8

9 EKSAKTE BEREGNINGER OPSUMMERING Vi kan regne eksakt på åbne kønetværk, hvor Eksterne ankomstprocesser er Poisson. Delsystemer med m servere, uafhængige eksp. fordelte ekspeditionstider og uendeligt mange ventepladser. Tilfældig kundeallokering mellem delsystemer. (Der ingen løkker er, dvs. hver kunde besøger hvert delsystem højest én gang). Fremgangsmåde: 1. Bestem ankomstintensitet for hvert delsystem vha. regnereglerne på slide Regn på hvert delsystem som på M/M(m, ). 3. Sammensæt evt. performancestørrelser fra delsystemer. EKSAKTE BEREGNINGER OPSUMMERING 9

10 EKSEMPEL: KØNETVÆRK UDEN LØKKER a = 2/time Antag at hvert delsystem er et M/M(1, )-system. Ekspeditionsintensiteter b 1 = 3, b 2 = 2.5, b 3 = 0.5, b 4 = 3. Dvs. delsystemer med ankomst/ekspeditionsintensiteter 1 : a = 2, b = 3, 3 : a = = 0.2, b = : a = = 1.8, b = : a = 2, b = 4. EKSEMPEL: KØNETVÆRK UDEN LØKKER 10

11 Hvad er den gennemsnitlige produktionstid (i ligevægt)? Gnsnt. antal kunder n i i delsystem i (i ligevægt); vi véd at n i = A i 1 A i, hvor A i trafiktilbud i delsystem i. Dvs. 1 : n 1 = 2/3 1 2/3 = 2, 2 : n 2 = 1.8/ /2.5 = : n 3 = 0.2/ /0.5 = : n 4 = 2/4 1 2/4 = 1. Dvs. samlet gnsnt. produktionstid (vha. Little s formel) V = 1 a (n 1 + n 2 + n 3 + n 4 ) = 3.79 EKSEMPEL: KØNETVÆRK UDEN LØKKER 11

12 KØNETVÆRK MED LØKKER (FEEDBACK) Eksempel på kønetværk med løkke/feedback. 2 a 1 1 p Antag at delsystemer kan modelleres som G/M(m, )-systemer og at ekstern ankomstproces er Poisson. Bemærk at intern ankomstproces (dvs. når feedback medregnes) ikke er en Poissonproces! Kan systemerne stadig analyseres som separate M/M(1, )-køsystemer? Ja ifølge Jackson s sætning. p KØNETVÆRK MED LØKKER (FEEDBACK) 12

13 JACKSONNETVÆRK Et Jacksonnetværk er et åbent kønetværk af G/M(m, )-køer, hvor eksterne ankomstprocesser er uafhængige Poisson, og kunder fra et køsystem allokeres tilfældigt til næste køsystem indtil kunden forlader køsystemet. Jackson s sætning: Et Jacksonnetværk kan analyseres ved at 1. Bestemme ankomstintensiteter a i til hvert delsystem ved at udnytte, at flow ind = flow ud for hvert delsystem i ligevægt. 2. Behandle hvert delsystem som om det var et M/M(m, )-system med ankomsintensitet a i uafhængigt af de øvrige delsystemer. 3. Evt. kombinere performancestørrelser på tværs af delsystemer. JACKSONNETVÆRK 13

14 EKSEMPEL: BEREGNINGER I JACKSONNETVÆRK Præcis samme teknik, som I brugte til 2. opgaveregning. λ 1 =9/time λ 2 =1/time 1 : a 1 = a + 0.2a 4 4 : a 4 = a 3 + a 2 2 : a 2 = 0.5a 1 5 a 5 = 0.8a 4 + λ 2 = λ 1 + λ 2. 3 : a 3 = 0.5a 1 a 1 = a 2 = 5.63 a 3 = 5.63 a 4 = a 5 = 10 EKSEMPEL: BEREGNINGER I JACKSONNETVÆRK 14

15 Antag at eksempelnetværk er et Jacksonnetværk med M/M(1, )-delsystemer og ekspeditionsintensiteter b 1 = = b 5 = 12/time Gnsnt. antal kunder n i i delsystem i (i ligevægt); vi véd at N i = A i 1 A i, hvor A i trafiktilbud i delsystem i. Dvs. 1 : n 1 = 11.25/ /12 = 15, 3 : n 3 = 5.63/ /12 = : n 2 = 5.63/ /12 = : n 4 = 11.25/ /12 = 15 5 : n 5 = 10/ /12 = 5. Dvs. samlet gnsnt. produktionstid (vha. Little s formel) V = 1 λ 1 + λ 2 (n 1 + n 2 + n 3 + n 4 ) = 3.7 EKSEMPEL: BEREGNINGER I JACKSONNETVÆRK 15

16 KARAKTERISTISKE STØRRELSER I JACKSONNETVÆRK Poisson eksterne ankomstprocesser med intensiteter λ 1,...,λ l. Sæt λ = λ λ l (samlet throughput). Antag k delsystemer med ankomstintensiteter a i ; gennemsnitlige ekspeditionstider b i ; m i ekspedienter; N i (t) kunder til tid t. Ekspedientbelastning ved delsystem i; med trafiktilbud A i = a i /b i ρ i = A i m i, (skal være mindre end 1 for ligevægt!). Gennemsnitligt antal besøg til delsystem i: v i = a i /λ. Gennemsnitligt antal kunder i system: L = k i=1 EN i. Gennemsnitlig opholdstid i system: V = 1 λ k i=1 EN i. KARAKTERISTISKE STØRRELSER I JACKSONNETVÆRK 16

17 REKAPITULATION: DIMENSIONERING OG ANALYSE Vi kan regne eksakt på åbne kønetværk m. M/M(m, ) delsystemer og tilfældig allokering til delsystemer. Velegnet til initiel dimensionering og analyse. Bemærk: Analysen forudsætter eksponentialfordelte ventetider. Ofte er ventetidernes varians mindre end eksponentialfordelingens. Det betyder, at analysen giver konservative performancemål. Eksempelvis vil den faktiske gennemsnitlige ventetid være mindre end analysens resultat, jf. PK-formlen V q = b A ( 1 VarS ). 1 A (ES) 2 REKAPITULATION: DIMENSIONERING OG ANALYSE 17

18 KORT OM M/GI(, 0)-DELSYSTEMER Vi kan også kan regne eksakt på åbne kønetværk med M/GI(, 0)-delsystemer; uden løkker(!!!). Mindre interessante i dimensioneringssammenhæng pga. uendeligt mange ekspedienter per delsystem dvs. kunder bliver altid straksekspederet. For antal kunder i delsystem i gælder N i Poisson(A i ). Heraf eksempelvis antal kunder i delsystem i EN i = A i Dvs. gennemsnitligt antal kunder EN EN k ; gennemsnitligt produktionstid: V = λ 1 (A A k ). KORT OM M/GI(, 0)-DELSYSTEMER 18