DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Vægtning: De fire opgaver har samme vægt. NB: Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. OPGAVE Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden { (x,y) x + y < } bliver undersøgt: > f(0,0); > diff(f(x,y),x); > diff(f(x,y),y); > diff(f(x,y),x,x); > diff(f(x,y),y,y); > diff(f(x,y),x,y); x x y y x y x y 4x ( x y ) x y 4y ( x y ) 4xy ( x y ). Find samtlige stationære punkter for f.. Find samtlige ekstrema for f.. Opstil det approksimerende polynomium P af højst anden grad for f med udviklingspunktet (x 0,y 0 ) = (0,0). OPGAVE. Bestem en symmetrisk matrix A der opfylder ligningen [ ] x x y z A y = x + y + z + x z for alle x,y,z R. z. Bestem en ortogonal matrix Q der opfylder ligningen [ ] x x y z Q T A Q y = x + y for alle x,y,z R, z hvor A er matricen fra spørgsmål. Opgavesættet fortsætter. Vend
OPGAVE En cylinderflade F har ledekurven y = cosh(x) for x [0;] og er desuden fastlagt ved z [0;].. Find en parameterfremstilling for F, og bestem den tilhørende Jacobi-funktion.. Bestem arealet af F. En parametriseret rumkurve K er givet ved r(u) = ( u, cosh(u), ) for u [0;].. Bestem Jacobi-funktionen der hører til r, og udregn kurveintegralet z ds.. K OPGAVE 4 Et massivt område Ω i rummet er givet ved parameterfremstillingen r(u,v,w) = ( u cos(v), u sin(v), w ( u ) ) for u [0;],v [0;π] og w [0;].. Bestem rumfanget af Ω. Lad F betegne overfladen af Ω. Om et vektorfelt V(x, y, z) oplyses det at divv(x, y, z) = 5 og at rotv(x,y,z) = (0,,0).. Bestem fluxen af V(x,y,z) ud gennem F. Lad K betegne randkurven af den del af F som ligger i (x,z)-planen.. Bestem det tangentielle kurveintegral af V(x,y,z) langs med K idet K forsynes med en selvvalgt orientering som vises på en skitse. - SLUT -
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 6. maj 0. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. Vægtning: Opgave : 0%, opgave : 5%, opgave : 5% og opgave 4: 0%. OPGAVE En funktion f : R R har været undersøgt med Maple på følgende måde: > mtaylor(f(x),x=,) x + (x ) > diff(f(x),x,x,x); 4 x > plot(f(x),x=0.7...,scaling=constrained,view=[0...5,-0.6..0.6]); 0.6 0.4 0. 0 K0. 0.5.5 x K0.4 K0.6 Lad P (x) betegne det approksimerende andengradspolynomium for f (x) med udviklingspunktet x 0 =, og lad R (x) = f (x) P (x) betegne den tilsvarende restfunktion.. Opskriv P (x), og angiv f (), f () og f ().. Bestem P (.), og vurdér ved hjælp af R (x) den maksimale fejl der begås hvis man benytter værdien P (.) i stedet for værdien f (.). OPGAVE En reel funktion f af to reelle variable er givet ved f (x,y) = y x.. Bestem definitionsmængden for f, og gør rede for at f ikke har stationære punkter. En delmængde af enhedscirkelskiven i (x,y)-planen med centrum i Origo er givet ved M = {(x,y) x + y og x }.. Skitsér M, og bestem den globale maksimumsværdi (størsteværdien) for f på M samt et punkt hvori denne værdi antages. Opgavesættet fortsætter, vend
OPGAVE I (x,y,z)-rummet er der givet vektorfeltet V(x,y,z) = (e x, z, y) og en rumkurve K r med parameterfremstillingen r(u) = ( u,sin(u),cos(u) ), u [0, ].. Udregn prikproduktet V(r(u)) r (u), og bestem det tangentielle kurveintegral af V langs K r. En anden rumkurve K s er givet ved s(u) = ( u x o, u y o,u z o ), u [0, ] hvor x o, y o og z o er tre vilkårlige reelle tal.. Udregn prikproduktet V(s(u)) s (u), og bestem det tangentielle kurveintegral af V langs K s.. Undersøg om V er et gradientvektorfelt. OPGAVE 4 z F A x I (x,y)-planen er der givet en reel funktion h(x,y) og en afsluttet, begrænset punktmængde A som afgrænses af rektanglet med hjørnerne (0, ), (, ), (,) og (0,). I det følgende betragtes en flade F som består af den del af grafen for h som ligger (lodret) over A. Det oplyses at F kan parametriseres ved (x,y,z) = r(u,v) = (u, v, u v) hvor u [0, ] og v [, ].. Angiv regneforskriften for h(x,y) for (x,y) A.. En massetæthedsfunktion er givet ved f (x,y,z) = x+y+z. Bestem massen I (x,y,z)-rummet er der givet vektorfeltet V(x,y,z) = (x, y, x y). y F f (x,y,z)dµ.. Bestem det tangentielle kurveintegral (cirkulationen) af V langs randkurven F for F idet F orienteres som vist på figuren. 4. Lad Ω betegne det massive rumlige område som ligger (lodret) mellem A og F. Bestem fluxen af V ud gennem overfladen Ω af Ω. - Slut -
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 0. maj 0. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. Vægtning: Opgave : 5%, opgave : 0%, opgave : 5% og opgave 4: 0%. En funktion f : R R er givet ved OPGAVE f (x,y) = e x y.. Bestem de partielle afledede af første og anden orden for f, og bestem deres værdier i punktet (x 0,y 0 ) = (0,0).. Opstil ved hjælp af resultaterne i spørgsmål det approksimerende andengradspolynomium for f med udviklingspunktet (x 0,y 0 ) = (0,0).. Vis at alle approksimerende andengradspolynomier for f som har udviklingspunkt på linjen y = x, er ens. OPGAVE Lad a være et vilkårligt reelt tal. Om den symmetriske matrix [ ] a A = a oplyses at den har to egenværdier λ = a + og λ = a. Endvidere oplyses at vektorerne (,) og (,) for ethvert a er egenvektorer for A hørende til henholdsvis λ og λ.. Bestem en diagonalmatrix Λ og en positiv ortogonal (også kaldet egentlig ortogonal) matrix Q således at Λ = Q T AQ. En andengradsligning i to variable er givet ved. For hvilke a beskriver ( ) en hyperbel?. For hvilke a beskriver ( ) en ellipse? ( ) ax + ay + x y =. Opgavesættet fortsætter, vend
OPGAVE En reel funktion af to reelle variable er givet ved h(x,y) = x. Lad G betegne den del af grafen for h som ligger (lodret) over punktmængden B i (x,y)-planen givet ved B = {(x,y) 0 x og y }.. Find en parameterfremstilling for G. Udregn (med alle mellemregninger) den hertil hørende Jacobi-funktion. En funktion f i rummet er givet ved f (x,y,z) = x + z. y. Gør rede for at G tilhører definitionsmængden for f.. Bestem f (x,y,z)dµ. G OPGAVE 4 Et vektorfelt V i (x,y,z)-rummet er givet ved V(x,y,z) = (z,5y, x).. Bestem divergensen af V og rotationen af V. I (x,z)-planen i rummet betragtes en plan flade F givet ved parameterfremstillingen r(u,v) = v( u ) 0, u [0,], v [0,]. u Z X Y. Bestem det tangentielle kurveintegral (cirkulationen) af V langs randkurven F for F, idet F orienteres som vist på figuren. Et massivt rumligt område Ω er det omdrejningslegeme der gennemløbes når F drejes vinklen π omkring z-aksen.. Opstil en parameterfremstilling for Ω, og bestem den til parameterfremstillingen hørende Jacobi-funktion. 4. Udregn (med alle mellemregninger) rumfanget af Ω. 5. Bestem fluxen af V ud gennem overfladen af Ω. - Slut -
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den. maj 0. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. Vægtning: Opgave : 5%, opgave : 5%, opgave : 5% og opgave 4: 5%. En funktion f : R R er givet ved Endvidere er en punktmængde M givet ved OPGAVE f (x,y) = x cos(y). M = {(x,y) R x π og π y π}.. Bestem gradienten for f i ethvert punkt (x,y), og angiv specielt gradientens koordinater i punktet (0, 0).. Bestem samtlige stationære punkter for f i det indre af M.. Bestem det globale maksimum og det globale minimun for f på M. OPGAVE Lad (x,y,z) betegne koordinaterne for en vilkårlig vektor i (R, ). Et andengradspolynomium f er givet ved forskriften f (x,y,z) = xy z.. Bestem en symmetrisk matrix A som opfylder f (x,y,z) = [ x y z ] x A y. z. Bestem en sædvanligt orienteret ortonormal basis for R bestående af egenvektorer for 0 0 matricen 0 0. 0 0. Lad ( x,ỹ, z) betegne koordinaterne for en vektor med hensyn til den nye basis der er angivet som svar på spørgsmål. Angiv den reducerede form som forskriften for f antager i ( x, ỹ, z)-koordinater. Opgavesættet fortsætter, vend
OPGAVE Vi betragter en lukket, orienteret rumkurve K som ligger i (x,z)-planen. K består af to dele, K og K, se figuren. z K > - x K. y K er givet ved parameterfremstillingen r(u) = ( u,0,), u [, ]. K er givet som punktmængden { (x,y,z) x [, ], y = 0 og z = x }. K er orienteret som vist på figuren.. Angiv en parameterfremstilling for K. To vektorfelter, U og V, er givet ved U(x,y,z) = (x, xyz, x) og V = Rot(U).. Bestem det tangentielle kurveintegral af U langs K og langs K.. Bestem fluxen af V gennem den flade i (x,z)-planen som afgrænses af K idet fladens orientering er bestemt ved enhedsnormalvektoren n = (0,, 0). OPGAVE 4 I (x,y,z)-rummet er en parametriseret flade F givet ved r(u,v) = (u,v,) for u og v. Endvidere betragtes vektorfeltet V(x, y, z) = (x,, ).. Skitser F, og bestem r u(u,v) r v(u,v).. Udregn fluxen af V gennem F. Et massivt rumligt område Ω t er givet ved parameterfremstillingen s(u,v,w) = (ue w, v + w, + w), u [,], v [,] og w [0,t].. Bestem Jacobifunktionen for s, og udregn volumen af Ω t. 4. Lad f (t) betegne volumen af Ω t som funktion af t. Bestem f (0), og begrund at f (0) = V n dµ. F - Slut -
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 04. Kursus Navn: Matematik. Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Vægtning: De fire opgaver vægtes ens. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. En funktion f er givet ved OPGAVE f (x) = cos(x) sin(x), x R.. Bestem ved hjælp af elementære sætninger for differentiation de afledede f (x), f (x) og f (x). Lad P (x) betegne det approksimerende andengradspolynomium for f med udviklingspunktet x o = 0, og lad R (x) betegne den hertil hørende restfunktion givet ved R (x) = f (x) P (x) = f (ξ)!. Benyt resultater fra spørgsmål til at opstille P (x). x for et ξ mellem 0 og x.. Vis ved vurdering af R (x) at den fejl man begår ved at benytte P ( er mindre end eller lig med 600. 0 ) i stedet for f ( 0 ) En funktion f : R R er givet ved Endvidere betragtes den åbne punktmængde OPGAVE f (x,y) = y ysin(x). M = { (x,y) R < x < }.. Bestem de partielle afledede af første og anden orden for f.. Det oplyses at f har tre stationære punkter som tilhører M. Bestem disse tre stationære punkter.. Find samtlige punkter i M hvori f har lokalt minimum, og samtlige punkter i M hvori f har lokalt maksimum. Opgavesættet fortsætter
OPGAVE I (x,y,z)-rummet er en rumkurve K r givet ved parameterfremstillingen r(t) = (e t e t, e t + e t, t ), t [0, ].. Vis at r (t) = (e t + e t ), og bestem længden af K r. Et førsteordens vektorfelt V er givet ved V(x, y, z) = (y, x, ).. Bestem (med alle mellemregninger) det tangentielle kurveintegral af V langs K r.. Vis at K r er den flowkurve for V som starter i punktet (0,,) til tiden t = 0. OPGAVE 4 Et massivt område Ω i (x,y,z)-rummet er givet ved parameterfremstillingen r(u,v,w) = (ucos(w), u sin(w), v( u)) hvor u [, ], v [0, ], w [0, π].. To funktioner f : R R og g : R R er givet ved henholdsvis f (x,y,z) = og g(x,y,z) = y. Bestem (med alle mellemregninger) rumintegralerne f dµ og gdµ. Betragt vektorfeltet V givet ved V(x,y,z) = ( z, 4 y, y).. Bestem fluxen af V ud gennem overfladen Ω af Ω.. Angiv et vektorfelt U hvis divergens er konstant, og som opfylder U n Ω dµ = π. Ω Ω Ω er fremkommet ved at et plant trekant-område T beliggende i (x, z)-planen er drejet vinklen π omkring z-aksen i positiv omløbsretning. 4. Angiv en parameterfremstilling for T, og bestem cirkulationen af V langs randkurven T af T med den på figuren viste omløbsretning. Ω Opgavesættet er slut.
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig -timersprøve i forårspensum den 8. maj 05. Kursus Navn: Matematik. Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Vægtning: De fire opgaver vægtes ens. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. En glat funktion f : R R er givet ved. Find alle stationære punkter for f. OPGAVE f (x,y) = x y + y y.. Undersøg for hvert af punkterne (, 0), (0, 0), (0, ) om f har egentligt lokal maksimum, egentligt lokal minimum eller ingen af delene i punktet.. Bestem samtlige retninger fra (0,0) hvori den retningsafledede af f i (0,0) antager værdien 0. Det oplyses at matricen ( har egenvektoren v =, hørende til egenværdien 0. OPGAVE A = ) ( hørende til egenværdien og egenvektoren v =. Gør rede for at vektorsættet (v, v ) er en ortonormal basis for R. En parabel er i et sædvanligt retvinklet (x,y)-koordinatsystem i planen givet ved ligningen x + xy + y + x y =.. Bestem parablens toppunkt og symmetriakse. ), OPGAVE Funktionen h : R R er givet ved h(x,y) = x. Vi betragter graffladen F givet ved F = {(x,y,z) x, y, z = h(x,y)}. Opgavesættet fortsætter
. Bestem en parameterfremstilling r(u, v) for F som opfylder at normalvektoren N(u,v) = r u(u,v) r v(u,v) har positiv z-koordinat. Et vektorfelt V er givet ved V(x,y,z) = (x, z xy, 4z).. Bestem fluxen V n dµ. F r Fr Lad Ω betegne det massive rumlige område der ligger lodret mellem (x,y)-planen og F.. Bestem rumfanget af Ω. 4. Bestem fluxen af V ud gennem overfladen Ω af Ω. OPGAVE 4 I (x,y,z)-rummet er der givet punkterne A(0,,), B(0,,), C(0,,) og D(0,,). Det plane kvadrat som udspændes af de fire punkter, betegnes K. Vi betragter endvidere vektorfeltet U givet ved U(x,y,z) = (xy, z,x ) og vektorfeltet V som er gradienten af funktionen f (x,y,z) = x y z.. Bestem fluxen af rot(u) gennem K, idet K parametriseres ved r(u,v) = (0,u,v) med u [,] og v [,].. Bestem det tangentielle kurveintegral af såvel U som V langs det rette linjestykke fra A til D.. Bestem cirkulationen af såvel U som V langs randen af K hvis orientering fastlægges ved punktrækkefølgen ABCDA. Opgavesættet er slut.
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig -timersprøve i forårspensum den 7. maj 06. Kursus Navn: Matematik. Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Vægtning: De fire opgaver vægtes ens. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. En funktion f : R R er givet ved OPGAVE f (x) = x.. Bestem definitionsmængden Dm( f ) for f.. Bestem det approksimerende polynomium P (x) af grad for f med udviklingspunktet x 0 =.. Gør rede for at den til P (x) hørende restfunktion R (x) kan udtrykkes ved R (x) = 5 8 (x )4 (ξ ) 7/ for et ξ mellem og x. Vis ved vurdering ( ) af restfunktionen ( ) at den numeriske værdi af den fejl man begår ved at benytte P i stedet for f er mindre end eller lig med 5 7. OPGAVE Der er givet en symmetrisk matrix: A = 88 5 84 5 84 5 7 5.. Find i R en positiv ortogonal matrix Q og en diagonalmatrix Λ som opfylder Λ = Q AQ. En ellipse E er i et sædvanligt retvinklet (x, y)-koordinatsystem i planen givet ved matrixligningen [ ] [ ] x x y A = 44. y. Bestem halvakserne for E. Opgavesættet fortsætter
OPGAVE For en glat funktion f : R R med f (0,0) = 0 er et vektorfelt V i (x,y)-planen givet ved V(x,y) = f (x,y) = (x y +, xy).. Bestem samtlige stationære punkter for f.. Bestem Hessematricen for f, og gør rede for at f har netop ét egentligt lokalt minimum og ingen egentlige lokale maxima.. Bestem det tangentielle kurveintegral af V langs en selvvalgt kurve K fra origo til et vilkårligt punkt (x,y). Vink: Du kan bruge formlen (x,y) 0 V(ux,uy)du. Eller du kan integrere langs den trappelinje i (x,y)-planen der først går fra (0,0) til (x,0) og dernæst fra (x,0) til (x,y). 4. Bestem den værdi som f antager i det i spørgmål ) omtalte egentlige lokale minimum. OPGAVE 4 I (x,y)-planen i (x,y,z)-rummet er der givet punktmængden A = { (x,y) 0 x og π y π og funktionen h(x,y) = xcos(y). Lad F betegne den del af grafen for h som ligger lodret over A, se figuren. } > x y. Bestem en parameterfremstilling r(u, v) for F, og bestem den til r(u, v) hørende normalvektor N(u,v) = r u(u,v) r v(u,v). Om et vektorfelt V i (x,y,z)-rummet oplyses at Div(V)(x,y,z) = x + y + z og Rot(V)(x,y,z) = (z,x,y).. Bestem det tangentielle kurveintegral (cirkulationen) af V langs den lukkede randkurve F for F med den på figuren viste orientering af F.. Lad Ω betegne det massive rumlige område der ligger lodret mellem A og F. Bestem fluxen af V ud gennem den lukkede overflade Ω af Ω. Opgavesættet er slut.
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig -timersprøve i forårspensum den. maj 07. Kursus Navn: Matematik. Kursus nr. 0005/005/006 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Vægtning: De fire opgaver vægtes ens. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. OPGAVE En funktion f af to reelle variable er for (x, y) (0, 0) givet ved f (x,y) = y x + y.. Vi betragter tre punkter i (x,y)-planen: A = (0,), B = (0, ) og C = (, ). Netop to af dem ligger på den samme niveaukurve for f. Hvilke to? ( xy Det oplyses at gradienten for f er givet ved f (x,y) = (x + y ), x y ) (x + y ).. Gør rede for at f ingen stationære punkter har. Betragt den afsluttede og begrænsede punktmængde (en cirkelring) M = { (x,y) x + y 4 }.. Bestem det globale minimum og det globale maksimum af f på M, og angiv de punkter hvori det globale minimum og det globale maksimum antages. OPGAVE Om en reel funktion f (x, y) oplyses at dens approksimerende andengradspolynomium med udviklingspunktet (0, 0) har forskriften P (x,y) = + x + y har for- mens dens approksimerende andengradspolynomium med udviklingspunktet skriften ( Q (x,y) = 4 ) 6 e e x + e y. ( ) 6, 0. Bestem funktionsværdierne f (0,0), f x(0,0), f y(0,0), f xx(0,0), f yy(0,0) og f xy(0,0).. Gør rede for at (0,0) er et stationært punkter for f, og undersøg om f (0,0) er et egenligt lokalt minimum, et egentligt lokalt maksimum eller ingen af delene. ( ) ( ). Gør rede for at også 6, 0 er et stationært punkt for f, og undersøg om f 6, 0 er et egenligt lokalt minimum, et egentligt lokalt maksimum eller ingen af delene. Opgavesættet fortsætter
OPGAVE En cylinderflade F i (x,y,z)-rummet er givet ved parameterfremstillingen r(u,v) = ( u u, u + u, vu ) [ ] hvor u 0, og v [0,].. Bestem den til r hørende Jacobifunktion, og brug denne til at bestemme arealet af F. Lad L betegne den til F hørende ledekurve i (x,y)-planen (vist med rød på figuren).. Opskriv en parameterfremstilling for L, og bestem den til L hørende Jacobifunktion.. Bestem kurveintegralet (y x)dµ. L OPGAVE 4 Et vektorfelt i (x,y,z)-rummet er givet ved V(x,y,z) = (x, yx, z). I (x,z)-planen betragtes et profilområde A givet ved parameterfremstillingen hvor u [ 0, π] og v [0,]. s(u,v) = (u,0,v sin(u)), Et massivt omdrejningslegeme Ω fremkommer ved at A drejes vinklen π 4 uret set fra z-aksens positive ende. omkring z-aksen mod. Giv en parameterfremstilling for Ω.. Bestem fluxen af V ud gennem overfladen af Ω.. Lad G betegne den del af overfladen af Ω, som afgrænser Ω opadtil (blå på figuren). Bestem cirkulationen af V langs med randkurven af G idet randkurven orienteres som antydet med pilen. Opgavesættet er slut.