Opgave 1 a) Ved aflæsning på graf fås følgende: Median: 800 kr. Andel dyrere end 1000 kr.: 45%. Opgave 2 Givet funktionen: f (x)= 3x 2 8x +5. a) F(x)= x 3 4x 2 +5x + k. Delprøven uden hjælpemidler Vi finder den partikulære løsning gennem punktet P(2,9): 9 = 8 16+10+ k k = 7 F(x)= x 3 4x 2 +5x +7. Opgave 3 Givet funktionen: f (x)= x 3 +10, x > 0. f (x)= y = 3x 2. a) Vi bestemmer henholdsvis venstre side og højre side: VS: 3x 2 3 = x 2. HS: x 3 +10 10 = x 3 x x = x 2. Da VS = HS er funktionen f løsning til differentialligningen. Opgave 4 a) Vi bestemmer forskriften for V(t) ved at bestemme stigningstallet (a) og skæring med 2.aksen (b). 260000 400000 a = = 140000 = 35000. 7 3 4 b = 400000 3 35000 = 505000. V(t)= 35000t +505000. Antal år når robotten er nedskrevet til 50000 kr.: 35000t +505000 = 50000 t = 13. Efter 13 år vil robotten være nedskrevet til 50000 kr.
Opgave 5 Givet funktionerne: R(x)= 0,25x 2 +162x, 0 x 600 C(x)= 11x +13400, x 0. a) Afsætning, som giver det største overskud: C (x)= R (x) 11 = 0,5x +162 x = 302. Ved en afsætning på 302 stk. opnås det største overskud.
Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 a) Forklaringer: 1) Funktionsudtrykket sættes lig med 0. 2) Vi faktoriserer og benytter nulreglen. 3) Nulreglen anvendes til løsning af de to ligninger. 4) Vi opstiller det bestemte integral. 5) Vi har bestemt stamfunktionen. 6) Vi udregner M = F(1) F(0) og får b) Værdien af a, når arealet M = 5. Vi udregner det bestemte integral: 1 0 ax 2 + axdx = a 3 x 3 + a 2 x 2 F(1) F(0)= a 3 + a 2 0 = 5 2a+3a = 30 a = 30. Opgave 7 a) xy-plot og regressionsligning: 1 0 1 3. "Titel" "Lineær regression (mx+b)"
"RegEqn" "m*x+b" "m" 9.7288703093893 E-5 "b" 76.035250878836 "r²" 0.43933658643343 "r" 0.66282470264273 ŷ = 0,0000973x +76,04. Som det fremgår af både overensstemmelses- og forklaringsgrad er der en dårlig lineær sammenhæng mellem BNP og levealder. b) Gennemsnitlig levealder i Nepal ifølge modellen: ŷ = 0,0000973 732+ 76,04 = 76,1. Den forventede gennemsnitlige levealder er ca. 76 år. Bemærk, forbehold for modellens egnethed, jfr. ovenfor. c) Konfidensinterval for a ( β ): "Titel" "Lineært Reg t-interval" "RegEqn" "a+b*x" "CLower" 7.0278603136016 E-5 "CUpper" 1.2429880305177 E-4 "b" 9.7288703093893 E-5 "ME" 2.7010099957877 E-5 "df" 66. Med 95% sandsynlighed må det antages at stigningstakten i levealderen ligger i intervallet mellem 0,000071 og 0,00012. Bemærk, forbehold. d) Jfr. WHO s udsagn BNP har en afgørende indflydelse på levealderen : Både plottet (test af forudsætninger) og regressionsanalysen viser en dårlig lineær sammenhæng mellem BNP og levealder, hvorfor WHO s udsagn skal tages med forbehold. Konfidensintervallet er også relativt bredt. Opgave 8 Givet funktionen: f (x)= 75 ln(x) 25x 3 +50, x > 0. a) Monotoniforhold og ekstrema:
Ved bestemmelse af f (x)= 0 fås en løsning x = 1. Funktionen har derfor ét ekstrema, jfr. grafen og beregningen ovenfor. Funktionen har globalt maksimum i punktet (1,25). Ved indsættelse af passende x-værdier får vi, at funktionen er voksende i 0;1 intervallet og aftagende i intervallet 1;. b) Grafen har ikke en vendetangent, da funktionen kun har ét ekstrema, jfr. ovenfor. Opgave 9 a) og b) Pivot-tabel og uafhængighedstest: Antal af Konklusion Konkursstatus Konklusion Ikke konkurs Konkurs Hovedtotal Ikke retvisende 12 60 72 Ingen konklusion 3 25 28 Med forbehold 10 40 50 Uden forbehold 225 375 600 Hovedtotal 250 500 750
Hypoteser med α = 0,05. H 0 :Uafhængighed mellem konklusion og konkursstatus. H 1 : Afhængighed mellem konklusion og konkursstatus. Testresultat: "Titel" "χ²-uafhængighedstest" "χ²" 24.133928571429 "PVal" 2.3422243641034 E-5 "df" 3. Da p-værdien stort set er 0 kan vi afvise nul-hypotesen, og det må derfor antages at der er sammenhæng mellem konklusion og konkursstatus. Opgave 10 Givet efterspørgsels- og udbudsfunktionerne: E(x)= 2x +1850 og U(x)= x +200 for 0 x 900. a) og b) Vi bestemmer ligevægtspris og mængde: Af ovenstående ses det, at markedet ikke er i ligevægt, når prisen er 400 kr., idet ligevægtsprisen er: p * = 750. c) Vi bestemmer forskriften for p ved løsning af differentialligningen: y = 0,05 ( 750 y). p(t)= 750 350 ( 0.951229) t.
Graf for funktionen p: Vi kan ydermere se, at grænseværdien for p for t 900 er 750. Opgave 11 Givet den kvadratiske funktion: DB(x, y)= 20x 2 +1200x 20 y 2 +2400 y, 0 x 80 og 0 y 90. a) Da koefficienterne a og c er lige store kan vi allerede nu afgøre, at der er tale om en niveaukurve, der danner en cirkel. Som det ses af grafen for N(40.000) er der tale om en cirkel med centrum i (30,60) og radius på r = 50. Ligningen for cirklen er: x 30 ( ) 2 + ( y 60) 2 = 50 2.
b) Vi indtegner begrænsningsområdet for: 2x +2y 120 30x +10 y 1600 x 0 y 0. Da centrum ligger uden for begrænsningsområdet, bestemmer vi vha. indsættelse af y = x +60 i kriteriefunktionen DB(x,y) optimum: Ved indsættelse x =15 i y = x +60 får vi følgende: y = -15+60 = 45. Det største samlede ugentlige dækningsbidrag opnås ved 15 TRAX og 45 SLUX og det samlede dækningsbidrag er: c) Det samlede dækningsbidrag må ikke blive mindre end 81.000 kr. ved køb af 60 kg. ekstra kobber pr. uge: Med 60 kg. ekstra vil der være i alt 180 kg kobber til rådighed. Dette ændrer begrænsningsområdet, således at centrum for cirklen (30,60) nu ligger indenfor begrænsningsområdet, jfr. grafen nedenfor.
Det frie maksimum findes i centrum og er på: K = 0 ( 20) 30 2 ( 20) 60 2 = 90.000. Det største dækningsbidrag inden køb af ekstra 60 kg. var 81.000. Forskellen er et DB på 9.000. Hvis det samlede DB ikke skal blive mindre end 81.000 må prisen pr. kg. for de ekstra 60 kg. kobber ikke overstige 9.000, dvs. prisen pr. kg. kobber må højest blive: 9000 60 = 150.
Opgave 12A Omsætningsfunktion: R(t)= 5200 sin(0,0172t 1,6)+6700, 0 t 365. a) Den dag, hvor omsætningen er størst: Dag 184. R (t) = 89,44 cos(0,0172t 1,6). b) Samlede årlige omsætning: Den samlede årlige omsætning er på 2.775.570 kr.
Opgave 12B a) Saldo 1. januar 2018: 307.892 kr. b) Antal gange, der kan udbetales 20.000 kr.: 18 gange. Saldoen efter 18 udbetalinger: 11.499,30 kr. Opgave 12C Vi opstiller et skema, der samler oplysningerne: COSY HEATY Max Produktion 3/2 t ½ t 10500 t Test 1/3 t ½ t 3500 t Pakning 1/12 t ¼ t 1500 t DB 400 kr. 200 kr. Vi opstiller bi- og positiv betingelserne: 3 2 x + 1 2 y 10500 1 3 x + 1 2 y 3500 1 12 x + 1 4 y 1500 Begrænsningerne indtegnes i et koordinatsystem (polygonområde):
Som det fremgår af grafen ovenfor opnås størst mulige dækningsbidrag ved produktion af 6000 COSY og 3000 HEATY. b) Følsomhedsanalyse på db for HEATY: 400x + by = 0 y = 400 b x 1. grænse: 400 b = 3 b = 133 1 3 2. grænse: 400 b = 2 3 b = 600 Dækningsbidraget kan ændres med under 66 2/3 kr. eller med over 400 kr. for at den optimale løsning ikke længere er optimal, dvs. Ligge udenfor intervallet fra 133 1/3 kr. til 600 kr.
Mat A 2018-08