Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 1 / 27
De næste 6 slides af dette planchesæt er sammensat med stærk inspiration fra et tidligere (historisk) skrift fra matematik-økonomi studiet i Århus. Afsnit 1: Baggrunden for optimeringsmatematikken og matematik-økonomi studiet... EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 2 / 27
Hvorfor blev matematik-økonomi oprettet? I slutningen af 1960 erne var mange års økonomiske forskningsresultater ofte blevet formuleret i matematiske termer og fremkommet ved benyttelse af matematiske metoder. Mange traditionelt uddannede økonomer havde imidlertid en så begrænset matematisk indsigt, at de ikke fik det fulde udbytte af den matematiske formuleringsmåde. Omvendt havde det tidligere været karakteristisk for mange matematikere, at de ofte havde svært ved at anvende deres matematiske værktøj på økonomiske problemstillinger. Ofte manglede man baggrunden for at forstå de omstændigheder, der skabte disse problemstillinger. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 3 / 27
Hvorfor blev matematik-økonomi oprettet? (fortsat) Dette var en væsentlig årsag til, at man i 1969 etablerede matematik-økonomi studiet, der fører til graden cand.scient.oecon., ved Aarhus Universitet. Senere i 1984 og 1986 blev studiet oprettet ved hhv. Odense Universitet (nu Syddansk Universitet) og Københavns Universitet. I 2009 blev studiet oprettet ved Aalborg Universitet. Primært som følge af det stadigt store behov for kandidaterne samt studiets store succes i alle årene. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 4 / 27
Målet med matematik-økonomi uddannelsen i sin tid Matematikken forventedes at blive stadig mere integreret i den økonomiske videnskab (og det har vist sig at være rigtigt). Udformningen af matematik-økonomi studiet har derfor forsøgt at tilgodese uddannelsen af økonomer, der på konstruktiv måde kan udnytte matematik (herunder datalogi og statistik) ved behandlingen af økonomiske problemstillinger. Målet med uddannelsen var at give de studerende så meget indsigt i både økonomi og matematik, at de ved hjælp af deres overblik kunne give en selvstændig analyse af en konkret situation. Der blev lagt (og lægges stadigvæk) i undervisningen stor vægt på brugen af matematiske modeller til at beskrive virkeligheden, fordi en matematisk formulering i mange situationer betyder, at problemet bliver lettere at overskue og lettere at arbejde med. Derfor har det hele tiden været (og er stadigvæk) vigtigt, at de studerende har interesse for matematik. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 5 / 27
Matematik-økonomens arbejdsmetode Virkeligheden, modeller og matematik Det er karakteristisk for matematik-økonomer, at man i vid udstrækning beskriver virkelighedens økonomiske situationer og problemer ved hjælp af matematiske modeller. Ved at studere disse opnås viden om, hvorledes virkeligheden fungerer, og hvorledes man bedst muligt indretter sig i denne. Det er naturligvis ikke kun inden for den matematiske økonomi, at man studerer virkeligheden via modeller, d.v.s. simplificerede beskrivelser af nogle af virkelighedens mange aspekter. Metoden anvendes inden for al (videnskabelig) erkendelse. Det specielle ved den matematiske økonomi er, at man studerer den økonomiske virkelighed, og at man bruger relativt megen matematik, statistik og datalogi i opstillingen og analysen af modellerne. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 6 / 27
Matematik-økonomens arbejdsmetode (fortsat) Virkeligheden, modeller og matematik (fortsat) Mange økonomiske problemer handler om, hvorledes man inden for visse rammer kan opnå eller undgå mest muligt af et eller andet. En virksomhed kan f.eks. ønske at udnytte sine produktionsmuligheder til skabelse af størst muligt overskud eller at producere en given ordre med mindst mulige omkostninger. Det kan derfor ikke undre, at specielt optimeringsmatematikken, som handler om maksimering eller minimering af en funktion over et område, bliver meget vigtig for matematikøkonomen. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 7 / 27
Matematik-økonomens arbejdsmetode (fortsat) Virkeligheden, modeller og matematik (fortsat) En speciel type optimeringsproblemer fremkommer som bekendt, når en lineær funktion ønskes maksimeret eller minimeret over et område beskrevet ved lineære begrænsninger. Sådanne problemer kaldes lineære programmeringsproblemer eller kort LP-problemer. Mere avancerede optimeringsproblemer involverer ikke-lineære funktioner både i kriteriet og i begrænsningerne, eller det kan fx være heltalsprogrammeringsproblemer, hvor nogle af de variable skal være heltallige. Programmering betyder i denne sammenhæng blot optimering. Optimeringsmodeller er bl.a. interessante, fordi de kan beskrive mange forskellige økonomiske problemer, og fordi der er udviklet matematiske metoder og software, som gør det muligt at analysere selv meget store og dermed mere realistiske modeller. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 8 / 27
Afsnit 2: De forskellige økonomiske fagområder på dansk... EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 9 / 27
De forskellige økonomiske fagområder Økonomi er mange ting og forskellige navne: Driftsøkonomi, operationsanalyse, omkostningsteori, erhvervsøkonomi, mikroøkonomi, makroøkonomi, samfundsøkonomi, nationaløkonomi, markedsøkonomi=afsætningsøkonomi, finansiering, regnskabsteori. Hvordan hænger disse navne sammen, og hvad har de med matematik at gøre? EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 10 / 27
De forskellige økonomiske fagområder (fortsat) Samfundsøkonomi (på AU og KU kalder man det nationaløkonomi) Mikroøkonomi Makroøkonomi Redskaber hertil: økonometri, statistik, matematik Erhvervsøkonomi (AAU, SDU, og andre steder) stort set synonym med Driftsøkonomi (KU og AU) Produktions- og omkostningsteori for virksomheder Regnskabsteori Finansiering Markedsøkonomi Redskaber hertil: operationsanalyse, økonometri, statistik, logistik, matematik Fælles for alle matematik-økonomistudier i Danmark: Man kan specialisere sig i de områder, hvor man lokalt har faglige miljøer. Dette gælder i øvrigt alle universitetsstudier! EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 11 / 27
De næste 15 slides af dette planchesæt er sammensat med stærk inspiration fra et tidligere videregående optimeringskursus for matematik-økonomer på Københavns Universitet. Jeg viser nogle eksempler på lidt mere avancerede problemer, samt nogle virkelige anvendelser. Afsnit 3: Nogle optimeringsproblemer og virkelige anvendelser... EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 12 / 27
Heltalsprogrammering Optimeringsproblemer med heltalsvariable i stedet for rene kontinuerte ubekendte Mange virkelige problemer er IP (Integer programming) EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 13 / 27
Heltalsprogrammering IP BIP Maksimér c T x u.b.b. Ax b, x 0 og heltallige Maksimér c T x u.b.b. Ax b, x 0, x {0, 1} n (n er dimensionen af x) MIP Maksimér c T x + h T y u.b.b. Ax + Gy b, x 0, y 0 og heltallige EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 14 / 27
Assignment problemet Hver af n personer skal udføre præcist et ud af n jobs med et minimum af omkostninger. Kan løses som et såkaldt netværks flow problem: Definition af variable: x ij = 1 hvis person i udfører job j, og x ij = 0 ellers. Altså x ij {0, 1} for i, j = 1,..., n. Definition af begrænsninger: Hver person i udfører ét job, n j=1 x ij = 1. Hvert job j udføres af én person, n i=1 x ij = 1. Definition af objektfunktionen: min n i=1 n j=1 c ijx ij. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 15 / 27
Rygsæksproblemet (knapsack problem) Vælge et sæt af elementer j, fx investeringsprojekter, hvert med en omkostning a j og en forventet gevinst på c j, samtidig med der er en begrænsning på b, fx et budget. Definition af variable: x j = 1 hvis projekt j vælges, og x j = 0 ellers. Altså x j {0, 1} for j = 1,..., n. Definition af begrænsninger: Begrænsningen (budgettet) kan ikke overstiges, n j=1 a jx j b. Definition af objektfunktionen: Maksimer forventet gevinst max n j=1 c jx j. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 16 / 27
Mængdeoverdækningsproblemet Et antal områder, kommuner for eksempel, skal serviceres af et antal faciliteter, fx brandstationer, hospitaler eller anden slags anlæg, ved anvendelse af et minimum af omkostninger. Problemet kan formuleres som et såkaldt kombinatorisk optimeringsproblem. M er mængden af områder N er mængden af potentielle faciliteter S j er mængden af områder, som kan serviceres fra facilitet j. c j er anlægsomkostningen for facilitet j Det matematiske problem er nu: Vælg den billigste delmængde af faciliteter T, således at foreningsmængden af alle mængderne S j af områder, som hver enkelt facilitet j kan servicere, dækker alle områder M: min T N j T c j u.b.b. Ax b, x 0, x {0, 1} n (n er dimensionen af x) EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 17 / 27
Traveling Salesman problemet En handelsrejsende skal besøge hver af n byer præcis én gang, idet han starter og slutter i hjembyen. Det skal gøres billigst muligt, dvs. det skal være den korteste rute. Der er mange anvendelser, fx ruteplanlægning af lastbiler med gods, produktion af integrerede kredsløb på microchips, etc. Definition af variable: x ij = 1 hvis sælgeren beøger by i og derefter j på sin tur, og x ij = 0 ellers. Definition af begrænsninger: Hver by besøges præcis én gang. Definition af objektfunktionen: min n i N,j i N c ijx ij. Der findes varianter. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 18 / 27
MIP problemer (Mixed Integer Programming) Kombinationen af heltals (evt. binær) og kontinuerte variable karakteriserer MIP problemer. Den kontinuerte variabel x repræsenterer ofte et eller andet flow eller en aktivitet. Heltals/binær variablen y repræsenterer ofte et ja/nej valg, som påvirker den kontinuerte variabel på en eller anden måde. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 19 / 27
Eksempel på MIP Modellering af faste omkostninger i driftsøkonomi. I mange situationer er der faste omkostninger forbundet med at starte en aktivitet, fx Opstart af produktionsmaskineri Bygning af en ny fabrik Betragt den ikke-lineære omkostningsfunktion { f + px hvis 0 < x C h(x) = 0 hvis x = 0 Dette kan gøres til et MIP ved at tilføje en binær variabel y = 1 hvis x > 0, og y = 0 ellers. Begrænsningen for y, x: x Cy, y binær. Lineær cost funktion: h(x) = fy + px. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 20 / 27
Dynamisk Programmering Motivation: Korteste vej. Problemet består i at finde den korteste vej fra startpunkt til alle andre knudepunkter i et netværk. Mange anvendelser: Rejseplanen som findes som app både til Android og ios Projektplanlægning Planlægning generelt EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 21 / 27
DONG gas fra Nordsøen Netværket i én tidsperiode Netværket i én tidsperiode: købskontrakt inflow1 outflow inflow2 salgskontrakt1 salgskontrakt2 8 EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 22 / 27
DONG Beslutningsvariable Flow i kanter Købsmængder og salgsmængder på kontrakter Booking af yderligere transportkapacitet Køb af yderligere lagerkapacitet i form af lagerpakker Minimering af (udgifter ved køb af gas samt faste og variable udgifter ved køb af transport og lagerkapacitet) minus (indtægter ved salg af gas) EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 23 / 27
DONG (fortsat) Restriktioner Netværk: Balance i punkter ( indstrømning = udstrømning) - undtagen lagerpunkter. Transport: Der kan ikke transporteres mere end booket kapacitet på kanten. Der kan ikke transporteres mere end max kapacitet på kanten. Lagre: Lagerniveau mellem Min og Max lagerkapacitet, både primo og ultimo måneden. primolagre første måned= ultimolagre sidste måned injektionskapacitet, udtrækskapacitet, filling-restriction, mv. ift. lagerpakke Primolager = Ultimolager. Kontrakter: Min og Max restriktion for mængder på måneder/år/frie perioder Profilmængder eller realiserede mængder pr. måned. Specielle: Binære restriktioner. Balancerestriktioner. EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 24 / 27
Gas Portfolio and Transport Optimization Artikel: Gas Portfolio and Transport Optimization EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 25 / 27
Integrated airline scheduling Artikel fra Computers and Operations Research Benders decomposition EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 26 / 27
Tramp shipping Artikel Ship routing and scheduling with flexible cargo sizes Tramp trade EH (Institut for Matematiske Fag) Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Oktober 2012 27 / 27