9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Enkeltobservationer: kunne skabe overblik over statistisk materiale og anvende udvalgte statistiske deskriptorer til tolkning af data. Boksplot: kunne fremstille, analysere, fortolke og konkludere på boksplot som model af virkeligheden. Grupperede observationer: kunne læse, forstå og anvende intervaller samt finde og benytte statistiske deskriptorer i grupperede undersøgelser. Sandsynlighed og spil: kunne vælge en passende model for situationer i virkeligheden og tilpasse den de givne vilkår. Chancetræer: kende til chancetræets styrker som model og kunne anvende chancetræet i problembehandling. I kapitlet arbejdes der videre med den viden, som eleverne oparbejdede i Format 7. Kapitlet udvider kendskabet til statistiske deskriptorer med kvartilsæt, og de præsenteres for boksplot. Der arbejdes desuden videre med, hvordan de grupperede undersøgelser behandles. Sandsynlighedsregningen tager udgangspunkt i spil og arbejdet med at styrke elevens visuelle repræsentationer, hvor der særligt bliver lagt vægt på chancetræet som model. Enkeltobservationer Den kendte hyppigheds- og frekvenstabel udvides med den summerede hyppighed og summerede frekvens samt de tilhørende trappediagrammer. Der arbejdes i kapitlet desuden med kvartilsættet på flere forskellige måder. Eleverne finder både kvartilsættene manuelt og ved hjælp af digitale hjælpemidler. Der lægges vægt på GeoGebra som hjælpemiddel, men regnearket kan naturligvis også finde kvartilsættet. Derudover skal eleverne oversætte kvartilerne til et hverdagssprog i deres fortolkning af data. Boksplot Eleverne introduceres til boksplot ved at skulle gennemskue, hvilke deskriptorer der anvendes til fremstillingen af dette. Deres viden sættes således i spil og knyttes hurtigt til figuren. Gennem forskellige opgaver opnår de sikkerhed i at læse boksplottet og forståelse for dets styrke som model til sammenligning af observationssæt. Til sidst anvendes boksplot i en undersøgelse, eleverne selv planlægger og gennemfører. Grupperede observationer Arbejdet med de grupperede observationer har tidligere mest drejet sig om inddeling i intervaller. Dette er udgangspunktet for kapitlet, og der arbejdes også videre med dette, men fokus i opslaget ligger på forskellene på deskriptorer og diagrammer ved den grupperede og ikke-grupperede undersøgelse. Eleverne anvender denne viden i en praktisk undersøgelse, der slutteligt sætter fremskrivning af grafer i spil. Sandsynlighed og spil
Her repeterer og udvikler eleverne viden om sandsynlighedsregning fra sidste år. Der er fokus på at kunne vælge den rigtige model og metode til en given situation. Begreberne ordnet/uordnet tilføjes til de kendte stikprøver med og uden tilbagelægning. Den modsatte hændelse introduceres som redskab og notationsformen P(hændelse) indføres. Chancetræer Chancetræet er kendt af eleverne fra sidste år, hvor de arbejdede med det i meget enkle situationer. Her slippes de mere løs, og problembehandlings- og modelleringskompetencen kommer i høj grad i spil, når eleverne virkelig skal tilpasse og udvikle chancetræet for at kunne forholde sig til de fiktive spilfigurer, de selv skaber. Siderne er bygget op om et enkelt terningespil, der giver mulighed for mange uformelle samtaler om sandsynlighed. Gennem et par opgaver spores eleverne ind på chancetræet som redskab til at gennemskue sandsynlighederne. Side til side-vejledning Enkeltobservationer Intro 1 Først færdig (klasseaktivitet) og kopiark 9.01 Kapitlet begynder med en aktivitet for hele klassen, hvor fokus er på processen observationsindsamling, behandling af data samt fortolkning. Eleverne går rundt mellem hinanden og finder sammen i par. Sten, saks, papir afgør, om eleverne rykker videre til næste niveau i processen. Hvis eleven taber bliver vedkommende på samme niveau. Det er vigtigt, at eleverne hele tiden tydeligt viser, hvilket niveau af processen de er på ved at placere deres arme som beskrevet. De elever, som bliver færdige samles et sted. Det kan fx være med ryggen mod tavlen, så det er tydeligt, at de er færdige. 2 Begrebskapløb (gruppeaktivitet) og kopiark 9.02 Eleverne indsætter begreberne i sætningerne på kopiarket og finder herefter en makker. En sætning læses på skift op, og betydningen af begreberne forklares. Begreberne nederst på kopiarket forklares skriftligt på den tilhørende brik, og i grupper udvælges de bedste forklaringer. Brikkerne bruges til at spille begrebskapløbet som beskrevet på kopiarket. 3 Observationer I denne opgave skal eleverne ud fra givne deskriptorer angive et muligt observationssæt. Eleverne styrkes dermed i forståelsen af deskriptorerne. Ud fra gennemsnittet kan summen af observationerne findes. På den baggrund kan elevene opstille 8 observationer fra 1 til 20 på følgende måde: 1-1-1-1-1-1-4-20 1-1-1-1-1-2-3-20 1-1-1-1-2-2-2-20 Eleverne fortsætter arbejdet i regnearksfilen. 4 Summeret hyppighed (paraktivitet) Eleverne undersøger betydningen af at summere ved at bruge internettet. Dernæst besvarer de spørgsmålene ved at lægge hyppighederne sammen, således at de ledes frem til sammenhængen mellem h(x) og H(x). 5 Unges dyre vaner Her kædes indholdet i den faglige tekst sammen med det korrekte trappediagram i regnearksfilen.
6 Kvartiler Eleverne præsenteres for kvartiler ved at de manuelt ordner et observationssæt på 12 observationer i rækkefølge. Dernæst opdeles rækken i 4 med 3 observationer i hver. Eleverne færdiggør udsagnene i bogen ud fra deres opdeling og ledes på den måde frem til kvartilernes definition, som står i den grå boks. 7 Kvartilsæt Eleverne finder kvartilsættene ved at beregne den summerede frekvens og konstruere et trappediagram, som beskrevet i de grå bokse. Dernæst åbner eleverne GeoGebrafilen og laver en enkeltvariabelanalyse på hver af de 3 datasæt, hvor det interessante er, at eleverne får klikket på sum-tegnet, så deskriptorerne kommer frem. Eleverne undersøger, hvordan GeoGebra beregner kvartilsættene, når dette ikke blot er et helt tal. Boksplot 8 Rejsemål Eleverne læser teksten og identificerer de 8 deskriptorer, som er mindsteværdi, størsteværdi, variationsbredde, typetal, gennemsnit, 1. kvartil, median og 3. kvartil. Dernæst anvender eleverne de fundne deskriptorer til at gennemskue opbygningen af et boksplot. Eleverne vurderer, hvilke deskriptorer der kan aflæses i et boksplot, og hvilke der ikke kan. 9 Middagsplaner I denne opgave konstruerer eleverne boksplot manuelt på papir og i GeoGebra, således at forskellen på de to hjælpemidler vurderes. Eleverne konstruerer boksplottet i GeoGebra ved at markere data og vælge enkeltvariabelanalyse. 10 Tøm bordet (paraktivitet) og kopiark 9.03 Eleverne vurderer, hvilken af de 4 repræsentationer i bogen, som ikke passer til de andre. Den gule/grønne tabel nederst til venstre skiller sig ud fra de andre. Dernæst spiller de Tøm bordet med brikkerne fra kopiarket. De 16 brikker udgør 8 stik, hvor alle har et boksplot. Den anden brik i stikket er en hyppighedstabel, deskriptorer eller konklusioner fra undersøgelser. Brikkerne spredes ud på bordet med forsiden opad, så eleverne kan se alle brikkerne. 11 Find observationerne (paraktivitet) I denne opgave finder eleverne frem til observationssættet, som ligger til grund for konstruktionen af de illustrerede boksplot. Observationssættene er: 3, 3, 4, 5, 5 og 3, 5, 6, 6, 7 12 Unges stemmer (gruppeaktivitet) Eleverne konstruerer et boksplot, ud fra et nuværende boksplot og en ønsket ændring. I gruppen diskuterer eleverne de forskellige konstruktioner, og på baggrund af diskussionen konstruerer gruppen den bedste løsning. 13 Prøver (paraktivitet) I GeoGebrafilen konstruerer eleverne flere boksplot ved hjælp af flervariabelanalyse, så de kan sammenligne data. Desuden konstruerer eleverne pindediagrammer over samme observationssæt, og de diskuterer fordele og ulemper ved de to typer af diagrammer til brug ved sammenligning af data. 14 Gruppepres på klassetrin Eleverne laver forskellige repræsentationer på baggrund af samme statistiske materiale. Derved kan de på baggrund af hyppighedstabellerne, de 4 boksplot samt grafen for udviklingen af det gennemsnitlige antal gange konkludere på undersøgelsen. Deres konklusion formulerer de som et tweet. 15 Undersøg Først formulerer eleverne en hypotese, de gerne vil undersøge. Der er givet nogle eksempler i bogen, som eleverne kan anvende, hvis ikke de kan finde på andet. Det kan være en god idé at lade eleverne tegne skitser af forventet boksplot samt evt. graf over udviklingen, således at de kan sammenligne disse med de resultater, de ender med, når undersøgelsen er gennemført.
Grupperede observationer 16 Intervaller (paraktivitet) Eleverne har arbejdet med intervaller i forbindelse med ligninger og uligheder i kapitel 5, så denne opgave repeterer kort brugen af intervaller, således at eleverne kan anvende disse ved grupperede observationer. 17 Ung hushjælp Eleverne ordner data i regnearket ved at finde passende intervaller og opstille data i en hyppighedstabel. De beregner desuden frekvens, summeret hyppighed samt summeret frekvens og konstruerer et histogram. Eleverne svarer på, hvilken betydning det har for gennemsnittet, at observationerne grupperes. De data, eleverne har fundet frem til i regnearksfilen, skal anvendes i opgave 18 18 Instruktionsvideo (gruppeaktivitet) Ud fra besvarelsen af opgave 17 konstruerer eleverne en sumkurve i GeoGebra med intervallerne og de tilhørende summerede frekvenser. Eleverne plotter punkterne ind og forbinder dem. Når eleverne har styr på konstruktionen af sumkurven optager de en instruktionsvideo. Et speakerheadset kan være en fordel, når der skal tales i videoen. 19 Sumkurvespillet (paraktivitet) og kopiark 9.04 Hver gruppe får udleveret et kopiark og 3 centicubes, og eleverne klipper brikkerne ud. Hvis eleverne har brug for det, kan de som gruppe starte med samle brikkerne i bunker af 4, som passer sammen, da spillet efterfølgende bedre kan inkludere alle elever uanset faglige niveau. Eleverne spiller efter reglerne på kopiarket. 20 KontorTarzan (gruppeaktivitet) Eleverne gennemfører en undersøgelse af klassens evne til at lave Captains Chair ved 3 målinger på 3 forskellige tidspunkter i løbet af et par uger. Undervejs øver eleverne sig derhjemme på øvelsen, så data forbedres. Informationerne gemmes til opgave 21. 21 Behandling af data (gruppeaktivitet) I denne opgave behandler eleverne data fra opgave 20. Eleverne bør ledes frem til at opstille hyppighedstabeller med fornuftige intervaller samt konstruere boksplot til at sammenligne resultaterne. Eleverne beregner endvidere gennemsnit og tegner resultaterne og gennemsnittet i samme koordinatsystem. 22 Tifingersystemet Eleverne gennemfører en undersøgelse om daglig skrivning på tastatur øger hastigheden, hvormed der skrives. De planlægger selv, hvordan undersøgelsen skal foregå. 23 Svar og skriv under (klasseaktivitet) og kopiark 9.05 Alle elever får udleveret kopiarket. De går rundt mellem hinanden og finder en kammerat, som de stiller et spørgsmål fra kopiarket. Eleven lytter til svaret og skriver svaret på sit kopiark. Kammeraten kontrollerer svaret og skriver under. Rollerne byttes. Dernæst finder eleven en ny kammerat osv. Ved et forkert svar skal eleven gå tilbage til underskriftindehaveren og rette besvarelsen. Hvis der er opgaver, der volder problemer, kan der enten sættes svar ind i kæden et par steder eller afsluttes fælles med spørgsmålet. Støt en svag elev ved at være makker med ham i begyndelsen, så det sikres, at eleven har et sikkert svar. For at sikre at eleverne taler med nogle forskellige kammerater, kan der stilles krav om, at der er lige så mange forskellige underskrifter på kopiarket, som der er svar. Aktiviteten fortsætter, indtil alle har fået svar på alle spørgsmål. De elever, som er færdige med deres eget kopiark er stadig med i aktiviteten. Derved kan de resterende elever komme til dem for at få svar. Aktiviteten kan også slutte på et givent signal. Svarene gennemgås efterfølgende i klassen, så det sikres, at alle har fået de rigtige svar. Sandsynlighed og spil
24 Begrebskapløb (gruppeaktivitet) og kopiark 9.06 Eleverne indsætter ordene i sætningerne på kopiarket og læser derefter på skift op i par. Begreberne på side 2 forklares skriftligt på den tilhørende brik, og i grupper udvælges de bedste forklaringer. Brikkerne bruges til at spille begrebskapløbet, som beskrevet på kopiarket. 25 Spørg, svar og byt (klasseaktivitet) og kopiark 9.07 Kopiarket kan med fordel kopieres til A3, så brikkerne bliver større. Brikkerne klippes ud, og alle elever får udleveret en brik. Eleverne går rundt mellem hinanden og finder en makker. De spørger hinanden på skift, og når der er svaret, bytter de spørgsmål og finder en ny makker. 26 Kombinatorik med terninger (gruppeaktivitet) Eleverne undersøger sandsynlighederne for kast med 2 terninger med brug af 4 forskellige måder at holde styr på udfaldene. Eleverne diskuterer fordelene ved de forskellige metoder. Tælletræet og chancetræet er næsten ens forskellen er, hvorvidt der er påført sandsynligheder eller ej. Tællerektanglet er en tabel over kast med 2 terninger fx for addition: + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 27 Simuleret kast med terninger I regnearksfilen undersøger eleverne brugen af SLUMPMELLEM og HVIS og anvender disse funktioner til at udfylde resten af cellerne i den markerede tabel. 28 Kluns (gruppeaktivitet) Eleverne starter med selv at klunse, så de bliver fortrolige med spillet. Dernæst beregner de sandsynligheder for forskellige udfald. 29 Modeller omkring dig I denne opgave kommer eleverne med eksempler på situationer, hvor de 4 forskellige modeller er bedst egnede. Opgaven kan opsamles i klassen enten undervejs eller slutteligt ved at eksemplerne skrives på tavlen i en kolonne for hver model. Hvis dette gøres undervejs, kan de elever, som ikke umiddelbart kan komme i gang med opgaven, få ideer til, hvilke situationer der er anvendelige. 30 Lykkehjulet Eleverne finder frem til sandsynligheden for, at lykkehjulet efter at have været sat i gang 3 gange har ramt A, B og C. Eleverne får at vide, at rækkefølgen er ligegyldig, hvilket leder dem over i flere kombinationer for de tre bogstaver. Tælletræet er her anvendeligt for eleverne, så de skaber overblik over de forskellige kombinationer samt kan aflæse antal gunstige udfald. 31 Orden på kriterierne I 7. klasse blev eleverne introduceret til sandsynligheder med og uden tilbagelægning. I denne opgave skal denne viden bringes i spil sammen med den nyerhvervede viden omkring ordnet og uordnet stikprøve. Begreberne kan evt. italesættes og repeteres fælles i klassen, inden eleverne går i gang med opgaven. Det er ikke meningen, at eleverne skal præsenteres for de forskellige formler til beregning af antal kombinationer i de 4 tilfælde. Fokus er i denne opgave på, at eleverne anvender begreberne ordnet/uordnet stikprøve samt med og uden tilbagelægning. 32 Terningkast
Eleverne arbejder med den modsatte hændelse, som er vist i den grå boks. Denne viden kan anvendes i et yatzy-spil, hvor den modsatte hændelse er anvendelig, så eleverne skal vurdere, om de vil kaste igen. 33 Uno I denne opgave beregner eleverne sandsynligheder i forbindelse med kortspillet UNO, og de anvender den modsatte hændelse. Det kan være en god idé at medbringe et UNO-spil, da det ikke er sikkert, at alle elever kender spillet. Chancetræer 34 Terningduel (paraktivitet) og kopiark 9.08 Eleverne spiller Terningeduel ud fra reglerne i bogen. 35 Erobring af ånd Først redegør eleverne for chancetræets opbygning, som er illustreret. Dernæst konstruerer de selv et chancetræ for en anden situation. 36 Dæmon vs. shifter Eleverne arbejder med mere komplicerede chancetræer, som indeholder sammensatte sandsynligheder. 37 Flere figurer (klasseaktivitet) I denne opgave konstruerer eleverne figurer, som der kan spilles med. De skal gøres opmærksomme på, at figuren skal have styrker og svagheder, så de ikke kun laver superhelte. De kan fx overleve længere på bekostning af kun at ramme få gange, eller de kan klare en ånd bedre end de kan klare de levende. Andre terninger eller kast med mønter kan også inddrages i spillet. Figurerne hænges op i klassen. Her har kreative elever mulighed for at tegne flotte tegninger af figurerne. Figurens spillerkarakteristik tilføjes tegningen. Eleverne vælger parvis mellem de konstruerede figurer og spiller spillet. 38 Superliga og kopiark 9.09 og 9.10 Kopiarkene kopieres og forstørres, så der er 5 brikker pr. elev. Eleverne stiller sig op parvis. Det er ligegyldigt, hvem de er sammen med, da de hele tiden får nye makkere. Brikkerne fordeles i bunker med ca. 10 stk., en bunke til hvert par. Læreren bestemmer hvilken ende, der er Superliga og hvilken der er Serie 5. Når der siges begynd, skiftes eleverne til at spørge hinanden. Rigtigt svar giver et point. Kortet lægges nederst i bunken og kan således dukke op igen i samme runde. Når det meddeles at runden er slut skal der rykkes op eller ned. Sten, saks, papir afgør hurtigt de uafgjorte. Bunken med brikker bliver liggende på bordet. Vær opmærksom på, at nogle skal over på den anden side af bordet. Antal af runder og hvor lang tid tilpasses behov og stemning. Det er dog ofte bedst, at de fleste når en del spørgsmål i de første runder. Inden man går i gang er det en fordel at huske eleverne på, at de hurtigt og roligt skal finde deres nye plads, når runden er slut, så den nye runde kan komme i gang. Hvis elevgruppen er præget af usikkerhed på den ene eller anden måde, kan man lade dem spille parvis. Man skal også overveje betydningen af, at nogle elever starter i Serie 5 og ikke får muligheden for at spille sig i Superligaen pga. for få runder. Skriftlig problemløsning 1 Divisionstræning I denne opgave arbejder eleverne med deres viden omkring statistik, som de har erhvervet sig gennem arbejdet med kapitlet. 2 Arv Eleverne beregner sandsynligheder på Mendels ærter. Emnet kan være kendt for eleverne, da genetik er en del af det faglige stof i biologi.