Vektorregning for 11. årgang.

Vektorregning for 11. årgang. 1. Vektorer side 1-2 2. Linjer side 2 -. Planer side - 7. Skæring mellem linje og plan side 8-9 A1: Om at tegne rumlige figuer side 0-1 A2: Løsning af ligningssystemer side 2-5

.7.2006

Vektorregning 11 årgang. udgave Skalarer og vektorer 1. Vektorer Hvis indholdet i to spande med henholdsvis 2 liter og liter vand hældes sammen, har man ialt 5 liter vand; hvis to lodder med masserne 2 kg og kg smeltes sammen, fås et lod med massen 5 kg. Men fordi afstanden fra A til B er 2 cm, og afstanden fra B til C er cm, er det ikke sikkert, at afstanden fra A til C er 5 cm. 1) Hvis et legeme påvirkes af to kræfter, den ene på 2 Newton og den anden på Newton, vil den samlede kraftpåvirkning sædvanligvis ikke være 5 Newton. Ovenstående eksempler skal illustrere, at man må skelne mellem to slags størrelser, skalarer og vektorer. En skalar er bestemt ved sin talværdi - måske med tilføjelse af en enhed - og regning med skalarer er blot regning med reelle tal. En vektor er derimod en retningsbestemt størrelse, og til fastlæggelse af en vektor kræves kendskab til både dens talværdi, dens enhed og dens retning. Som eksempler på skalarer kan nævnes: længde, areal, masse og elektrisk ladning. Vektorer benyttes til beskrivelse af bl.a. hastighed, acceleration og kraft, men også til impuls, impulsmoment og kraftmoment. I matematikken er vektorer gode til at beskrive parallelforskydninger. Disse vidt forskellige begreber kan rent regneteknisk behandles ens, og dette er netop en af årsagerne til indførelsen af det matematiske vektorbegreb. Pile og vektorer. Definition : Ved en pil forstås et linjestykke af en bestemt længde forsynet med en bestemt retning. Man siger, at linjestykket er orienteret. Hvis A og B er to punkter i planen, skal pil AB betegne pilen fra A til B. Punktet A er begyndelsespunktet og B er endepunktet. pil AB og pil BA kaldes modsat rettede pile eller blot modsatte pile. 1) Prøv at afsætte punkterne A og B 2 cm fra hinanden på et stykke papir og undersøg, hvilke afstande det er muligt at opnå fra A til C, når C anbringes cm fra B. Side 1

Vektorregning 11 årgang. udgave eksempler: Som et matematisk hjælpemiddel til beskrivelse af hastigheder kan man bruge en pil. Dens retning skal angive bevægelsesretningen, og dens længde skal udtrykke hastighedens størrelse. Kører nogle cyklister i samme retning, men med forskellig fart (størrelse af hastigheden), angives det som på figuren her til venstre, hvor pilenes retning er ens mens deres længder, der angiver cyklisternes fart er forskellig. For to faldskærmsudspringere kan deres nedadrettede hastigheder ligeledes anskueliggøres med pile. Da de to udspringere har samme hastighed, bliver de to pile ens, d.v.s. samme længde og retning. Øvelse 1.1: På billedet af faldskærmsudspringerne svarer 1 mm på pilene til 1 m/sek. Bestem udspringernes fart i enhederne m/sek og i km/time. I fysik repræsenteres en kraft ofte ved en pil, f.eks. når et legeme påvirkes af en kraft. Hvis legemet befinder sig et andet sted, angives kraften med en anden pil, der har samme retning og længde, men det opfattes som samme kraft. Pilens længde er udtryk for kraftens størrelse, og pilens retning angiver kraftens retning. Side 2

Vektorregning 11 årgang. udgave A* B* C* D* Til venstre ses en parallelforskydning. Denne kan beskrives ved en hvilken som helst af pilene A B C D E* AA BB, CC, DD, EE eller ved en pil fra et hvilket som helst punkt P i planen hen til det punkt P*, hvor P føres hen ved parallelforskydningen. E Det karakteristiske for alle eksemplerne er, at det er uden betydning, hvor pilenes begyndelsespunkt er placeret. Det er alene deres retning og længde, vi bruger til beskrivelserne. Endnu et eksempel: Billedet til højre viser tre flyvemaskiner i formationsflyvning. Med en pil angives en flyvemaskines hastighed. Da de tre pile er ens, har de tre maskiner samme hastighed. De tre pile angiver altså den samme hastighed, selv om de er tegnet forskellige steder. Det vil da være naturligt at sammenfatte disse tre pile, og for øvrigt alle andre tænkelige pile, som repræsenterer denne hastighed, til én bestemt mængde af pile. En sådan mængde af pile kaldes for en vektor. I flere af de beskrevne eksempler har vektorerne beskrevet hastigheder. Det kan vi specificere ved at tale om hastighedsvektorer. Definition: En vektor er mængden af alle pile, som har samme retning og samme længde. Hver pil kaldes en repræsentant for vektoren. Side

Vektorregning 11 årgang. udgave Øvelse 1.2: Hvilke af følgende begreber kan beskrives ved vektorer: 1) Rumfang 7) Tid 2) Kraft 8) Energi ) Masse 9) Hastighed ) Arbejde 10) Fart 5) Acceleration 11) Temperatur 6) Tryk Som symbol for en vektor anvendes et lille bogstav med pil over: En repræsentant for vektoren a (læses: vektor a). a tegnet fra et punkt A til et punkt B, betegnes AB, og vi skriver: a AB. Ved længden af a forstås længden af en vilkårlig repræsentant for a. Længden af a betegnes ved a eller blot a (det er jo en skalær størrelse). To vektorer er parallelle, dersom deres retninger er parallelle. Parallelle vektorer behøver således ikke at være lige lange, ligesom de heller ikke nødvendigvis er ensrettede. På figuren er a, b og c alle parallelle, a er ensrettet med c, men a er modsat rettet b. At a og b er parallelle skrives a b. To vektorer er ortogonale, dersom deres retninger er ind byrdes vinkelrette. At a og b er ortogonale skrives a b. Side

Vektorregning 11 årgang. udgave Når vi i det foregående har talt om et orienteret linjestykke AB, har det været underforstået, at A B. De hidtil omtalte vektorer har derfor alle positive længder. I mange sammenhænge er det imidlertid praktisk at råde over en vektor med længde 0. Vi udvider derfor mængden af vektorer med nulvektoren. Der er kun én nulvektor, og den betegnes 0. Nulvektoren er uden retning, og ethvert punkt er en repræsentant for nulvektoren. Til forskel fra denne uegentlige vektor kaldes en vektor egentlig vektor. Indtil nu har vektorer været tegnet som liggende i samme plan. Vektorer kan imidlertid også ligge i forskellige planer, som på figuren her ved siden af. a 0 for en Øvelse 1. Hvilke af de 8 vektorer på figuren (1) har samme længde? (2) er parallelle? () er ortogonale? Opgave 1.1 Hvor mange vektorer er der repræsentanter for på denne figur? Opgave 1.2. Side 5

Vektorregning 11 årgang. udgave REGNING MED VEKTORER Forsøg: Nedenstående forsøg kan laves som introduktion til dette afsnit, eller efter de følgende sider om vektoraddition. Figuren nedenfor viser tre snore, der er bundet sammen i punktet P og forbundet til hver sin kraftmåler (newtonmeter). Prøv med tre kraftmålere og noget snor at bestemme nogle mulige kombinationer af værdier for de tre kraftmålere A, B. og C. Lav flere forsøg som ovenfor, hvor vinklerne mellem snorene er anderledes. Det kan være en god ide at starte med at fastlægge vinklerne mellem snorene ved på forhånd at tegne tre halvlinjer ud fra et punkt P i nærheden af papirets midtpunkt. Vektoraddition Definition: Lad a og b være to vilkårlige vektorer. Ud fra et vilkårligt punkt A afsættes en repræsentant for vektor a. Hvis endepunktet kaldes B, så er a AB. Ud fra punktet B afsættes vektor b. Hvis endepunktet kaldes C, så er b BC: Vi definerer nu, at summen af vektorerne a og b skal betyde vektoren AC, og man skriver summen af to vektorer med et sædvanligt plustegn: a b AC Det er vigtigt at bemærke, at den definition der her er givet for addition af to vektorer, ikke afhænger af det udgangspunkt A, man starter med at vælge. Side 6

Vektorregning 11 årgang. udgave Der gælder at: a b b a D.v.s. for vektoraddition gælder den kommutative lov. Øvelse 1. Bevis sætningen a b b a geometrisk. øvelse 1. slut! Trekantsuligheden For to vilkårlige vektorer a og b får vi umiddelbart ud fra konstruktionen af sumvektoren a b, at der gælder: Œ a b Œ º Œ a Œ Œ b Œ Uligheden kaldes for trekantsuligheden. Som det fremgår af figuren til højre, gælder lighedstegnet kun når a er ensrettet med b Indskudsreglen: For tre vilkårlige punkter A, B og C gælder AB AC CB AB er således blevet opdelt i en sum af to vektorer, AC CB, idet C er»indskudt«mellem A og B. Denne regel gælder generelt og kaldes for indskudsreglen. Vektoraddition som en diagonal i et parallelogram. Hvis vi vælger repræsentanter for to vektorer a og b, så de begynder i et fælles begyndelsespunkt 0, vil disse repræsentanter udspænde et parallelogram ACBO: Idet AC også er en repræsentant for b, ses at a b OC d.v.s. a b er den diagonal, der begynder, hvor de to vektorer a og b begynder. Det er denne formulering af vektorsum, der især finder anvendelse i fysikken ("kræfternes parallelogram"). Side 7

Vektorregning 11 årgang. udgave Eksempel 1.1 Figuren nedenfor viser i fugleperspektiv to personer, der trækker en båd på en å. Den resulterende kraft bestemmes ved vektoraddition r a b : r, hvormed båden trækkes, Længden og retningen af sum vektoren bestemmes ved diagonalen i det parallelogram, hvis sider svarer til a og b (i den forbindelse tales ofte om»kræfternes parallelogram«). SÆTNING: For vilkårlige vektorer gælder den associative lov: ( a b ) c a ( b c ) Eksempel 1.1 slut! Bevis: Af den første figur ses, at ( a b ) c AB og af den anden figur ses, at a ( b c ) AB. Hermed er det ønskede bevist i to dimmentioner. Nedenstående figurer viser, at den associative lov: ( a b ) c a ( b c ) også gælder for vektoraddition i rummet: d ( a b ) c d a ( b c ) bevis slut! Side 8

Vektorregning 11 årgang. udgave Eksempel 1.2: Denne figur viser, hvordan man kan addere de tre vektorer v, w og u. Facit er vektoren AD. C A w u v B v w u D Eksempel 1. Tre kræfter k 1, k 2 og k virker på en sten. Den resulterende kraft k bestemmes, som vist på figuren, ved vektoradditionen: Eksempel 1.2 og 1. slut! Opgave 1.. Ved et orienteringsløb løber en af konkurrencedeltagerne 600 m mod nord, derefter 500 m mod sydvest og sluttelig 50 m mod sydøst. Hvor langt fra udgangspositionen er løberen da? (Vink: Indtegn en figur på ternet papir, hvor løbestrækningerne angives ved vektorer) Side 9

Vektorregning 11 årgang. udgave Den modsatte vektor. I forbindelse med reelle tal definerer man det modsatte tal a til et givent tal a ved ligningen a(a) 0. Svarende hertil defineres a på følgende måde: Den modsatte vektor a til en given vektor a defineres ved ligningen a ( a ) 0. a - a Læs dette således: den modsatte vektor til vektor a er den vektor, man skal lægge til vektor a for at få nul-vektoren. Til denne vil vi bruge betegnelsen a. Øvelse 1.. Prøv at give en anden beskrivelse af "den modsatte vektor". Vektordifferens: Differensen a b mellem to givne vektorer a og b defineres som: a ( b ). læs dette således: til vektor a skal adderes den modsatte vektor til b. Denne definition giver umiddelbart at vektoren som er vist her: a b kan konstrueres a b - b a - b a - b En anden metode til bestemmelse af a b er at afsætte vektorpilene for a og b ud fra samme punkt. a b vektor er da vektorpilen, der går fra spidsen af b til spidsen af vektor a. b b a a - Opgave 1.: Ud fra vektorerne a, b og c på figuren her til højre bestemmes ved indtegning på ternet papir følgende vektorer: 1) a c 2) ( b c ) a Side 10

Vektorregning 11 årgang. udgave Multiplikation af vektor med tal Lad os endnu engang tage vort udgangspunkt i fysikkens brug af vektorer, før vi definerer de matematiske begreber. Et legeme er påvirket af kraften F. Den halve kraft i samme retning kan da naturligt skrives som den dobbelte kraft i modsat retning skrives som 1 2 F, mens (2 F ). Denne kraft vil selvfølgelig være den samme som den modsatte kraft fordoblet, altså 2(F ). Det vil derfor rent matematisk være bekvemt, hvis udtrykket (2)F tillægges samme betydning, så vi får: (2 F ) 2(F ) (2)F Dette opnås med følgende definition: Lad der være givet en vektor a og et tal t. Vi kan da gange a med t, altså danne en ny vektor t a : Hvis a 0, sætter vi t a 0 uanset værdien af tallet t. Hvis a 0 definerer vi vektor t a således : 1) t a har længden t a 2) for t > 0 er t a og a ensrettede, og for t < 0 er t a og a modsat rettede ) Er t 0, sætter vi t a 0. Specielt følger det af definitionen ovenfor, at: 1 a a, (1) a a og f.eks. (7) a 7 a Definitionerne ovenfor er valgt så snedige, at vi kan regne næsten som om, der er tale om at gange tal med hinanden. Bemærk for øvrigt, at der er tradition for ikke at skrive noget gangetegn mellem t og vektoren a. Side 11

Vektorregning 11 årgang. udgave Opgave 1.5 Ud fra vektorerne a, b og c på figuren her til højre bestemmes følgende vektorer: 1) a b 2) ( a b ) 2c ) 2 a ½ b ) a 2b c ved indtegning på ternet papir. Opgave 1.6 Lad A og B være to forskellige punkter i planen. Beskriv følgende punktmængder: Aufgabe 1.7. In den Figuren sind die beiden Vektoren x und y enthalten. Diese drückt man durch a und b aus! M ist Mittelpunkt der einen Seite. b y M x a Aufgabe 1.8. In dem Parallelepipeded sucht man geschlossene Vektorzüge, mit dessen Hilfe man die Vektoren x DA und y EM durch die Vektoren a, b und c darstellt! M ist genau die Mitte zwischen D und A. C c b a E A M c D c Side 12

Vektorregning 11 årgang. udgave Koordinater for vektorer. Forestil dig at du bliver ringet op af en kammerat som ikke har "Vektorregning for 11. årgang.", for at få dikteret Opgave 1.5 fra forige side. Hvordan kan du beskrive de tre vektorer a, b og c? Du kunne sige vektor a "en tern til højre og tern op", vektor b "2 tern til højre og 2 tern nedad" og vektor c "2 tern til venstre og 2 tern nedad". Når vi har fået indført begrebet "Koordinater for vektorer" vil vi skrive a 1, b 2 2 og c 2 2 Inspireret heraf kan du diktere Opgave 1.5 således: I opgaven er der givet tre vektorer a, b og c Vektor a har koordinaterne 1 over. Vektor b har koordinaterne 2 over 2. Vektor c har koordinaterne 2 over 2. tegnet på kvadreret papir. I opgaven er der delopgaver. I den første skal du på ternet papir konstruere vektoren vektor a minus vektor b. I den anden delopgave skal du først konstruere vektor a plus vektor b,.. o.s.v. Ovenstående forudsætter imidlertid at i begge er fortrolige med, hvad der menes med udtrykket: "Vektor " * " har koordinaterne x over y." Øvelse 1.5 a) Prøv at beskrive de tre vektorer her, dels på din egen måde og dels ved at bruge formuleringen: "Vektor "*" har koordinaterne x over y." a c b) Bestem ved ved at tegne på ternet papir vektorerne : 1) a b 2) ( a b ) c ) a 1½ b b Side 1

Vektorregning 11 årgang. udgave I det følgende skal vi præcisere begrebet "Koordinater for vektorer" og lære at regne med vektorer. Det er vigtigt, at vi sikrer os en helt entyding sammenhæng mellem en vektor og dens koordinater. I et koordinatsystem i planen indføres to enhedsvektorer, der er ensrettede med henholdsvis første- og andenaksen. De to vektorer kaldes basisvektorer, og betegnes i og j. Der gælder: i j og i j 1. Man udtrykker dette ved at sige at i og danner en ortonormeret basis. (orto ~ ret; normeret ~ enhedslængde d.v.s. længde 1). En vilkårlig vektor a i planen kan skrives som en sum af to vektorer a x og a y. j a x parallel med x-aksen. a y parallel med y-aksen. Man siger, at a er opløst i komposanter parallelle med x-aksen og y-aksen. At denne opløsning er entydig bevises således: Antag, at der findes en anden opløsning b x og b y af a i komposanter. b x er parallel med x-aksen og er parallel med y-aksen b y Det betyder at a a x a y og a b x b y. Heraf a x a y b x b y Af den sidste ligning får vi a x - b x b y - a y Denne ligning siger at vektoren a x - Kald denne vektor v. b x er identisk med vektoren b y - a y. Ved at se på udtrykket a x - b x ses at vektor v er parallel med x-aksen og ved at se på udtrykket b y - a y ses at v også er parallel med y-aksen. Det betyder at v kun kan være nulvektoren 0. Af a x - fås. Og tilsvarende fås at. b x 0 a x b x b y a y Dvs. at vektorerne a x og a y er entydigt bestemte. Side 1

Vektorregning 11 årgang. udgave eller Opgave 1.9. Side 15

Vektorregning 11 årgang. udgave Vektorer i rummet. Vektorer i rummet kan på tilsvarende måde som i planen udtrykkes ved koordinater. Blot skal plangeometriens to dimensioner udvides med en tredje dimension. I rumgeometrien kan vektorer udtrykkes ved koordinater i et retvinklet -dimensionalt koordinatsystem. Dette består af tallinjer som står vinkelret på hinanden i det fælles nulpunkt O. Vi indfører som i plangeometrien basisvektorer i, j og k, som er indbyrdes ortogonale enhedsvektorer. Koordinatakserne betegnes med x-aksen, y-aksen og z-aksen. Vi vedtager, at koordinatsystemet skal have en bestemt orientering : Hvis man tænker sig, at man kigger ned på den plan, som x- og y-aksen danner, fra z-aksens positive del, skal omløbsretningen fra i til j være positiv, d.v.s. mod uret. Ligesom i planen kan en vilkårlig vektor opløses i komposanterne koordinatakserne. Vektor a a x, a y og a z kan derfor angives ved a a x a y a z a 1 i a 2 j a k a 1 og dermed: a a 2. a a entydigt parallelle med Opgave 1.10. I et koordinatsystem i planen er der givet punkterne A(, 2), B(5, 2) og C(1,6) Find koordinaterne til det punkt D, som opfylder at firkanten ABCD bliver et parallelogram, med punkterne i den nævnte rækkefølge. I rummet er der givet punkterne A(, 2,), B(5, 2,0) og C(1,6,2) Find på tilsvarende måde som i to dimentioner, koordinaterne til det punkt D i rummet, som opfylder at firkanten ABCD bliver et parallelogram, med punkterne i den nævnte rækkefølge. Side 16

Vektorregning 11 årgang. udgave STEDVEKTORER Opgave 1.11. Side 17

Vektorregning 11 årgang. udgave Også i rummet vil der til ethvert punkt P svare netop én stedvek tor OP. Koordinatsœttet for punktet P er identisk med Koordinatsœttet for stedvektoren OP. Opgave 1.12. Stedvektoren for H : - 7-1 for C : 6. a) Bestem koordinaterne for H og C. b) Bestem koordinaterne til alle kassens hjørner. c) Beregn koordinaterne til vektorerne BC, CD, BD samt BE. d) Beregn kassens rumfang. Aufgabe 1.1. a) Drücke die Kantenvektoren AC, BD, AD des Tetraeders als Summe mit Hilfe der Vektoren a, b, c aus. b) Berechne die Kantenvektoren in a) aus: Side 18

Vektorregning 11 årgang. udgave Opgave 1.1. Indtegn stedvektorerne til følgende punkter, og C (6, 2, 9) i ovenstående tredimensionale koordinatsystem. A (5, 8, ) B (,, ) Side 19

Vektorregning 11 årgang. udgave REGNING MED KOORDINATER Også ved multiplikation af en vektor med et tal kan vi regne med 1 koordinater. Ganger vi vektor a med t 2 får vi Såvel første- som andenkoordinaten skal altså multipliceres med t. Side 20

Vektorregning 11 årgang. udgave Øvelse 1.9 Øvelse 1.9 slut! Øvelse 1.10 Øvelse 1.10 slut! Side 21

Vektorregning 11 årgang. udgave Eksempel 1. I planen er givet punkterne P(-2,) og Q(6,5). Midtpunktet af linjestykket PQ er Eksempel slut! REGNING MED KOORDINATER I DIMENSIONER. Lad A(a 1,a 2,a ) og B(b 1,b 2,b ) være to punkter i et rumligt koordinatsystem med begyndelsespunkt O. Koordinaterne for de to stedvektorer er OA a 1 a 2 a OB Koordinaterne for AB kan bestemmes således AB OB OA b 1 a 1 b 2 a 2 b a b 1 b 2 b Koordinaterne for AB er differensen mellem punktet B's koordinater og punktet A's koordinater: AB b 1 a 1 b 2 a 2 b a Midtpunktet M af linjestykket AB, med koordinatsættene A(a 1,a 2,a ) B(b 1,b 2,b ), kan bestemmes ved vektorregning. og Midtpunktet M har de samme koordinater som stedvektoren OM OA ½ AB Vi har dermed OM, der kan bestemmes således a 1 a 2 a 1 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b a 1 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a b Midtpunktet M af linjestykket AB, A(a 1,a 2,a ) og B(b 1,b 2,b ), har koordinaterne: M( a 1 b 1 2, a 2 b 2 2, a b ) 2 Side 22

Vektorregning 11 årgang. udgave Længden af en vektor. Længden af en vektor i planen kan beregnes ud fra vektorens koordinater. For en vilkårlig plan vektor a a 1 a a 2 x a y vil vektorens komposanter a x og a y danne en retvinklet trekant med hypotenusen a kateterne a 1.og a 2 Heraf fås og Denne formel kan generaliseres til tre dimensioner For en vilkårlig rumlig vektor a a 1 a 2 a 1 vil vektorens projektion i xy-planen være en plan vektor med længden a 2 1 a 2 2. a er da længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængderne fås: a 1 2 a 2 2 og a Opgave 1.15 Punkterne A, B, C og D har koordinaterne A(-l,0,), B(,7,-l), C(6,-l,0) og D(l,,-5). Bestem koordinaterne til AB, DB, AC og CD. Beregn desuden afstandene AB, AC, AD, BC, BD og CD., idet f.eks. afstanden mellem A og B, betegnes AB og kan bereges som længden af vektor AB. Tegn endelig en vellignende perspektivtegning, hvor de 6 linjestykker mellem punkterne tegnes. Side 2

Vektorregning 11 årgang.. udgave. 2. Linjer I plangeometrien kan vi angive en linje ved hjælp af en ligning. F.eks. y 2x 8 eller 2x y 8 0. ( tegn denne linje.) Denne måde at angive en linje, kan ikke overføres til -dimensioner. Her vil en ligning som y 2x 8 nemlig fremstille en plan - nemlig den plan hvis skæring med x-y-planen netop er linjen fra før. Figuren viser planen y 2x 8. I det følgende vil vi imidlertid bruge en anden måde at angive linjer på. Vi vil angive linjer ved hjælp af parameterfremstillinger. Denne metode kan direkte overføres til -dimensioner. En parameterfremstilling for linjen y 2x 8 i planen kan se sådan ud: x y 0 8 t 1 2, t R. Denne linje i x-y-planen vil i rummet have følgende parameterfremstilling: x y z 0 8 0 t 1 2 0, t R. Side 2

Vektorregning 11 årgang.. udgave. En ret linje l i planen kan karakteriseres ved hjælp af et punkt P o (x o, y o ) på linjen og en retningsvektor r. Retningsvektoren skal være en egentlig vektor, der er parallel med linjen. Idet P betegner et vilkårligt punkt på linjen l, ser vi at linjen l er punktmængden y O.. P o r. P l x P P. o P t r, t R Vi kalder udtrykket P o P t r, t R, for en parameterfremstilling for linjen l, og tallet t kaldes parameteren. Hvis r r x r y skriver vi parameterfremstilling for linjen l på formen: l : x y x o y o t r x r y, t R. Opgave 2.1. Tegn linjen og aflæs skæringspunktet. l : y x 2 og linjen m : y 2x - 1 i samme koordinatsystem Indtegn vektoren r l 1 1 på linje l og r m 1 2 på linje m. Beregn linjernes skæringspunkt (1. Skriv en parameterfremstilling for l og en parameterfremstilling for m. 1) løsning af 2 ligninger med to ubekendte : Se appendiks 2. Side 25

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Eksempe 2.1. En linje kan have mange parameterfremstillinger, som ser forskellige ud. Linjen m hvor x 2 m : y ½ t 1 t R. z 2½ kan også fremstilles ved eller x y z x y z 2 1 10 7 22 t 2-6 t 1 ½ 1½ Linjer i rummet. t R. t R. S ( 1 ; 1 ; 0), Q (; 0; 1) P 0 (; ½; 2½), R (0; 2; 7) I eksemplerne ovenfor bruges at linjen går gennem punkterne (; ½, 2½) og (2, 1, ) samt ( 10, 7, 22). Som retningsvektor kan en hvilken som helst vektor parallel med r bruges. I det andet eksempel er I det tredje eksempel er 1 ½ ½ r 1½ 2 6 2 r 2 1 brugt som retningsvektor. brugt som retningsvektor. Af hensyn til de praktiske beregninger er det en god idé at 'forlænge' retningsvektoren, så dens koordinater kommer til at bestå af hele tal. 'forlænge' betyder at gange vektoren med et tal forskelligt fra nul. Det er tilladt at 'forlænge' retningsvektoren i en parameterfremstilling. Men det er ikke tilladt at 'forlænge' stedsvktorerne. 2½ 2 10 7 22 Altså ½, 1 henholdsvis i ovenstående parameterfremstillinger. Side 26

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Eksempel 2.1 fortsat. At f.eks. punktet 0 1 ½ 2½ Q (; 0; 1) ligger på linjen m vises på følgende måde: 2 t 1 t (2) 0 ½ t 1 1 2½ t Så punktet Q er punktet på linjen m svarende til parameterfremstilling. Opgave 2.2. Bestem værdierne for t svarende til punkterne S( 1 ; 1 ; 0), P 0 (; ½; 2½) og R (0; 2; 7) t ½ t ½ i den valgte eksempel 2.1 slut. i parameterfremstillingen : x y z ½ 2½ t 2 1 t R for linjen m. Opgave 2.. Prøv om du kan bevise, at det er den samme linje de tre parameterfremstillinger i eksempel 2.1 fremstiller. Eksempel 2.2. Vi ønsker at finde en parameterfremstilling for den linje, der går gennem punkterne A(7, l,) og B(,, 6). Vi kan som retningsvektor for linjen bruge AB Vi har nu to mulige parameterfremstillinger: x y z 7 1 t 5-9 t Õ R og x y z 7 (1) 5 6 9 6 t 5-9 t Õ R Hvis vi kun ønsker at fremstille linjestykket AB, må vi indskrænke parameteren t til kun at ligge mellem 0 og 1: D.v.s. linjestykket AB får parameterfremstillingen: x y z 7 1 t 5-9, 0 º t º 1 Her svarer værdien t 0 til punktet A og t 1 til punktet B. For t ½ fås midtpunktet. eksempel 2.2 slut. Side 27

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Parallelle linjer. En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at de to forskellige linjer er parallelle, er at retningsvektorerne for de to linjer er parallelle. Hvorvidt de to retningsvektorer opfylder denne betingelse, kan afgøres ved at undersøge, om de to talsæt for retningsvektorerne er proportionale. Eksempel 2.. er parallelle, fordi talsættene for -2 - retningsvektorerne er proportionale, idet: 0 ½ 0. 1 2 At l og m ikke er sammenfaldende ses ved, at punktet A(, l,), der ligger på l ikke ligger på m, idet Skærende linjer 8 1 - s 0 2-1 ikke har en løsning. eksempel 2. slut Dersom to linjer, givet ved parameterfremstillinger med parametrene t henholdsvis s, skærer hinanden, findes der netop ét talpar (t 0 ; s 0 ) for t og s, for hvilket de to parameterfremstillinger giver det samme punkt P 0, altså skæringspunktet. Eksempel 2.. Givet to linjer l og m med parameterfremstillingerne x l : y t 2 t Õ R. m : y 0 t 1 t Õ R. z 2 1 2 x z 9 2 Linjerne er ikke parallelle, da talsættene for de to retningsvektorer ikke er proportionale. Vi vil derfor undersøge, om linjerne skærer hinanden. D.v.s. vi skal undersøge, om der findes ét talpar (t 0 ; s 0 ) for t og s, der er løsning til 2 t 1 2 2 9 0 s 2 1 Side 28

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Dette betyder, at der skal være én værdi for t sammen med én værdi for s, der er løsning til de tre ligninger (1): 2 t 9 2s (2): 2t s (): 2t s Dette gøres ved først at løse to af ligningerne: t s 2 og derpå indsættes det fundne løsningspar (t, s) (, 2) som kontrol i den tredje ligning: Ved indsættelse i den tredje ligning får vi 2 (2), som er sandt. Altså skærer linjerne l og m hinanden! Skæringspunktets koordinater findes ved enten at indsætte t i parameterfremstillingen for l : eller s 2 i parameterfremstillingen for m. Skæringspunktet er altså P(5, 2,). eksempel 2. slut. Repetition af løsning af to ligninger med to ubekendte *) ved hjælp af Lige Store Koefficienters Metode: Princippet er, at man ved multiplikation med en passende faktor forskellig fra nul -, kan opnå lige store koefficienter på nær fortegn for en af de ubekendte: Lad os løse ligningssystemet t 2s 7 2t s Den nederste ligning multipliceres t 2s 7 med 2, og vi får, at t 2s 8 Den øverste ligning multipliceres med 2t s 1 2, og vi får, at 2t s Ved addition fås, at 5 t 15 så t. Ved addition fås, at 5 s 10 så s 2. Samlet (t, s) (,2) *) mere om løsning af to ligninger med to ubekendte i appendiks 2 side 2 og. Side 29

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Opgave 2.. Givet to linjer x l og m med parameterfremstillingerne l : y t t Õ R. m : y 5 t 2 t Õ R. z 5 18 1 2 Undersøg om linjerne skærer hinanden og find i givet fald deres skæringspunkt. x z Indtegn evt. linjerne i et D koordinatsystem. (Et eksempel på såkaldte vindskæve linjer, d.v.s. linjer der ikke skærer hinanden og heller ikke er parallelle findes på side 8.) 0 8 2 1 Opgave 2.5. Bestem en parameterfremstilling for den rette linje A(,,l) og B(,8, l). Vis desuden at punktet C(12,1, ) ligger på l. Undersøg om linjen l skærer x-aksen. l gennem punkterne 1 Tips: brug at e x 0 er en mulig retningsvektor for førsteaksen til 0 en parameterfremstilling for x-aksen. Eksempel 2.5. Her skal vises hvordan man kan undersøge om tre punkter ligger på linje. I dette tilfælde punkterne P(,1, 7) Q(1, 2, ) R(7, 1, 15). Metode I: Her bruges, at de tre punkter ligger på linje, hvis og kun hvis parallelle, da de to pile PQ og PR starter i samme punkt P. PQ og PR er De tre punkter P(,1, 7) Q(1, 2, ) R(7, 1, 15) ligger på linje idet: 1 PQ 2(1) 7 2 1 7 ; PR 1(1) 15 7 2 8 så PQ ½ PR, Dette viser at de to vektore PQ og PR er parallelle. Side 0

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Metode II: Først finder man en parameterfremstilling for linjen gennem to af punkterne. Derefter undersøger man om det tredie punkt ligger på denne linje: x 2 y 1 t 1 er linjen gennem P og Q. z 7 7 2 R(7, 1, 15) ligger på denne linje idet 1 1 2 1. 15 7 Konklusion: De tre punkter ligger på linje. Eksempel 2.5 slut! Vindskæve linjer. To linjer l og m siges at være vindskæve dersom linjerne ikke er parallelle og de ikke skærer hinanden. Eksempel 2.6. parameterfremstillingerne m : x y z Vi ser på to linjer m og n i rummet med 1 ½ t 2 6 5 n : Vi ønsker at afgøre, om linjerne er vindskæve. x y z ½ 2 t 2 2 Parameterene i de to linjers parameterfremstilling må ikke hedde det samme. Derfor ændrer vi den ene parameterbetegnelse t til et andet bogstav f.eks. s. Her vælger vi at bruge bogstavet s til parameteren i. parameterfremstillingen for n. Vi skal nu, på tilsvarende måde som i eksempe 2. side 28-29, prøve at finde en løsning til ligningssystemet I: II: III: 1 2t ½ s 6t 2s ½ 5t 2 2s De to første ligninger omskrives til I: 6s t 7 II: 2s 6t l. Løsningen til disse to ligninger med to ubekendte er: s 2 og t 2 22 11 Vi skal nu undersøge om disse værdier er løsning til den sidste ligning. Side 1

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Vi indsætter i III: ½ 5t 2 2s : og ser at ligningen bliver falsk. Altså findes der ikke nogen parameterværdier for s og t, der passer i alle tre ligninger. Linjerne skærer altså ikke hinanden. Da retningsvektorerne for m og n ikke er parallelle er linjerne m og n vindskæve. Et nærbillede af situationen er vist her ved siden af. Venstre side : ½ 5 ( 2 97 )... 11 22 Hųjre side : 2 2 ( 2 5 )... 22 11 Eksempel 2.6 slut! Opgave 2.6. Vis at linje l med parameterfrenstillingen skærer linjen n fra eksempel 2.6. x y z 1½ 2 t 6 Opgave 2.7. Undersøg, om linjerne l og m givet ved nedenstående parameterfremstillinger er vindskæve eller skærer hinanden. Hvis de skærer hinanden skal skæringspunktet findes. x 0 x 0 2 l : y t t Õ R. m : y 5 t 1 t Õ R. z 12 2 z 1 Det er svært at tegne to vindskæve linjer på et to-dimensionalt stykke papir. Man kan dog give figuren perspektiv ved at lade linjerne skære et rumligt legeme. Her er valgt en kasse. Som man ser, skærer linjerne l og n hinanden, mens linjerne l og m er vindskæve. Side 2

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Oversigt over linjer i planen og i rummet. To linjer l og m er givet ved l : går gennem m : går gennem P 1 og har en retningsvektor r 1 P 2 og har en retningsvektor r 2 Hvis de to linjer er linjer i planen, kan de ligge på tre forskellige måder i forhold til hinanden: r 1 r 2 r 1 i r 2 1) linjerne er sammenfaldende 2) linjerne er parallelle, men forskellige ) linjerne er ikke parallelle. De skærer hinanden. Hvis de to linjer er linjer i rummet, kan de ligge på fire forskellige måder i forhold til hinanden: r 1 r 2 r 1 i r 2 1) linjerne er sammenfaldende 2) linjerne er parallelle, men forskellige ) linjerne er ikke parallelle, men de skærer hinanden. ) linjerne skærer ikke hinanden, og er ikke parallelle. de er altså vindskæve. Beregning af afstanden mellem vindskæve linjer kommer først i 12 årgang. Side

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Planer Planers parameterfremstilling. En plan i rummet kan fastlægges ud fra et punkt og to egentlige, ikkeparallelle vektorer. De to vektorer siges at udspænde den pågældende plan. Lad P 0 være et vilkårligt punkt i planen α og a og b to egentlige, ikke-parallelle vektorer i planen. For ethvert punkt P i α findes der to tal s og t, så P 0 P s a t b Når s og t uafhængigt af hinanden gennemløber de reelle tal, vil punktet P gennemløbe planen α. D.v.s. Planen er således bestemt ved P 0, der ligger i planen, og vektorerne a og b ; der udspænder planen. Det er vigtigt at bemærke, at ethvert punkt i planen helt entydigt er fastlagt ud fra parametrene s og t. Med P 0 (x 0, y 0, z 0 ) for det faste punkt i planen og P (x, y, z) for det»løbende«punkt, xx 0 a 1 b bliver P 0 P s a t b til yy 1 0 s a eller 2 t b 2 zz 0 a b x y z x 0 y 0 z 0 s a 1 a 2 a t b 1 b 2 b En parameterfremstilling for planen gennem udspændt af vektorerne er x y z a 1 a a 2 a x 0 y 0 z 0 og s a 1 a 2 a b 1 b b 2 b t b 1 b 2 b P 0 (x 0, y 0, z 0 ) og hvor s Õ R og t Õ R Side

Vektorregning 11 årgang.. udgave. En parameterfremstilling for en plan angives ofte som et system af tre ligninger: x x 0 sa 1 tb 1 x y 0 sa 2 tb 2 x z 0 sa tb Eksempel.1. Planen med parameterfremstillingen x 2 s5t y 1 s 2t z 2s t går gennem punktet (2, 1, ) og de to vektorer, der "udspænder planen" er 1 og 2 5 2. 1 Eksempel.1 Slut! Eksempel.2. Planen gennem punkterne A(,1,0), B(, 2, 2) og C(1, 2, 1) kan angives ved parameterfremstillingen hvor x y z 1 0 1 1 AB og 2 1 s 1 t 1 2 1 1 AC 1 og (, 1, 0) er punktet A s koordinater. Eksempel.2 Slut! Opgave.1. a) Angiv en parameterfremstilling for den plan β der går gennem Q(;-2;8) x 2 s5t og er parallel med planen α: y 1 s 2t. z 2s t b) Angiv parameterfremstillingen for en linje gennem Q parallel med α. (der er mange løsninger.) Opgave.2. Angiv en parameterfremstilling for planen gennem punkterne A, B og C, når 1) A (1,,-2), B (-1,-2,-) og C (0,0,) 2) A (2,2,), B (2,2,-1) og C (-1,2,). Aufgabe.. Eine Ebene sei durch de Punkte P, Q, R bestimmt. Gib eine. Parameterdarstellung der Ebene an. a) P(;0;1), Q( 1;0; 2), R(2;2;1) b) P(2;1; 1), Q(;1; 1), R(2;1;0) Anleitung: Bestimme PQ, PR Side 5

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Eksempel.. x 2 s6t y 1 s 2t z 2s t ser ud som Eksempel.. De tre punkter A(,1,0), B(, 2, 2) og C(1, 5, 8) en parameterfremstilling for en plan. Da de to vektorer 1 og 2 6 2. er parallelle så fremstiller ovenstående en linje gennem punktet (2, 1, ) med 1 2 retningsvektoren. Det vises tydeligt ved følgende omskrivning: x 2 s6t 2 (s 2t) y 1 s 2t 1 1 (s 2t) z 2s t 2 (s 2t) som med u (s 2t) x 2 u y 1 u z 2u giver fastlægger ikke en plan fordi de tre punkter ligger på linje. Det ses af at de to vektorer AB er parallelle. 1 1 2 og AC 6 Eksempel. Slut! En plan kan fastlægges enten ved to skærende linjer, to parallelle linjer, en linje og et punkt, som ikke ligger på linjen, eller ved tre punkter, der ikke ligger på linje: Eksempel. Slut! Opgave.. Undersøg om følgende parameterfremstillinger fastlægger en plan eller en linje eller kun et punkt? a) x 2s 6t y 2 s - t z - 6 - s - 9t d) x y z 2 1 2 6 s 1 t 2 6 b) x y z 8 1 7 0 s 0 0 0 t 0 0 e) x y z 0 0 0 2 s 2 10 1 t 1 5 c) x 2 s t y 1 2s t z s 5t f) x 2 - s 6t y 1 s - 2t z - 2s - t Side 6

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Opgave.5. En plan skærer koordinatakserne i punkterne (,0,0), (0,5,0) og (0,0,7). Bestem en parameterfremstilling for denne plan. Opgave.6. Find en parameterfremstilling for den plan, der går gennem punktet (,-1,7) og som er parallel med planen gennem punkterne A (1,2,), B (-1,,) og C (1,-,2). Opgave.6 slut! I en plan α er givet tre punkter A, B og C, der ikke ligger på linje. Desuden er der givet punktet D, der ikke ligger i planen α. Linjen gennem A og B og linjen gennem C og D vil ligge vindskævt, da der ikke findes nogen plan, der indeholder de fire punkter. Punkterne A, B, C og D er vinkelspidser i trekanter, der i rummet afgrænser et legeme. Dette legeme kaldes et tetraeder (firflade) men også en tresidet pyramide. De vinkelspidser kaldes tetraedrets hjørnespidser, de trekanter dets sideflader. Tetraedrets 6 trekants-sider AB, BC o.s.v kaldes dets kanter. Kanterne AB og CD kaldes modstående. Også BC og AD såvel som AC og BD er modstående kanter. Såfremt alle sidetrekanter er ligesidede, kaldes tetraedret regulært. Tetraedret er et eksempel på et polyeder (mangeflade), der defineres som et legeme, begrænset af et endeligt antal plane polygoner. For andre polyedre benyttes betegnelserne hjørnespidser, kanter og sideflader som for tetraedret. Opgave.7. Vis at punkterne A(,,0), B(8,1,0) og C(2,17,0) ikke ligger på linje. Angiv en parameterfremstilling for planen α, som indeholder de tre punkter A, B og C. Brug at de tre punkter alle ligger i x-y-planen til at angive en simplere parameterfremstilling for α. De tre punkter A, B og C danner sammen med D(5,7,10) et tetraeder. Angiv en parameterfremstilling for planen β, som indeholder de tre punkter A, B og D. Bestem projektionen D af punktet D på planen. α Side 7

Vektorregning 11 årgang.. udgave. Skæring mellem linje og plan. Til slut skal vi se på skæring mellem linje og plan i form af en enkelt opgave. Når både linje og plan er givet ved parameterfremstilling kræver det at man kan løse ligninger med ubekendte. Hvordan det kan gøres er vist i appendiks 2. Opgave.1. Punkterne A(0,0,0) B(6,6,0) C(0,12,0) og D(,6,) danner et tetraeder. A D B. D * C a) Planen som indeholder de tre punkter A, B og C kan have parameterfremstillingen: x y z 0 0 0 6 s 6 0 0 t 12 0 Linjen gennem punkt D vinkelret på denne plan kan have x parameterfremstillingen: y z 6 0 u 0 1 Beregn skæringspunktet mellem denne linie og planen som indeholder de tre punkter A, B og C og D bestem derved projektionen indeholder ABC. Ç D af D på planen som Side 8

Vektorregning 11 årgang.. udgave. b) Bestem tilsvarende projektionerne A, B og C af punkterne A, B og C på planerne som indeholder ÇBCD, ÇACD henholdsvis ÇABD, idet det oplyses at: 1 1 vektor 1 er vinkelret på planen der indeholder BCD 1 1 vektor 0 er vinkelret på planen der indeholder ACD og 1 1 1 vektor er vinkelret på planen der indeholder ABD. Ç Ç Ç Side 9

Appendiks 1: Om at tegne rumlige figurer Om at tegne rumlige figurer Når man løser en matematikopgave korrekt, indeholder besvarelsen forklaringer til regningerne. Ofte kan en god tegning sige mere end mange ord. Det gælder specielt i opgaver af geometrisk art. I undervisningsministeriets forord til de vejledende eksamensopgaver for obligatorisk niveau står der: "I opgaver omhandlende geometriske problemstillinger lægges der vægt på, at besvarelsen indeholder en illustrerende figur.. ". Det er sjældent noget problem at tegne gode figurer til plangeometriske opgaver. Det er noget vanskeligere med rumlige figurer. En del rumlige opgaver kan bekvemt illustreres ved simple plane figurer uden "rumvirkning" Som eksempel ses på figur l. et plant snit gennem en kugle K og dens tangentplan α i punktet P α fig. 1. To linjer i rummet kan også tegnes "plant". Hvis linjerne skærer hinanden, kan man markere skæringspunktet. Hvis linjerne derimod er vindskæve, kan man "afbryde" den bageste linje og derved skabe en rumlig fornemmelse: Mange af tegningerne i nogle af afsnittene om rumgeometri er tegnet i perspektiv for at lette forståelsen. Forståelsen af perspektivet blev udviklet af 100-tallets malere, der ønskede at kunne give en realistisk fremstilling af rumlige figurer på det to-dimensionale lærred. side 0

Appendiks 1: Om at tegne rumlige figurer Det er imidlertid ikke ganske let at tegne i perspektiv. Hverken i det daglige eller ved eksamen har man tid til at pusle med perspektivet. Vi vil derfor tillade os at "snyde", og f.eks. tegne en plan som et parallelogram; normalvektoren kan så give den rumlige fornemmelse. fig.. En linje l, der skærer planen, tegnes som om den ses lige fra siden (l 1 er linjens projektion på planen) fig.. Vi kan også på simpel vis tegne en linje l "over" planen, en linje m i planen og en linje n "under" planen fig. 5. side 1

Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer. Løsning af 2 ligninger med to ubekendte ved hjælp af Substitutionsmetoden. Princippet i denne metode er at udtrykke den ene ubekendte ved den anden. Lad os løse ligningssystemet 2x y 9 x y 2. Af den anden ligning fås: ligning, så man får, at x 2 y, hvilket indsættes i den første 2x y 9 2(2 y) y 9 y 1, og vi opnår da, at x 2 y x 6. således at løsningen til ligningssystemet er (x, y) (6, 1). Løsning af 2 ligninger med to ubekendte ved hjælp af Lige Store Koefficienters *) Metode. Princippet er, at man ved multiplikation med en passende faktor, som er forskellig fra nul, kan opnå lige store koefficienter på nær fortegn for mindst en af de ubekendte. Lad os løse ligningssystemet: x y 1 2x 2y Den øverst ligning multipliceres 2x 6y 2 med 2, og vi får, at 2x 2y Ved subtraktion fås, at 8y 1 så y 1 8. Den øverst ganges med 2 og den nederste 2x 6y 2 med, og vi får, at 6x 6y Ved addition fås, at 8x 11 så x 11 8. Samlet (x, y) ( 11 8, 1 8 ) På side 29 er der et andet gennemregnet eksempel. * koefficient: en konstant faktor til en ubekendt el. foranderlig størrelse. Side 2.

Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer. Løsning af 2 ligninger med to ubekendte ved hjælp af determinantmetoden *). hvor D a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 Eksempel: Skæringspunktet S mellem de to linjer med ligningerne * Se formel (26) side i Matematisk Formelsamling. Side.

Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer. Løsning af tre ligninger med tre ubekendte. Fællesmængde (skæring) mellem plan og linie, hvor begge er givet ved parameterfremstillinger Vi ønsker at finde fællesmængden for 2 1 7 2 t s z y x planen α : og linjen l : 7 7 0 6 u z y x Vi skal altså løse vektorligningen (finde værdier for de variable s, t og u.): 7 7 0 6 2 1 7 2 u t s Dette svarer til at løse ligningssystemet: u u u t s t s t s 7 0 7 6 2 7 2 Først reduktion: u u u t s t s t s 7 0 7 6 2 7 2 0 7 2 7 7 u t s u t s u t s ( ) ( ) ( ) 2 1 Så: Vi kan gange ligningerne (1), (2) og () igennem med forskellige faktorer for at opnå et lige stort antal u er i ligningerne (overvej, hvilke faktorer, der er brugt her) 12 0 16 28 12 28 1 9 28 16 12 u t s u t s u t s t s t s 26 5 0 7 12 16 ()(1)-(2) (5)(2)() hvor ligning () er fremkommet ved at trække ligningerne (1) og (2) fra hinanden, mens ligning (5) er fremkommet ved at lægge (2) og () sammen. Vi har altså nu to ligninger med to ubekendte, som vi kan løse som vi plejer, Side.

Appendiks 2:. løsning af ligningssystemer. f.eks. med determinantmetoden: 16 0 7 16 12 7 26 0 5 7 12 0 776 88 116 88 ( s, t),, ( 2, ) 5 26 5 26 Indsætter vi de fundne værdier s 2 og t, i ligning (1) : s t 7u, får vi: 2 ()7u... u 2 D.v.s. Den samlede løsning til ligningssystemet : er (s, t, u) (2,, 2) 2 s 7s s t 2t t 6 0 7u u 7u Indsætter vi de fundne værdier s 2, t og u 2 i parameterfremstillingerne for α og l får vi: x 2 y 2 7 z 1 ( ) 20 2 12 1 og x 6 y z 0 ( 2) 7 20 12 7 1 Det vil altså sige at: Linjen l skærer planen α i punktet: S (20, 12, 1) Side 5.