Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.

Transkript

1 Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach

2 Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se og Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se Disse og andre noter kan downloades fra Mike Vandal Auerbach, Mike Vandal Auerbach. Materialet er udgivet under en Kreditering-IkkeKommerciel-DelPåSammeVilkår 4.0 International licens (CC BY-NC-SA 4.0).

3 Forord Disse noter dækker en del af kernestoffet (og en smule mere) i et studieretningsforløb på A- eller B-niveau på stx. Materialet bygger på tidligere noter til hhv. A- og B-niveau tilpasset gymnasiereformen Noterne er skrevet med det formål at have en grundbog, som kun indeholder den grundliggende matematiske teori. I forbindelse med samarbejde i studieretningen eller med andre fag er det derfor nødvendigt at supplere med eksempler og andet materiale, der dækker konkrete anvendelser. Til gengæld dækker noterne den rent matematiske fremstilling af kernestoffet på stx, hvilket ifølge min opfattelse gør dem velegnede til en første behandling af stoffet samt i forbindelse med eksamenslæsningen. Til slut en stor tak til de mange matematikkolleger, der er kommet med rettelser og gode ændringsforslag. De fejl og mangler, der stadig måtte findes, er naturligvis udelukkende mit ansvar. Mike Vandal Auerbach 3

4

5 Indhold 1 Trigonometriske funktioner Grafer for de trigonometriske funktioner Svingninger Grader og radianer Inverse trigonometriske funktioner Ligninger med cos og sin Vektorer i planen Addition og subtraktion Vektorer og vinkler Skalarprodukt Vektorprojektion Determinant Plangeometri Linjens parameterfremstilling Linjens ligning Afstanden fra et punkt til en linje Cirkler Cirklens parameterfremstilling Rentesregning Indledende procentregning Procentvis vækst Forskellige tidsperioder Gennemsnitlig rente Indekstal Annuiteter Opsparing og lån Eksponentielle funktioner Eksponentiel vækst Beregning af forskriften Fordoblings- og halveringskonstant Eksponentiel regression Logaritmer Den naturlige logaritme Eksponentielle funktioner Potensfunktioner Grafen for en potensfunktion Potensvækst Proportionalitet Potensregression A Mængdelære 85 A.1 Mængder A.2 Mængdebygger A.3 Intervaller A.4 Mængdeoperationer A.5 Relationer mellem mængder Bibliografi 91 Indeks 92 5

6

7 Trigonometriske funktioner 1 De trigonometriske funktioner er en gruppe af funktioner, der kan anvendes til at beskrive svingninger, og som også hyppigt anvendes inden for geometri. I dette kapitel beskrives de tre trigonometriske funktioner sinus (sin), cosinus (cos) og tangens (tan). De tre funktioner bliver defineret ud fra det, man kalder enhedscirklen. Det er en cirkel med radius 1, som er placeret i et koordinatsystem, sådan at centrum ligger i (0; 0), se figur 1.1. I stedet for at lade x betegne førstekoordinaten, lader man x betegne buelængden x fra punktet (1; 0) og mod urets retning, se figur 1.1 (hvis man går med uret, bliver x negativ). 1 1 Går man x op langs enhedscirklen kommer man til punktet P. Cosinus og sinus defineres som hhv. første- og andenkoordinaten til dette punkt, se figur 1.2. Tangens er forholdet mellem sinus og cosinus. De tre funktioner defineres altså på følgende måde: 1 1 (2) (1) Figur 1.1: Enhedscirklen og buelængden x. Definition 1.1 Lad P være slutpunktet for buen med længde x. Så er 1. cos(x) lig med P s førstekoordinat. 2. sin(x) lig med P s andenkoordinat. 3. tan(x) = sin(x) cos(x). Bemærk, at tan(x) kun er defineret, hvis cos(x) 0. (2) sin(x) 1 P x -1 cos(x) 1-1 (1) Enhedscirklen er en cirkel med radius 1. Herudfra kan man beregne enhedscirklens omkreds, som er 2πr = 2π 1 = 2π. Dvs. at hvis buelængden er π så svarer det til en halv cirkel, og punktet P har koordinaterne ( 1; 0). Hvis buelængden er π 2, så har man bevæget sig en kvart cirkel med uret, og P har koordinaterne (0; 1). Figur 1.3 viser nogle sammenhænge mellem buelængder og koordinater, både grafisk og på tabelform. Da sin(x) og cos(x) er koordinater til et punkt på enhedscirklen, som jo har radius 1, følger det i øvrigt, at både sin(x) og cos(x) må ligge mellem 1 og 1, altså at 1 cos(x) 1 og 1 sin(x) 1. Figur 1.2: Definitionen på cos(x) og sin(x). 7

8 8 Trigonometriske funktioner Figur 1.3: På figuren til venstre ses koordinaterne for endepunkterne af en række buer med forskellig længde. I tabellen til højre ses de samme informationer, nu blot angivet som cosinus og sinus til de forskellige værdier af x. ( 1; 0) π (2) 1 (0,643; 0,766) 0,873 0,2 (1) 0,2 0,524 1 (0,866; 0,5) π 2 x cos(x) sin(x) π ,524 0,866 0,5 0,873 0,643 0,766 π 1 0 (0; 1) (a) Endepunkterne for forskellige buelængder (b) Tabel over sammenhængen. Ved at se på symmetri i enhedscirklen, kan man udlede følgende sætning, der ikke bevises: Sætning 1.2 Der gælder 1. cos ( π 2 x ) = sin(x) 2. sin ( π 2 x ) = cos(x) 3. cos( x) = cos(x) 4. sin( x) = sin(x) 5. cos(π x) = cos(x) 6. sin(π x) = sin(x) 1 (1) 3π 2π π π 2π 3π 1 1 (2) (1) 3π 2π π π 2π 3π 1 (2) Figur 1.4: Graferne for funktionerne cos(x) (øverst) og sin(x) (nederst). Idet radius i enhedscirklen er 1, gælder der også følgende sammenhæng mellem cosinus og sinus, som kan udledes ved at anvende Pythagoras sætning: Sætning 1.3: Grundrelationen mellem cosinus og sinus Der gælder cos(x) 2 + sin(x) 2 = Grafer for de trigonometriske funktioner Cosinus og sinus kan behandles som matematiske funktioner helt på linje med andre typer funktioner, man kan bl.a. tegne deres grafer. Graferne for de to funktioner kan ses på figur 1.4. Man kunne fristes til at tro, at fordi enhedscirklen har en omkreds på 2π, så har cos(x) og sin(x) kun funktionsværdier, når x ligger i intervallet mellem 0 og 2π, men dette er ikke rigtigt. Værdier af x, der ligger over 2π, svarer blot til, at man går mere end én omgang rundt i cirklen; mens de negative værdier svarer til, at man går modsat rundt. Funktionsværdierne vil så gentage sig selv for hver hel omgang, man går rundt i cirklen dette er beskrevet nærmere nedenfor. På graferne på figur 1.4 er førsteaksen inddelt i enheder af π. Dette skyldes, at det er ud for disse værdier, graferne skærer førsteaksen og antager deres maksima og minima. Hvis x s værdi er en brøkdel af π, er det også i mange

9 1.2 Svingninger 9 tilfælde muligt at angive de eksakte værdier af cos(x) og sin(x). Nogle af de eksakte funktionsværdier af cos(x) og sin(x) kan ses i tabel 1.5. Periodicitet Ved at se på graferne for de to funktioner kan man udlede, at de er periodiske. At en funktion er periodisk betyder, at funktionen gentager sig selv. Man kan se på graferne for cos(x) og sin(x), at hver gang man går 2π frem eller tilbage på førsteaksen, finder man de samme funktionsværdier. Dette skyldes, at cosinus og sinus er defineret ud fra enhedscirklen, og 2π svarer til en hel omgang rundt i cirklen. Derfor vil cos(x) og sin(x) have samme værdi, når x stiger eller falder med et helt tal gange 2π, dvs. cos(x + k 2π) = cos(x) sin(x + k 2π) = sin(x) hvor k er et helt tal. Tabel 1.5: Funktionsværdier for cos og sin. x cos(x) sin(x) π 1 0 π π 4 π π π 1 0 3π π 1 0 Man siger, at de to funktioner er periodiske med perioden T = 2π. Perioden kan i øvrigt også aflæses som afstanden mellem to af bølgetoppene på grafen. Fordi de to funktioner er periodiske, kan de bruges til at beskrive en lang række fænomener i naturen, der udviser et gentagende mønster, som f.eks. bølger og svingninger. Tangens I det ovenstående er tangens ikke blevet omtalt. Grafen for tan(x) kan ses på figur 1.6. Som man kan ane på figuren, går funktionsværdien mod hhv. når x nærmer sig ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2 osv. Dette skyldes at tan(x) er defineret som tan(x) = sin(x) cos(x), (2) 1 (1) 3π 2π π π 2π 3π og det er netop i disse værdier af x, at cos(x) = 0. Som man måske også kan se på figuren er tan(x) periodisk med perioden π. Figur 1.6: Grafen for tan(x). 1.2 Svingninger Som nævnt ovenfor, kan de trigonometriske funktioner cosinus og sinus bruges til at beskrive svingninger. Mange svingninger kan beskrives vha. grafer, der er bølgeformede på samme måde som graferne for cosinus og sinus (se figur 1.4. Funktioner, der har den type grafer, har formen f (x) = a sin(bx + c). Man kan derfor definere sinussvingninger på følgende måde:

10 10 Trigonometriske funktioner Definition 1.4 En sinussvingning er grafen for en funktion af typen f (x) = a sin(bx + c), hvor a > 0, b > 0 og c er et vilkårligt tal. Man kan nu undersøge, hvordan konstanterne a, b og c påvirker grafens udseende. 4 2 f (1) 3π 2π π π 2π 3π 2 4 (2) Figur 1.7: Graferne for f (x) = sin(x), g(x) = 2 sin(x) og h(x) = 4 sin(x). 4 2 (1) 3π 2π π π 2π 3π 2 4 (2) Figur 1.8: Graferne for f (x) = 3 sin(x), g(x) = 3 sin ( 1 2 x ) og h(x) = 3 sin(2x). h h g f g På figur 1.7 ses graferne for de tre funktioner f (x) = sin(x), g(x) = 2 sin(x) og h(x) = 4 sin(x). Disse tre funktioner adskiller sig kun i værdien af tallet a. Som man kan se har alle graferne samme form, men ikke samme højde. Tallet a bestemmer altså bølgehøjden dvs. afstanden fra førsteaksen til bølgetoppene på graferne. Herefter undersøges 3 funktioner med forskellige værdier af b. Det kunne f.eks. være f (x) = 3 sin(x), g(x) = 3 sin ( 1 2 x ) og h(x) = 3 sin(2x). Som det fremgår af figuren, har de tre grafer samme bølgehøjde hvilket skyldes, at de alle har a = 3 men de svinger til gengæld ikke lige hurtigt, dvs. de har forskellig periode. For funktionen sin(x) var perioden 2π. Dvs. når x løber fra 0 til 2π gennemfører grafen én svingning. Men hvad nu med funktionen f (x) = a sin(bx)? Denne funktion må gennemløbe en hel svingning, når bx går fra 0 til 2π. Man løser derfor de to ligninger bx = 0 og bx = 2π og får: bx = 0 x = 0 bx = 2π x = 2π b. Altså svarer funktionens periode til, at x løber fra 0 til 2π b. Det betyder, at jo større tallet b er, desto mindre er perioden, hvilket man også kan se på figur 1.8. Perioden T er altså T = 2π b. Det sidste tal, c, kan man også undersøge ved at tegne grafer for funktioner med forskellige værdier af c, se figur 1.9. De tre funktioner har forskrifterne f (x) = 3 sin ( 1 2 x ), g(x) = 3 sin ( 1 2 x + 2 ) og h(x) = 3 ( 1 2 x 1 ). Som man kan se, er de tre grafer parallelforskydninger af hinanden. Fordi sin(x) skærer førsteaksen, når x = 0, vil grafen for a sin(bx + c) skære førsteaksen, når bx + c = 0, dvs. når x = c b. Dette tal kaldes faseforskydningen, og det viser, hvor grafen skærer førsteaksen første gang. Idet grafen skærer førsteaksen, hver gang der er gået en halv periode, kan man finde

11 1.2 Svingninger 11 de andre skæringer med førsteaksen ved at lægge en halv periode et helt antal gange til faseforskydningen (eller trække den fra et helt antal gange). Idet perioden er T = 2π b, er en halv periode π b, og dvs. grafen skærer grafen førsteaksen i, c 2π, b c π, c b b c + π,, b c + 2π, b Resultaterne kan opsummeres i følgende sætning: Sætning 1.5 For funktionen f (x) = a sin(bx + c) er c + 3π,. b 1. a lig med amplituden (afstanden fra førsteaksen til en bølgetop), 2. perioden (dvs. afstanden fra bølgetop til bølgetop) givet ved 4 2 (1) 3π 2π π π 2π 3π 2 4 (2) Figur 1.9: Graferne for f (x) = 3 sin ( 1 2 x ), g(x) = 3 sin ( 1 2 x + 2 ) og h(x) = 3 ( 1 2 x 1 ). f g h og 3. faseforskydningen lig med c b. T = 2π b, Eksempel 1.6 Funktionen f (x) = 4,5 sin(0,43x + 1,2), har en amplitude på a = 4,5, dvs. bølgetoppene har en højde på 4,5 over førsteaksen. Konstanten b = 0,43, dvs. perioden er T = 2π 0,43 = 14,6. Faseforskydningen beregnes ud fra c = 1,2, og man får c b = 1,2 0,43 = 2,8. Grafen skærer altså førsteaksen i 2,8. Vil man finde de andre nulpunkter, kan man lægge en halv periode (dvs ,6 = 7,3) til eller trække den fra et vilkårligt antal gange. Cosinus Grafen for cosinus-funktionen er også en bølge. Men ifølge sætning 1.2, så er cos(x) = cos( x) = cos ( π 2 x π 2 ) = cos ( π 2 (x + π 2 )) = sin (x + π 2 ). Altså er cosinus-funktionen faktisk sinus-funktionen med en faseforskydning på π 2. Dvs. at en svingning, der kan beskrives vha. en cosinusfunktion, lige så godt kan beskrives vha. sinus.

12 12 Trigonometriske funktioner 1.3 Grader og radianer 1 Der er ingen matematisk grund til, at man har valgt tallet 360. Faktisk er det et levn fra det babyloniske 60-talssystem.[2] 5π 6 3π 4 π 180 2π π 6 3π 4 2π 3 π 2 90 π 2 π π 6 π 3 0 π 4 π 4 Figur 1.10: Sammenhængen mellem grader og radianer. (2) π 6 0,628 0 (1) Figur 1.11: 36 svarer til 0,628 radianer. 2 De tre funktioner kaldes undertiden også arccos, arcsin og arctan. arc står for arcus, som betyder bue på latin. arcsin er altså den bue, hvis sinus har en bestemt værdi. I computerprogrammer kaldes de tre funktioner i øvrigt ofte asin, acos og atan. Sinus og cosinus er ovenfor blevet defineret ud fra buelængder i enhedscirklen. Men i virkeligheden kunne man lige så godt have defineret dem ud fra de vinkler, som buerne udspænder. Man kan faktisk måle størrelsen af en vinkel ved at se, hvor stor en buelængde på enhedscirklen, den svarer til. Når man gør det, siger man at vinklen er målt i radianer. Vil man hellere have vinklen i grader, er det forholdsvist simpelt at regne om mellem de to mål. En cirkel svarer som bekendt til en vinkel på Da enhedscirklens omkreds er 2π, kommer 2π radianer altså til at svare til 360. Og en ret vinkel (90 ) kommer til at svare til π 2. Figur 1.10 viser sammenhængen mellem grader og radianer som vinkelmål. Da 2π i radianer svarer til en hel cirkel, og 360 også svarer til en hel cirkel, får man 360 = 2π 1 = π 180, dvs. man kan omregne fra grader til radianer ved at gange med π 180. Og man kan så regne om fra radianer til grader ved at gange med den omvendte brøk 180 π. Eksempel 1.7 Hvad er vinklen 36 i radianer? For at svare på dette spørgsmål beregnes 36 π 180 = 36π 180 = π 5 0, svarer altså til π 5 radianer. Dvs. en vinkel på 36 spænder over en bue med længden 0,628 i enhedscirklen, se figur Hvis man betragter de trigonometriske funktioner som matematiske funktioner, vil man normalt ikke regne i grader. Men de trigonometriske funktioner finder også anvendelse i løsningen af geometriske problemer, hvor de kan bruges til at omregne mellem længder og vinkler og her vil det være naturligt at angive vinklerne i grader, frem for i radianer. 1.4 Inverse trigonometriske funktioner I dette afsnit gennemgås de såkaldt inverse trigonometriske funktioner sin 1, cos 1 og tan 1. 2 De tre funktioner bruges til at løse ligninger, hvor man kender sinus, cosinus eller tangens til den ubekendte. De giver altså buelængden, hvis man kender enten cosinus, sinus eller tangens. Eksempel 1.8 For at løse ligningen cos(x) = 0,8 bruges cos 1 : cos(x) = 0,8 v = cos 1 (0,8). cos 1 (0,8) regnes ud på en lommeregner, og man får x = cos 1 (0,8) = 0,644.

13 1.5 Ligninger med cos og sin 13 Eksempel 1.9 Ligningen sin(b) = 0,5 løses således: sin(b) = 0,5 B = sin 1 (0,5) = 0,524. Som det fremgår af eksemplerne ovenfor, får man kun én løsning. Men cosinus og sinus er periodiske funktioner, så ligningerne har i princippet uendeligt mange løsninger. Men en udregning på en lommeregner kan selvfølgelig kun give én. Spørgsmålet er så, hvilken? Det viser sig at der gælder følgende: 1. cos 1 giver altid tal i intervallet fra 0 til π. 2. sin 1 giver altid resultater i intervallet fra π 2 til π tan 1 giver altid resultater i intervallet fra π 2 til π 2. Hvis man vil finde flere løsninger, skal man derfor tænke sig godt om eller løse ligningerne grafisk vha. et CAS-værktøj. 1.5 Ligninger med cos og sin (2) π sin 1 (a) 1 I dette afsnit gennemgås, hvordan man kan løse ligninger med cosinus og sinus og finde alle løsningerne. Fordi sinus og cosinus er periodiske, så vil ligninger, der involverer disse funktioner, som tidligere nævnt ofte have mere end én løsning og typisk uendeligt mange løsninger. a sin 1 (a) 1 (1) Hvis man f.eks. skal løse ligningen sin(x) = a, hvor a er et eller andet tal, er en af løsningerne x = sin 1 (a). Men sin 1 giver som nævnt ovenfor kun den af løsningerne, der ligger mellem π 2 og π 2.3 På figur 1.12 kan man se angivet på enhedscirklen, at der også er en anden løsning, som er givet ved Figur 1.12: Ligningen sin(x) = a har to løsninger mellem 0 og 2π. 3 Hvilket svarer til 90 og 90. x = π sin 1 (a). Idet man kan lægge et helt antal gange 2π til x og få de samme funktionsværdier, betyder det, at ligningen sin(x) = a har løsningerne x = sin 1 (a) + k 2π x = π sin 1 (a) + k 2π, k Z. k Z betyder, at k er et helt tal. Samme type argument kan man lave for ligningen cos(x) = a, sådan at man får følgende sætning. 4 4 Bemærk i øvrigt, at 1 a 1, idet funktionsværdierne for både cos og sin ligger i dette interval.

14 14 Trigonometriske funktioner Sætning 1.10 Når 1 a 1, gælder 1 (1) 3π 2π π π 2π 3π 1 (2) Figur 1.13: Løsningerne til sin(x) = 0,7 kan findes ved at tegne grafen for sin(x) og linjen med ligningen y = 0,7 og aflæse skæringspunkternes førstekoordinater. 1. Ligningen cos(x) = a har løsningerne x = cos 1 (a) + k 2π x = cos 1 (a) + k 2π, k Z. 2. Ligningen sin(x) = a har løsningerne x = sin 1 (a) + k 2π x = π sin 1 (a) + k 2π, k Z. Eksempel 1.11 Løsningerne til ligningen sin(x) = 0,7 kan bestemmes grafisk ved at tegne grafen for sin(x) og linjen med ligningen y = 0,7 og aflæse førstekoordinaterne til skæringspunkterne (se figur 1.13). Bruger man i stedet sætning 1.10, finder man løsningerne x = sin 1 (0,7) + k 2π x = π sin 1 (0,7) + k 2π, k Z, 5 Her regner man ud, hvad sin 1 (0,7) og π sin 1 (0,7) rent faktisk giver. dvs. 5 x = 0, k 2π x = 2, k 2π, k Z. Eksempel 1.12 Ligningen løser man ved først at isolere cos(x): 3 cos(x) 1 = 0,8 3 cos(x) 1 = 0,8 3 cos(x) = 1,8 cos(x) = 0,6. Herefter bruger man sætning 1.10, og får x = cos 1 (0,6) + k 2π x = cos 1 (0,6) + k 2π, k Z, som kan reduceres til x = 0, k 2π x = 0, k 2π, k Z. Eksempel 1.13 Løsningerne til ligningen sin(2x 1) = 0,3 finder man også ved at bruge sætning Nu står der 2x 1 i parentesen, så man får 2x 1 = sin 1 (0,3) + k 2π 2x 1 = π sin 1 (0,3) + k 2π, k Z. I disse to ligninger isolerer man x: x = sin 1 (0,3) + k 2π x = π sin 1 (0,3) + k 2π

15 1.5 Ligninger med cos og sin 15 Reducerer man, fås dvs. x = 1, k 2π 2 x = k 2π 2 x = 0, k π x = 1, k π, k Z., Ved at se på enhedscirklen og argumentere, som der blev gjort i foregående afsnit, kan man også komme frem til følgende sætning, som ikke bevises her. Sætning 1.14 Ligningen tan(x) = a har løsningerne x = tan 1 (a) + k π, k Z. Eksempel 1.15 Ligningen tan(x) = 0,5 kan man løse ved at bruge sætning 1.14: x = tan 1 (0,5) + k π, k Z, dvs. x = π 4 + k π, k Z. Eksempel 1.16 Ligningen 4 tan(x) + 7 = 10 løser man også ved at bruge sætning Blot skal man her først isolere tan(x): 4 tan(x) + 7 = 10 4 tan(x) = 3 tan(x) = 3 4. Herefter kan man bruge sætningen, hvorved man får dvs. x = tan 1 3 ( 4 ) + k π, k Z, x = 0, k π, k Z.

16

17 Vektorer i planen 2 Hvis man kigger på et sted i et 2-dimensionalt koordinatsystem, kan man udtrykke stedets placering som et punkt (x; y), hvor x-koordinaten angiver stedets placering højre/venstre, mens y-koordinaten angiver placeringen op/ned. Men hvis man bevæger sig i et koordinatsystem, så kan man også angive bevægelsen ved et koordinatsæt, som viser hvor mange enheder, man har bevæget sig højre/venstre, og hvor mange enheder, man har bevæget sig op/ned. En sådan rutebeskrivelse kalder man en vektor, og den vises ofte med en pil i et koordinatsystem. Et par eksempler på vektorer kan ses på figur 2.1. Bemærk, at koordinatsættet for en vektor skrives lodret. Det gør man for at den ikke skal forveksles med et punkt. Vektoren 1 ( 2 ) 2 ( 0) 0 ( 0) 3 ( 3) 1 ( 2 ) Figur 2.1: Eksempler på vektorer i planen. beskriver altså følgende bevægelse i et koordinatsystem: 1 enhed mod venstre og 2 enheder opad. Symbolet for en vektor er et bogstav med en pil over, f.eks. # a. Pilen over a et viser, at der er tale om en vektor. Man har altså følgende definition på en vektor. Definition 2.1 En vektor i planen er en matematisk størrelse, der angiver en bevægelse i planen vha. to koordinater: # b # a = ( a x a y ). Det er her vigtigt at pointere, at en vektor kun er fastlagt af sine koordinater, og ikke ligger et bestemt sted. Enhver pil med samme retning er derfor en repræsentant for den samme vektor. For vektorerne på figur 2.2 gælder derfor, at # a = # b, 4 ( 5) # a 4 ( 5) Figur 2.2: To repræsentanter for den samme vektor. fordi de to pile har de samme koordinater (nemlig 4 mod højre, 5 op). De repræsenterer altså den samme vektor. 17

18 18 Vektorer i planen 4 # a = ( 3 4 ) I stedet for at tale om vektorens koordinater, kan man også tale om, at vektoren har en længde og en retning. Længden af vektoren svarer til længden af en pil, der repræsenterer vektoren. Denne længde kan findes vha. Pythagoras sætning. Ser man på figur 2.3, ser man, at pilen, der repræsenterer vektoren # a = ( 3 4 ), er hypotenuse i en retvinklet trekant, hvor kateterne er hhv. 3 og 4. Vektorens længde # a kan altså beregnes ved at bruge Pythagoras sætning på vektorens koordinater # a = ( 3) = 5. 3 Figur 2.3: Længden af en vektor kan findes vha. Pythagoras sætning. Der gælder derfor følgende sætning: Sætning 2.2 Hvis vektoren # a har koordinaterne # a x a =, så er vektorens længde ( a y ) # a = a 2 x + a 2 y. En speciel vektor er i øvrigt den vektor, der har koordinaterne ( 0 0). Det er den eneste vektor, der har længden 0, den kaldes derfor nulvektoren, # 0 : Definition 2.3 Den vektor, hvis længde er 0, kaldes nulvektoren, # 0. 1 (2) 1 A # AB # AB B (1) Figur 2.4: To repræsentanter for vektoren # AB. Da denne vektors længde er 0, har den ingen retning. Man kalder den derfor for en uegentlig vektor. Har man to punkter i planen, fastlægger disse en vektor. På figur 2.4 ses to repræsentater for vektoren AB. # Pilen fra A til B fastlægger vektoren AB; # men fordi alle pile med samme længde og retning er repræsentanter for den samme vektor, kan man altså lige så godt tegne vektoren et andet sted som det også er gjort på figuren. Man har følgende definition: Definition 2.4 Hvis A og B er to punkter i planen, så er vektoren # AB den vektor, der kan repræsenteres ved en pil fra A til B. Koordinaterne for vektoren # AB kan man finde ved at undersøge, hvor meget x-koordinaterne ændrer sig, når man flytter sig fra A til B. Hvis de to punkters koordinater er A(x 1 ; y 1 ) og B(x 2 ; y 2 ), så må x-koordinaten vokse med x 2 x 1 og y-koordinaten vokse med y 2 y 1. Man har derfor følgende sætning:

19 2.1 Addition og subtraktion 19 Sætning 2.5 Vektoren # AB mellem punkterne A(x 1 ; y 1 ) og B(x 2 ; y 2 ) har koordinaterne # AB = ( x 2 x 1 y 2 y 1 ). Hvis man har ét punkt i et koordinatsystem, kan man herudfra definere en vektor, der har samme koordinater som punktet, dette er en såkaldt stedvektor, der går fra origo (dvs. (0; 0)) til punktet (se figur 2.5). Definition 2.6 Hvis A(x 0 ; y 0 ) er et punkt i et koordinatsystem, defineres stedvektoren til punktet som # OA = ( x 0 y 0 ). # OA er vektoren fra O(0; 0) til A(x 0 ; y 0 ). O (2) A(x 0 ; y 0 ) # OA = ( x 0 y 0 ) (1) Figur 2.5: Vektoren # OA har samme koordinater som punktet A. 2.1 Addition og subtraktion I dette afsnit beskrives det, hvordan man regner med vektorer. Vektorer kan lægges sammen og trækkes fra hinanden. Disse operationer er ganske enkelt defineret ved, at man regner på koordinaterne hver for sig. Definition 2.7 Hvis der er givet to vektorer så definerer man # a = ( a x a y ) og # b = ( b x b y ), # a + # b = ( a x + b x a y + b y ) og # a # b = ( a x b x a y b y ). Ved at analysere figur 2.6 kan man forholdsvist let argumentere for følgende sætning: Sætning 2.8 # b Summen # a + # b af de to vektorer # a og # b er den vektor, man får ved at tegne en pil fra # a s begyndelsespunkt til # b s slutpunkt, når vektor # a # b lægges i forlængelse af vektor # a. Man kan også gange en vektor med et tal. Dette defineres på følgende måde: # a + # b Figur 2.6: Addition af vektorer.

20 20 Vektorer i planen Definition 2.9 Lad # a x a = være en vektor, og lad t være et tal. Så er ( a y ) 1 # 2 a 2 # a 2 # a # a 3 # a t # a = ( t a x t a y ). Fra denne defininition følger det, at når man ganger en vektor med t, bliver den t gange så lang og hvis t < 0, så skifter vektoren retning. Dette er illustreret på figur 2.7. For vektorer mellem punkter gælder specielt følgende vigtige sætning, som er illustreret på figur 2.8. Figur 2.7: Multiplikation af en vektor med et tal. C B Sætning 2.10: Indskudssætningen Hvis A, B og C er tre punkter i planen, så er # AB = AC # + CB #. A Figur 2.8: Indskudssætningen: AB # = AC # + # CB. Bevis Lad de tre punkter have koordinaterne A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) og C(x 3 ; y 3 ). Så er # AC + CB # x 2 x 3 = ( y 2 y 3 ) + x 3 x 1 ( y 3 y 1 ) = x 2 x 3 + x 3 x 1 ( y 2 y 3 + y 3 y 1 ) = ( x 2 x 1 y 2 y 1 ) = # AB. Idet der altså gælder, at # AC + # CB = # AB, er sætningen bevist. 2.2 Vektorer og vinkler Selvom vektorer ikke ligger et bestemt sted, men betegner en bevægelse, kan man alligevel sammenligne dem geometrisk. Idet vektorer angiver en retning, kan man nemlig tale om, hvilken vinkel de danner med hinanden, og om de er parallelle eller ortogonale. Den følgende definition omhandler de forskellige tilfælde:

21 2.3 Skalarprodukt 21 Definition 2.11 To vektorer # a og # b kaldes Ensrettede hvis # a og # b peger i samme parallelle retning. Modsat rettede hvis # a og # b peger i modsatte parallelle retninger. Parallelle, # a # b hvis # a og # b er enten ensrettede eller modsat rettede. Ortogonale, # a # b hvis # a står vinkelret på # b. Da nulvektoren ikke er en egentlig vektor er denne hverken parallel med eller vinkelret på nogen anden vektor. Ovenstående definition handler indirekte om vinkler mellem vektorer. Skal man måle vinklen mellem vektorer direkte, kan den måles på forskellig vis. Enten kan man måle den mindst mulige vinkel. Eller man kan måle vinklen ved at gå i en bestemt retning fra den ene vektor til den anden. w # a v = ( # a, # b ) # b Definition 2.12: Vinkler mellem vektorer Hvis # a og # b er to vektorer, definerer man Figur 2.9: Vinklen v er vinklen mellem # a og # b, og w er vinklen fra # a til # b. 1. vinklen mellem vektorerne # a og # b, som er den mindste vinkel, der udspændes mellem vektorerne, og 2. vinklen fra # a til # b, som er den vinkel, man får ved at bevæge sig fra vektor # a til vektor # b i positiv omløbsretning. 1 Vinklen mellem vektorerne # a og # b betegnes også med ( # a, # b ). Forskellen på de to vinkler kan ses på figur Husk at positiv omløbsretning er mod uret. Vinklen mellem # a og # b er altså en vinkel mellem 0 og 180, mens vinklen fra # a til # b er en vinkel mellem 0 og Skalarprodukt Indtil videre er der kun set på addition og subtraktion, når man regner med vektorer. Der findes dog for vektorer i planen også en form for multiplikation. Det er ikke muligt at gange to vektorer med hinanden og få en ny vektor; men der findes en form for multiplikation, som kaldes skalarproduktet, 2 hvor resultatet er en skalar, dvs. et tal. 2 Det kaldes også somme tider prikproduktet, fordi symbolet er en prik.

22 22 Vektorer i planen Definition 2.13: Skalarprodukt Hvis de to vektorer # a og # b har koordinaterne # a = ( a x a y ) og # b = ( b x b y ), så er skalarproduktet af de to vektorer tallet # a # b = ax b x + a y b y. Eksempel 2.14 Hvis # a = ( 3 2) og # b = ( 8 5), så er # a # b = ( 5) = 24 + ( 10) = 14. Bemærk i øvrigt, at når man regner med almindelige variable, er det normalt at udelade gangetegnet og skrive f.eks. ab i stedet for a b; men for vektorer skal man altid skrive symbolet. Der gælder følgende regneregler for skalarproduktet: Sætning 2.15 Hvis # a, # b og # c er vektorer, gælder der # a # a = # a 2. (længde og skalarprodukt) # a # b = # b # a. (den kommutative lov) # a ( # b + # c ) = # a # b + # a # c. 4. ( # a + # b ) # c = # a # c + # b # c. 5. ( # a + # b ) ( # a + # b ) = # a 2 + # b # a # b. 6. ( # a # b ) ( # a # b ) = # a 2 + # b 2 2 # a # b. 7. ( # a + # b ) ( # a # b ) = # a 2 # b 2. (den distributive lov) Bevis Alle regnereglerne kan bevises ved regning med koordinater. Her bevises 1, 3 og 5; resten overlades til læseren. Hvis # a x a =, så er ( a y ) Hermed er 1 bevist. # a # a = ax a x + a y a y = a 2 x + a 2 y = ( a 2 x + a 2 y)2 = # a 2.

23 2.3 Skalarprodukt 23 Hvis de tre vektorer # a, # b og # c har koordinaterne # a = ( a x a y ), # b = ( b x b y ) og # c = ( c x c y ), så er hvilket beviser 3. # # a ( b + # a x c ) = ( a y ) b x + c x ( b y + c y ) = a x (b x + c x ) + a y (b y + c y ) = a x b x + a x c x + a y b y + a y c y = a x b x + a y b y + a x c x + a y c y = # a # b + # a # c, For de to vektorer # a = ( a x a y ) og # b = ( b x b y ) gælder ( # a + # b ) # # a x + b x ( a + b ) = ( a y + b y ) a x + b x ( a y + b y ) = (a x + b x )(a x + b x ) + (a y + b y )(a y + b y ) = a 2 x + b 2 x + 2a x b x + a 2 y + b 2 y + 2a y b y = (a 2 x + a 2 y) + (b 2 x + b 2 y) + 2(a x b x + a y b y ) = # a 2 + # b # a # b, (2) hvorved også 5 er bevist. # b Skalarproduktet viser sig at være en praktisk størrelse, fordi det kan fortælle noget om, hvordan vektorer ligger i forhold til hinanden. På figur 2.10 ses to vektorer # a og # b, hvor # a er placeret langs med førsteaksen, og vektoren # b danner vinklen v med førsteaksen. Man kan derfor skrive de to vektorers 1 (cos(v); sin(v)) v # 1 a (1) koordinater som # a = ( # a 0 ) og # # b cos(v) b = ( # b sin(v)). Figur 2.10: Vektor # a og # b sammen med enhedscirklen. Skalarproduktet mellem disse to vektorer bliver så # a # b = # a # b cos(v) + 0 # b sin(v) = # a # b cos(v), hvor v er vinklen mellem vektorerne. Det viser sig, at denne formel gælder generelt, og ikke kun, hvis vektorerne er placeret som på figur Man har altså følgende sætning:

24 24 Vektorer i planen Sætning 2.16 Hvis v = ( # a, # b ), så er # a # b = # a # b cos(v). # a = ( 1 6 ) 60,8 # b = ( 5 4) Hvis man skriver lidt om på formlen i denne sætning, får man cos(v) = # a # b # a # b, som kan bruges direkte til at bestemme vinklen mellem to vektorer. Eksempel 2.17 Her beregnes vinklen mellem de to vektorer # a = ( 1 6 ) og # b = ( 5 4). Først beregnes de to vektorers længder: Figur 2.11: Vinklen mellem vektor # a og # b er 60,8. # a = ( 1) = = 37 # b = = = 41. Disse kan nu indsættes i formlen cos(v) = # a # b # a # b = ( og man finder vinklen v ) ( 4) = = v = cos 1 19 ( 1517 ) = 60,8. Altså er vinklen mellem de to vektorer 60,8 (se figur 2.11) , Vinklen mellem to vektorer ligger mellem 0 og 180. Hvis der for en vinkel v gælder, at 0 v < 90, er cos(v) > 0. Hvis 90 < v 180, er cos(v) < 0. Specielt for v = 90 gælder cos(v) = 0. Sætning 2.16 fører derfor til følgende: Sætning 2.18 Lad v være vinklen mellem de to vektorer # a og # b. Der gælder da 1. Hvis # a # b > 0, så er 0 v < Hvis # a # b = 0, så er v = 90, dvs. # a # b. 3. Hvis # a # b < 0, så er 90 < v 180. Denne sætning giver en nem test for, om to vektorer er ortogonale. Man skal blot beregne deres skalarprodukt. Hvis det giver 0, så er vektorerne ortogonale. Ellers er de ikke.

25 2.4 Vektorprojektion 25 # a # b # a Figur 2.12: Projektionen af # a på # b, når vinklen mellem de to vektorer er hhv. spids og stump. # a # b (a) Spids vinkel. # a # b # b (b) Stump vinkel. Eksempel 2.19 For de to vektorer # a = ( 2 6) og # b = ( 3 1) er # # 2 a b = ( 6) 3 ( 1) = ( 1) = 0. Da # a # b = 0 er disse to vektorer ortogonale. Eksempel 2.20 Der er givet to vektorer # a = ( 2 t) og # b = ( 3 4), hvor t er et tal. Hvis de to vektorer er ortogonale, hvad er så tallet t? Her beregnes først # # 2 a b = ( t) 3 = t 4 = 6 + 4t. ( 4) Idet de to vektorer er ortogonale, er # a # b = 0, dvs t = 0 4t = 6 t = 6 4 = 3 2. Hvis de to vektorer er ortogonale, har man altså, at t = Vektorprojektion At projicere vektor # a på # b gøres ved at nedfælde vektor # a vinkelret på vektor # b. Det illustreres lettest ved at lade de to vektorer have samme begyndelsespunkt. På figur 2.12 ses, hvordan vektor # a # b, der er projektionen af # a på # b, ligger, når vinklen mellem de to vektorer er spids, og når den er stump. Som man kan se på figuren er # a # b # b, og de to vektorer er ensrettede, hvis vinklen mellem # a og # b er spids, og modsat rettede, hvis den er stump. Koordinaterne til # a # b kan bestemmes vha. følgende sætning:

26 26 Vektorer i planen # c # a # b Sætning 2.21 For projektionen # a # b af vektor # a på # b, gælder at og # a # b = # a # b = # # a b # 2 # b, b # a # b #. b Bevis På figur 2.13 ses det stumpvinklede tilfælde. Der er tillige indtegnet en vektor # c, som opfylder # a # b + # c = # a # c = # a # a # b. # a # b Figur 2.13: Projektionen af # a på # b, når vinklen mellem # a og # b er stump. Idet # a # b # b, findes der et tal t, så # a # b = t # b, dvs. # c = # a t # b. Tager man skalarproduktet med # b på begge sider af denne ligning, får man # c # b = ( # a t # b ) # b. Men # c # b = 0, da disse to vektorer står vinkelret på hinanden, så ligningen kan omskrives til 0 = ( # a t # b ) # b 0 = # a # b t # b # b 0 = # a # b t # b 2 t = Da # a # b = t # b, får man altså # # a b # 2. b # a # b = # # a b # 2 # b. b Den anden del af sætningen omhandler længden af projektionsvektoren. Men da man kender en formel for vektoren, tager man blot længden af denne og får # # # a # a b b = # 2 # b = # a # b # # 2 b = # a # b #, b b b og sætningen er dermed vist.

27 2.5 Determinant 27 Eksempel 2.22 Hvis # a = ( 8 4) så er # a s projektion på # b og # b = ( 3 9), # b 8 # a # b = ( 4) 3 ( 9) ( 9) = ( 3 9) = ( 9) = 2 ( 6). # a # b # a Vektorerne kan ses på figur Figur 2.14: Projektionen af # a på # b. 2.5 Determinant Vha. skalarproduktet kan man afgøre, om to vektorer er ortogonale. Der findes en anden størrelse, determinanten, som kan bruges til at afgøre om vektorer er parallelle. Før determinanten kan defineres, skal man dog lige have defineret følgende: Definition 2.23 For en vektor # a defineres tværvektoren # a som den vektor, man får ved at dreje # a 90 i positiv omløbsretning (dvs. mod uret). # a Et eksempel på en tværvektor kan ses på figur En tværvektors koordinater er givet ud fra den oprindelige vektors koordinater: Figur 2.15: Tværvektoren # a til # a. # a Sætning 2.24 Hvis # a = ( a x a y ), så er # a = ( a y a x ). Bevis (skitse) På figur 2.16 er de to vektorer # a og # a indtegnet i et koordinatsystem. Som det ses af figuren er # a y a = ( a x ). a x # a # a a y For tværvektorer gælder følgende sætning, som kan bevises ved regning med koordinater: Sætning 2.25 a y Figur 2.16: Koordinaterne til # a kan findes ud fra koordinaterne til # a. a x For to vektorer # a og # b gælder # a = # a, og # a + # b = # a + # b.

28 28 Vektorer i planen Determinanten af to vektorer # a og # b er defineret ud fra tværvektoren til # a og skalarproduktet. Man har følgende: Definition 2.26 For to vektorer # a og # b definerer man determinanten, det ( # a, # b ) = # a # b. Hvis de to vektorer har koordinaterne # a x a = ( a y ) og # b x b = ( b y ) skriver man også det # # a x b x ( a, b ) = = a x b y a y b x. a y b y a x b x Notationen er opfundet for gøre beregningen af determinanten a y b y mere overskuelig. Den skal forstås på den måde, at man først beregner produktet af diagonalen fra øverste venstre hjørne til nederste højre, og derefter fratrækker produktet af diagonalen fra nederste venstre hjørne til øverste højre: a x b x = a x b y a y b x. a y b y Eksempel 2.27 Determinanten af de to vektorer # a = ( 3 2) og # b = ( 4 1 ) er det # # 3 4 ( a, b ) = = ( 4) = 3 ( 8) = Når man tager determinanten af to vektorer # a og # b er rækkefølgen ikke ligegyldig. Følgende sætning angiver en række regneregler for determinanten: Sætning 2.28 For vektorerne # a, # b og # c gælder der 1. det ( # b, # a ) = det ( # a, # b ), 2. det ( # a + # b, # c ) = det ( # a, # c ) + det ( # b, # c ), 3. det ( # a, # b + # c ) = det ( # a, # b ) + det ( # a, # c ).

29 2.5 Determinant 29 Bevis Den første del kan bevises ved regning med koordinater. Hvis # a = ( a x a y ) og # b = ( b x b y ), så er # det ( b, # a ) = b x b y a x a y = b x a y b y a x = a y b x a x b y = (a x b y a y b x ) = det ( # a, # b ). For det ( # a + # b, # c ) gælder der ifølge sætning 2.15 og 2.25 samt definition 2.26, at det ( # a + # b, # c ) = ( # a + # b ) # c = ( # a + # b ) # c = # a # c + # b # c = det ( # a, # c ) + det ( # b, # c ). Den sidste del af beviset overlades som en øvelse til læseren. Hvis det ( # a, # b ) = 0 er # a # b = 0. Ifølge sætning 2.18 betyder det, at # a og # b er ortogonale. Hvis # a og # b er ortogonale, må # a og # b være parallelle. Der gælder derfor følgende sætning: Sætning 2.29 For to vektorer # a og # b gælder der det ( # a, # b ) = 0 # a # b. Man kan derfor ved at beregne determinanten afgøre, om to vektorer er parallelle. Det viser sig, at determinanten har en geometrisk fortolkning. Størrelsen af determinanten er nemlig lig arealet af det parallelogram, der udspændes af de to vektorer. Der gælder altså: Sætning 2.30 Det parallelogram, der udspændes af de to vektorer # a og # b har arealet P = det ( # a, # b ). # b # a # a # b P Bevis På figur 2.17 ses parallelogrammet udspændt af de to vektorer # a og # b. Parallelogrammets grundlinje udgøres af vektor # a, dvs. dens længde er # a. # a Figur 2.17: Parallelogrammet udspændt af # a og # b.

30 30 Vektorer i planen På figuren er også indtegnet # a samt projektionen # b # a af # b på denne vektor. Vektoren # b # a står vinkelret på # a, og dens længde svarer til afstanden mellem to parallelle sider i parallelogrammet. Arealet P må derfor have størrelsen P = # b # a # a. Vha. sætning 2.21 kan dette omskrives til P = # b # a # # a. a Men da # a = # a er dette det samme som P = # b # a # # a = b # a = a det # # ( a, b ). Eksempel 2.31 Her beregnes arealet af parallelogrammet udspændt af vektorerne # 3 a = ( 2) og # 5 b = ( 1) Ifølge sætning 2.30 er arealet det ( # a, # b 3 5 ) = = = 7 = Arealet af parallelogrammet er altså 7. Eksempel 2.32 De to vektorer # a = ( 2 t) og # b = ( 1 4), udspænder et parallelogram med areal 10. Hvad er tallet t? Anvender man sætning 2.30 kan man opstille et udtryk for arealet: det ( # a, # b 2 1 ) = = 2 4 t 1 = 8 t. t 4 Da man ved, at arealet er 10, får man derfor ligningen 8 t = 10. Idet der er tale om en ligning med numerisk værdi, er der i virkeligheden to ligninger. Hvis 8 t giver 10, er ligningen opfyldt; men det er den også, hvis 8 t giver 10, dvs. 8 t = 10 8 t = 10 t = 2 t = 18. Altså er arealet af parallelogrammet 10, hvis t = 2 eller t = 18.

31 2.5 Determinant 31 Figur 2.18: Placeringen af # a og # b i forhold til hinanden, afgør hvordan man skal beregne w, som er vinklen mellem # a og # b. # a # a w # b v # a v w # b # a (a) w = 90 v (b) w = v 90 Hvis en trekant har hjørner i punkterne A, B og C, vil dens areal være halvdelen af arealet af det parallelogram, der er udspændt af vektorerne # AB og AC. # Man kan derfor ud fra sætning 2.30 komme frem til følgende sætning, der omhandler arealet af trekanter: Sætning 2.33 Trekanten med hjørner i punkterne A, B og C har arealet T = 1 2 det ( AB, # AC) #. Eksempel 2.34 En trekant har hjørner i punkterne A( 1; 3), B(0; 5) og C(7; 2). Arealet af denne trekant kan bestemmes vha. sætning Først beregnes koordinaterne til vektorerne AB # og AC. # Man får # 0 ( 1) AB = ( 5 3 ) = 1 ( 2) # 7 ( 1) AC = ( 2 3 ) = 8 ( 1). Arealet af trekant ABC kan nu beregnes: T = 1 2 det ( AB, # AC) # = 1 2 Arealet af trekant ABC er altså = ( 1) 2 8 = = Ind til videre er det kun den numeriske værdi af determinanten, der har fået en geometrisk fortolkning. Det viser sig dog, at man kan angive en formel, der knytter værdien af determinanten (med fortegn) til geometrien af vektorerne. Sætning 2.35 Hvis der er givet to vektorer # a og # b, og v er vinklen fra # a til # b, så er det ( # a, # b ) = # a # b sin(v).

32 32 Vektorer i planen Bevis Hvis v er vinklen fra # a til # b, så kan vinklen w mellem # a og # b beregnes som w = 90 v når 0 v < v < 360 w = v 90 når 90 v < 270 Sammenhængen mellem v og w kan findes ved at analysere placeringen af # a, # a og # b, se figur Det betyder, at cos(w) = cos(90 v) = sin(v), eller cos(w) = cos(v 90 ) = cos( (90 v)) = cos(90 v) = sin(v). I begge tilfælde er altså cos(w) = sin(v). 3 I beregningen udnyttes, at a = # # a, da Det betyder, at 3 en tværvektor har samme længde som den oprindelige vektor. det( # a, # b ) = # # a b = # # a b cos(w) = # a # b sin(v). Hermed er sætningen bevist.

33 Plangeometri 3 Plangeometri handler, som navnet måske antyder, om geometri i planen. I dette kapitel ses derfor på punkter, linjer og cirkler, og sammenhænge mellem disse. Hvis man lægger et koordinatsystem ind i planen, kan man tale om punkter ud fra deres koordinatsæt. Vha. punkter og vektorer kan man dernæst udlede ligninger for de punkter, der f.eks. ligger på en linje eller på en cirkel. Det er nyttigt at kunne tale om afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem. Der gælder følgende sætning: Sætning 3.1 Afstanden mellem punkterne A(x 1 ; y 1 ) og B(x 2 ; y 2 ) er AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Bevis Afstanden fra A til B er lig med længden af vektoren # AB, dvs. AB = # AB = x 2 x 1 ( y 2 y 1 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. (2) AB B(x 2 ; y 2 ) y 2 y 1 Sætningen kan også bevises ved at se linjen AB som hypotenusen i en retvinklet trekant, og derefter anvende Pythagoras sætning. Se figur 3.1. A(x 1 ; y 1 ) x 2 x 1 (1) 3.1 Linjens parameterfremstilling En linje i et koordinatsystem kan beskrives ud fra et punkt på linjen og den retning, linjen har i koordinatsystemet. Når man skal beskrive en linjes retning, kan dette gøres vha. en vektor. Figur 3.1: Afstanden mellem to punkter kan findes vha. Pythagoras sætning. Definition 3.2 En vektor # r, der er parallel med en linje l, kaldes en retningsvektor for l. En vektor # n, der står vinkelret på en linje l, kaldes en normalvektor for l. 33

34 34 Plangeometri Det er her vigtigt at bemærke, at en linje ikke har én retningsvektor, men uendeligt mange. Hvis # r er en retningsvektor, så vil enhver vektor, der er parallel med # r, nemlig også være en retningsvektor. Det samme gælder for en normalvektor. Når man skal beskrive linjen er det ligeledes ligegyldigt, hvilket punkt man starter med. En linje indeholder uendeligt mange punkter, og ethvert af disse koblet med en retningsvektor kan bruges til at beskrive linjen. # P 0 P = t # r P # OP O (2) P 0 # OP 0 # r l (1) Figur 3.2: Ud fra denne figur kan man udlede en sammenhæng mellem et tilfældigt punkt P på linjen, det kendte punkt P 0 og retningsvektoren # r. Har man et punkt og en retningsvektor for en linje, kan linjen beskrives ved en såkaldt parameterfremstilling, som er en ligning, der fortæller, hvordan ethvert punkt på linjen kan beregnes ud fra et startpunkt og en retningsvektor. På figur 3.2 ses en linje l, et punkt P 0 (x 0 ; y 0 ) på linjen og en retningsvektor # r for linjen. På figuren er der også indtegnet et tilfældigt punkt P(x; y) på linjen. Ifølge indskudssætningen (sætning 2.10) gælder der # OP = OP # 0 + P # 0 P. Dette kan også ses på figuren. Men vektoren P # 0 P er parallel med # r, dvs. der findes et tal t, så P # 0 P = t # r. Altså får man ligningen # OP = OP # 0 + t # r. # OP og OP # 0 er stedvektorerne til de to punkter P(x; y) og P 0 (x 0 ; y 0 ), så det er vektorer, der har samme koordinater som de to punkter. Dvs. man kan sætte dette ind i ligningen og få x ( y) = x 0 ( y 0 ) + t # r. (3.1) Ethvert punkt P(x; y) på linjen kan findes ud fra denne ligning for en eller anden værdi af t. Lader man nu t gennemløbe alle de reelle tal, får man alle punkterne på linjen. En ligning af typen (3.1), hvor t R, kaldes en parameterfremstilling for linjen l. Tallet t, der gennemløber de reelle tal, kaldes parameteren. Der gælder altså Sætning 3.3 En parameterfremstilling for en linje i planen er givet ved x 0 x ( y) = ( y 0 ) + t ( r y ), t R, r x hvor (x 0 ; y 0 ) er et punkt på linjen, og # r x r = er en retningsvektor ( r y ) for linjen.

35 3.1 Linjens parameterfremstilling 35 Eksempel 3.4 Hvis en linje l går gennem punktet (3; 2) og har en retningsvektor # 1 r =, så er dens parameterfremstilling ( 5 ) l x ( y) = 3 ( 2) + t 1 ( 5 ), t R. Eksempel 3.5 Her findes en parameterfremstilling for den linje m, der går gennem de to punkter A(3; 4) og B( 2; 6). For at kunne opskrive en parameterfremstilling, skal man bruge en retningsvektor. Da både A og B ligger på linjen, kan # AB bruges som retningsvektor. # 2 3 AB = ( 6 4 ) = 5 ( 2 ). Man skal tillige bruge et punkt, linjen går igennem. Her er det oplagt at vælge enten A eller B. Bruger man A bliver parameterfremstillingen (2) m x ( y) = 3 ( 4) + t 5 ( 2 ), t R. Punkterne A og B, linjen m og retningsvektoren # AB kan ses på figur 3.3. B( 2; 6) # r = # AB A(3; 4) Idet m går igennem uendeligt mange punkter og har uendeligt mange 5 retningsvektorer (alle vektorer, der er parallelle med ), er f.eks. ( 2 ) 1 1 m (1) x ( y) = 2 ( 6 ) + t 5 ( 2 ) og x ( y) = 3 ( 4) + t 10 ( 4 ) Figur 3.3: Punkterne A og B samt linjen m. også parameterfremstillinger for m. En parameterfremstilling er i virkeligheden en vektor-ligning, hvor koordinaterne til retningsvektoren er funktioner af parameteren t. Det ( y) x betyder, at man ud fra parameterfremstillingen x ( y) = x 0 ( y 0 ) + t r x ( r y ), t R, kan finde de to koordinatfunktioner x(t) og y(t) givet ved x(t) = x 0 + r x t og y(t) = y 0 + r y t. De to funktioner viser, hvordan punktets x- og y-koordinat ændrer sig som funktion af parameteren t. Parameteren t i en parameterfremstilling fortolkes derfor ofte som en tid. Dvs. efterhånden som tiden t går, bevæger punktet (x(t); y(t)) sig langs den kurve, som parameterfremstillingen angiver. 1 Hvis to linjer ikke er parallelle, har de et skæringspunkt. Koordinatfunktionerne kan her bruges til at bestemme skæringspunktet mellem to linjer. 1 Det er ikke kun linjer, der har parameterfremstillinger. Der kan stilles parameterfremstillinger op for uendeligt mange forskellige kurver i et koordinatsystem, f.eks. cirkler eller parabler.

36 36 Plangeometri 2 Når man opstiller flere parameterfremstillinger, er det vigtigt at parametrene kaldes noget forskelligt, da det ikke drejer sig om den samme variabel. Eksempel 3.6 To linjer er givet ved parameterfremstillingerne 2 l m x ( y) = 3 ( 3) + t 1 ( 6 ), t R x ( y) = 4 ( 1 ) + s 5 ( 8), s R For linjen l er koordinatfunktionerne derfor og for m får man x l = 3 + t ( 1) og y l = 3 + t 6, x m = 4 + s (5) og y m = 1 + s 8. For at finde skæringspunktet skal man finde den værdi af t og den værdi af s, der giver samme punkt, når man sætter dem ind i ligningerne. Dvs. de værdier for t og s, hvor x l = x m og y l = y m. Det giver to ligninger med to ubekendte: 3 t = 4 + 5s (3.2) 3 + 6t = 1 + 8s. Disse to ligninger kan løses vha. lige store koefficienters metode. Forlænger man den øverste ligning med 6, får man 18 6t = s 3 + 6t = 1 + 8s. Lægger man disse to ligninger sammen, forsvinder parameteren t; man får nemlig 15 = s s = 1. Da man nu kender parameteren s, kan skæringspunktet beregnes ud fra parameterfremstillingen for m. Sætter man s = 1 i parameterfremstillingen får man x ( y) = 4 ( 1 ) ( 8) = 1 ( 9). Altså skærer de to linjer hinanden i (1; 9). Hvis man vil bekræfte denne beregning, kan man beregne værdien af parameteren t, f.eks. vha. ligningen (3.2). Sætter man s = 1 ind i denne ligning, får man 3 t = t = 2. Når man sætter t = 2 ind i parameterfremstillingen for l, får man x ( y) = 3 ( 3) ( 6 ) = 1 ( 9), hvilket blot bekræfter, at de to linjer skærer hinanden i (1; 9).

37 3.2 Linjens ligning Linjens ligning Som bekendt kan linjer også beskrives ved ligninger. En parameterfremstilling for en linje kan derfor altid omskrives til en ligning for linjen. Antag f.eks., at en given linje l har parameterfremstillingen l x ( y) = x 0 ( y 0 ) + t # r, t R. Så kan parameterfremstillingen omskrives til x x 0 ( y y 0 ) = t # r. (3.3) Tværvektoren # r til retningsvektoren # r står vinkelret på linjen. Den er derfor en normalvektor for linjen. Koordinaterne til denne normalvektor kan findes ud fra # r s koordinater. Nedenfor kaldes koordinaterne blot a og b, dvs. # r = ( a b). Hvis man tager skalarproduktet med denne vektor på begge sider af ligningen (3.3) får man # r ( x x 0 y y 0 ) = # r t # r, men fordi # r # r, giver højre side 0, dvs. man får # r ( x x 0 y y 0 ) = 0 a ( b) x x 0 ( y y 0 ) = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0. Der gælder altså følgende sætning: Sætning 3.7 En linje, som går gennem punktet (x 0 ; y 0 ) og har normalvektor # n = a, kan beskrives ved ligningen ( b) a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0, der også kan skrives hvor c = ax 0 by 0. ax + by + c = 0, Eksempel 3.8 Linjen gennem (3; 1), som har normalvektoren # 5 n = ( 2) har ligningen 5(x 3) + ( 2)(y 1) = 0

38 38 Plangeometri 5x 15 2y + 2 = 0 5x 2y 13 = 0. Eksempel 3.9 Linjen med parameterfremstillingen l x ( y) = 1 ( 5 ) + t 4 ( 3), t R kan omskrives til en ligning ved først at finde en normalvektor. Her tages tværvektoren til linjens retningsvektor, dvs. # 4 n = ( 3) = ( 3) ( 4 ) = 3 ( 4). Linjen går gennem punktet ( 1; 5). Linjens ligning er derfor som kan reduceres til l 3(x ( 1)) + 4(y 5) = 0, l 3x + 4y 17 = 0. Det er vigtigt at bemærke, at tallet a, som optræder i ligningen ax+by+c = 0, ikke er en hældningskoefficient. Hvis b 0 kan linjen dog omskrives ax + by + c = 0 y = a b x c b. dvs. linjens hældningskoefficient er a b. Hvis b = 0 kan denne omskrivning ikke lade sig gøre, fordi man som bekendt ikke kan dividere med 0. Er b = 0 har linjens ligning formen ax + c = 0 x = c a, dvs. linjen er parallel med andenaksen (altså lodret ). 3 Linjens hældningskoefficient og skæring med andenaksen kaldes her α og β, for at de ikke skal forveksles med konstanterne a og b i ligningen ax + bx + c = 0. Formen ax + by + c = 0 kan altså beskrive enhver linje i et koordinatsystem, også de lodrette hvilket man ikke kan med en ligning på formen y = αx + β, 3 Ud fra ovenstående argument, får man sætningen Sætning 3.10 Hvis en linje er givet ved ligningen hvor b 0, kan den omskrives til ax + by + c = 0, y = αx + β, hvor α = a b er hældningskoefficienten, og β = c b er skæringen med andenaksen. Hvis b = 0 er linjen parallel med andenaksen og kan ikke omskrives til denne form.

39 3.2 Linjens ligning 39 Vha. en omskrivning mellem de to former for linjens ligning, kan man komme frem til følgende sætning om ortogonale linjer: Sætning 3.11 De to linjer l og m med ligningerne l y = α 1 x + β 1 m y = α 2 x + β 2 er ortogonale, netop når α 1 α 2 = 1. Bevis De to ligninger omskrives til formen ax + by + c = 0: l α 1 x y + β 1 = 0 m α 2 x y + β 2 = 0. Det ses nu, at normalvektorerne for de to linjer er # n l = ( α 1 1) og # n m = ( α 2 1). Hvis de to linjer er ortogonale, så er deres normalvektorer også ortogonale (se figur 3.4), dvs. α 1 # n l # n m = 0 α 2 ( 1) ( 1) = 0 (2) m α 1 α 2 + ( 1) ( 1) = 0 α 1 α = 0 α 1 α 2 = 1. # n m # n l l Hvis man omvendt ved, at α 1 α 2 = 1, kan man udføre ovenstående omskrivning baglæns og nå frem til, at normalvektorerne er ortogonale, og så er linjerne det også. Eksempel 3.12 Her bestemmes den linje m gennem (8; 1), der står vinkelret på linjen l y = 4x + 3. Hvis de to linjer er ortogonale, så er produktet af deres hældningskoefficienter 1. Kaldes hældningskoefficienten for m for α, så gælder der altså (1) Figur 3.4: Hvis to linjer er ortogonale, så er deres normalvektorer også ortogonale. (2) α ( 4) = 1 α = 1 4. Da linjen m går gennem punktet (8; 1) har linjen derfor ligningen som reduceres til y = 1 4 (x 8) + 1, m y = 1 4 x 1. De to linjer og punktet kan ses på figur 3.5. m y = 1 x (8; 1) (1) 1 l y = 4x + 3 Figur 3.5: De to linjer l og m er ortogonale.

40 40 Plangeometri 3.3 Afstanden fra et punkt til en linje (2) # QP # n P(x 0 ; y 0 ) # QP # n l Hvis man har en linje i planen og et punkt, der ikke ligger på linjen, kan det være nyttigt at beregne, hvor langt punktet ligger fra linjen. Afstanden måles her altid som den korteste afstand fra punktet til linjen. Der gælder da følgende sætning: Sætning 3.13 Afstanden fra punktet P(x 0 ; y 0 ) til linjen l ax + by + c = 0 er Q(x 1 ; y 1 ) (1) Figur 3.6: Afstanden fra punktet til linjen kan findes som længden af vektoren # QP # n. dist(p, l) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2. Bevis På figur 3.6 ses linjen l og punktet P. Samtidig er der indtegnet en normalvektor # n og et tilfældigt punkt Q(x 1 ; y 1 ) på linjen. Hvis man projicerer vektoren QP # på normalvektoren # n, får man en vektor # QP # n, hvis længde er den søgte afstand. Vha. sætning 2.21, kan man nu beregne længden af denne vektor. Man får dist(p, l) = # QP # n = # QP # n #. (3.4) n Fordi linjen har ligningen ax + by + c = 0, og punkterne har koordinaterne P(x 0 ; y 0 ) og Q(x 1 ; y 1 ) har man # n = ( a b) og # QP = ( x 0 x 1 y 0 y 1 ). Indsætter man det i ligningen (3.4), får man x 0 x 1 dist(p, l) = ( y 0 y 1 ) a ( b) a ( b) = (x 0 x 1 )a + (y 0 y 1 )b a 2 + b 2 = ax 0 + by 0 ax 1 by 1 a 2 + b 2. Punktet Q(x 1 ; y 1 ) ligger på linjen, dvs. der gælder og derfor bliver afstanden ax 1 + by 1 + c = 0 c = ax 1 by 1, dist(p, l) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2.

41 3.4 Cirkler 41 Eksempel 3.14 Afstanden fra punktet P(3; 1) til linjen l 5x + 12y 6 = 0 kan findes vha. sætning Koordinaterne x 0 = 3, y 0 = 1 og konstanterne a = 5, b = 12 og c = 6 sættes ind i formlen: dist(p, l) = = = Eksempel 3.15 De to linjer l 4x 3y + 2 = 0 m 8x 6y 5 = 0 er parallelle. Det kan man se, fordi de to normalvektorer (2) # n l = ( 4 3) og # n m = ( 8 6), (1; 2) l m er parallelle ( # n m = 2 # n l ). De to linjer ligger altså med en fast afstand fra hinanden Denne afstand kan også bestemmes vha. sætning Det kan gøres ved at finde et punkt på den ene linje og bestemme afstanden fra dette punkt til den anden linje (se figur 3.7). 1 (1) Hvis man sætter x = 1, får man for linjen l, at 4 1 3y + 2 = 0 y = 2. Figur 3.7: Afstanden fra l til m er lig afstanden fra et punkt på l til m. Linjen l går derfor gennem punktet (1; 2). Dette punkt anvendes i formlen sammen med konstanterne fra ligningen m, og man får så dist ((1; 2), m) = ( 6) 2 = = Afstanden mellem de to linjer er altså Cirkler En cirkel beskrives nedenfor som alle de punkter, der ligger på cirkelperiferien. Fælles for alle disse punkter er, at de har samme afstand (radius) til ét bestemt punkt (centrum). Dette kan man bruge til at opstille en ligning for cirklen: Sætning 3.16 Cirklen med centrum i C(x 0 ; y 0 ) og radius r har ligningen (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2.

42 42 Plangeometri Bevis Cirklen består af alle de punkter P(x; y), som har afstanden r til centrum, dvs. CP = r. Men ifølge sætning 3.1 er dvs. CP = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2, (x x0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. Eksempel 3.17 Cirklen med radius r = 5 og centrum i C(4; 1) har ligningen (x 4) 2 + (y ( 1)) 2 = 5 2 (x 4) 2 + (y + 1) 2 = 25. Ligningen kan reduceres yderligere ved at gange parenteserne ud. Man får så x x 4 + y y 1 = 25 x x + y y = 25 x 2 + y 2 8x + 2y 8 = 0. Eksempel 3.18 Ligningen x 2 + y 2 6x + 14y + 42 = 0, er ligningen for en cirkel. Hvis man vil finde centrum og radius for cirklen, bliver man nødt til at skrive ligningen om, så den får samme form som ligningen i sætning For at gøre det, skal leddene x 2 og 6x skrives om til kvadratet på en toleddet størrelse. Det samme gælder for y 2 og 14y. Hvis x 2 og 6x kommer af kvadratet på en toleddet størrelse, så er 6x det dobbelte produkt. Det giver derfor mening at beregne (x 3) 2 = x x 3 = x x, Her kan man se, at x 2 6x kan omskrives til (x 3) 2 9. På samme måde, kan man vise, at y y = (y + 7) Derfor kan cirklens ligning omskrives på følgende måde x 2 + y 2 6x + 14y + 42 = 0 x 2 6x + y y + 42 = 0 (x 3) (y + 7) = 0 (x 3) 2 + (y + 7) 2 = 16 (x 3) 2 + (y ( 7)) 2 = 4 2. Når ligningen nu står på denne form, kan man direkte aflæse, at radius er r = 4, og centrum er C(3; 7).

43 3.4 Cirkler 43 Skæringspunkter mellem cirkler og linjer En cirkel og en linje kan have 0, 1 eller 2 skæringspunkter, se figur 3.8. Hvis cirklen og linjen har præcist ét punkt fælles, er linjen en tangent til cirklen. Hvor mange skæringspunkter, der er mellem cirklen og linjen, kan man finde ud af ved at bestemme afstanden mellem cirklens centrum og linjen. Hvis afstanden fra centrum til linjen er præcis lig med radius, så er linjen en tangent. Hvis afstanden er mindre end radius, er der to skæringspunkter, og hvis afstanden er større end radius, er der ingen skæringspunkter mellem cirklen og linjen. Eksempel 3.19 Her bestemmes det, om der er skæringspunkter mellem linjen med ligningen 3x 2y 7 = 0 og cirklen med ligningen (x + 1) 2 + (y 2) 2 = 9. Cirklens centrum er C( 1; 2) og dens radius er r = 9 = 3. Afstanden fra centrum til l er dist(c, l) = 3 ( 1) ( 2) 2 = = ,88. Da afstanden fra centrum til linjen er større end radius, har linjen og cirklen ingen skæringspunkter (se figur 3.9). (2) (1) Figur 3.8: En linje kan skære en cirkel 0, 1 eller 2 steder. C( 1; 2) r = 3 1 (2) 3,88 1 (1) Eksempel 3.20 Linjen med ligningen og cirklen med ligningen x 3y + 2 = 0 (x 1) 2 + (y 4) 2 = 25 Figur 3.9: Afstanden fra centrum til linjen er større end radius. har to skæringspunkter. Det ses af at afstanden fra cirklens centrum C(1; 4) til linjen er (2) dist(c, l) = ( 3) 2 = = ,85, som er mindre end cirklens radius r = 25 = 5 (se figur 3.10). Eksempel 3.21 Linjen og cirklen i eksempel 3.20 skærer hinanden to steder. Her bestemmes de to skæringspunkter (se figur 3.10). Først omskrives linjens ligning x 3y + 2 = 0 x = 3y 2. r = 5 2 (2; 0) C(1; 4) 2,85 2 ( 29 5 ; 13 5 ) (1) Figur 3.10: Afstanden fra centrum til linjen er mindre end radius. Denne værdi for x sættes ind i cirklens ligning, som bliver til (3y 2 1) 2 + (y 4) 2 = 25.

44 44 Plangeometri Dette er en andengradsligning. Man kan løse den vha. et CAS-værktøj, hvorved man får y = 0 y = De to skæringspunkter har disse værdier af y. Værdien af x kan beregnes ud fra linjens ligning: y = 0 y = 13 5 x = = 2 x = = = Linjen skærer altså cirklen i de to punkter ( 2; 0) og ( 29 5 ; 13 5 ). Hvis en linje er givet ved en parameterfremstilling, kan man ikke uden videre beregne afstanden fra linjen til en cirkels centrum. Er man interesseret i dette, skal man altså først skrive parameterfremstillingen om til en ligning (se eksempel 3.9). Men er man blot interesseret i skæringspunkterne mellem linjen og cirklen er dette ikke nødvendigt. Her kan man i stedet udnytte parameterfremstillingens koordinatfunktioner. Eksempel 3.22 Hvis en linje er givet ved parameterfremstillingen og en cirkel er givet ved ligningen x ( y) = 3 ( 5) + t 2 ( 1), t R. (x 2) 2 + (y 1) 2 = 16, kan man finde skæringspunkterne ved at sætte linjens koordinatfunktioner x = 3 + 2t og y = 5 t ind i linjens ligning. De to udtryk for x og y sættes ind i linjens ligning: x y ( 3 + 2t 2) 2 + ( 5 t 1) 2 = 16 (1 + 2t) 2 + (4 t) 2 = t 2 + 4t t 2 8t = 16 5t 2 4t + 17 = 16 5t 2 4t + 1 = 0. Løser man ligningen vha. et CAS-værktøj, finder man løsningerne t = 1 5 t = 1. Man ved altså nu, at der er to skæringspunkter, idet de to løsninger er de værdier af parameteren t, der svarer til skæringspunkterne. For at finde

45 3.4 Cirkler 45 punkterne skal man sætte disse værdier af t ind i linjens parameterfremstilling: t = 1 5 x ( y) = 3 ( 5) + ( 1 2 5) ( t = 1 1) = ( x ( y) = 3 ( 5) ( 1) = 5 ( 4). Linjen skærer altså cirklen i punkterne ( 8 5 ; 26 5 ) og (5; 4). Cirkeltangenter ) En tangent til en cirkel er en linje, der kun har ét punkt fælles med cirklen. Dette punkt kaldes røringspunktet. Derudover vil en tangent til en cirkel altid stå vinkelret på linjen gennem centrum og røringspunktet. Som omtalt ovenfor, kan man bestemme, om en given linje er en tangent, ved at beregne afstanden fra linjen til cirklens centrum. Afstanden fra centrum til en tangent er nemlig lig med radius. Alternativt kan man bestemme, om en linje givet ved en parameterfremstilling er en tangent, ved at bestemme antallet af skæringspunkter (se eksempel 3.22). I de følgende eksempler vises, hvordan man kan konstruere bestemte tangenter, hvis man kender enten et punkt, eller en hældning. Eksempel 3.23 Punktet P(5; 7) ligger på cirklen givet ved ligningen (2) (x 2) 2 + (y + 3) 2 = 25. Her bestemmes en ligning til den tangent til cirklen, der har dette punkt som røringspunkt. Cirklens centrum er C(2; 3). Den søgte tangent står vinkelret på linjestykket CP, dvs. vektoren CP # kan bruges som normalvektor for linjen: 2 2 C(2; 3) (1) # 5 2 CP = ( 7 ( 3)) = 3 ( 4). Da man nu kender et punkt P(5; 7), som linjen går igennem, og en normalvektor, CP, # kan linjens ligning skrives op vha. sætning 3.7: P(5; 7) Figur 3.11: Cirklens tangent gennem det givne punkt P(5; 7). 3(x 5) + ( 4) (y ( 7)) = 0 3x 4y 43 = 0. Cirklen og tangenten kan ses på figur Eksempel 3.24 Her bestemmes røringspunkterne for de tangenter til cirklen (x 2) 2 + (y 1) 2 = 25, der er parallelle med linjen l med ligningen l 4x 3y + 30 = 0.

46 46 Plangeometri Cirklen må have to tangenter, der er parallelle med den givne linje. En linje gennem de to røringspunkter må gå gennem centrum og stå vinkelret på linjen l. Idet den står vinkelret på l, kan man finde en parameterfremstilling for linjen ved at bruge en normalvektor for l som retningsvektor. Dvs. # r = # n l = ( 4 3). Man ved at linjen gennem røringspunkterne går gennem centrum C(2; 1). Dette punkt giver sammen med retningsvektoren parameterfremstillingen x ( y) = 2 ( 1) + t 4 ( 3), t R. 2 (2) l 2 C(2; 1) (1) Figur 3.12: Røringspunkterne for de cirkeltangenter, der er parallelle med linjen l. Skæringspunkterne mellem denne linje og cirklen vil være de søgte røringspunkter (se figur 3.12). Disse skæringspunkter kan bestemmes på samme måde som i eksempel 3.22 vha. linjens koordinatfunktioner som sættes ind i cirklens ligning: x = 2 + 4t og y = 1 3t, (2 + 4t 2) 2 + (1 3t 1) 2 = 25 (4t) 2 + ( 3t) 2 = 25 16t 2 + 9t 2 = 25 25t 2 = 25 t 2 = 1 t = 1 t = 1. De to værdier af parameteren t kan nu sættes ind i parameterfremstillingen, og man får t = 1 t = 1 x ( y) = 2 ( 1) + ( 1) 4 ( 3) = 2 ( 4 ) x ( y) = 2 ( 1) ( 3) = 6 ( 2). De to tangenter, der er parallelle med l, rører altså cirklen i punkterne ( 2; 4) og (6; 2). Hvis man vil finde ligningerne for tangenterne, kan dette gøres på samme måde som i eksempel Cirklens parameterfremstilling Som afslutning på dette kapitel vises, hvordan cirkler også kan beskrives ved parameterfremstillinger. Enhedscirklens parameterfremstilling er faktisk allerede kendt, idet ethvert punkt på enhedscirklen kan beskrives som (cos(t); sin(t)) for en værdi af

47 3.5 Cirklens parameterfremstilling 47 t mellem 0 og 2π (se figur 3.13). Dvs. enhedscirklen kan beskrives ved parameterfremstillingen x ( y) = cos(t) ( sin(t)), 0 t < 2π. Hvis man ganger denne parameterfremstilling op med r, får man i stedet en parameterfremstilling for cirklen med centrum i (0; 0) og radius r: x ( y) = r cos(t) ( r sin(t)), 0 t < 2π. Skal man udlede en parameterfremstilling for en cirkel med centrum i (x 0 ; y 0 ) i stedet for (0; 0), skal man blot lægge retningsvektoren for dette punkt til parameterfremstillingen og man får følgende sætning: 1 (2) (cos(t); sin(t)) Sætning 3.25 Cirklen med centrum i C(x 0 ; y 0 ) og radius r kan beskrives ved parameterfremstillingen t 1 (1) x ( y) = x 0 ( y 0 ) + r cos(t), 0 t < 2π. ( r sin(t)) Dette er ikke den eneste mulighed for en parameterfremstilling for cirklen. I virkeligheden vil enhver parameterfremstilling af typen Figur 3.13: Enhedscirklen. x ( y) = x 0 ( y 0 ) + r cos(ωt) ( r sin(ωt)), 0 t < 2π ω kunne bruges. En parameterfremstilling som denne bruges til at beskrive et punkt, der bevæger sig rundt i en jævn cirkelbevægelse. Størrelsen af konstanten ω hænger sammen med, hvor hurtigt punktet bevæger sig rundt på cirklen.[5]

48

49 Rentesregning Indledende procentregning Procent kommer af det latinske pro centum, der betyder pr. hundrede. F.eks. betyder 3% 3 pr. hundrede, dvs. 3 hundrededele, eller sagt på en anden måde 3% = = 0,03. I udregninger kan man altså altid erstatte tegnet % med en division med hundrede. 1 1 Dette er som regel smart at gøre, idet man så slipper for evt. forvirring omkring, hvad % betyder i den givne situation. Vil man regne et givent tal om til procent, regner man den anden vej. F.eks. er 0,72 = 0, , = = = 72%. I denne udregning ganger man tallet 0,72 med , som er lig 1.2 Udregnin- 2 Man ændrer ikke et tal ved at gange med 1, gen er dog en smule besværlig, og man kan spare lidt på dette besvær ved heller ikke selv om 1-tallet er skrevet som 100 at bemærke, at også kan skrives som 100%: 0,72 = 0,72 100% = 72%. Her ganger man tallet 0,72 med 100%, som blot er en anden måde at skrive tallet 1 på. Ofte drejer procentregning sig om at finde ud af, hvor meget en procentdel af en given størrelse er, dette gøres som i følgende sætning: Sætning 4.1 p% af en given størrelse K 0 udregnes som p% K 0 = p 100 K 0. Eksempel 4.2 Hvor meget sparer man, hvis en jakke til 800 kr. bliver sat 30% ned? Besparelsen svarer til 30% af 800 kr., dvs. Man sparer altså 240 kr. 30% 800 = = 0,3 800 =

50 50 Rentesregning Man kan også være interesseret i at finde ud af, hvor mange procent en given størrelse udgør af en anden. Dette gøres således: Sætning 4.3 For at finde ud af, hvor mange procent K 1 udgør af K 0 beregnes K 1 K 0 100%. Eksempel 4.4 Hvor stor en procentdel udgør 23 mennesker af 362 mennesker? Svaret fås vha. følgende udregning: 23 er altså 6,35% af = 0,0635 = 0, % = 6,35%. 362 Eksempel 4.5 Hvor mange procent er 465 af 276? 3 Det er vigtigt at huske på, at det altså ikke er tallenes størrelse, der bestemmer, hvilket tal, der skal divideres med; men at man altid dividerer med det tal, der sammenlignes med. Svaret er: 465 = 1,6848 = 1, % = 168,48%. 276 Her giver udregningen et resultat, der ligger over 100%, men det skal det også, idet 465 er større end 276, så det må derfor udgøre mere end 100% Procentvis vækst I foregående afsnit så man på, hvordan man finder en bestemt procentdel af en størrelse, og hvordan man beregner, hvor mange procent en størrelse udgør af en anden. Det sker dog ofte, at man har brug for at beregne, hvad en størrelse vokser til, når man lægger en procentdel til, eller hvor mange procent en størrelse er større (eller mindre) end en anden. Taleksempel måde: Skal man lægge 12% til 140 kan man gøre det på følgende 1. Først finder man 12% af 140: 12% 140 = 0, = 16,8. 2. Dernæst lægger man den fundne værdi til de oprindelige 140, og man får resultatet: ,8 = 156,8. I praksis viser det sig, at denne fremgangsmåde er noget besværlig. Især hvis man skal lægge en procentdel til flere gange det kunne f.eks. være, hvis man skulle finde ud af, hvor mange penge, der står på en konto efter 1, 2, 3 eller flere år. Heldigvis kan den ovenstående udregning forsimples en del. Skriver man de to trin sammen, kan man se, at for at lægge 12% til 140 skal man udregne: % 140 = ,

51 4.2 Procentvis vækst 51 Her kan man sætte 140 uden for parentes, og man får , = 140 (1 + 0,12). Herudfra ses, at man altså skal gange de 140 med 1 + 0,12 = 1,12 for at lægge 12% til. Dette giver anledning til følgende definition: Definition Vækstraten er tallet r, som angiver den brøkdel, en størrelse vokser med (regnet med fortegn). 2. Fremskrivningsfaktoren er tallet a givet ved a = 1 + r. Her følger to eksempler på, hvordan man beregner vækstraten og fremskrivningsfaktoren. Eksempel 4.7 Hvis en størrelse vokser med 7,5% er vækstraten og fremskrivningsfaktoren r = 7,5% = 0,075, a = 1 + r = 1 + 0,075 = 1,075. Eksempel 4.8 Hvis en størrelse aftager med 11% er vækstraten og fremskrivningsfaktoren r = 11% = 0,11, a = 1 + ( 0,11) = 0,89. Hvis man nu skal lægge 12% til 140, ses som før, at man skal udregne % 140 = 140 1,12. Men det vil sige, at 140 i virkeligheden ganges med fremskrivningsfaktoren som i dette tilfælde er a = 1,12. Heraf følger Sætning 4.9 Skal man lægge en procentdel til en størrelse K 0 får man den nye værdi K 1 = K 0 a, hvor a = 1 + r er fremskrivningsfaktoren.

52 52 Rentesregning r +1 1 Figur 4.1: Omregning mellem vækstrate og fremskrivningsfaktor. a I udregninger, hvor man taler om vækst i procent eller skal se hvor mange procent større/mindre en given størrelse er i forhold til en anden regner man altså ikke direkte med vækstraten r, men med fremskrivningsfaktoren a. Man vil normalt i en given sammenhæng få opgivet vækstraten r. Ud fra denne skal man beregne fremskrivningsfaktoren a, før man regner videre. Hvis det resultat, man leder efter, er den procentvise vækst, får man også en fremskrivningsfaktor som resultat, så denne skal igen regnes om til en vækstrate (se figur 4.1). Her følger et eksempel på, hvorledes man vha. formlen ovenfor lægger en procentdel til en størrelse: Eksempel 4.10 Der skal lægges 25% moms på en vare til 399,96 kr. Hvor meget kommer varen til at koste? Her er vækstraten r = 25% = 0,25. Fremskrivningsfaktoren beregnes: a = 1 + r = 1 + 0,25 = 1,25. Man kan så beregne prisen som 399,96 1,25 = 499,95. Varens pris er altså 499,95 kr. Nu ses på, hvordan man udregner, hvor mange procent en størrelse afviger fra en anden: Eksempel 4.11 En vares pris falder fra 179,95 kr. til 139,95 kr. Hvor mange procent er prisen faldet? Det ses, at formlen K 1 = K 0 a kan omskrives til a = K 1 K 0. Herefter beregnes a = K 1 K 0 = 139,95 179,95 = 0,7777. Da dette er en fremskrivningsfaktor beregner vi vækstraten således r = a 1 = 0, = 0,2223 = 22,23%. 4 I dette eksempel ser man igen, at det er vækstraten man taler om, men fremskrivningsfaktoren man regner med. Varens pris er altså faldet 22,23%. 4 Renteformlen I foregående afsnit er beskrevet, hvordan man lægger en procentdel til en given størrelse. Men det kan ske, at man skal lægge en procentdel til flere gange. Hvis man f.eks. sætter penge ind på en konto, der giver renter, kan det være interessant at vide, hvor mange penge der står efter 2, 3 eller flere år.

53 4.2 Procentvis vækst 53 Taleksempel Hvis man sætter kr. ind på en konto, der giver 2,5% i rente p.a., 5 hvor mange penge står der så efter 5 år? 5 pro anno, dvs. pr. år Bruger man sætning 4.9, ser man, at man skal gange de kr. med fremskrivningsfaktoren a = 1 + 2,5% = 1,025 for at finde beløbet efter 1 år. Det beløb man udregner skal man så igen gange med 1,025 for at finde beløbet efter 2 år osv. I alt skal man altså gange kr. med 1,025 fem gange: ,025 1,025 1,025 1,025 1,025. Som man ser, skal man altså udregne ,025 5 = ,08, så efter 5 år står der ,08 kr. på kontoen. Dette kan generaliseres til en formel, som kaldes renteformlen. Sætning 4.12: Renteformlen En størrelse K 0, der vokser med vækstraten r pr. termin, er efter n terminer vokset til K n = K 0 a n, hvor a = 1 + r er fremskrivningsfaktoren. Formlen kan også skrives som K n = K 0 (1 + r) n. Der findes flere forskellige spørgsmål, man kan få svar på ved at bruge renteformlen. Et par af dem gennemgås i følgende eksempler Eksempel 4.13 Hvis man sætter kr. ind på en bankkonto, hvor stor skal renten så være p.a. for at beløbet er steget til kr. på 10 år? I dette tilfælde kender man K 0 = kr., K 10 = kr. og n = 10. Indsættes disse tal i renteformlen fås K n = K 0 a n = a 10. Regner man videre på denne ligning, får man = a = a = a. a kan altså nu beregnes: a = = 1,0184. Da dette er en fremskrivningsfaktor, findes den tilsvarende vækstrate ved r = 1, = 0,0184 = 1,84%. For at beløbet vokser til det ønskede, skal renten altså være 1,84% p.a.

54 54 Rentesregning Eksempel 4.14 I en bestemt by har der gennem de sidste 20 år været en konstant vækst i indbyggertallet på 3% om året. Hvis der på nuværende tidspunkt bor mennesker i byen, hvor mange indbyggere var der så for 12 år siden? For at løse dette problem, kan man anvende renteformlen, hvor man sætter n = 12, idet man jo skal gå 12 år tilbage. Man har, at K 0 = , r = 3%, dvs. a = 1,03, samt at n = 12. Renteformlen giver da svaret K 12 = ,03 12 = For 12 år siden havde byen altså indbyggere. Eksempel 4.15 I Danmark er der 5,6 mio. indbyggere. Vækstraten er på nuværende tidspunkt ca. 0,4% om året.[3] Hvis denne vækst holder sig konstant, hvor mange år går der så, før der er 6 mio. danskere? Regner man i mio. er K 0 = 5,6. Fremskrivningsfaktoren er a = 1 + 0,4% = 1,004 og K n = 6. n er derimod ukendt. De kendte størrelser indsættes i renteformlen, og man får K n = K 0 a n 6 = 5,6 1,004 n. 6 Her udnyttes, at ligningen a x = b har Denne ligning løses: 6 løsningen x = log(b) log(a) 6 = 5,6 1,004 n 6 5,6 = 1,004n log ( 6 5,6) log(1,004) = n 17,3 = n. Der går altså 17,3 år, før Danmarks befolkningstal overstiger 6 mio., hvis væksten holder sig konstant på 0,4%. 4.3 Forskellige tidsperioder I dette afsnit gennemgås, hvordan man omregner mellem fremskrivningsfaktorer (dvs. i princippet også vækstrater) for forskellige perioder. Taleksempel Hvis man starter med at se på en størrelse, der vokser med 0,5% pr. måned, hvordan finder man så ud af, hvor meget det svarer til om året? Renteformlen giver, at man for at fremskrive størrelsen K 0 én måned skal gange med fremskrivningsfaktoren a måned = 1 + 0,5% = 1,005. Går man nu et år frem i tiden, svarer det til 12 måneder. Ifølge renteformlen skal man altså nu gange K 0 med a 12 måned = 1,00512.

55 4.4 Gennemsnitlig rente 55 Den årlige fremskrivningsfaktor er derfor givet ved aår = 1, = 1,0617. Dette svarer til vækstraten rår = 1, = 6,17%. En månedlig rente på 0,5% svarer således til en årlig rente på 6,17%. Generaliserer man ovenstående udregning, får man følgende Sætning 4.16 Hvis den årlige fremskrivningsfaktor betegnes med aår og den månedlige med a måned gælder aår = a 12 måned. Denne sætning kan sagtens udvides til også at gælde for omregninger mellem andre tidsperioder end måned og år, hvilket illustreres i eksemplerne nedenfor. Eksempel 4.17 Hvis en størrelse K 0 vokser med 4% om året, hvor mange procent vokser størrelsen så på 10 år? Den årlige fremskrivningsfaktor er a 1 år = 1 + 4% = 1,04. Herudfra beregnes fremskrivningsfaktoren for 10 år som a 10 år = a 10 1 år = 1,0410 = 1,4802. Denne fremskrivningsfaktor svarer til en vækstrate på r 10 år = 1, = 0,4802 = 48,02%. Hvis en størrelse vokser med 4% om året, vokser den altså med 48,02% på 10 år. Man kan også anvende sætning 4.16 til at omregne fra år til måned dvs. den modsatte vej: Eksempel 4.18 Hvis en bank giver 2,1% i rente p.a., hvor mange procent svarer det så til i månedlig rente? Først bemærkes, at der jo går 12 måneder på et år, så omvendt må 1 måned 1 svare til 12 af et år. Herefter anvendes sætning 4.16 således: a måned = a 1 12 år. Indsætter man nu den årlige fremskrivningsfaktor aår = 1 + 2,1% = 1,021, får man a måned = 1, = 1, En årlig rente på 2,1% svarer således til en månedlig rente på 0,173%. 4.4 Gennemsnitlig rente I alle de foregående afsnit ses på en fremskrivning med en fast vækstrate. Hvis vækstraten forandrer sig undervejs, hvad kan man så sige om udviklingen?

56 56 Rentesregning Tabel 4.2: Renten r i og fremskrivningsfaktoren a i på en konto over 3 år. År r i a i 1 2,7% 1, ,0% 1, ,5 % 1,015 Taleksempel Man sætter 1000 kr. ind på en konto. Pengene får lov at stå i 3 år, og undervejs ændrer renten sig som vist i tabel 4.2. For at kunne bestemme, hvor mange penge, der står, efter de 3 år er gået, skal man kende de tilhørende fremskrivningsfaktorer. Disse er beregnet i sidste kolonne i tabel 4.2. Nu kan det indestående beløb beregnes som K 3 = K 0 a 1 a 2 a 3 = ,027 1,030 1,015 = 1073,68. (4.1) Dvs. der står 1073,68 kr. på kontoen. Hvis man i stedet havde fået en fast rente, hvilken størrelse skulle denne så have, for at der står det samme beløb på kontoen efter 3 år? Her er man altså ude efter at finde en gennemsnitlig vækstrate. For at svare på dette spørgsmål, kan man igen se på renteformlen. Hvis man kalder den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor for a, har man nemlig K 3 = K 0 a 3. Da dette skal give det samme resultat som ovenfor, at K 3 = 1073,68, kan man ved at sammenligne med (4.1) konstatere, at der må gælde Herudfra ses, at a 3 = a 1 a 2 a 3. a = 3 a1 a 2 a 3. Den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor bliver altså i dette tilfælde a = 3 1,027 1,030 1,015 = 1, Den tilsvarende gennemsnitlige vækstrate bliver så r = a 1 = 1, = 2,398%. Mere generelt kan man sige, at der gælder følgende Tabel 4.3: Vækstrate r i og fremskrivningsfaktor a i for indbyggertallet i en by i år i. i r i a i 1 2,2% 1, ,1% 1, ,2% 0, ,2% 1, ,0% 1,060 Sætning 4.19: Gennemsnitlig rente Hvis en størrelse vokser gennem n terminer med fremskrivningsfaktorerne a 1, a 2,, a n, er den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor pr. termin givet ved a = n a 1 a 2 a n. Den gennemsnitlige vækstrate er derfor givet ved r = n (1 + r 1 ) (1 + r 2 ) (1 + r n ) 1. Eksempel 4.20 Indbyggertallet i en by vokser med en varierende procentdel over en 5-års periode. Væksten ses i tabel 4.3.

57 4.5 Indekstal 57 At r 3 er negativ, betyder blot, at indbyggertallet falder i det pågældende år. For at finde frem til den gennemsnitlige vækst i procent i løbet af de 5 år, beregnes de 5 fremskrivningsfaktorer (se tabel 4.3). Nu kan den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor findes: a = 5 1,022 1,031 0,988 1,042 1,060 = 1, Den gennemsnitlige vækstrate i løbet af de 5 år er derfor r = 1, = 0,02832 = 2,832%. 4.5 Indekstal Inden for økonomi og statistik benytter man sig ofte af de såkaldte indekstal. Indekstal angiver værdien af en given størrelse i forhold til et bestemt år, kaldet basisåret. Indekstallet for et bestemt år angives som værdien i forhold til basisåret gange 100. Er en størrelse vokset med 13% i forhold til basisåret, vil denne udtrykkes som indekstallet 113, mens et fald på 5% i forhold til basisåret udtrykkes som indekstallet 95. Taleksempel Den gennemsnitlige årsindkomst for danskere over 14 år (for 5 udvalgte år) ses i tabel 4.4. Denne udvikling beskrives nu i indekstal med 2012 som basisår. Værdien i år 2012 ( kr.) sættes altså til 100, og de resterende værdier beregnes herudfra. Den procentdel som den gennemsnitlige årsindkomst i 2013 udgør af værdien i 2012 er = 1,018 = 101,8% Indekstallet for 2001 er derfor 101,8. Den gennemsnitlige årsindkomst i 2014 udgør = 1,035 = 103,5%, dvs. indekstallet for 2014 er 103,5. Bemærk, at indekstallene angives uden %-tegn. På samme måde udregnes de resterende to indekstal og man får tallene i tabel 4.5. Vælger man i stedet et andet basisår, får man selvfølgelig andre værdier. Med 2014 som basisår fås tabel 4.6. Procentvise ændringer Når man taler om procentvise ændringer af indekstal er det vigtigt at skelne mellem to ting: Ændring i procent og ændring i procentpoint. Det sidste fænomen gennemgås først. Tabel 4.4: Gennemsnitlig årsindkomst, [4] År Løn (kr.) Tabel 4.5: Indekstal for gennemsnitlig årsindkomst med basisår År Indeks , , , ,3 Tabel 4.6: Indekstal for gennemsnitlig årsindkomst med basisår År Indeks , , , ,6

58 58 Rentesregning Procentpoint Når man taler om ændringen i procentpoint, ser man på hvad forskellen på de to indekstal, man sammenligner, er. Ser man f.eks. på indekstallene med basisår 2012 fra taleksemplet ovenfor, ser man at forskellen på indeks for år 2016 og 2014 er 108,3 103,5 = 4,8. Der er altså sket en vækst på 4,8 procentpoint fra 2014 til Ændringen i procentpoint er afhængig af, hvilket år, man har valgt som basisår. Tabel 4.7: Danmarks produktion af biogasenergi med 2012 som basisår.[6] År Indeks , , , ,6 Tabel 4.8: Danmarks produktion af biogasenergi, År Biogasenergi (GWh) Procent Hvis man skal se på, hvor stor stigningen fra 2013 til 2014 er i procent, skal man i stedet sammenligne de to tal ved at udregne 108,3 103,5 = 1,046. Dette er en fremskrivningsfaktor. Den tilsvarende vækstrate er 1,046 1 = 0,046. Væksten fra er 2014 til 2016 er altså på 4,6%. Som man ser, er det altså ikke underordnet om man taler om vækst i procent eller vækst i procentpoint. Her følger to eksempler, der behandler nogle udregninger, der kan være praktiske i forbindelse med indekstal: Eksempel 4.21 (Absolutte tal) I tabel 4.7 er angivet Danmarks produktion af energi fra biogas i årene 2012 til 2016 med 2012 som basisår. Får man nu at vide, at produktionen af biogasenergi i 2014 var 1328 GWh finder man produktionstallet for et andet år ved at udregne fremskrivningsfaktoren for ændringen fra det pågældende år til 2014, og gange op med denne. Fremskrivningsfaktoren, når man går fra 2012 til 2014, er ,9, så produktionen af biogasenergi i 2012 var dvs GWh = 1030, 128,9 På samme måde udregner man tallet for 2013: 107, = ,9 Altså var produktionen af biogasenergi i 2013 på 1112 GWh. Udregnes værdien for alle de manglende tre år, får man tabel 4.8. Eksempel 4.22 (Skift af basisår) Her ses på de samme tal som i eksempel 4.21, se tabel 4.7. Somme tider kan det være en fordel at skifte basisår. Dette kunne f.eks. være, hvis man skal sammenligne to forskellige indeks, der har forskellige basisår.

59 4.5 Indekstal 59 Hvis tabellen skal regnes om til basisår 2014, beregner man igen den procentvise værdi i forhold til basisåret. Dette er nu 2014, så man får for 2012: Dvs. indeks for 2012 er nu 77,6. For 2013 fås altså er indeks 87, ,9 = 0, ,9 128,7 = 0,837, De nye indekstal bliver så tallene i tabel 4.9. Tabel 4.9: Danmarks produktion af biogasenergi med 2014 som basisår. År Indeks , , , ,0

60

61 Annuiteter Opsparing og lån Hvis man betaler til en opsparingskonto i en bank, kan man ikke bruge renteformlen til at beregne, hvor mange penge, der vil stå på kontoen. På en opsparingskonto indbetaler man jo ikke et beløb én gang, men sætter i stedet løbende penge ind. Taler man om lån, kan man heller ikke bruge renteformlen til udregninger, idet et lån kører på den måde, at man afbetaler på lånet hver termin, mens der også løbende tilskrives renter. Opsparingsannuitet En opsparingsannuitet er en opsparingskonto, hvor der indbetales lige store beløb med lige lange mellemrum. Hvis renten er fast viser det sig, at man kan udlede en formel til beregning af, hvor mange penge, der står på kontoen efter et bestemt antal indbetalinger. Taleksempel Her ses på en konto med en rentefod (vækstrate) på 1,5% p.a., hvor der ved hver indbetaling indsættes kr. Hvis indbetalingerne påbegyndes , og falder på den 2.1 hvert år, vil man efter 4 indbetalinger være nået frem til Her har man altså sparet penge op over 3 år, men antallet af indbetalinger er 4. Skal man beregne, hvor mange penge, der står på kontoen umiddelbart efter den 4. indbetaling, kan man gå frem på følgende måde: Det beløb man indsætter hvert år kaldes ydelsen, b. Den årlige vækstrate kaldes r, antallet af indbetalinger kaldes n, og saldoen på kontoen, kaldes A n. I det givne eksempel har man altså b = , r = 0,015 og n = 4. Størrelsen A 4, som svarer til saldoen på kontoen efter de 4 indbetalinger, er ukendt og skal beregnes. Ser man på, hvad der sker med indbetalingerne, har man, at Den indsættes kr. Dette beløb forrentes i 3 år frem til , hvor beløbet er vokset til ,015 3 (ifølge renteformlen). 61

62 62 Annuiteter Den indsættes igen kr., der forrentes i 2 år frem til , hvor beløbet er vokset til , Den indsættes kr., der forrentes 1 år, så beløbet vokser til ,015. Den indsættes kr. Det samlede beløb på kontoen fås ved at lægge de 4 værdier ovenfor sammen, således at A 4 = , , , Her ses, at man kan sætte uden for parentes, så man har A 4 = (1 + 1, , ,015 3 ) = ,03. (5.1) Dette er altså saldoen på kontoen efter 4 indbetalinger. De kr. svarer til indbetalingerne, mens de resterende 909,03 kr. er påløbne renter. Denne fremgangsmåde kan sagtens anvendes til at beregne saldoen på en opsparingskonto, men i praksis bliver parentesen i (5.1) hurtigt besværlig at regne ud. Hvis man f.eks. skulle se på saldoen efter 15 indbetalinger, bliver udregningen meget lang. Det viser sig, at man i stedet kan anvende følgende Sætning 5.1: Opsparingsannuitet For en opsparingsannuitet, gælder A n = b an 1, r hvor A n er saldoen efter sidste indbetaling, b er ydelsen, dvs. indbetalinger pr. termin, r er vækstraten, n er antal indbetalinger, og a = 1 + r er fremskrivningsfaktoren. Denne sammenhæng kan også skrives som A n = b (1 + r)n 1. r Beviset for formlen kan ses i afsnit 5.1. Eksempel 5.2 Der indbetales hvert år 2000 kr. på en opsparingskonto, hvor renten er 1,3% p.a. Hvis der indbetales 10 gange er b = 2000, r = 0,013, a = 1,013 og n = 10. Umiddelbart efter den 10. indbetaling er saldoen på kontoen derfor A 10 = , ,013 = ,50. Dvs. saldoen er ,50 kr. Kender man ikke ydelsen, kan man beregne den som i dette eksempel:

63 5.1 Opsparing og lån 63 Eksempel 5.3 Hvis man ønsker at spare kr. op med 15 årlige indbetalinger, hvor meget skal man så indbetale, hvis renten er 2,1%? I dette tilfælde kender man størrelserne r = 0,021, a = 1,021, n = 15 og A 15 = Indsættes disse størrelser i formlen fås = b 1, ,021 0, , = b 2870,45 = b. Vil man spare kr. op med 15 årlige indbetalinger, skal der altså hvert år indbetales 2870,45 kr. Hvis antallet af indbetalinger er ukendt, bliver udregningen en smule mere besværlig: Eksempel 5.4 Hvis man hvert år indbetaler 6000 kr. på en konto til 2,3% i rente, hvor mange indbetalinger kræver det så, for at man kan spare kr. sammen? Her kender man b = 6000, r = 0,023, a = 1,023 og A n = Indsat i formlen giver det = ,023n 1 0,023. Løsningen til denne ligning er n = 11,11. Her kan man se, at det altså ikke er helt nok at indbetale 11 gange, der skal 12 indbetalinger til. Det samme resultat kunne man selvfølgelig også være nået frem til ved at prøve efter med forskellige værdier af n. Annuitetslån Nu vendes blikket mod tilbagebetaling af gæld. Mange lån afvikles på den måde, at låntageren betaler et fast beløb (kaldet ydelsen) hver termin (f.eks. hver måned, kvartal eller år) til långiveren. Ydelsen dækker de renter, der er løbet på siden sidste indbetaling, mens den resterende del, bruges til at gøre gældsbeløbet mindre. Det oprindelige gældsbeløb (dvs. de penge, man har lånt) kaldes hovedstolen. Hvordan tilbagebetalingen af et sådant lån et annuitetslån sker, belyses i dette eksempel:

64 64 Annuiteter Taleksempel Den optages et lån på kr. Vækstraten er 9%, og ydelsen er fastsat til 3000 kr. om året. Ydelsen betales 2.1, og på denne dato foretages også rentetilskrivning. Tilbagebetalingen fortsætter til lånet er afviklet. Løbetiden er det antal terminer, der går indtil lånet er nede på 0, og den kan beregnes. Der sker nu følgende: : Der tilskrives 9% i rente, så gælden vokser til ,09 = Herfra trækkes ydelsen på kr., så restgælden er nu = Restgæld (kr.) (2; ) (8; 6765,83) Antal terminer Figur 5.1: Et lån på kr. tilbagebetales med en ydelse på 3000 kr. og en rente på 9%. Bemærk, at betalingen på 3000 kr. kun har formindsket gælden med 1200 kr : Der tilskrives igen 9% i rente (til restgælden på kr.), så gælden er nu ,09 = Fra dette beløb trækkes igen ydelsen på 3000 kr., så restgælden er = På denne måde fortsætter man med at betale tilbage, indtil restgælden er nede på 0. Man kan beregne, at løbetiden er ca. 11 terminer, så låntageren kommer til at betale ca kr. = kr. for at låne de kr. På figur 5.1 ses, hvorledes restgælden udvikler sig med tiden. Det viser sig, at man kan regne på annuitetslån vha. følgende formel: Sætning 5.5: Gældsannuitet For et annuitetslån gælder G = y 1 a n r og y = G r 1 a n, hvor G er hovedstolen, y er ydelsen, r er vækstraten, n er løbetiden, og a = 1 + r er fremskrivningsfaktoren. Disse formler kan også skrives som G = y 1 (1 + r) n r og y = G r 1 (1 + r) n. Beviset for denne sætning kan ses i afsnit 5.1. Eksempel 5.6 (Ukendt hovedstol) Hvis man har råd til at optage et lån til 500 kr. om måneden i 3 år og den årlige rente er 8%, hvor mange penge kan man så låne? Her ses, at det beløb, man betaler om året er kr. = 6000 kr. Altså er y = 6000, r = 0,08, a = 1,08 og n = 3.

65 5.1 Opsparing og lån 65 Sætning 5.5 giver da, at den samlede gæld er G = 6000 Man har altså råd til at låne ,58 kr. 0,08 = ,58 1 1,08 3 Til gengæld skal man huske på, at det, man rent faktisk kommer til at betale tilbage, er kr. = kr. Situationen i eksemplet ovenfor er nok en anelse uvirkelig. Ofte ved man jo præcis, hvor mange penge, man vil låne. Men sætning 5.5 kan også bruges til at regne ud, hvad ydelsen vil være, hvis man kender lånets størrelse og løbetid. Eksempel 5.7 (Ukendt ydelse) Hvis man låner kr. og ønsker at betale dem tilbage over 5 år, hvor stor er ydelsen så, hvis renten er 12%? Her kender man G = , r = 0,12, a = 1,12 og n = 5. Indsat i formlen fra sætning 5.5 giver det y = ,12 = , ,12 5 Det er altså det beløb, der skal betales tilbage om året. Den tilsvarende månedlige ydelse bliver så y måned = ,49 12 altså en månedlig ydelse på 1155,87 kr. = 1155,87, Bevis for annuitetsformlerne I dette afsnit bevises formlerne i sætning 5.1 og sætning 5.5. Bevis (for sætning 5.1) Betragter man ligningen (5.1), ses at denne kan generaliseres til A n = b (1 + a + a a n 1 ). Nu defineres S = 1 + a + a a n 1. Der gælder altså A n = b S. Tillige gælder der, at a S = a (1 + a + a a n 1 ) = a + a 2 + a a n. Beregner man nu størrelsen (a 1) S fås (a 1) S = a S S = (a + a 2 + a a n ) (1 + a + a a n 1 ) = a n 1

66 66 Annuiteter Dette giver, at og da a 1 = r, er (a 1) S = a n 1 S = an 1 a 1, S = an 1. r Fra tidligere haves, at A n = b S, så derfor er og sætningen er hermed bevist. A n = b an 1, r I beviset for sætning 5.5 anvender man sætning 5.1 og renteformlen. Bevis (for sætning 5.5) Når man afdrager en gæld med n lige store ydelser y, vil værdien af disse ydelser for långiveren kunne beregnes ud fra formlen for annuitetsopsparing (sætning 5.1). Kaldes denne størrelse K, har man K = y an 1. r Men gælden blev optaget n terminer tidligere, så gældens værdi fremskrevet n terminer er også lig med K, som ifølge renteformlen så skal være K = G a n. Disse to udtryk for K må nødvendigvis være lig hinanden, dvs. Hermed er sætningen bevist. G a n = y an 1 r G = y an 1 r a n a n a 1 G = y n a n r G = y 1 a n. r

67 Eksponentielle funktioner 6 En eksponentiel funktion eller eksponentialfunktion defineres på følgende måde 1 Definition 6.1 En eksponentiel funktion er en funktion af typen f (x) = b a x, 1 I nogle beskrivelser er det kun funktioner af typen f (x) = a x, der kaldes eksponentielle funktioner, mens f (x) = b a x kaldes en eksponentiel udvikling. Her bruges eksponentiel funktion dog i begge tilfælde. hvor a og b er to positive tal. Tallet a i definition 6.1 kaldes fremskrivningsfaktoren 2 og b kaldes begyndelsesværdien. At b kaldes begyndelsesværdien skyldes, at grafen for funktionen skærer andenaksen i punktet (0; b). Dette følger af, at f (0) = b a 0 = b 1 = b. Et eksempel på grafer for eksponentielle funktioner kan ses på figur 6.1. For eksponentielle funktioner gælder der specielt, at deres grafer ikke skærer førsteaksen. Det skyldes, at funktionsværdierne ikke kan blive negative (eller 0), idet a x altid er positivt, så længe a er et positivt tal uanset værdien af x. 6.1 Eksponentiel vækst Hvis man sammenligner forskriften for en eksponentiel funktion f (x) = b a x med renteformlen K n = K 0 a n, kan man se, at der er tale om samme type vækst. Man kan derfor forvente, at eksponentielle funktioner vokser på den måde, at man ganger med fremskrivningsfaktoren a, for hver gang x stiger med 1. Dette er illustreret på figur 6.2. Generelt gælder følgende sætning 2 Dette svarer fuldstændigt til fremskrivningsfaktoren i renteformlen K n = K 0 a n. g 1 (2) 1 f (1) Figur 6.1: Graferne for de to eksponentielle funktioner f (x) = 2 1,4 x og g(x) = 4 0,8 x. y 0 a 3 y 0 a 2 (2) Sætning 6.2 For en eksponentiel funktion gælder, at hver gang x vokser med Δx, ganges funktionsværdien med a Δx. Når x vokser med en fast værdi, vokser funktionsværdien altså med en fast procentdel y 0 a y 0 (1) 67 Figur 6.2: Vækst af en eksponentiel funktion.

68 68 Eksponentielle funktioner Bevis Hvis x vokser fra x 1 til x 2, så vokser funktionsværdien fra til y 1 = f (x 1 ) = b a x 1 y 2 = f (x 2 ) = f (x 1 + Δx) = b a x 1+Δx = b a x 1 a Δx = y 1 a Δx. Den nye funktionsværdi y 2 er altså netop y 1 a Δx, og sætningen er hermed bevist. Tabel 6.3: Vækst af f (x) = 4 2 x x y 3 0, Argumentet er, at ganger man et hvilket som helst tal med et andet tal, som er større end 1, så vil resultatet blive større end det oprindelige tal. Hvis man omvendt ganger med et tal, som ligger mellem 0 og 1, får man et resultat, som er mindre end det oprindelige. Eksempel 6.3 I tabel 6.3 ses, hvordan en eksponentiel funktion vokser. Her ses, at for funktionen f (x) = 4 2 x gælder der, at hver gang, x vokser med 3, ganges funktionsværdien med 2 3 = 8. Hver gang x stiger med 1, vil funktionsværdien blive ganget med a1 = a. Størrelsen af a afgør derfor, om en eksponentiel funktion er voksende eller aftagende, og man kan argumentere for følgende 3 Sætning 6.4 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder: 1. Hvis a > 1 er funktionen voksende. 2. Hvis 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Da en eksponentiel funktion er udtryk for procentvis vækst, giver det mening at definere vækstraten, som er r = a 1. Dette tal angives ofte i procent. For vækstraten gælder følgende, som følger af sætning 6.4. Sætning 6.5 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x defineres vækstraten Der gælder så, at r = a Hvis r > 0 er funktionen voksende. 2. Hvis r < 0 er funktionen aftagende. Når man ved, at procentvis vækst beskrives vha. eksponentielle funktioner, kan man udnytte dette til at opstille matematiske modeller for procentvis vækst. Eksempel 6.6 I Honduras bor der 8,6 mio. mennesker i 2014, og befolkningsvæksten er på 1,7%.[7] Honduras befolkning kan altså beskrives ved en eksponentiel udvikling med begyndelsesværdi 8,6 og vækstrate 1,7%.

69 6.2 Beregning af forskriften 69 Da vækstraten er 1,7% er fremskrivningsfaktoren a = 1 + 1,7% = 1 + 0,017 = 1,017. Befolkningstallet er altså givet ved funktionen f (x) = 8,6 1,017 x, hvor x er antal år efter 2014, og f (x) er befolkningstallet i mio. Eksempel 6.7 En bakteriekultur vokser eksponentielt, sådan at antallet af bakterier kan beskrives ved funktionen B(t) = 364 1,72 t, hvor t er tiden i timer, og B(t) er antallet af bakterier. Ud fra forskriften kan man udlede følgende: Til tiden t = 0 er der 364 bakterier. Fremskrivningsfaktoren er 1,72, hvilket vil sige at vækstraten er r = 1,72 1 = 0,72 = 72%. Antallet af bakterier vokser altså med 72% i timen. 6.2 Beregning af forskriften Hvis man har to punkter på grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x, kan man bestemme konstanterne a og b i forskriften (se figur 6.4). Sætning 6.8 Hvis grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x går gennem de to punkter P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ) er a = x 2 x 1 y2 y 1 og b = y 1 a x 1. (2) P(x 1, y 1 ) Q(x 2, y 2 ) (1) Figur 6.4: Grafen for en eksponentiel funktion går gennem P og Q. Bevis Hvis P(x 1 ; y 1 ) ligger på grafen for f (x) = b a x, gælder der, at Da Q(x 2 ; y 2 ) også ligger på grafen for f, er y 1 = b a x 1. (6.1) y 2 = b a x 2. (6.2) Dividerer man nu ligning (6.2) med ligning (6.1) får man y 2 y 1 = y 2 b ax2 b a x 1 = ax2 y 1 a x 1 y 2 = a x 2 x 1 y 1

70 70 Eksponentielle funktioner og formlen for a er så bevist. x 2 x 1 y2 y 1 = a, For at bevise formlen for b isolerer man b i ligning (6.1) og får y 1 = b a x 1 Formlen for b er dermed også bevist. y 1 a x 1 = b. Eksempel 6.9 Hvis grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x går gennem de to punkter P(2; 12) og Q(5; 96) er x 1 = 2, y 1 = 12, x 2 = 5 og y 2 = 96. Benytter man nu formlerne fra sætning 6.8 fås y2 96 a = x 2 x 1 = 5 2 y 1 12 = 3 8 = 2, b = y 1 a x 1 = = 12 4 = 3. Funktionens forskrift er så f (x) = 3 2 x. 6.3 Fordoblings- og halveringskonstant Funktionsværdien af en eksponentiel funktion vokser ifølge sætning 6.2 med en fast procentdel, når x vokser med et fast tal. Hvis en eksponentiel funktion er voksende, giver det derfor mening at undersøge, hvor meget x skal vokse, for at funktionsværdien vokser med 100% dvs. fordobles. Dette tal kalder man fordoblingskonstanten T 2. 4 Idet en fordobling (som er det samme som at lægge 100% til) svarer til at gange med 2. Ifølge sætning 6.2 ganges funktionsværdien med a Δx, når x stiger med Δx. For at bestemme T 2 skal man derfor finde ud af, hvornår a Δx = 2. 4 T 2 er altså løsningen til ligningen a T 2 = 2. 5 Husk, at ligningen a x = c har løsningen x = log(c) log(a). 2 y 0 y 0 (2) T 2 (1) x 0 x 0 + T 2 Figur 6.5: Når man lægger T 2 til x 0, fordobles funktionsværdien. Løsningen til denne ligning er 5 T 2 = log(2) log(a). På figur 6.5 er fordoblingskonstanten illustreret. En vigtig pointe er her, at funktionsværdien fordobles hver gang man lægger T 2 til x. At funktionsværdien fordobles, hver gang man går et bestemt stykke ud ad førsteaksen, gælder kun for eksponentielle funktioner. For aftagende eksponentielle funktioner giver det i øvrigt ikke så meget mening at tale om en fordobling; her bestemmer man i stedet en halveringskonstant. Halveringskonstanten T 1 2 defineres helt analogt til fordoblingskonstanten, sådan at der gælder følgende.

71 6.4 Eksponentiel regression 71 Sætning 6.10 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder 1. Hvis f er voksende er fordoblingskonstanten T 2 = log(2) log(a). 2. Hvis f er aftagende er halveringskonstanten T 1 2 = log( 1 2) log(a). Eksempel 6.11 Den eksponentielle funktion f (x) = 3 1,7 x har fremskrivningsfaktoren a = 1,7. Fordoblingskonstanten er derfor T 2 = log(2) log(a) = log(2) log(1,7) = 1,31. Dvs. at hver gang x stiger med 1,31 fordobles funktionsværdien. En stigning fra x = 5 til x = 6,31 vil således give en fordobling af funktionsværdien, og det vil en stigning fra x = 100 til x = 101,31 også. 6.4 Eksponentiel regression Hvis man har en række målepunkter, der tilnærmelsesvist følger en eksponentiel udvikling, er det muligt at bestemme den eksponentielle funktion, hvis graf ligger tættest muligt på alle punkterne, vha. en metode, der kaldes eksponentiel regression. Metoden er ligesom lineær regression indbygget i de fleste regneark og matematikprogrammer. Man indtaster her sine målepunkter, og får programmet til at beregne forskriften for den eksponentielle funktion, hvis graf ligger tættest på alle målepunkterne. Ligningen på figur 6.6 er fundet på denne måde. 10 (2) y = 5,37 1,68 x 1 (1) Figur 6.6: En eksponentiel udvikling fundet vha. eksponentiel regression.

72

73 Logaritmer 7 En eksponentiel ligning er en ligning af typen a x = k, hvor a er grundtallet, og k er et tal. Sådanne ligninger kan ikke løses vha. de sædvanlige aritmetiske operationer. For at løse sådanne ligninger har man brug for de såkaldte logaritmer. Definition 7.1 Hvis a og k er to positive tal, defineres tallet log a (k) som det tal, som løser ligningen a x = k. Funktionen log a kaldes logaritmen med grundtal a. Eksempel 7.2 Fra definitionen på logaritmen med grundtal a, kan man udlede, at log 2 (8) = 3 fordi 2 3 = 8 log 7 (49) = 2 fordi 7 2 = 49 log 10 (10 000) = 4 fordi 10 4 = log 1 (9) = 1 fordi = log 4,5 (2) = 0,4608 fordi 4,5 0,4608 = 2. Definitionen siger altså, at hvis x = log a (k), så er x løsning til ligningen a x = k. Heraf følger umiddelbart, at a log a (k) = k og x = log a (a x ). (2) Dette kan formuleres som en sætning. Sætning 7.3 For logaritmen med grundtal a gælder, at 60 y = 10 x a log a (x) = x og log a (a x ) = x. På samme måde som n x virker modsat x n, virker log a (x) altså modsat a x. Skal man løse 10 x = 60, kan man løse ligningen grafisk ved at se på grafen for y = 10 x. Her finder man 60 på andenaksen og finder så log 10 (60) på førsteaksen. Det kan her aflæses, at log 10 (60) = 1,78 (se figur 7.1). 10 (1) 1 log 10 (60) = 1,78 Figur 7.1: Her aflæses log 10 (60), som er løsningen til 10 x =

74 74 Logaritmer Regneregler for logaritmer Sætning 7.3 kan sammen med potensregnereglerne bruges til at bevise følgende sætning: Sætning 7.4 For logaritmen med grundtal a gælder følgende: 1. log a (r s) = log a (r) + log a (s). 2. log a ( r s ) = log a (r) log a (s). 3. log a (r p ) = p log a (r). 1 I beviset udnytter man desuden, at 1. a n a m = a m+n, a 2. n = a n m og a m 3. (a n ) m = a n m. Bevis For at bevise de tre regneregler udnyttes sætning 7.3, dvs. at r = a log a (r) og r = log a (a r ) For log a (r s) gælder, at log a (r s) = log a (a log a (r) a log a (s) ) = log a (a log a (r)+log a (s) ) = log a (r) + log a (s). 2. For log a ( r s ) gælder, at r log a ( s ) = loga ( a log a (s) ) 3. For log a (r q ) gælder, at a log a (r) = log a (a log a (r) log a (s) ) = log a (r) log a (s). log a (r p ) = log a ((a log a (r) ) p ) = log a (a p log a (r) ) = p log a (r). Hermed er sætningen bevist. Eksempel 7.5 Nogle af de ting, man kan udlede af sætning 7.4 er bl.a. at log a (ax) = log a (a) + log a (x) = 1 + log a (x), x log a ( a ) = log a (x) log a (a) = log a (x) 1, 1 log a ( x ) = log a (x 1 ) = 1 log a (x) = log a (x). Det viser sig i øvrigt, at der er en simpel sammenhæng mellem logaritmer med forskellige grundtal: Sætning 7.6 For logaritmen med grundtal a og logaritmen med grundtal b gælder log b (x) = log a (x) log a (b).

75 Logaritmer 75 Bevis Sætningen kan bevises ud fra egenskaben i sætning 7.3 og regneregel 3 fra sætning 7.4. Man har nemlig log a (x) = log a (b log b (x) ) = log a (b) log b (x), dvs. log a (x) = log a (b) log b (x); dette kan omskrives til log b (x) = log a (x) log a (b). Sætning 7.6 viser, at logaritmer med forskellige grundtal er proportionale. Den viser også, at man i virkeligheden kun har brug for at kende én logaritmefunktion. Eksempel 7.7 Hvis man vil beregne log 2 (16), men kun har en log 10 - knap på lommeregneren kan man bruge sætning 7.6 på denne måde: log 2 (16) = log 10 (16) log 10 (2). Tallet log 10 (16) log 10 (2) beregnes så på lommeregneren, og man får log 2 (16) = 4. Idet man i princippet kun har brug for at kende én logaritmefunktion, så er det faktisk kun nødvendigt med én logaritme-knap på en lommeregner. Man skal så bare finde ud af, hvilket grundtal, man vil benytte. Normalt vil en lommeregner faktisk have to logaritmer-knapper: én med grundtal 10, og én med grundtal e (Eulers tal, som er nærmere beskrevet i næste afsnit). De to logaritmer log 10 og log e kaldes titals-logaritmen og den naturlige logaritme, og de betegnes ofte med hhv. log (titals-logaritmen) og ln (den naturlige logaritme), dvs. Titals-logaritmen (log) er logaritmen med grundtal 10, altså log = log 10. Den naturlige logaritme (ln) er logaritmen med grundtal e, altså ln = log e. Der gælder derfor også y = log(x) x = 10 y og y = ln(x) x = e y. Nogle CAS-værktøjer sætter i øvrigt log lig med den naturlige logaritme i stedet for titals-logaritmen. Der kan derfor nogle gange være en idé i at holde sig til at anvende den natulige logaritme (ln er altid den naturlige logaritme), for som sætning 7.6 viser, har man jo kun brug for én logaritmefunktion.

76 76 Logaritmer 7.1 Den naturlige logaritme Eulers tal 2 Et irrationelt tal, er et tal, som ikke kan skrives som en brøk. Irrationelle tal er kendetegnet ved, at de har uendeligt mange decimaler, og at der intet gentagende mønster er i decimalerne. Tallet e, også kaldet Eulers tal, spiller en stor rolle i matematikken. Det er lige som π et irrationelt tal. 2 e har altså et uendeligt antal decimaler. Med 24 decimalers præcision er e = 2, e dukker op mange steder, men her ses kun på, hvordan tallet bruges i forbindelse med den naturlige logaritme. Den naturlige logaritme Den naturlige logaritme er defineret til at være logaritmen med grundtal e: Definition 7.8 Den naturlige logaritme, ln, er logaritmen med grundtal e: ln(x) = log e (x). Da logaritmefunktioner på sin vis er defineret ud fra eksponentialfunktioner, findes der også en naturlig eksponentialfunktion, som er eksponentialfunktionen med grundtal e. Den naturlige eksponentialfunktion betegnes ofte exp, dvs. exp(x) = e x. Det viser sig, at alle eksponentialfunktioner kan omskrives, så de er baseret på denne funktion. Dette gennemgås i næste afsnit. 7.2 Eksponentielle funktioner En eksponentiel funktion f (x) = b a x skrives ofte på en anden måde. Idet a = e ln(a), kan en eksponentiel funktion nemlig skrives som Dette skrives så som f (x) = b a x = b (e ln(a) ) x = b e ln(a) x. f (x) = b e kx (hvor k = ln(a)). Eksempel 7.9 Den eksponentielle funktion y = 4,6 9,1 x kan skrives som fordi ln(9,1) = 2,2. f (x) = 4,6 e 2,2x, For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder der som bekendt, at funktionen er voksende, hvis a > 1 og aftagende, hvis 0 < a < 1. Da k = ln(a) kan man udlede, at der for den eksponentielle funktion f (x) = b e kx gælder

77 7.2 Eksponentielle funktioner Funktionen er voksende, hvis k > Funktionen er aftagende, hvis k < 0. Man skelner derfor nogle gange mellem voksende og aftagende eksponentielle funktioner, ved at dele op i to tilfælde, således at man skriver 1. f (x) = b e kx, når funktionen er voksende. 2. f (x) = b e kx, når funktionen er aftagende. På denne måde er k altid et positivt tal, og fortegnet regnes ikke som en del af k. Der findes flere gode grunde til at skrive en eksponentiel funktion på denne måde. Én af grundene er, at man hvis man skal regne med enheder kan få regnestykket til at gå op. En anden god grund hænger sammen med en gren af matematikken, der hedder differentialregning; forklaringen herpå må vente til senere. Fordoblings- og halveringskonstanter For en voksende eksponentiel funktion, kan man som bekendt beregne fordoblingskonstanten T 2 vha. formlen T 2 = ln(2) ln(a). Hvis den voksende eksponentielle funktion er på formen f (x) = b e kx bliver dette i stedet til 3 3 Her udnytter man, at k = ln(a). T 2 = ln(2) k (når f (x) = b e kx ). Hvis en aftagende eksponentiel funktion skrives på formen y = b e kx (bemærk fortegnet), har man, at k = ln(a), derfor kan man skrive halveringskonstanten, som 4 4 At 1 2 = 2 1 følger af potensregnereglen a n = 1 T 1 2 = ln ( 1 2) k = ln(2 1 ) k = 1 ln(2) k = ln(2) k Halveringskonstanten kan altså beregnes ud fra formlen. a n. T 1 2 = ln(2) k (når f (x) = b e kx ).

78

79 Potensfunktioner 8 Definition 8.1 En potensfunktion er en funktion af typen f (x) = b x a, x > 0, hvor a og b er to konstanter, og b > 0. Bemærk, at en potensfunktion kun er defineret for positive værdier af x. Dette skyldes, at der findes værdier af a, hvor x a ikke er defineret for alle tal. 1 Idet det også er et krav, at b > 0, så vil en potensfunktions graf kun befinde sig i første kvadrant, dvs. både første- og andenkoordinaten for punkter på funktionens graf vil være positive. For en potensfunktion giver det altså ikke mening at tale om en skæring med andenaksen, idet funktionen slet ikke er defineret for x = 0. Til gengæld kan man udlede, at en potensfunktion f (x) = b x a altid vil gå gennem punktet (1; b), idet 1 Et eksempel er x 1, som er det samme som 1. Da man ikke må dividere med 0 er denne x funktion ikke defineret for x = 0. f (1) = b 1 a = b. Et par eksempler på potenssammenhænge kunne være de følgende. Eksempel 8.2 Arealet A af en cirkel med radius r er A = π r 2. Her er der altså en potenssammenhæng mellem radius r og arealet A. De to konstanter a og b er hhv. a = 2 og b = π. Eksempel 8.3 Hastigheden af en tsunamibølge v (i km/h) er en potensfunktion af havdybden d (i meter),[1] v = 11,2 d 0,5. Her er a = 0,5 og b = 11,2. 79

80 80 Potensfunktioner (2) a > 1 a = Grafen for en potensfunktion Tallet a i definition 8.1 kaldes eksponenten. Dette tal bestemmer, hvorledes grafen for en potensfunktion ser ud. På figur 8.1 kan man se, hvordan grafens udseende ændrer sig med forskellige værdier af a. Generelt gælder der følgende sætning. Sætning 8.4 For en potensfunktion f (x) = b x a gælder, at b 1 0 < a < 1 a = 0 a < 0 (1) Figur 8.1: Grafen for en potensfunktion kan se ud på flere måder. f (x 2 ) f (x 1 ) (2) P(x 1 ; y 1 ) x 1 x 2 Q(x 2 ; y 2 ) (1) Figur 8.2: To punkter på grafen for en potensfunktion. 1. Hvis a > 0 er funktionen voksende. 2. Hvis a < 0 er funktionen aftagende. Hvis man har grafen for en potensfunktion, kan man bestemme de to konstanter a og b ved at aflæse to punkter på grafen, (se figur 8.2). Sætning 8.5 Hvis grafen for en potensfunktion f (x) = b x a går gennem punkterne P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ), så er a = log ( y 2 y 1 ) log ( x 2 x 1 ) og b = y 1 x a 1 Bevis Hvis P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ) ligger på grafen for f (x) = b x a, så er y 2 = b x a 2 y 1 = b x a 1 (8.1) Disse to ligninger kan man dividere med hinanden, hvorved man får. y 2 = bxa 2 y 1 bx1 a y 2 = xa 2 y 1 x1 a y 2 y 1 = ( x 2 x 1 ) a. Da dette er en eksponentiel ligning, bliver man nødt til at tage logaritmen på begge sider, for at løse ligningen. Man får så x 2 y 2 log ( y 1 ) = log (( x 1 ) ) a x 2 y 2 log ( y 1 ) = a log ( x 1 ) log ( y 2 y 1 ) log ( x 2 x 1 ) = a.

81 8.2 Potensvækst 81 Hermed er formlen for a bevist. For at bevise formlen for b, ser man på ligning (8.1): y 1 = b x a 1 y 1 x a 1 = b. Så er formlen for b ligeledes bevist. 8.2 Potensvækst En potensfunktion vokser på den specielle måde, at hvis den uafhængige variabel bliver ganget med en fast værdi, så ganges den afhængige variabel også med en fast værdi. 2 Der gælder nemlig følgende sætning. 2 Dog ikke den samme faste værdi. Sætning 8.6 For en potensfunktion f (x) = b x a gælder, at hvis x ganges med et tal k, så ganges funktionsværdien f (x) med k a. Bevis Hvis x ganges med k, så bliver den nye funktionsværdi f (k x). Men f (k x) = b (k x) a = b k a x a = k a b x a = k a f (x). Altså ganges funktionsværdien med k a. Eksempel 8.7 I tabel 8.3 kan man se, hvordan funktionen f (x) = 4x 3 vokser. I denne funktions forskrift er eksponenten a = 3. Hvis x ganges med 2 bliver y derfor ganget med 2 3, dvs. 8. Eksempel 8.8 En potensfunktion f (x) = b x 2 har en graf, der går gennem punktet (3; 7). Her kender man ikke værdien af b, men man kan alligevel finde et andet punkt, som funktionen går igennem. Hvis man ganger x med 4, 3 får man den nye værdi 3 4 = 12. Den nye funktionsværdi får man da ved at gange den gamle (7) med 4 2 (idet eksponenten a = 2). Dette giver = 7 16 = 112. Tabel 8.3: Vækst af f (x) = 4x x y Der er intet specielt ved tallet 4, det kunne have været hvilket som helst positivt tal. Funktionens graf går altså også igennem (12; 112). At gange med et tal svarer til at lægge en procentdel til eller trække en procentdel fra. Tallet k i sætning 8.6 svarer på sin vis til en fremskrivningsfaktor. Fremskrivningsfaktoren k kan i stedet skrives som 1 + r x, hvor r x er vækstraten af den uafhængige variabel x. Tallet k a bliver så en fremskrivningsfaktor for den afhængige variabel y, sådan at k = 1 + r x og k a = 1 + r y. Dette kan sammenfattes i en sætning.

82 82 Potensfunktioner Sætning 8.9 Hvis x-værdien for en potensfunktion f (x) = b x a har vækstraten r x, så har funktionsværdien vækstraten r y, hvor 1 + r y = (1 + r x ) a. Eksempel 8.10 Funktionen f (x) = 4,2 x 0,5 er en voksende funktion. Hvis x vokser med 80% svarer det til, at r x = 0,80. Dvs. 1 + r y = (1 + 0,80) 0,5 = 1,342. r y må så være 0,342, hvilket svarer til 34,2%. Hver gang x vokser med 80% vokser y altså med 34,2%. Eksempel 8.11 Funktionen f (x) = 5x 2 er en aftagende funktion med a = 2. Hvis x vokser med 40% er r x = 0,40, dvs. Det svarer til, at 1 + r y = (1 + 0,40) 2 = 0,510. r y = 0,510 1 = 0,490 = 49%. Hvis x vokser med 40% falder y altså med 49%. Eksempel 8.12 Hvis man om en funktion f (x) = 2x 3 ved, at y er vokset med 50%, hvor mange procent er så x vokset? Dette finder man ud af ved at sætte r y = 0,50 ind i formlen, så man får 1 + 0,50 = (1 + r x ) 3. Denne ligning løser man: 1 + 0,50 = (1 + r x ) 3 3 1,50 = 1 + rx 3 1,50 1 = rx 0,145 = r x. x er altså vokset med 14,5%, hvis y er vokset med 50%. 8.3 Proportionalitet To variable y og x siges at være ligefrem proportionale, når y = k x, hvor k er en konstant. Hvis man i stedet for k kalder konstanten b, har man sammenhængen y = b x = b x 1, der er en potenssammenhæng, med a = 1.

83 8.4 Potensregression 83 På samme måde er omvendt proportionalitet også en potenssammenhæng. To variable x og y er nemlig omvendt proportionale, når x y = k, hvilket også kan skrives som 4 4 I omskrivningen bruges, at 1 x n = x n. y = b x = b 1 x = b x 1. Omvendt proportionalitet er altså en potenssammenhæng, hvor a = 1. Det giver følgende sætning. Sætning 8.13 For en potenssammenhæng y = b x a gælder, 1. Hvis a = 1 er y og x ligefrem proportionale. 2. Hvis a = 1 er y og x omvendt proportionale. En ligefrem proportionalitet kan altså beskrives ved potensfunktionen f (x) = b x. (2) Grafen for denne funktion er en ret linje, dvs. der er i princippet også tale om en lineær funktion med hældningskoefficient b, der skærer andenaksen i 0. y = 0,0033x 3,0614 Ligefrem proportionalitet kan altså både opfattes som en potensfunktion med eksponent 1 og som en lineær funktion, der skærer andenaksen i Potensregression 1 (1) Hvis man har en række målepunkter, der kan beskrives vha. en potensmodel, kan man (lige som for lineære og eksponentielle modeller) finde frem til forskriften for den potensfunktion, der passer bedst på målepunkterne, vha. regression. I dette tilfælde taler man om potensregression. 5 På figur 8.4 ses en række målepunkter. Vha. computerberegninger kan man finde frem til den potensmodel, der passer bedst på målepunkterne. Hvordan dette gøres afhænger af, hvilket program, man anvender. Grafen og ligningen for denne model ses indtegnet på figuren. Figur 8.4: En potensfunktions forskrift kan findes vha. potensregression. 5 Da både den uafhængige og den afhængige variabel er positive for en potensfunktion, må ingen af målepunkterne have koordinater, der er negative eller 0.

84

85 Mængdelære A Mængdelæren er en af de discipliner som rigtigt meget anden matematik (f.eks. funktionsbegrebet og sandsynlighedsregningen) bygger på. I dette afsnit gives derfor en kort gennemgang af nogle af de centrale begreber inden for mængdelæren. A.1 Mængder En matematisk mængde kan defineres som en samling af objekter. I princippet kan et objekt være hvad som helst, men her ses kun på mængder af tal. En mængde kan defineres på følgende måde. Definition A.1 En mængde er en veldefineret samling af indbyrdes forskellige objekter. Bemærk, at der altså kræves, at de objekter, der indgår i mængden, skal være forskellige. Man kan altså ikke lave en mængde, der består af fire 2-taller; der kan kun være ét. Mængder benævnes normalt med store bogstaver, man kan f.eks. tale om mængden M. Hvis man vil angive, at mængden M består af tallene, 1, 2, 3 og 10 skriver man M = {1, 2, 3, 10}. (A.1) Dette kaldes at skrive mængden på listeform. 1 Man kan se, at tallet 3 ligger i mængden M. Hvis man vil skrive dette matematisk, skriver man 3 M, 1 I princippet behøver tallene ikke at skrives i rækkefølge, dvs. {1,2,3} og {3,1,2} er den samme mængde. hvilket læses 3 tilhører M eller 3 er element i M. Matematisk notation er sådan indrettet, at man mange gange kan sige det modsatte ved blot at overstrege et symbol. Hvis man vil sige, at 7 ikke er element i M, skriver man 7 M. 85

86 86 Mængdelære Meget store mængder Man kan af og til komme ud for, at en mængde indeholder rigtigt mange tal. Hvis det er tilfældet, kunne det tænkes, at det bliver uoverkommeligt og måske også uoverskueligt at skrive alle tallene op på listeform, som i (A.1). Hvis man f.eks. skal skrive mængden H af alle positive, hele tal mellem 0 og 100, kan man skrive følgende: H = {1, 2, 3,, 100}. Man skriver altså lige præcis nok tal, til at læseren kan regne ud, hvordan man fortsætter, og skriver derefter det sidste tal. Prikkerne... sættes så ind i stedet for alle de mange tal, man ikke lige havde plads til på papiret. I princippet kan man også forestille sig en mængde, der ikke slutter. Mængden af positive, ulige tal indeholder f.eks. uendeligt mange elementer. Denne mængde kan man skrive på følgende måde: Specielle mængder U = {1, 3, 5, 7, }. Der findes nogle mængder, som man ofte refererer til i mængdelæren. Man bruger specielle symboler for disse mængder, nemlig R Q Z Figur A.1: Alle naturlige tal er hele tal, og alle hele tal er rationale tal, osv. 2 Dette skyldes, at alle hele tal kan skrives som brøker, f.eks. er 2 = 6 3 og 4 = 8 2. N Den tomme mængde, dvs. en mængde der ikke indeholder nogen elementer overhovedet. N De naturlige tal, mængden af hele positive tal, N = {1, 2, 3, 4, 5, }. Bemærk, at 0 ikke er med. Z De hele tal, mængden Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }. Q De rationale tal, mængden af alle tal, der kan skrives som brøker, f.eks. 1 7 og 5 2. R De reelle tal, mængden af alle tal på hele tallinjen. Nogle af de tal, som tilhører R er 1, 1 6, π, e og 2. Her er det i øvrigt værd at bemærke, at alle de naturlige tal også er hele tal, dvs. mængden N er en del af mængden Z. På samme måde er mængden af hele tal Z en del af mængden af rationale tal Q, 2 og mængden af rationale tal er en del af mængden af reelle tal (se figur A.1). A.2 Mængdebygger Nogle gange kan det være praktisk at beskrive en mængde ved at angive en betingelse (eller flere) som elementerne i mængden opfylder. Et eksempel på dette kunne være A alle de tal, som ligger mellem 1 og 6. Denne mængde kan skrives ved at anvende den såkaldte mængdebygger: A = {x R 1 < x < 6}.

87 A.3 Intervaller 87 Dette udtryk består af to dele. Den del, der kommer før den lodrette streg (x R) fortæller, hvor tallene i mængden skal komme fra. Her betyder x R, at tallene i mængden skal hentes fra mængden af reelle tal, dvs. alle tal vil kunne bruges. Den del, der følger efter stregen, er en betingelse, som tallene skal opfylde; altså i dette tilfælde, at de skal ligge mellem 1 og 6. 3 Andre eksempler på mængder skrevet vha. mængdebyggeren kunne være B = {x Z 1 < x < 6}, C = { x Q x2 < 9 }. 3 Skrivemåden 1 < x < 6 er en sammenskrivning af 1 < x og x < 6, dvs. det drejer sig om de tal, der både er større end 1 og mindre end 6. Her er B mængden af alle hele tal mellem 1 og 6, dvs. den kan også skrives på listeform som B = {2, 3, 4, 5}. C er mængden af alle de brøker, hvis kvadrater er mindre end 9. Denne mængde kan ikke skrives på listeform, idet der er uendeligt mange tal, der opfylder denne betingelse. A.3 Intervaller Mængden A i afsnittet ovenfor er et eksempel på det, man kalder for et interval. Et interval er en mængde, der indeholder alle reelle tal mellem to givne værdier, f.eks. alle reelle tal mellem 1 og 6 eller alle reelle tal fra 5 til og med 80. De mængder, der indeholder alle tal større end eller mindre end en given værdi, kalder man også intervaller. Inden for matematikken har man mange steder brug for at tale om intervaller, og man har derfor fundet på en notation, der gør det nemt at tale om et bestemt interval. Mængden A ovenfor kan fx skrives som A = ]1; 6[. Dette betyder, at mængden A består af alle tallene mellem 1 og 6. Tallene 1 og 6 kaldes hhv. venstre og højre endepunkt. At parenteserne vender væk fra tallene betyder, at hverken 1 eller 6 regnes med i intervallet (se figur A.2). Hvis man i stedet vil angive det interval, der strækker sig fra 1 til 6, men hvor 1 og 6 skal tages med, skriver man Figur A.2: Intervallet ]1; 6[. De tomme cirkler ud for 1 og 6 betyder, at disse tal ikke hører til intervallet. D = [1; 6]. D vil vha. mængdebyggeren kunne skrives som D = {x R 1 x 6}. Et par andre eksempler kunne være (se figur A.3). ] 3; 2] = {x R 3 < x 2} [ 4; 1 2[ = { x R 4 x < 1 } Skal man angive intervallet af alle tal større end 3, anvender man tegnet (uendelig) for det højre endepunkt: E = ]3; [ Figur A.3: Intervallerne ] 3; 2] og [ 4; 1 2 [.

88 88 Mængdelære Mængden E består altså af alle de tal, der er større end 3. Hvis man i stedet skal tale om f.eks. alle de tal, der er mindre end eller lig med 5, skrives: F = ] ; 5]. Bemærk, at når man bruger symbolet, skal parentesen vende væk fra symbolet (dette skyldes, at ikke er et tal, men blot en angivelse af, at intervallet ikke slutter i den ene eller den anden retning). Hvis man lader intervallet være ubegrænset i begge retninger, får man det interval, der består af alle tal, dvs. man kan skrive R = ] ; [. A.4 Mængdeoperationer Man kan ud fra to mængder A og B danne nye mængder på forskellige måder. Man kan f.eks. se på alle de tal, der både ligger i A og i B eller alle de tal, som ligger i A, men ikke i B. De følgende definitioner angiver nogle måder at lave nye mængder på (såkaldte mængdeoperationer). Definition A.2 A A B B Fællesmængden af to mængder A og B består af de tal, der både ligger i A og i B. Fællesmængden af A og B skrives A B. Eksempel A.3 Hvis A = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {2, 4, 6, 8}, så er Figur A.4: Fællesmængden A B. A B = {2, 4}. A B Definition A.4 A B Foreningsmængden af to mængder A og B består af de tal, der ligger enten i A eller i B (eller i begge). Foreningsmængden af A og B skrives A B. Eksempel A.5 Hvis A = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {2, 4, 6, 8}, så er Figur A.5: Foreningsmængden A B. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. A A B B Definition A.6 Differensmængden mellem to mængder A og B består af de tal, der ligger i A men ikke i B. Differensmængden mellem A og B skrives A B. Eksempel A.7 Hvis A = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {2, 4, 6, 8}, så er Figur A.6: Differensmængden A B. A B = {1, 3, 5}. og B A = {6, 8}. Når man finder differensmængder er rækkefølgen altså ikke ligegyldig.

89 A.5 Relationer mellem mængder 89 Til sidst defineres komplementærmængden, der består af alle de elementer, der ikke ligger i en given mængde. For at dette begreb kan være veldefineret, er det nødvendigt først at definere en grundmængde, der består af alle de tal, man vil tillade en mængde at indeholde. 4 4 Grundmængden kan være alle tal, dvs. R, men det kan også være de naturlige tal Definition A.8 Lad G være grundmængden. Komplementærmængden A består af de elementer i G, som ikke ligger i A, dvs. A = G A. N, eller en afgrænset mængde, som f.eks. { 2, 0, 1 3, 7}. A A.5 Relationer mellem mængder Det kan nogle gange være interessant at sammenligne forskellige mængder. I den sammenhæng bliver man nødt til at definere, hvad det f.eks. betyder at to mængder er lig hinanden. Definition A.9 To mængder A og B siges at være lig med hinanden, når de indeholder præcist de samme elementer. I dette tilfælde skriver man A = B. Figur A.7: Komplementærmængden A. A Hvis alle A s elementer ligger i B, men alle B s elementer ikke nødvendigvis ligger i A, kaldes A en delmængde af B. Definition A.10 Mængden A siges at være en delmængde af mængden B, hvis alle elementer i A også ligger i B. Dette skrives A B. B A Eksempel A.11 Hvis to mængder er givet ved A = { 1, 1} og B = { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}, Figur A.8: A er en delmængde af B, A B. så er A en delmængde af B, altså A B. Ovenfor blev det argumenteret for, at alle naturlige tal er hele tal, og at alle hele tal er rationale tal, osv. Dette kan udtrykkes vha. delmængdebegrebet, sådan at man kan skrive. Dette er illustreret på figur A.1. N Z Q R. Hvis to mængder slet ikke har noget tilfælles kaldes de disjunkte. Definition A.12 To mængder A og B kaldes disjunkte, hvis ingen af A s elementer ligger i B (og ingen af B s elementer ligger i A), dvs. når A B =. A B Eksempel A.13 Mængderne A = {1, 2, 3} og B = { 1, 0, 7} er disjunkte. Figur A.9: A og B er disjunkte.

90

91 Bibliografi [1] Ole B. Andersen m.fl. Den dynamiske jord. Sumatrajordskælvet flyttede videnskaben. Danmarks Rumcenter og GEUS. url: om/ddj/ddj.pdf. [2] Petr Beckmann. A History of Pi. Barnes & Noble, Inc., [3] Danmarks Statistik. Folketal den 1. i kvartalet efter kommune, køn, alder, civilstand, herkomst, oprindelsesland og statsborgerskab. url: (sidst set ). [4] Danmarks Statistik. INDKP102: Indkomst i alt efter indkomstinterval, køn, enhed, region og tid. url: (sidst set ). [5] Finn Elvekjær og Torben Benoni. FysikABbogen 2. Systime A/S, [6] Energinet. Sammen om bæredygtig energi: Årsrapport Energinet.dk, [7] United States Census Bureau. Demographic Overview Custom Region Honduras. url: http: // separate&rt=0&y=2014&r=-1&c=ho (sidst set ). 91

92 Indeks A addition af vektorer, 19 afstand mellem punkter, 33 punkt til linje, 40 aftagende funktion, 67, 80 annuitet -lån, 63, 64 opsparings-, 61, 62 areal parallelogram, 30 trekant, 31 B basisår, 57 begyndelsesværdi, 67 C centrum, 42 cirkel, 41 ligning, 41 parameterfremstilling, 47 tangent, 45 cos 1, 12 cosinus, 7, 8 D delmængde, 89 determinant, 28, 29, 31 differensmængde, 88 disjunkt, 89 distributive lov, 22 E e, 76 eksponentiel funktion, 67, 76 ligning, 80 regression, 71 vækst, 67 enhedscirkel, 7, 13, 15 ensrettet, 21 Eulers tal, 76 F faseforskydning, 10 fordoblingskonstant, 70, 77 foreningsmængde, 88 fremskrivningsfaktor, 51, 52, 58, 62, 67 funktion eksponentiel, 67, 76 periodisk, 9 potens-, 79 trigonometrisk, 7, 8 fællesmængde, 88 G grundmængde, 89 H halveringskonstant, 70, 77 hele tal, 86 hovedstol, 63, 64 hældningskoefficient, 38 I indekstal, 57 indskudssætningen, 20 interval, 87 invers cosinus, 12 sinus, 12 tangens, 12 K kommutative lov, 22 komplementærmængde, 89 koordinatfunktion, 35 92

93 Indeks 93 L ligefrem proportionalitet, 82 linje ligning, 37 ortogonal, 39 parameterfremstilling, 34, 38 listeform, 85, 87 logaritme, 73 med grundtal a, 73 med grundtal e, 76 regneregler, 74 længde vektor, 22 løbetid, 64 lån annuitets-, 63 -annuitets, 64 M modsat rettet, 21 mængde, 85 mængdebygger, 86, 87 N naturlig logaritme, 76 naturlige tal, 86, 89 normalvektor, 33 nulvektor, 18 O omvendt proportionalitet, 83 opsparingsannuitet, 61, 62 ortogonal, 21, 24, 39 linje, 39 P parallel, 21, 41 linje, 41 parameter, 34, 36 parameterfremstilling, 34, 44 cirkel, 47 linje, 34 periode, 10 periodicitet, 9 periodisk funktion, 9 plangeometri, 33 potensfunktion, 79 graf, 80 potensregression, 83 potensvækst, 81, 82 prikprodukt, 22, 24 procent, 49 renteformlen, 53 sammenligning, 50 procentpoint, 57 projektion vektor, 25, 40 proportionalitet ligefrem, 82 omvendt, 83 R radian, 12 radianer, 12 radius, 42 rationale tal, 86, 89 reelle tal, 86 regression eksponentiel, 71 potens-, 83 renteformlen, 52, 53, 67 retningsvektor, 33, 35 røringspunkt, 45 S sin 1, 12, 13 sinus, 7, 8 sinussvingning, 10 skalarprodukt, 22, 24 skæringspunkt cirkel og linje, 43 mellem linjer, 35 stedvektor, 19 svingning, 10 T tan 1, 12 tangens, 7, 9 tangent cirkel, 45 til cirkel, 45 tom mængde, 86 tværvektor, 27 U uegentlig vektor, 18 V vektor, 17 addition, 19 determinant, 28

94 94 Indeks ensrettede, 21 i planen, 17 længde, 22 mellem punkter, 18 modsat rettede, 21 ortogonale, 21, 24 parallelle, 21 parallelogram, 29 uegentlig, 18 vinkel, 24 vinkel mellem, 21 vektorprojektion, 25, 40 vinkel mellem vektorer, 21, 24 voksende funktion, 67, 80 vækst eksponentiel, 67 potens-, 81, 82 vækstrate, 51, 52, 61, 62, 64, 68 gennemsnitlig, 55, 56 Y ydelse, 62, 64