Fibonacieprojekt Pyramider - Matematik 7. klasse - Lundergårdskolen 1. Elevernes observationer: Eleverne startede med at sidde alene og skrive hvad de vidste om pyramider. Eleverne var delt i en drenge- og i en pigegruppe. Eleverne fremlagde for hinanden deres viden om pyramider, og de samlede gruppernes viden i mindmaps. Pigernes viden om pyramider Drengenes viden om pyramider
Eleverne så herefter TV dokumentaren om Keopspyramiden 1, der handler om hvordan pyramiden blevet bygget mm. Alle elever blev bedt om at notere deres observationer undervejs, så de bagefter kunne fremlægge deres nye viden og deres undring. 2. Elevernes undring - (hvad der optog eleverne, hvad de undrede sig over). Kan man bygge pyramider med en anden grundflade end kvadratisk? Er der sammenhæng mellem pyramidens højde og kvadrates sidelængde? Er pyramider med kvadratisk grundflade mere stabil end pyramider med andre grundflader? Hvordan lykkes det arbejderne at få transporteret de tunge sten til toppen? Hvor mange sten er det nødvendige at sætte indeni pyramiden, for den er stabil? Hvor mange sten skal der bruges til en 10x10 pyramide, til en 8x8 pyramide osv. Keopspyramiden var lige så stor som 10 fodboldbaner, hvor mange sten skal der mon så bruges til grundplanen? Eleverne udvalgte deres undringsspørgsmål, og prøvede at opstille deres hypoteser. Det var dog stadig uvant for eleverne at opstille hypoteser, men efterhånden bliver de mere fortrolige med dette. Herefter beskrev de hvordan de ville efterprøve deres hypotese. Det er vigtigt de gør sig klart, hvordan de vil efterprøve deres hypotese og hvilke materialer de skal bruge, så læreren og eleverne har mulighed at få fat i disse materialer til næste gang. (se bilaget 1) 3. Elevernes hypoteser og undersøgelser Eleverne udarbejdede forskellige oplæg (se bilagene 2-6) 4. Eleverns fælles vidensdeling Eleverne fremlagde gruppevis deres undring, hypoteser, undersøgelser, konklusioner, og deres ny viden om pyramider. Flere fortalte, at hvis de havde haft mere tid, ville de gerne have opstillet nye hypoteser og gennemført nye undersøgelser. De var pludselig blevet mere interesseret i nye sammenhænge vedr. bygning af pyramider. 1 1Filmen - Keopspyramiden Kk a på Center for written and directed by Jonathan Stamp. engelsk tale med danske undertekster. 50 min. * TVoptagelse. DRKultur, 2010. Faustnr.: TV0000014952 Dokumentarprogram fra BBC fra 2002. Den over 4.000 år gamle Keopspyramide er det ældste og eneste af oldtidens syv underværker, der har overlevet. Samtidig er den en af verdens største gåder. Med en kombination af den nyeste historiske forskning og visuel teknologi forsøger programmet at løse det store mysterium dels, hvordan det mægtige bygningsværk kom til verden, dels hvorfor man overhoved gjorde sig denne ulejlighed. Alt tyder på, at målet med pyramidebyggeriet var ikke mindre end et forsøg på at opnå genopstandelse og et liv efter døden. Udødeligheden fik de gamle egyptere ganske rigtigt sikret sig.
Bilag 1 Gruppens navne: Hvad undrer jer? Hvad optager jer? (arbejdsspørgsmål): Hvilken hypotese har I? Hvad tror I, der er svaret på jeres spørgsmål og hvorfor? Hvordan vil I foretage jeres undersøgelse? Beskriv hvad I først vil gøre, og dernæst..
Bilag 2-6 Sammenhæng mellem pyramidens højde og pyramidens længde Arbejdsspørgsmål hvad undrer os: Er der en sammenhæng mellem højden og sidelængden på en pyramide? Hvilken hypotese har vi? Vi tror der er en sammenhæng, for hvis pyramiden er for lav eller for høj falder den sammen i midten. Hvordan vil vi foretage undersøgelsen? Vi vil bygge en pyramide-model af sukkerknalder i forskellige størrelser, 4x4, 6x6 og 8x8, og se om der er en sammenhæng imellem målene. Vores resultater: Pyramide 4x4 sukkerknalder: Højde = 4 cm Sidelængde = 6 cm Pyramide 6x6 sukkerknalder: Højde = 6 cm Sidelængde = 9 cm Pyramide 8x8 sukkerknalder: Højde = 8 cm Sidelængde = 12 cm Sidelængde 3 6 8 12 15 Pyramidens højde 1,5 4 6 8 10
Pyramidens højde Sammenhæng mellem pyramidens sider og højde 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 pyramidens sidelængde Det ser ud som om det er en ret linje og dermed en funktion. Man kan udlede en forskrift ud fra y=ax+b. Skæringspunktet med y-aksen vil altid være 0, for hvis man har 0 sten vil højden også være 0. Hældning: 1,5 Forskrift: y=1,5x Så der er en sammenhæng mellem pyramiden højde og pyramiden sidelængde.
Antal sten Pyramide - antal sten Hvad undrer jer? (arbejdsspørgsmål): Hvor mange sten bliver brugt til en pyramide - kan det skrives som en formel, så man altid kan regne sig frem til hvor mange sten man skal anskaffe. Hvilken hypotese har i? Vi tror der er over 1 million sten, men vi vil ses på en bund som er 10x10 cm, og til den tror vi skal bruges 1200 sten med størrelsen 1*1. Hvordan vil i fortage undersøgelsen? Vi bygger en pyramide ud af sukkerknalder og tæller hvor mange sukkerknalder der bliver brugt. Pyramiden vil være 10*10 og der efter 8*8. Sidelængde 10 8 6 4 2 1 Antal sten 271 141 60 25 5 1 På kurven kan man aflæse hvor mange sten der er blevet brugt, når man kender sidelængden i kvadrat. F.eks. kan jeg aflæse hvor mange sten der bruges til en 7*7 pyramide, nemlig 100 sten. 9*9 bruges der 200 sten. 5*5 bruges der 40 sten. Antal sten 300 250 200 150 100 50 0 0 2 4 6 8 10 12 Side længde i en kvadrat Vores konklusion: Vi fandt ud af at der blev brugt 271 til en 10*10 og ikke 1200. Vi tænkte vist på filmen og alle de sted, de slæbte. Men dens grundflade var jo også som 10 x 10 fodboldbaner. Vi har fået lave en kurv så vi kan regne det ud. Vi kan ikke finde en formel, men man kan jo gå ind på kurven og aflæse, hvor mange sten der skal bruges.
Keopspyramiden antal sten Hvad undrer jer? (arbejdsspørgsmål): Hvor mange sten der skal til at dække arealet af 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 og 0 fodboldbaner (Grundplaner) Hvilken hypotese har i?: 10 fodboldbaner = 43200 sten (5*5 m) 9 fodboldbaner = 38880 sten 8 fodboldbaner = 34560 sten 7 fodboldbaner = 30240 sten OSV. Hvordan vil i foretage undersøgelsen? Beskriv hvad i først vil gøre, og dernæst osv. 1: Vi vil undersøge størrelsen på en fodboldbane og stenene. 2: Finde ud af hvor mange sten der bruges til 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1 og 0 3: Formel Vores undersøgelser Massefyld= Masse Massefyld=1550kg pr. m³ Rumfang Masse=2500kg 1,17m Rumfang *massefyld= masse Grundfladen Rumfang= Masse 2500 Massefylde 1550 = 1,6 m³ 1,17m 1,17*1,17=1,4m² 1,17*1,17*1,17=1,6 m³
Fodboldbane 90m 120m*90m=10800m²*10 baner=108000m² 108000m²/1,4m²=77.142 sten 120m 10 Fodboldbaner=77.140 sten 9 Fodboldbaner= 69.426 sten 8 Fodboldbaner= 61.712 sten 7 Fodboldbaner= 53.998 sten 6 Fodboldbaner= 46.284 sten 5 Fodboldbaner= 38.570 sten 4 Fodboldbaner= 30.856 sten 3 Fodboldbaner= 23.142 sten 2 Fodboldbaner= 15.428 sten 1 Fodboldbane = 7.714 sten 0 Fodboldbaner= 00.000 sten
90000 80000 70000 60000 50000 40000 Serie1 30000 20000 10000 0 0 Fodboldbaner 1 Fodboldbane 2 Fodboldbaner 3 Fodboldbaner 4 Fodboldbaner 5 Fodboldbaner 6 Fodboldbaner 7 Fodboldbaner 8 Fodboldbaner 9 Fodboldbaner 10 Fodboldbaner Hvordan stemmer jeres hypotese med jeres resultater. Vi havde ikke taget højde for massefylden, da vi troede vi beregne hvor mange sten der skulle til en pyramide, der er lige så stor som 10 fodboldbaner. Vi opdagende at der var en sammenhæng mellem antal fodboldbaner og antal sten - en funktion. Vi kan godt se vores graf ikke er helt i orden, da den skulle starte i (0,0). Forskriften må være y= x*
Pyramider. Hvad undrer jer?(arbejdsspørgsmål): Hvordan de har fået stenene helt op til toppen hvor mange mænd skal der til for at bære en sten op. Hvilken hypotese har i? Vi tror der skal 8 mænd til at løfte en sten op. Hvordan vil i foretage undersøgelsen? 1. Vi skal søge oplysninger på hvor store stenene var og hvor meget de vejede. 2. Vi skal søge oplysninger på hvor meget en mand kan bære. 3. Regn ud hvor mange mænd der skal til at løfte en sten op. 4. Lav en model af en pyramide men rampe. Undersøgelser: En sten vejer i gennemsnit 2.5 ton. Vi tror stenene er lavet af granit. 2,75= 2 500 000/x 909090=x Vi skal finde en kasse med målene 142cm lang, 80cm bred og 80cm høj. Men det er for store. Verdensrekorden i træk er 212,5kg. Og en sten den vejer 2500kg 2500/212,5=11,765 mænd Så der skal bruge 12 af verdens stærkeste mænd for at slæbe en sten lige ud men op ad skal der bruger flere ca. 16-20 mænd om hver sten for at få den op på toppen. Konklusion: Vi havde gættet på 8 men har fundet ud af der skal bruges dobbelt så mange mindst.
grader Pyramider Arbejdes spørgsmål: Hvor mange grader kan en pyramide være i hældningen. Hypotese: Vi troede at vi skulle rykke 50 % ind for at lave den pyramide formet, men den kan godt være andre % er og stadig være pyramide formet. Hvordan laver vi det?: Vi laver et bundareal af sukkerknalder(5x5), og måler så mange procent vi har valgt, og lægger sukkerknalderne der. Og så laver vi et nyt lag osv. Indryk i procent 10 % indryk 25 % indryk 50 % indryk 75 % indryk 80 % indryk º 80 65 55 45 50 pyramider 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10% indryk 25% indryk 50% indryk 75% indryk 80% indryk procent º Den skærer Y-aksen i 90. Den går opad til sidst fordi at vi tror vi har målt forkert. Enlig skulle 80 % være på 35 grader. Men det kan godt være at det sker graderne stiger når man når over 75 %. Så vi må om igen