Når man bevæger sig op ad Passeig de Gracia fra Plaça Catalunya, så møder blikket som noget af det første den helt unikke fliselægning af hexagoner. Fliselægningen på Passeig de Gracia stammer idémæssigt fra Gaudí men er først blevet lagt i 1970 erne. De hexagonale fliser og deres historie er interessante ud fra både en matematisk synsvinkel og fra en mere æstetisk/symbolsk synsvinkel. Figuren nedenfor viser Gaudí s skitse og forarbejde til de hexagonale fliser. På tegningen kan man se, hvordan Gaudí har udviklet designet. Han har tilsyneladende både overvejet om fliserne skulle være udformet som en ligesidet trekant eller om flisernes 3 motiv-elementer skulle have hver sin separate flise. Originaltegningen gik tabt under borgerkrigen, men heldigvis er et foto bevaret. Kilde: David Ferrer, Gaudí, Clásicos del Diseño (Design Classics), Santa & Cole, 2002 Designet og Gaudí s originale skitse rejser en række spørgsmål vedr. æstetik og symbolik: Hvorfor har Gaudí valgt en hexagonal form til fliserne? Hvorfor har Gaudí valgt, at hver figur ikke skulle have sin egen flise? Hvorfor har Gaudí valgt netop de 3 biologiske objekter til flisen? Og har han lavet (nødvendige) kunstneriske justeringer af objekterne i forhold til real life? Betyder tallene 3 og 6 noget symbolsk? Betyder hexagonen noget symbolsk? Barcelona, 2010 Jesper Matthiasen Side 1 af 8
Gaudí s hexagonale flisedesign var oprindeligt udarbejdet til brug for nogle grønne, glaserede fliser, der skulle bruges som gulvbelægning i Casa Battló. Men grundet, at ejeren ikke kunne lide designet, så endte fliserne i stedet i Casa Milá, hvor de bla. kan ses i museumslejligheden. Da udsmykningen af fliserne er lavet i hævet tryk, så er de meget sårbare for slid, og måske var det derfor man mange år senere valgte det sænkede tryk til betonfliserne på Passeig de Gracia. Figur: De glaserede fliser i Casa Mila - og betonbelægningen på Passeig de Gracia. De oprindelige grønne, glaserede fliser var en designmæssig nyskabelse, da de blev lavet i begyndelsen af 1900-tallet, og fliserne er i dag udstillet på flere museer som bla. Museum of Modern Art (MOMA) i New York og Museu National d Art de Catalunya (MNAC) I Barcelona. De to typer hexagonale fliser giver anledning til et par designhistoriske spørgsmål: Er der forskelle (æstetiske og praktiske) på at vælge det positive tryk frem for det negative eller omvendt? Hvad var historien bag de to flisebelægninger? hvem har bestilt de to flisebelægninger og til hvad? Barcelona, 2010 Jesper Matthiasen Side 2 af 8
Gaudí blev optaget af den hexagonale form til brug for andre typer belægning. I lejlighederne i Casa Milá findes et smukt parketgulv, som også er designet af Gaudí. Parketgulvet er lavet i egetræ og man genkender det samme hexagonale mønster, som i flisebelægningen. Men parketgulvet er raffineret på den måde, at det også kan opleves som bestående af retvinklede 30-60-trekanter eller som bestående af ligesidede trekanter. Det pudsige er dog, at gulvet er lagt som rektangler, så hver enhed i gulvet består 6 retvinklede trekanter. Dette ses tydeligt, når man står der. Parketgulvet findes også uden for Barcelona, hvor det ligger i Casa Alegre de Sagrera en bygning, der i dag rummer Museu de Terrassa. Gulvet i Terrassa er også blevet lagt i begyndelsen af 1900- tallet, men er sandsynligvis kommet hertil via en af Gaudí s samarbejdspartnere. Hvordan virker gulvet visuelt? Er gulvet typisk for parketgulve på det daværende tidspunkt? og for gulve i dag? Hvilke(n) type matematisk figur fremtræder stærkest? Hvad er vinkelstørrelserne i trekanterne i gulvet? Barcelona, 2010 Jesper Matthiasen Side 3 af 8
Billederne her er af den indre kuppel i Palau Güell i det centrale Barcelona. Palau Güell var bolig for rigmanden Eusebi Güell, der i mange år frem til sin død var en stor mæcen for Gaudí, og bygningen er da også designet af Gaudí ned i de mindste detaljer. Kuplen er dannet som en omdrejningsparaboloide, og buerne for neden er derfor parabler. Kuplen har stort set hele husets højde. På indersiden er kuplen belagt med hexagoner, og der er lavet huller til naturligt lysindfald. Øverst i kuplen er der et oculus. Kan der være tale om en tæt belægning af hexagoner? Og er hexagonerne lige store? Hvilke arkitekturreferencer kan oculus have? Barcelona, 2010 Jesper Matthiasen Side 4 af 8
Hvordan er hexagonen matematisk interessant? Hvis man vil arbejde med hexagonen som et interessant objekt - både designmæssigt og matematisk så er der flere muligheder for matematikken: Symmetrier Man kan selvfølgelig betragte hexagonen som en figur med nogle symmetriegenskaber, og derved kan den klassificeres og sammenholdes med andre polygoner. Dette leder naturligt til, at man skal beskæftige sig med gruppeteori og fx tapetgrupper. Det bliver i gymnasiesammenhæng hurtigt til avancerede forløb. Man kan skære det lidt til, hvis man kun kigger på frisegrupper, men så går sammenhængen til hexagonen nok lidt tabt. Sandsynligvis har Gaudí ikke tænkt på symmetriegenskaber, da han designede sine hexagonale fliser, for symmetriegenskaberne mindskes jo af mønstret på fliserne. Polygoner En anden model er, at man kigger på nogle fælles egenskaber ved polygoner. Her kan Vivianis sætning og generaliseringen af den være oplagt: Kilde: http://www.gogeometry.com/problem/p225_viviani_theorem_regular_polygon.htm En nødvendig forudsætning er, at den vinkelrette distance fra et indre punkt og ud til siderne kan opfattes som den vinkelrette distance fra punktet og ud til sidernes forlængelse ud over figuren. Overvej hvorfor. Viviani s sætning var oprindelig kun for den ligesidede trekant, men den generaliserede sætning er faktisk ret simpel at bevise ved at benytte samme bevisstrategi som for den ligesidede trekant. Beviset for den ligesidede trekant er gengivet i et par nyere lærebøger og emnehæfter, og det giver gode muligheder for, at elever selv kan udføre generaliseringen. Som et lille kuriosum er der på næste side gengivet en opgaveformulering, som er hentet fra www.mathit.dk. Den er et forslag til en ny type eksamensopgave på stx-a, der gør brug af både eksperimenterende tilgang og (gerne) et itredskab. Barcelona, 2010 Jesper Matthiasen Side 5 af 8
Opgave 12 Den italienske matematiker Vincenzo Viviani (1622 1703) har fået følgende sætning opkaldt efter sig: Et punkt P placeres i det indre af en vilkårlig ligesidet trekant ABC. Da er summen af afstandene fra P til hver af trekantens sider lig med højden i den ligesidede trekant. a) Tegn en figur og indfør passende sæt symboler på figuren. Formuler Vivianis sætning ved brug af de anvendte symboler. b) Udtryk arealet af trekanten på to forskellige måder, og bevis herved Vivianis sætning. Udfyldninger af planen Den regulære hexagon er også et optimal figur i plangeometrisk forstand. Man kan nemlig matematisk vise, at de eneste regulære polygoner, der kan lave en fuldstændig udfyldning af planen (dvs. en tæt fliselægning uden huller ) er den ligesidede trekant, kvadratet og den ligesidede hexagon. Netop dét, at hexagonen er en optimal figur til regulær udfyldning af planen, kan have været interessant for Gaudí, da han netop gennem sine bygningsdesigns anvendte forskellige optimale former. Men vi ved ikke, om han kendte det matematiske resultat. På næste side er gengivet et bevis (på tysk) hentet fra udstillingen Mathematik und Konkrete Kunst der i 2007 var på Museum im Kulturspeicher i Würzburg. Beviset er let tilgængeligt for elever og kan derfor godt være en del af et projektarbejde. Der kan faktisk være en pointe i, at beviset er på fremmedsprog, da det viser, at den matematiske kontekst ofte kan forstås uden at man mestrer fremmedsproget. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/aktuelles/past/kunst_und_mathematik/ En yderligere udvidelse af et projekt om udfyldninger af planen kan handle om de såkaldte Penrose fliser. Fliserne er ikke regulære polygoner, men derimod 2 typer pilen og dragen som lagt rigtigt kan lave en fuldstændig udfyldning af planen. Og det interessante er så, at mønstret ikke gentager sig det bryder dermed den traditionelle symmetri, der var i flisegulve. Barcelona, 2010 Jesper Matthiasen Side 6 af 8
Barcelona, 2010 Jesper Matthiasen Side 7 af 8
Referencer: David Ferrer, Gaudí, Clásicos del Diseño (Design Classics), Santa & Cole, 2002. Bogen, der både på spansk og engelsk, omhandler alt design af Gaudí. Specielt er afsnittet Flooring (og noterne til det) s. 156-161 interessant. Daniel Giralt-Miracle (ed), Gaudí. Exploring form, Lunwerg, 2002. Bogen præsenterer Gaudí s arkitektur og design, og den kobler formgivningen til de matematiske elementer. Specielt er afsnittet Gaudinian Geometry s. 27-45 interessant. Barcelona, 2010 Jesper Matthiasen Side 8 af 8