Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 45

Elektromagnetisme for E4+S4/07 H. Ebert Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 45

Elektromagnetisme for E4+S4/07 Opgavesæt 45 070605HEb Skriftlig prøve i elektromagnetisme Prøve d. 8. juni 2007 kl. 0900 1200. Ved bedømmelsen vægtes de 4 opgaver således: Opgave 1: 25% Opgave 2: 20% Opgave 3: 30% Opgave 4: 25% Denne side skal afleveres sammen med opgavebesvarelsen og Smithkortet. Der er vedlagt et ekstra Smithkort til kladde. Opgaveteksten kan beholdes. Påfør venligst herunder tydelig navn, cpr.-nummer og eksamensnummer. Hvis disse data ikke er korrekte og tydelige, kan opgavesættet ikke blive bedømt. Navn: Cpr. nr.: Eksamensnummer:

Praktiske bemærkninger Ang. notation og ordvalg i opgaveteksten: I opgaveteksten betyder størrelse eller amplitude af et signal i komplex symbolsk notation modulus til det komplexe tal. Vinkel eller fase betyder argumentet til det komplexe tal. EM-bølge betyder en stationær harmonisk elektromagnetisk bølge, og feltstyrke betyder amplitude af E- eller H-feltet, som indikeret af enheden (V/m eller A/m). Udtrykket en komponentrealisering betyder: en spole, en kondensator eller en resistans eller en kombination (serie/parallel-forbindelse) af flere af disse elementer. At finde værdien af en komponentrealisering betyder: at beregne komponentværdierne i H, F, eller S. Ang. den ønskede angivelse af resultater: Ved visse spørgsmål, hvor resultatet er et komplext tal, er det angivet om svaret ønskes i rektangulært eller i polært format. Argumentet til komplexe tal bedes angivet i grader. Hvor intet er angivet, kan der anvendes valgfrit format. Alle facit bør angives med enhed. Hvis ikke andet er angivet, anvendes SI-enheder (V, A, m, s,, Wb etc.). Ved amplitudeangivelser bør anføres eff. (= effektivværdi) eller sp. (=spidsværdi). Resultater bør angives med højst 3 decimaler. Decimaleksponenter bør angives som et heltal deleligt med 3. Ingeniørmæssige prefixer (G,M,k,m,,n,p) kan anvendes. Decimalexponenter kan valgfrit angives i E-notation eller i sædvanlig matematisk notation (Ex.: 3 6 10 ;3 =3 6E ; 3) Der bør anvendes, (komma) som decimalkomma og. (punktum) som tusindadskiller. Det er ikke nødvendigt at anvende tusindadskiller. Ang. bedømmelsen af opgaverne: Simple regnefejl trækker ikke ned, hvorimod metodefejl samt til en vis grad forkert eller manglende enhedsangivelse bedømmes som fejl. Fejl, der indvirker på de efterfølgende spørgsmål, tæller kunén gang. Skriv tydeligt! Ulæselig og sjusket skrift irriterer dem, der skal bedømme sættet. Helt ulæselige ting kan man ikke blive krediteret for. En god og overskuelig opstilling af løsningen giver pluspoint!

Opgave 1 En antenne har ved frekvensen 1542 MHz en impedans på (25 + j80). Antennen ønskes tilpasset til 50 vha. en enkeltstubtilpasning. Tilpasningen udføres med tabsfri kabler med Z 0 =50 og v = 200 m/s. Anvend det medfølgende Smithkort ved beregning af stubtilpasningen. f= 1542 MHz Antenne Z 0 = 50 Ω Stubtilpasning (25 + j80) Ω a. Beregn bølgelængden på de kabler, der anvendes ved tilpasningen. Angiv svaret i centimeter. b. Udfør stubtilpasningen i Smithkortet. Der ønskes den principale løsning med lang linie og lukket stub. Den grafiske konstruktion i kortet betragtes som løsning til dette spørgsmål. Optegn og markér de enkelte dele af konstruktionen tydeligt! Forkert valg af linie- og stubtype (kort/lang, åben/lukket) tæller som fejl c. Bestem længden af hhv. linie og stub angivet angivet i centimeter. d. Bestem vha. Smithkortet standbølgeforholdet på linien. e. Stubben ønskes nu erstattet af en komponent. Bestem værdien af denne komponent.

Opgave 2 I transmissionsledningsopstillingen vist på figuren leverer generatoren en spændingstrin på 45 V. Kablet er tabsfrit og har L = 410 nh/m samt C = 85 pf/m. Kablets længde er 500 m. Generatormodstanden er 340 og belastningsmodstanden 20. R G = 340 Ω V G + L= 410 nh/m C= 85 pf/m 45 V Længde 500 m R L = 20 Ω a. Beregn kablets karakteristiske impedans samt udbredelseshastigheden på kablet b. Bestem refleksionskoefficienterne ved belastning og ved generator c. Beregn amplituden af det første indfaldende strømsignal, I + d. Konstruer et refleksionsdiagram for strømmen på kablet. Diagrammet skal være normeret mht. I +, og det skal indeholde 3 indfaldende og 3 reflekterede signaler e. Tegn den resulterende kurveform for strømmen gennem RL. Medregn kun de 6 signaler, der findes i refleksionsdiagrammet f. Hvad bliver slutværdien (dvs. værdien efter et meget langt tidsrum) for strømmen i kablet hhv. ved generatoren og ved belastningen?

Opgave 3 En radarantenne, der arbejder på 9,82 GHz, befinder sig inde i en kuppel af glasfiber. Glasfiberen har en relativ permittivitet på 5,0 og en konduktivitet på 0,48 S/m. Tykkelsen af kuppelvæggen er 35 mm. Signalet udsendes fra antennen og passerer gennem glasfiberkuppelen og videre ud i det fri rum. a. Bestem tabsvinkelen for glasfiber, og opstil en model baseret på en transmissionsledningsanalogi. b. Bestem bølgelængden for radarsignalet i luften og i glasfiberen. Svaret angives i centimeter. c. Beregn den intrinsiske impedans for glasfiberen. d. Beregn den impedans radarsignalet ser, når det rammer kuppelen under antagelse af, at det er en plan bølge. e. Hvis det fra antennen indfaldende signal har en feltstyrke på 140 V/m, beregn da feltstyrken på kuppelens yderside. f. Beregn effekttætheden på kuppelens inderside.

Opgave 4 Et tabsfrit 50 koaxialkabel med udbredelseshastigheden 195 m/s er afsluttet med en modstand på 162 i parallel med en kondensator på 7,0 pf. Signalet på kablet er sinusformet med en frekvens på 475 MHz. Z 0 = 50 Ω v= 195 m/µs f= 475 MHz 162 Ω 7 pf a. Beregn belastningsimpedansens værdi angivet i polært format. b. Beregn refleksionskoefficienten samt standbølgeforholdet på kablet. c. Beregn afstanden fra belastningen til nærmeste spændingsminimum på kablet. Angiv svaret i centimeter. d. Beregn afstanden fra belastningen til nærmeste strømminimum på kablet. Angiv svaret i centimeter. e. Bestem hhv. den maximale og den minimale impedans på kablet. f. Skitsér standbølgekurven for spændingen på kablet normeret mht. V + (dvs. sæt V + =1 0). Grafen skal vise området fra belastningen og 30 cm tilbage mod generatoren.

2 Løsning til opgave 1 (opgavesæt 45) Smithkort Lang linie, L 0,05 140 0,06 0,4 0,07 130 0,5 0,08 120 0,6 0,09 0,7 0,1 110 0,8 0,11 100 0,9 0,12 1,0 90 0,2 0,13 0,4 0,6 1,2 0,14 80 1,4 0,15 70 1,6 1 zn 0,16 1,8 60 0,17 2,0 5 50 0,18 0,19 40 3,0 0,2 0,1 0,0 ±180 0,1 0,49 0,48 170-170 160-160 0,04 > BØLGELÆNGDER MOD GENERATOR > 0,47 0,1 0,46 150 0,2 0,2-150 0,45 0,3 0,3-140 0,44 0,4 0,2 0,43-130 0,5 0,42 0,3 0,4-120 0,6 0,41 2 0,5 0,7 yn -110 0,4 0,6 0,7 0,8-100 0,8 0,9 0,9 1,0 1,0-90 0,2 0,4 0,2 0,2 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0,4 0,4 0,6 0,6 0,6 0,8 0,8 0,8 1,2-80 0,8 1,0 1,0 1,0 1,0 1,4 0,35-70 1,6 0,34 3,0 4,0 5,0 1,8 3-60 2,0 0,33 skæring 4-50 0,32 7 3,0-40 0,31 10 SWR 4,0 Lukket stub, S 30 4,0 20 5,0 5,0-30 0,3 6 0,21 20 50 0,29 10 10 20 50 50 20-20 0,22 ARGUMENT AF REFLEKSIONSKOEFFICIENT I GRADER 0,28 0,23 0,24 0,27 0,25 0,26 0,39 0,38 0,37 0,36 Lang linie fra 0,084λ til 0,305λ Lukket stub fra 0,25λ til 0,186λ SWR aflæst til 7,486 abs(kl)= 0,764 b værdi= 2,37

Lsninger til opgavest 45 Opgave 1 Stubtilpasning Z0 = 50.0000 Udbr. hast. (m/us) = 200.0000 Blgel. (cm) = 12.9702 Znorm = 0.500 1.600 Amp.: 1.676 Fase: 72.6 KL = 0.376 0.665 Amp.: 0.764 Fase: 60.5 B-vrdi = 2.3707 K, skring = 0.584-0.493 Amp.: 0.764 Fase: -40.2 Linie i grader,k = 280.6590 Linie i blgel. = 0.3898 Linie i meter = 0.0506 Kstub = 0.698 0.716 Amp.: 1.000 Fase: 45.7 Stub i grader,k = 314.2576 Stub i blgel. = 0.4365 Stub i meter = 0.0566 SWR = 7.4864 Kondensator (pf) = 4.8937 Opgave 2 Refleksionskort Udbr. hast. (m/us) = 169.3942 Kar. imp. = 69.4516 KL = -0.5528 KG = 0.6608 Tid for 500 m (us) = 2.9517 I+ (ma) = 109.9031 I1 = 1.0000 I2 = 0.5528 I3 = -0.3653 I4 = -0.2019 I5 = 0.1334 I6 = 0.0738 I1+I2 (ma) = 170.6609 I1+I2+I3+I4 (ma) = 108.3206 I1+I2+I3+I4+I5+I6 (ma)= 131.0928 Slutvrdi (ma) = 125.0000 Opgave 3 Regning over grnser Tabsvinkel = 9.9800 Blgelngde (cm) = 1.3610 Blg.l. i luft (cm) = 3.0550 GammaG = 40.308 461.654 Amp.: 463.411 Fase: 85.0 EtaG = 166.681 14.553 Amp.: 167.315 Fase: 5.0 KL = 0.386-0.037 Amp.: 0.388 Fase: -5.5 K(a+) = 0.013-0.019 Amp.: 0.023 Fase: -57.1 K(a-) = -0.375 0.021 Amp.: 0.375 Fase: 176.8 Etain = 171.365 8.296 Amp.: 171.565 Fase: 2.8 E+ (V/m) = 140.000 0.000 Amp.: 140.000 Fase: 0.0 Etot1 (V/m) = 87.546 2.912 Amp.: 87.594 Fase: 1.9 E+(a+) (V/m) = 86.374 4.527 Amp.: 86.493 Fase: 3.0 E(etaL) (V/m) = -26.657 12.043 Amp.: 29.252 Fase: 155.7 P, inderside (W/m2) = 22.3348

Opgave 4 Standblgekurve ZL = 13.007-44.023 Amp.: 45.904 Fase: -73.5 KL = -0.066-0.745 Amp.: 0.748 Fase: -95.1 SWR = 6.9399 phi = -95.0987 Blgel. (cm) = 41.0526 Afst. til sp. min. (cm)= 4.8409 Afst. til strmmin. (cm)= 15.1040 Z max. = 346.9931 Z min. = 7.2048 Spnd. over ZL = 0.934-0.745 Amp.: 1.194 Fase: -38.6

/* +----------------------------------------------------------------+ EVAL0745.CPP Opgavest 45 lsninger Hver opgave er en procedure med lokale variabler 070605HEb +----------------------------------------------------------------+ */ #include <conio.h> #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <dos.h> #include <math.h> #include <complex.h> #define w (2*pi*f) /* Vinkelfrekvensen */ #define c 3e8 /* Lyshastigheden */ #define my0 (4*pi*1e-7) #define eps0 (1/(36*pi)*1e-9) #define pi M_PI #define j complex(0,1) #define gtr(x) (x*pi/180) /* Grader til radianer */ #define rtg(x) (x*180/pi) /* Radianer til grader */ /* Udskriv et komplext tal i rektangulrt og polrt format */ void Udskrivk(char *a, complex x){ printf("%-20s= %8.3Lf %8.3Lf Amp.:%8.3Lf Fase: %6.1Lf\n",a,\ (long double)real(x), (long double)imag(x),(long double)abs(x),\ (long double)arg(x)*180/pi) } /* Udskriv et reelt tal */ void Udskrivr(char *a, long double x){ printf("%-20s= %6.4Lf\n",a,(long double)x ) } void Opgave1(void){ /* Stubtilpasning */ long double f,z0,v,b,liniel, LinieG,LinieM,StubG,StubL,StubM, lambda,swr,zmax,zmin,cstub complex ZL,KL,zn,Ksk1,Kstub printf("\nopgave 1\n") printf("stubtilpasning\n") f= 1542E6 /* Frekvens 1542 MHz */ ZL= 25 + j*80 Z0= 50.0 v= 200E6 lambda=v/f Udskrivr("Z0", Z0) Udskrivr("Udbr. hast. (m/us)", v*1e-6) Udskrivr("Blgel. (cm)", lambda*100) /* Tilretning */ // Z0=50 v=180e6 lambda= 0.1 zn=zl/z0 Udskrivk("Znorm", zn) KL=(ZL-Z0)/(ZL+Z0)

Udskrivk("KL", KL) b= (2*abs(KL))/(sqrt(1-norm(KL))) Udskrivr("B-vrdi", b) Ksk1=(1-j*b-1)/(1-j*b+1) Udskrivk("K, skring", Ksk1) LinieG= rtg(arg(kl))+180.0-rtg(arg(ksk1)) LinieL= LinieG/720.0 LinieM= LinieL*lambda Udskrivr("Linie i grader,k", LinieG) Udskrivr("Linie i blgel.", LinieL) Udskrivr("Linie i meter", LinieM) Kstub=(j*b-1)/(j*b+1) Udskrivk("Kstub", Kstub) StubG=360.0-rtg(arg(Kstub)) StubL=StubG/720.0 StubM=StubL*lambda Udskrivr("Stub i grader,k", StubG) Udskrivr("Stub i blgel.", StubL) Udskrivr("Stub i meter", StubM) SWR= (1+ abs(kl))/(1-abs(kl)) Udskrivr("SWR", SWR) Cstub=b/(w*Z0) Udskrivr("Kondensator (pf)", Cstub*1E12) } void Opgave2(void){ /* Refleksionskort med strm */ long double RG,RL,VG,l,C,L,v,Z0,KL,KG,dt1,Iplus,Islut, I1,I2,I3,I4,I5,I6 printf("\nopgave 2\n") printf("refleksionskort\n") RG= 340.0 RL= 20.0 VG=45.0 l= 500 C= 85E-12 L= 410E-9 Z0= sqrt(l/c) v=1.0/sqrt(l*c) KL=(RL-Z0)/(RL+Z0) KG=(RG-Z0)/(RG+Z0) dt1=l/v Iplus= VG/(RG+Z0)*1E3 Udskrivr("Udbr. hast. (m/us)", v*1e-6) Udskrivr("Kar. imp. ", Z0) Udskrivr("KL", KL) Udskrivr("KG", KG) Udskrivr("Tid for 500 m (us)", dt1*1e6) Udskrivr("I+ (ma)", Iplus) I1=1.0 I2=I1*(-KL) I3=I2*(-KG) I4=I3*(-KL) I5=I4*(-KG) I6=I5*(-KL) Udskrivr("I1 ", I1)

Udskrivr("I2 ", I2) Udskrivr("I3 ", I3) Udskrivr("I4 ", I4) Udskrivr("I5 ", I5) Udskrivr("I6 ", I6) Udskrivr("I1+I2 (ma)", (I1+I2)*Iplus) Udskrivr("I1+I2+I3+I4 (ma)", (I1+I2+I3+I4)*Iplus) Udskrivr("I1+I2+I3+I4+I5+I6 (ma)", (I1+I2+I3+I4+I5+I6)*Iplus) Islut= VG/(RG+RL)*1E3 Udskrivr("Slutvrdi (ma)", Islut) } void Opgave3(void){ /* ROG radarkuppel */ long double epsilon,my, f, l, lambda, sigma,theta,eta1,etal,eplus,pinderside complex EtaG,GammaG,KL,Kaplus,Etain,Kaminus,Etot1,Eplusaplus, EtotetaL printf("\nopgave 3\n") printf("regning over grnser\n") f= 9.82E9 /* Frekvens 9,82 GHz */ epsilon= eps0*5.0 my=my0 sigma= 0.48 theta=rtg(atan(sigma/(w*epsilon))) /* Tabsvinklen i grader */ EtaL= 120*pi /* Ydersiden */ Eta1= 120*pi /* Indersiden */ EtaG= sqrt(my/(epsilon-j*sigma/w)) /* Kuppel */ GammaG=sqrt(-w*w*my*epsilon+j*w*my*sigma) l=0.035 /* Kuppelen er 35 mm tyk */ Udskrivr("Tabsvinkel", theta) lambda= 2*pi/imag(GammaG) Udskrivr("Blgelngde (cm)", lambda*100) Udskrivr("Blg.l. i luft (cm)", 3E8/f*100) /* Beregning af refleksionskoefficienter og impedanser */ KL=(EtaL-EtaG)/(EtaL+EtaG) Kaplus=KL*exp(-2*GammaG*l) Etain=EtaG*(1+Kaplus)/(1-Kaplus) Kaminus=(Etain-Eta1)/(Etain+Eta1) Udskrivk("GammaG", GammaG) Udskrivk("EtaG", EtaG) Udskrivk("KL", KL) Udskrivk("K(a+)",Kaplus) Udskrivk("K(a-)", Kaminus) Udskrivk("Etain", Etain) /* Beregning af spndinger */ Eplus=140 /* Indfaldende felt 140 V/m */ Etot1=Eplus*(1+Kaminus) Eplusaplus=Etot1/(1+Kaplus) EtotetaL=Eplusaplus*exp(-GammaG*l)*(1+KL) Udskrivk("E+ (V/m)", Eplus)

Udskrivk("Etot1 (V/m)", Etot1) Udskrivk("E+(a+) (V/m)", Eplusaplus) Udskrivk("E(etaL) (V/m)", EtotetaL) Pinderside= 0.5*real(Etain)*norm(Etot1/Etain) Udskrivr("P, inderside (W/m2)", Pinderside) } void Opgave4(void){ /* Standblgekurve */ long double C,f,R,Z0,SWR,phi,v,lambda,Tilmax,Tilmin, Zmax,Zmin complex ZL,KL,Vzl printf("\nopgave 4\n") printf("standblgekurve\n") f=475e6 R=162.0 Z0=50.0 v=195e6 C= 7E-12 ZL=1.0/(1.0/R + j*w*c) Udskrivk("ZL",ZL) KL= (ZL-Z0)/(ZL+Z0) SWR=(1.0+abs(KL))/(1.0-abs(KL)) Udskrivk("KL", KL) Udskrivr("SWR", SWR) phi=rtg(arg(kl)) Udskrivr("phi",phi) lambda=v/f Udskrivr("Blgel. (cm)", lambda*100.0) Tilmin= (180.0 + phi)/720.0*lambda Udskrivr("Afst. til sp. min. (cm)", Tilmin*100.0) Tilmax= (360.0 + phi)/720.0*lambda Udskrivr("Afst. til strmmin. (cm)", Tilmax*100.0) Zmax=Z0*SWR Zmin=Z0/SWR Udskrivr("Z max.", Zmax) Udskrivr("Z min.", Zmin) Vzl= 1.0+KL Udskrivk("Spnd. over ZL", Vzl) } void main(void){ printf("lsninger til opgavest 45\n") Opgave1() Opgave2() Opgave3() Opgave4() } /* -----(FINI EVAL0745.CPP)----- */