Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer x-aksen 2 steder (som den altid vil gøre med a>0 og et punkt under x-aksen), er diskriminanten d>0 eller: fortegnet er +. 1 2. Formel for maksimalpuls Variable er personens alder (x ), som måles i år, og dennes maksimalpuls ifølge modellen (f(x)), som måles i hjerteslag pr. minut. 2 f ( x )=220 2 x 3 3. Ensvinklede trekanter 3 Da trekanterne er ensvinklede, er alle sider i den store trekant en forstørrelse af den tilsvarende side i den lille trekant med den samme forstørrelsesfaktor k. Da siderne b og b1 svarer til hinanden beregnes k som: k= b1 og med de oplyste tal indsat: b 1 Principielt kunne man nøjes med støttepunktet (3,-1), men så bliver grafen måske for skitseagtig. Jeg har valgt en nem funktion at skitsere, idet den er symmetrisk om y-aksen. Støttepunkter ses i regnearket, men kan nemt findes ved hovedregning (2 ad gangen). 2 I en eksamensbesvarelse ville jeg ikke tilføje måleenheder, der ikke er henvist til i opgaven. 3 Det er kun antydet gennem betegnelser, hvilke vinkler der er ens i trekanterne, men det antages, at ens bogstaver er signal om ens vinkelstørrelser.
k= 12 =3 4 Idet hhv. siderne c og c1 og a og a1 svarer til hinanden fås: c 1=k c hvor indsættes de kendte størrelser: a=a1 / k hvor indsættes de kendte størrelser: A1 B1 =15 - A1 B1 =3 5=15 og B1 C 1 =18/ 3=6 B1 C 1 =6 4. Løs ligningen 3 x 2 5 x+2=0 Diskriminanten d beregnes med formlen: d =b2 4 a c, hvor a=3, b= 5, c=2 De kendte tal indsættes: d =25 4 3 2=25 24=1 Da d>0 er der to forskellige løsninger, som findes med formlen: x= b± (d ) 2 a De kendte tal indsættes: { 6 ( 5)± (1) 5±1 x= = = 6 2 3 6 4 6 L={2/3 ; 1} 5. Er F(x) en stamfunktion? F ( x)=2 x 5+4 x 3 2 x 2+9 f ( x)=10 x 4+8 x 2 4 x F(x) er en stamfunktion til f(x), hvis F'(x) =f(x). F differentieres: Side 2
Side 3 F ' ( x)=(2 x 5+4 x 3 2 x 2+9)' =2 5 x 5 1+4 3 x 3 1 2 2 x 2 1+0 F ' (x)=10 x 4+12 x 2 4 x f ( x) F(x) er IKKE en stamfunktion til f(x) 6. Find grafen hvor f(0)=8 og som har halveringskonstanten 3. Som den blå pil viser har både A og C skæringspunktet (0,8) med y-aksen og dermed er første betingelse opfyldt. Men da funktionen med grafen A er voksende, er den udelukket. Til gengæld viser de røde pile, at grafen C går gennem punktet (3,4), hvilket bekræfter, at den tilsvarende funktion har halveringskonstanten 3: y-værdien 8 er halveret til 4 samtidig med at x-værdien er gået fra 0 til 3. C er grafen for f. 7. Aztekerriget a Befolkningens størrelse i 1550 Da 1550 er 19 år efter 1531, kan befolkningens størrelse beregnes som f(19) = 1,44 (se figur); dvs.: Befolkningen var (ifølge modellen) på 1,44 mio. mennesker b Betydningen af parametrene 5,5 er befolkningens størrelse i (startåret) 1531 målt i mio. mennesker. 0,932 er vækstfaktoren a = 1+r; r=0,932-1 = -6,8%. Dvs. at befolkningen hvert år bliver 6,8 % mindre.
Side 4 c Hvornår blev indbyggertallet 2,75 mio.? På figuren er der fundet skæringspunktet for f og linjen y = 2,75: A = (9,84 ; 2,75). Det viser, at befolkningstallet 2,75 mio. blev nået 9,84 år efter 1531. Befolkningstallet 2,75 mio. blev nået ca. 1541 ifølge modellen. 8. Trekantsberegninger Givet trekanten med de anførte mål. For at finde øvrige mål, konstrueres trekanten i GeoGebra således: Siden AC afsættes med længden 65. Der tegnes to cirkler: én med centrum i A og radius 44, én med centrum i B og radius 62. Cirklerne skærer hinanden i B. Fra B tegnes en linje (e) vinkelret på b. Skæringspunktet D er fodpunktet for højden fra B. Alle de ønskede mål fremgår nu af figuren: a: Vinkel A = 66,1º b: Trekantens areal = 1310 c: Højden = 40,2
Side 5 9. Puslespil I en tabel angives sammenhængende værdier mellem antal brikker i et puslespil og den tid, det tager at lægge det. Tabellen genfindes i regnearket herunder. 4 a Find parametre Det er oplyst, at sammenhængen kan beskrives med en potensfunktion. Punkterne med koordinater fra tabellen indtegnes og funktionen findes med regression: se ovenover. a = 1,43 ogb = 1,56 b På 3000 sekunder kan man lægge et puslespil på 194 brikker; 4 Nej, der er ikke tastet forkert ind, men der er benyttet en indstilling, der viser 3 betydende cifre (og altså ikke cifret 4 i 4024.
Side 6 det ses i skæringspunktet H mellem grafen og linje y =3000. c Tid til et dobbelt så stort puslespil Forholdet mellem tiderne er uafhængigt af om puslespillet er stort eller lille. Her beregnes det med udgangspunkt i x-værdien i H og den halve x-værdi (dvs. for ca. 194 og ca. 97 brikker). Forholdet mellem y-værdierne er så beregnet til 2,70. Hvis puslespillet bliver dobbelt så stort, skal der bruges 2,70 gange så megen tid på at lægge det. 10. f(x) = 2x ex + 3 Funktionsforskriften for f indtastes; så findes f' ved at indtaste f'(x). f'(x) = 2 ex P indtegnes som P=(0,2); det bemærkes, at det er et punkt på grafen, da f(0) = 0-1+3 = 2
Side 7 Tangenten findes med tangentværktøjet og ligningen kan aflæses som: Tangentligning: y = x + 2 Monotoniforhold Skæringspunkterne mellem x-aksen og grafen for f' findes: Der er ét: A. At der ikke kan være flere kan ses ved, at f' er en aftagende funktion (da ex er voksende). x f'(x) f(x) x<0,693 + f vokser x=0,693 0 lok. maksimum I ]- ; 0,693] vokser f I [0,693 ; + [ aftager f Det lokale maksimum er også globalt maksimum; Maksimum = 2,39 11. Strandarealer 100 Arealet af stranden beregnes som g ( x ) dx, hvor 0 g ( x)=0.00013x(3 ) 0.018x(2) +0.46x+60 Hertil benyttes GeoGebras værktøj int: Strandens areal = 5500 m2 100 Det forsvundne areal beregnes tilsvarende som (g ( x) h( x)) dx 0 Hertil benyttes igen GeoGebras værktøj int: Det forsvundne areal = 1350 m2 0,693<x f aftager
Side 8