ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v o Z o 0 Z in Z o Den ideelle Op. Amp. har uendelige båndbredde. Den ideelle Op. Amp. har ingen offset-fejl, dvs.: e ε 0 v o o Såfremt den ideelle Op. Amp. er modkoblet (negativ feedback), gælder følgende: e ε 0
ELA Trekant stjerne transformation for 3 modstande. Denne omregning er den mest almindelige, idet den reducerer antallet af netværksmasker med én. Figur 1 viser et trekant-netværk med 3 modstande, og figur 2 viser det tilsvarende ækvivalente stjernenetværk ligeledes med 3 modstande. Princippet i transformationen er, at impedansen set fra de tre terminaler er ens for de to kredsløb. 2 3 2 3 0 1 1 Figur 1 Trekant-netværk Figur 2 Stjerne-netværk Stjerne-netværket på figur 2 skal kunne erstatte trekant-netværket på figur 1. Dette medfører, at modstanden mellem terminalerne 1 og 2, mellem terminalerne 2 og 3 samt mellem terminalerne 3 og 1 skal være identiske på de to figurer. Dette giver følgende ligninger: + ( + ) ( + ) + + (1) + ( + ) ( + ) + + (2) + ( + ) ( + ) + + (3) Løses disse tre ligninger med hensyn til, og fås: 1
ELA + + (4) (5) + + + + (6) Bemærk det gennemgående mønster i beregning af stjerne-netværkets modstande: En given stjernegrens modstand beregnes ved at multiplicere de to modstande i trekant-netværket, som går til samme knudepunkt og dividere dette produkt med summen af alle tre modstande i trekantnetværket. Stjerne trekant transformation for 3 modstande. Denne transformation er måske knap så ofte anvendt som ækvivalering den modsatte vej (trekant stjerne), idet masketallet herved bliver forøget med én, og dette forekommer umiddelbart uhensigtsmæssigt. Alligevel kan stjerne trekant transformation være nødvendig som et mellemstadie ved reduktion af større modstandsnetværk. Ligningerne (1), (2) og (3) benyttes igen som udgangspunkt, og løses disse mht., og fås: + + (7) + + + + (8) (9) Bemærk også her det gennemgående mønster i beregning af trekant-netværkets modstande: Modstanden mellem to knudepunkter i trekant-netværket findes ved at danne summen af de enkelte produkter mellem stjerne-netværkets modstande taget sammen 2 og 2 og herefter dividere denne sum med den modstand i stjerne-netværket, som er forbundet til det tredje knudepunkt. 2
Morten Olesen ELA 02 Noter Kap. 6 Sinusformede signaler (side 3 5) Kap. 6.1 Egenskaber for sinusoider (side 4 2) Vi bruger ordet sinusoide, når vi omtaler funktioner af tiden med formen: ƒ(t) A cos (ωt + φ) Amplituden (side 4) A er amplituden, og er lig med den maksimale værdi ƒ(t) kan have. Den maksimale værdi finder sted hvor (ωt + φ) er lig 1. To sinusoider med forskellige værdier af A, men de samme værdier af (ωt + φ) ses på fig. 6.1 s. 4. Vinkelfrekvens (side 5) Parameteren ω er vinkelfrekvensen for ƒ(t). Den fortæller os hvor tit maksimum af ƒ(t) optræder. For at vise dette kan vi se på situationen når (ωt 0 + φ) 0 fordi cos(0) 1 og f(t) vil være lig A, som er sinusoidens maksimum. Kort tid efter vil sinusoiden nærme sig dens minimum, som er A, og derefter nærme sig maksimum igen. Dette vil ske når (ωt 1 + φ) 2π Ved at trække (ωt 0 + φ) 0 fra (ωt 1 + φ) 2π fås, (ωt 1 + φ) - (ωt 0 + φ) 2π 0 ωt 1 - ωt 0 2π ω(t 1 - t 0 ) 2π Ved nu at definere vi T t 1 - t 0. Så er T tiden der går mellem maksimum for sinusoiden optræder. T er altså perioden, og vi har, T 2π/ω Hermed ses at jo større ω er, jo mindre bliver T, altså perioden, og maksimum optræder dermed oftere end et tilfalde hvor ω 1 < ω. -1-
Morten Olesen ELA 02 Noter Almindelig frekvens (side 5 6) Den almindelige frekvens, ƒ, er lig med antallet af gentagelser af sinusoiden pr. sekund. Altså antallet af gange hvor maksimum har optrådt på et sekund. Det er givet ud fra formlen: ƒ 1/T Det er dog ikke det samme som vinkelfrekvensen, selvom de hænger sammen alligevel. Det ses ud fra formlen: ƒ 1/2π/ω ƒ ω /2π ω 2πƒ Desværre bruges ordet frekvens om både vinkel- og almindelig frekvens. Derfor er det vigtigt at man undersøger hvilken frekvens der er tale om, når det ikke er gjort klart. Vinkelfrekvensen er givet i rad/s, mens den almindelige frekvens er givet i hertz (Hz). Enheder som kilohertz (khz) og megahertz (MHz) bruges også. Fasevinkel (side 6) Fasevinklen specificerer på hvilke tidspunkter sinusoiden når sit maksimum. F. eks ved vi at sinusoiden har sit maksimum når Dette medfører at der er et maksimum ved tiden ωt + φ 0 t -φ/ω og på grund af sinusoidens periodiske egenskab, ved vi at t -φ/ω ± 2nπ/ω, hvor n er et heltal Fasevinklen, φ, kan man tænke på, som den der bestemmer positionen af sinusoiden, med hensyn til tids-aksen (x-aksen). Øges φ rykkes sinusoiden mod venstre. (se evt. fig. 6.3 s. 7) Siden det er en vinkel, kan φ angives i radianer eller i grader. Bemærk dog at ω normalt vil være angivet i radianer/sekund. Hvis en sum som ωt + φ finder sted, skal man være opmærksom på at ωt og φ har samme enheder. -2-
Morten Olesen ELA 02 Noter Beskrivelse af sinusoiden (side 6 9) I bogen er sinusoiden udtrykt ved en cosinusfunktion, men det er blot et tilfældigt valg. ƒ(t) kunne lige så godt være udtrykt i sinusfunktioner. Der er en trigonometrisk sætning som siger at, cos α sin (α + π/2 radianer), hvor α er en vilkårlig vinkel. Bruges denne sætning på ƒ(t), kan vi finde et alternativt udtryk for den samme sinusoide udtrykt ved en sinusfunktion. ƒ(t) A cos (ωt + φ) ƒ(t) A sin (ωt + φ + π/2) Udover formen ƒ(t) A cos (ωt + φ), er der en anden alternativ måde hvorpå sinusoiden kan beskrives. Vi kan skrive ƒ(t) B cos ωt + C sin ωt. Selvfølgelig er der sammenhæng mellem størrelserne A og φ, samtidig med at der er sammenhæng mellem størrelserne B og C, når de bruges til at beskrive sinusoiden. Hvis man kender A og φ er det let at finde B og C, ved at bruge nogle trigonometriske sætninger. (EX. 6.3, SPØG JAN) Man kan også beskrive sinusoiden på formen ƒ(t) A cos (ωt + φ), hvis den er givet på formen ƒ(t) B cos ωt + C sin ωt. (EX. 6.4, SPØG JAN) Beskrivelse af sinusoiden udtrykt i amplitude og fase (side 9 2) Der er en normal brugt tommelfinger regel for beskrivelsen af sinusoider. Denne regel går ud på at forenkle udtrykket for sinusoiden, og specificere amplituden A og fasen φ, ved hjælp af notationen A φ. F. eks kan man i stedet for ƒ(t) 27V cos (ωt + 60 ), v. ha notationen skrive ƒ(t) 27V 60. Frekvensen af sinusoiden er ikke beskrevet i denne notation, og skal specificeres separat. Dette er dog ikke den store ufuldkommenhed, eftersom alle signaler i sinusiode steady-state situationer normalt vil have den samme frekvens i hele kredsløbet. Amplitude- og fasebeskrivelse er basis for det vigtige phasor notation. (kap. 6.3) -3-