Appendiks 1 Dette appendiks indeholder en oversigt over det højeste antal samtidigt replikerede handler og viser således det krav, der stilles til en investors samlede likvide beholdning for at følge en given strategi. Beløbene er således det, som kræves investeret over en periode tilsvarende holdeperioden. Er holdeperioden 12 måneder, viser det altså det maksimalt investerede beløb henover de 12 måneder før porteføljemåneden, som består af flest transaktioner. Det antages, at alle handler replikeres med et investeringsbeløb på kr. 20.000. Tabel A1 Likviditetskrav for de analyserede handelsstrategier Antal handler i den største månedportefølje for de analyserede strategier 3 mdr 6 mdr 12 mdr 24 mdr 36 mdr Alle insidertyper 51 83 148 258 338 Direktionsmedlemmer 24 37 68 116 142 Bestyrelsesmedlemmer 21 31 57 100 133 Likviditetskrav for at replikere de analyserede strategier 3 mdr 6 mdr 12 mdr 24 mdr 36 mdr Alle insidertyper 1.020.000 1.660.000 2.960.000 5.160.000 6.760.000 Direktionsmedlemmer 480.000 740.000 1.360.000 2.320.000 2.840.000 Bestyrelsesmedlemmer 420.000 620.000 1.140.000 2.000.000 2.660.000 Anm.: Beløbene er beregnet med udgangspunkt i en investering på kr. 20.000 pr. insiderhandel der replikeres Kilde: Egen tilvirkning ud fra indsamlet data
Appendiks 2 Dette appendiks indeholder en uddybende diskussion af problemstillingen omkring brugen af ikkeparametriske tests i forbindelse med test af overnormale afkast. Hovedsageligt diskuteres sign testen efterfulgt af en kort uddybning af wilcoxon signed rank sum testen. Sign test Sign-testen svarer i princippet til et binomialt eksperiment, med n forsøg og x gunstige udfald. Der beregnes på denne bagrund en standardiseret værdi for det overnormale afkast ved at bruge et binomial test. (Keller, 2009) hvilket under H! simplficeres til: x np np(1 p) ~Z z!"# = x 0,5n 0,5n(0,5) = x 0,5n 0,5 n = 2x n n Idet den diskrete binomialfordeling approksimeres til den kontinuerte standardnormalfordeling jf. test statistkken, bør der foretages en korrektion for overgangen mellem de to fordelingstyper for at opnå en præcis approksimation (Siegel, 1956). Hvis x betegnes som antal udfald større end nul (positive overnormale afkast) vil korrektionen se ud som følger x ± 0,5 np z!"# = np(1 p) = x ± 0,5 0,5n 0,5n(0,5) x ± 0,5 0,5n 2x ± 1 n = = 0,5 n n Brown & Warner (1980) præciserer imidlertid et problem vedrørende skævhed i data, når signtestet anvendes på overnormale afkast. Idet overnormale afkast pr. konstruktion tenderer til at have en median lavere end nul (Fama m.fl., 1969), er sign-testens antagelse i H! hypotesen om en symmetrisk fordeling problematisk. Dette skyldes at ved højreskæve fordelinger, vil selv et gennemsnitligt overnormalt afkast på 0% medføre en forventet negativ median. Ønsker man derfor at teste på hvorvidt der faktisk observeres overnormale afkast, bør det således være en test af hvorvidt medianen for de observerede overnormale afkast er højere, end hvad der er normalt for
overnormale afkast med et gennemsnit på nul. Antagelsen om en symmetrisk fordeling og dermed at 50% af afkastene skal være større end nul, er således problematisk, idet der herved reelt set ikke testes på, hvorvidt der er overnormale afkast. Hvis H! hypotesen er, at der ingen overnormale afkast er, vil medianen, selv under H 0, fravige fra nul, idet fordelingen ikke er symmetrisk. Der vil således være en forventet andel af positive overnormale afkast på mindre end 0,5 (Campbell m.fl., 1997). Sign testen er derfor i sig selv velspecificeret til at teste på hvorvidt medianen er større end 0, men vil imidlertid være mispecificeret, selv under H 0, til at teste for overnormale afkast, idet den forventede andel af positive overnormale afkast er lavere end 50%. Problemet opstår altså fordi at H! hypotesen, om ingen overnormale afkast, ikke er overensstemmende med sign-testens egentlige H! hypotese, at andelen af positive overnormale afkast er lig 0. For at overkomme den ovennævnte problemstilling, skal en procedure anvendes til at fastslå andelen af positive overnormale afkast når der ingen overnormal performance forefindes (gennemsnitligt overnormalt afkast = 0). Der kan herefter testes på om andelen af positive afkast er forskellig fra den estimerede andel. Dette kaldes også en Generalized Sign Test,, idet nul hypotesen ikke nødvendigvis er, at andelen af observationer over nul er lig 0,5. Der er imidlertidig ingen studier tilgængelige, som har gennemført en sådan estimering af denne andel og der foreligger ingen simpel metode til at gøre dette. (Brown & Warner, 1980). Derfor skal det regulære sign-test benyttes med forbehold for, at insignifikante resultater eller signifikant negative resultater (andel under nul større end 0,5), ikke nødvendigvis er et tegn på ingen eller negative overnormale afkast. En signifikant andel større ned 0,5 må derimod betragtes som værende et robust resultat, da over halvdelen af resultaterne således er positive, hvilket i kombination med højreskævhed gør, at medianen er en undervurdering af det reelle niveau af det overnormale afkast. Wilcoxon signed rank sum test Wilcoxon signed rank sum testen vurderer i modsætning til sign testen både fortegnet og niveauet af observationerne. Dette medfører, at den under sign-testen omtalte problemstilling omkring højreskævhed vil blive mindre problematisk, da mere ekstreme observationer vil blive tillagt en højere vægt. Wilcoxon tester således på om populationens relative beliggenhed er forskellig fra nul.
Appendiks 3 Dette appendiks forklarer standardisering ved calendar time portfolio metoden. På trods af, at det ikke er benyttet i afhandlingen, er det en alternativ og brugbar måde at vægte porteføljemånederne på. Nedenstående tager udgangspunkt i metodologien introduceret af Jaffe i 1974. Standardiseringen foretages ved, at der for hver månedsportefølje estimeres et historisk variansestimat for de foregående 60 måneder. Portefølje j s varians estimeres således for periode j 59 til periode j. Dette fremgår af formel (A2.1) s!",! = 1 60 1!"!!! AR!,!!!!! 1 60!" AR!,!!!!!!!!! (A2.1) Det standardiserede overnormale afkast er således blot AR!,! = AR!,! (A2.2) s!",! og det gennemsnitlige standardiserede overnormale afkast beregnes som følger! AR = 1 m AR!,!!! (A2.3)!!! Grundet standardiseringen er standardafvigelsen således begrænset til at være en. Test statistikken bliver således AR m T!!! (A2.4) Fordelen ved standardisering er, at der korrigeres for volatiliteten i hver månedsportefølje. En måned med høj varians får således en lav vægt. Fordelene heraf er to fold. For det første vægtes de porteføljer højest hvis afkast måles mest præcist. Dette er ud fra et statistisk synspunkt en god egenskab, som ses i mange sammenhænge (Fama, 1996). For det andet giver det også intuitiv
mening at vægte de afkast med mindst volatilitet højest. Et højt afkast bør således ikke have en høj vægt, såfremt det har haft en høj varians, idet det høje afkast blot er et stokastisk udfald fra en meget varierende variabel. Denne tankegang følger naturligt fra mean-variance konceptet i finansiering. Fama (1996) pointerer desuden, at standardiseringen også skaber en implicit vægtning af antallet af inkluderede aktier i hver portefølje. Dette skyldes, at jo flere aktier en given portefølje inkluderer, des mindre varians har den også som udgangspunkt. Dermed opnås en kombineret vægtning af både den førnævnte variansvægtning og en vægtning efter antallet af aktier i porteføljen. Dette gør sig imidlertid ikke gældende for denne afhandling, idet en observation er en transaktion og ikke et selskab i en given måned. Grundet den valgte handelsstrategi, hvor hver handel replikeres med en lige stor investering af en outsider, ønskes en ens vægtning af hver transaktion. Som følge af dette, vil en standardisering ikke implicit skabe den ønskede vægtning. Det skyldes, at en måned bestående af 10 aktie A bør vægte 10 gange højere end en måned bestående af 1 aktie A. Disse to måneder vil naturligvis have samme estimerede varians, og en standardisering ville i det tilfælde vægte månederne ens. Derfor anvendes Jaffes (1974) foreslåede standardisering ikke i denne afhandling.
Appendiks 4 Dette appendiks eksemplificerer problemstillingen ved at vægte handler efter købesum. Samtidig gives en forklaring af datasættes mest ekstreme observation målt på købesum. De otte største handler observeret i analyseperioden er alle foretaget i Mærsk (A eller B) med handelsstørrelser på mellem 250 mio. og 1,6 mia. Heraf er fire handler klassificeret som rene. Af rene handler udgøres 11 af de største 12 handler af Mærsk (A eller B). Informationsværdien i disse handler er ikke entydig, idet både Hr. Mærsk Mc-Kinney Møller samt Familiefonden 1, som har gennemført disse handler. Motiverne kan basere sig på andet end forventning til kursgevinster. Handlerne er dog kodet som rene, i det omfang der ikke har været nogen åbenlys sammenhæng mellem køb og salg. Et konkret eksempel er d. 21. december 2007, hvor Familienfonden har udloddet aktier til en værdi på hhv. 275 mio. og 1,6 mia. kr. Dette skyldes et dødsfald i familien, hvorfor fonden har påbegyndt sin opløsning og dermed udlodning af penge til arvingene 2. Disse konkrete transaktioner har på ingen måde nogen informationsmæssig værdi ift. kursforventning. Idet de i børsmeddelelsen er angivet som udlodning fremfor køb/salg, er de derfor heller ikke kodet som rene handler. 1 A.P. Møller og Hustru Chastine Mc- Kinney Møllers Familiefond 2 Milliardregn over Mærsk- arvinger, Business.DK, 21. december, 2007, tilgået 7. april 2013 http://www.business.dk/investor/milliardregn- over- maersk- arvinger
Appendiks 5 Dette appendiks indeholder tabeller for annualiserede overnormale afkast, som supplement til de rapporterede afkast og test statistikker opgivet i afhandlingen. Det er således blot et beregningsmæssigt produkt af disse, som er angivet for fuldstændighedens skyld. Tabel A2.1 Buy- and- hold annualiserede gennemsnitlige overnormale afkast for insidere Alle transaktioner 3mdr (n=861) 6mdr (n=838) 12mdr (n=804) 24mdr (n=674) 36mdr (n=565) CAPM 5,93% 6,11% 5,93% 3,06% 1,20% Fama- French 5,64% 5,04% 5,22% 2,61% 0,75% Carhart 6,09% 5,21% 5,51% 2,90% 1,22% Købstransaktioner 3mdr (n=674) 6mdr (n=653) 12mdr (n=626) 24mdr (n=516) 36mdr (n=432) CAPM 7,06% 8,41% 8,46% 5,75% 3,25% Fama- French 6,51% 8,41% 8,90% 6,05% 3,38% Carhart 4,76% 8,68% 9,33% 6,29% 3,73% Salgstransaktioner 3mdr (n=187) 6mdr (n=185) 12mdr (n=178) 24mdr (n=158) 36mdr (n=133) CAPM 1,93% - 1,08% - 2,95% - 6,25% - 6,12% Fama- French 2,50% - 6,45% - 7,74% - 9,50% - 8,12% Carhart 2,95% - 6,59% - 7,93% - 9,07% - 7,96% Anm.: Beregninger foretaget jf. afsnit 1.6 s definition af annualisering af geometriske afkast Kilde: Egen tilvirkning baseret på indsamlet data
Tabel A2.2 Buy- and- hold annualiserede gennemsnitlige overnormale afkast for outsidere Alle transaktioner 3mdr (n=861) 6mdr (n=838) 12mdr (n=804) 24mdr (n=674) 36mdr (n=565) CAPM 4,68% 5,62% 4,94% 2,37% 0,77% Fama- French 3,28% 3,88% 4,16% 1,88% 0,46% Carhart 3,77% 3,94% 4,37% 2,08% 0,72% Købstransaktioner 3mdr (n=674) 6mdr (n=653) 12mdr (n=626) 24mdr (n=516) 36mdr (n=432) CAPM 6,05% 7,60% 7,27% 4,88% 2,82% Fama- French 5,14% 7,56% 7,64% 5,13% 2,93% Carhart 5,68% 7,70% 7,97% 5,29% 3,24% Salgstransaktioner 3mdr (n=187) 6mdr (n=185) 12mdr (n=178) 24mdr (n=158) 36mdr (n=133) CAPM - 0,08% - 1,26% - 3,26% - 6,28% - 6,48% Fama- French - 3,28% - 8,59% - 8,08% - 9,55% - 8,50% Carhart - 2,89% - 8,78% - 8,28% - 9,17% - 8,40% Anm: Beregninger foretaget jf. afsnit 1.6's definition af annualisering af geometriske afkast Kilde: Egen tilvirkning baseret på indsamlet data Tabel A2.3 CTP årlige overnormale gennemsnitsafkast for alle transaktioner Alle transaktioner 3mdr (n=861) 6mdr (n=838) 12mdr (n=804) 24mdr (n=674) 36mdr (n=565) CAPM 2,64% 2,16% 0,48% - 4,20% - 5,16% Fama- French 3,96% 3,84% 1,68% - 1,44% - 3,72% Carhart 2,88% 2,40% 0,48% - 2,64% - 3,84% Købstransaktioner 3mdr (n=674) 6mdr (n=653) 12mdr (n=626) 24mdr (n=516) 36mdr (n=432) CAPM 3,72% 4,32% 3,12% - 2,04% - 3,00% Fama- French 6,12% 6,36% 4,92% 1,44% - 1,20% Carhart 5,28% 4,92% 3,60% 0,48% - 0,96% Salgstransaktioner 3mdr (n=187) 6mdr (n=185) 12mdr (n=178) 24mdr (n=158) 36mdr (n=133) CAPM 1,80% - 2,64% - 4,68% - 5,52% - 6,36% Fama- French - 0,96% - 3,12% - 6,36% - 6,84% - 72,00% Carhart - 2,52% - 3,84% - 6,96% - 8,04% - 8,28% Anm: Beregninger foretaget som det månedelige gennemsnitsafkast multipliceret med 12 Kilde: Egen tilvirkning baseret på indsamlet data
Tabel A2.4 CTP årlige overnormale gennemsnitsafkast for direktionsmedlemmers transaktioner Alle transaktioner 3mdr (n=861) 6mdr (n=838) 12mdr (n=804) 24mdr (n=674) 36mdr (n=565) CAPM 4,92% 5,28% 3,36% - 1,68% - 5,52% Fama- French 7,20% 7,08% 4,68% 0,72% - 4,08% Carhart 6,72% 5,76% 4,32% 0,36% - 3,60% Købstransaktioner 3mdr (n=674) 6mdr (n=653) 12mdr (n=626) 24mdr (n=516) 36mdr (n=432) CAPM 7,68% 8,88% 7,68% 0,60% - 3,96% Fama- French 11,52% 11,52% 9,84% 4,20% - 2,16% Carhart 10,92% 9,60% 912,00% 3,72% - 1,56% Salgstransaktioner 3mdr (n=187) 6mdr (n=185) 12mdr (n=178) 24mdr (n=158) 36mdr (n=133) CAPM 0,48% - 2,52% - 6,24% - 3,48% - 4,80% Fama- French - 3,60% - 3,96% - 8,16% - 5,28% - 4,92% Carhart - 3,60% - 3,12% - 7,20% - 5,64% - 5,04% Anm: Beregninger foretaget som det månedelige gennemsnitsafkast multipliceret med 12 Kilde: Egen tilvirkning baseret på indsamlet data Tabel A2.5 CTP årlige overnormale gennemsnitsafkast for bestyrelsesmedlemmers transaktioner Alle transaktioner 3mdr (n=861) 6mdr (n=838) 12mdr (n=804) 24mdr (n=674) 36mdr (n=565) CAPM - 3,60% - 6,60% - 4,32% - 8,04% - 4,80% Fama- French - 2,64% - 5,04% - 3,48% - 5,88% - 3,84% Carhart - 8,76% - 5,76% - 4,92% - 6,72% - 4,20% Købstransaktioner 3mdr (n=674) 6mdr (n=653) 12mdr (n=626) 24mdr (n=516) 36mdr (n=432) CAPM - 2,76% - 3,84% - 1,92% - 5,16% - 1,44% Fama- French - 0,84% - 2,04% - 0,60% - 2,64% 0,00% Carhart - 1,20% - 2,28% - 1,68% - 2,88% 0,36% Salgstransaktioner 3mdr (n=187) 6mdr (n=185) 12mdr (n=178) 24mdr (n=158) 36mdr (n=133) CAPM - 2,76% - 11,52% - 7,08% - 11,04% - 12,00% Fama- French - 5,28% - 11,40% - 8,64% - 11,16% - 13,32% Carhart - 8,76% - 1,32% - 10,44% - 13,80% - 16,08% Anm: Beregninger foretaget som det månedelige gennemsnitsafkast multipliceret med 12 Kilde: Egen tilvirkning baseret på indsamlet data
Appendiks 6 Dette appendiks uddyber tekniske forskelle mellem asset pricing modeller. Specifikt diskuteres årsagerne til at der ikke observeres konsistente sammenhænge mellem størrelserne på de estimerede forventede afkast. Hvis et givet selskab historisk har udvist en stigende (faldende) aktiekurs ved tilstedeværelsen af markedsmomentum, momentumfaktor > 0, må momentumkoefficienten forventes at være positiv (negativ). Denne betakoefficient vil i fremtiden danne grundlag for estimationen af et selskabs forventede afkast. Korrelationen mellem et givent selskabs kursudvikling og udviklingen i markedsmomentum i event-vinduet kan i midlertidigt være omvendt ift. perioden hvori momentumkoefficienten er estimeret. Dette kan medføre, at selskaber med en positiv momentumkoefficient, i perioder med en negativ momentumfaktor, vil få et højere afkast end forventet grundet fortegnet på momentumkoefficienten. På denne baggrund estimerer Carhart modellen et større overnormalt afkast end Fama-French over alle tidsperioder, samt et større afkast end CAPM på 3 måneders sigt givet niveauerne for value og størrelsesfaktoren. En anden årsag til den ovennævnte sammenhæng mellem asset pricing modellerne kan være at inkluderingen af de ekstra faktorer ved henholdsvis Fama-French og Carhart påvirker det de øvrige faktorerns hældningskoefficienter.