FP9 9.-klasseprøven Matematik Prøven med hjælpemidler December 2016 Til opgavesættet hører et bilag og en regnearksfil 1 I svømmehallen 2 Regnvandstank 3 Vandforbrug i brusebadet 4 Vandforbrug i en boligforening 5 Firkanter i trekanter 6 Sumfigurer
1 I svømmehallen Astrid og Victor vil i svømmehallen. Den blå boks herunder viser svømmehallens priser. Enkeltbillet 10-turskort Årskort 46 kr. 375 kr. 900 kr. Foto: Colourbox 1.1 Hvor mange penge skal Astrid have tilbage, hvis hun køber enkeltbilletter til dem begge og betaler med 200 kr.? Victor overvejer at købe et årskort, så han kan komme i svømmehallen, lige så mange gange han vil inden for et år. 1.2 Hvor mange gange skal Victor gå i svømmehallen inden for et år, for at det bedre kan betale sig for ham at købe et årskort i stedet for at købe en enkeltbillet, hver gang han går i svømmehallen? Astrid læser på svømmehallens hjemmeside, at hun kan spare 18 % ved at købe et 10-turskort i stedet for at købe 10 enkeltbilletter. 1.3 Er det rigtigt, at Astrid kan spare 18 % ved at købe et 10-turskort i stedet for at købe 10 enkeltbilletter? Du skal begrunde dit svar. 1.4 Undersøg med beregning, hvor mange gange Victor og Astrid skal gå i svømmehallen, for at det bedre kan betale sig for dem at købe årskort frem for 10-turskort.
2 Regnvandstank Astrids familie overvejer at få installeret en tank, så de kan opsamle regnvand fra taget på deres hus. Skitse 1 herunder viser et tværsnit af huset og regnvandstankens mulige placering i jorden ved siden af huset. Skitse 2 viser den ene halvdel af husets tag set skråt fra oven. v 3,8 m 3,0 m 4,5 m 3,0 m 4,5 m Regnvandstank 10,1 m 5,9 m Tegning: Hans Ole Herbst Skitse 1 Skitse 2 Familien overvejer, hvor meget regnvand de kan opsamle fra deres tag. Det afhænger bl.a. af tagets areal og af tagets hældning, der svarer til vinkel v på skitse 1 herover. 2.1 Du skal vise med beregning, at tagets areal er ca. 119 m 2. 2.2 Du skal vise med beregning eller præcis tegning, at tagets hældning, v, er ca. 40. Familien bruger modellen herunder til at beregne, cirka hvor mange liter regnvand de kan forvente at opsamle om året med en regnvandstank. O = A v 300 + 0,6 N O er årlig mængde opsamlet regnvand i liter. A er tagets areal i kvadratmeter. v er tagets hældning i grader. N er årlig mængde nedbør i millimeter. 2.3 Cirka hvor mange liter regnvand kan familien forvente at opsamle på et år, hvor der er 900 mm nedbør? Skitse 3 viser den regnvandstank, som familien planlægger at købe, og det hul, de skal grave, når tanken skal i jorden. Regnvandstanken har tilnærmelsesvis form som en cylinder, og hullet har tilnærmelsesvis form som en keglestub. Ifølge producenten kan tanken rumme 3500 L. Skitse 3 4,3 m 1,8 m 1,6 m Tegning: Hans Ole Herbst 2.4 Kan det passe, at tanken kan rumme 3500 L? Du skal begrunde dit svar. 2.5 Undersøg med beregning, cirka hvor mange kubikmeter det hul, de skal grave til tanken, skal være. Formel for rumfanget af en keglestub V er keglestubbens rumfang. r h er keglestubbens højde. h r er keglestubbens korteste radius. R er keglestubbens længste radius. R V = 1 3 π h (R2 + r 2 + R r)
3 Vandforbrug i brusebadet Astrid tager brusebad hver morgen. I brusebadet bruger hun ca. 14 L vand i minuttet. 3.1 Hvor mange liter vand bruger Astrid på et brusebad, der varer 8 minutter og 30 sekunder? Foto: Colourbox Astrids far fortæller, at vandet til brusebadet koster ca. 10 øre pr. liter. Han synes derfor, at Astrid højst skal tage brusebad i 5 minutter hver morgen. 3.2 Du skal vise med beregning, at et brusebad på 5 minutter koster ca. 7 kr. 3.3 Skriv en funktionsforskrift, som Astrid kan bruge til at beregne, hvor mange penge n brusebade på 5 minutter koster. På en hjemmeside læser Astrid, at man med en sparebruser kun bruger 8 L vand i minuttet. Sparebruseren koster 995 kr. 3.4 Hvor mange minutter og sekunder kan Astrid tage brusebad med sparebruseren for 7 kr.? 3.5 Undersøg, hvor mange brusebade på hver 5 minutter Astrid skal tage, før sparebruseren er tjent hjem.
4 Vandforbrug i en boligforening Victor og hans familie bor i en boligforening, der består af 20 lige store lejligheder. Victor læser opgørelsen herunder, som viser, hvor meget vand der blev brugt i hver lejlighed i hele 2015. Der er også en opgørelse på filen VANDFORBRUG_DEC_2016 og på bilaget. Nyvej 3 Lejlighed 9: 160 m3 Lejlighed 10: 86 m3 Lejlighed 7: 148 m3 Lejlighed 8: 108 m3 Lejlighed 5: 120 m3 Lejlighed 6: 148 m3 Lejlighed 3: 144 m3 Lejlighed 4: 84 m3 Lejlighed 1: 82 m3 Lejlighed 2: 51 m3 Nyvej 5 Lejlighed 19: 145 m3 Lejlighed 20: 57 m3 Lejlighed 17: 54 m3 Lejlighed 18: 150 m3 Lejlighed 15: 150 m3 Lejlighed 16: 108 m3 Lejlighed 13: 93 m3 Lejlighed 14: 130 m3 Lejlighed 11: 144 m3 Lejlighed 12: 153 m3 Ti af boligforeningens lejligheder ligger på Nyvej 3. De andre ti lejligheder ligger på Nyvej 5. 4.1 Beregn, om der blev brugt mest vand i lejlighederne på Nyvej 3 eller i lejlighederne på Nyvej 5 i 2015. Victor og hans familie bor i lejlighed 3. 4.2 Hvor mange liter vand brugte Victor og hans familie i gennemsnit om dagen i 2015? For at sammenligne vandforbruget i boligforeningens lejligheder regner Victor ud, hvor mange kubikmeter vand der i gennemsnit blev brugt pr. person i hver lejlighed. Hans resultater er vist herunder, på filen VANDFORBRUG_DEC_2016 og på bilaget. Nyvej 3 Lejlighed 9: 32 m3 Lejlighed 10: 43 m3 Lejlighed 7: 37 m3 Lejlighed 8: 36 m3 Lejlighed 5: 40 m3 Lejlighed 6: 37 m3 Lejlighed 3: 36 m3 Lejlighed 4: 42 m3 Lejlighed 1: 41 m3 Lejlighed 2: 51 m3 Nyvej 5 Lejlighed 19: 29 m 3 Lejlighed 20: 57 m3 Lejlighed 17: 54 m3 Lejlighed 18: 30 m3 Lejlighed 15: 25 m3 Lejlighed 16: 54 m3 Lejlighed 13: 31 m3 Lejlighed 14: 26 m3 Lejlighed 11: 36 m3 Lejlighed 12: 51 m3 4.3 Skriv en kort tekst, hvor du sammenligner fordelingen af det gennemsnitlige vandforbrug pr. person i lejlighederne på Nyvej 3 med den tilsvarende fordeling i lejlighederne på Nyvej 5. I din tekst skal du bl.a. sammenligne de to datasæts variationsbredde, median og middeltal. 4.4 Undersøg, om der er sammenhæng mellem det antal personer, der bor i hver lejlighed, og det gennemsnitlige vandforbrug pr. person. I din undersøgelse skal der indgå en tabel som den herunder og en graf i et koordinatsystem. Antal personer der bor i lejligheden 1 2 3 4 5 6 Gennemsnitligt vandforbrug pr. person
5 Firkanter i trekanter Figur 1 viser en firkant og en trekant, der opfylder to betingelser: To af firkantens vinkelspidser deler trekantens ene side i tre lige lange linjestykker. Firkanten har vinkelspidser på alle trekantens sider. 5.1 Tegn et rektangel og en trekant, der opfylder de samme betingelser som firkanten og trekanten på figur 1. Figur 1 Figur 2 viser et kvadrat og en trekant, som opfylder de to betingelser øverst på siden. Vinklerne v og w er markeret. 5.2 Forklar, hvordan du uden at måle kan vide, at vinkel v er 45. Brug evt. en skitse som støtte til din forklaring. v w 5.3 Forklar, hvordan du uden at måle kan vide, at vinkel w er 90. Brug evt. en skitse som støtte til din forklaring. Figur 2 Figur 3 viser en rombe og en trekant, der også opfylder de to betingelser øverst på siden. Trekanten er retvinklet. 5.4 Undersøg, om det er muligt at tegne en rombe og en trekant, der opfylder de to betingelser øverst på siden, hvis trekanten ikke må være retvinklet. Du kan fx præsentere din undersøgelse med forskellige tegninger. Figur 3
6 Sumfigurer Figur 1 viser et eksempel på en sumfigur, som består af fem felter med forskellige tal. I en sumfigur skal summen af tallene i den lodrette kolonne være lig med summen af tallene i den vandrette række. Tallet i det grønne felt er med i både den lodrette kolonne og den vandrette række. 5 2 6.1 Tegn en sumfigur med fem felter, og udfyld den med tallene 1, 3, 5, 7 og 9. 1 3 4 Figur 1 6.2 Undersøg, hvilke tal der kan stå i det grønne felt i en sumfigur med tallene 4, 5, 6, 7 og 8. Figur 2 viser en sumfigur, der er udfyldt med udtryk, hvori den ubekendte n indgår. 6.3 Hvilken værdi har den ubekendte n? Du skal begrunde dit svar. 2n+1 5n+8 n+2 10n 3 n+4 Figur 2 Figur 3 viser en sumfigur, der er udfyldt med tal og med udtryk, hvori de ubekendte m og n indgår. 6.4 Hvilke værdier har de to ubekendte m og n, når summen vandret og summen lodret er 15? Du skal begrunde dit svar. 2n m 6.5 Undersøg, hvordan en sumfigur med fem felter skal udfyldes med udtrykkene n, n + 1, n + 2, n + 3 og n + 4, for at summen vandret og summen lodret bliver størst mulig. 5 3m n Figur 3
Ga23?93d FP-163-12
BILAG Opgave 4 Nyvej 3 Vandforbrug i 2015 (m³) Gennemsnitligt vandforbrug pr. person i 2015 (m³) Lejlighed 1 82 41 Lejlighed 2 51 51 Lejlighed 3 144 36 Lejlighed 4 84 42 Lejlighed 5 120 40 Lejlighed 6 148 37 Lejlighed 7 148 37 Lejlighed 8 108 36 Lejlighed 9 160 32 Lejlighed 10 86 43 Nyvej 5 Vandforbrug i 2015 (m³) Gennemsnitligt vandforbrug pr. person i 2015 (m³) Lejlighed 11 144 36 Lejlighed 12 153 51 Lejlighed 13 93 31 Lejlighed 14 130 26 Lejlighed 15 150 25 Lejlighed 16 108 54 Lejlighed 17 54 54 Lejlighed 18 150 30 Lejlighed 19 145 29 Lejlighed 20 57 57