ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Projekt. Vodkaklovn en optimeringsopgave med fri fantasi Firmaet Sprits for Kids ønsker at relancere deres vodkadrink Vodkaklovnen i både en discountudgave på en kvart liter dåse og en luksusudgave i en ny og smart halv liters flaske. Dit arbejdsteams første opgave er altså at proportionere en dåse til Vodkaklovnen, så den rummer cl. og så materialeforbruget bliver mindst muligt! Anden opgave for arbejdsteamet er at komme med et bud på et design til en smart flaske, som er opbygget af to rumlige figurer (geometriske figurer). Flasken skal kunne rumme 50 cl., og have det mindst mulige materialeforbrug for en flaske af pågældende facon. Tidsramme Der bruges moduler på arbejdet. I fjerde modul fremlægges resultaterne for klassen. Produktkrav. I starten af hver time vælges en referent, som skal skrive dagens indlæg i gruppedagbogen på fronter. Det skal fremgå tydeligt, hvad der foregår i den enkelte lektion, og hvad grupper aftaler, der skal ske til næste time.. En rapport, hvor I løser de to arbejdsopgaver skitseret ovenfor. I skal i en problemformulering forklare, hvordan I fortolker de to problemer, og angive mere konkret, hvilke problemer det er I vil forsøge at løse i rapporten. Rapporten skal indeholde et afsnit hvor I, så generelt så muligt, forsøger at beskrive den metode som I har benyttet til at løse problemerne med at finde det mindst mulige materialeforbrug. Rapporten skal indeholde: problemformulering, analyse af de to problemer, konklusion, en generel beskrivelse af metoden til bestemmelse af det mindst mulige materialeforbrug. Den gode opgave sørger for at begrunde hvorfor det valgte design er godt i forhold til materialeforbrug i forhold til andre lignende design. Formål Formålet med projektet er først og fremmest, at I laver et problemorienteret projektarbejde, der kan udvikle jeres forståelse af matematisk modellering. Det gøres her ved at I selv opstiller en model for en problemstilling og undersøger, hvor godt man er i stand til at løse problemet via denne. Bilag med formelsamling for rumlige figurer Som støtte for projektet ligger der i et bilag en omfattende formelsamling over rumfang og overfladearealer. Ved at bladre igennem den vil I sikkert få inspiration til, hvordan jeres vodkaklovn kan se ud. Inspiration Som inspiration får I en gennemgang af et eksempel på en vodkaklovn. Den må I naturligvis ikke bruge. Men gennemgangen viser hvilken metode, I kan anvende. 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-8 København K Tlf: 5000 Email: info@lru.dk
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Eksempel på en vodkaklovn Vi ønsker at konstruere en vodkaklovn ud fra en halvkugle og en kegle (en lille tumling): h s r Rumfanget af halvkuglen er givet ved V = π r = π r. halvkugle π kegle = = Rumfanget af keglen er givet ved V G h r h Da det samlede rumfang skal være cl = 0 cm fås derfor betingelsen V + V = 0, hvor vi halvkugle regner i cm. Denne betingelse knytter radius r og højden h sammen. Vi ønsker at eliminere den ene af de variable, så vi når frem til en funktion af en variabel. Her er der ikke givet på forhånd, hvilken af de variable, vi skal eliminere, men vi vil normalt gå efter det simplest mulige. Vi kan derfor med fordel eliminere h, idet det samlede rumfang er lineært i højden h, men er et tredjegradspolynomium i radius r. Vi kan derfor forholdsvis let isolere h, mens det kan vise sig umuligt at isolere den anden variable. 990 solve(0 = π r + π r h, h) h = - r π r kegle En graf af højden som funktion af radius viser, at højden h kun er positiv for radius r under 5.0 cm, svarende til at halvkuglen nu er nået op på rumfanget cl. Husk at tjekke denne type problemer. 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-8 København K Tlf: 5000 Email: info@lru.dk
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Vi skal så se på materialeforbruget, som er proportionalt med den krumme overflade af halvkuglen og keglen. Vi henter derfor formlerne for den krumme overflade af de to komponenter: O π π halvkugle = r = r O kegle = p r s Af figuren (keglen i bilaget) ses at vi kan udtrykke den skrå side s ved hjælp af højden h (pythagoras): s = r + h. O = p r s = π r r + h kegle Vi finder derfor den samlede krumme overflade til at være æ 990 ö O = p r + p r r + h = π r + π r r + ç - r è π r ø (hvor vi har indsat det fundne udtryk for h). Tegner vi grafen for den krumme overflade finder vi: Vi ser da at grafen har et minimumspunkt for r =.65 cm (som gudskelov ligger under den øvre grænse for de tilladte værdier af radius, dvs. 5.0 cm). Husk at inddrage dette før konklusionen draages. Den tilhørende højde er givet ved h = 5. cm. 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-8 København K Tlf: 5000 Email: info@lru.dk
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Vi bakker nu den grafiske analyse op med en symbolsk udregning: Det er en nederdrægtig ligning, så det kan betale sig at give den lidt hjælp med at finde den positive rod. (Det gør vi ved at gætte på en løsning i nærheden af r=.) Vi kan altså bygge en vodkaklovn med målene: r =.65 cm og h = 5. cm. Den ser sådan ud: God fornøjelse! 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-8 København K Tlf: 5000 Email: info@lru.dk
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Bilag: Formelsamling for rumlige figurer Betegnelser V = Volumen = Rumfang O = Samlet Overflade; K = Krum overflade G = Areal af grundflade; M = Areal af midtflade; T = Areal af topflade h = Højde Polyedre Retvinklet kasse V = a b c O = ( a b + b c + c a) d = a + b + c Prisme Alment prisme V = G h O = ( a + b + c +...) h + G Ligesidet trekantet prisme (se figur) O = a h + a V = a h Prismatoid Parallel bundflade og topflade. Sidefladerne er enten trekanter eller trapezer. Fx er et antiprisme ('tromme') et eksempel på en prismatoid (se figur). V = ( G + M + T ) h 6 Pyramide Almen pyramide 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-8 København K Tlf: 5000 Email: info@lru.dk 5
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn V = G h Kvadratisk pyramide (se figur) V = a h O a a h = + + a Pyramidestub V = G + G T + T De regulære polyedre Regulært Tetraeder V = a O = a R = a 6 (radius i omskreven kugle) r = a 6 (radius i indskreven kugle) Terning V = a O = 6a R = a (radius i omskreven kugle) r = a (radius i indskreven kugle) 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-8 København K Tlf: 5000 Email: info@lru.dk 6
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Regulært Oktaeder V = a O = a R = a (omskreven kugle) r = a 6 6 (indskreven kugle) Regulært Dodekaeder a ( 5 7 5 ) V = + O = a 5 5 + 5 R = + 5 (omskreven kugle) 50 + 5 r = a (indskreven kugle) 5 Regulært Ikosaeder ( 5 ) 5 V = a + O = 5a R = a ( 5 + 5 ) (omskreven kugle) 7 + 5 r = a (indskreven kugle) 6 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-8 København K Tlf: 5000 Email: info@lru.dk 7
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Omdrejningslegemer Cylinder V = p r h K = p r h O = p r h + p r Kegle K = p r s O = p r s + p r V = p r h s = r + h Keglestub V = p ( rg + rg rt + rt ) h K = p r + r s ( G T ) O = p r + r s + p r + p r G T G T Torus ('badering') V = p r R O = p r R 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-8 København K Tlf: 5000 Email: info@lru.dk 8
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Kugle V O = p R = p R Kuglezone V = p ( r G + rt + h ) h 6 K = p R h O = p R h + p r + p r G T Kugleudsnit O = p R r + p R h V = p R h Kugleafsnit (kuglekalot) æ ö ç è ø 6 K = p R h = p r + h ( G ) V = p h R - h = p r + h h G O = p r + p h G 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-8 København K Tlf: 5000 Email: info@lru.dk 9
ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Omdrejningsellipsoide Ved omdrejning omkring storeaksen a: ('langstrakt') V = p a b a b O = p + p e e - b sin e = - b a Ved omdrejning omkring lilleaksen b: ('fladtrykt') V = p a b b + e O = p a + p ln e - e e = - b a Omdrejningsparaboloide V = p r h p r r + h - r K = ( ( ) ) (6 h ) Paraboloidestub V = p ( rg + rt ) h K = p 6 ( h rt + ( rt - rg ) ) - h rg + ( rt - rg ) h ( rt - rg ) 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-8 København K Tlf: 5000 Email: info@lru.dk 0