0.1 Aerodynamik 0.1. AERODYNAMIK I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen, se gur 1. [Eggleton side 1-48] anvendes som hovedkilde til dette afsnit. Figur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol De kræfter, der får rotoren til at rotere omkring sin akse, er kraften fra den relative vindhastighed, W, der skubber på vingen, og en aerodynamisk kraft, der giver et lift, L. Der er også en anden aerodynamisk kraft, der giver et drag, D, som modvirker rotationen. Dette drag kan bruges til at krøje nacellen i den ønskede retning. Det er den aerodynamiske udformning af vingen, der giver de to bidrag, L og D. Liftet opstår fordi luften skal bevæge sig længere på oversiden af vingen end på undersiden. Derved opstår der et undertryk på oversiden, der virker som en kraft vinkelret på W. Draget opstår på grund af... og virker som en kraft parallelt på W. Lift og drag angives normalt som dimensionsløse koecienter på følgende formler: c l = L 1 2 2 S c d = D 1 2 2 S S er vingeprolets areal. Der anvendes Glauert momentum vortex teori til modeldannelsen. Denne teori tager udgangspunkt i, at vingen opdeles i et antal segmenter med radius r og længden r, se gur 2. Alle kræfter og momenter, der påvirker dette vingesegment beregnes og der summeres op over rotorplanets radius for at nde de resulterende kræfter og kraftmomenter. a er en "axial interference faktor", der deneres som den delvise sænkning af vindhastigheden mellem den frie vind og rotorplanet, og kan udtrykkes som: 1 (1) (2)
Figur 2:??? a = V 0 u V 0 = 1 u V 0 (3) a er en "rotational interference faktor", der kan udtrykkes som: a = w r Ω V 0 er den frie vindhastighed, r er radius af det vingesegment, der regnes på, og Ω er vingens vinkelhastighed. u beregnes efter formlen: (4) u = V 0 (1 a) (5) Den relative vindhastighed, W, som det enkelte vingesegment ser, afhænger af radius, r, vindhastigheden ved rotorplanet, u, og rotationshastigheden plus et lille hastighedsbidrag, w, fra de hvirvelstrømme, der er omkring rotoren. W kan beregnes ved hjælp af trekantsberegning ud fra følgende formel, når a og a er kendte [?, side 40-45], se gur 3: W = (w + r Ω a ) 2 + u 2 (6) Da der er konstant vinkelhastighed, vil W blive større, jo større radius bliver. For at sikre, at der ikke sker for stor en kraftpåvirkning af den yderste del af vingen, kan vingen gives en skrueform, hvor angrebsvinklen, α, er større inde ved centrum af rotorskiven end ude ved vingespidsen. Når W er beregnet, kan Reynoldsnummeret, Re, beregnes. Re er en dimensionsløs størrelse, der denerer luftstrømningens afhængighed af vingeprolet og den relative vindhastighed, W. Re beregnes ud fra følgende formel: 2
0.1. AERODYNAMIK Figur 3: Hastighedskomposanter til beregning af relativ vindhastighed, W Re = W c ρ µ ρ er luftens massefylde, µ er luftens viskositet og c er korden, som er bredden af det pågældende vingesegment. For tør luft ved normalt atmosfærisk tryk ved havets overade ved 15 C og normal viskositet kan Reynoldsnummeret beregnes som: (7) Re = 69000 W c (8) For at få et Reynoldsnummer, der er tilnærmelsesvis konstant over hele vingens længde, har vingerne normalt konisk form mod spidsen. Derved opvejes en stigende relativ vindhastighed af en mindre bredde. Hvis Re varierer meget over vingens længde, anvendes ofte Re for vingespidsen, som vil give den største værdi for Re (vi skal nde cite til dette). Vinklen φ deneres som summen af angrebsvinklen, α, plus pitchvinklen, θ. Når Re og φ er kendt, kan liftkoecienten, c l, og dragkoecienten, c d, aæses ud af databladet for den pågældende vingeprol, se gur 4 og 5[?]. Databladene angiver c l som en funktion af α og Re. Hvis vingen har en pitchvinkel forskellig fra 0, skal man være opmærksom på, at det er φ og ikke α, der skal anvendes, når c l skal aæses. c d aæses derefter som en funktion af c l. Databladene kan kun anvendes for φ op til cirka 20. Over denne vinkel vil vingerne stalle og L vil blive mindre og D vil blive meget større. Hvis vingerne skal virke med en φ større end 20 kan c l ) og c d med god tilnærmelse beregnes ved hjælp af følgende formler [?, side 2-3]: c l = 2 sin(φ) cos(φ) (9) c d = 2 sin 2 (φ) (10) Når c l og c d er fundet, kan rotationsmomentet, Q, og drejningsmomentet, T, beregnes ud fra følgende formler: 3
Figur 4: Datablad for vingeprol NACA 2412, beregning af c l Figur 5: Datablad for vingeprol NACA 2412, beregning af c d Q = 1 2 ρ W 2 r (c l sin(φ) c d cos(φ)) r (11) 4
0.1. AERODYNAMIK Q = N i=0 Q i (12) T = 1 2 ρ W 2 (c l cos(φ) + c d sin(φ)) r (13) T = N i=0 T i (14) Såfremt a og a ikke er kendte værdier, kan der itereres frem til disse værdier og vinklen φ som beskrevet nedenfor: 1. Gæt på værdier for a og a, (a, a ) < 0, 5. 2. Beregn φ ud fra formlen: tan(φ) = R r X (1 a) (1 + a) 3. Aæs c l som funktion af φ og Re, og c d som funktion af c l og Re. 4. Beregn nye værdier af a og a ud fra følgende formler: a 1 a = B c π 8 r cl cos(φ) + c d sin(φ) sin 2 (φ) (15) (16) a = B c 1 + a π 8 r cl sin(φ) c d cos(φ) sin(φ) cos(φ) 5. Gentag processen med de nye værdier indtil gættede værdier er lig med nye værdier. Der er blevet lavet et program i Matlab for ovennævnte iterative proces, hvor φ beregnes over hele vingens længde og ved variende V 0 mellem 0 25 m s. (Dette program er ikke lavet endnu...) (17) 5