Note om aerodynamik for raketbyggere. Hans Olaf Toft. DARK august 2000

Transkript

1 DA RK Note om aerodynamik or raketbyggere. A Hans Ola Tot DARK august 000

2 Note om aerodynamik or raketbyggere Indholdsortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... KRÆFTER OG BEVÆGELSE...3 ANGREBSVINKLEN...4 STABILITETSANALYSE...5 DYNAMISK STABILITET...8 LUFTMODSTAND...8 APPENDIX A: BARROWMANS FORMLER...11 NÆSEKEGLEN...11 CYLINDRISKE SEKTIONER...11 KONISKE OVERGANGE...1 FINNER...1 APPENDIX B: ET EKSEMPEL...14

3 Note om aerodynamik or raketbyggere 3 Kræter og bevægelse På iguren ses de kræter, der umiddelbart virker på en raket der lyver. Det drejer sig om tyngdekraten mg, raketmotorens thrust T, samt de aerodynamiske kræter N og D. Egentlig er der kun tale om én aerodynamisk krat, men a bekvemmelighedsgrunde opløser man denne i en komposant som er modsat rettet rakettens bevægelse D og en komposant vinkelret på rakettens bevægelse. Da D modvirker bevægelsen omtales denne som lutmodstand eller drag, mens N der virker vinkelret på bevægelsen kaldes normalkraten eller lit. På et ly er det N, som år lyet til at lette. N D mg T Det remgår umiddelbart, at alle kræterne undtagen N virker i rakettens tyngdepunkt, og de beskriver dermed den bane som rakettens tyngdepunkt ølger. N virker i almindelighed ikke i rakettens tyngdepunkt, og påvirker deror ikke direkte tyngdepunktets bane. Istedet vil N give anledning til et moment omkring tyngdepunktet, som vil å raketten til at dreje sig omkring tyngdepunktet. Da T er orienteret i rakettens længderetning, vil rakettens tyngdepunkt accelerere i den nye retning, hvoror virkningen a N ikke er ligegyldig or banen, men indgår i den samlede beskrivelse a rakettens bevægelse. Hvis alle de virkende kræter og angrebspunktet or N kendes, kan de samlede bevægelsesligninger or raketten opstilles og løses. Angrebspunktet or N kaldes traditionelt or CP - center o pressure, analogt med at tyngdepunktet (som er angrebspunkt or alle andre kræter kaldes CG - center o gravity. Tyngdekraten på raketten bestemmes relativt let, idet tyngdeaccelerationen g indes i diverse tabelværker. Rakettens masse m, og thrusten T bestemmes ved måling. De aerodynamiske kræter bestemmes principielt også ved måling, men det kræver adgang til en vindtunnel. For at undgå komplicerede vindtunnelorsøg må de aerodynamiske kræter søges bestemt ved beregning. Formålet med at bestemme D er naturligvis at lutmodstanden har direkte indlydelse på tyngdepunktets bane, og dermed or rakettens samlede perormance. N derimod, har ikke nødvendigvis nogen særlig indlydelse på rakettens perormance, men derimod på om raketten lyver stabilt eller ej. Dette kan ses ved den ølgende betragtning: Opskrives det aerodynamiske moment, som N giver anledning til ås: M = N X X ( A cp cg hvor X cg angiver astanden ra et rakettens massemidtpunkt til et reerencepunkt (eter eget valg og X cp angiver astanden ra angrebspunktet or de aerodynamiske kræter til samme reerencepunkt. Som det ses regnes momentet med ortegn, hvilket aspejler de 3 mulige ysiske orhold, nemlig (regnet ra rakettens næse at:

4 Note om aerodynamik or raketbyggere 4 N Stabil N Neutralt stabil N Ustabil 1. cp ligger bagved cg, hvilket betyder at det aerodynamiske moment modvirker angrebsvinklen. I dette tilælde siges raketten at være stabil.. cp sammenalder med cg. Det aerodynamiske moment er uahængigt a angrbsvinklen, og raketten siges at være neutralt stabil. 3. cp ligger oran cg. Det aerodynamiske moment virker nu i samme retning som agrebsvnklen, og raketten siges at være ustabil. Rakettens stabilitet har stor indlydelse på hvordan den lyver, hvis den undervejs i sin bane oplever at blive skubbet lidt ud a kurs. En ustabil raket vil give sig til at snurre rundt og orsøge at lyve med halen orrest. En neutralt stabil raket vil kunne ændre sin retning vilkårligt, hvilket betyder, at man ikke har nogen som helst kontrol på hvor den lander. En stabil raket vil derimod blot 'slå lidt med halen' og lyve videre. Den påvirkning, som slår raketten lidt ud a kurs vil typisk stamme ra vinden. De 3 muligheder er illustreret på iguren nedenor. Stabil Neutralt stabil Ustabil Angrebsvinklen Hvis raketten undervejs i sin bane bliver slået lidt ud a kurs, vil dens centerakse ikke længere pege direkte i banens retning. Vinklen α mellem rakettens centerakse og banens retning kaldes angrebsvinklen. Angrebsvinklen har direkte indlydelse på størrelsen a de aerodynamiske kræter. Ved store angrebsvinkler skelner man iøvrigt mellem lit og normalkræter, idet litet regnes vinkelret på banen og normalkraten

5 Note om aerodynamik or raketbyggere 5 vinkelret på rakettens centerakse. Tilsvarende skelner man mellem drag og aksialkrat, idet man regner drag parallelt med banen og aksialkraten parallel med centeraksen. Da raketter normalt lyver med små V angrebsvinkler (den strukturelle last ved store M angrebsvinkler vil å raketten til at knække, tillader A cg vi os at lade lit og normalkrat være ens. N cp Både N og D ahænger mærkbart a α. For en normalt udormet raket har D minimum ved α = 0, og vokser så med kvadratet på α (α < ± ~15 º. N er 0 når α er 0, og ahænger iøvrigt lineært a α (α < ± ~15 º. På et ly, vil vingen typisk være anbragt, så den har en betydelig angrebsvinkel når lyet som helhed lyver ved 0 angrebsvinkel. Det betyder at N stadig ahænger lineært med angrebsvinklen, men at nulpunktet orskydes til en passende negativ angrebsvinkel. D N α α Størelsen a de aerodynamiske ahænger a rakettens hastighed V, lutens densitet ρ og a angrebsvinklen α og udtrykkes ved hjælp a Rayleigh's ormel: D = ½AρV C α = q C α D ( D( ( ( N = ½AρV C α = q C α N Hvor A er et reerenceareal (eter eget valg og C N (α (normalkoeicienten og C D (α (dragkoeicienten er dimensionsløse størrelser som bestemmes eksperimentelt. Som reerenceareal vælges det som regel at benytte næsekeglens baseareal. N Stabilitetsanalyse Ved små angrebsvinkler antager man at normalkoeicienten ahænger lineært a angrebsvinklen: CN CN( α α = cnα α α α = 0 Der indes ikke noget godt dansk navn or den nye koeicient c nα, men på udenlandsk kaldes den or 'lit curve slope coeicient'.

6 Note om aerodynamik or raketbyggere 6 hvoreter vi kan skrive momentligningen: M = qα c X X ( A nα cp cg For at bestemme c nα og X cp benyttes komponentmetoden, hvor raketten antages at bestå a et antal standardkomponenter, dvs. næsekegle, inner, cylindriske sektioner og koniske overgange. Man antager at de aerodynamiske kræter der virker på den samlede raket kan skrives som summen a de kræter der virker på de enkelte sektioner. Det passer imidlertid ikke helt, hvoror man yderligere opererer med nogle intererensaktorer. Data or c nα og X cp (og c d or de enkelte standardkomponenter kan indes i litteraturen. Med udgangspunkt i komponentmetoden skriver man de samlede aerodynamiske kræter på raketten som summen a kræterne på de enkelte sektioner, kompenseret or intererens - og man skriver det samlede moment som de aerodynamiske kræter giver anledning til som summen a de momenter der virker på de enkelte sektioner, igen under hensyntagen til intererens. Ved opskrivning a det aerodynamiske moment kan man rit vælge sit reerencepunkt. Vi vælger at opskrive momentet omkring spidsen a næsekeglen: qα c X = qα( c ( X + qα( c ( X + qα( c ( X + qα( c ( X nα cp nα n cp n nα bt cp bt nα ct cp ct nα cp hvor betydningen a index er som ølger: n : Nose bt : Body Tube ct : Conical Transition : Finn/body Har man lere komponenter eksempelvis et ekstra sæt inner, adderes disse bare til udtrykket ovenor. Vi antager, at raketten er lige, og at den ikke roterer om sit tyngdepunkt (statisk analyse. Hermed har alle dele a raketten samme angrebsvinkel og samme hastighed - q og α er ens or alle komponenterne. Iølge komponentmetoden skrives den totale normalkrat som sommen a de enkelte normalkræter, altså: c = ( c + ( c + ( c + ( c nα nα n nα bt nα ct nα Benyttes dette i momentbalanceligningen inder man: X = ( c α ( X + ( c α ( X + ( c α ( X + ( c α ( X cp ( c + ( c + ( c + ( c n n cp n n bt cp bt n ct cp ct n cp nα n nα bt nα ct nα Dette udtryk gælder i princippet ved alle hastigheder og or alle de konigurationer, hvor komponentmetoden gælder, dvs. man skal med rimelighed kunne inddele sin raket i standardkomponenter. Imidlertid vil man opdage, at den enkelte c nα 'er og X cp 'er ahænger på kompliceret vis a hastigheden - primært a machtallet, dvs. hastigheden divideret med lydens hastighed. Ved lave hastigheder, dvs op til ca. 180m/s, indes der imidlertid et sæt 'høkerormler', som angiver c nα og X cp or standardkomponenterne, og som gør det enkelt at bestemme X cp or en 'almindelig' raket. Formlerne, som tilskrives J. Barrowman indes i appendix. Da (c nα normalt er væsentligt større end de øvrige komponenters c nα 'er, vil X cp almindeligvis være 'i nærheden' a innerne. Koniske overgange der indsnævrer diameteren - de såkaldte boat-tails har en negativ

7 Note om aerodynamik or raketbyggere 7 værdi or c nα, og da disse i reglen placeres i rakettens agterende or at reducere lutmodstanden, vil de have en særdeles dårlig indlydelse på rakettens stabilitetsegenskaber. Det bemærkes, at proceduren or at bestemme X cg er helt analog med den ovenstående procedure. Også her inddeler man raketten i et antal passende komponenter, hvis vægt og tyngdepunkt bestemmes hver or sig. Benytter man samme inddeling som ved de aerodynamiske kræter ås: (M n ( X cg n + (M bt ( X cg bt + ( M ct ( X cg ct + (M ( X cg X cg = (M + (M + ( M + (M hvor M angiver den enkelte komponents masse. n bt ct Kendskabet til X cg og X cp gør det muligt at lave en statisk stabilitetsanalyse. I princippet er raketten stabil, hvis blot X cp > X cg men i praksis må denne betingelse orlanges overholdt med en vis margin. Ote opererer man med den 'statiske margin': SM X X cp cg = d som stabilitetsmål, med tommelingerreglen, at 1 < SM < or en 'ornutigt' designet raket. 'd' er rakettens diameter. Det ligger i denne vurdering, at hvis SM er or stor, vil raketten reagere meget hurtigt på orstyrrelser. En mere moderat SM vil give et mere 'harmonisk' baneorløb og lavere ølsomhed or sidevind. Når man laver sin stabilitetsanalyse skal man principielt undersøge orholdene under hele baneorløbet. Tyngdepunktet lytter sig når raketten accelererer, og hvis hastigheden overstiger 180m/s vil X cp også lytte sig. Tyngdepunktet vil normalt bevæge sig mellem de positioner som det har i tilældene med og uden brændsto. I nogle tilælde kan tyngdepunktet dog lytte uden or dette interval når brændstoet er delvist orbrugt. Bevægelsen a X cp er væsentlig sværere at bestemme, men i reglen vil X cp vandre bagud cirka indtil lydens hastighed nås, hvoreter det igen vandrer remad, så det ved ca. gange lydens hastighed igen når den position som beregnes med Barrowman's ormler. Det betyder, at en raket der er stabil ved lave hastigheder i reglen vil være stabil ved hastigheder op til ca. Mach. Hvis innerne imidlertid bliver or tykke, kan man dog løbe ind i stabilitetsproblemmer allerede ved ca. 0.8 Mach!! Nedenor er vist or løbet a X cp og X cg or sonderaketten Black Brant IIA, som er rimeligt repræsentativt or en 'almindelig' raket.

8 Note om aerodynamik or raketbyggere 8 Dynamisk stabilitet Ved en dynamisk stabilitetsundersøgelse må rakettens bevægelse medregnes, idet dens tyngdepunkt vil ølge en ballistisk bane, hvorimod resten a raketten vil dreje sig omkring tyngdepunktet. De enkelte dele a raketten vil å induceret en hastighedskomposant ra drejebevægelsen, hvis størrelse ahænger a den enkelte dels astand ra tyngdepunktet og vinkelhastigheden i drejebevægelsen. I middel vil alle rakettens dele naturligvis have den samme hastighed, men ud ra en øjebliksbetragtning vil rakettens dele have lokalt varierende hastighedsvektorer - og dermed angrebsvinkler. For lyvinger og raketinner gælder, at hvis angrebsvinklen bliver tilstrækkeligt stor bliver c Nα negativ (stall. For en raket med sæt inner, hvora det ene sæt beinder sig langt ra tyngdepunktet, vil en stor vinkelhastighed ved en ellers relativt lav hastighed kunne bringe stabiliteten i are, selvom raketten er statisk stabil ved den aktuelle angrebsvinkel. For at lave en dynamisk stabilitetsundersøgelse skal man således undersøge positionen a lutens angrebspunkt ved alle hastigheder, alle angrebsvinkler og alle vinkelhastigheder, hvilket selvsagt er en omattende aære. Lutmodstand Ved bestemmelse a lutmodstanden går man principielt rem på samme måde som ved normalkratbestemmelsen, dog opererer man med nogle lidt andre komponenter. Der gælder som tidligere nævnt or små værdier a α at: D = ½AρV C α 1 AρV c D ( d

9 Note om aerodynamik or raketbyggere 9 Man antager at drag koeicienten c d kan skrives som summen a en række bidrag. Størrelsen a de orskellige bidrag ahænger kratigt a hastigheden, idet nogle a bidragene kun er relevante ved hastigheder mindre end lydens, mens andre kun er relevante ved overlydshastigheder. I denne sammenhæng begrænser vi os til hastigheder under ca. 00m/s. Den subsoniske drag koeicient opattes iølge komponentmetoden som summen a de enkelte komponenters bidrag og et eller lere intererensled. Intererensen viser sig primært at opstå når en raketkrop orsynes med inner. Vi skriver i ørste omgang: c = ( c + ( c d d body d Når luten strømmer orbi raketten opstår der dels et overtryk oran raketten og dels et undertryk bag raketten. Desuden gælder der, at dannes et såkaldt grænselag omkring raketten. Grænselaget er en hinde a lut, hvor lutmolekylernes hastighed varierer ra 0 (i orhold til raketten ved selve rakettens overlade til rakettens ulde hastighed i grænselagets udkant. Alle disse tre eekter bidrager til den samlede lutmodstand: ( c = ( c + ( c + ( c d body d riction d base d pressure For 'normale' raketter med relativt spidse næsekegler og koniske overgange kan overtryks bidraget korreleres med overladeriktionen. Undertryksbidraget ra basen kan approximeres med et led der ahænger a machtallet (v/v lyd : v lyd = 340m/s: 60 l ( cd body = R C [ l d max ] d b Stot 0. 5πd b 3 max v v vlyd vlyd Hvor C er overladeriktionskoeicienten, l b er raketkroppens længde, d max er raketkroppens maksimale diameter, d base er diameteren a rakettens base, d er næsekeglens roddiameter, v er rakettens hastighed og S tot er overladearealet or den samlede raketkrop bortset ra basen. R er en intererens aktor - se senere. Til bestemelse a overladeriktionskoeicienten beregnes Reynoldstallet: Re = v l b ρ µ hvor ρ er lutens densitet (1.kg/m 3 og µ er den dynamiske viskositet *10-5 (kg/(ms. Overladeriktionskoeicienten beregnes ved Blasius ormel or laminart low (Re < 5*10 5 og med von Schlichtings ormel ved turbulent low: Re < 5 10 C = Re Re log(re Re I princippet skal der også tages hensyn til overladerughed ved beregning a C. Da overladerugheden imidlertid normalt ørst år betydning ved relativt store Reynoldstal antages det her, at overladen er helt glat. Betragtningerne omkring raketkroppens lutmodstand gælder tilsvarende or tynde tilbagestrøgne inner: t t S inn ( cd = R C, +. + c c πd 1 d d base

10 Note om aerodynamik or raketbyggere 10 hvor t/c er innens gennemsnitlige tykkelsesorhold, S inn er innernes totale overlade (altså begge sider og C, er overladeriktionskoeicienten som basere på innernes Reynoldstal: v l Re = ρ µ hvor l er den 'gennemsnitlige højde' a innerne. Strømningen omkring innerne antages at være turbulent ved alle hastigheder: C, = log(re. 58 Bliver innerne or tykke, eller hvis de har stump or- eller bagkant, gælder udtrykket or (c d ikke længere. Når lutmodstanden or den samlede raket beregnes skal der tages hensyn til intererensen mellem inner og raketkrop. Denne intererens approximeres med en ast orøgelse a den samlede overladeriktion og overtryksmodstand: R = Sålænge raketmotoren er tændt, vil udstødningsgasserne ekspandere til omgivelsestryk, og dermed ylde det vakuum, som ellers opstår bag basen. Lutmodstandsbidraget ra basen vil deror ahænge a, om motoren er tændt eller ej. I den drevne ase, skal man deror i ormlen or (c d body benytte den ækvivalente basediameter, som indes ved at ratrække dysens exitareal ra rakettens baseareal, og omregne til ækvivalent diameter.

11 Note om aerodynamik or raketbyggere 11 APPENDIX A: Barrowmans ormler En blandt amatører og semiproesionelle raketbyggere meget udbredt - næsten enerådende - metode or stabilitetsanalyse er udviklet a J. Barrowman or Century Engineering Company til glæde or modelraketolket. Metoden udmærker sig ved både at være meget generel, og samtidigt så simpel at den kan bruges a en gymnasielev med regnestok. Der tages dog visse orbehold or anvendelsesområdet: 1. Angrebsvinklen er lille, dvs. α < ca. 10 O. Rakettens hastighed er mindre end 180 m/s. 3. Lutens strømning omkring raketten skal være jævn og må ikke pludselig ændre retning. 4. Rakettens længde skal være væsentligt større end dens største diameter. 5. Formen på raketten må ikke være abrupt, og den skal ende i et punkt. 6. Raketten skal være symmetrisk omkring længdeaksen. 7. Raketten skal være uelastisk. 8. Finnerne skal være lavet a 'tynde' plader. Barrowman betragter de komponenter, som en typisk raket kan tænkes at bestå a, nemlig næsekegle, inner, koniske overgange og - omend kun indirekte - cylindriske sektioner. Forudsætningerne 3, 5 og 6 sikrer, at man med rimelighed kan slutte sig til den samlede rakets aerodynamiske egenskaber på baggrund a komponentegenskaberne. Næsekeglen For en næsekegle med længde L n og volumen V n gælder: ( c n α = og ( X = L - n cp n n V n π 4 d For de mest benyttede typer a næsekeglen inder man ølgende værdier or X n : Konisk næsekegle Tangent Ogive næsekegle Parabolsk næsekegle (X cp n = /3 L n (X cp n = L n (X cp n = 1/ L n Cylindriske sektioner For en cylindrisk sektion gælder at ( samlede stabilitetsberegning. c n α bt = 0, og at den dermed udgår a den Strengt taget er dette ikke helt korrekt, og strengt taget er udtrykket or næsekeglen heller ikke korrekt. Udtrykket or næsekeglen gælder nemlig i virkeligheden or en næsekegle med cylindrisk bagkrop - dvs. udtrykket or næsekeglen tager også hensyn til intererens med den eterølgende cylindriske del.

12 Note om aerodynamik or raketbyggere 1 Koniske overgange d 1 d 1 X ct L ct Lct X ct N ct (X pos ct N ct d d For en konisk overgang med længden l ct, rontdiameteren d 1 og agterdiameteren d gælder ølgende udtryk: d d ( cnα = ct d 1 og ( X = ( X + L 1 - d 1 ct 1 + d cp ct pos ct d 3 d1 1 - d Bemærk at udtrykket or (c nα ct skiter ortegn, hvis d 1 > d. Finner For innerne deineres de mekaniske mål som angivet på iguren: a s u b X R s Ved beregning a innernes bidrag skal der speciikt tages hensyn til intererens mellem innerne og raketkroppen. Man skriver udtrykket på ølgende måde: ( c = K ( c nα nα hvor index står or 'inn in prescence o body', mens index angiver 'inn alone'. Igen negligeres et bidrag ra raketkroppen som skyldes at den del a raketkroppen som sidder mellem innerne 'kommer til at virke som en inne'. Dette led er imidlertid ikke så stort, så det har Barrowman valgt at udelade. X N For innerne alene angiver benyttes det ølgende udtryk: ( c nα = s n 4 d λ a + b

13 Note om aerodynamik or raketbyggere 13 ( ½( = s + u + b a λ Størrelsen a intererensaktoren ahænger a hvor mange inner der sidder i den enkelte innesektion: R K = 1 + S + R or 3 eller 4 inner og K = R or 6 inner pr. innesektion. S + R Positionen a (X cp viser sig at være uahængig a intererens med raketkroppen: u( a + b 1 ab ( X cp = ( X cp = ( X pos + + a + b 3( a + b 6 a + b Nu er alle størrelser til rådighed, hvormed man kan beregne den samlede position a X cp or hele raketten: X = ( c nα n ( X cp n + ( cnα ct ( X cp ct + ( c nα ( X cp cp ( c + ( c + ( c nα n nα ct nα Hvis man har mere en et sæt inner eller mere end én konisk overgang, så tiløjes de blot som ekstra led til ormlen.

14 Note om aerodynamik or raketbyggere 14 APPENDIX B: Et eksempel Den nedenstående igur viser en simpel raketkoniguration med realistiske DARK mål. A tegningen inder man de relevante dimensioner: L n = 300 a = 75 u = 0 n = 4 d = 100 b = 75 s = 100 R = 50 Barrowman's metode giver ølgende: (c nα [pr. radian] (X cp [mm] Næsekegle (c nα n = (X cp n = /3 *300 = 00 Koniske overgange - - Finner l = 100 K = (c nα = 6.0 (c nα = Samlet raket (c nα = (c nα n + (c nα = = (X cp = (X pos = = (X cp = (* *7.998/9.998 = 1175 For beregning a lutmodstanden gøres yderligere nogle antagelser: 1. Rakettens hastighed sættes til 150m/s, lydens hastighed sættes til 340m/s. Dysens exitdiameter sættes til 60mm 3. Finnernes tykkelse sættes til 3.75mm svarende til t/c = 0.05 A dette, og a iguren ovenor ås ølgende supplerende mål: l b = 1.5 m d = 0.1 m d max = 0.1 d base = 0.1 (motor ikke tændt

15 Note om aerodynamik or raketbyggere 15 Først beregnes ølgende størrelser: Eektiv basediameter med tændt motor: d base = *sqrt(0.5* *0.06 = 0.08m (motor tændt Raketkroppens samlede overlade (basen raregnet, raketkroppens Reynoldstal og riktionskoeicient: S tot = π*( * *π*0.1*sqrt( = 0.48m Re = 150*1.5*1./1.6899*10-5 = 15.98*10 6 C = 0.455/ /3997 =.457*10-3 Hera indes: Lutmodstandskoeicient or raketkrop med motor slukket: (c d body = 1.015*.457*10-3 *( * /( = = Lutmodstandskoeicient or raketkrop med tændt motor: (c d body = *0.64 = For innerne indes Reynoldstal, riktionskoeicient og lutmodstandskoeicient: Re = 150*0.075*1./1.6899*10-5 = 7.99*10 5 C, = 0.455/( = 4.67*10-3 (c d = 1.015*4.67*10-3 *( **4*0.1*0.075/7.854*10-3 = Det bemærkes at de ovenstående udregninger indregner intererens mellem raketkroppen og innerne. Deror kan den samlede lutmodstandskoeicient bestemmes som summen a de ør undne koeicienter. Det giver ølgende resultater: (c d raket = = 0.44 (motor slukket. og (c d raket = 0.6 (motor tændt.