Den Flydende Kran Samson

Transkript

1 Den Flydende Kran Samson Formål: Kranen Samson, har en maksimal løfteevne på 900 tons, kranarmen er på 67 meter. Formålet med dette projekt er at løse nogle forskellige opgaver om geometrien for kranen. Teori: For at regne følgende opgaver, vil jeg bruge hjælpetrekanter og bruge cosinusrelationer. I hver opgave skriver jeg teori, og derefter resultater og beregninger. Opgaven: Her er tegningen som vi skal følge, jeg tegner de trekanter jeg skal finde på billedet nedenunder: 1

2 Her er billedet af de trekanter jeg skal finde, DAC, CABmax, CABmin opgave 1: Fastlæg geometrien på kranen ved at bestemme vinkler og længder i trekanterne DAC og CABmax og CABmin. Jeg starter først med at beregne DAC, først fortæller jeg hvordan jeg kommer frem til resultatet og efterfølgende, resultaterne. For at finde DAC, må jeg bruge en hjælpetrekant som ligger nedeunder, for at jeg kan beregne D-C, for at komme frem til geometrien skal man kende 2 sider og en vinkel (i hvert fald i dette tilfælde). Jeg kan ikke beregne trekanten DAC, da jeg kun kender en side, men hvis jeg beregner den nedenunder kender jeg yderligere en side og en vinkel. Her er den trekant jeg skal bruge (mørkerød) og den trekant nedenunder (mørkeblå): Jeg kan beregne den mørkeblå, da jeg kender en vinkel og to længder. 5m 44m og 90 grader. For at formelen giver meningen giver jeg trekantens vinkel og længder navne (a,b,c A,B,C) a=5m b=44 C= 90 grader. Her er formelen jeg vil bruge for at finde længden c: a! + b! 2 a b cos C = c og vinkel A: cos!! b! + c! a! 2 b c = A 2

3 Vinkel B er meget enkel, der trækker jeg bare de vinkler jeg har fra 180, så har jeg den sidste vinkel. Så har jeg fundet al geometri i den retvinklede trekant nedenunder, nu må jeg gå i gang med trekanten DAC. Her bruger jeg c, fra den retvinklede trekant og kalder den for a. Jeg har nu to længder, og jeg mangler en vinkel. For at finde den vinkel, så jeg kan regne videre, må jeg lave en ekstra retvinkled hjælpetrekant. Den skal jeg dog ikke, lave så meget ved, udover bruge fordelen at den er retvinklet. Så tager jeg de 90 o fra vinkel A, fra den anden hjælpetrekant, så har jeg vinklen i DAC. Nu kan jeg beregne resten. Ved at bruge de samme formler som, da jeg beregnede hjælpetrekanten. Så jeg går bare direkte frem til resultaterne, så vil det give sig selv, når man ser det. Resultater: Hjælpetrekanten: 5! + 44! cos 90 = 44,283 her har jeg længden c cos!! 44! + 44,283! 5! ,283 = 6,483! her har jeg vinklen A ,483= 83,517, dette er vinklen for B 3

4 Trekanten DAC Jeg navngiver også denne trekants sider og vinkler (a,b,c A,B,C) a! + c! 2 a c cos B = b 44,283! + 38! 2 44, cos 83,517 = 55 cos!! b! + c! a! 2 b c = A cos!! 55! + 38! 44,283! = 53,13 Så bruger jeg 180graders reglen ,13-55= 43,353 Nu vil jeg beregne CABmax: Her kender jeg to længder, 67m og 55m. Jeg mangler en vinkel for at kunne beregne geometrien, i denne trekant. Dette gør jeg ved hjælp af en hjælpetrekant. Hjælpetrekanten er rød som vist på dette billedet: Så skal jeg finde frem til vinklen i denne trekant. Der er næsten en cirkel så man kan sige: og træk det fra de fundne vinkler i C på billedet altså de tre vinkler man har fundet. Og så kan man finde vinklen af CABmax. Så man kan beregne resten. Men først skal jeg finde vinklen i hjælpetrakanten. 4

5 Hjælpetrekanten har følgende geometri: 65m, 67m og 90 grader. 65!! sin 67 = 75,965 og det er den vinkel som jeg skal bruge, for at regne videre. så beregner jeg vinkel C i CABmax, =270; ,965-43,353-83,517= 67,165. Så nu kan jeg gå videre med at beregne geometrien i CABmax. Jeg har længderne a=67m b=55m C=67,165 67! + 55! cos 67,165 = 68,219, nu har jeg c cos!! 55! + 68,219! 67! = 64,844, som er vinkel A Vinkel B finder jeg ved 180gradersreglen: ,844-67,165=47,991 5

6 Nu skal jeg finde geometrien i CABmin: Igen skal jeg bruge en hjælpetrekant: Jeg skal finde vinklen, der ligger op af C, for at kunne beregne (ligesom sidst) vinklen på den vinkel der grænser op til punkt C. Ved at finde vinkelen i hjælpetrekanten, skal jeg beregne lidt på geometrien i trekanten. C=90, a=25m, c=67m Jeg skal kun finde vinkel A i hjælpetrekanten: 25!! sin 67 = 21,909 Så har jeg den sidste vinkel jeg skal bruge for at beregne CABmin s vinkel som grænser op til C ,517-43,353-21,909=121,221 o nu kan jeg beregne resten af CABmin s geometri for nu kender jeg: a=67m, b=55m, C=121,221 o 67! + 55! cos 121,221 = 106,462 som er længde c cos!! 55! + 106,462! 67! = 32,56, som er vinkel A , ,221-32,56=26,219 som er vinkel C 6

7 Et billede som fortæller hvor de forskellige vinkler og sider er (en lille fejl, den grønbrune trekant skal ikke ramme B men Bmax, men beregningerne skulle være gode nok): Opgave 2 For at finde vinklen for, v i Bmax og Bmin, bruger jeg et princip jeg har brugt tidligere ved at tage 270 o og trække fra med de andre vinkler, altså dem vest for Bmax. DVS ,165-83,517-43,353=75,965 o så har jeg vinkel v for Bmax. Men for Bmin, har jeg allerede fundet frem til i opgave 1 i sidste hjælpetrekant: 21,909 o Opgave 3 Sammenhængen mellem kablet og vinkel v er, at jo længere kablet bliver strækt ud, desto mindre bliver vinkel v. Opgave4 For at finde afstanden mellem Bmax og Bmin skal jeg først finde vinkel v mellem Bmax og Bmin, og det er 75,965-21,909= 54,056 o så bruger jeg denne formel: a 2 =b 2 +c 2-2bc*Cos(A) a 2 = *67*67*Cos(54)=3700, ,86=60,8 meter Så afstanden mellem Bmax-min er 60,8 meter 7

8 Opgave5 den lodrette afstand fra løftepunkt B til vandoverfladen, kan beskrives med tangens på følgende måde: Tangens er modstående katete/hosliggende katete, såfremt at det er en vinkelret trekant. Dvs. TanB=b/a Så det afhænger af hvad vinkel B er i dette tilfælde, fx hvis den var 50 o. Så skulle man tage tangens B (tanb) så skal jeg gange med a så står b alene: Tan(50)*67=79,8475m Opgave6 Jeg skal finde ud af hvor meget, kranen kan løfte en 5 meter høj og 450 tons genstand. Det kan jeg se på diagrammet at den kan løfte til 45 meter ved 450 tons. Så vil jeg trække 5 meter fra, da genstanden er så lang. Dvs. At den kan løfte 40 meter med den genstand. Konklusion: Ved at bruge matematiske beregninger vhs. Cosinusrelationen og ved hjælp af hjælpetrekanter, og ved at bruge fordele ved trekanternes 180grader kan man komme frem til mange ting! Så derfor ud for en tegning kan man beregne uden egentlig at måle sig frem til resultaterne. 8