ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44
ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer er forbudt i henhold til Lov om ophavsret. Forbuddet gælder alle former for mangfoldiggørelse ved trykning, fotografering og elektronisk databehandling.
Indholdsfortegnelse 1...2 1.1 Titalssystemet...2 1.2 Potenser...2 1.3 Totalssystemet...3 1.4 Index...3 1.5 Ottetalssystemet...4 1.6 Sekstentalssystemet...5 1.7 Regneregler i andre talsystemer...5 2 Konverterings tabel...6 3 Sammenhængen og omregninger mellem totalssystemet og det hexadecimale system...7 4 Konvertering fra decimalsystemet til andre systemer...9 4.1 Metode 1: Del med grundtallet...9 4.2 Metode 2: Del med potenser af grundtallet...10 4.3 Metode 3: Del med potenser af grundtallet med hjælp af en tabel...12 5 IP adresser...14 6 Datatyper...14 7 Opgaver...15 7.1 Øvelse i omsætning decimal- til binærtal...15 7.2 Øvelse i omsætning binær- til decimal tal...15 7.3 Øvelse i omsætning decimal- til hexadecimaltal...16 7.4 Øvelse i omsætning hexadecimal- til decimaltal...16 7.5 Øvelse i omsætning hexadecimal- til binærtal...17 7.6 Øvelse i omsætning binær- til hexadecimaltal...17 1
1 Når man arbejder med digitale teknikker, vil man støde på forskellige talsystemer. Her vil vi omtale: Titalssystemet (det decimale systemet) Totalssystemet (det binære system) Ottetalssystemet (det oktale system) Sekstentalssystemet (det hexadecimale system) Alle disse systemer er positionssystemer, hvor tallets position i rækken angiver dens værdi. I modsætning til dette system ses romertal. 1.1 Titalssystemet Systemets opbygning Det talsystem, som vi er vant til at arbejde med, og som vi bruger til at lægge sammen og trække fra med og til at regne vores løn ud efter, kaldes titalssystemet eller det det decimale system. Dette skyldes to ting. For det første består titalssystemet af præcis ti forskellige tal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 For det andet er hvert ciffers placering i et helt tal baseret på potenser af 10. Tusinder Hundreder Tiere Enere 2 0 1 0 Som det ses af eksemplet, er det ikke kun tallet egen værdi, der tæller. Tallets placering spiller også en rolle. Tager vi totallet, betyder det ikke bare to, men angiver antallet af tusinder, nemlig to tusinde. 1.2 Potenser Årstallets enkelte cifres betydning kan også anskueliggøres med titalspotenser: Derfor kan årstallet deles med hver ciffer for sig: 2
2 0 1 1 1 1 = 1 1 10 = 10 0 100 = 0 2 1000 = 2000 2011 1.3 Totalssystemet Systemets opbygning Alle computersystemer arbejder med totalssystemet, som også kaldes det binære talsystem. Dette talsystem har kun to forskellige cifre at arbejde med: 0, 1 Et tal i totalssystemet kaldes ofte for en bit. Ordet stammer fra BInary digit. Et tal, som er skrevet i totalssystemet, kan anskueliggøres i totalspotenser: 2 5 = 32 2 4 = 16 2 3 = 8 2 2 = 4 2 1 = 2 2 0 = 1 1 1 0 0 1 0 2 1.4 Index Når man arbejder med forskellige talsystemer, er det klogt at sætte et index på tallet for at fortælle, hvilket talsystem man arbejder med. På engelsk kaldes talsystemet radix. 2010 D = Titalssystemet (2010 10 ) 2010 O = Ottetalssystemet 1010 B = Totalssystemet A01F0 H = Sekstentalssystemet (Hexadecimaletalssystemet) (A01F0 16 ) Hexadecimale tal kan også være mærket med begyndelses tegnene 0x i stedet½ for et index, som f. eks: 3
0xBB = BB H Et eksempel fra totalssystemet til decimalsystemet: 110010 B = 50 D 1 1 0 0 1 0 2 0 1 = 0 1 2 = 2 0 4 = 0 0 8 = 0 1 16 = 16 1 32 = 32 50 D Til totalssystemet finder der ganske specielle regneregler som kaldes Booles algebra, som udnytter at der kun er to mulige tilstande: 1 og 0. Totalssystemet er vanskeligt for mennesker at anvende, der er for mange ettere og nuller til at vi kan holde styr på dem ved større tal, derfor indførte man ottetalssystemet, og senere sekstentalssystemet. 1.5 Ottetalssystemet Systemets opbygning Et tal, som er skrevet i ottetalssystemet, også kaldet oktalsystemet, kan beskrives med ottetalspotenser. Dette talsystem har kun otte forskellige cifre at arbejde med: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8 4 = 4096 8 3 = 512 8 2 = 64 8 1 = 8 8 0 = 1 7 5 3 1 0 O Ottetalssystemet blev ofte tidligere anvendt i simple styringsprogrammer, men anvendes i dag ikke ret meget. 4
1.6 Sekstentalssystemet Systemets opbygning Sekstentalssystemet, eller det hexadecimale system, forkortet til Hex er i dag enerådede i computersystemer. Dette talsystem har seksten forskellige cifre at arbejde med. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Da vi kun har ti forskellige talsymboler, har det været nødvendigt at tage nogle bogstaver til hjælp. 16 4 = 65.536 16 3 = 4.096 16 2 = 256 16 1 = 16 16 0 = 1 7 A 3 F 9 H Fra sekstentalssystemet til decimalsystemet: 7A3F9 H = 500.729 D 7 A 3 F 9 H 9 1= 9 15 16 = 240 3 256= 768 10 4.096= 40.960 7 65.536= 458.752 500.729 D 1.7 Regneregler i andre talsystemer De almindelige regneregler for addition, subtraktion, multiplikation og division (lægge sammen, trække fra, gange og dividere) gælder også i andre talsystemer. Eksempler 1100 1111 +1001 +1001 10101 11000 5
2 Konverterings tabel Binær Oktal Hex Dec. 0 0 0 0 1 1 1 1 10 2 2 2 11 3 3 3 100 4 4 4 101 5 5 5 110 6 6 6 111 7 7 7 1000 10 8 8 1001 11 9 9 1010 12 A 10 1011 13 B 11 1100 14 C 12 1101 15 D 13 1110 16 E 14 1111 17 F 15 10000 20 10 16 10001 21 11 17 10010 22 12 18 10011 23 13 19 10100 24 14 20 10101 25 15 21 10110 26 16 22 10111 27 17 23 11000 30 18 24 11001 31 19 25 11010 32 1A 26 11011 33 1B 27 11100 34 1C 28 11101 35 1D 29 11110 36 1E 30 11111 37 1F 31 100000 40 20 32 6
3 Sammenhængen og omregninger mellem totalssystemet og det hexadecimale system. Som tidligere nævnt er totalssystemet velegnet til elektrisk udstyr, men uegnet for mennesker. Ved at indføre det hexadecimalesystem, er der indført en mellemting som er egnet for både computere og mennesker. Et binært tal kan inddeles i grupper af 4 cifre (bagfra), hvert af disse kan nemt konverteres til et hexadecimalt tal. 1111100111010111000010000101011001 B 0011 1110 0111 0101 1100 0010 0001 0101 1001 B 3 E 7 5 C 2 1 5 9 H 3 E7 5C 21 59 H Tilsvarende er det nemt at gå fra et hexadecimalt tal til et binært: B 51 A8 0C 7F H = 10110101000110101000000011000111111 B B 5 1 A 8 0 C 7 F H 1011 0101 0001 1010 1000 0000 1100 0111 1111 B 7
4 Konvertering fra decimalsystemet til andre systemer Der er 2-3 forskellige måder til at konvertere fra decimal tal til andre talsystemer. Metode 1: Del med grundtallet Metode 2: Del med potenser af grundtallet Metode 3, som metode 2: Del med potenser af grundtallet med hjælp af en tabel. Alle metoder beskrives. 4.1 Metode 1: Del med grundtallet For at konvertere et tal fra titalssystemet til et andet talsystem, skal tallet divideres med det nye talsystems grundtal. Resten er det mindst betydende ciffer (LSB : least significant bit). Heltallet fra den første division deles igen med grundtallet. Resten er det næstmindst betydende ciffer. Divisionen gentages indtil der kun er en rest tilbage. Denne rest er det mest betydende ciffer. (MSB : most significant bit). Eksempel 1: Konverter 12345 D til hexadecimal: 12345 D /16 giver 771, resten er 9 Mindst betydende ciffer, LSB 771 D /16 giver 48, resten er 3 48 D /16 giver 3, resten er 0 3 D /16 giver 0, resten er 3 Mest betydende ciffer, MSB Resultat: 12345 D = 3039 H Bemærk: Denne metode giver det mindst betydende ciffer først og det mest betydende til sidst. Eksempel 2: Konverter 12345 D til binær: 12345 D /2 giver 6172, resten er 1. 1 LSB (Bemærk at 12345 er ulige, derfor bliver resten 1) 6172 D /2 giver 3086, resten er 0 8
3086 D /2 giver 1543, resten er 0 1543 D /2 giver 771, resten er 1 771 D /2 giver 385, resten er 1 385 D /2 giver 192, resten er 1 192 D /2 giver 96, resten er 0 96 D /2 giver 48, resten er 0 48 D /2 giver 24, resten er 0 24 D /2 giver 12, resten er 0 12 D /2 giver 6, resten er 0 6 D /2 giver 3, resten er 0 3 D /2 giver 1, resten er 1 1 D /2 giver 0, resten er 1 MSB Resultat:12345 D = 11 0000 0011 1001 B 4.2 Metode 2: Del med potenser af grundtallet For at konvertere et tal fra titalssystemet til et andet talsystem, skal tallet fratrækkes det største antal af potens af grundtallet, der kan være i tallet. Antallet noteres og er det mest betydende ciffer. Resten fratrækkes igen den næste mindre potens af grundtallet. Antallet noteres og er det næstmest betydende ciffer. Således fortsættes indtil man har divideret med 1. Den sidste division giver det mindst betydende ciffer. Eksempel 1: Konverter 12345 D til hexadecimal: 12345 D 3 4096, giver resten 57 3 Mest betydende ciffer, MSB 57 D 0 256, giver resten 57 0 57 D 3 16 giver resten 9 3 9 D 9 1 giver resten 0 9 Mindst betydende ciffer, LSB Resultat: 12345 D = 3039 H 9
Bemærk: Denne metode giver det mest betydende ciffer først og det mindst betydende til sidst. Eksempel 2: Konverter 17 D til binær: 17 D 1 16 resten er 1 1 MSB 1 D 0 8 resten er 1 0 1 D 0 4 resten er 1 0 1 D 0 2 resten er 1 0 1 D 1 1 resten er 0 1 LSB Resultat: 17 D = 1 0001 B Eksempel 3: Konverter 12345 D til binær: 12345 D 1 8192 giver resten 4153. 1 MSB 4153 D 1 4096 resten er 57 1 57 D 0 2048 resten er 57 0 57 D 0 1024 resten er 57 0 57 D 0 512 resten er 57 0 57 D 0 256 resten er 57 0 57 D 0 128 resten er 57 0 57 D 0 64 resten er 57 0 57 D 1 32 resten er 25 1 25 D 1 16 resten er 9 1 9 D 1 8 resten er 1 1 1 D 0 4 resten er 1 0 1 D 0 2 resten er 1 0 1 D 1 1 resten er 0 1 LSB Resultat: 12345 D = 11 0000 0011 1001 B 10
4.3 Metode 3: Del med potenser af grundtallet med hjælp af en tabel Denne metode er en videreudvikling af metode 2, hvor der bruges en tabel som hjælpeværktøj. For at konvertere et tal fra titalssystemet til et andet talsystem, skal tallet fratrækkes det største antal af potens af grundtallet, der kan være i tallet. Tabel til brug ved omsætning mellem decimaltal og hexadecimatal: 16 7 16 6 16 5 16 4 16 3 16 2 16 1 16 0 1 268435456 16777216 1048576 65536 4096 256 16 1 2 536870912 33554432 2097152 131072 8192 512 32 2 3 805306368 50331648 3145728 196608 12288 768 48 3 4 1073741824 67108864 4194304 262144 16384 1024 64 4 5 1342177280 83886080 5242880 327680 20480 1280 80 5 6 1610612736 100663296 6291456 393216 24576 1536 96 6 7 1879048192 117440512 7340032 458752 28672 1792 112 7 8 2147483648 134217728 8388608 524288 32768 2048 128 8 9 2415919104 150994944 9437184 589824 36864 2304 144 9 A 2684354560 167772160 10485760 655360 40960 2560 160 10 B 2952790016 184549376 11534336 720896 45056 2816 176 11 C 3221225472 201326592 12582912 786432 49152 3072 192 12 D 3489660928 218103808 13631488 851968 53248 3328 208 13 E 3758096384 234881024 14680064 917504 57344 3584 224 14 F 4026531840 251658240 15728640 983040 61440 3840 240 15 Eksempel Konverter 12345 D til hexadecimalt: I tabellen findes det største tal, som er mindre end tallet, der skal konverteres. I dette tilfælde 12288 som er 3*16 3. (Det hexadecimale tal vil da blive 3xxx) 12345-12288 = 57 Alle tal i kolonnen 16 2 er for store, så dette ciffer er 0 (Det hexadecimale tal vil da blive 30xx) Det største tal der er mindre end 57 er 48 = 3*16 1. (Det hexadecimale tal vil da blive 303x) 57 48 = 9 Det største tal der er mindre end 9 er 9 = 9*16 0. Det hexadecimale tal vil da blive 3039 9 9 = 0 11
5 IP adresser På internettet har alle computere, servere og routere et nummer/ip adressen. IP adressen er et binært tal med 32 cifre. Som tidligere nævnt er vi mennesker ikke glade for totalssystemet, og man har valgt dele de 32 cifre op i 4 grupper af 8 bits, og angive hver gruppe med et decimal tal. Fordelen ved dette system ses når der skal laves sub-netting mv. i netværk. Eksempel: IP adresse: 80.196.146.186: IP adresse: 80 196 146 186 Hex.: 50 C4 92 BA Binært.: 01010000 11000100 10010010 10111010 Binært bliver adressen da : 0101 0000 1100 0100 1001 0010 1011 1010 B Den højeste mulige adresse i dette system bliver da: 255.255.255.255 svarende til binært: 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 B Der er i alt 2 32 = 4.294.967.296 forskellige mulige adresser (knapt en til hvert menneske på jorden) med den nuværende standard, kaldet Ipv4. I den nye standard IPv6 er adressernes størrelse udvidet til 128 bit. Det betyder at er 2 128, eller 3,403 10 38, tilgængelige adresser. Med en verdensbefolkning på cirka 6,6 milliarder svarer det til cirka 5,1 10 28 adresser per person. 6 Datatyper 4 bit samlet kaldes ofte en nybble 8 bits samlet kaldes ofte en byte. En byte på 8 bits kan angive en af 2 8 = 256 forskellige tilstande. 12
7 Opgaver 7.1 Øvelse i omsætning decimal- til binærtal Omsæt følgende tal til binær: 257 D = 68 D = 7 D = 33 D = 10 D = 6 D = 150 D = 97 D = 615 D = 2436 D = 512 D = 10000 D = 7.2 Øvelse i omsætning binær- til decimal tal Omsæt følgende tal til decimal: 1101 B = 1001 B = 11110 B = 101101 B = 11100011 B = 101 B = 11 B = 11111 B = 10000 B = 10101010 B = 13
7.3 Øvelse i omsætning decimal- til hexadecimaltal Omsæt følgende tal til hexadecimal: 16 D = 145 D = 391 D = 56 D = 4032 D = 1024 D = 159 D = 615 D = 68 D = 97 D = 2222 D = 7.4 Øvelse i omsætning hexadecimal- til decimaltal Omsæt følgende tal til decimal: FC0 H = 400 H = C3 H = 1804 H = 91 H = 187 H = 0F H = A8 H = ABC H = ABCD H = 10000 H = FFFF H = 14
7.5 Øvelse i omsætning hexadecimal- til binærtal Omsæt følgende tal til binærtal ved at opdele i grupper af 4 bits som vist: 2C8 H = 2 C 8 H 0010 1100 1000 B FC0 H = 0C3 H = 4F H = AA H = 1234 H = 7.6 Øvelse i omsætning binær- til hexadecimaltal Omsæt følgende tal til hexadecimaltal ved at opdele dem i grupper af 4 bits som vist: 001011001000 B = 0010 1100 1000 2 C 8 H 11000100 B = 101111101001 B = 1101100010100101 B = 100 B = 15