Hvor meget af vindens energi kan man udnytte?? Senest Redigeret /0-009. htt://windturbine.me/windturbines.html htt://www.unitedenergy.com/df/wind_ower.df Udskr. 7--09 Side af 6
Vindens energi er baseret å vindhastigheden i 3. otens Vindhastigheden har stor betydning for den mængde vindenergi, som en vindmølle kan omdanne til elektricitet. Har man olevet en storm, og været i det fri, ved man, at en kraftig vind kan yde et kraftigt tryk å en erson. Når luften bevæger sig, må den, fordi den vejer noget, indeholde bevægelsesenergi. Eller som det også hedder Kinetisk Energi. Kinetisk energi kan udtrykkes ved formlen: m m s s [ ] EKinetisk = m v kg = Joule Formlen udtrykker at den kinetiske energi er angivet ved en masse, og en hastighed i. otens. For fx en bil i bevægelse, udtrykker massen hvad bilen vejer i kg. Og hastigheden er jo bilens hastighed i meter r sekund. Energien i et legeme, der bevæger sig, er altså roortional med legemets masse (eller vægt), og energien stiger med hastigheden i. otens.. Kinetisk energi: Her ses lidt å formlen for kinetisk energi: Kinetisk energi er bevægelsesenergi. Det udregnes som: E kin = Kraft gange strækning. Kg m EKin = F s Joule = = Nm s Kg m Kraften F = Masse gange acceleration ) F = m a Newton = s Derfor: E = m a s[ Joule] v0 + vt vt m Strækningen er lig gennemsnits-hastighed gange tid. s = t = t s m = s Kin Udskr. 7--09 Side af 6
m v v v v t m Acceleration er hastighedsændring r tidsenhed. a s = = = = t t t s s v v m v t t t Indsættes udtrykket for strækning og acceleration fås: E = m t = [ Joule] En vindmølle høster bevægelsesenergi i luften. Det, der er interessant, er energien r tidsenhed. Fx energi r sek. Altså Joule r sekund, som er lig Watt. Kin Energi m v J Effekt = = Watt Tid tid = s I det følgende ses lidt å masse r tidsenhed: For en luftmængde i bevægelse må gælde følgende: Ved normalt atmosfæretryk ved 5 grader celsius vejer luft ca.,5 kg r. kubikmeter. Luftens densitet angives med formeltegnet ρ ( Rho ). Massefylden aftager dog en smule ved stigende luftfugtighed. ( Hvorfor???? ) Samtidig vejer kold luft mere end varm luft. Ved store højder (i bjergegne) er lufttrykket og dermed luftens massefylde lavere, hvorfor m 3 luft vejer mindre. Dvs. at den kinetiske energi i m 3 luft i bevægelse er afhængig af densiteten, Og selvfølgelig dens hastighed. Men må også være afhængig af mængden af luft, der kommer gennem vindmøllevingerne. For en vindmølle regnes med energien i den luftcylinder, der svarer til vingernes bestrøgne areal. Arealet regnes i m, og der regnes her ud fra en luftskive å meters tykkelse. Udskr. 7--09 Side 3 af 6
Altså: Hvor meget energi, der overføres til rotoren, afhænger af luftens massefylde, rotorarealet og vindhastigheden. Figuren viser, hvordan en cylindrisk skive luft med en tykkelse å meter bevæger sig gennem en tyisk.000 kw vindmølle. Den har en vingelængde å ca. 7 meter. Dvs. et bestrøgen areal å: [ ] = π A = π 7 7 = 80 m. Areal r m m Vægten, eller massen, af en luftskive å m i tykkelsen, og en diameter å 54 meter, bliver.80 gange,5 kg. =,793 ton. Ofat luften, der kommer gennem rotorarealet som skiver. Det fører så frem til den kinetiske energi i luften: kg m m m m EKinetisk = ρ A skivetykkelse v m m kg Joule 3 = = m s s s s På nettet er fundet følgende: Se: htt://www.kidwind.org/resentations/powerinthewind.t#79,7,power in the Wind [ ] Oversættes det til dansk, fås: Eller: Arbejde Joule Effekt = Watt tiden = Sekund Kinetisk Energi J Effekt = W tiden = s Udskr. 7--09 Side 4 af 6
Indsættes formlen for kinetisk energi fås: m v J Effekt = W t = s Indsættes formlen, gældende for vind fås: kg m m ρluft ARotor lluftskive vluft 3 m m m P s s = t s Dette omstruktureres lidt: l Luftskive Kg m m m P = ρluft ARotor vluft m 3 t m s s s l Luftskive t svarer til Meter r sekund. Dette er jo lig hastigheden af luften. Altså v Luft Indsættes dette i formlen fås: 3 Kg m m m Kg m PLuft = ρluft ARotor vluft W m 3 3 = = m s s s s Altså ses, at den energi, der er i luftens bevægelse, r. sek. Er roortional med luftens hastighed i 3. otens. Ps. Google kan hjæle med at regne med enheder: Enhedskonvertering vha. Google giver Watt.?? Er det ikke også således, at den energi, der skal bruges til at drive en bil fremad imod luften, vokser med bilens hastighed i 3. otens. Situationen må være den samme, som hvis man betragter situationen, med en holdende bil i stormvejr. Udskr. 7--09 Side 5 af 6
Regnes arealet af vinden til m, kan der lottes en graf for vindens energi som funktion af vindens hastighed: 3 PLuft = ρluft vluft W [ ] Grafen her viser et lot af energi i vinden ved stigende vindhastigheder: Grafen til højre viser, at ved en vindhastighed å 8 meter i sekundet er der en effekt (energimængde r. sekund) å 34 Watt r. kvadratmeter, når vinden står vinkelret å det bestrøgne rotorareal. Øges vindhastigheden til 6 m/s, bliver effekten otte gange højere, dvs. 509 W/m. Graf, der viser energien i vinden som funktion af vindhastigheden. Hvis en masse, fx en bil, fordobler sin hastighed, kræver det fire gange så meget energi at standse den ifølge Newtons. lov. Derfor bliver bremselængden for biler med høj fart meget længere!! Vindmøller udnytter vindenergien ved at bremse vinden. Hvis vindhastigheden fordobles, kommer der dobbelt så mange skiver luft af fx meters tykkelse gennem rotoren i sekundet, og hver af skiverne indeholder fire gange så meget energi. Altså 8 gange mere energi. Vinden afbøjes En vindmølle vil afbøje vinden, selv før vinden når hen til rotorlanet. Det betyder, at man aldrig vil være i stand til at høste al energien i vinden ved hjæl af en vindmølle. På billedet til højre kommer vinden fra højre, og der bruges en eller anden anordning til at osamle en del af energien i vinden. (I dette tilfælde bruges en trebladet rotor, men det kunne være en anden form for mekanisk enhed). Figuren viser strømrøret omkring en vindmølle Analogi: En Motorvej, hvor der føres sor ind til sor. For at der ikke skal ostå kø ( teoretisk ) skal man køre dobbelt så hurtigt i det ene sor! Eller modsat. Hvis sor ledes ud i sor, - er det nok, at hastigheden i de to sor er det halve af hastigheden i det ene. Udskr. 7--09 Side 6 af 6
Strømrøret Vindmøllen må nødvendigvis bremse vinden, når den osamler bevægelsesenergien og omdanner den til rotationsenergi. Det betyder, at vinden vil bevæge sig langsommere å venstre side end å højre side af rotoren. Eftersom den mængde luft, der løber gennem det bestrøgne rotorareal fra højre (r. sekund) nødvendigvis må være den samme som den mængde luft, der forlader rotorarealet til venstre, må luften udfylde et større areal (diameter) i røret bagved rotorlanet. På billedet ovenfor er dette illustreret ved at vise et tænkt rør, et såkaldt strømrør omkring vindmøllens rotor. Strømrøret viser, hvordan den langsomme vind til venstre i billedet vil ofylde et større rumfang bagved rotoren. Vinden bliver ikke bremset ned til sin endelige hastighed lige bagved rotorlanet. Obremsningen sker gradvis bagved rotoren, indtil hastigheden bliver næsten konstant. Længere bag ved rotoren, vil turbulensen i vinden få den langsomme vind bag rotoren til at blande sig med den hurtigere vind fra det omgivende område. Lævirkningen bag rotoren vil derfor gradvis aftage, jo længere man kommer væk fra vindmøllen. Hvorfor ikke et cylindrisk strømrør? Nu kan man selvfølgelig rotestere og sige, at vindmøllen ville rotere, selv om man lacerede den i et normalt cylindrisk rør, som det er gjort i billedet nedenfor. Hvorfor åstås så, at strømrøret er flaskeformet? Selvfølgelig er det rigtigt, at vindmøllen ville kunne dreje rundt, hvis den var laceret i et stort glasrør som det, der er vist til venstre. Men hvad sker der i så fald: Overvejelser om rotoren i et glasrør Vinden til venstre for rotoren bevæger sig med en lavere hastighed end vinden til højre for rotoren. Men samtidig vides, at den mængde luft, der kommer ind i røret fra højre hvert sekund, må være den samme som den mængde, der forlader røret i den venstre ende. Man kan derfor slutte, at hvis man har en forhindring for vinden (i dette tilfælde rotoren) i røret, så må noget af den luft, der kommer fra højre blive resset uden om røret (å grund af overtrykket i rørets højre ende). Så det cylindriske rør er ikke et retvisende billede af, hvad der sker med vinden, når den møder en vindmølle. Det forrige billede er det korrekte. Udskr. 7--09 Side 7 af 6
Idealiseret luftstrømning forbi en vindmølle Kilde: htt://www.risoe.dtu.dk/se/undervisningsmateriale/vindenergi/_.asx?sc_lang=da Betz' lov Udskr. 7--09 Side 8 af 6
Maksimal energi, der kan trækkes ud af vinden Jo mere bevægelsesenergi en vindmølle trækker ud af vinden, jo mere vil vinden blive bremset, når den forlader venstre side af vindmøllen å billedet. Hvis man forsøgte at trække al energien ud af vinden, ville luften fjerne sig med hastigheden nul, dvs. luften kunne ikke komme væk fra vindmøllens bagside. I så fald ville man ikke kunne høste nogen energi, eftersom ingen vind ville kunne komme frem til vindmøllens rotor. Rotoren ville virke som en mur. I det andet ekstreme tilfælde ville vinden assere gennem det bestrøgne areal, røret ovenfor, uden at blive obremset. I så fald kunne man heller ikke trække nogen energi ud af vinden. Det må derfor formodes, at der må findes en måde at bremse vinden å, som ligger mellem disse to yderunkter, og som mere effektivt kan omdanne bevægelsesenergien i vinden til nyttig mekanisk energi. Det viser sig, at der er et meget simelt svar å sørgsmålet: En ideel vindmølle vil bremse vinden med ca. /3 af den orindelige hastighed. Betz' lov siger, at man kun kan omdanne mindre end 6/7 (eller 59%) af bevægelsesenergien i vinden til mekanisk energi ved at bruge en vindmølle. Betz' lov blev først formuleret af den tyske fysiker Albert Betz i 99. Hans bog "Wind-Energie" fra 96 giver en god gennemgang af datidens viden om vindkraft og vindmøller. Det er overraskende, at man kan lave et så generelt udsagn, som gælder alle vindmøller med en skiveformet rotor. ( og allerede i 96! ) For at bevise Betz' teorem kræves der lidt matematik og fysik. Her gøres den rimelige antagelse, at den gennemsnitlige vindhastighed gennem rotorarealet er gennemsnittet af den uforstyrrede vind foran vindmøllen, v, og vindhastigheden efter assagen gennem rotorlanet, v, dvs. v + v m v = s Den luft, der strømmer gennem rotoren i løbet af et sekund, har massen: ( v + v) kg kg = ρ = m s masse A m m s 3 Udskr. 7--09 Side 9 af 6
ρ er luftens massefylde, A er det bestrøgne rotorareal og [(v +v )/] er den gennemsnitlige vindhastighed gennem rotorarealet. Den effekt ( energi r sekund ), rotorskiven tager fra vinden er lig med massen gange faldet i kvadratet å vindhastigheden (efter Newtons. lov): ( ændring i kinetisk energi ) Ud fra EKin = masse v fås: E = masse v masse v ( ) ( ) Kin, fald ( ) som kan omformes til E = masse ( v ) ( v ) Kin, fald Den kinetiske energi, der overføres til rotoren, er faldet i energi i luften. Luftens masse indsættes: Protor = masse ( v v )[ Watt] = ( Massen er lig arealet gange luftskivens gennemsnits-hastighed ) Eller: v + v Protor = ρ A v v Watt ( )[ ] PRotor = ρ A v v v + v Watt 4 ( ) ( )[ ] Det, der er interessant, hvor stor, P rotor er, set i forhold til den uforstyrrede vind P luft. Dette forhold, Udnyttelsesgraden,, defineres som = P P rotor Luft 3 Tidligere fandtes: P = ρ v A[ Watt] luft Der fås: Som kan reduceres til: P P Rotor = = Luft ρ A v + v v v 4 3 ρ v A ( ) ( ) Udskr. 7--09 Side 0 af 6
= ( v + v )( v v ) 3 v ( v + v ) ( v v ) = v v V divideres o i tælleren: v v v v = + v v v v Eller, flyttet lidt om: v v = + v v v v = + v v Læg mærke til, at arealet er gledet ud!! Hvad betyder det?? Forholdet mellem den effekt, der trækkes ud af vinden og effekten i den uforstyrrede vind er dermed: P v v = = + P0 v v Substitueres v/v med x, fås ligningen: x x 3 = ( ) ( + ) som er lig: = ( + x x x ) Der kan nu tegnes en graf for = f(x) i intervallet 0 til. Ved den værdi, hvor er størst, har man den otimale bremsning af vinden. Men man kan også finde tounktet ved at differentiere udtrykket. Det, der sker, er bare, at finde, ved hvilken værdi af x, man har en vandret tangent til grafen. Ved hvilken værdi af x, får man samme -værdi, hvis man øger værdien af x meget lidt. Dvs. f(x) f(x+ X) = 0. Matematisk hedder det at differentiere, skrives: d /dx ( det er udtrykket for, der differentieres, med x som den variable) Udskr. 7--09 Side af 6
I rinciet fungerer det ved at flytte eksonenten til x ned foran som faktor, og efterlade eksonenten mindre. d = dx 3 Der kan nu findes et maximum, dvs. når dette udtryk er lig 0. Her er der jo vandret tangent. Der fås: ( x x ) 3 + = 0 Hvis der faktoriseres, fås: ( x )( x ) Dette udtryk er lig 0 for x = /3, eller x = minus, som er ugyldig. Indsættes x = v /v = /3 i ligningen ovenfor for fås at er lig 6/7 = 0,59. er altså lig 0,59 ved grafens maksimum, dvs. ved vandret tangent for grafen for tegnes som en funktion af v /v i intervallet 0 til. ( hvis V er lig V, er der jo ikke trukket energi ud af vinden! ) Det ses, at funktionen har maksimum for v /v = /3, og at den maksimale værdi for den effekt, der kan trækkes ud af vinden er 0,59 eller 6/7 af den samlede effekt i vinden. I raksis ligger å 0,3-0,4. Altså kan en vindmølle maksimal udnytte 59 % af vindens energi. Vindens hastighed reduceres ved assage gennem vingearealet til /3. Og herved vil luftrøret bag ved møllen fylde ca.,7 gange mere i diameter ga. den lavere hastighed. Se: htt://www.akraft.dk/vindsol.htm Luften foran en vindmølle vil begynde at bøje udad i en afstand å ca. vingediameter Udskr. 7--09 Side af 6
De fleste vindmøller er designet til først at starte med at rotere ved en vindhastighed å 3-5 m/s. Under denne hastighed vil vindmøllegeneratoren virke som en motor og således bruge strøm i stedet for at roducere strøm. Mellem 5-3 m/s stiger udgangseffekten med stigende vindhastighed! Vindmøllen onår den otimale roduktion ved en vindhastighed fra 3-5 m/s, og her vil den roducerede effekt ligge konstant å dens maksimale roduktionskaacitet. Ved en vindhastighed å cirka 5 m/s stoes vindmøllens rotor for at forhindre, at der sker skade å vindmøllen å grund af den store kraftåvirkning. I første omgang reduceres rotorens omdrejningstal ved enten at stalle eller itche vingerne, og rotoren kan stoes helt ved at krøje nacellen ud af vinden. Her er fundet en oversigt over forskellige vindmøllers maksimale vindudnyttelsesgrad. Fra: htt://en.wikiedia.org/wiki/kinetic_energy Den maksimale effekt i luft i bevægelse er givet ved: ( se ovenfor ) : 3 Kg m m m Kg m PLuft = ρluft ARotor vluft W m 3 3 = = m s s s s Udskr. 7--09 Side 3 af 6
Den teoretiske maksimale udnyttelse,, er 59 %. I raksis er vindmøllers udnyttelsesgrad snarere 35 til 45%. Her vælges en = 40 % Derfor findes: I flg. Beregning regnes med mølledata: Vingelængde: 5 m Vindhastighed v = m/sec. Luft densitet =,3 kg/m 3. = 0,4 3 PMuligt = ρluft ARotor vluft W [ ] Det bestrøgne areal beregnes til A= r = = m π π 5 8495 Herefter fås møllens effekt til: Flg. Fra: htt://www.dkvind.dk/fakta/df/t.df Vindmøllers virkningsgrad,3 8495 3 0,4 3,6 [ ] [ ] PMuligt = W = M W En vindmølle konstrueret til danske vindforhold vil udnytte ca. 5 rocent af det energindhold, som er i den vind, der asserer rotoren. Tallet bliver til å følgende måde: Den teoretisk maksimale udnyttelse af vindenergiindholdet er 59 rocent (ifgl. Betz formel). De moderne møller udnytter idag o til 45 rocent å deres bedste driftsunkt. Det bedste driftsunkt er i konstruktionen lagt ved den vindhastighed, hvor der er mange timer og dermed den største andel af årets vindenergi. Det ligger under danske forhold å omkring 7-9 meter r. sekund. Når møllen roducerer ved højere eller lavere vindhastighed, falder virkningsgraden å grund af de aerodynamiske forhold. Det betyder, at den gennemsnitlige virkningsgrad over året vil ligge å 5-30 rocent. Det er den del af energien, som omsættes i rotoren. Af denne energimængde tabes der 6-0 rocent i gear og generator. Dermed når den samlede virkningsgrad ned å -8 rocent. En itchreguleret mølle dvs. en mølle, som er i stand til at regulere vingebladets indstilling vil kunne reducere tabet med 5-7 rocent og dermed onå en højere totalvirkningsgrad. En mølle med en høj virkningsgrad vil normalt også være en økonomisk god mølle afhængig af hvor meget, der er betalt ekstra for at onå den høje virkningsgrad. Det er dog vigtigt at bemærke, at»tabet«ved dårlig udnyttelse af vinden i en vis forstand ikke har kostet noget, idet vinden er gratis. Hvis derimod et brændselsstyret elroduktionsanlæg kører med 5 rocent dårligere virkningsgrad, end det er otimalt muligt, så vil anlægget i hele sin levetid bruge 5 rocent for meget brændsel og dermed også forurene 5 rocent for meget ved fremstilling af en given elmængde. Udskr. 7--09 Side 4 af 6
Derivation and definition The work done accelerating a article during the infinitesimal time interval dt is given by the dot roduct of force and dislacement: Alying the roduct rule we see that: Therefore (assuming constant mass), the following can be seen: Since this is a total differential (that is, it only deends on the final state, not how the article got there), we can integrate it and call the result kinetic energy: Kilder: Se: htt://kom.aau.dk/grou/03gr5/raort/vindenergi.df htt://waedia.mobi/en/betz_limit htt://nl.wikiedia.org/wiki/wet_van_betz htt://www.windower.org/ htt://www.raeng.org.uk/education/diloma/maths/df/exemlars_advanced/3_wind_turbine.df htt://olitical-scientist.blogsot.com/009/05/betz-law-roof-of-udding-musing-on.html Udskr. 7--09 Side 5 af 6
Udskr. 7--09 Side 6 af 6