Side til side-vejledning 1 Tal Faglige mål Kapitlet Tal tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Division: kunne regne division med decimaltal og negative tal samt kende til anvendelsen af division i hverdagen. Potenser: kunne udregne potenser og omskrive store tal til videnskabelig skrivemåde samt kende regnereglerne for potenser. Talfølger: kunne anvende regneark til talrækkefølger, kende til kubiktal som talrækker, samt opdage talrækkefølger i naturen som Fibonacci-talfølgen og potenstal for hver generation i et stamtræ. Pi: udvide kendskabet til tallet pi, de reelle tal samt ved brug af GeoGebra at få kendskab til Arkimedes beregning af pi. I kapitlet arbejdes videre med den viden, som eleverne fik i kapitlet Tal i Format 6. Kapitlet bygger videre på de erfaringer, som eleverne har til de forskellige talmængder, og inddelingen i de elementære talmængder styrkes. På denne måde arbejdes der videre med elevernes talforståelse. Division Arbejdet med division repeterer og bygger videre på arbejdet i kapitlet Regning fra 6. klasse. Udtryk som dividere, dele og rest er tidligere blevet præsenteret for eleverne. Nu skal eleverne også arbejde med division i kombination med forskellige fortegn. Desuden arbejdes med division med decimaltal som divisor. Eleverne kommer selv frem til, hvordan den type opgaver kan løses ved hjælp af deres viden om division fra tidligere. Her sigtes mod, at eleverne får øjnene op for, hvordan de ud fra deres kendskab til division også kan løse division med decimaltal. Det er således ikke automatisering af division der søges, da dette ikke er nødvendigt, hvis de har forståelsen med. Potenser I 6. klasse blev potenser introduceret med begreberne rod og eksponent og regning med simple potenser som fx 5 3. Regning med tierpotenser ved videnskabelig skrivemåde blev også introduceret., I 7. klasse repeteres det tidligere arbejde med potenser og brugen af potenserne til omskrivning af store tal til videnskabelige skrivemåde. Der arbejdes undersøgende med regnereglerne for potenser, således at eleverne forstår regnereglerne og ikke lærer dem udenad. Talfølger På mellemtrinnet var fokus vedr. talfølger på en geometrisk fremstilling, hvor det her i 7. klasse bliver mere algebraisk.
Begreberne kubiktal- og Fibonacci-tal indføres i arbejdet med talfølgerne. Regnearket inddrages som hjælpemiddel i arbejdet med talfølger, og regnearkets fordele og ulemper vurderes. Arbejdet med regnearket er rimelig simpelt, hvilket giver god mulighed for, at eleverne bygger regnearket rigtigt op, og ikke blot anvender det til en skrivemaskine. Pi Eleverne har tidligere arbejdet med pi i forbindelse med beregning af areal og omkreds af cirkler. Arbejdet i dette kapitel går mere i dybden med selve pi som et irrationalt tal med uendeligt antal decimaler. Der arbejdes med forskellige værdier af pi for at gøre eleverne bevidste om, hvor stor en betydning det har, om man anvender den korrekte værdi for pi eller et afrundet tal. Der lægges desuden vægt på, at eleverne får viden om pi som forholdet mellem omkreds og diameter, og de stifter bekendtskab med Arkimedes metode til at beregne pi ved brug af GeoGebra. Side til side-vejledning Division Intro 1 Talkast (klasseaktivitet) og kopiark 1.01 Kapitlet begynder med en aktivitet for hele klassen. Inden aktiviteten sættes i gang, er det en fordel at repetere de forskellige talmængder og præcisere, at nogle tal tilhører flere talmængder. Mængder kan tegnes på tavlen, og eleverne kan komme med forslag til tal, som skrives i de korrekte mængdeboller. I bogen er banen tegnet i skolegården. Et stort lokale med linoleumsgulv kan også anvendes ved at tegne banen med kridt på gulvet, og mælkelåg med påskrevne tal kan kures hen ad gulvet som i curling. Alternativt kan banerne tegnes som en skydeskive på papir, der lægges på et bord i klassen. Papirkramper med påskrevne tal benyttes og fingerknipses hen ad bordet. Husk at skrive banenummer på de 4 baner, så eleverne ved, hvor de skal gå hen til næste kamp. 2 Frit fald Her arbejdes der med addition og subtraktion af negative tal i kombination med faglig læsning. Når teksten læses kan eleverne med fordel tegne en skitse af atmosfæren, hvor oplysningerne om temperaturer skrives. 3 Negative tal (paraktivitet) og kopiark 1.02 og 1.03 Opgaven repeterer tidligere gennemgået stof omkring fortegnsregler, men nu også med divisionsstykker. Delopgave a-d er de samme regnestykker, som står i begyndelsen på kopiark 1.02, og disse kan med fordel gennemgås sammen i klassen. Eleverne finder frem til, at der gælder de samme regler for gange og division med hensyn til fortegnene. Alternativt kan eleverne undersøge, hvilke regler der gælder for fortegnene ved division ved at prøve sig frem på lommeregneren og her se sammenhængen. På kopiark 1.03 kan eleverne arbejde på 4 forskellige niveauer, hvor sværhedsgraden stiger. Eleverne arbejder stadig sammen i par. Hvis eleverne ikke får begyndt på det rigtige niveau kan de skifte til det niveau, der passer, da alle opgaverne er på samme ark. 4 Karakterer (gruppeaktivitet) Det er en fordel, hvis alle elever har en computer, så alle løser opgaven. Færdighederne fra de forrige opgaver anvendes. Der anvendes en GeoGebrafil til at sammenligne de forskellige generationers gennemsnit. Der er i denne opgave fokus på elevernes ræsonnements- og kommunikationskompetence i vurderinger og begrundelser.
I opgave d vælges et af forslagene fra delopgave b. Hvor godt tiptipoldefaren har klaret sig i forhold til faderen diskuteres ud fra de karaktermuligheder, eleverne har fundet. Vi kender kun gennemsnittet. Henriks gennemsnit ligger derimod mellem de to dårligste karakterer, og da han ikke har klaret nogle fag til middel, må han vurderes til at have klaret sig dårligst. 5 Division med decimaltal (paraktivitet) og kopiark 1.04 Det er nyt for eleverne at dividere med et decimaltal. Der fremkommer det samme resultat i opgave a-c. Eleverne skal her se sammenhængen, når dividend og divisor ændres med samme faktor. I opgave f skal eleverne forklare fremgangsmåden ved at dividere med et decimaltal. Kopiarket anvendes til mere træning. 6 Yen Her anvendes valuta som et eksempel på en hverdagssituation, hvor division med decimaltal anvendes. De første to udregninger i opgave a bør mange elever kunne regne uden brug af lommeregner, men kan vælge den i den sidste udregning. 7 Guirlander Med udgangspunkt i et konkret eksempel anvendes flere regneoperationer for at beregne guirlandens længde. Elevernes modelleringskompetence kommer i spil i opgave c, hvor de skal modellere en ting fra virkelighedens verden til en matematisk model. Modellen kontrolleres, og afvigelser i elevernes resultater diskuteres fælles i klassen. Løsningen på opgave c kan findes på mange forskellige måder. Eleverne kan klippe en strimmel ud og måle længden af et led, beregne diameteren ud fra omkredsen ved at prøve sig frem eller ved egentlig ligningsløsning. Det er vigtigt, at eleverne taler sammen om valg af metoder. Hvis det ikke opstår naturligt, når de klipper strimlerne ud, er det vigtigt at sørge for at sætte den i gang for at skabe refleksion. Eleverne kan fx fortælle hinanden to og to om deres metode, hvor tæt de ramte og deres vurdering af deres metode. Potenser 8 Lærer og elev (paraktivitet) Opgaven repeterer potenser. Illustrationen af en gulerod er en gentagelse fra Format 6, så eleverne har noget genkendeligt. De negative rødder er nyt for eleverne. 9 Videnskabelig skrivemåde (paraktivitet) Opgaven har til formål at lære eleverne at omskrive store tal til den videnskabelige skrivemåde med et decimaltal mellem 1 og 10 og en potens. Den grå boks forklares for klassen. 10 Eksponentspil og kopiark 1.05 (gruppeaktivitet) Spillet træner omsætningen mellem de forskellige repræsentationer af samme tal, nemlig videnskabelig skrivemåde, tal, ord og talord. Eleverne sidder i grupper på 4 og får udleveret et kopiark pr. gruppe. Lad eleverne finde de kort der hører sammen, inden der spilles, for at sikre at alle elever har en forudsætning for at spille med. 11 Solsystemet Opgaven tager udgangspunkt i et konkret eksempel, hvor der anvendes en videnskabelig skrivemåde. Eleverne skal dividere og subtrahere med tal skrevet med videnskabelig skrivemåde og de skal desuden tage stilling til, hvorfor den videnskabelige skrivemåde er god at anvende. Svarene kunne fx være at tallene er nemmere at læse, nemmere at sammenligne og sikrer, at der ikke tælles et nul forkert. 12 Atomer Eleverne fravælger ofte den videnskabelige skrivemåde, fordi de mener det er for svært. Formålet med opgaven er at få eleverne til at overveje deres fravalg. Hvis alle elever fravælger den videnskabelige skrivemåde i opgave a, er det vigtigt at vise dem fordelen ved brug af denne metode. Det er nemmere at regne opgaverne ved brug af potenser, da lommeregneren og potensregnereglerne kan bruges.
13 Superliga (klasseaktivitet) og kopiark 1.06 og 1.07 Eleverne stiller op parvis som beskrevet på kopiarket. Det er ligegyldigt, hvem de er sammen med, da de hele tiden får nye makkere. De kopierede og udklippede kort fordeles i bunker en bunke til hvert par. Den ene ende er Superliga og den anden Serie 5. Når der siges begynd, skiftes eleverne til at spørge hinanden. Rigtigt svar er lig med et point. Kortet lægges nederst i bunken og kan således dukke op igen i samme runde. Når der siges at runden er slut finder parrene en vinder og en taber, og der rykkes op mod Superligaen eller rykkes ned mod Serie 5. Sten, saks papir afgør hurtigt de uafgjorte. Vær opmærksom på, at nogle elever skal over på den anden side af bordet. Antal af runder og hvor lang tid tilpasses efter behov og stemning. Det er dog ofte bedst, at de fleste når en del spørgsmål i de første runder. Husk eleverne på, at de hurtigt og roligt finder deres nye plads, når runden er slut, så den nye runde hurtigt kan begynde. Hvis elevgruppen er præget af usikkerhed, kan der spilles parvis. Overvej betydningen af, at nogle elever begynder i Serie 5 og ikke får muligheden for at spille sig i Superligaen pga. for få runder. Gem kortene til kapitlets afsluttende omgang superliga. 14 Kædebreve Opgaven lægger op til opgave 15 for at sikre, at eleverne har overblik over kædebreve. De bliver også sporet ind på fordelen ved at anvende den videnskabelige skrivemåde. Der lægges op til en diskussion af brugen af kædebreve. Venter folk en uge, før de videresender et kædebrev eller sendes det videre med det samme? 15 Tidsrøver (gruppeaktivitet) Kædebrevet skal ændres, hvilket kan gøres på flere måder. Eleverne kan vælge at tilføje lidt flere ord eller flere modtagere. De kan også skrive enkelte ord bagfra eller stille krav om, at skriftfarven ændres til yndlingsfarven, inden det sendes videre. Det kan også være et krav, at man skriver til afsenderen og takker for brevet. 16 Udsagn (paraktivitet) Der skal sættes lighedstegn eller ulighedstegn mellem regnestykkerne og resultaterne. Rødderne og eksponenterne erstattes herefter med andre tal så regnereglerne for potenser bliver tydeliggjort. 17 Find par og kopiark 1.08 (paraktivitet) De 9 brikker fra kopiarket hænges op i klassen eller udendørs i fx skolegården. Eleverne arbejder sammen i par og vælger selv hvilken metode, de vil anvende til at udregne regnestykkerne. De kan anvende samme fremgangsmåde som i forrige opgave eller lave overslagsregning. Hovedsagen er, at de finder den strategi til hver opgave, som gør, at de kan løse opgaven. Brikkerne på kopiarket ligger i samme rækkefølge som opgaverne i bogen. 18 Svar og skriv under og kopiark 1.09 (klasseaktivitet) Alle elever får et kopiark og skal indsamle svar fra forskellige klassekammerater. Det er vigtigt, at eleven selv skriver forklaring/svar fra kammeraten, mens de lytter. Kammeraten tjekker svaret og godkender det ved at skrive under. Alle elever har til sidst et ark med 11 forskellige underskrifter. Opdages forkerte svar af læreren eller andre, får eleven det rigtige svar og går tilbage til personen, der gav det forkerte svar Denne person går tilbage til den, der gav ham det forkerte svar osv. indtil kæden af forkerte svar er brudt. Er der opgaver, der volder problemer, kan svaret sættes ind i kæden et par steder. Eleverne taler meget sammen i denne opgave, så der er god mulighed for at påvirke deres sprog ved at være ekstra opmærksom på, om de bruger de rigtige begreber, når de skriver og svarer. En del af spørgsmålene er åbne og kan have flere mulige svar, og hurtige elever kan derfor lede efter flere svar blandt kammeraterne. Talfølger 19 Regneark og talfølger
Her introduceres eleverne for regnearkets anvendelighed i forbindelse med talfølger. Ugedage og måneder er medtaget på trods af, at det ikke er en talrækkefølge, da de ofte anvendes i arbejdet med regneark. Eleverne kan selv finde på flere talfølger. 20 Andre talfølger (paraktivitet) Eleverne opdager, at regnearket kan anvendes til at fortsætte en ny talfølge, hvor væksten defineres. Hvis eleverne har svært ved at komme i gang med opgaven, kan opmærksomheden henledes på formlen på illustrationen. 21 Kvadrat- og kubiktal Arbejdet med kubiktallene introduceres sammen med kvadrattallene, som er kendte for eleverne. Eleverne bør overveje, hvilke hjælpemidler de anvender i opgave a, selv om der ikke direkte bliver bedt om det. Det er vigtigt, at eleverne bevidstgøres om deres til- og fravalg af hjælpemidler, når der ikke kræves noget bestemt. Mange elever vil nemt kunne løse netop denne opgave ved enten hovedregning eller med lommeregner frem for med regneark. Hvis eleverne kan overskue hele opgaven, vil argumentet for brug af regneark kunne være, at der bygges videre på det i opgave b. I opgave b udvider eleverne tabellen væsentligt, hvilket vil sige, at regnearket som hjælpemiddel er at foretrække. Eleverne kan hente støtte til opbygningen af regnearket i illustrationen. 22 Talfølgemanual og kopiark 1.10 (gruppeaktivitet) Først udarbejder eleverne en liste over forskellige måder, en talfølge kan være fremkommet på. Listerne bliver udbygget ved at eleverne først går sammen i par, og dernæst går to par sammen. Der skal på baggrund af dette formuleres en regel for, hvad en række tal skal opfylde, for at det kan kaldes en talfølge. Arbejdet med dette kan foregå alene, i par eller grupper eller som kombination, hvor eleverne i grupper mundtligt formulerer en regel, som hver elev efterfølgende nedskriver. Listen benyttes i opgave e, så eleverne har noget at støtte sig til. Undervejs skrives de muligheder, som ikke stod på listen i forvejen, og eleverne kan komme med gode tip til at løse talfølger. Et tip kunne fx være, at begynde med at skrive forskellen mellem hvert tal. 23 Talfølgetræk (gruppeakivitet) Hver elev skriver to talfølger på hvert sit papir, så gruppen på 4 personer i alt har 8 stykker papir. Eleverne trækker på skift en seddel, fortsætter talfølgen og forklarer systemet for de andre. Ejermanden godkender. Elever, som har svært med talfølgerne, kan med fordel anvende huskelisten fra opgave 22 24 System i karakterer Eleverne har mødt karakterskalaerne før, men har sikkert ikke lagt mærke til, at der var et system. Talfølgen er forholdsvis nem at gennemskue, hvis de skriver forskellen på tallene. 25 Generationer Opgaven får eleverne til at opdage, at talfølger også benyttes i virkeligheden, da generationer kan beskrives med potenser med roden 2. 26 Fibonacci-talfølgen (paraktivitet) Her benyttes Fibonacci-talfølgen til at undersøge systemet i talfølgen. Der kan gøres meget mere vedr. Fibonacci, men her er fokus på elevernes hjælpemiddelkompetence. Det interessante er nemlig, om eleverne anvender regnearket til løsningen af opgave b. 27 Bomleg (klasseaktivitet) Der arbejdes med arbejdshukommelsen i denne leg. Det er ikke meningen, at eleverne skal lære Fibonaccitalfølgen udenad. Det er en fordel, hvis en elev i hver gruppe er dommer, der kan afgøre, hvem der sagde bom først og bomme, hvis ingen andre reagerer. 28 Masser af mus (paraktivitet) Opgaven lægger op til, at eleverne oplever Fibonacci-talfølgen i naturen. Flere ord fra biologiens verden forklares for eleverne, så de har forudsætning for at løse opgaven: drægtighed, kønsmoden og kuld.
29 Puslebrikker og kopiark 1.11 De 10 brikker på kopiarket klippes ud og eleverne skal finde den manglende brik til hver talfølge øverst. Opgaven får eleverne til at opleve, at talfølger fremkommer på andre måder end på en række. I denne opgave er det hjørnerne, der danner talfølgerne, således at tallene i øverste venstre hjørne danner en talfølge samtidig med at det samme er gældende for de andre hjørner. De overskydende 8 brikker skal bruges til at danne 2 talfølger efter samme princip. Pi 30 Placering af π (paraktivitet) Ud fra taleboblen kobles antal bogstaver i hvert af lærerens ord med størrelsen af hver decimal i tallet pi. I GeoGebra anvendes zoom til at præcisere placering af pi på en tallinje. 31 Pudeproduktion Eleverne har mødt pi mange gange før, men denne opgaven har til formål, at eleverne reflekterer over de forskellige værdier for pi. Værdien 3 anvendes til overslag og pi med uendelige decimaler anvendes med lommeregner eller computer. Værdien 3,14 benyttes ofte, når værdien for pi tastes på lommeregner. Derfor er der også taget udgangspunkt i et stort antal puder, for at unøjagtigheden bliver synliggjort for eleverne. Puden er blot syet af to stykker stof med kantebånd. Eleverne kan evt. undersøge, hvordan det ville se ud, hvis det var en cylinderformet pude med en højde på 40 cm. 32 Dit π (paraktivitet) Eleverne benytter regneark og finder frem til en værdi for pi. Værdien er præget af stor usikkerhed pga. målingerne. Cirkler, der er malet på fx et gulv kan være svære at måle med et målebånd i modsætning til fx et betonrør, hvor målebåndet eller en snor kan lægges omkring. Valget af måleinstrumenter har derfor også stor betydning for måleusikkerheden. 33 Arkimedes og π og kopiark 1.12 (paraktivitet) Kopisiden beskriver en forenklet udgave af Arkimedes metode til at beregne pi. Ud fra beskrivelsen i teksten genskabes metoden. Opgaven er oplagt at løse i et dynamisk geometriprogram, hvor værktøjet til regulære polygoner, midtpunkt, spejling og måling af længder er meget tidsbesparende. Teksten på kopiarket er kompleks for nogle elever, da der er mange faglige begreber, som skal kendes for at forstå meningen med teksten. Der kan arbejdes med teksten på flere niveauer, hvor forskellige læsestrategier kan tages i brug. Der kan udarbejdes ordforklaringskort, begrebskort og anden visuel behandling af de faglige ord. 34: Superliga og kopiark 1.13 og 1.14 (klasseaktivitet) Kopiarkene kopieres og forstørres. Brikkerne klippes ud og alle elever får udleveret to blanke brikker, som udfyldes med et spørgsmål og svar. Eleverne stiller sig op parvis som beskrevet i bogen. Det er ligegyldigt, hvem de er sammen med, da de hele tiden får nye makkere. Kortene fordeles i bunker, en til hvert par. Kortene fra opgave 13 kan medtages i aktiviteten. Den ene ende er Superliga og den anden Serie 5. Når der siges begynd, skiftes eleverne til at spørge hinanden. Rigtigt svar er lig med et point. Kortet lægges nederst i bunken og kan således dukke op igen i samme runde. Når tiden er gået, rykkes der op eller ned. Sten, saks papir afgør hurtigt de uafgjorte kampe. Antal af runder og hvor lang tid tilpasses behov og stemning. Det er dog ofte bedst, at de fleste når en del spørgsmål i de første runder. Inden aktiviteten er det en fordel at huske eleverne på, at de hurtigt og roligt skal finde deres nye plads, når runden er slut, så den nye runde kan komme i gang. Hvis elevgruppen er præget af usikkerhed på den ene eller anden måde, kan man lade dem spille parvis. Overvej betydningen af, at nogle elever starter i Serie 5 og ikke får muligheden for at spille sig i Superligaen pga. for få runder.
Skriftlig problemløsning 1 Det babylonske 60-talsystem Der arbejdes med et andet talsystem end 10-talsystemet. Der arbejdes videre med talfølgerne fra bogen, og elevernes hjælpemiddelskompetence er i spil, da de kan vælge at bruge et regneark eller bruge lommeregneren, hvis de har opdaget sammenhængen. 2 Skrifttegnene Eleverne skal ud fra teksten konstruere tegnet for 1og 3 i det babylonske 60-talsystem. Hvis eleverne har svært ved at se tegnet for sig, kan de slå det op på internettet og derefter konstruere det i GeoGebra. 3 Lertavler I opgave 2 og 3 konstrueres lertavlen i korrekt målestoksforhold, og eleverne skal bruge deres modelleringskompetence til at fremkomme med en model for, hvor højt hvert enkelt tegn kan have været, når de også selv skal tage højde for mellemrummet mellem linjerne.