Grundlæggende regneteknik

Transkript

1 Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014

2 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker Faktorisering i primtal Primtalsfaktorisering i brøkregning En lille reprimande Gode eksempler Opgaver Regning med potenser Potensregnereglerne Gode eksempler Opgaver Kvadratsætninger Kvadratkomplementering Gode eksempler Opgaver Ligninger Hvad er en ligning? Løsningsteknik Det simple tilfælde Det lidt sværere tilfælde Trivielle ligninger Ligninger uden løsning Gode eksempler Opgaver Andengradsligninger Grundform Nulreglen Løsningsformlen Skjulte andengradsligninger og substitution i

3 5.5 Gode eksempler Opgaver Kvadratiske ligningssystemer Hvad er et kvadratisk ligningssystem? Substitutionsmetoden Antallet af løsninger Gode eksempler Opgaver A Talmængder 71 Gamle opgavesæt 74 TalentCamp Rønne TalentWeek TalentCamp Greve Øvelsessæt Øvelsessæt Facitlister 94 Regning med brøker Regning med potenser Ligninger Andengradsligninger Kvadratiske ligningssystemer Kvadratsætninger TalentCamp Rønne TalentWeek TalentCamp Greve Øvelsessæt Øvelsessæt ii

4 Forord Bogen er skrevet af Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis og er en sammenfatning af vores noter til Matematik Intro, som er det indledende kursus på TalentCampDKs sciencelinje. Bogen er skrevet for at efterkomme et ønske fra vores elever om at kunne repetere de emner, der er bliver introduceret i Matematik Intro. Teksten er således henvendt til elever tilknyttet TalentCampDKs sciencelinje men kan også læses som en grundlæggende indføring i brøkregning, potensregning, kvadratsætninger og ligningsløsning. Det primære formål med hæftet er at udvikle læserens regnetekniske færdigheder, og gøre læseren i stand til at løse opgaver. Vi har forsøgt at gøre indholdet så tilgængeligt og anvendeligt som muligt ved at bygge teksten op omkring eksempler, der illustrerer konkret løsningsteknik. Bogen er ikke ment som en stringent indføring i regning, og hvor det er muligt, begrænser vi os til intuitive argumenter. Selvom bogen ikke er en fuld indføring, vil læseren formentlig finde, at teksten adskiller sig markant fra andre indføringer i samme emner henvendt til grundskolen ældste elever. Det skyldes, at en af TalentCampDKs målsætninger er at gøre vores elever i stand til at læse tekster af mere akademisk karakter. Derfor har vi valgt at strukturere teksten på samme måde som undervisningsmaterialer på universitetet. Vi vil gerne rette en særlig tak til Signe Baggesen, der har gennemlæst og kritiseret et mangelfuldt første udkast til hæftet. Med hendes rettelser og forslag til ændringer, er vi kommet et stort skridt nærmere en læseværdig tekst. Vi skylder også vores undervisningsassistenter Elisabeth Friis, Anders Christensen og Nicolai Carstensen en tak for at regne alle opgaverne igennem og påpege pinligt mange småfejl. Desuden har Nicolai forfattet opgaverne til øvelsessæt 2, som findes i bogens opgavesamling. Anders Friis iii

5 Indledning Bogen er inddelt i seks kapitler, som svarer til de seks emner, der udgør kurset Matematik Intro på TalentCampDKs TalentCamps. De første tre kapitler gennemgår grundlæggende regneteknik, mens kapitel fire til seks omhandler ligningsløsning. Kapitlerne bygger ikke ovenpå hinanden i direkte forstand, men de senere kapitler trækker på de grundlæggende koncepter i de første kapitler. Hvert kapitel afsluttes med 30 opgaver. De første opgaver er relativt lette at regne, hvis man har forstået teksten, mens de sidste opgaver er svære og nogle af dem kræver, at man selv kan få ideer udover det, der er præsenteret i teksten. Efter kapitlerne findes et (meget) kort appendiks om mængder og talmængder. Dette er henvendt til læsere, der ikke er bekendt med termerne de naturlige tal, de hele tal, de rationale tal og de reelle tal. Talmængderne bruges i flæng i hovedteksten, så det er en god ide at starte med at læse appendikset, hvis man ikke er bekendt med disse. Bogen indeholder også en opgavesamling bestående af opgavesæt, der tidligere er blevet stillet på TalentCamps samt to øvelsessæt af samme sværhedsgrad. Opgaverne i disse sæt flugter med opgaverne til de enkelte kapitler, således at sværhedsgraden i de første opgaver svarer til de første opgaver, der er stillet i forbindelse med kapitlerne og det samme gælder de sværeste opgaver. Bogen indeholder i alt 330 opgaver. Bagest i bogen findes en komplet facitliste. Der fremgår dog ikke løsningsmetoder af facitlisten. Vi anbefaler, at man løser så mange opgaver som muligt, når man arbejder sig igennem teksten. Teksten er skrevet med henblik på at lære læseren grundlæggende regneteknik, og den eneste måde at blive god til at regne på er at løse opgaver. Det er desuden en god ide at bruge tid på at forstå eksemplerne i teksten. Alle de grundlæggende ideer er illustreret i eksemplerne, og hvis man går i stå i en opgave, er det en god ide at lede efter et eksempel, der ligner opgaven og forsøge at kopiere løsningsmetoden. iv

6 Kapitel 1 Regning med brøker I dette kapitel vil vi arbejde med brøker på en anvendt, færdighedsorienteret måde - altså i højere grad beskæftige os med hvordan man regner med brøker frem for hvorfor brøkregning fungerer, som den gør. Der vil således ikke indgå deciderede beviser for de fremlagte påstande og regneregler, men lidt teoretiske overvejelser slipper vi naturligvis (heldigvis) ikke for! Sætning 1.1 (Addition af brøker) Vi starter med at genopfriske regnereglen for addition af brøker. Lad a, b, c, d R med b, d 0 (læs: Lad a, b, c, d være vilkårlige (reelle) tal med b og d forskellige fra 0). Vi har da følgende regneregel a b + c d a d b d + b c b d a d + b c (1.1) b d Vi bemærker, at første lighedstegn fås ved at give brøkerne en fælles nævner; vi forlænger den første brøk med d, den anden med b. Derefter lægger vi de to brøker sammen ved at addere tællerne, mens vi bevarer samme nævner. Ovenstående (1.1) er et teoretisk resultat, som giver os en metode til at finde fælles nævner, som ALTID virker. I mange tilfælde vil det dog være lettere blot at forlænge den ene brøk, så de to brøker har fælles nævner, som vi skal se nu. Eksempel 1.2 Lad os undersøge følgende udtryk Vi får nu direkte af regneregel (1.1), at ( ) Vi har ganske vist løst problemet, men i den sidste udregning markeret med ( ) har vi udført en forkortning, som næsten er en lommeregner værdig. I dette eksempel er komplikationerne ved hovedløst at bruge (1.1) direkte ikke uoverkommelige, men bliver tallene meget større er 1

7 man næsten nødsaget til at inddrage en lommeregner i forbindelse med forkortning af brøker. Som nævnt kan nogle opgaver løses lettere, hvis man blot forlænger en af brøkerne. Dette er tilfældet, når nævneren i den ene brøk går op i nævneren i den anden brøk. I vores tilfælde har vi 4 16 (læs: 4 går op i 16), så i stedet kan vi udføre følgende beregning hvor vi altså ikke løber ind i tilsvarende forkortningsproblemer. Vi har natuligvis at subtraktion af brøker forløber på helt tilsvarende vis, men lad os for en god ordens skyld tage et eksempel. Eksempel 1.3 Lad os undersøge følgende udtryk Vi bemærker som det første, at 6 22 (læs: 6 deler ikke 22). Vi kan altså ikke bruge samme trick, som i Eksempel 1.2. I stedet får vi hvor mange af udregninger ved første øjekast synes at være mørk magi (læs: uoverskuelige at klare i hovedet). Og det er det også - de er i hvert fald lavet med et computerprogram. Vi skal senere beskrive en teknik, der gør opgaver som denne mere medgørlige uden brug af elektroniske hjælpemidler. Vi vil nu begive os videre til en behandling af produkt og division af brøker. Sætning 1.4 (Multiplikation af brøker) Lad igen a, b, c, d R med b, d 0. Da har vi følgende regneregel a b c d a c b d (1.2) Med ord har vi altså, at produktet af to brøker er bestemt ved produktet af tællerne over produktet af nævnerne. Regning med produkter er altså som udgangspunkt simplere end addition, dog kan der opstå problemer med store tal (vi kan i hvert fald nok alle blive enige om, at der findes sjovere ting end at gange 3-cifrede tal). Vi skal senere skitsere en teknik til at undgå netop dette, men først tager vi lige et lidt mere medgørligt eksempel. Eksempel 1.5 Lad os undersøge følgende udtryk

8 Med reference til (1.2) får vi altså følgende I Eksempel 1.5 kunne vi drage glæde af vores fortrolighed med den lille tabel, men selv den store tabel kommer hurtigt til kort, når tallene bliver meget større. Lad os nu slutteligt indføre division af brøker. Sætning 1.6 (Division af brøker) Lad stadig a, b, c, d R, men denne gang lad b, c, d 0. Vi har da følgende regel a b c d a b d c (1.3) I ord har vi altså at en brøk divideret med en anden brøk svarer til at gange den første brøk med den reciprokke (læs: omvendte) af dividenten - i stedet for at dividere med c ganger vi d altså med d. Vi kan altså omskrive ethvert problem, der involverer division af brøker, til et c problem med produkt af brøker. Eksempel 1.7 Lad os undersøge følgende udtryk Med henvisning til (1.3) og (1.2) får vi da (1.3) (1.2) Når vi ser på division af brøker omskriver man således problemet til et produkt af to brøker, som vi allerede har formuleret teorien for. 1.1 Faktorisering i primtal Du har nu læst en overskrift, hvor du formodentlig kun kender 1 af ordene. Men frygt ej; 3 begrebet faktorisering dækker over en teknik, hvor man tager et udtryk og omskriver det til et produkt (Husk: størrelserne, der indgår i et produkt kaldes faktorer). Vi har eksempelvis og er faktoriseringer af 30 og 46. Vi vil indføre en mere matematisk stringent definition af primtal, nemlig 3

9 Definition 1.8 Et naturligt tal p kaldes et primtal, hvis p 2 og p kun har de trivielle divisorer 1 og p (læs: kun 1 og p går op i p). Vi kan ret hurtigt overbevise os om, at de mindste primtal er følgende 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... Det er en god idé at overbevise dig om, at de ovenstående tal faktisk er de 10 første primtal, og prøv selv at finde 2 mere. Vi kan hurtigt overbevise os om, at 4, 18 og 21 ikke er primtal, da 4 2 2, og , men bemærk at de alle kan skrives som produkter af primtal. Dette resultat kan faktisk generaliseres til alle naturlige tal og kaldes Aritmetikkens Fundamentaltheorem. Sætning 1.9 Alle naturlige tal n N større end 1 kan skrives som et produkt af et eller flere primtal på netop én (vi ser bort fra faktorernes rækkefølge) måde. Vi har altså hvor p i er primtal. n p 1 p 2... p k Før vi ser på eksempler er det værd at understrege, at primtalsfaktoriseringen er unik! Uanset hvilken teknik vi bruger til at finde frem til primtalsfaktoriseringen, vil vi altid få den samme. Vi skal i det følgende udvikle teknikker til at bestemme de primtal, som indgår i et givet tal n s primtalsfaktorisering. For et givet n vil vi undersøge om hvert enkelt primtal p går op i n, og i så fald faktorisere p ud, så vi får n p n 1, hvor n 1 N. Eksempel 1.10 Lad n 24. Vi finder primtalsfaktoriseringen af 24. Da 24 er et lige tal går 2 op i 24, hvorfor vi altså har n 2 12 Igen har vi, at 12 er et lige tal, så 2 går op i 12, og vi får altså Endnu en gang har vi, at 6 er lige, hvorfor n n Da både 2 og 3 er primtal har vi nu primtalsfaktoriseret n 24. Det var ret overskueligt, men desværre er det ikke lige så let at undersøge om de øvrige primtal deler et givet n. Vi skal dog beskrive teknikker til på relativt simpel vis at undersøge om 3 og 5 deler et givet tal n. Vi introducerer først begrebet tværsum. 4

10 Definition 1.11 Lad n være et naturligt tal, så n a 1 a 2... a k, hvor a i angiver det i te ciffer i n. Vi definerer da tværsummen af n noteret n ved n a 1 + a a k Notationen i definitionen af tværsum kan måske være en smule forvirrende. Når vi skriver n a 1 a 2... a k er n et naturligt tal med k cifre, nemlig a 1,a 2,..., a k (der er altså ikke et underforstået gange mellem a i erne). Vi har eksempelvis for n , at n Begrebet tværsum synes måske ikke videre anvendeligt i forhold til primtalsfaktorisering, men som vi skal se i thm 9 er tværsum ekstremt anvendeligt i undersøgelsen af om 3 deler et givet tal n. Sætning 1.12 Lad n være et givet naturligt tal. Da går 3 op i n hvis og kun hvis 3 går op i n. Formelt har vi 3 n 3 n Styrken i thm 9 ligger i, at det er overordentligt meget nemmere at undersøge, om 3 deler n i forhold til om 3 deler n. Eksempelvis kan vi nu slutte, at , eftersom vi let ser at Eksempel 1.13 Lad n Vi finder primtalsfaktoriseringen af Vi bemærker først, at 1458 er lige, så n Vi er nu i en situation, hvor 2 ikke længere går op, da 729 er ulige. Lad os derfor undersøge, om Vi får og da 3 18 har vi nu af thm 9 at Hvor mange gange 3 går op i 729 må vi finde ved at se på divisionsstykket 729/3, men nu ved vi i det mindste at beregningerne ikke er forgæves. Vi får , så 3 n Tilsvarende får vi og eftersom 3 9 giver thm 9 at Vi får , så n Da vi fra den lille tabel ved, at kan vi nu færdiggøre primtalsfaktoriseringen, så n Vi så i ovenstående, hvor kraftfuldt thm 9 var i forbindelse med primtalsfaktorisering. Vi skal nu formulere et tilsvarende resultat for faktorisering med 5. 5

11 Sætning 1.14 Lad n være et givet naturligt tal, så n a 1 a 2... a k, hvor a i angiver det i te ciffer i n. Vi har da 5 n hvis og kun hvis a k 0 eller a k 5. Mere formelt 5 n a k 0 a k 5 thm 11 kender du måske allerede, men hvis ikke er det intuitivt meget appellerende - 5 går op i et naturligt tal n hvis og kun hvis det sidste ciffer i n er 0 eller 5. Vi har således for n at , da det sidste ciffer i er 0. Slutteligt skal vi se et eksempel, hvor vi bruger alle ovenstående resultater Eksempel 1.15 Lad n Vi finder primtalsfaktoriseringen af Vi bemærker først, at er lige, så n Da 675 er ulige vil 2 ikke gå op igen. Vi bemærker nu i stedet, at siden det sidste ciffer i 675 er 5 følger det af 1.14, at og vi får n Igen har vi, at 135 ender på 5, så og vi får n Da 27 ender på hverken 5 eller 0, så har vi Vi undersøger nu om 3 går op. Vi får , og da 3 9 har vi ifølge 1.12, at Vi genkender da også hurtigt , hvorfor n Hermed er n 1350 primtalsfaktoriseret. 1.2 Primtalsfaktorisering i brøkregning Men hvad skal vi så bruge alt den primtalsfaktorisering til? Lad os gå tilbage og se... Eksempel 1.16 (Fortsættelse af 1.2) I Eksempel 1.2 så vi, at Vi vil nu bruge primtalsfaktorisering til at forkorte denne brøk. Vi får umiddelbart mens

12 Dette giver os altså Hermed har vi altså vist forkortningen fra Eksempel 1.2. Eksempel 1.17 (Fortsættelse af 1.3) I Eksempel 1.3 fik vi følgende Lad os nu udnytte vores viden om primtalsfaktorisering til at forkorte denne brøk. Vi får umiddelbart mens Vi kan nu skrive ( ) hvor udregningen i ( ) er lavet i Eksemepl 1.3. De to eksempler herover var måske ikke så uoverskuelige endda. Vi kunne med lidt god vilje nok godt have klaret dem uden primtalsfaktoriseringen. Men det kan blive meget værre... Eksempel 1.18 Lad os se på udtrykket Vi får nu følgende primtalsfaktoriseringer hvilket giver anledning til følgende beregninger

13 Okay, så lidt tung regning slap vi altså ikke helt for. Men lad os lige se, hvor galt det ville have været UDEN faktoriseringen hvor... dækker over en voldsomt ubehagelig forkortning, som ingen dødelige hverken kan eller bør begive sig ud i. Så vi kan vist godt blive enige om at primtalsfaktorisering kan være ret smart! 1.3 En lille reprimande... Du kender nok Kristendommens 7 dødssynder; vi skal her snakke om den 8. dødssynd. Når vi forkorter brøker er det kun faktorer, der kan fjernes - altså størrelser der indgår i et produkt. Udtryk som a 2 + b a 2 + b kan altså ikke umiddelbart forkortes og sættes lig 2. Derimod har vi a 2 b 2 4 a 2 b Du ender sikkert ikke i Helvede, selv om du skulle komme til at lave en ulovlig forkortning, men vid at det gør ondt i hjertet på enhver matematiker, der ser fejl af denne type. 8

14 1.4 Gode eksempler Vi skal i det følgende se på nogle lidt mere interessante eksempler. De vil være taget fra TalentCamp Bornholms test. Eksempel 1.19 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker at ovenstående er et tilfælde af simpel addition af to brøker, så vi får hvor vi udnytter at fælles nævner kan opnås ved blot at forlænge brøken 2 med 2. Alternativt, 3 dog mere omstændigt, kan opgaven løses ved direkte brug af Sætning Metoden anvist først er klart at foretrække i dette tilfælde og vil i det følgende altid blive brugt, hvis muligt. Eksempel 1.20 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker at vi først får brug fra multiplikation af brøker (Sætning 1.4) og derefter subtraktion af brøker (Sætning 1.1). Vi får

15 Eksempel 1.21 Lad os undersøge udtrykket ( ) 4 Umiddelbart synes det mest naturligt at lægge de to brøker i parentesen sammen først, dog vil vi først anvende reglen for multiplikation af brøker (Sætning 1.4) og derefter addition af brøker (Sætning 1.1). ( ) Eksempel 1.22 Lad os undersøge udtrykket ( ) 9 Lidt af en mundfuld, I know... Men lad os først reducere de enkelte brøker i udtrykket og derefter bruge relevante regneregler til at bestemme udtrykke endegyldigt ( ) ( ) Af denne opgave ser vi, at man med fordel kan reducere brøkerne og anvende reglerne én af gangen og derved opnå en relativt overskuelig udregning. 2 10

16 Eksempel 1.23 Lad os undersøge udtrykket Fremgangsmetoden til denne opgave er fuldstændig ækvivalent til den i Eksempel 1.18 viste. Vi får altså hvor den sidste brøk er uforkortelig Opgaver Opgave 1.1 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 1 i TalentCamps test. a) b) c) d) e) f) Opgave 1.2 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 2 i TalentCamps test. a)

17 b) c) d) e) f) Opgave 1.3 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 3 i TalentCamps test. a) 1 ( ) 2 b) 2 ( ) 2 c) 2 ( ) 3 d) 5 ( ) 6 ( e) ) 4 f) 7 ( ) 2 Opgave 1.4 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 4 i TalentCamps test. a) b) ( )

18 c) d) e) f) ( ) ( ) 14 Opgave 1.5 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 5 i TalentCamps test. a) ( ) b) c) c b a c a b+1 1 a 1 d) e) f)

19 Kapitel 2 Regning med potenser I dette kapitel vil vi arbejde med potensregneregler på en hovedsageligt anvendt, færdighedsorienteret måde - altså i højere grad beskæftige os med hvordan man regner med potenser frem for hvorfor potensregning fungerer, som det gør. For at bevare intuitionen omkring, hvorfor regnereglerne ser ud, som de gør, vil vi dog skitsere teoretiske overvejelser for alle regnereglerne. 2.1 Potensregnereglerne Definition 2.1 Vi minder først om definitionen af potenser. For n N definerer vi a n n gange { }} { a a a, a 0 1, a n 1 a a a } {{ } n gange (2.1) og vi benævner a grundtallet, mens n kaldes eksponenten. Vi bemærker altså for n N, at a n (læs: a i n te eller a opløftet i n) betyder a ganget med sig selv n gange. Tilsvarende har vi at for n N betyder a n, at vi dividerer med a i alt n gange. Vi har slutteligt per konvention at a 0 1. Sætning 2.2 Lad os først se på produktet af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige 1 eksponenter n, m N. Vi har m gange n gange a n a m { }} { { }} { a a a a a a a n+m (2.2) Når vi tager produktet af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige eksponenter, får vi således det samme grundtal a opløftet i summen af de to eksponenter, n + m. Bemærk det intuitive indhold af ovenstående resultat; vi har først a ganget med sig 1 I noten bruges termen forskellig i betydningen ikke nødvendigvis ens 14

20 selv n gange, så ganger vi det med a ganget med sig selv m gange, altså må vi i alt have a ganget med sig selv n + m gange. Vi har kun udført argumentationen, hvor n og m er positive heltal, men faktisk gælder (2.2) for alle n, m R. Eksempel 2.3 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme grundtal, men forskellige eksponenter, så Sætning 2.2 giver os altså Uden hovedløst at bruge (1.2) kunne vi også have overvejet betydningen af notationen. Vores definition (1.1) giver os således gange { }} { gange {}}{ Selv om vi altid bare kan bruge reglen fra (2.2), er det en rigtig god idé at skrive det intuitive indhold af resultatet bag øret! Inden vi går videre til næste regneregel vil vi se på endnu et eksempel. Eksempel 2.4 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker at de tre potensudtryk har samme grundtal, men forskellige potenser, så (1.2) giver os altså ( 3) Vær opmærksom på, hvordan vi håndterede den negative eksponent. Vi kunne igen have udnyttet vores definition af potenser fra (1.1) og fået Vi kan vist hurtigt blive enige om, at ovenstående udregning er ret uoverskuelig, så igen vil vi foretrække at bruge regel (1.2), men det er vigtigt at bevare intuitionen omkring reglen, så vi bedre kan huske den! Sætning 2.5 Lad os gå videre til division af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige eksponenter m, n N. Vi har a n a m n gange { }} { a a a a a a } {{ } m gange 15 a n m (2.3)

21 Når vi ser på brøken af to potensudtryk med samme grundtal a R +, men forskellige eksponenter, får vi således det samme grundtal a opløftet i differencen mellem de to eksponenter, n m. Bemærk igen det intuitive indhold; hvis n > m er der flest a er i tælleren og vi kan forkorte ud indtil der ikke er flere i nævner, men da har vi jo netop fjernet m af a erne, altså er der n m tilbage. Tilsvarende (dog modsat) kan vi argumentere intuitivt når n < m. Igen har vi kun udført argumentationen for n, m N, men resultatet gælder for alle n, m R. Eksempel 2.6 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme grundtal, så Sætning 2.5 giver os altså Som i tidligere eksempler kunne vi lige så godt have brugt definitionen af potenser direkte og fået Lad os se på endnu et eksempel. Eksempel 2.7 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme grundtal, så Sætning 2.5 giver os altså ( 3) Vær opmærksom på, hvordan vi håndterede den negative eksponent. Vi kunne igen udnytte vores definition af potenser fra 2.1 og fået ( 3) Igen er det klart at denne måde er væsentligt mere omstændig, men brug alligevel tiden på at forstå udregningen herover. Sætning 2.8 Vi skal nu se på en regneregel, der beskriver tilfældet med forskellige grundtal a, b R +, som er opløftet i samme eksponent n N. Vi har n gange n gange n gange a n b n { }} { { }} { { }} { a a a b b b (a b) (a b) (a b) (a b) n (2.4) 16

22 Når vi ser på produktet af to potensudtryk med forskellige grundtal a, b R +, men samme eksponent n, får vi således at grundtallene kan samles i (a b) som da opløftes i n. Forskellen på de to potensudtryk udtrykkes bedst som rækkefølgen, der ganges i; a n b n har først a ganget med sig selv n gange, derefter b med sig selv n gange, mens (a b) n har skiftevis a og b ganget n gange. Den eneste forskel er således rækkefølgen I multiplicerer i. Vi har kun ført argumentation for n N, men resultatet gælder for alle n R. Eksempel 2.9 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har samme eksponent, hvorfor Sætning 2.8 giver os (4 7) Vi kunne tilsvarende have argumenteret ud fra definitionen af potenser fra 2.1, og fået ( ) ( ) (4 7) (4 7) (4 7) (4 7) Vi vil fremover foretrække blot at henvise til 2.8, men overbevis dig selv om korrektheden af hvert enkelt skridt i udregningen herover. Sætning 2.10 Vi vil nu se nærmere på division af to potensudtryk med forskellige grundtal a, b R +, men samme eksponent n N. Vi har a n b n n gange { }} { a a... a b b... b } {{ } n gange n gange { }} { a b a b a ( a ) n b (2.5) b Når vi ser på brøken mellem to potensudtryk med forskellige grundtal a, b R +, men samme eksponent n N, får vi således at grundtallene kan samles a, som da opløftes i n. Forskellen b på de to potensudtryk beskrives bedst som rækkefølgen, der ganges og divideres i; an har b n først a ganget med sig selv n gange, derefter divideret med b i alt n gange, mens ( ) a n b har brøken a ganget med sig selv n gange. Vi har kun ført argumentationen for n N, men b resultatet gælder for alle n R. Eksempel 2.11 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at de to potensudtryk har forskellige grundtal, men samme eksponent, så Sætning 2.10 giver os ( )

23 Vi husker fra Definition 2.1, at vi kunne have opnået samme resultat på anden vis, nemlig Igen er vores regneregel et væsentligt mere elegant værktøj, og vi vil fremover ved lignende udtryk blot henvise til (2.5). Det er dog vigtigt, at du forstår hvert enkelt skridt i ovenstående udregning. Sætning 2.12 Vi vil slutteligt se nærmere på potenser af potensudtryk (potens-ception, om man vil). 2 Lad altså a R + og lad n, m N. Vi har da (a n ) m m gange { }} { a n a n a n m gange { }} { a } a {{ a} a } a {{ a} a } a {{ a} n gange n gange n gange n m gange { }} { a a a a n m (2.6) Når vi ser på en m-potens af et potensudtryk med grundtal a R + og eksponenten n N får vi således samme grundtal a opløftet i produktet af eksponenterne, n m. Vi kan tænke på skrivemåden (a n ) m som om a erne er grupperet i m klynger af størrelse n, mens i udtrykket a n m har vi n m enkeltstående a er. Vi har kun ført argumentation for n, m N, men resultatet gælder for alle n, m R. Det intuitive indhold af Sætning 2.12 vil blive klart gennem følgende eksempler. Eksempel 2.13 Lad os undersøge udtrykket ( a 2 ) 3 Vi bemærker, at vi har en potens af et potensudtryk, så det følger af (1.6) at ( a 2 ) 3 a 2 3 a 6 I stedet kunne vi have arbejdet udelukkende ud fra definitionen af potenser og fået ( a 2 ) 3 a2 a 2 a 2 (a a) (a a) (a a) a 6 Før du læser videre bør du gøre dig klart, hvordan ovenstående udregning eksemplificerer argumentationen ført i (1.6). Dette skal bidrage til at give en intuitiv forståelse af reglen. 2 Hvis du ikke forstår joken henvises du til filmen Inception. 18

24 Vi har hele noten igennem gjort klart, at skønt vi kun argumenterede for regnereglerne (2.2)-(2.6) med heltallige eksponenter, så gælder de for alle tænkelige eksponenter. Men vi har ikke engang defineret, hvad vi mener med ikke-heltallige eksponenter. Vi indfører altså for a R + følgende definition a r s s a r (2.7) hvor r Z, s Z \ {0}. Vi har således beskrevet rationale eksponenter. Vi bemærker altså at nævneren i eksponenten angiver hvilken rod, vi tager af grundtallet a, mens tælleren angiver den heltallige eksponent af a. Vi vil uden videre argumentation bruge, at de tidligere beskrevne regler også gælder for alle rationale eksponenter. Eksempel 2.14 Lad os undersøge udtrykket Vi bemærker, at vi har en rational eksponent, hvorfor (2.7) giver os Vi husker, at den anden rod (også kaldt kvadratroden) noteres uden et 2-tal i rod-symbolet. Ovenstående udregning kunne være udført uden brug af (2.7), da 4 2, hvorfor Vi bemærker således, at vi kan tillade os at forkorte brøken i eksponenten og stadig få samme resultat. Eksempel 2.15 Lad os undersøge udtrykket 4 16a2 b 4 Vi bemærker, at vi har en ubehagelig rod, hvorfor (2.7) skal i spil, hvorefter vi kan bruge vores sædvanlige regneregler. 4 16a2 b ( 16a 2 b 4) 1/ /4 (a 2) 1/4 ( ) b 4 1/ /4 a 1/2 b Fortolkningen af 16 1/ er det tal, der ganget med sig selv 4 gange er lig 16. Og lur mig om ikke Vi får altså endelig 4 16a2 b 4 2 ab Du sidder sikkert nu og har lidt svært ved at danne overblik over de mange regneregler. Du vil gerne have en art formelsamling, hvor du har alle regnereglerne stående. Men nej, det får du ikke! Det er vores hensigt, at regnereglerne skal stå relativt klart for dig intuitivt; at de giver mening for dig! Regnereglerne er med andre ord ikke noget man skal huske, men noget man skal kunne tænke sig frem til. Hvis du ikke synes det er tilfældet endnu, vil vi råde dig til at genlæse eksemplerne og sammenholde med de tilhørende regneregler. 19

25 2.2 Gode eksempler Vi skal i det følgende se på nogle lidt mere interessante eksempler. De vil være taget fra TalentCamp Bornholms test. Eksempel 2.16 Lad os undersøge udtrykket b 3 b 2 b 7 Vi bemærker, at vi har tre potensudtryk med samme grundtal, hvorfor (2.2) giver os b 3 b 2 b 7 b b 12 Eksempel 2.17 Lad os undersøge udtrykket ( a3 b 2) 2 Hvis vi betragter tallene a 3 og b 2 som grundtal får vi ved (2.4), at (a 3 b 2 ) 2 (a 3 ) 2 (b 2 ) 2. Videre får vi nu af (2.6), at (a 3 ) 2 a 3 2 a 6 og (b 2 ) 2 b 2 2 b 4. Samlet har vi altså ( a3 b 2) ( a 3) 2 ( ) b a 6 b 4 Eksempel 2.18 Lad os undersøge udtrykket ( ) 1 3 Ved simpel udregning får vi i parentesen Vi udnytter da regneregel (2.7) og får Samlet har vi altså ( ) Eksempel 2.19 Lad os undersøge udtrykket (ab) 2 + b 4 b 2 b 2 Vi bemærker først at (2.4) giver os (ab) 2 a 2 b 2 og (2.2) giver os b 4 b 2 b 4+( 2) b 4 2 b 2. Samlet har vi altså (ab) 2 + b 4 b 2 b a2 b 2 + b 4 b 2 b a2 b 2 + b 2 b 2 a

26 Eksempel 2.20 Lad os undersøge udtrykket a 2 (b a 2 + a 1 ) a + b Før vi går i gang med at reducere, ganger vi ind i parentesen og får a 2 b a 2 + a 2 a 1 a + b Vi får nu af (2.2) og Definition 2.1, at a 2 b a 2 a 2 2 b a 0 b b. Vi får igen af (2.2), at a 2 a 1 a 2 1 a. Samlet får vi altså a 2 (b a 2 + a 1 ) a + b a2 b a 2 + a 2 a 1 a + b 2.2 a0 b + a a + b a + b a + b 2.7 a + b (a + b) (a + b) a + b hvor vi undervejs også har brugt definition (2.7) og regel (2.3). 21

27 2.3 Opgaver Opgave 2.1 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 1 i TalentCampDKs test. a) a 2 a 4 a 7 b) b 3 b 2 b 5 c) (a 2 ) 4 d) a3 a 2 e) (b 3 ) 2 f) b3 b 5 Opgave 2.2 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 2 i TalentCampDKs test. a) (b 4 b 3 ) 3 b) (ab)4 b 2 c) (c 2 c 1 ) 2 d) (a2 b) 4 a 2 b e) a3 a 2 a 2 f) (a 4 b 2 ) 2 Opgave 2.3 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 3 i TalentCampDKs test. a) ( ) 1 3 b) ( ) c) 4 (3 3 2) 2 22

28 d) 27 3 e) 9 2 ( 1 3) 4 f) ( ) 1 4 Opgave 2.4 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 4 i TalentCampDKs test. a) (a b)3 a 3 b 3 b 6 a 3 b) c4 b 3 b 2 b 1 c 2 c) (a2 b) 3 a 9 b 2 a 5 a 4 b 2 d) a a 2 e) (a c)4 a 4 c 4 c 2 a 2 a b + b3 (a b) 2 f) b 3 Opgave 2.5 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 5 i TalentCampDKs test. a) a3 (b 2 a 1 + a b) ab (ab + 1) b) 1 ((a 3 b + b 2 )b 1 ) 1 c) ((3 a)3 ) 4 (a 3) 12 d) e) 3 a6 b 3 a b (ab) 4 b 2 a 5 a 2 b 2 b 0 a 1 f) (a b2 + b 3 b 4 ) b 1 (ab) 2 + ab 23

29 Kapitel 3 Kvadratsætninger I dette kapitel vil vi arbejde med kvadratsætninger på en hovedsageligt anvendt, færdighedsorienteret måde - altså i højere grad beskæftige os med hvordan man regner med kvadratsætninger frem for hvorfor kvadratsætninger fungerer, som de gør. For at bevare intuitionen omkring, hvorfor regnereglerne ser ud, som de gør, vil vi dog skitsere teoretiske overvejelser for alle regnereglerne. På overfladen kan de tre kvadratsætninger synes en smule magiske - og det er de måske også, for de er skræmmende anvendelige. For at afmystificere en smule skal vi i det følgende gennemgå det teoretiske grundlag. Sætning 3.1 (Første kvadratsætning) Lad a, b R. Da haves (a + b) 2 (a + b) (a + b) a 2 + ab + ba + b 2 a 2 + b 2 + 2ab (3.1) I ord har vi således: Kvadratet på en toleddet sum er lig kvadratet på første led, a 2, kvadratet på det andet led, b 2, samt det dobbelte produkt, 2ab. Pilene herover indikerer de velkendte regler for multiplikation af parenteser. Det er en god idé at blive tryg ved såvel formlen som den mundtlige formulering, da begge bruges i flæng i mange henseende. Lad os uden videre tøven fortsætte med næste kvadratsætning. Sætning 3.2 (Anden kvadratsætning) Lad a, b R. Da haves (a b) 2 (a b) (a b) a 2 ab ba + b 2 a 2 + b 2 2ab (3.2) I ord har vi således: Kvadratet på en toleddet differens er lig kvadratet på første led, a 2, kvadratet på det andet led, b 2, minus det dobbelte produkt, 2ab. Bemærk altså at begge kvadrater, a 2 og b 2, er positive, mens det dobbelte produkt, 2ab, ændrer fortegn i forhold til Første kvadratsætning. Sætning 3.3 (Tredje kvadratsætning) Lad a, b R. Da haves (a + b)(a b) (a + b) (a b) a 2 ab + ba b 2 a 2 b 2 (3.3) 24

30 I ord har vi således: Produktet af en toleddet sum og en toleddet differens er kvadratet på første led, a 2, minus kvadratet på andet led, b 2. Det er værd at bemærke, at de blandede led, ab og ba i dette tilfælde får modsatrettede fortegn, hvorfor de går ud med hinanden. Af ovenstående kan du måske se, at de tre kvadratsætninger blot er multiplikation af to parenteser - så måske ikke så magiske alligevel. Vi har lavet ovenstående udledning for fremover at kunne springe direkte fra venstresiden til højresiden, uanset hvad a og b måtte være. Lad os nu se nærmere på de tre kvadratsætninger i praksis. Vi skal gøre dette gennem en række eksempler, som vil belyse anvendelighed og faldgruber i forbindelse med brug af kvadratsætninger. Eksempel 3.4 Lad os undersøge udtrykket (x + 3) 2 Vi genkender straks ovenstående som venstresiden af (3.1), altså kvadratet på en toleddet sum, hvorfor vi får (x + 3) 2 x x x 2 + 6x + 9 Eksempel 3.5 Lad os undersøge udtrykket (2 a)(2 + a) Denne gang genkender vi ikke straks udtrykket som venstresiden i en kvadratsætning. Dog ligner udtrykket, vi arbejdede med i Trejde kvadratsætning, dog står a forkert. Det er her essentielt at a og b i vores udledninger herover udelukkende skal ses som repræsentanter for et vilkårligt reelt tal - vi kunne således lige så godt have brugt x, y R. Med dette i baghovedet har 2 i eksemplet altså taget a s plads i (3.3), mens a i eksemplet har taget b s plads i (3.3). Vi kan altså bruge Tredje kvadratsætning og får (2 a)(2 + a) 2 2 a 2 4 a 2 Eksempel 3.6 Lad os undersøge udtrykket (4x 3) 2 Umiddelbart synes Anden kvadratsætning at være vores bedste bud i dette tilfælde, dog har vi nu produktet af to størrelser, nemlig 4x, stående på a s plads i (3.2). Det er imidlertid ikke et problem, når blot vi husker at opløfte hele 4x til anden potens, når det bliver relevant. Vi får altså (4x 3) 2 (4x) 2 2 4x x 2 24x

31 3.1 Kvadratkomplementering Dette afsnit handler om mørk magi. Men nej; vi skal desværre ikke introducere dig til de tre utilgivelige besværgelser fra Harry Potter, men kvadratkomplementering med de tre kvadratsætninger er også (næsten) lige så fascinerende. Kvadratkomplementering handler helt simpelt om at bruge kvadratsætningerne baglæns. Det lyder måske ikke så svært, men det skal vise sig at være en ganske udfordrende opgave. Vi vil igen indføre teknikken gennem en række eksempler. Eksempel 3.7 Lad os undersøge udtrykket 4x x 2 Sammenlignet med tidligere, hvor vi kiggede på venstresiden af (3.1)-(3.3), skal vi nu lede efter et sammenligneligt mønster på højresiden. Vi opdager da straks at tre positive led kun kan matche højresiden af (3.1), hvorfor vi får 4x x 2 x x (x + 2) 2 Eksempel 3.8 Lad os undersøge udtrykket 9a 2 + b 2 6a 2 b Som før leder vi blandt højresiderne i (3.1)-(3.3) efter et sammenligneligt mønster, og finder straks at to positive og et negativt led må være et resultat af (3.2). Vi forsøger nu at omskrive hvert led, så to led står som kvadrater, mens et led (det negative) står som et dobbelt produkt. Vi får 9a 2 + b 2 6a 2 b (3a) 2 2 3a b + b 2 (3a b) 2 Eksempel 3.9 Lad os undersøge udtrykket 16x 2 4 Blandt højresiderne i (3.1)-(3.3) kan ovenstående kun være et resultat af Tredje kvadratsætning. Vi skal således forsøge at skrive begge led som kvadrater. Vi får 16x 2 4 (4x) (4x + 2)(4x 2) Bemærk at fortegnene fortæller os, at 4x tager a s plads, mens 2 tager b s plads i (3.3). Måske føltes ovenstående eksempler måske som mørk magi, og du føler dig måske endnu ikke helt som en ægte matemagiker. Men fat mod; vi vil herunder forsøge at skitsere trinene i processen i mere generelle termer. Sammenlign først dit udtryk med højresiderne i (3.1)-(3.3). Bestem den relevante kvadratsætning. Da fås 26

32 Tilfælde 1) Hvis dit udtryk matcher højresiden i (3.1), led da efter det dobbelte produkt 2ab, som typisk vil være det mest blandede udtryk. Mere præcist skal dit udvalgte led opfylde, at hvis du tager kvadratroden af de to øvrige led, da skal disse indgå som faktorer i dit udvalgte led. Når du har bestemt det dobbelte produkt, betragt da de to øvrige led og bestemt deres kvadratrod. Dermed har du dit a og b, så du kan opstille den relevante faktorisering. Tilfælde 2) Hvis dit udtryk matcher højresiden i (3.2), da er leddet med negativt fortegn det dobbelte produkt 2ab. Bestem da a og b, så a 2 og b 2 matcher de to resterende led i dit udtryk. Med andre ord kan du blot tage kvadratroden af de to resterende led i dit udtryk, hvorved du vil have opnået a og b til den relevante faktorisering. Tilfælde 3) Hvis dit udtryk matcher højresiden i (3.3), bestem da kvadratroden af begge led. Da har du dit a og b og kan opstille den relevante faktorisering. 3.2 Gode eksempler Kvadratsætninger er ikke i sig selv videre interessante men et fremragende og kraftfuldt værktøj i forbindelse reduktion. Eksempel 3.10 Lad os undersøge udtrykket x x x 3 Vi genkender tælleren som højresiden af (3.2) med a x og b 3, hvorfor vi får følgende omskrivning Eksempel 3.11 Lad os undersøge udtrykket x x x 3 (x 3)2 x 3 x 3 (4x x) (4x x) 4x 2 4 Vi genkender første faktor i tælleren som højresiden af (3.1) med a 2x og b 2, hvorfor vi får følgende omskrivning (4x x) (4x x) 4x 2 4 (2x + 2)2 (4x x) 4x 2 4 Vi genkender nu anden faktor i tælleren som højresiden af (3.2) med a 2x og b 2, hvorfor vi får følgende omskrivning (2x + 2) 2 (4x x) 4x 2 4 (2x + 2)2 (2x 2) 2 4x

33 Endelig genkender vi nævneren som værende højresiden af (3.3) med a 2x og b 2, hvorfor vi slutteligt får (4x x) (4x x) 4x 2 4 (2x + 2)2 (2x 2) 2 (2x + 2) (2x 2) (2x + 2) (2x 2) 4x 2 4 hvor vi faktisk afslutningsvis bruger Tredje kvadratsætning forlæns. Eksempel 3.12 Lad os undersøge udtrykket ( ) a 2 b 2 (a + b) a 2 + b 2 + 2ab + 1 Vi genkender tælleren som højresiden i (3.3), mens nævneren genkendes som højresiden i (3.1). Vi får således følgende omskrivning ( ) ( ) a 2 b 2 (a + b)(a b) (a + b) a 2 + b 2 + 2ab + 1 (a + b) + 1 (a + b) 2 Ved at lade (a + b) gange ind i parentesen fås endelig ( ) ( ) a 2 b 2 (a + b)(a b) (a + b) a 2 + b 2 + 2ab + 1 (a + b) + 1 (a + b) 2 Eksempel 3.13 Lad os undersøge udtrykket (a + b)2 (a b) (a + b) 2 + (a + b) a b + a + b 2a 16x4 + y 4 + 8x 2 y 2 4xy 2x y Vi genkender indledningsvis udtrykket under kvadratrodstegnet som højresiden af (3.1). Vi kan således udføre følgende reduktion 16x4 + y 4 + 8x 2 y 2 4xy (4x2 + y 2 ) 2 4xy 4x2 + y 2 4xy 2x y 2x y 2x y Endelig ser vi, at tælleren matcher højresiden af (3.2). Udtrykket kan således reduceres på følgende vis 16x4 + y 4 + 8x 2 y 2 4xy (4x2 + y 2 ) 2 4xy 2x y 2x y 4x2 + y 2 4xy 2x y (2x y)2 2x y 2x y 28

34 Eksempel 3.14 Lad os undersøge udtrykket b 2 a 2 9 6a b a 3 Man kan umiddelbart fristes til at genkende de to første led af tælleren som højresiden i (3.3). Dog viser denne sig at være ufrugtbar (prøv selv!), så i stedet omskriver vi til b 2 (a a) b a 3 Vi kan nu genkendes udtrykket i parentesen som højresiden af (3.1), hvorfor vi får følgende reduktion b 2 (a a) b2 (a + 3) 2 b a 3 b a 3 Endelig ser vi nu, at tælleren er en differens mellem to kvadrater. Dette genkendes naturligvis som højresiden af (3.3), hvorfor vi får b 2 (a + 3) 2 b a 3 (b + (a + 3))(b (a + 3)) b a 3 (b + a + 3)(b a 3) b + a + 3 b a 3 29

35 3.3 Opgaver Opgave 3.1 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 1 i TalentCampDKs test. a) a2 + b 2 2ab a b b) x x x + 5 c) x2 y 2 x y d) x 2 y 2 x 2 + y 2 + 2xy e) 36 + z2 12z 6 z f) x + 3 x 2 9 Opgave 3.2 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 2 i TalentCampDKs test. a) 4x2 + 9y 2 12xy 2x 3y b) (a2 + b 2 + 2ab) (a b) (a 2 b 2 ) (a + b) c) (16x x) (4x + 2) (16x 2 4) d) 4x x 4x + 8 e) a 2 b 2 (a 2 + b 2 2ab)(a 2 + b 2 + 2ab) f) (2x2 + 2y 2 + 4xy)(x y) x 2 y 2 Opgave 3.3 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 3 i TalentCampDKs test. 30

36 a) (2a 3b)2 + 12ab 5b 2 4 b) (a6 + 4b 2 + 4a 3 b)(a 3 2b) a 6 4b 2 16x 4 y 4 c) (2x y) 2 + 4xy ( a + b d) (a + b) a 2 + b 2 + 2ab + a b ) a 2 b 2 e) ( ) a + b a 2 + b 2 + 2ab a 2 + b 2 + 2ab f) (3x + y)2 6xy 2y 2 3x y Opgave 3.4 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 4 i TalentCampDKs test. a) ( ) 1 2a 2 2b 2 a2 + b 2 + 2ab a + b a b a + b b) 4z 2 y 4 + x 2 4zy 2 x c) 4xyz + x2 y 2 + 4z 2 xy + 2z d) (3a b)2 5a 2 + 2ab 2a b e) f) x4 + 16y 4 + 8x 2 y 2 + 4xy x + 2y ( ) 1 a 2 b 2 a b 2a + 2b a2 + b 2 2ab a b Opgave 3.5 Niveauet i de følgende 6 opgaver er svarende til Opgave 5 i TalentCampDKs test. a) 2x 2 6xy 9y 2 + x 2 + 6xy + 1 b) x2 + 4y 2 + 4xy 16 x + 2y 4 c) 4 + a2 + b 2 + 2ab + 4a + 4b a + b

37 d) 4 x2 9 6x 2 + x + 3 e) xy 4y2 9x x 2y f) 2a2 6b 2 4ab 2a 2 + 2b 2 + 4ab

38 Kapitel 4 Ligninger I dette kapitel vil vi arbejde med løsning af ligninger med en variabel. Vi vil dog ikke begrænse os til at se på lineære ligninger 1, men vi vil også se på ikke lineære ligninger, hvor specifikke værdier af x ikke tillades som løsning. Der vil generelt være fokus på løsningsmetoden. Det vil sige, at vi hovedsageligt vil koncentrere os om, hvordan man løser en ligning og hvilke faldgruber, der er undervejs. 4.1 Hvad er en ligning? Først må vi gøre os klart, hvad vi lægger i begrebet en ligning. Definition 4.1 (Ligning) En ligning er et matematisk problem, hvor det påstås at to størrelser A og B er ens. Vi skriver A B Problemet løses ved at bestemme de tilfælde, hvor det rent faktisk gælder at A B. Disse tilfælde kaldes for ligningens løsninger 2. I den sammenhæng, hvor vi har brug for at løse liginger vil enten størrelsen A, størrelsen B eller både A og B indeholde x. At løse ligningen vil altså for os betyde at finde de x- værdier, der sikrer at A B. Lad os først betragte et eksempel. Eksemplet illusterer ideen i en ligning og er altså ikke udtryk for generel løsningsteknik - det kommer vi til i næste afsnit. Eksempel 4.2 Lad os betragte ligningen 5 + x 7 1 Ligninger på formen ax + b 0. 2 Bemærk at det ikke er givet på forhånd om ligningen har en, flere, uendeligt mange eller slet ingen løsninger. 33

39 Ligningen er altså en påstand om, at udtrykkene 5 + x og 7 er ens. Ligningen løses ved at bestemme det eller de x, for hvilke dette rent faktisk er tilfældet. Vi ser at for x < 2 gælder det at 5 + x < x < 7 og for x > 2 gælder det at 5 + x > x > 7 Den eneste mulige løsning til ligningen er altså x 2. Vi må nu prøve om x 2 rent faktisk løser ligningen. Ved indsættelse finder vi netop 5 + x x 7 Ligning har altså kun en løsning, nemlig x 2. Denne måde at tænke på en ligning på er muligvis noget anderledes end den måde, hvorpå de fleste mennesker tænker på en ligning. Det er imidlertid heller ikke nødvendigt altid at tænke på en ligning i overensstemmelse med definition 4.1, men definitionen er et godt udganspunkt for at forstå, hvad man kan tillade sig, og hvad man ikke kan tillade sig, når man forsøger at løse en ligning. I praksis, når man vil løse en konkret ligning, er tankegangen fra eksempel 4.2 alt for omstændig. Mange mennesker vil faktisk kunne se direkte, at x 2 er den eneste løsning til ligningen 5 + x 7. Men når ligningerne bliver mere komplicerede, er det ikke oplagt hvilke tilfælde, der rent faktisk løser dem. Lad os eksempelvis betragte ligningen x 2 5x + 6 x 2 Her er det ikke umiddelbart oplagt, at den eneste løsning er x 3. Hvis man er god til almindelig ligningsløsning, vil man faktisk umiddelbart finde, at ligningen har to løsninger, nemlig x 3 og x 2. Men lad os prøve at indsætte x 2 i ligningen x 2 5x + 6 x Vi kan ikke give mening til 0, og derfor er x 2 ikke en løsning til ligningen. Men hvordan 0 undgår man at lave den slags fejl? I tilfældet her kunne vi blot prøve at sætte løsningerne ind og tjekke, om det giver mening. Men hvad nu hvis vi ved almindelig løsningsteknik får uendelig mange løsninger? Og hvorfor virker den almindelige løsningsteknik ikke? Det skal vi undersøge i de næste afsnit. Vi starter med at se nærmere på den løsningsteknik, som vi vil anvende. 4.2 Løsningsteknik I praksis vil vi løse ligninger ved at forsøge at isolere x. Det vil sige, at vi vil forsøge at få x til at stå alene på den ene side af lighedstegnet. Det gør vi ved at benytte fire følgende regneoperationer: 34

40 Lægge den samme størrelse til på begge sider af lighedstegnet. Trække den samme størrelse fra på begge sider af lighedstegnet. Gange med den samme størrelse, som ikke er 0, på begge sider af lighedstegnet. Dividere med den samme størrelse, som ikke er 0, på begge sider af lighedstegnet. De fire tilladte operationer kan let retfærdiggøres ud fra definition 4.1. Som beskrevet i definition 4.1 handler det nemlig om at finde de tilfælde, hvor udsagnet A B er sandt. Det gør vi ved at omskrive udtrykket A B på en måde, så x kommer til at stå alene på den ene side af lighedstegnet. Men når vi omskriver, må vi ikke komme til at ændre på hvilke x-værdier, der løser ligningen. Når vi omskriver, er det derfor vigtig at de to sider (kaldet hhv. højresiden og venstresiden) af ligningen påvirkes på præcis samme måde. Ellers ville vi komme til at ændre på det oprindelige udtryk. Dette betyder, at er det vigtigt, at når vi ganger eller dividerer, skal det gøres på hele højre siden og hele venstre siden. Hermed menes at når vi for eksempel ganger en ligning igennem med 5 skal vi huske at gange samtlige led på begge sider af lighedstegnet med 5. At glemme at gange ind på alle led er en dødssynd på linje med at glemme at dividere nævneren op i alle led i tælleren, når man regner med brøker. Men inden vi dømmer nogen til døden, så lad os se på et eksempel. Eksempel 4.3 Vi betragter ligningen x For at løse ligningen vil vi gerne omskrive ved hjælp af de fire regneoperationer ovenfor og derved isolere x på den ene side af lighedstegnet. x står allerede på venstresiden, så lad os forsøge at isolere x på venstresiden af lighedstegnet. Først vil vi gerne af med alle brøkerne. Det kan vi gøre ved at gange begge sider af lighedstegnet med en af brøkernes fællesnævnere. Da begge brøker har nævneren 5, er den mindste fællesnævner i dette tilfælde 5. Derfor ganger vi først både højre- og venstresiden med 5. Vi husker at gange alle led på begge sider med 5 Og ved at regne lidt på begge sider fås 5 ( x ) 5 5 x For at isolere x på venstresiden trækker vi nu 3 fra på begge sider af lighedstegnet x Og så er vores mission lykkedes x 22 Vi har nemlig fundet ligningens eneste løsning. 35