Differentialkvotient bare en slags hældning Et kort eksperiment som indledning til differentialregning Forfatter: Behrndt Andersen, Texas Instruments, behrndt@ti.com Matematisk område+niveau: Differentialregning B Tidsforbrug: ca. 1 time Faglige mål: Indledning til differentialkvotient Skabe en intuition om differentialkvotienten som en generaliseret hældning Motivere grænseværdi for sekanthældning deduktivt Beskrivelse: Ideen med forløbet er at eksperimentere sig ud fra kendte begreber til en intuitiv forståelse af kernebegrebet før differentialkvotienten defineres. Som intuitivt indhold har jeg valgt generaliseret hældning. Eleverne begynder med at finde hældning for en simpel ret linie. I fase 2 trækker undersøges hældning for en krum graf. Eleven flytter en sekant dynamisk ved at trække i to punkter på grafen. I fase 3 trækkes dynamisk i x 0 og h og den traditionelle tegning af graf, sekant og hældningstrekant opdateres dynamisk. Læreren kan selv ændre h til x og lignende, så det dynamiske billede svarer til lærebogens. Træk i de åbne punkter og sekanten bevæger sig Træk i x 0 eller h eller skift forskrift og se ændringen dynamisk Eksperimenterne er meget styrede, og laves i Nspire CAS-dokumenter (på Pc eller grafregner) fordi Nspire CAS giver mulighed for at læreren kan lave elektroniske arbejdsark - dokumenter med integreret CAS, grafer og geometri, som eleverne eksperimenterer i. Materialer Nspire-filer (Det anbefales at afprøve filen før du giver den til eleverne, da den er lavet i en betaversion i 2006).
Bemærkninger: Man kunne lave helt tilsvarende eksperimenter med momentan hastighed som intuitivt indhold. Det er muligt at hente Nspire-filerne og tilrette tekst etc. til egen smag. (Der kræves en TI-Nspire cas enten grafregner eller software for at kunne bruge de animerede Nspire CAS-filer. Det anbefales at afprøve filen før du giver den til eleverne, da den er lavet i en betaversion i 2006). Skærmbilleder med kommentarer: Find hældningen for denne linie så præcist som muligt. Skriv dine tanker her inkl. Dine beregninger (Her er det ren repetition. Tegningen er statisk uden animationer). På grafen til venstre, ser du en graf og en fed prik i et punkt på grafen, hvor x er 4. 1) Tænk over, hvordan du ville beskrive hældningen af grafen i det fede punkt, hvor x er 4. 2) Prøv at trække i de to åbne prikker på grafen for f(x) med musen. Se om den linie, du kommer til at bevæge kan hjælpe dig med at finde hældningen for f(x) i det fede punkt, hvor x= 4. Skriv her, hvad du finder ud af.: (Når eleven trækker i de to åbne punkter følger den rette linie med, og det er tanken, at oplevelsen skal sætte tanker i gang om hældning af en krum kurve ).
Find hældningen i det punkt på grafen til venstre, hvor x = 3 ved at trække i de to markerede punkter på grafen. Efterlad grafen så den viser din aflæsning, og skriv dine udregninger her. (Det er tanken at eleven af sig selv skal konstruere en passende sekant ved at trække i de markerede punkter). Find hældningen i det punkt på grafen til venstre, hvor x 0 = 2 Ved at trække i de to markerede punkter på grafen (Her sker det samme som på de tidligere grafer, men eleven kan ikke tælle sig til hældningen, men må bruge koordinaterne på punkterne til en beregning. Punkternes koordinater opdateres naturligvis, når punkterne flyttes).
1) Eksperimenter på grafen til venstre med at finde hældningen for grafen for f(x) hvor x 0 er forskellige tal. 2) Find x 0, så hældningen for grafen for f(x) er 2 i det punkt, hvor x er x 0. Efterlad grafen, som du fandt hældningen, og skriv her: (Eleven kan trække i A, B og x 0. Den rette linie, de stiplede liniestykker og tallene forneden opdateres dynamisk). Opgave 2: Aflever din løsning på opgav 1 før du fortsætter. Erstat? på tegningen med det, der skal stå indeni funktionsforskriften. Flyt x 0, ved at trække i punktet, og skift værdi for h, ved at trække i det åbne punkt på skyderen nederst. Observer, hvad der sker. Find hældningen af grafen for f2(x) i (x 0, f2(x 0 )), hvor x 0 er 5. (I grafregner på næste side findes koordinaterne for A og B som (a1, a2) og (b1, b2). Brug eventuelt link-menuen til at hente variablerne). Skriv dine udregninger direkte på næste side. (Her kan eleven ændre teksten, funktionsudtrykket, x 0 og h. Tegningen opdateres i overensstemmelse med ændringerne. Også teksten f(?) og punktnavne følger med Der følger en tom grafregnerside. Koordinaterne for A og B er automatisk lagret, så eleven kan bruge dem.).
(Når eleven trækker i x 0, animeres tangenten og det lodrette liniestykke afspejler tangenthældningen med fortegn).