Niels Johnsen Problembehandlingskompetencen Kursus arrangeret af UCC og Danmarks Lærerforening Ringsted 18.9.2015 Matematiske problemer matematiske spørgsmål, der ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder (Læseplan for faget matematik, side 4) Kendetegnet ved at selve det at finde løsningsvejen er en del af opgaven Derfor kan man ikke lære at problembehandle ved at få at vide hvordan man skal gøre Man må lære det ved at behandle problemer og lære at bruge de værktøjer matematikken stiller til rådighed 1
Jeg har brug for 17 frivillige som trænger til at rejse sig op et øjeblik I bliver delt i to grupper med numre fra 1 til 8, henholdsvis 1 til 9 I skal dele jer i grupper hvis sum bliver 9 (ok, der er en person som står alene) og i grupper med summen 12 og i grupper med summen 15 Tak! Vi opdager et problem Det kan nogen gange lade sig gøre, men ikke altid Vi kan formulere problemet sådan: Generalisere Hvad er betingelserne for at vi kan opdele tallene fra 1 til n i grupper, der hver især har en bestemt, given sum Brug bogstaver i stedet for tal 2
Matematikerens værktøjskasse generaliser brug bogstaver i stedet for tal led efter et mønster led efter symmetrier prøv en enklere udgave af problemet opstil en hypotese opstil resultaterne systematisk (fx tabel) brug kendt matematisk viden (begreber og sætninger) tænk i forhold og proportioner sæt i rækkefølge klassificer (efter matematiske kriterier) lav om til pæne tal, så mønsteret er lettere at gennemskue overvej nøjagtigheden af løsningen vælg en repræsentation formuler hvad der er givet som udgangspunkt, og hvad der er målet brug det matematiske symbolsprog, talesprog, gestik (tegn og fagter) To lige høje tårne Kan du bygge to lige høje tårne af disse 10? Først prøver man på må og få. Det lykkes ikke. 3
En opdagelse Det kan lade sig gøre med de fire korteste klodser Prøv med mindre tal Flere opdagelser Det kan lade sig gøre med 3, 4, 7 og 8, men ikke med 1, 2, 5 og 6. Systematisk undersøgelse 4
Oversigt i tabelform 1 2 3 4 5 6 7 8 nej nej ja ja nej nej ja ja Det ser ud til at der er skiftevis to nej og to ja Mon det system fortsætter? Det gør det, opdager vi, hvis vi fortsætter undersøgelsen Opdag et mønster Opstil en hypotese Brug matematiske begreber De må være noget med at summen giver et lige tal Hvordan mon vi finder summen af tallene fra 1 til n? Formuler et problem 5
1 + 2 + 3 + + n = Det kan man indse på flere måder, fx med en udregning n(n + 1) 2 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 1 + 2 + 3 + + n = Man kan også indse det ved en figurbetragtning n + 1 n(n + 1) 2 n 6
Problembehandlingskompetencen Med lidt flere ord fra Kom-rapporten Kompetencen består i at kunne at få øje på matematiske problemer ( detektere ) formulere dem afgrænse og præcisere dem løse dem Hvordan underviser man i det? Rapporten Forskningsbaseret viden om matematik 7
Hvad er metakognitive strategier? (Forskningsbaseret viden om matematik, side 5) Et eksempel Eksemplet er hentet fra en traditionel undervisning i USA. I hvor høj grad kan der stilles faste trin op når det handler om spørgsmål, der ikke kan besvares udelukkende med rutinemetoder? 8
Skematiske diagrammer Eksempel 1: Procenter 9
Eksempel 2: Ændringer Egentlige matematiske problemer spørgsmål, der ikke kan besvares med rutinemetoder Man kan ikke lære at løse problemer ved at få fortalt hvilke skridt der skal til for at løse et givet problem. Metakognitive strategier har den begrænsning at trinnene ikke altid er de samme, undtagen i meget generel forstand. 10
Metakognitiv strategi til problemløsning Polyas problemløsningsmodel 1. Forstå problemet 2. Udarbejd en plan 3. Udfør planen 4. Reflekter George Polya, 1887-1985 11
At forstå problemet Hvad skal man finde ud af? Kan du formulere problemet med egne ord? Kan du få overblik ved at lave et billede eller diagram? Er der informationer nok til at finde en løsning? Forstår du alle ordene i problemformuleringen? Har du brug for at spørge om noget for at finde et svar? Lav en plan Gæt og prøv efter Lav en liste, ordnet i rækkefølge Udeluk nogle muligheder Brug symmetri Se på særtilfælde Brug direkte ræsonnementer Løs en ligning Led efter et mønster Lav en tegning Løs et enklere problem Brug en model Arbejd baglæns Brug en formel Vær kreativ 12
Udfør planen og reflekter At udføre planen, mener Polya, er som regel enklere (men det forudsætter selvfølgelig at man ved hvordan værktøjerne skal bruges) Ved bagefter at reflektere bliver man bedre i stand til at løse andre problemer fremover. Det drejer sig om at finde frem til principperne og blive bevidst om de metoder man har brugt. Matematikerens værktøjer er ikke ting Vi kan hjælpe eleverne til at blive opmærksom på værktøjerne ved at give dem et navn lade eleverne øve sig i at bruge værktøjerne 13
En ting mere Hvad er betingelserne for at vi kan opdele tallene fra 1 til n i grupper, der hver især har en bestemt, given sum? Litteratur Forskningsbaseret viden om matematik. Rambøll Management Consulting m.fl. Mason, John (2012) Undersøgelser som en måde at studere matematik på. Liv i skolen 4, 2012 (særnummer om matematik) Niss, Mogens og Jensen, Tomas Højgaard (red., 2001) Kompetencer og matematiklæring: ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. København: Undervisningsministeriet. Undervisningsministeriet (u.å.) Læseplan for faget matematik. 14