Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske. Alle matematiske sætninger kan skrives på formen Hvis så, og alle matematiske argumentationer rummer et fordi. Eleverne kender allerede den type sætninger, og de har allerede erfaringer med at bruge logiske argumenter, fx i forbindelse med strategiske spil. I kapitlet danner sådanne erfaringer udgangspunkt for øvelser i at opstille sætninger og finde på argumenter. Det er en almindelig erfaring blandt matematiklærere, at eleverne langt fra altid føler et egentlig behov for at argumentere for en matematisk sætning. I kapitlet er denne manglende motivation især søgt imødekommet ved at inddrage taltryllerier, der kalder på en forklaring eller på en undersøgelse af, om det virkelig kan passe. På den måde bliver beviset rolle at stille nysgerrigheden og at søge en forklaring i nogle sammenhænge, der (måske) kan motivere. I Fælles Mål 009 er det fastslået, at eleverne skal arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser. Dette trinmål imødekommes bl.a. ved at guide eleverne igennem et bevis for vinkelsummen i en trekant. Men i kapitlet har vi også valgt at inddrage algebraisk bevisførelse, bl.a. i forbindelse med beviset for, at summen af de første n naturlige tal er n(n+1). Det er oplagt, at ikke alle elever nødvendigvis skal arbejde med de algebraiske beviser. Disse beviser giver bl.a. mulighed for at se sammenhænge mellem geometri og algebra (som også omtales i et af trinmålene fra Fælles Mål 009), men de kan også betragtes som materiale til differentiering. Set med kompetenceøjne er det naturligvis især ræsonnementskompetencen, som er i fokus eleverne skal både søge at udtænke, gennemføre, forstå og vurdere matematiske ræsonnementer. Men kapitlet giver også gode muligheder for at dyrke kommunikationskompetencen i forbindelse med de mange argumenter, symbolbehandlingskompetencen i forbindelse med de algebraiske beviser og tankegangskompetencen især gøres der i kapitlet meget ud af at beskrive forskelle mellem definitioner og sætninger og mellem enkelttilfælde og generaliseringer. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: Påstande og argumenter Variable Definitioner og sætninger Vinkelsum Nabovinkler Formler Potensregneregler Huskeliste: Tændstikker (til side 156 og 158) Evt. saks (til side 160) Evt. geometriprogram (til side 16 og 163) Evt. cuisenairestænger (til side 164 og 165) MATEMATISK ARGUMENTATION 1
FRA FAGHÆFTET Kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (tankegangskompetence) udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence) forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence) indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (kommunikationskompetence) Matematiske emner kende regnearternes hierarki samt begrunde og anvende regneregler forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser gengive algebraiske sammenhænge i geometrisk repræsentation Matematiske arbejdsmåder undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med matematisk argumentation. Målet er, at I bliver bedre til at udtænke og formulere matematisk argumenter. bliver bedre til at læse og forstå matematiske argumenter. forstår, hvad det vil sige at bevise en matematisk påstand. bliver i stand til at gennemføre et bevis. bliver bedre til at anvende algebra og får større indsigt i geometri. MATEMATISK ARGUMENTATION
Facit Side 156 1 - Ja, for i den situation kan du fjerne to tændstikker og på den måde efterlade din modstander med én tændstik. 3 Hvis jeg fjerner én tændstik, så kan modstanderen fjerne tre, og så har jeg tabt. Hvis jeg fjerner to tændstikker, så kan modstanderen fjerne to, og så har jeg tabt. Hvis jeg fjerner tre tændstikker, så kan modstanderen fjerne én, og så har jeg tabt. Der er ingen muligheder for at vinde (hvis modstanderen handler fornuftigt). 4 Hvis det er min tur, og der er seks tændstikker tilbage, vil jeg fjerne én tændstik. Så er jeg sikker på at kunne vinde spillet! 5 Påstanden er sand! Det er muligt at vinde hver gang, hvis man fra begyndelsen fjerner netop to tændstikker. På den måde kan modstanderen efterlades med taberantallene 13, 9, 5 og til sidst 1. Side 157 6 Ja, det ser ud til, at påstanden er sand. 7 Man kan ikke være helt sikker, selv om det tyder på, at opskriften passer. 8 (n + 1) n(n + ) = n + 1 + n n n = 1 9 Ja, fordi man kan indsætte ethvert tal på den variables plads. Omskrivningerne viser, at resultatet altid vil være 1. Side 158 1 VARIATION 1: a Spillet kan vindes, hvis din modstander efterlades med 6 tændstikker. MATEMATISK ARGUMENTATION 3
b Hvis han fjerner 1 tændstik, kan du fjerne 4 og dermed vinde. Hvis han fjerner tændstikker, kan du fjerne 3 og dermed vinde. Hvis han fjerner 3 tændstikker, kan du fjerne og dermed vinde. Hvis han fjerner tændstikker, kan du fjerne 1 og dermed vinde. VARIATION : a b Spillet kan vindes, hvis din modstander begynder spillet. Fra variation 1 ved vi, at du kan vinde, hvis din modstander efterlades med 6 tændstikker. Hvis han efterlades med 11 tændstikker, kan du sørge for, at han også efterlades med 6 tændstikker (samme argumentation som i VARIATION 1). Hvis han efterlades med 16 tændstikker kan du sørge for, at han også efterlades med 11 tændstikker. Når der fra begyndelse er 1 tændstikker og det er hans tur kan du sørge for, at han efterlades med 16 tændstikker. VARIATION 3: a b Spillet kan vindes, hvis det er din modstanders tur, når der er 5 tændstikker tilbage. Uanset, om din modstander tager 1,, 3 eller 4 tændstikker, kan du fjerne den sidste tændstik. Side 159 TALOPSKRIFT 1 a - b Sand, da n+(n+1)+(n+) 3 TALOPSKRIFT a - b Sand, da (n+) n a - 4 TALOPSKRIFT 3 = 3n+3 3 = n +4+4n n 4 = 3(n+1) 3 = 4(n+1) 4 = n + 1 = n + 1 MATEMATISK ARGUMENTATION 4
b Sand, da 3n+(n+1)+1(n+)+ 6 = 3n+n++n++ 6 = 6n+6 6 = 6(n+1) 6 = n + 1 Side 160 1 Nej, vi kan kun afprøve nogle trekanter ikke dem alle. Derfor er det ikke et bevis. Side 161 Det er vigtigt, fordi det er den måde, vi kan sikre, at de sætninger (herunder formler), vi bruger, er sande. Forkerte formler kan fx føre til fejl i bygningsværker. 3-4 Definitionen af en trekant, linje, parallel med, vinkel. 5 Vinkel V1 er lige så stor som vinkel C, da de er ensliggende ved parallelle linjer (forudsætning 3). Vinkel v er lige så stor som vinkel B, da de er topvinkler (forudsætning 4). Vinkel v3 er lige så stor som vinkel A, da de er ensliggende ved parallelle linjer (forudsætning 3). Summen af vinkel v1, v og v3 er 180 grader (definitionen på en lige vinkel). v1 v B v3 A C 6 Overbevisende fordi samme argumentation vil kunne gennemføres med alle trekanter (bemærk, at eleverne kan have personlige grunde til, at de ikke føler argumentationen som overbevisende). MATEMATISK ARGUMENTATION 5
Side 16 1 Alle kvadrater er ligedannede, så hvis et kvadrat kan deles i to trekanter, kan de alle. Vinkelsummen i kvadratet er 360, da hver af de to trekanter har en vinkelsum på 180, og 180 = 360. Enhver regulær femkant kan deles i tre trekanter, der hver har en vinkelsum på 180, og 3 180 = 540. 3 Påstanden er sand. 4 I enhver regulær n-kant kan der fra en vilkårlig vinkelspids tegnes n-3 diagonaler. Disse diagonaler inddeler den regulære n-kant i (n-) trekanter, der hver har en vinkelsum på 180. Heraf fås 180 (n ). 5 I en regulær n-kant har alle vinkler samme størrelse. Da vinkelsummen er 180 (n ), er størrelsen af hver vinkel 180 (n ) n. Side 163 1 Påstanden er sand. 3 I enhver trekant er vinkelsummen 180. For en trekant med vinklerne v, w og u gælder derfor, at 180 v = w + u. For to nabovinkler, v og s, gælder at 180 v = s. MATEMATISK ARGUMENTATION 6
Heraf fås s = w + u. 4 Påstanden er sand. 5 For vinklerne i en trekant, v, w og u, gælder, at nabovinklen til v = w + u, nabovinklen til w = v + u og nabovinklen til u = v + w. Summen af de tre nabovinkler er derfor w + u + v + u + v + w = (v + w + u) = 180 = 360. Side 164 1 Ja, resultatet, 55, passer. 5050 3 Hvert tal illustreres som både en rød og en blå længde. Summen af talrækken svarer til halvdelen af rektanglets areal. 4 Arealet af hvert rektangel øverst er 6 7. Hvert tal er repræsenteret to gange i hvert rektangel. Derfor skal der divideres med. Heraf fås 6 7. 5 Hvis tallene indsættes i formlen fås netop 6 7. Formlen vil gælde for alle naturlige tal, fordi samme argumentation kan gennemføres med disse tal. Side 165 6 De blå søjler illustrerer tallene. Summen af tallene svarer til arealet af søjlerne. 7 Summen af tallene svarer til arealet af søjlerne. Arealet under diagonalen er 6. Arealet over diagonalen er 6. Det samlede areal og dermed summen af tallene - er derfor 6 + 6. 8 Samme argumentation kan gennemføres for talrækken 1 + + 3 + + n. Da er arealet under diagonalen bare n. Arealet over diagonalen er n. MATEMATISK ARGUMENTATION 7
Det samlede areal og dermed summen af tallene - er derfor n + n. 9 n + n = n +n = n(n+1) 10 I svaret til opgave 8 er der argumenteret for, at summen af 1 + + 3 + + n svarer til n + n n. I opgave 9 er der argumenteret for, at + n = n(n+1). Heraf fås 1++3+ +n = n(n+1). Side 166 1 15 håndtryk Man kan løse problemet ved at tænke: Person nr. 1 skal hilse på 5 andre. Person nr. skal også hilse på 5, men har hilst på person nr. 1. Han skal altså hilse på 4 nye personer. Person nr. 3 skal hilse på 3 nye personer. Person nr. 4 skal hilse på nye personer. Person nr. 5 skal hilse på 1 ny personer. Person nr. 6 har (så) hilst på alle. Heraf fås 5+4+3++1 3a 3b 3c 3d 1 håndtryk 8 håndtryk 45 håndtryk 1++3+ + (n-1) håndtryk 4 Når n personer skal hilse på hinanden, gives der 1++3+ + (n-1) håndtryk. Formlen på side 164 kan bruges til at beregne denne sum. Ifølge formlen er 1++3+ + (n-1) = n(n 1). Side 167 1 8 linjestykker. Fra det første punkt kan der tegnes 7 linjestykker. Fra det andet punkt kan der tegnes 6 nye linjestykker. MATEMATISK ARGUMENTATION 8
Fra det tredje punkt kan der tegnes 5 nye linjestykker. Osv. Heraf fås 7+6+5+4+3++1. 3a 3b 3c 3d 6 linjestykker 1 linjestykker 45 linjestykker 1++3+ + (n-1) linjestykker 4 Argumentationen er helt parallel til opgave 4 på side 166. Side 168 1a 4 4 4 4 4 4 4 1b a a a... a a 5 5 5 5 5 b 5 5 5 5 5 3 Fordi udtrykkene på begge sider af lighedstegnet pr. definition er 5 5 5 5 5 4 Ifølge de initionerne gælder, at a m = a a a... a og a n = a a a... a. Heraf fås, at a m a n = a a a... a a a a... a = a m+n. 5 5 3 5 5 5 5 betyder pr. definition, hvilket svarer til 5 5 53 = 5. Generelt gælder ifølge definitionerne, at a m = a a a... a og a n = a a a... a. Heraf fås, at an a a a a... a m = a a a... a = a n m 6 Ifølge regnereglen gælder, at an = a n an n = a 0. Udtrykket an an er tydeligvis lig med 1. Da an også er lig med a n a0, så må det også gælde, at a 0 er lig med 1. Side 169 7 I den første omskrivning bruges definitionen af potens. MATEMATISK ARGUMENTATION 9
I den anden omskrivning hæves parenteserne og faktorerne ombyttes. I den tredje omskrivning bruges igen definitionen af potens. 8 (a b) n = (a b) (a b)... (a b) = a a a... a 9 I alle omskrivningerne bruges definitionen af potens. Da definitionen gælder, gælder omskrivningerne også. 10 (a n ) m = a n a n a n... a n b b b... b = a n b n = a a a... a a a a... a... a a a... a = a n m MATEMATISK ARGUMENTATION 10