lektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært -felt i et dielektrikum Det ekylære elektriske felt, som et enkelt ekyle i et dielektrikum oplever, er ikke det samme som det makroskopiske -felt defineret i udtryk (1.7), idet dette makroskopiske -felt relaterer sig til Coulombkraften på en makroskopisk punktladning, hvis udtrækning er stor i forhold til et enkelt ekyle. Det mikroskopiske -felt varierer således på ekylær skala, hvorimod det makroskopiske -felt er resultatet af en midling over mange ekylers udstrækning. Betragt et dielektrikum polariseret af feltet mellem to acitorplader. r for et (ikke vist) ekyle placeret i punktet r. I det flg. beregnes ( ) Den viste kugle er en tænkt kavitet, der er så tilpas stor, at alle ekyler uden for kaviteten kan behandles på makroskopisk vis, dvs. som et kontinuum af polarisationsladninger. Da Pr ( ) = Pzˆ (15.1) r fås fra udtryk (3.12): ˆn ρp = P =, (15.2) σ = Pn ˆ. r P De polariserede ekyler inden for kaviteten behandles mikroskopisk, altså enkeltvis. z ˆn Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 13/12/27
lektromagnetisme 15 Side 2 af 5 er summen af -felterne produceret af alle indlejrede ladninger og alle polariserede ekyler på nær ekylet selv: = pol, pol,kav, (15.3) hvor er feltet fra de indlejrede ladninger på acitorpladerne, pol, er feltet fra polarisationsladningerne ved overfladen af acitorpladerne, pol,kav er feltet fra polarisationsladningerne ved overfladen af kaviteten, og er feltet fra de elektriske er inden for kaviteten. Hvis acitorpladernes arealer A er store i forhold til deres indbyrdes afstand, sådan at der med rimelighed kan ses bort fra randeffekter, er = zˆ, fås vha. Gauss lov 1 : Q ˆ n da= S σ A zˆ zˆ da= A σ = : σ = zˆ. (15.4) S 1 Bemærk, at Q = σ A er de indlejrede ladninger indeholdt i S, eftersom polarisationsladningerne indeholdt i S ikke giver anledning til men til pol,. Bemærk i den forbindelse, at det på mikroskopisk skala som tidligere nævnt ikke giver mening at tale om et D-felt. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 13/12/27
lektromagnetisme 15 Side 3 af 5 σ P Ved en tilsvarende beregning findes pol, = zˆ, som kan udtrykkes ved polarisationen: σ P Pn ˆ Pz ˆ pol, = z ˆ= z ˆ= z ˆ= Pˆ z: 1 pol, = P. (15.5) Ifølge udtryk (4.4) og opg. er 1 σ 1 = ( D P) = zˆ P =, pol, (15.6) så det samlede felt skabt i og omkring acitorpladerne er i sagens natur det makroskopiske elektriske felt, sådan at: = pol,kav. (15.7) Det kan vises [udledning følger], at 1 pol,kav = P, (15.8) 3 sådan at 1 = P 3. (15.9) Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 13/12/27
lektromagnetisme 15 Side 4 af 5 n udregning af flg. tilfælde kan det vises, at kræver specifik viden om det pågældende dielektrikum, men i = : Hvis det pågældende dielektrikum er amorft 2, sådan at erne er fordelt vilkårligt inden for kaviteten, vil de enkelte bidrag til midle ud. Dette vil f.eks. være tilfældet for gasser og væsker. Hvis erne (ekylerne) er ens og er arrangeret i et kubisk krystalgitter. I ovennævnte tilfælde gælder således 1 = P, (15.1) 3 som viser, at i et polariseret dielektrikum. I det viste eksempel med acitorpladerne er alle tre felter i udtryk (15.1) orienteret efter z-aksen, svarende til, idet forskellen vokser i takt med polariseringen. Lokalfeltkorrektionen kaldes lokalfeltkorrektionen, idet det er den korrektion af det midlede, makroskopiske -felt, som giver det lokale, ekylære felt. I et lineært og isotropt dielektrikum giver udtryk (15.1) 1 1 χ 1 2 = P= χ= 1 = 1 = r r, 3 3 3 3 3 svarende til en såkaldt Lorentz-lokalfeltfaktor på (15.11) r 2, (15.12) = der i sagens natur er lig 1 i vakuum, hvor der ingen polarisation er. 3 2 I modsætning til krystallinsk. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 13/12/27
lektromagnetisme 15 Side 5 af 5 Polarisabilitet Den mikroskopiske pendant til udtryk (4.7) er flg. proportionalitet mellem et ekyles inducerede elektriske moment og det ekylære elektriske felt, der inducerer momentet: hvor α er polarisabiliteten. p = α, (15.13) Hvis antalstætheden af identiske ekyler er konstant og givet ved polarisationen ifølge udtryk (3.6) givet ved p p P = Δ p V = V =ρ ρ, er, (15.14) sådan at man ved indsættelse af udtryk (15.13) og (15.1) i udtryk (15.14) i et lineært og isotropt dielektrikum får 1 1 P= ρα = ρα P = ρα χ 3 3 χ r 2 = ρα 1 = ρα, 3 3 P= χ= giver der sammenholdt med ( r ) 2 ( 1 r r ) ρα = : 3 1 ( r ) ( r 2) 3 1 = α ρ. (15.15) Udtryk (15.15), der er kendt som Clausius-Mossotti-ligningen, udtrykker således en mikroskopisk størrelse i form af polarisabiliteten ved de makroskopiske størrelser antalstæthed ρ og relativ permittivitet r. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og anoteknologi, AAU 13/12/27