Formelsamling til fysik 11. Sebastian B. Simonsen, Asger B. Hansen og Lykke Pedersen

Formelsamling til fysik 11 Sebastian B. Simonsen, Asger B. Hansen og Lykke Pedersen 1

CONTENTS 2 Contents 1 Kap.1 - The foundation af Classical Mechanics (1) 4 1.1 Galileo (2)............................. 4 2 Kap.2 - Newton s Five Laws (27) 4 2.1 Newton (27)............................ 4 2.2 Harmonisk oscillator (33).................... 4 2.3 Friktion (40)........................... 5 2.4 Magnetisk og Elektrisk kraft (44)................ 5 2.5 Impuls (54)............................ 6 3 Kap.3 - Gravitionel og inertiel masse (73) 7 4 Kap.4 - Galilei Transformationen (83) 7 5 Kap.5 - The Motion of the Earth (95) 7 6 Kap.6 - Motion in Accelerated Refernce Frames (101) 8 6.1 Fiktive krafter.......................... 8 6.2 Tidevandskraften (123)..................... 9 6.3 Corioliskraften (128)....................... 9 7 Kap.8 - Energy (167) 10 7.1 Potentiel (side 171)........................ 10 7.2 Kinetisk energi (168)....................... 11 7.3 Mekanisk energi (173)...................... 11 7.4 Arbejde (167)........................... 11 8 Kap.9 - The Center-of-Mass Theorem (193) 12 9 Kap.10 -The Angular Momentum Theorem (219) 13 9.1 Impulsmoment.......................... 13 10 Kap.11 - Rotation of a Rigid Body (237) 14 10.1 Inertimomenter.......................... 14 10.2 Tabel fra side 267......................... 15 11 Kap.12 - The Laws of Motion (279) 15 12 Kap.13 - The General Motion of a Rigid Body (313) 16 13 Kap.14 - The Motion of the Planets (345) 16 13.1 Keglesnit............................. 16 13.2 Planeternes kredsløb....................... 17 13.3 Kepler (4)............................. 18

CONTENTS 3 14 Kap.15 - Harmonic Oscillators (389) 19 14.1 Svag dæmpning γ ω 0 (393).................. 19 14.2 kraftig dæmpning γ 2 > ω 0 (394)................. 19 14.3 Kritisk dæmpning γ 2 = ω 0 (394)................. 19 14.4 Energi for svage dæmpninger (395)............... 19 14.5 Kraftpåvirkede svingninger (396)................ 20 14.6 Kraftpåvirket dæmpet oscillation (398)............. 20 15 Eksempler - Pendul, Tunnel gennem jorden og Bindingsenergi 21

1 KAP.1 - THE FOUNDATION AF CLASSICAL MECHANICS (1) 4 1 Kap.1 - The foundation af Classical Mechanics (1) 1.1 Galileo (2) 1. Inertiens lov 2. Faldloven Alle legmer falder med samme acceleration, g = 9, 82 m s 2, jordens tyngdefelt s = 1 2 gt2 2 Kap.2 - Newton s Five Laws (27) 2.1 Newton (27) Newtons 5 love: 1. Inertiens lov : Hvis ingen kræfter påvirker legemet, vil det bevæge sig med konstant hastighed eller være i hvile. Impulsen af et legeme er givet ved p = m v F ext = 0 p = konstant 2. ma = F eller dp dt = F (28) 3. Aktion-reaktion: To legemer påvirker hinanden med to lige store, men modsatrettede kræfter F AB = F BA 4. Absolut tid forløber uden relation til omgivelserne. 5. Absolut rum forbliver ens og urykkeligt. Udfra Newtons love kan man udlede gravitationskraften (73) givet ved F = G Mm r 2 2.2 Harmonisk oscillator (33) Hook s lov: mẍ = kx Erstatnings fjederkonstant: k = k 1k 2 k 1 +k 2 Vinkelhastigheden: ω = k m. Svingningstiden: T = 2π k m (35)

2 KAP.2 - NEWTON S FIVE LAWS (27) 5 Frekvensen: ν = 1 T og ω = 2πν Løsningen til bevægelsesligningen m d2 x dt 2 = kx x = A cos (ωt + ϕ) ẋ = v = dx dt = Aω sin (ωt + ϕ) ẍ = a = d2 x = Aω dt 2 cos (ωt + ϕ) 2 Den potentielle energi i fjeder: E pot = 1 2 kx2 For mere om Harmonisk oscillation se afsnit kap. 15 (afsnit 14) 2.3 Friktion (40) Friktionskraft: Ffrik = µn, hvor µ er friktionskoefficienten, og N er normalkraften. Se også rulning afsnit 12. 2.4 Magnetisk og Elektrisk kraft (44) Magnetisk kraft Lorentz kraften: Fmag = q ( v B ) For elektrisk ladede partikler i magnetiske felter gælder der F c = F mag d v dt = q ( v B ) mv = qvb r = hvis v B m v2 r Hvis der er en hastighedskomponent v z parallel med det magnetiske felt, vil partiklen udfører spiralbevægelser. Mellem hvert cirkellag er der afstanden qb h = 2πmv z qb Brug højrehåndsreglen til at bestemme retningen af den magnetiske kraft. Elektrisk kraft: F el = qe

2 KAP.2 - NEWTON S FIVE LAWS (27) 6 2.5 Impuls (54) I et isoleret system er der impulsbevarelse mv 1 + Mu 1 = mv 2 + Mu 2 Hvis u 1 = 0 så gælder v 2 = m M m+m v 1 og u 2 = 2m m+m v 1. Hvis det ikke er et isoleret system gælder der for impulsændringen (54) p = F dt Ved et centralt stød bevæger legemerne sig på samme rette linie før og efter stødet. STØDTYPER: 1. Elastisk (energibevarelse) 1 2 mv2 1 + 1 2 Mu2 1 = 1 2 mv2 2 + 1 2 Mu2 2 (55-56) Restitutionskoefficienten er e = v 2 v 1 u 1 u 2 = 1 2. Uelastisk E kin < 0 Restitutionskoefficienten er e = v 2 v 1 u 1 u 2 < 1 3. Fuldstændig uelastisk E kin skal være mindst mulig Restitutionskoefficienten er e = v 2 v 1 u 1 u 2 = 0 Der sker en sammenkobling af legemerne Raketligningen (57): v(t ) = v rel ln [ ] m(0) m(t ) hvor T er sluttiden, og v 0 = 0 er starthastigheden. v rel er udstødningshastigheden i forhold til raketen.

3 KAP.3 - GRAVITIONEL OG INERTIEL MASSE (73) 7 3 Kap.3 - Gravitionel og inertiel masse (73) For en mand i en elevator, der bevæger sig opad med accelerationen a, vil den effektive tyngdeacceleration være En vægt i elevatoren vil måle massen g eff = g + a m = m jg eff g hvor m j er massen, som vægten ville måle ved tyngdeaccelerationen g = 9, 82 m s 2 4 Kap.4 - Galilei Transformationen (83) I et initial system skal Newtons 3 første love gælde. Den heliocentriske referenceramme er med god tilnærmelse et initialsystem (85). Galilei tranformationen (86) giver en sammenhæng mellem to initial systemer I 1 og I, hvor I 1 bevæger sig med den konstante hastighed ū: x 1 = x ut y 1 = y z 1 = z t 1 = t m 1 = m q 1 = q F 1 = F Af Galilei transformationen får man (86): r 1 (t 1 ) = r ūt v 1 = v ū F = m d v dt = m d( v 1+ū) dt = m d2 r 1 dt 2 d2 r = d2 r 1 dt 2 dt 2 Newtons love gælder i I 1, så derfor er I 1 et initial system. Alle systemer, der bevæger sig med en relativ hastighed ift. initial sysytem, er selv et initial. solens 5 Kap.5 - The Motion of the Earth (95) For Jordens bevægelse gælder: v = ω ρ hvor ρ = r sin Φ er jordens radiusvektor ved breddegraden Φ. (r = 6, 37e6 m) ā = ω ( ω ρ) ; ρ ω ā = ω 2 ρ

6 KAP.6 - MOTION IN ACCELERATED REFERNCE FRAMES (101)8 ω 1 = 7, 29 10 5 s 1 for jordens rotation ift. det heliocentriske system. ω 2 = 1, 99 10 7 s 1 for jordens rotation om solen. v 2 = Rω 2 = 3, 0 10 4 m s. Jordens hastighed rundt om solen. a 2 = Rω 2 2 = 5, 9 10 3 m s 2. Jordens acceleration om solen, hvor accelerationsvektoren peger ind mod solen. 6 Kap.6 - Motion in Accelerated Refernce Frames (101) 6.1 Fiktive krafter For en partikel, der bevæger sig i et roterende system S relativt ift. et initial system I i hvile, gælder (103) v a = v m + v r v r = ṙ : den relative hastighed. v m = Ṙ }{{} 0 + ω r : comoving hastighed }{{} translatorisk rotationel (104) R = ā = ā r + w m + w co ā : den absolutte acceleration ā r : den raletive acceleration w m : comoving accelaration : coriolisaccelerationen w co hvor Bevægelsesligningen for en partikel der bevæger sig i et roterende system S relativt ift. et initialsystem I: m r = }{{} F m R0 + mω 2 ρ 2m ( ω ṙ) m ( ω r) }{{}}{{}}{{}}{{} naturkraft nulpunkt Centrifugal coriolis den 3.kraft ÆKVIVALENSPRINCIPPET (109): En acceleration mod højre er lig et lineært gravitationelt kraftfelt mod venstre. SVINGNINGSTID I ACCELLEREREDE SYSTEMER (116): Svingningstiden T for et pendul der bevæger sig i et lineært gravitationelt kraftfelt med accelarationen a opstået pga. ækvivalensprincippet: T g T = g + a T er svingningstiden uden påvirkning af acc. a.

6 KAP.6 - MOTION IN ACCELERATED REFERNCE FRAMES (101)9 6.2 Tidevandskraften (123) y R a -ma sol x ρ R 0 ( Tidevandskraften (123): F = GMm R0 R ) R0 3 R 3 R > R 0 : Kraften er rettet fra solen mod partiklen. R < R 0 : Kraften er rettet fra partiklen mod solen. Tidevandsaccelerationen ved ovarfladen af Jorden (125): Roche-grænsen (127): a tidevand = 2GMρ R 3 0 ( ) 1 2ρp 3 R 0 = R ( ) 1 3 ρp 3 = 2R ρ M ρ M gælder kun hvis legemet holdes sammen af dets eget gravitationelle felt. 6.3 Corioliskraften (128) Alle koordinatsystemer har samme vinkelhastighed ω, hvis de ligger stille ift et initialsystem med samme vinkelhastighed ω (128). Nord: Corioloskraften vil dreje en partikel mod højre, hvis den har en horisontal hastighed (129). Syd: Corioloskraften vil dreje en partikel mod venstre, hvis den har en horisontal hastighed (129). Med v = (ẋ, ẏ, ż) og ω = (0, ω cos Φ, ω sin Φ) gælder der for coriolis kraften (130): F = 2m ẋ ẏ ż hvor Φ er breddegraden. 0 ω cos Φ ω sin Φ F x = 2m ( ż cos Φ + ẏ sin Φ) F y = 2mωẋ sin Φ F z = 2mωẋ cos Φ

7 KAP.8 - ENERGY (167) 10 Den horisontale komponent af corioliskraften: F H = 2mvω sin Φ Bevægelsesligning for en partikel nær jordoverfladen: mẍ = F x mÿ = F y m z = F z F t Frit fald fra højden h over jordoverfladen giver afvigelsen (132): d = 1 3 ω cos Φ 8h 3 g Eksempen med partikel på roterende plade side 133. 7 Kap.8 - Energy (167) 7.1 Potentiel (side 171) Den potentielle energi er defineret ved: U(A) = A Når der vælges et nulpunkt så U (P ) = 0 P F dr Den potentielle energi optræder kun ved konsevative kraftfelter, da den er uafhængig af vejen (172). (175) I et konstant gravitationsfelt ved Jorden gælder U (h) = mgh (F (h) = mg) (175) I en fjeder gælder U (x) = 1 2 kx2 (F (x) = kx) (177) I gravitationsfelt om eller indeni en kugleflade gælder U (r) = GMm r ; r > R U (r) = GMm R ; r < R (F (r) = GMm r 2 for r > R. F (r) = 0 for r < R) (179) I gravitationsfelt om eller indeni en massiv kugle gælder U (r) = GMm r ; r > R U (r) = GMm 2R (3 r2 R 2 ) ; r < R (F (r) = GMm r 2 for r > R. F (r) = 0 for r < R)

7 KAP.8 - ENERGY (167) 11 7.2 Kinetisk energi (168) Den kinetiske energi er defineret ved T = 1 2 mv2 7.3 Mekanisk energi (173) Den mekaniske energi er defineret ved: E = T + U I konservative kraftfelter er den mekaniske energi konstant, og der gælder (172) 1 2 m2 B + U (B) = 1 2 m2 A + U (A) 7.4 Arbejde (167) Definitionen på arbejde (167): W AB = B A F d r = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A = T B T A = U (A) U (B) hvor T er den kinetiske energi, og U er den potentielle energi. Hvis F r så er W AB = 0. Summen af alle kræfters arbejde er lig tilvæksten i kinetisk energi (168): W AB = E kin Effekten en kraft yder er defineret ved: dt dt = F dt v hvis F v dt = 0 Hvis en impulstilvækst skyldes en kraftpåvirkning er den givet ved: p = tb t A F dt = pb p A Konservativt kraftfelt (169): Kraften afhænger kun af positionen og ikke af vejen. Der gælder, at F d r = 0 Centralt kraftfelt (170): Kraften er alle vegne rettet mod eller væk fra et centrum og størrelsen af kraften afhænger kun af positionen fra centrum. Der gælder, at F d r = 0

8 KAP.9 - THE CENTER-OF-MASS THEOREM (193) 12 8 Kap.9 - The Center-of-Mass Theorem (193) Definition på Massecentrum (CM) (193): M R cm = i m i r i, hvor M = i m i Afstand til CM: mr = MR R = mr M ρ = R + r r = ρ R } R = mρ M ( 1 + m ) M Hvor ρ er afstanden mellem masserne m og M, R er afstanden fra M til CM og r er afstanden fra m til CM. Impulsen for Massecentrum (194): P = M vcm Center-of-mass theorem (195): CM bevæger sig som om al masse var samlet i CM og alle eksterne kræfter virker i CM. Derfor gælder der: Md 2 RCM dt 2 = F ext Md v CM dt = F ext d P dt = F ext Hvis de eksterne kræfter er lig nul er der impulsbevarelse for CM (195). Definitionen på CM-systemet (197): I CM-systemet er Massecentrummet i hvile og den samlede impuls for partiklen med massecentrum CM er lig nul. Königs theorem (198). Energien for en partikel i CM-systemet: T = 1 2 Mv2 CM }{{} + T }{{} r T ranslatorisk Relativ ift CM Den reducerede masse (202): µ = mm M+m Kun eksterne kræfter kan ændre den translatoriske energi. Indre kræfter kan ændre den totale kinetiske energi, men ikke den totale impuls.

9 KAP.10 -THE ANGULAR MOMENTUM THEOREM (219) 13 9 Kap.10 -The Angular Momentum Theorem (219) 9.1 Impulsmoment Impulsmomentet er defineret ved: L = r p = r m v Kraftmomentet er kraft gange arm. Dvs. N = d L dt = r F N = 0, hvis kraft og arm er paralelle, eller hvis en af dem er lig 0. N = 0 L total = konstant vektor. For den samlede impulsmoment ændring gælder der at d L tot dt = i N ext i hvor Ltot = i L i for et lukket system er L tot konstant Center of Gravity (227) N 0 = R CM Mḡ, hvor M = i m i Impulsmomentet omkring CM (228) L 0 = r i m v i = L CM + R CM P i hvor P = M v CM er den totale impuls. N ext CM = 0 L CM = konstant vektor L CM er uafhængig af et evt. nulpunkt. Rotation af astronomiske objekter (232) U eff = U(r) + L2 2mr 2 U(r) = G Mm r hvor v r er den radiale hastighed. E = U eff + 1 2 mv2 r

10 KAP.11 - ROTATION OF A RIGID BODY (237) 14 10 Kap.11 - Rotation of a Rigid Body (237) Translatorisk bevægelse: M ẍ CM = F ext Rotatioenl bevægelse: d L CM dt Kinetisk energi (240): = N ext T = 1 2 I CMω 2 hvor I = m i r 2 i }{{} def af inertimoment Speciel udgave af König s teorem: T 0 = 1 2 I CMω 2 + 1 2 Mv2 CM = T rot + T trans hvor v CM = R CM ω Parallelakse theorem (240): L 0 = I CM ω + Mv CM R CM I O = I CM + Md 2 hvor d er afstanden fra CM til rotationsaksen O. d ω CM o Orthogonalakse theoremet, gælder kun flade legemer (242): I z = I x + I y Ved rotation om en fast akse A gælder (252): I A dω dt = N A Arbejde for en kraft på et roterende legeme (255): dw dt 10.1 Inertimomenter Se tabel side 250 eller Schaum s side 38-39 = N z dθ dt = N zω

11 KAP.12 - THE LAWS OF MOTION (279) 15 10.2 Tabel fra side 267 lineær bevægelse position: x hastighed: v = ẋ acc.: a = v = ẍ Kraft : F Masse: m Impuls: p = mẋ Bevægelsesligninger dp dt = F Rotation for et stift legme om en fast akse vinkelposition: θ vinkelhastighed: ω = θ vinkelacc.: α = ω = θ Kraftmoment: N Inertimoment: I Impulsmoment: L = I θ = Iω Bevægelsesligninger dl dt = N m dv dt = F I dω dt = N = F I d2 θ = N dt 2 dt 2 E kin : E kin : T = 1 2 mv2 = p2 2m T = 1 2 Iω2 = L2 2I E pot : E pot : U(x) = x x 0 F (x)dx U(x) = θ θ 0 F (θ)dθ Arbejde: Arbejde: W = 2 1 F dx W = 2 1 F (θ)dθ Power Power dw dw dt = F v dt = Nω Impulse Impulse F dt = p Ndt = L m d2 p Hvis r og v er ortogonale er v = r θ = rω a = rα 11 Kap.12 - The Laws of Motion (279) Rullekriteriet (289): v CM = rω a CM = rα Rulning kan betragtes som translatorisk bevægelse af CM samtidig med en rotationel bevægelse om CM eller som rotation om kontaktpunktet. Arm of Inertia k (291): I = Mk 2 Når et legeme udfører ren rulning, udfører friktionskraften intet arbejde på legemet. Hvis et legeme bevæger sig ned ad et friktionsløst underlag, vil legemet glide, da der ikke er noget kraftmoment om rotationsaksen.

12 KAP.13 - THE GENERAL MOTION OF A RIGID BODY (313) 16 Accelaration ved rotation ned ad skråplan for et cirkulært legeme (291): ( ) a = g sin θ 1 1+ k2 R 2 a = 0, 5gsinθ Homogen cylinder: a = 2 3 gsinθ Homogen kugle: a = 5 7 gsinθ hvor θ er skråplanets hældning Hul cylinder: Friktionskoefficient for rulning nedad skråplan (293): µ k 2 k 2 tan (θ) + R2 Eksempler: Kugle der rammes af patron (280) Stang i elevator (284) Mand på roterende plade (286) Vandsprinkler (287) Cylinder der glider eller ruller (289) Yo-yo der bliver trukket på et plant underlag (295) Rulning over en kant (297) 12 Kap.13 - The General Motion of a Rigid Body (313) Eksempel med vægtstang i rotation om akse (314) Et system er dynamisk afbalanceret når N = 0 Eksempel med flyhjul på roterende akse (316) Eksempel med Gyroskop (318) d L 0 dt O. = L0 Ω 0, hvor ω 0 er vinkelhastigheden om ophængningspunktet 13 Kap.14 - The Motion of the Planets (345) 13.1 Keglesnit De tre forskellige keglesnit er: Parabel: Snittet er parallelt med frembringeren af keglen. Hyperbel: Snittet skærer begge halvdele af keglen.

13 KAP.14 - THE MOTION OF THE PLANETS (345) 17 Ellipse: Snittet skærer kun den ene halvdel af keglen. For alle keglesnit gælder: r = p 1 + ecosθ hvor p er den vinkelrette afstand fra et af brændpunkterne til banekurven. e = 0 fås en cirkel 0 < e < 1 fås en ellipse e = 1 fås en parabel e > 1 fås en hyperbel. Nogle karakteristiske længder i en ellipse er: Den store halvakse (a), den lille halvakse (b), afstanden mellem fokuspunkterne (e 2a), perihelion (r min ) og aphelion (r max ). r min = r max = p = a(1 e) 1 + e p = a(1 + e) 1 e e = r max r min r max + r min b = a 1 e 2 13.2 Planeternes kredsløb Siderisk: Omløbstiden ift til solen. Synodisk: Tiden mellem to identiske konfigurationer. 1 AU = 1, 49598e11 m For alle himmellegemers kredsløb gælder ligningerne: 1 r = Gm2 M 1 L 2 + 1 + 2EL2 G 2 m 3 M 2 cosθ 1 r 1 r = 1 (1 + ecosθ) p = A cos θ Cm L 2 hvor C GMm

13 KAP.14 - THE MOTION OF THE PLANETS (345) 18 Parametrene p, e, a(halvestorakse), E(energien) og L(impulsmomentet)er givet ved: p = L2 Gm 2 M (363) e = 1 + 2EL2 G 2 m 3 M 2 (363) a = GMm 2( E) E = 1 2 mv2 GMm r (375) = konstant (363) L = mr 2 θ = konstant (360) 1. For E < 0, e < 1 fås en ellipse (en cirkel for e = 0). 2. For E = 0, e = 1 fås en parabel. 3. For E > 0, e > 1 fås en hyperbel. For hastighederne i en ellipsebane gælder (378): v p = v a = Accelerationen i en ellipse (356): hvor C = T 2 r 3 = 4π2 GM. GM 1 + e a 1 e GM 1 e a 1 + e a r = r r θ 2 = h2 1 p r = 4π2 C r 2 a θ = 2ṙ θ + r θ = 0 Arealet af en ellipse (358): A = πab Den nødvendige hastighed for cirkelbevægelse er v 0 = GM r min. Hvis en planet startes med hastigheden v p gælder der for banekurven (373) v P v0 = 2: parabel v P v0 < 2: ellipse > 2: hyperbel v P v0

14 KAP.15 - HARMONIC OSCILLATORS (389) 19 13.3 Kepler (4) Keplers 3 love: 1. Planeterne følger ellipsebaner, med solen i det ene brændpunkt. 2. Planeterne overstryger lige store arealer over lige store tidsrum 3. T 2 a 3 A t = L 2m = konstant hvor L er planetens impulsmoment om solen. = 4π2 GM = C, hvor T er omløbstiden 14 Kap.15 - Harmonic Oscillators (389) Potentiel energi for små svingninger (389): U(x) = 1 2 kx2 Den potentielle energi for et pendul der udfører små svingninger (390): U(θ) = 1 2 mglθ2 Mekanisk energi ved små harmoniske svingninger (391): E = 1 2 mω 0 2 x 0 2 For gennemsnittet af den potentielle energi og den kinetiske energi gælder: K = U = 1 4 mω2 0x 2 0 og E = K + U = 1 2 mω2 0x 2 0 Bevægelsesligning for harmonisk oscillator (392): ẍ + b mẋ + k m x = 0 hvor b m = γ og k m = ω2 0 14.1 Svag dæmpning γ ω 0 (393) Løsningen til bevægelseslignigen: x(t) = x 0 e γt 2 cos (ω d t + θ) hvor ω d = ω 0 1 ( γ 2ω 0 ) 2 Når γ ω 0 er( ω d ) ω 0. Derfor gælder x (t) = x 0 exp cos (ω 0 t + ϕ) γt 2 x 0 og varphi bestemmes udfra startbetingelserne.

14 KAP.15 - HARMONIC OSCILLATORS (389) 20 14.2 Kraftig dæmpning γ 2 > ω 0 (394) Løsningen til( bevægelsesligningen: x(t) = A exp γ 2 + γ 2 4 ω2 0 ) t + B exp A og B bestemmes udfra startbetingelserne. 14.3 Kritisk dæmpning γ 2 = ω 0 (394) Løsningen til ( bevægelsesligningen: ) ( ) x (t) = A exp + Bt exp γt 2 γt 2 A og B bestemmes udfra startbetingelserne. 14.4 Energi for svage dæmpninger (395) ( ) γ 2 γ 2 4 ω2 0 t Den mekaniske energi for svagt dæmpede svingninger: E = K + U = 1 2 mv2 + 1 2 kx2 = 1 2 mω2 0 x2 0 exp ( γt) sin2 (ω 0 t + ϕ) + 1 2 kx2 0 exp ( γt) cos2 (ω 0 t + ϕ) Faldet i den gennemsnitlige energi er de dt = γe, som har løsningen: E = E 0 exp ( t ) τ, hvor τ = 1 γ, som er levetiden af ocsillationen. ( ) Energien aftager med exp( γt), og amplituden aftager med exp Effekten afsat ved oscillation: P = γe 14.5 Kraftpåvirkede svingninger (396) γt 2 Bevægelsesligningen: mẍ = kx + F (t), hvor F (t) er en ekstern kraft. Hvis F (t) = F 0 cos(ωt) bliver bevægelseligningen ẍ ω0 2x = F 0 m cos (ωt) F 0 med løsningen x (t) = m cos (ωt) ω0 2 ω2 Sammenhængen mellem ω og ω 0 : 1. ω < ω 0 : Kraften og oscillationen er i fase. 2. ω > ω 0 : Kraften og oscillationen er i antifase. 3. ω = ω 0 : Resonance.

15 EKSEMPLER - PENDUL, TUNNEL GENNEM JORDEN OG BINDINGSENERGI21 14.6 Kraftpåvirket dæmpet oscillation (398) Bevægelsesligningen er mẍ = kx mγẋ + F 0 cos (ωt) eller ẍ + γẋ + ω0x 2 = F 0 cos (ωt) m med løsningen ( x (t) = x 0 exp γt ) cos (ω d t + ϕ) + A cos (ωt θ) 2 }{{}}{{} Kraftpåvirket IkkeKraftpåvirket hvor x 0 og varphi bestemmes udfra startbetingelserne. Amplituden og vinklen θ er bestemt ved A = F 0 m (ω 2 0 ω 2) 2 + γ 2 ω 2 og tan (θ) = γω ω 2 0 ω2 Fra side 400 og frem gælder følgende: ω ω 0 : A F 0 og θ 0 mω0 2 ω ω 0 : A F 0 og θ π mω 2 ω = ω 0 : A F 0 mγω 0 og θ π 2 (Ressonance) Effekten der bliver afsat: P = 1 2 F 0 γm γ 2 ω 2 (γω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) (402) Q-værdien for svag dæmpning af harmonisk oscillator (403): Q = 2π E P T = ω 0E P = ω 0τ = ω 0 γ hvor T er svingningstiden, E er energien, τ er oscillationens levetid og P er effekten. 15 Eksempler - Pendul, Tunnel gennem jorden og Bindingsenergi Eksempel 8.5 (182): Et pendul udfører ikke lineære cirkelbevægelser, da det har en centripitalacceleration og en tangentialacceleration: a t = αl og a c = ω 2 L

15 EKSEMPLER - PENDUL, TUNNEL GENNEM JORDEN OG BINDINGSENERGI22 hvor L er længden af pendulet. For et matematisk pendul gælder der om svingningstiden: L T = 2π g For et fysisk pendul gælder der om svingningstiden: I T = 2π MgR hvor R er afstanden fra CM til omdrejningspunktet. Eksempel 8.6 (183): Bindningsenergien er den energi, der skal tilføres en partikel, for at den undslipper Jordens (eller en anden planets) gravitationsfelt. Eksempel 8.8 (184): En partikel, der bevæger sig via en tunnel gennem Jorden, vil udfører harmonisk oscillation.