ark nr: af i alt ark Opgave En lineær funktion f opfylder at dens graf går gennem A(3,7) og B(9,5) Vi finder hældningen a af grafen a = y - y 5-7 8 = = = 3 x - x 9-3 6 Forskriften for f kan nu bestemmes f x = a x - x + y = 3 x - 3 + 7 = 3 x - 9 + 7 = 3 x - Opgave Bestemmelse af differentialkvotient: f x = 7 x Vi anvender den generelle formel n x = n n - x x og får f '(x) = 7 x 6
ark nr: af i alt ark Opgave 3 Et andengradspolynomium er givet ved f x = x - 5 x + 4 Diskriminanten kan nu findes d = b - 4 a c = -5-4 4 = 5-6= 9 Et andet andengradspolynomium g x = a x + b x + c opfylder at g = 3 desuden er diskriminanten for g negativ. Dvs. at grafen for g ikke må skære x-aksen. Grafen kan f.ex. se således ud 0 9 8 7 6 5 4 3-4 -3 - - 3 4 5 6 -
ark nr: 3 af i alt ark Opgave 4 En funktion f er givet ved f x := -6 x + 6 x Vi finder det bestemte integral f x x = -6 x + 6 x x = - x 3 + 3 x = - + = 0 0 0 3 - -0 + 0 integral =. - - Arealet af det skraverede område er.
ark nr: 4 af i alt ark Opgave 5 Længden AB AB = kan findes vha. af Pythagoras' sætning 8 + 6 = 00 = 0 Højden h c kan findes på en af følgende to måder: ) Vi kan bestemme arealet af trekant ABC på to forskellige måder, og derved få følgende ligning: h c AB = AC BC h c 0 = 8 6 0 h c = 48 h c = 4.8 ) Vi kan udnytte at trekant ABC er ensvinklet med trekant ACD, hvilket giver ligningen CD BC = AC AB h c 6 = 8 0 h c = 6 8 0 = 4.8
ark nr: 5 af i alt ark Opgave 6 Verdensrekord i diskoskast. L(x) er kasterekorden i meter. x er antal år efter 975. L x := 0.8 x + 69 L 005-975 = 74.4 Dvs. at kastelængden i følge modellen skal være 74.4 meter i år 005. Konstanten a = 0.8 betyder at kasterekorden gennemsnitligt vil vokse med 0.8 meter pr. år. Konstanten b = 69 betyder at kasterekorden i 975 var 69 meter. Opgave 7 Populationsvækst En population starter til tidspunktet 0 med antallet 45000 individer. Vækstraten er konstant.4% pr. år. Da vækstraten er konstant vil vi få en exponentiel vækst. Startværdien er b := 45000 Fremskrivningsfaktoren er a := +.4 =.04 00 Populationens størrelse kan da beskrives således f x := b x a f x = 45000.04 x b) Fordoblingskonstanten er T := log = 9.63 log a Hvilket vil sige at populationen fordobles i løbet ca. 9 år.
ark nr: 6 af i alt ark Opgave 8 En funktion er bestemt ved 3 f x := x - 3 x - 9 x + 6 Tangentenligning i punktet P med x-koordinaten : Vi finder først differentialkvotienten, som her betegnes fm(x) fm x := x f x fm x = 3 x - 6 x - 9 Tangentens ligning kan nu findes y = fm x - + f y = - 9 x b) Grafens forløb kan beskrives ved at undersøge fortegnsvariationen af differentialkvotienten. Vi løser først ligningen fm x = 0 3 x - 6 x - 9 = 0 solve 3 x - 6 x - 9 = 0, x x = 3 or x = - Da grafen for fm er en parabel med grenene opad kan vi se at fortegnsvariationen er som vist x - 3 fm(x) + 0-0 + f(x) voksende lokalt max aftagende lokalt min voksende Dvs. at f er voksende for x -, aftagende for - x 3 og voksende for 3 x. Desuden ser man at f har lokalt maksimum for x = -, hvor f(-) = og f har lokalt minimum for x = 3, hvor f(3) = -.
ark nr: 7 af i alt ark Opgave 9 va := 56 vb := 80 c := 0 AD := 3 Længden a af siden BC kan bestemmes ved at benytte en sinus-relation i trekant ABC Først finder vi vinkel C ud fra at vinkelsummen er 80 vc := 80-56 - 80 = 44 a sin va = c sin vc a 0 = sin 56 sin 44 Denne ligning løses vha. solve-metoden solve a 0 =, a sin 56 sin 44 a =.9345
ark nr: 8 af i alt ark b) Længden af BD kan bestemmes vha. en cos-relation i trekant ABD BD = AB + AD - AB AD cos va BD = 0 + 3-0 3 cos 56 Denne ligning løses ved solve-metoden. Da BD er en sidelængde kan vi forudsætte at BD er positiv. solve BD = 0 + bd = 8.686 Vi har altså fundet at BD 8.69 3-0 3 cos 56, BD BD > 0 Opgave 0 Antallet af pendlere mellem Sverige og Danmark År 00 003 005 007 Pendlere 375 5683 8783 574 Vi lader x betegne antal år efter 00 og y betegner antal pendlere xer := 0,, 4, 6 yer := 375, 5683, 8783, 574 Det oplyses at antal pendlere kan beskrives ved en funktion af typen P t = P 0 a t Vi vælger derfor at lave en exponentiel regression med xerne som den uafhængige variabel og yerne som den afhængige variabel expreg xer, yer, P P t = 369.8.6733 De to konstanter er derfor P 0 = 360 og a =.6733 t Fremskrivningsfaktoren er altså.6733, svarende til at den væksten i antallet af pendlere i gennemsnit har været ca. 6.7% pr. år.
ark nr: 9 af i alt ark Hvis denne vækst fortsætter uændret vil antallet af pendlere i 00 kunne bestemmes ved at indsætte t = 9 i forskriften for P P 9 = 3058. Modellen forudsiger altså at antallet af pendlere vil være ca. 30500 i år 00. Opgave Aldersfordeling af lærere 0 0 0.00.00 0 30 5 6.0 6.0 30 40 9 3.7 9.7 40 50 3.4 4.68 50 60 33 40.4 8.93 60 70 4 7.07 00.00 Sumkurven ser således ud 00 75 (58., 75.) 50 (5.8, 50.) 5 (38.4, 5.) 0 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 Kvartilsættet aflæses til 38, 5, 58
ark nr: 0 af i alt ark Opgave To funktioner er givet ved f x := 6.3 g x := x + x 4 0 8 6 4 integral = 9.874-0 -9-8 -7-6 -5-4 -3 - - 3 4 5 6 7 8 9 0 - -4 Arealet af det viste område M, bestemmes ved TII's grafiske areal-metode. Arealet er A M = 9.874. b) Vi bruger nu g x := x + k Det oplyses at arealet af området skal være 4. Dvs. at 3 f x - g x x = 4 0.874-3. k = 4. Vi løser denne ligning mht. k solve.874-3. k = 4., k k =.95807
ark nr: af i alt ark Opgave 3 Energiforbrug og produktionshastighed f x := 5.69 x - 67. Her er x energiforbruget (MJ pr.time) og f(x) er produktionshastigheden (kg pr. time). 0.5 Energiforbruget er 40 MJ pr time. f 40 = 06.875 Dvs at produktionshastigheden så er ca 06.9 kg pr. time. Det oplyses nu at produktionshastigheden er 30 kg pr. time solve f x = 30, x x = 589.9 Energiforbruget er da ca. 589 MJ pr. time.
ark nr: af i alt ark b) Produktionseffektiviteten er defineret ved g x := f x x g x = 5.69 x - 67. x Grafen for g ser således ud 0.3 (34.4,.347054) 0. 0. 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 Vi ser at produktionseffektiviteten har et maksimum når x ligger et sted mellem 00 og 00. For at finde dette maksimum benytter vi TII's indbyggede maksimums-metode Topunktet har koordinaterne(34.4,.347054) og det vil sige at det energiforbrug som giver den bedste produktionseffektivitet er ca 34 MJ pr time.